JOO BATISTA MENDES

SOLEIRA ELPTICA-CIRCULAR

So Paulo 2008

JOO BATISTA MENDES

SOLEIRA ELPTICA-CIRCULAR

Tese apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Doutor em Engenharia

rea de Concentrao: Engenharia Hidrulica

Orientador: Prof. Dr. Podalyro Amaral de Souza

So Paulo 2008

FICHA CATALOGRFICA

Mendes, Joo Batista Soleira elptica-circular / J.B. Mendes. -- So Paulo, 2008. 147 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia Hidrulica e Sanitria.

1. Estruturas hidrulicas 2. Soleira elptica-circular 3. Soleira medidora de vazo I. Universidade de So Paulo. Escola Politc-nica. Departamento de Engenharia Hidrulica e Sanitria II. t.

DEDICATRIA

Dedico este trabalho a meus pais, Antnio e Leosina, aos meus filhos, Joo Pedro e Gabriel,

e a minha esposa Ftima

AGRADECIMENTOS

Ao professor Podalyro, pela oportunidade, pelos ensinamentos, pela orientao e pelo constante estmulo transmitido durante todo o trabalho.

Aos amigos do Centro Tecnolgico de Hidrulica, aos meus alunos e, principalmente, minha esposa e filhos pela ajuda, compreenso e pacincia, e a todos que colaboraram direta e indiretamente na execuo deste trabalho.

RESUMO

Este trabalho prope uma soleira assimtrica elptica-circular com apenas dois pontos de descontinuidade, com parmetros geomtrico associados vazo especfica de projeto, com possibilidade de padronizao e cujas caractersticas hidrulicas (linha dgua, presses, coeficiente de vazo) podem ser determinadas teoricamente.

Um sistema de equaes diferenciais parciais permite o desenvolvimento de um modelo computacional para determinao dos valores tericos dessas caractersticas.

A validao dos valores tericos das caractersticas hidrulicas da soleira por um modelo computacional foi realizada com a confrontao desses mesmos valores obtidos em um modelo fsico, permitindo a comparao de presses, linha dgua, coeficiente de vazo e profundidade crtica.

Palavras-chave: Soleira Elptica-Circular, Soleira medidora de vazo, Estruturas Hidrulicas.

ABSTRACT

In this work is proposed an asymmetrical (elliptical-circular) weir with two points of discontinuity only, with geometrical parameters associated to the specific design discharge, allowing the standardization, and whose hydraulic characteristics (water profile, pressures and discharge coefficient) may be theoretically determinate. Their hydraulic characteristics, developed by a system of partial differential equations, system allowing the development of a computational model to determine the theoretical values of the weir hydraulic characteristics.

The validation of these theoretical values of the weir hydraulic characteristics, obtained by a computational model, was made by the comparison between the values of water profile, pressures, discharge coefficient and critical depth obtained by the theoretical model and the values obtained by the physical model.

Keywords: Elliptical-circular weirs, Flow meter weir, Hydraulic Structure.

LISTA DE SMBOLOS

Smbolo Definio Dimenses

a, b Semi-eixos do trecho do arco de elipse da soleira......... L

B Largura do canal retangular ........................................... L

CQ Coeficiente de Vazo .................................................... -

CV Coeficiente de Velocidade ............................................ -

DH Dimetro Hidrulico: DH= 4RH ....................................... L

s, n Versores das direes tangente e normal ao fundo do canal .............................................................................. - , -

E Carga ou carga especfica em canal com fundo curvo ou plano, respectivamente............................................. L

EC Carga ou carga especfica em escoamento em regime crtico............................................................................. L

f Fator de atrito da frmula universal de perda de carga distribuda ..................................................................... -

F Nmero de Froude de escoamento em canal de fundo plano e com pequena declividade: F2=V2 / (gy) ............. - F Nmero de Froude de escoamento em canal de fundo curvo: )cosgN/(UF 202 = .............................................. -

FC Nmero de Froude na condio crtica em canal com

fundo curvo: nJ(N)][1 kN

)N(nJ)N(JF3

2C

l

l

+= ................................... -

g Acelerao gravitacional ................................................ L/T2

H carga ou carga especfica em canal com fundo plano ... L

h leitura dos piezmetros ................................................. L

j,i Versores das direes horizontal e vertical, respectivamente ............................................................ - , -

i, j Declividades da linha de fundo e da linha de carga, respectivamente ............................................................ -, -

J(s, n) Jacobiano da transformao do sistema (x, y) para o sistema (s, n): J(s, n) = 1-k(s).n .................................... - L Largura do canal ........................................................... L

k(s) Curvatura: R / 1 k = .................................................... 1/L

M Adimensional parmetro de entropia ........................... -

n Coeficiente de Manning ................................................ T/L1/3

n Coordenada normal ao fundo do canal, com origem no fundo ............................................................................. L

N Profundidade de escoamento normal ao fundo do canal ............................................................................. L

NC Profundidade crtica de escoamento normal ao fundo do canal ............................................................................. L

p Presso ......................................................................... F/L2

p Presso atmosfrica ..................................................... F/L2

q Vazo em volume por unidade de largura .................... L2/T

Q Vazo em volume ......................................................... L3/T

R Raio local de curvatura: k / 1R = ............................. L

RH, R Raio hidrulico: razo entre rea molhada e permetro molhado ......................................................................... L

s Coordenada curvilnea medida ao longo do fundo do canal ............................................................................. L

t Tempo............................................................................ T

U Componente do vetor velocidade, V , segundo s ....... L/T

UN Valor de U na superfcie livre do escoamento ............... L/T

U0 Valor de U junto ao fundo do canal ............................... L/T

V Vetor velocidade ........................................................... L/T

V Mdulo de V V :V = ................................................... L/T

VC Velocidade crtica .......................................................... L/T

W Componente do vetor velocidade, V , segundo n ........ L/T

x, y Coordenadas horizontal e vertical, respectivamente ..... L, L

y Profundidade em um canal de fundo plano .................. L

yC Profundidade crtica ...................................................... L

y0 Profundidade normal ..................................................... L

, , ngulos definidos na figura ....................................... - E Perda de carga distribuda ............................................ L

z Diferena de cota .......................................................... L

(s) Cota de fundo de cota ................................................... L ngulo da tangente ao fundo do canal com a horizontal -

Valor prprio: = ds / dt ................................................ L/T

Massa especfica .......................................................... FT2/L4

Distncia polar .............................................................. L

(s) Posio horizontal de ponto do fundo do canal ............ L

LISTA DE FIGURAS

1 - Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de parede delgada ......................................................................................................... 4

2 - Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de crista curta .............................................................................................................. 4

3 - Linhas de corrente e regime de escoamento em regime livre vertedor de parede espessa ........................................................................................ 5

4 - Escoamento tpico em vertedores de soleira espessa ................................... 6 5 - Soleira proposta por BOS para facilitar o arrasto de sedimentos a

montante ....................................................................................................... 7 6 - Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de parede

espessa de seo triangular ......................................................................... 8 7 - Soleira espessa circular ................................................................................. 10 8 - Acima uma soleira circular inflvel e abaixo um soleira circular slida .......... 10 9 - Vertedor retangular de soleira espessa .......................................................... 11 10 - Comportamento da energia especfica com a elevao de fundo .................. 12 11 - Desenho Esquemtico da Soleira Assimtrica Elptica-Circular .................... 14 12 - Desenho Esquemtico Identificando a altura da soleira ................................ 15 13 - Desenho Esquemtico Identificando o comprimento a ............................... 17 14 - Desenho Esquemtico Identificando o raio do trecho circular da soleira ....... 19 15 -Desenho Esquemtico com o Resumo das Dimenses da Soleira

Assimtrica Elptica-Circular .......................................................................... 20 16 - Coordenadas curvilneas definidas pela curva do perfil do fundo do

canal ............................................................................................................. 21 17 - Distribuio de U(s,n,t) para: (a) fundo convexo, k0. ................................................................................................ 25 18 - Distribuio de presso, p(s,n,t), para: (a) fundo convexo, k0. ...................................................................................... 27 19 - Curvas de definio de descolamento de escoamento, de

hiperbolicidade, e de condio crtica de escoamento. DRESSLER ............ 31 20 - Vista geral do canal experimental situado no hall de ensaios do

Laboratrio de Hidrulica da EPUSP CTH ................................................. 34 21 - Bomba centrfuga para 240 m3/s e vlvula borboleta para controle de

vazo ............................................................................................................. 34 22 - Detalhe do medidor de vazo e registro de controle ...................................... 35

23 - Vista da sala de recepo dos sinais de medio de ensaio ......................... 35 24 - Desenho ilustrativo com as dimenses da soleira a ser ensaiada ................. 36 25 - Distribuio das tomadas de presso ao longo do perfil da soleira ............... 37 26 - Distribuio das pontas liminmtricas ao longo do perfil da soleira ............... 38 27 - Montagem do perfil metlico de alumnio com tubulaes de cobre

fixadas ........................................................................................................... 38 28 - Detalhe do final do canal com ripas de madeira com 5 cm, onde ser

instalada a soleira ......................................................................................... 39 29 - Perfil metlico de alumnio com tomadas de presso que ser instalada

no eixo da soleira .......................................................................................... 39 30 - Perfil metlico de alumnio sendo instalado no centro do canal ..................... 40 31 - Detalhe do perfil metlico central e de dois perfis de madeira na lateral ....... 40 32 - Detalhe do preenchimento e acabamento dos vos com argamassa. ........... 41 33 - Vista de montante da execuo do acabamento do perfil da soleira. ............ 41 34 - Detalhe da conexo dos tubos de cobre com as mangueiras plsticas

no final do canal. ........................................................................................... 42 35 - Quadro de piezmetros com mangueiras de plstico .................................... 42 36 - Detalhe de quadro de piezmetros ................................................................ 43 37 - Pontas Limnimetricas instaladas sobre a soleira ........................................... 43 38 - Detalhe da ponta limnimtrica sobre a soleira ............................................... 44 39 - Representao do Raio de Curvatura no Ponto M (xi, yi) ............................... 45 40 - Representao do Raio de Curvatura do Trecho Circular (xi, yi) .................... 46 41 - Representao do perfil da soleira e a profundidade de escoamento

normal ao fundo do canal Ni e a profundidade de escoamento crtico NC normal ao fundo do canal ...................................................................... 50

