111 no movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda...
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111
No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente
Movimento de satélites artificiais
Movimento circular uniforme
Exemplos:
Pontos de um disco num gira discosPontos de um disco rígido de computador
Ponteiros de um relógio
As pessoas girando com o movimento da Terra
22
Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares
Movimento circular uniforme MCU
x
y
r
xe
ye
Vector posição
r e
x
y
r
xe
ye
cosr
sinryx ererr sin cos
rr onde
33
O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:
x s
dr
rs
drds
O arco descrito em é dado pords d
x
y
r S
444
v
v
A
B
ca
ca
• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade
O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória
• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo
Demonstraremos que
r
No movimento circular uniforme
55
O movimento circular é um movimento periódico
O tempo de uma volta completa é o período T
o tempo que demora para descrever um ângulo de 2
A velocidade angular é T
2
No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante
A unidade da velocidade angular é 1s rad
ou f 2 onde f é a frequência
A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)
t
666
x
y
r
xe
ye
A velocidade da partícula é a
derivada em ordem ao tempo de rv
dtd
O módulo da velocidade é
Relaciona a velocidade angular velocidade linear v
22222 )cos(sin rrv
rv
porque
)cos(sincossin 2222222222 rrr
v
yx ererr sin cos
yx edtdre
dtdr
dtrdv
cossin
yx ererv cos sin
mas
rerervv yx cos sin
cossin
rvrv
y
xv
xv
yv
77
Como , é constante.
O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia
O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a
direcção da velocidade
A aceleração é
Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição
É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade
Está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta
yx ererdtd
dtvda
cos sin
yx ererv cos sin
yx e
dtdre
dtdr sin cos r 2
rv
) sin cos( yx ererr
88
O módulo da aceleração centrípeta é
como rv
v
v
A
B
ca
ca
rac
2
rac2
rvac
2
9
Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.
rvac
2
1
rvac 2
2
2
Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?
101010
Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?
A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(
-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(
A aceleração centrípeta será
-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac
11
Exemplos de MCU
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Vector posição
yx ererr sin cos
Vector velocidade
yx ererv cos sin
No movimento circular uniforme (MCU)
131313
Como , a velocidade angular também não é constante.
é a aceleração tangencial e tem a mesma direcção do vector velocidade
Movimento circular uniformemente variado
No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v
A aceleração é
rv
onde é a aceleração angular
ta
v
ca
tav
yx ererdtd
dtvda
cos sin
yx e
dtdre
dtdr sin cos
dtderer yx
cos sin
r2 yx erer cos sin
tc aaa
dtd
rat
141414
ta
a
ca
Módulo da aceleração total
Quando a aceleração angular é constante podemos obter
22tc aaaa
const
t 0
200 2
1 tt
1515
b) Sabendo que a velocidade da partícula é e calcule a aceleração da partícula.
Exemplo 14. