MovimentoCircularUniforme

Prof.MarcoSimões

Radiano•  Éaaberturaangularcorrespondenteaumarcoigualaoraiodacircunferência

(gifanimado;cliqueparainiciar)

Radiano•  Éaaberturaangularcorrespondenteaumarcoigualaoraiodacircunferência

Radiano•  Onúmeroderadianoscorrespondeaonúmeroderaiosnoperímetrodacircunferência.

1rad − rϕ rad − s

s ⋅1= r ⋅ϕ

s =ϕ ⋅rEx.:numacircunferênciade10cmderaio,3radianosrepresentamumpercursode30cm

Relaçãograus-radianos

Para1volta completa⇒ s =2πr (perímetrodacircunferência)Mas s =ϕrPortantoϕr =2πr⇒ϕ =2πOuseja,1volta=2π radComo1volta completa=360°360°=2πrad

Daí:180°=π rad

90°=π2 rad

Conversãoradianosxgraus•  Converter30°pararadianos

•  Converterparagraus

•  Converter1,33radparagraus

π rad −180°ϕ rad −30°

2π3 rad

ϕ = 30⋅π180 =0,524 rad

π rad −180°2π3 rad −α°

α = 180⋅2⋅π3⋅π =120°

π rad −180°1,33rad −α°

α = 180⋅1,33π

=76,2°

Períodoefrequência•  Fenômenosperiódicos:repetem-seemintervalosdetempos

sucessivoseiguais•  Ciclo:cadaumadasrepeOções•  Período:tempodecadarepeOção

–  Unidade:segundos,minutos,horas

•  Frequência:númeroderepeOçõesporunidadedetempo.–  Unidade:Hz(ciclos/segundo),rpm

–  Relação:

f ⋅T =1

Exemplos•  Umarodagiraa120rpm.CalculesuafrequênciaemHzeseuperíodoems

f = 12060 =2Hz

T = 1f= 12 =0,5 s

Exemplo•  Umpontoleva5segundosparacompletarumatrajetóriacircular.CalculeafrequênciaemHzeemrpm.

T =5 s

f = 1T= 15 =0,2Hz

f =0,2⋅60=12rpm

Exemplo•  Umpontocompleta60voltasdeumatrajetóriacircularem2minutos.CalculeafrequênciaemHzeoperíodoems.

f = 602 =30rpm

f = 3060 =0,5Hz

T = 1f= 10,5 =2 s

Espaçoangularxespaçolinear

φ – deslocamento angular, radianos

s – deslocamento linear, metros

Relaçãoentreosdois⇒ s =ϕ ir

MCU–MovimentoCircularUniforme

•  Éomovimentodeumapar\culanumatrajetóriacircular

•  Avelocidadeangulareavelocidadelinearsãoconstantes

•  Nãoháaceleraçãotangencial

Velocidadeangular

ω =ϕ −ϕ0Δt

= ΔϕΔt

rad/sSe Δϕ =1volta, isto é ,2π :

ω=2πT

=2π f

Avelocidadeangularéexpressaemrad/s.Nãodependedoraio.

Posiçãoangular

Considerandoqueω =ϕ −ϕ0Δt

Então, ω ⋅Δt =ϕ −ϕ0

ϕ −ϕ0 =ω ⋅Δtϕ =ϕ0 +ω ⋅Δt

Exemplo•  UmdiscodevinilgiraaN=33,33rpm.Qualsuavelocidadeangular?

f = N60⇒ f = 33,3360 ⇒ f =0,556Hz = rot

seg⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω =2π f =2π ⋅0,556=3,49 rads

Exemplo•  Umarodagiganteleva2minutosparacompletarumavolta.

Qualsuavelocidadeangular?ConsiderandoqueelagiranosenOdohorário,emqueposiçãoangularestaráumcarrinhoaparOrdaplataformadeembarquedepoisde50segundos?

α

Resolução

PeríodoT =2min⇒T =2⋅60=120 s

Velocidade angular⇒ω = 2πT

= 2π120 =

π60 =0,052

rads

Posição⇒ϕ =ϕ0 +ω ⋅Δt =0+ π60 ⋅50=

5π6 rad

180!→ π

α → 5π6

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒α ⋅π = 180! ⋅5π6 ⇒α =150!

Velocidadelinear•  Omódulodavelocidadelinear(ouescalaroutangencial)éa

distânciapercorridapelapar\culadivididapelotempoquelevouparapercorrer.

Comov = ΔsΔt

Ecomos =ϕ ⋅r⇒Δs = Δϕ ⋅r

Fazemosv = Δϕ ⋅rΔt

Comoω=ΔϕΔt

Fazemosv =ω ⋅rv =ω ⋅r

Velocidadelinear

Avelocidadelineardependedoraio.