42 - Tela inicial da Planilha Eletrnica de Clculo para Determinao da Linha Dgua ................................................................................................. 52

43 - Tela da Planilha Eletrnica de Clculo com os valores do Perfil da Soleira ........................................................................................................... 52

44 - Grfico do Perfil da Soleira Espessa Resultante do Ensaio Terico da Planilha Eletrnica ......................................................................................... 53

45 - Resultado da Linha dgua Ensaio Terico da Planilha Eletrnica ................ 53 46 - Grfico da Linha dgua ................................................................................. 55 47 - Formulrio para anotao dos Ensaios .......................................................... 59 48 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=220 m3/h ....................................................................................... 60 49 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=220 m3/h ....................................................................................... 61

50 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Terico ................ 62 51 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Experimental ....... 63 52 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h .............................. 64 53 - Grfico: CQ/CQ (incerteza relativa do coeficiente de vazo) por

Qi/Qmax (vazo adimensional)......................................................................... 68 54 - Micro-molinete rotor e conjunto ................................................................... 70 55 - Exemplo de dados coletados para verificao do medidor de vazo ............. 71 56 - Formulrio: Ensaio Q= 59 m3/h ..................................................................... 77 57 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=59 m3/h ......................................................................................... 78 58 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=59 m3/h ......................................................................................... 79 59 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=59 m3/h - Terico .................. 80 60 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=59 m3/h - Experimental ......... 81 61 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=59 m3/h ................................ 82 62 - Formulrio Ensaio Q= 104 m3/h ..................................................................... 84 63 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=104 m3/h ....................................................................................... 85 64 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=104 m3/h ....................................................................................... 86 65 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=104 m3/h - Terico................. 87 66 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=104 m3/h - Experimental ........ 88 67 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=104 m3/h ............................... 89 68 - Formulrio Ensaio Q= 160 m3/h ..................................................................... 91 69 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=160 m3/h ........................................................................................ 92 70 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=160 m3/h ....................................................................................... 93 71 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=160 m3/h - Terico ................ 94 72 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=160 m3/h - Experimental ....... 95 73 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=160 m3/h .............................. 96 74 - Formulrio Ensaio Q= 198 m3/h ...................................................................... 98 75 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=198 m3/h ........................................................................................ 99 76 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=198 m3/h ....................................................................................... 100 77 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=198 m3/h - Terico................. 101 78 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=198 m3/h - Experimental ....... 102

79 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=198 m3/h .............................. 103 80 - Formulrio Ensaio Q= 220 m3/h ..................................................................... 105 81 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=220 m3/h ....................................................................................... 106 82 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q=220 m3/h ....................................................................................... 107 83 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Terico ................ 108 84 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Experimental ....... 109 85 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h .............................. 110 86 - Formulrio Ensaio Q= 225 m3/h ..................................................................... 112 87 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=225 m3/h ....................................................................................... 113 88 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q= 225 m3/h .................................................................................... 114 89 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=225 m3/h - Terico ................ 115 90 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=225 m3/h - Experimental ....... 116 91 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=225 m3/h .............................. 117 92 - Formulrio Ensaio Q= 239 m3/h ..................................................................... 119 93 - Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental

Ensaio Q=239 m3/h ....................................................................................... 120 94 - Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais

Ensaio Q= 239 m3/h ..................................................................................... 121 95 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=239 m3/h - Terico ................ 122 96 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=239 m3/h - Experimental ....... 123 97 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=239 m3/h .............................. 124 98 - Grfico: Carga H(m) X Coeficiente de Vazo (CQ) ......................................... 126 99 - Desenho esquemtico do escoamento sobre a soleira elptica-circular ......... 133 100 Grfico Comparando CQ terico com CQ medido ........................................ 137 101 Grfico H/Eproj X CQ ..................................................................................... 138 102 Desenho Esquemtico do Projeto Proporcional .......................................... 141

LISTA DE TABELAS

1 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 220 m3/h .......................... 58 2 Exemplo de clculo de incertezas nos ensaios laboratoriais ......................... 67 3 Aferio do Medidor de Vazo ...................................................................... 74 4 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 59 m3/h ............................ 76 5 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 104 m3/h .......................... 83 6 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 160 m3/h .......................... 90 7 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 198 m3/h .......................... 97 8 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 220 m3/h .......................... 104 9 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 225 m3/h .......................... 111 10 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 239 m3/h .......................... 118 11 Clculo dos valores de CQ ............................................................................. 125 12 - Clculos para avaliao de descolamento do escoamento Q= 237 m3/h ....... 129 13 - Clculos para avaliao de descolamento do escoamento Q= 160 m3/h ....... 129 14 - Clculos para avaliao de descolamento do escoamento Q= 105 m3/h ....... 129 15 Resultados de q terico e CQ tericos ...................................................... 136

SUMRIO

RESUMO ABSTRACT LISTA DE SIMBOLOS LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS 1. INTRODUO E OBJETIVOS ......................................................... 1 2. JUSTIFICATIVA.................................................................................... 3 3. ANLISE BIBLIOGRFICA .............................................................. 4 4. TRATAMENTO ANALTICO.............................................................. 11

4.1. CONCEPO DO VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA................ 11 4.2. DEFINIO DA FORMA DA SOLEIRA ASSIMTRICA .................. 14

4.2.1. Critrio para definio da altura relativa da soleira: (z/H) ou (b/H)....................................................................... 15

4.2.2. Critrio para a definio do semi-eixo a do arco de elipse ..................................................................................... 17

4.2.3. Critrio para definio do raio R, do trecho circular da soleira, a jusante, at a projeo da crista ................... 19

4.2.4. Resumo dos critrios para a escolha das dimenses da soleira ............................................................................. 20

4.3. ESCOAMENTO SOBRE FUNDO CURVO ........................................ 21 4.3.1. Distribuio de Velocidades ................................................ 24 4.3.2. Lei de vazo........................................................................... 25 4.3.3. Distribuio de presso ....................................................... 26 4.3.4. Condio crtica de escoamento ......................................... 27 4.3.5. Determinao da Linha dgua ............................................ 32

5. DESCRIO DO APARATO EXPERIMENTAL........................... 33 6. DEFINIO E CONSTRUO DO MODELO FSICO............... 36 7. MODELAGEM MATEMTICA .......................................................... 45

7.1. CLCULO DA LINHA DGUA UTILIZANDO PLANILHA ELETRNICA .................................................................................. 45 7.1.1. Trecho do arco da Elipse ..................................................... 45

7.1.2. Trecho Circular da Soleira ................................................... 47 7.1.3. Algoritmo da Soleira Elptica-Circular................................. 51

7.2. VALIDAO DO MODELO MATEMTICO ..................................... 55 8. ANLISE DE INCERTEZAS PARA CQ .......................................... 65 9. RESULTADOS EXPERIMENTAIS................................................... 69

9.1. AFERIO DO SENSOR ELETROMAGNTICO DE VAZO...... 69 9.1.1. Micro-Molinete....................................................................... 69 9.1.2. Clculo de Vazo Utilizando o Mtodo de Chiu ................. 72 9.1.3. Algoritmo gentico ............................................................... 73 9.1.4. Resultados para Aferio do Medidor de Vazo ................ 75

9.2. CLCULO DA LINHA DGUA ........................................................ 75 9.3. CLCULO DO COEFICIENTE DE VAZO CQ ................................. 125 9.4. VERIFICAO DA CONDIO DE DESCOLAMENTO DO

ESCOAMENTO ................................................................................ 127 10. LEI DE VAZO DA SOLEIRA ELPTICA-CIRCULAR ............. 130 CONCLUSO ............................................................................................ 140 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................... 143 BIBLIOGRFICA COMPLEMENTAR ................................................. 145

1. INTRODUO E OBJETIVOS

O homem, com o passar das eras em meio a sua evoluo, percebeu que, dentre suas necessidades como alimentao, moradia e outras, havia tambm um lquido muitssimo importante e precioso: a gua.

Nos primrdios, as grandes civilizaes surgiram e se desenvolveram prximas aos grandes cursos dgua como o Nilo, o Eufrates, o Tigre, o Jordo e outros. Ainda na Idade Mdia, o homem comeou a aduzir gua para dentro de suas fortificaes e us-la, em grande parte, para consumo prprio e para a agricultura.

Entretanto, com a Revoluo Industrial, o homem comeou tambm a utilizar a gua para mover suas mquinas e, como parte da produo, para abastecer suas mquinas a vapor e esfriar suas caldeiras.

Com o aumento da demanda da gua, a poluio dos cursos dgua e a total falta de planejamento de seu uso racional, o homem vem colhendo, at hoje, os problemas criados ao longo do tempo.

A necessidade de um controle no uso da gua e de um melhor planejamento fez com que o homem tivesse que criar mecanismos para quantificar a sua disponibilidade. Assim surgiram os vertedores, calhas, molinetes e outros medidores (ou controladores). Os vertedores e calhas, em especial, so equipamentos que geralmente tm sua equao determinada atravs de ensaios laboratoriais ou de campo, ou seja, de forma emprica. Como no incio os pesquisadores no tinham equipamentos para aferir os medidores de vazo, adotaram o mtodo emprico, que de certa forma acabou se tornando uma norma para a concepo das leis de funcionamento.

Este projeto prope o desenvolvimento e o equacionamento de uma soleira assimtrica elptica-circular, utilizando uma formulao estritamente calcada na Mecnica dos Fludos, e tambm utilizando modelao computacional, bem como modelao fsica.

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A necessidade de uma soleira geometricamente bem definida, com o mnimo de pontos de descontinuidade, com projeto proporcional associado vazo especfica de projeto, com possibilidade de padronizao e cujas caractersticas hidrulicas (linha dgua, presses, coeficiente de vazo) possam ser determinadas teoricamente, norteou este trabalho.

