MOVIMENTO CIRCULAR

Movimento circular uniforme Vetor posição Velocidade angular Período e frequência Aceleração centrípeta Movimento circular uniformemente acelerado Aceleração angular Aceleração total

MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES

Vetor posição Velocidade Aceleração

1

2

MOVIMENTO CIRCULAR

333

No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direção muda continuamente

Movimento de satélites artificiais

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Exemplos:

Pontos de um disco num gira discos

Pontos de um disco rígido de computador

Ponteiros de um relógio

As pessoas girando com o movimento da Terra

44

Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares

Movimento circular uniforme MCU

x

y

r

xe

ye

Vetor posição

r e

x

y

r

xe

ye

cosr

sinr

yx ererr

sin cos

rr

onde

55

O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:

x s

dr

rs

drds

O arco descrito em é dado pords d

x

y

r S

666

v

v

A

B

ca

ca

• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade

O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória da partícula e é perpendicular ao raio da trajetória

• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo

Demonstraremos que

r

No movimento circular uniforme

77

O movimento circular é um movimento periódico

O tempo de uma volta completa é o período T

o tempo que demora para descrever um ângulo de 2

A velocidade angular é T

2

No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante

A unidade da velocidade angular é 1s rad

ou f 2 onde f é a frequência

A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)

t

888

x

y

r

xe

ye

A velocidade da partícula é a

derivada em ordem ao tempo de rv

dt

d

O módulo da velocidade é

Relaciona a velocidade angular velocidade linear v

22222 )cos(sin rrv

rv

porque

)cos(sincossin 2222222222 rrr

v

yx ererr

sin cos

yx edt

dre

dt

dr

dt

rdv

cossin

yx ererv

cos sin

mas

rerervv yx

cos sin

cos

sin

rv

rv

y

xv

xv

yv

99

Como , é constante.

O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direção varia

O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a

direção da velocidade

A aceleração é

Observe que :

É a aceleração centrípeta que faz variar o vetor velocidade !

a aceleração está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta

yx ererdt

d

dt

vda

cos sin

yx ererv

cos sin

yx e

dt

dre

dt

dr

sin cos

r 2

rv

) sin cos( yx ererr

ra

2 ra 2ou

a direção da aceleração tem sentido inverso ao do vetor posição

10

Vetor posição Vetor aceleração centrípeta

1111

O módulo da aceleração centrípeta é

como r

vrv

v

v

A

B

ca

ca

rac

2

rac2

r

vac

2

rr

vr

r

vrac 2

222

Substituindo em ca

12

Exemplo 1: Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.

r

vac

2

1

r

vac 2

2

2

Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?

13

Exemplo 2. Um astronauta está numa centrífuga horizontal de raio de 6.0 m.

a) Qual o módulo da velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta possui um módulo de 7g, onde g é a aceleração da gravidade

b) Quantas rotações por minuto são necessárias para produzir esta aceleração

c) Qual é o período do movimento

r

vac

2

8.976 crav

É a frequência:

r

vffrrv

22

62

603.2060

2 rv

f

rpm 32

601

fT

m/s 3.20v

rpm 32f

s 9.1T

141414

Exemplo 3. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?

A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(

-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(

A aceleração centrípeta será

-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac

15

Exemplo3 : MCU

16

Vetor posição

yx ererr

sin cos

Vetor velocidade

yx ererv

cos sin

No movimento circular uniforme (MCU)

rac 2

Aceleração centrípeta

171717

Como , a velocidade angular também não é constante.

é a aceleração tangencial e tem a mesma direção do vetor velocidade

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v

A aceleração é

rv

onde é a aceleração angular

ta

v

ca

tav

yx ererdt

d

dt

vda

cos sin

yx e

dt

dre

dt

dr

sin cos

dt

derer yx

cos sin

yx ererra

cos sin2

tc aaa

dt

d

rat

181818

ta

a

ca

Módulo da aceleração total

Quando a aceleração angular é constante podemos obter

22tc aaaa

const

t 0

200 2

1tt

19191919

MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES

zyx ezeyexr

Para um movimento em três dimensões o vetor posição é

zzyyxx evevevv

A velocidade é

zzyyxx eaeaeaa

A aceleração é

r

xe

ye

ze

x

z

y

zmzymyxmx evevevv

A velocidade média é

zmzymyxmx eaeaeaa

A aceleração média é