Paraamesmavelocidadeangular,quantomaiororaio,maioravelocidadelinear

Exemplo•  Umdiscodevinilde31cmdediâmetrogiraa33,33rpm.

Qualavelocidadelinearnabordadodisco?Qualavelocidadelinearnatrilhafinal,deraio5,5cm

f = N60⇒ f = 33,3360 ⇒ f = 0,556Hz = rot

s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω =2π f =2π ⋅0,556=3,49 rads

(velocidadeangular)

Borda⇒ v =ωr⇒ v =3,49⋅0,312 =0,54ms

Trilhainterna⇒ v =ωr⇒ v =3,49⋅0,055=0,19ms

Exemplo•  Umarodagigantede40metrosdediâmetroleva2minutosparacompletarumavolta.Qualavelocidadeescalardoscarrinhos?

PeríodoT =2min⇒T =2⋅60=120 s

ω = 2πT

= 2π120 =0,052

rads

v =ω ⋅r =0,052⋅402 =1,04ms

TransmissõesqueusamMCU

Rodasecorreiasdentadas

EngrenagensPoliasecorreias

Rodasdecontato

Relaçãodetransmissão

•  Lisa->usarraiooudiâmetro

•  Dentada->usarnúmerodedentes

Avelocidade tangencialdaspoliaséamesma.Comov =ω ⋅r

ω1 ⋅r1 =ω2 ⋅r2⇒2π f1 ⋅r1 =2π f2 ⋅r2⇒2π N160 ⋅r1 =2π

N260 ⋅r2

N1 ⋅r1 =N2 ⋅r2 ⇔N1 ⋅d1 =N2 ⋅d2

d1d2

Exemplo•  Umapoliade100mmdeummotorgiraa600rpm.Qualarotaçãodapoliade300mmmovidapelomotor?

N1 ⋅d1 =N2 ⋅d2600⋅100=ω2 ⋅300

N2 =600⋅100300 =200rpm

Exemplo•  Umabicicletanumacertamarchatem30dentesna

engrenagemdianteirae15nacatraca.Arodadabicicletatem66cmdediâmetro.Quantoelaavançaacadapedalada?

N1 in1 =N2 in2N1N2

=n2n1

N1N2

= 1530 =12

N2 =2N1 (istoé,paracadapedaladaarodagiraduasvezes)

Perímetrodaroda⇒ P =2⋅π ⋅r⇒ P =2⋅π ⋅0,662 ⇒ P =2,07mDeslocamentoporpedalada⇒D=2⋅2,07= 4,14m

(1) (2)

Aceleraçãocentrípeta•  Amudançadedireçãodovetorvelocidadeécausadapelaaceleraçãocentrípeta

ac!"!

= v2

r=ω 2 ⋅r

Fc!"!

=m⋅ ac!"!

⇒ Fc =m⋅v2

r

Aforçaeaaceleraçãocentrípetassempreapontamparaocentro.

Exemplo�  Umaesferade200gpresaporumfiode30cmégirada5vezesporsegundo.Calculeoperíodo,afrequência,avelocidadeangular,avelocidadetangencial,aaceleraçãocentrípetaeaforçadetraçãosobreofio.

Massadaesfera=200g=0,2kgRaio=30cm=0,3m

Resolução

Frequência⇒ f =5 voltass

Período⇒T = 1f= 15 =0,2s

ω =2π f =2π ⋅5=31,4 rads

v =ω ⋅r =31,4 ⋅0,3= 9,42ms

ac =v2

r= 9,42

2

0,3 =296 ms2

Fc =m⋅ac =0,2⋅296=59,2N

Exemplo•  Umblocode0,2kgestásobreumdiscoa8cmdocentro.OcoeficientedeatritoestáOcoéde0,5.QualamaiorrotaçãoqueodiscopodeaOngirsemqueoblocosemova?

N!"

= P!"=m⋅ g=0,2⋅9,81=1,96N

Fat = µ ⋅N =0,5⋅1,96=0,98NFc ≤ Fat (aforçacentrípeta*podesernomáximoigualàdeatrito)

Fc =m⋅acp ⇒acp =Fcm

= 0,980,2 = 4,9ms2

acp =v2

r⇒ v = acp ⋅r ⇒ v = 4,9⋅0,08⇒ v =0,626m

s

v =ω ⋅r⇒ω = vr⇒ω = 0,6260,08 =7,83rad

s

ω =2π f ⇒ f = ω2π ⇒ f = 7,832π =1,25Hz

f =1,25⋅60=74,8 rpm

Resolução

*arigor,seriaaforçacentrífuga,quenessecasotemomesmomóduloqueacentrípeta

MCU-Resumo