O projeto da soleira comea com a definio da forma geomtrica ideal a ser utilizada para melhoria do comportamento do escoamento superficial sobre a soleira, tanto com o objetivo de evitar perturbaes na lmina do escoamento como no de desenvolver um modelo matemtico do funcionamento.

Aps a definio da geometria, foi utilizado um sistema de equaes diferenciais parciais para a condio de fludo perfeito, com o efeito da curvatura local do perfil da soleira para a determinao da:

Distribuio da presso sobre a soleira;

Profundidades normais sobre a soleira;

Condio crtica de escoamento (Nc); Coeficiente de descarga (CQ); Condio de descolamento;

Condio limite para a hiptese de escoamento raso.

Com a definio do equacionamento hidrulico, o prximo passo foi o desenvolvimento de modelo computacional para a determinao das presses (p), das profundidades normais soleira (N), a profundidade crtica (Nc) e o coeficiente de descarga (CQ). Simultaneamente, foram efetuados ensaios em modelo fsico para a validao dos resultados tericos obtidos na modelagem computacional: presses, linha dgua, coeficiente de vazo e profundidade crtica.

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2. JUSTIFICATIVA

Vertedores so equipamentos utilizados geralmente em canais de irrigao com poucos sedimentos, onde seja necessrio manter nveis mnimos de gua no canal, realizar uma regularizao de vazo, medir vazo ou realizar estas atividades simultaneamente.

As verses de vertedores de soleira espessa e de soleira curta proposta at hoje possuem formas que, via de regra, acabam gerando descolamentos no escoamento ou interferncias considerveis na linha dgua.

Autores e pesquisadores, at ento, desenvolvem seus projetos e seus equacionamentos de forma emprica ou a partir de suas experincias sobre o assunto.

A proposta deste trabalho uma nova forma de vertedor de soleira espessa que interfere o mnimo possvel no escoamento e a sua concepo tem padres geomtricos associados vazo especfica de projeto e caractersticas hidrulicas que podem ser determinadas teoricamente.

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3. ANLISE BIBLIOGRFICA

Vertedores e calhas so estruturas que controlam a relao cota-vazo do canal onde so instalados. Simplificadamente, diferem entre si pelo fato de que, nos vertedores, a velocidade de aproximao da gua muito baixa, enquanto nas calhas ocorre um aumento de velocidade.

Os vertedores so classificados conforme seu formato e a carga a montante: parede espessa, de crista curta e parede delgada.

O vertedor de parede delgada possui um funcionamento assimilado a orifcio sem a parte superior. O termo cintico na aproximao muito pequeno e desprezado para fins de clculo da vazo.

Figura 1- Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de parede delgada Fonte: LOBO (1986).

O vertedor de crista curta possui regime crtico sobre a soleira, as sees no so prismticas e os filetes so curvos sobre a soleira (distribuio no hidrosttica de presses).

Figura 2- Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de crista curta Fonte: LOBO (1986).

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O vertedor de parede espessa, segundo a definio clssica descrita nos Manuais de Hidrulica (AZEVEDO NETTO e ALVAREZ (1998); CHOW (1959); HENDERSON (1966); PIMENTA (1977), PORTO (1998) RANGA RAJU (1981)), onde h passagem por regime crtico e as linhas de corrente so paralelas e horizontais sobre a soleira, como ser mostrado no desenvolvimento do equacionamento, no captulo Concepo do Vertedor Retangular de Soleira Espessa, item 1.2.

Figura 3- Linhas de corrente e regime de escoamento em regime livre vertedor de parede espessa. Fonte: Lobo (1986)

Em 1987, Bos e Clemmens, em um curso sobre Estruturas Hidrulicas de Medio ministrado no Centro Tecnolgico de Hidrulica, citam estudos e ensaios em laboratrio de estruturas que operam com escoamento crtico pelos pesquisadores Blanger (1849), Bazin (1896), Crump (1928), Fane (1927) Jamenson (1930) e outros. O refinamento da teoria seria realizado por ACKERS e HARRISON (1963) e Reploge (1975) alm da contribuio de Bos (1978). Segundo KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002), o estudo de vertedores de soleira espessa tem atrado a ateno alguns pesquisadores como Ackers (1978), Musterle (1930) e Montes (1964) que realizaram estudos sobre soleira espessa. Woodburn (1922) demonstrou que o coeficiente de descarga sofre um acrscimo de 8% com um canto arredondado ACKERS (1978). CHOW (1959) desenvolveu uma relao para o coeficiente de descarga usando o Teorema da Quantidade de Movimento. IPPEN (1950) apud KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002), usando a equao de Bernoulli e a teoria da camada limite, desenvolveu uma relao para o coeficiente de descarga em funo da espessura da camada limite ACKERS (1978). Lewith introduziu o coeficiente de descarga como uma funo da vazo sobre a soleira, do comprimento e largura da soleira, e da

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viscosidade do escoamento STREETER, WYLIE, (1981), conforme KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002). Henderson (1966), desenvolveu uma equao para determinar o coeficiente de descarga para soleira de cantos arredondados sob condies de escoamento crtico, assumindo yb= 0,715.yc (yc a profundidade crtica e yb a profundidade da gua no fim da soleira). Nestes estudos tambm foi mencionado que a profundidade crtica se move para jusante, resultando em escoamento subcrtico em praticamente toda a soleira.

Uma soleira perfeita no possui pontos de descontinuidade e seu no funcionamento ocorre com perturbaes mnimas do escoamento, variaes estas que geralmente ocorrem em pontos de descontinuidade da curvatura em canais.

Os vertedores de parede espessa so discutidos por ACKERS (1971), ACKERS et alii (1978), ADDISON (1941), BOITEN (2000), CHARLTON (1978), HERSCHY (1978), LOBO (1986), KULIN (1975), e ROCHE (1963). A seguir apresentam-se desenhos dos principais vertedores de soleira espessa e a comparao com a proposta do trabalho. Os autores descrevem os vertedores de soleira espessa como equipamentos utilizados, em geral, para canais de irrigao com poucos sedimentos em que haja necessidade de manter determinados nveis mnimos de gua no canal e/ou regular a vazo e/ou medir a vazo. Os mais utilizados so as de forma tradicional, retangular de aresta viva, e o retangular com crista (ou aresta) arrendondada, que permite a acomodao dos filetes soleira, mas mesmo assim ainda provoca perturbaes no escoamento como mostra a figura a seguir:

Figura 4- Escoamento tpico em vertedores de soleira espessa. Fonte: LOBO (1986).

Como se pode deduzir, com a aproximao do escoamento da soleira, ocorre o descolamento inicial devido ao impacto com uma parede vertical que, mesmo tendo

7

a borda superior a montante arrendada (neste caso), ocasiona uma variao brusca de nvel sobre a soleira, fato esse perceptvel no desenho anterior.

Percebe-se tambm que, aps o vertedor, ocorre a acelerao do escoamento devido presena de um degrau, fato este que ocasiona a ocorrncia de descolamento do escoamento e consequentemente uma turbulncia aps a soleira.

No vertedor de soleira espessa com formato elptico-circular h baixa velocidade de aproximao do escoamento mas, devido a geometria inicial da soleira ser elptica, favorece o escoamento, evitando descolamento no inicio do vertedor, o que leva produo de um regime crtico com distribuio no hidrosttica de presses sem interferncia de montante.

Outra ressalva importante a sada do escoamento da soleira elptico-circular que, devido forma circular no possui arrestas que fatalmente ocasionariam choques ou descolamentos do escoamento com variao de nvel que poderia ter reflexos importantes no regime crtico sobre a soleira.

BOS (1986) prope uma soleira com a parte frontal de aproximao modificada, com o intuito de promover o arraste de material de montante, mas previsvel que a rampa causa descolamentos, principalmente na parte superior, devido aresta viva, e o final da soleira com um degrau ir funcionar como o desenho clssico.

Figura 5 - Soleira proposta por BOS para facilitar o arrasto de sedimentos a montante Fonte: BOS (1986).

No vertedor triangular de soleira espessa h a mesma funcionalidade que o clssico, ou seja, com o formato similar tem um comportamento parecido e com descolamentos na parte frontal e no fim da soleira; como tambm ter a influncia da contrao das paredes laterais na formao de mais oscilaes no escoamento,

8

este formato muito utilizado em canais naturais, visto que a estrutura montada em apenas um pequeno trecho como mostra o esquema a seguir.

Figura 6 - Linhas de corrente e regime de escoamento livre vertedor de parede espessa de seo triangular. Fonte: LOBO (1986).

No trabalho realizado por CHANSON, e MONTES, (1998), os autores descrevem o comportamento do escoamento sobre vertedores de soleira circular. Segundo os autores, soleiras cilndricas eram comuns no final do sculo 19 e incio do sculo 20, antes da introduo das soleiras do tipo ogiva. Durante o sculo 19, desenvolvimentos no sentido de melhorar a capacidade de descarga levaram a se projetar soleiras circulares, tais como o trabalho de Bazin, na Frana. Bazin (1829-1917), segundo CHANSON e MONTES (1998), era um engenheiro hidrulico francs que trabalhou com Darcy no comeo de sua carreira. Apesar disso, o trabalho de Bazin em soleiras mais conhecido pelas suas observaes muito precisas em soleiras delgadas Bazin (1888-1898), que foram usadas mais tarde por Creager para desenvolver sua crista em forma de ogiva Creager (1917), ele tambm conduziu investigaes em cristas com perfil arredondado, mais tarde aplicado no projeto da Pont Dam na Frana. Atualmente, muitas cristas possuem forma de ogiva perfil Creager, perfil Scimemi (1930). Maiores estudos sobre soleiras circulares incluem REHBOCK (1929), FAWER (1937) E SARGINSON (1972) apud CHANSON, e MONTES, (1998). Pesquisas mostram que o coeficiente de descarga CQ perto de 1 e usualmente maior que a unidade, e o CQ era primariamente escrito como uma funo da relao entre da carga a montante e o raio da crista HW/R, CQ aumentando para aumentos dos valores de HW/R, onde HW a carga total sobre a crista e R o raio de curvatura da crista.

9

Dois estudos Escande e Sananes (1959), Rouve e Indlekofer (1974), segundo KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002), investigaram particularmente os efeitos da suco e da ventilao que acontece a jusante da crista nas caractersticas do escoamento. Ambas as investigaes mostraram que a suco previne contra a separao do fluxo e resulta em maiores coeficientes de descarga, em torno de 15 a 20% (ESCANDE e SANANES, 1959) apud KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002),. Uma recente Tese de Doutorado (VO, 1992) apud KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002), deu novas informaes sobre o campo de velocidades na crista e a jusante dela. Os resultados sugeriram que o campo de escoamento pode ser previsto pela teoria do fluido perfeito.

A gua escoando sobre soleiras e sobre vertedores se caracteriza pelo escoamento rapidamente variado na regio prxima da crista. Os tipos mais comuns de crista de soleira so: a soleira espessa, a soleira delgada, a soleira circular e as soleiras tipo ogiva. As vantagens da soleira de forma cilndrica (figura 7 e 8) so a estabilidade do padro de escoamento sobre a soleira, a facilidade da passagem de detritos, a simplicidade do projeto, se comparada com a soleira em forma de ogiva, e os baixos custos associados. Soleiras circulares tm mais capacidade de descarga (para cargas iguais a montante) que as soleiras espessas e as soleiras delgadas. Aplicaes deste tipo de soleira incluem comportas rolantes e barragens de membranas flexveis inflveis (isto , barragens de borracha). Comportas Rolantes so cilindros metlicos fixados no local por pilares de concreto e podem ser levantadas para permitir o escoamento. Elas tambm so chamadas comportas cilndricas ou barragens rolantes (WEGMANN, 1922; PETRIKAT, 1958 apud KHOSROJERDI E KAVIANPOUR 2002). Para extravasamento com baixas cargas (alturas de gua sobre a soleira), no econmico levantar a comporta e o extravasamento permitido. Barragens de membranas flexveis inflveis so uma nova forma de soleira. Elas so usadas para elevar o nvel de gua a montante, inflando a membrana de borracha colocada transversalmente a um curso dgua ou ao longo da crista de soleiras. Extravasamentos com baixa carga so permitidos sobre a barragem inflada e as caractersticas do escoamento so similares s caractersticas de escoamento sobre uma soleira circular (ANWAR 1967, CHANSON 1996).

10

Figura 7 - Soleira espessa circular. Fonte: KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002).

Figura 8 - Acima uma soleira circular inflvel e abaixo um soleira circular slida. Fonte: KHOSROJERDI e KAVIANPOUR (2002).

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4. TRATAMENTO ANALTICO

Como o trabalho pretende propor um novo perfil de soleira espessa que represente uma melhoria do ponto de vista hidrodinmico, ser mostrado o comportamento e a formulao da soleira espessa de crista plana.

Posteriormente, ser proposto o equacionamento de escoamentos sobre canais de fundo curvo desenvolvido por SOUZA (1985) em sua tese Histerese em Escoamento sobe Salto de Esqui

4.1. CONCEPO DO VERTEDOR DE SOLEIRA ESPESSA

Figura 9 Vertedor retangular de soleira espessa Fonte: BOS (1986)

O vertedor retangular de soleira espessa consiste em uma elevao do fundo do canal suficientemente grande para que as condies do escoamento a montante sejam alteradas, com a elevao do nvel dgua (z > zc). Isto permite a formao de escoamento crtico sobre o patamar e, pela aplicao da equao de energia especfica, a determinao da vazo.

A soleira do vertedor deve ser suficientemente longa para estabelecer, sobre ela, o paralelismo dos filetes (distribuio hidrosttica). A borda de ataque do vertedor deve ter um arredondamento para no provocar turbulncias e o descolamento da lmina dgua.

Aplicando-se a equao da energia entre as sees 1 (onde a presso hidrosttica) e 2, para um referencial passando pelo topo da soleira do vertedor, e desprezando-se a carga cintica de aproximao, pode-se escrever:

12

31

2

31

2

22 23

23

23

=

===

gB

Q

gqyEh cc ... (1.1)

gB

Qh

2

3

32

=

=> gh2.Bh.

332Q = ... (1.2)

que a expresso para a vazo atravs de um vertedor de soleira espessa.

Na equao (1.1), h a carga sobre a soleira. Desprezando-se as perdas de carga entre 1 e 2, pode-se escrever:

E1 = E2 + z ... (1.3)

Figura 10 Comportamento da energia especfica com a elevao de fundo Fonte: PORTO (1998)

Pelo grfico da figura 10, pode-se deduzir que, se o regime de escoamento na seo 1 fluvial (ponto A), na seo 2 o nvel desce para o ponto B (y1 y2); se o escoamento torrencial, a situao vai de A* para B* e o nvel sobe de y1* para y2*.

Na situao limite, para que no ocorra alterao nas condies de escoamento na seo 1, a situao deve sair de A e ir at o ponto C, onde ocorre o regime crtico,

13

condio-limite de escoamento. Nessa situao, a altura da elevao de fundo vale

zc.

Aumentando-se ainda mais a altura z do degrau na seo 2, de modo que a reta E2 da figura 9 fique esquerda da reta Ec, ela no cortar a curva de energia especfica e, portanto, no haver soluo matemtica.

Analisando-se o fenmeno fisicamente, se o escoamento na seo 1 for fluvial, as perturbaes originadas pelo degrau iro se propagar para montante e a altura dgua se ajustar at que a condio crtica seja produzida na seo 2, a seo de controle.

Em outras palavras, haver alterao nas condies de montante pelo aparecimento de uma curva de remanso. A altura da gua na seo 1 aumentar de y1 para y1+, correspondente ao ponto A+, de energia especfica E1+ (E1+ = Ec + z+, com z+ > zc). Nessa situao, o escoamento passar de fluvial (em 1) para torrencial, passando pelo crtico na transio (em 2) e retornando a fluvial aps passar por um ressalto hidrulico, a jusante, se o canal for de fraca declividade.

14

4.2. DEFINIO DA FORMA DA SOLEIRA ASSIMTRICA

A proposta do trabalho desenvolver uma soleira que introduza pouca perda de carga no escoamento e tenha apenas dois pontos de descontinuidade. A partir desta premissa, proposto um perfil assimtrico que utiliza um arco de elipse e um arco de circunferncia como base. No primeiro trecho prope-se um quarto de elipse at o ponto mais alto soleira (crista), sendo que, aps este ponto, o perfil passa a ser um arco de circunferncia. Na figura 11 est esquematizada a soleira proposta, onde o arco AC um quarto de elipse, o arco CB um arco de circunferncia e no ponto C (crista) as duas curvas tm tangncia comum e o mesmo raio de curvatura. O arco de elipse de semi-eixos a e b tem raio de curvatura no ponto C dado por R = a2 / b. Este raio o usado para traar o arco de circunferncia CB.

Figura 11 Desenho Esquemtico da Soleira Assimtrica Elptica-Circular

Uma vez definida a forma da soleira, necessrio o dimensionamento da mesma, porm, para se alcanar esta etapa, necessrio seguir alguns critrios para a obteno de funcionamento hidrulico apropriado para esta proposta com uma nova configurao. Para tanto, a seguir, sero explanados os critrios para a montagem de soleira assimtrica elptica-circular.

15

4.2.1. Critrio para definio da altura relativa da soleira: (z/H) ou (b/H)

O primeiro passo para a definio da soleira espessa geometricamente bem definida, a determinao da altura da mesma. Para que o projeto idealizado tenha boas caractersticas hidrulicas, algumas hipteses foram adotadas:

Figura 12 Desenho Esquemtico Identificando a altura da soleira

Hiptese (1): O termo cintico do escoamento, na aproximao da soleira, dever ser pequeno, ento adotou-se o valor como sendo um percentual da carga:

1005

2

2 Hg

Va= .

Hiptese (2): No h perda de carga no escoamento entre os pontos (1) e (2), considerando a linha de corrente que coincide com a superfcie livre.

Hiptese (3): Canal retangular com largura B.

Tomando-se a crista da soleira como referncia, a Equao de Bernoulli fica:

gV

yg

VH cca 22

22

+=+ ... (2.1)

A segunda parcela do primeiro membro fica expressa por:

22

22

)(22 zHgBQ

gVa

+= ... (2.2)

16

Pela Hiptese (1), tem-se:

1005

)(2 222 H

zHgBQ

=

+ ... (2.3)

A profundidade crtica yc dada aproximadamente por:

32

2

gBQyc =

j que esta equao vlida para leito plano, o que no o caso para a soleira elptica-circular. Da equao anterior tem-se

32

2

cygBQ

= ... (2.4)

Com a equao (2.4) em (2.3), tem-se:

1005

)(2 23 H

zHyc

=

+ ... (2.5)

Quando o termo cintico na aproximao do vertedor bem pequeno face a H, vale a relao:

Hyc 32

= ... (2.6)

Com a equao (2.6) em (2.5)

1005

)( 2 278

2

3 HzHx

H=

+

que simplificado, fica:

8027

8 1002 27 5

)( 22

==

+ xxx

zHH

ou

2780

=

+H

zH

72,012780

==

H

z

17

A favor da segurana, isto , para garantia de um termo cintico ainda menor que 5H/100, pode-se adotar como critrio:

75,0==Hb

Hz

ou seja b = 0,75.H

4.2.2. Critrio para a definio do semi-eixo a do arco de elipse

Outra dimenso importante para a geometria da soleira assimtrica elptica-circular o comprimento do trecho elptico que corresponde parte frontal a receber o escoamento.

Figura 13 Desenho Esquemtico Identificando o comprimento a

O semi-eixo a pode ser definido a partir da imposio de um valor limite para a acelerao convectiva no trecho entre as sees a-a e c-c. A acelerao convectiva genericamente expressa por:

conva dxdVV = ... (3.1)

O limite aventado para o valor da acelerao convectiva pode ser adotado como uma frao da acelerao gravitacional. Assim, a Equao (3.1) passa a ser expressa como:

g

=

n

1

dxdVV ... (3.2)

18

No primeiro membro da Equao (3.2), a velocidade V pode ser aproximada por ( )2 / )V V V ca + , isto , pela mdia entre a velocidade de aproximao Va e a

velocidade crtica Vc. O gradiente de velocidade dxdV""

pode ser aproximado por

a

VV

dxdV ac . Estas duas aproximaes permitem que se escreva a Equao (3.2)

como:

g .n

1

a

VV.

2VV

acca

+ ... (3.3)

Nas aplicaes prticas tem-se Va

19

Adotando-se n = 9, o que equivalente adoo de uma acelerao convectiva mdia, no trecho a montante da crista, igual a g / 9, tem-se como critrio:

3Ha

= ... (3.8)

4.2.3. Critrio para definio do raio R, do trecho circular da soleira, a jusante, at a projeo da crista

Figura 14 Desenho Esquemtico Identificando o raio do trecho circular da soleira

No trecho CB a soleira tem o formato de um arco de circunferncia, sendo que o raio deste definido como:

baR

2

= ... (4.1)

que coincide com o raio da elipse no ponto C.

E, como o comprimento do trecho a pode ser definido por trs vezes a carga (a = 3H) e a altura b corresponde ou 0,75 da carga (b = H ou b = 0,75H), substituindo na expresso anterior tem-se:

( ) HRH

HR 12

433 2

== ... (4.2)

Outra forma de definir o raio utilizando como parmetro a profundidade crtica,

HR 12= , ou cc yyR 182312 == ... (4.3)

20

4.2.4. Resumo dos critrios para a escolha das dimenses da soleira

a = 3H ou cy.29

a =

c.y89bou H

43

b ==

c18yRou 12HR ==

Figura 15 Desenho Esquemtico com o Resumo das Dimenses da Soleira Assimtrica Elptica-Circular

21

4.3. ESCOAMENTO SOBRE FUNDO CURVO

No desenvolvimento da soleira de perfil elptico-circular ser necessrio utilizar equaes em coordenadas cartesianas curvilneas; este tema foi amplamente desenvolvido por SOUZA (1985) na sua tese sobre Histerese em Escoamento sobre Salto de Esqui. A seguir teremos a transcrio de parte desse equacionamento que ser utilizado no desenvolvimento do estudo da soleira de perfil elptico-circular.

A princpio a formulao do escoamento sobre soleira est restrita s seguintes hipteses:

o fludo incompressvel ( constante); a tenso de cisalhamento nula na interface lquido-parede ( = 0);

o escoamento irrotacional ( )0V = ; o nico campo interveniente o gravitacional;

o escoamento bidimensional.

A figura a seguir representa parcialmente a relao entre o sistema ortogonal e o curvilneo de coordenadas.

Figura 16 Coordenadas curvilneas definidas pela curva do perfil do fundo do canal. Fonte: SOUZA, Histerese em Escoamento sobre Salto de Esqui (1985)

22

Segundo as restries anteriores, pode-se utilizar as seguintes equaes diferenciais que correspondem formulao necessria para o trabalho:

0V . = ... (5.1)

( ) jg - p

1V . VtV =+

... (5.2)

0 V = ... (5.3)

As equaes anteriores so: forma diferencial do Princpio da Conservao de Massa (5.1); a equao (5.2) a forma diferencial da Lei de Newton da Quantidade de Movimento e a equao (5.3) representa a condio de irrotacionalidade do escoamento.

As condies de contorno no fundo do canal e a na superfcie livre do escoamento tambm precisam ser representadas matematicamente, sendo as condies as seguintes:

1. a presso na superfcie livre do escoamento constante e igual presso atmosfrica local, assumindo valor zero na escala relativa de presso;

2. a velocidade do escoamento no fundo, normal superfcie slida do canal, identicamente nula;

3. qualquer partcula fluida na superfcie livre do escoamento permanecer sempre a superfcie livre.

Seja P um ponto sobre o fundo curvo do canal de coordenadas x = , y = , e s o comprimento de arco medido ao longo do perfil do fundo cuja forma definida por:

x = (s) . y = (s)

23

Seja n a distncia medida a partir do fundo do canal perpendicular a este. claro que as novas variveis (s, n) formam um sistema curvilneo ortogonal de coordenadas, como pode ser verificado na figura 16.

As equaes (5.1), (5.2) e (5.3), e as condies de contorno citadas anteriormente, permitem a obteno de sete equaes escalares em coordenadas curvilneas:

( ) 0 JWn

s

U=

+

... (5.4)

0s

EJ1

tU

.

g1

=

+

... (5.5)

0n

E

tW

.

g1

=

+

... (5.6)

( ) 0 s

=

JU

n

W ... (5.7)

onde: U = componente de vetor velocidade, V , segundo s;

W = componente do vetor velocidade, V , segundo n.

O Jacobiano (J) da transformao do sistema (x, y) para o sistema (s, n) definido por:

J(s, n) = 1 k(s).n O mdulo do raio local de curvatura, que sempre positivo, fica definido por:

( )sk1

R =

A aplicao permanece injetora, a menos que k > 0 e n > (1 / k) = R. Para que a aplicao permanea injetora, a profundidade N deve satisfazes condio: kN < 1, k > 0

A Equao (5.2), sendo vetorial, fornecer duas equaes escalares em coordenadas curvilneas [(5.5) e (5.6)]. 0 p t)N, (s, p atm = ... (5.8)

W (s, 0, t) = 0 ... (5.9)

24

t)N(s, n para ,Ws

NJU

tN

==

+

... (5.10)

sendo que: s

NWN

+

==

JU

tN

DtDN

.

2gWU

gp

n.cos t)n, (s, E E22 +

+++== ... (5.11)

A equao (5.4) representa a conservao de massa; a equao (5.5) a equao de quantidade de movimento projetada em s; a equao (5.6) a equao de quantidade de movimento projeta em n; a equao (5.7) corresponde condio de irrotacionalidade do escoamento; as equaes (5.8) e (5.10) so condies de contorno na superfcie livre, relacionadas com a presso e com a componente normal da velocidade, respectivamente; e a equao (5.9) a condio de contorno relativa componente normal da velocidade no fundo.

4.3.1. Distribuio de Velocidades

Segundo SOUZA (1985), quando se pode considerar U W e 0tW/ 0, sW/

25

A distribuio W(s, n, t) tem a seguinte expresso:

o220

.Ukn)(1

knkn)(1kn)n(1

s

kk1

s

Ukn)-k.(1kn)n(1

t)n,W(s,

+

=

ll ... (6.4)

Figura 17 Distribuio de U(s,n,t) para: (a) fundo convexo, k0. Fonte: SOUZA, Histerese em Escoamento sobre Salto de Esqui (1985)

4.3.2. Lei de vazo

A partir de uma seo normal ao plano do fundo do canal, a vazo especfica pode ser expressa da seguinte forma:

=N

O dn t)n, U(s,q

Aplicando-se a distribuio de velocidades a partir da equao (6.3), a vazo pode ser calculada com a seguinte expresso:

=

t)N(s,

0 0 k(s)n1dn

t)(s,Uq

que, efetuada a integrao, obtm-se:

t)]k(s).N(s,n[1k(s)

t)(s,Ut)q(s, 0 = l ... (7.1)

26

4.3.3. Distribuio de presso

No estudo para a determinao da distribuio de presso, duas hipteses adicionais sero colocadas:

(a) W varia muito pouco em relao ao tempo, isto , 0 t W/ . (b) O valor de W muito pequeno quando comparado ao de U, isto

UW

27

A distribuio de presso composta por uma parcela hidrosttica, (N-n)cos, e uma parcela do tipo centrpeta, que completa o segundo membro da equao (8.3). Nota-se que esta contribuio nula quando k=0.

Seguindo uma linha de raciocnio semelhante, quando k0, os valores so maiores.

Figura 18 Distribuio de presso, p(s,n,t), para: (a) fundo convexo, k0.

Fonte: SOUZA, Histerese em Escoamento sobre Salto de Esqui (1985).

4.3.4. Condio crtica de escoamento

Neste item, SOUZA (1985) parte da definio clssica de Froude1 para uma anlise do escoamento sobre leito curvo em perfil, sendo que a velocidade U0(s,t), junto ao fundo, mais importante, como descrito anteriormente, na lei de distribuio de velocidades, equao (6.4). No dimensionamento da condio crtica de escoamento necessrio obter-se primeiramente um conjunto de duas equaes diferenciais parciais, que permitir a determinao das funes U0(s,t) e N(s,t), ou seja, velocidade junto ao fundo e profundidade, respectivamente.

1 Nesta definio temos: acelerao gravitacional, velocidade mdia do escoamento e profundidade.

28

Utilizando-se a equao de quantidade de movimento (5.5), impondo-se n=0 e, portanto, J=1, a equao ser:

0s

E

tU

.

g1 0

=

+

... (9.1)

A carga E constante em qualquer posio do fundo at a superfcie livre. Esta afirmao justificada impondo-se a hiptese (a) do item 4.2.3., isto [ 0 t W/ ], na equao de quantidade de movimento (5.6):

2

2

kN)-2g(1U

NcosE 0++= ... (9.2)

Outra observao importante que, como na hiptese (b) do item anterior, o valor da componente W muito pequeno se comparado ao de U, UW

29

[ ] { }G N

U

s B

N

U

t

00

=

+

... (9.5)

Onde

[ ]( )( )

+

=

20

3

20

20

J(N)U

N Jk N Jn

J(N)k U

cos gJ(N)

U

Bl

... (9.6)

{ }

+

=

22

3

20

(N) JkN

(N) J(N) J

kk

-

N (N) J Uk

-sen gk G

nl

... (9.7)

Os valores prprios da matriz [B] podem ser obtidos a partir de:

det ([B] [I]) = 0 ... (9.8)

onde [I] a matriz identidade. A equao (9.8) corresponde equao:

( )( )

0

-J(N)

UN Jk N Jn

J(N)k U

cos g - J(N)

U

det

20

3

20

20

=

+

l

cuja soluo para :

+== 3

20

20

J(N)kU

cos gkJ(N)

(N) Jn -(N) J

U tds d

l ... (9.9)

Os valores prprios (autovalores) podem ser interpretados como as inclinaes dos caminhos caractersticos, ou seja, os caminhos no plano (s,t) sobre os quais as

30

equaes a derivadas parciais so transformadas em equaes a totais, no plano (s,t). A condio crtica de escoamento fica definida por ds / dt = 0. A partir da equao (9.9) esta definio fornece:

+= 3

20

4

20

J(N)kU

cos gkJ(N)

(N) Jn (N) JU l

Que, rearranjada, fica:

[ ](N) Jn 1kN(N) Jn J(N)

gNcoU 320

l

l

+=

s ...(9.10)

DRESSLER (apud SOUZA) definiu o primeiro membro da equao (9.10) como um Nmero de Froude Local, isto :

cos N gU

F202

= ... (9.11)

A expresso definida por Dressler possui duas caractersticas importantes:

1. a velocidade interveniente no a velocidade mdia da seo mas sim a velocidade junto ao fundo, que diferente de zero pelo fato do escoamento ser irrotacional;

2. a presena do cos no denominador da razo.

As duas caractersticas citadas permitem a seguinte interpretao: o Nmero de Froude a razo entre a fora de inrcia junto ao fundo e a projeo da fora gravitacional normal ao fundo.

Para fundo plano e de pequena inclinao, o Nmero de Froude dado pela equao (9.11) coincide com a definio tradicional: /(gN)U 2 .

A condio crtica de escoamento fica ento definida por:

[ ](N) Jn 1 Nk (N) Jn (N) J

- F3

2C

l

l

+= ... (9.12)

31

O limite do segundo membro da equao (9.12), quando k tende a zero (fundo plano), igual a 1. O clculo deste limite no trivial: necessrio o uso da regra de LHopital.

FC,k=0 = 1

A seguir, na figura 19, est representada a condio crtica de escoamento em funo de kN pela curva que passa pelos pontos E, F e G.

SOUZA (1985) descreve que o trecho EF para canal de fundo convexo (k 0,5, FC cresce rapidamente e tende a + para kN tendendo a 0,63.

Figura 19 Curvas de definio de descolamento de escoamento, de hiperbolicidade, e de condio crtica de escoamento. DRESSLER

Fonte: SOUZA, Histerese em Escoamento sobre Salto de Esqui (1985)

32

4.3.5. Determinao da Linha dgua

Para determinao da linha dgua sobre a soleira de perfil elptico-circular ser utilizada a seguinte hiptese bsica: A carga hidrulica sobre a linha de corrente que coincide com a superfcie livre constante. Em outras palavras, no h perda de carga no escoamento sobre a soleira.

Na condio anterior, a carga dada por SOUZA (1985):

2

20

RN

-12g

U N.cos E

++= ... (10.1)

Nesta equao (10.1) foi desconsiderado o valor da componente normal da velocidade na superfcie livre, W(s, Nt), pelo fato de s existir a parcela convectiva,

s

N.

JU

, e esta ser pequena.

como:

22

22000

RN1lnR

qU

RN1Rln

qURN1.R.lnUq

=

=

= ... (10.2)

Substituindo-se (10.2) em (10.1) tem-se:

22

2

2

1ln(..RN

-12g

q N.cos

++=

RNR

E ... (10.3)

33

5. DESCRIO DO APARATO EXPERIMENTAL

Os ensaios para a verificao experimental da soleira de perfil elptico-circular foram desenvolvidos no Laboratrio de Hidrulica da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. A montagem experimental, em circuito fechado, constituda por um canal de 11m de comprimento til, seo transversal retangular com dimenses 0,50 m x 0,45 m, reservatrio com capacidade para 4,2 m3, sistema de recalque com capacidade para 240 m3/h.

A medio de vazo ser feita atravs de um sensor tipo eletromagntico, com resoluo de leitura de 1 m3/h, correspondente a um erro mximo relativo de 6,6% para a menor vazo de ensaio (15 m3/h) a 0,5% para a maior vazo utilizada (200 m3/h). O canal dotado de um dispositivo que permite variar sua inclinao de fundo desde 0 ate 2,1 % , facilidade esta que no ser utilizada, sendo o erro estimado na determinao da declividade de 0,00045%.

As paredes laterais do canal so de vidro laminado, em painis de 1,90 m, com juntas verticais vedadas com borracha moldvel base de silicone. 0 fundo constitudo de chapa de alumnio polido, sendo a junta de contato vidro-alumnio tambm preenchida com borracha de silicone.

A medio precisa da linha dgua, para os fins desta pesquisa, ser efetuada atravs de nove pontas linmimtricas dispostas perpendicularmente sobre o perfil da soleira, apoiadas em suportes montados sobre as paredes do canal. Cada ponta apresenta resoluo de leitura de 0,05mm.

A regulagem de vazo ser feita atravs de duas vlvulas, sendo uma do tipo borboleta, para a regulagem grosseira, e outra do tipo gaveta para a regulagem fina. Para garantir boas condies de escoamento na entrada do canal foram posicionados elementos tranqilizadores construdos de grade de madeira em duas profundidades.

34

A leitura da presso, em cada dos oito piezmetros instalados ao longo da soleira, ser efetuada em um quadro ao lado da bancada.

Na seqncia tem-se ilustraes dos detalhes descritos:

Figura 20 - Vista geral do canal experimental situado no hall de ensaios do Laboratrio de Hidrulica da EPUSP CTH

Figura 21 - Bomba centrfuga para 240 m3/s e vlvula borboleta para controle de vazo

35

Figura 22 - Detalhe do medidor de vazo e registro de controle.

Figura 23 - Vista da sala de recepo dos sinais de medio de ensaio

36

6. DEFINIO E CONSTRUO DO MODELO FSICO

Os ensaios do modelo fsico da soleira de perfil elptico-circular foram desenvolvidos em uma bancada no Laboratrio de Hidrulica da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo.

A bancada possui uma seo transversal retangular de 0,50 x 0,45 m, com uma vazo de 240m3/h, que pode ser convertida em aproximadamente 0,067 m3/s. Como este canal possui um seo retangular, podemos utilizar a formulao clssica da vazo especfica:

A princpio, para possibilitar a instalao das tomadas de presso sobre a soleira, ser necessrio utilizar uma tolerncia de 0,05 m, portanto a altura til ter 0,45m.

Como o valor de b da soleira corresponde a 0,75H, pode-se desenvolver a seguinte expresso para atender o limite til do canal, ou seja:

29,19bH75,0b:totanpor

71,2575,145,0H45,0H.75,145,0HH.75,045,0Hb

=

===+=+

Para o desenvolvimento do projeto foi adotado b = 0,18 m, que corresponde a um valor H = 0,24 m. Ento tem-se os seguintes valores para execuo do projeto da soleira:

Figura 24 - Desenho ilustrativo com as dimenses da soleira a ser ensaiada

37

O perfil adotado foi moldado in loco e, para a coleta das presses sobre a soleira, foram instaladas oito tomadas de presso ao longo do perfil. A seguir, tem-se um desenho esquemtico, localizando as posies das tomadas.

Foram instaladas, no eixo da soleira, tomadas de presso fixadas a um perfil metlico (de alumnio) sendo as mesmas tubos de cobre flexvel de 2 milmetros na soleira e, em seguida foram conectados a mangueiras plsticas transparentes que seguem para um quadro, onde foram realizadas as leituras dos valores de presso (piezmetros).

Figura 25 - Distribuio das tomadas de presso ao longo do perfil da soleira

Alm das oito tomadas de presso no eixo da soleira, foram realizadas leituras dos nveis dgua. Esta leitura foi realizada por pontas liminmtricas com preciso de + 0,10 mm, sendo que as mesmas foram fixas sobre a soleira e realizaram leituras perpendiculares s tomadas instaladas na soleira.

38

Figura 26 - Distribuio das pontas liminmtricas ao longo do perfil da soleira

A seguir so apresentadas algumas figuras ilustrando a execuo da montagem da bancada de ensaios.

Figura 27 Montagem do perfil metlico de alumnio com tubulaes de cobre fixadas

39

Figura 28 Detalhe do final do canal com ripas de madeira com 5 cm, onde ser instalada a soleira

Figura 29 Perfil metlico de alumnio com tomadas de presso que ser instalada no eixo da soleira

40

Figura 30 Perfil metlico de alumnio sendo instalado no centro do canal

Figura 31 Detalhe do perfil metlico central e de dois perfis de madeira na lateral

41

Figura 32 Detalhe do preenchimento e acabamento dos vos com argamassa.

Figura 33 Vista de montante da execuo do acabamento do perfil da soleira.

42

Figura 34 Detalhe da conexo dos tubos de cobre com as mangueiras plsticas no final do canal.

Figura 35 Quadro de piezmetros com as mangueiras de plstico

43

Figura 36 Detalhe de quadro de piezmetros

Figura 37 Pontas Limnimetricas instaladas sobre a soleira

44

Figura 38 Detalhe da ponta limnimtrica sobre a soleira

45

7. MODELAGEM MATEMTICA

7.1. CLCULO DA LINHA DGUA UTILIZANDO PLANILHA ELETRNICA

A proposta deste item a utilizao dos conceitos hidrulicos, j desenvolvidos anteriormente, para a definio de um algoritmo que permita a obteno, por simulao numrica em planilha eletrnica, de linha dgua para ser comparada correspondente linha observada no modelo fsico.

O primeiro passo para auxiliar no desenvolvimento do algoritmo a identificao dos pontos da superfcie da soleira. Para isto, so utilizados conceitos de trigonometria relacionados como a forma elptica e a circular.

7.1.1. Trecho do arco da Elipse

Neste trecho, utilizam-se conceitos de trigonometria para a determinao dos pontos que compem o trecho elptico da soleira. A seqncia demonstrada a seguir:

Figura 39 - Representao do Raio de Curvatura no Ponto M (xi, yi)

Raio de Curvatura no Ponto M (xi, yi) na Soleira no Trecho Elptico.

2/3

4

2i

4

2i22

i by

a

xbaR

+=

46

Reta Tangente pelo Ponto M (xi, yi)

1yby

xa

x2i

2i

=

+

ou

xaybx

yby 2

i

2i

i

2

=

ou

+

=

i

2

2i

2i

yb

xaybxy

Reta Normal pelo ponto M (xi, yi)

Cxbxay

yi

i +

= 2

2

,

para x = xi, y= yi tem-se:

Cxbxay

y ii

ii +/

/= 2

2

=

= 2

2

i2

2i

i ba1y

bayyC

= 1

bayC 2

2

i

= 1

bayx

bxayy 2

2

i2i

2i

como xi = x1 + (i 1).x a equao para a variao de posio x sobre o arco do trecho elptico, a variao em y fica como a seguir:

22

2i2

i b.a

x1 y

=

2

2i

ia

x1b y =

xi = x1 + (i 1).x e 22i

iia

x1b y ==

47

7.1.2. Trecho Circular da Soleira

Para a representao do trecho circular de soleira necessrio calcular o raio R da circunferncia no ponto C, de juno com o arco de elipse que corresponder crista da soleira. O raio dado pela frmula:

ba

R2

=

Figura 40 - Representao do Raio de Curvatura do Trecho Circular (xi, yi)

48

Para a determinao dos pontos sobre o trecho circular, necessrio determinar-se o valor do cosj. Para isso usa-se a relao:

2

2j a

b - 1

ba

b - 1

Rb

- 1 Rb - R

cos

=

===

=

2

ja

b-1 cos arc

E como o trecho c pode ser expresso por:

j

2

j sen.ba

R.sen c ==

A partir de da expressoba

R2

= , a pela equao anterior tem-se:

=

= 2j a

c.bsen arc

Rc

sen arc

b) - (R - )( cos R y e )(sen R x iiiii ===

Finalmente, para se determinar o nvel dgua, deve-se seguir a seguinte hiptese bsica: A carga hidrulica sobre a linha de corrente que coincide com a superfcie livre constante. Em outras palavras, no h perda de carga no escoamento sobre a soleira, para tal linha de corrente. Nesta condio, a carga dada pela expresso desenvolvida por SOUZA (1985):

2

2o

RN12g

U N.cos E

++= ... (11.1)

mas como

22

22

0

RN1n.R

qU

RN1nR.

qURN1n . R U- q

00

=

=

=

ll

l

49

Incluindo-se esta ltima expresso na equao (11.1), tem-se:

22

2

2

RN1nR

RN12g

q N.cos E

++=

l

... (11.2)

A profundidade, na posio da crista da soleira, ser sempre a profundidade crtica Nc. Para efeito de incio de clculo iterativo, pode-se partir da profundidade crtica para fundo plano yc, ou seja:

ccrticocrista y N N =

Neste ponto, tem-se tambm a cota de fundo na crista igual ao valor de b ( )b = e tangente horizontal ao perfil (crista = 1). Adotando-se a condio crtica com efeito da curvatura, tem-se:

( ) ( )( )[ ]c

c

c

c

3c

20

NJn 1.RN

NJn .NJ-

g.N.cosU

l

l

+

=

onde:

[ ]crticoc

2c

2c

220

c

c

crticoc

RR)N(nJR

qU

1cosRN1J

NN

=

=

=

=

=

l

onde Rc o raio local do perfil da soleira na crista.

( )[ ] ( ) ( )( )[ ]cc

c

c

3c

22

2

NJn 1.RN

NJn .NJ-

..

q

l

l

l+

=

ccc NgNnJR

50

Com as informaes anteriores, da condio crtica do escoamento, pode-se determinar a carga total E, atravs da expresso:

2

2

2

)().(1

.

2gq

N.cos E

++=

NnJNJR l ... (11.3)

com:

1cosRR

RN1)N(J

NNb

c

c

c

c

=

=

=

=

=

Conhecida a vazo especfica q, e determinado o valor da carga total E, pode-se ento calcular o valor da profundidade normal Ni para uma seo genrica i onde se conhea Ri, i e cosi, usando-se a equao (11.3). A incgnita da equao (11.3) a profundidade de escoamento, normal ao fundo do canal N. Portanto, a partir da hiptese bsica proposta no incio deste captulo, que no h perda de carga no escoamento sobre a soleira, pode-se considerar a carga crtica Ec, que foi proposta na crista da soleira, igual a carga Ei em qualquer ponto sobre a soleira. Tem-se a possibilidade de utilizar linguagem de programao para obteno do valor de Ni em qualquer ponto sobre a soleira, segundo as colocaes anteriores.

Figura 41 Representao do perfil da soleira e a profundidade de escoamento normal ao fundo do canal Ni e a profundidade de escoamento crtico Nc normal ao fundo do canal

51

Aps a determinao, o valor de Ni ser somando vetorialmente com o valor da cota de fundo correspondente i para a obteno do perfil da linha dgua. A seguir tem-se o algoritmo utilizado e a seqncia impressa da planilha eletrnica para a simulao de uma seo retangular com carga H de 1 m e largura B de 2 m.

7.1.3. Algoritmo da Soleira Elptica-Circular

1. Dados {H, g, L, q}

2. Calcular: a = 3H; b = 0,75H; c = 4,175H; yc = 2/3H; R = 12H; Nc = yc; 10 = arc sen ( (c/b) / a2 ); = 10 / 10

3. Para i = 0, 1, 2, ... , 10 (Trecho Elptico) 3.1 i := ib / 10 3.2 xi := -SQR (a2 - i2 * a2 / b2) 3.3 Li = xi ; Mi = i

4. Para i = 11, 12, ... , 20 (Trecho Circular) 4.1 10 = arc sen (c / R) 4.2 = 10 / 10 4.3 i := R * cos ((i 10)) (R b) 4.4 xi := R * sen ((i 10)) 4.5 Li = xi ; Mi = i

5. Ec 3yc / 2 (Linha d gua e presses no trecho Elptico) 5.1 Para i = 1, 2, ..., 10 5.1.1 tani := Li2 * b4 / (Mi2 * a4)

5.1.2 cosi := 1 / SQR (1+ tani) 5.1.3 seni := SQR (tan2i * cosi) 5.1.4 Ri := a2 * b2 (xi / a4 + i / b4)(3/2) 5.1.5 Ni = 0,099

5.1.6 2

i

i2i

2

i

i

2

iii

RN

-1n ..RRN

- 1 2g.

q .cosN M

++=

l

frmulaE

52

5.1.7 Solver: variar Ni em Efrmula at que EFrmula Ec = 0 5.1.8 Ni := Ni 5.1.9 Pxi := Li Ni * seni 5.1.10 Lyi := Ni * cosi

5.1.11 2

i2

2

2i

iN

-1..2

q 1

N-1

1 cos N

+=

ii

i

ii

RnRg

R

gP

l

5.1.12 Pxi := xi

5.1.13 Pyi := g

Pi

6. Ec 3yc / 2 (Linha d gua e presses no trecho Circular) 6.1 Para i = 11, 12, ..., 20 6.1.1 i := R * cos ( * i) (R b)

6.1.2 xi := R * sen ( * i) 6.1.3 Ni = 0,099

6.1.6 2

i

i2i

2

i

i

2

iii

RN

-1n ..RRN

- 1 2g.

q .cosN M

++=

l

frmulaE

6.1.7 Solver: variar Ni em Efrmula at que EFrmula Ec = 0 6.1.8 Ni := Ni 6.1.9 Lxi := Li Ni * seni 6.1.10 Lyi := Ni * cosi

6.1.11 2

i2

2

2i

iN

-1..2

q 1

N-1

1 cos N

+=

ii

i

ii

RnRg

R

gP

l

6.1.12 Pxi := xi

6.1.13 Pyi := g

Pi

53

Figura 42 Tela inicial da Planilha Eletrnica de Clculo para Determinao da Linha Dgua

Figura 43 Tela da Planilha Eletrnica de Clculo com os valores do Perfil da Soleira

54

Figura 44 Grfico do Perfil da Soleira Espessa Resultante do Ensaio Terico da Planilha Eletrnica.

Figura 45 - Resultado da Linha dgua Ensaio Terico da Planilha Eletrnica

55

Figura 46 Grfico da Linha dgua

7.2. VALIDAO DO MODELO MATEMTICO

No item 7.1 foi realizada uma simulao terica para um canal de 2 metros de largura e uma carga de 1 m, sendo que foi obtido um resultado aceitvel em termos de comportamento hidrulico sobre a soleira. Ento, a partir das dimenses do modelo real construdo na bancada, foi simulada a linha dgua e confrontada com as leituras das pontas liminimtricas e dos piezmetros.

O procedimento do ensaio comea com a leitura do valor da vazo no canal, no painel da bancada. Aps estabilizar o escoamento so realizadas as leituras das pontas limnimtricas, e posteriormente, as leituras no quadro de piezmetros.

No grfico apresentando os resultados da linha dgua sero colocados os valores coletados nos piezmetros mas, para esta representao, ser necessria a transformao das leituras.

56

A posio xi a mesma da referncia da soleira, mas os valores em Ni necessitam de correo devido forma da soleira, visto que a medio perpendicular soleira e a ao da carga piezomtrica vertical.

A forma cannica de uma reta tem a expresso:

BAxy +=

onde A corresponde inclinao, sendo que a reta tangente pelo ponto M (xi, yi), expresso por:

1yby

xa

x2i

2i

=

+

ento, substituindo-se uma posio genrica do trecho elptico, a equao da reta tangente fica transformada em:

1xa

xyby

2i

2i +

=

ou

i

2

2i

i2

yb

xa.yx.by +

=

Desta ltima forma evidencia-se que a inclinao (tani) da reta tangente no ponto (xi, yi) da soleira :

=

i2

i2

i yaxb

tan

de onde obtm-se:

arctan 22

=

i

ii ya

xb

Obs.: xi com valores negativos e yi com valores positivos.

Em um ponto genrico sobre a soleira, no trecho circular, tem-se:

=

= 2

.

sen Rc

sen a

bcarcarci ,

57

frmula esta que foi desenvolvida anteriormente no captulo 4.

A seguir tem-se um resumo do tratamento dos dados:

a. Linha dgua terica Dados: i, cosi, Ri, q, g E = Ecrtico = constante

Da equao: 22

2

2

112

cos

++=

i

ii

i

i

iii

RN

nRRNg

qNE

l

=> Ni (tericos)

Ni so plotados perpendicularmente soleira

b. Presses tericas Dados: q, cosi, Ri, g, Ni (tericos)

Da equao: 22

2

2

12

1

1

1cos

+=

i

ii

i

i

iii

RN

ngR

q

RN

Ng

p

l

=> g

pi

(tericos)

g

pi

so plotados perpendicularmente soleira

c. Linha dgua experimental Dados: Z0i (leituras com as pontas tocando a soleira) Medidas: Zi (leituras com as pontas tocando o N.A.) Zi Z0i = Ni (experimental) Ni plotados perpendicularmente soleira

d. Presses experimentais Dados: i, hi,ref (Obs.: hi,ref = href + i) Medidas: hi (leituras dos piezmetros)

58

)(,

exprefii

erimental

i hhg

p=

erimental

i

gp

exp

so plotados perpendicularmente soleira

Tabela 1 Dados de Linha dgua e Presses Ensaio Q= 220 m3/h

x(i) y(i) x(i) y(i) x(i) y(i) x(i) y(i)-0,6039 0,3444 -0,6039 0,3381 -0,6009 0,3338 -0,5959 0,3162-0,3857 0,3339 -0,3857 0,3296 -0,3844 0,3246 -0,3827 0,3134-0,1896 0,3227 -0,1896 0,3189 -0,1891 0,3150 -0,1882 0,30070,0000 0,3157 0,0000 0,3119 0,0000 0,2952 0,0000 0,28300,1291 0,2712 0,1291 0,2656 0,1294 0,2785 0,1288 0,25950,2575 0,2550 0,2575 0,2489 0,2579 0,2594 0,2568 0,24210,5123 0,2061 0,5123 0,1986 0,5126 0,2079 0,5098 0,18950,7653 0,1374 0,7653 0,1284 0,7653 0,1373 0,7610 0,1204

Terico Experimentalgua presso gua presso

59

Figura 47 Formulrio para anotao dos Ensaios

60

Figura 48 Grfico: Linha dgua terica X Linha dgua experimental Ensaio Q=220 m3/h

61

Figura 49 Grfico: Presses tericas X Presses Experimentais Ensaio Q=220 m3/h

62

Figura 50 Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Terico

63

Figura 51 - Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h - Experimental

64

Figura 52 Grfico: Linha dgua e Presses Ensaio Q=220 m3/h

65

8. ANLISE DE INCERTEZAS PARA CQ

A anlise de incerteza um procedimento usado para quantificar a validade dos dados e a sua preciso nos resultados de testes experimentais que sero utilizados na elaborao e anlise de projetos de engenharia. Ser discutida a incerteza nos dados coletados e o seu percentual nos resultados, conforme procedimento sugerido por FOX (1998). Neste experimento foram feitas leituras de vazo em um sensor tipo eletromagntico com resoluo de leitura de 1m3/h, com erro mximo relativo de 6,6% para vazes baixas (15 m3/h) a 0,5% para a maior vazo utilizada (200 m3/h). As cotas de superfcie de gua foram medidas com ponta limnimtrica com resoluo de 0,05 mm mas, devido oscilao no escoamento que cria dificuldade de ajuste, adota-se uma incerteza de 1 mm. A medio da largura do canal (B), realizada com rgua metlica, sendo de 0,002 m a incerteza desta medio.

O resultado a ser discutido neste trabalho ser associado incerteza do coeficiente de vazo da soleira que ser a base para anlise e comparaes entre os tipos de soleira espessa. A frmula a ser a analisada a seguinte:

HgHBCQ Q ..2...=

onde:

Q = vazo (m3/s); CQ= coeficiente de vazo;

B = largura do canal (m); H = profundidade a montante em relao crista (m). Reescrevendo-se a frmula, tem-se:

2/311....2

..2..

== HBQgCHgHB

QC QQ

66

Diferenciando-se a expresso anterior do coeficiente de vazo, tem-se:

HH

CB

BCQQ

CC QQQQ

+

+

= ... (12.1)

dividindo-se a equao (12.1) por CQ, tem-se:

HH

CC1B

BC

C1QQ

CC1

CC Q

Q

Q

Q

Q

QQ

Q

+

+

=

A expresso anterior pode ainda ser apresentada como:

HH

HC

CH

BB

BC

CB

QQ

QC

CQ

CC Q

Q

Q

Q

Q

QQ

Q

+

+

=

... (12.2)

como tem-se:

2/321BHgQ

CQ=

... (12.3)

22/32 BHgQ

BCQ

=

... (12.4)

2/52.

23

BHgQ

HCQ

=

... (12.5)

Com a substituio das expresses (12.3), (12.4) e (12.5) na equao (12.2) obtm-se:

HH

BHgQ

CH

BB

BHgQ

CB

QQ

BHgCQ

CC

QQQQ

Q ++= 2/522/32/3 2.

23

221

ou ainda:

=

HH

BHgCQ

BB

BHgCQ

QQ

BHgCQ

CC

QQQQ

Q2/32/32/3 2

.

23

221

... (12.6)

A incerteza relativa CQ/CQ pode ser ento definida como sendo a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os termos do segundo membro, atribuindo sinal positivo ou negativo.

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2/12

2/3

2

2/3

2

2/3 2.

23

22

+

+

=

HH

BHgCQ

BB

BHgCQ

QQ

BHgCQ

CC

QQQQ

Q ... (12.7)

A expresso: 2/32 BHgC

QQ

pode ser denotada por C, o que permite a obteno de

uma expresso mais compacta:

2/1222

Q

Q

HH

.C23

BB

.CQQ

.CCC

+

+

= ... (12.8)

A tabela 2, a seguir mostra os clculos de incerteza de alguns ensaios, nota-se que os valores de CQ/CQ so muito pequenos, prximos de zero.

Tabela 2 Exemplo de clculo de incertezas nos ensaios laboratoriais

Na figura 53 tem-se o grfico da CQ/CQ (incerteza relativa do coeficiente de vazo) por Qi/Qmax (vazo adimensional), o qual pemite conclui-se que a incerteza maior nas pequenas medies de vazo e torna-se pequena com o aumento das vazes

Q (m3/h) Q (m3/s) LP H H-3/2 CQ Q/Q B B/B H H/H C CQ/CQ Qi/Qmax21 0,00583 0,2565 0,0765 47,262 0,1245 0,064 0,002 0,004 0,001 0,0131 1,0000 0,067056 0,0886147 0,01306 0,2802 0,1002 31,528 0,1859 0,056 0,002 0,004 0,001 0,0100 1,0000 0,058104 0,19831104 0,02889 0,3057 0,1257 22,439 0,2927 0,038 0,002 0,004 0,001 0,0080 1,0000 0,040030 0,43882199 0,05528 0,3620 0,1820 12,879 0,3215 0,006 0,002 0,004 0,001 0,0055 1,0000 0,010951 0,83966237 0,06583 0,3976 0,2176 9,8517 0,2929 0,001 0,002 0,004 0,001 0,0046 1,0000 0,008032 1,00000

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Figura 53 Grfico CQ/CQ (incerteza relativa do coeficiente de vazo) por Qi/Qmax (vazo adimensional)

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9. RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Os experimentos foram realizados na bancada do Laboratrio de Hidrulica da Escola Politcnica, descrita no captulo 5. Como, o sensor eletromagntico para medio de vazo no havia sido aferido recentemente e, como se trata de um dado extremamente relevante para nosso estudo, foram realizadas medies de velocidades no canal, que propiciaram estimativas de vazes para serem confrontadas com as indicadas pelo medidor eletromagntico.

9.1. AFERIO DO SENSOR ELETROMAGNTICO DE VAZO

Para a aferio (no sentido mais de uma verificao) do sensor eletromagntico foi utilizado um micro-molinete desenvolvido pelo Centro Tecnolgico de Hidrulica para obteno das velocidades e foi utilizado o mtodo de Chiu para clculo da vazo no canal de ensaios. A seguir tem-se uma descrio do equipamento e mtodo do clculo da vazo:

9.1.1. Micro-Molinete

O micro-molinete composto da haste suporte, (figura 54) que contm um rotor de PVC montado sobre um coxim cnico pequeno de safiras.

A ponta est fixada a um tubo inoxidvel que contm um fio de ouro isolado, cujo extremo se acha a uma distncia aproximada de 0,1 mm dos bordos das ps da hlice.

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Figura 54 Micro-molinete rotor e conjunto

Cada hlice possui uma equao para a determinao da velocidade, que determinada por expresso do tipo: A + B.n, onde A e B so constantes e n a razo entre o nmero de rotaes pelo tempo em segundos pr-determinado pelo operador em um contador. A contagem do nmero de rotaes efetuada a partir da passagem de uma das ps da hlice pela posio vertical superior.

As medies de velocidades foram realizadas no centro de canal, a oito metros a montante da soleira espessa e nas seguintes profundidades: a 10 mm abaixo da superfcie; a 0,8; a 0,6; a 0,5; a 0,4; a 0,2 da profundade total e a 10 mm acima do fundo do canal. A seguir, tem-se dois exemplos de coleta de dados:

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Data 26/09/2007 Horrio: 13:00Medidor 21 m3/h 0,00583 m3/hMicro-molinete

Zp= 671 mm h= 907,5 mm 236,5 mmmed rot Vel(cm/s) Vel(m/s)

Sup= 907,5 mm 76 78 76 76 76,5 4,295 0,04300,2= 860,2 mm 79 76 80 78 78,3 4,329 0,04330,4= 812,9 mm 76 78 76 79 77,3 4,310 0,04310,5= 789,3 mm 80 73 78 75 76,5 4,295 0,04300,6= 765,6 mm 75 77 75 77 76,0 4,286 0,04290,8= 718,3 mm 83 84 83 82 83,0 4,419 0,0442

fundo= 671,0 mm 39 34 32 36 35,3 3,508 0,0351

Data 28/09/2007 Horrio: 07:00Medidor 232 m3/h 0,06444 m3/hMicro-molinete

Zp= 671 mm h= 1046,5 mm 375,5 mmmed rot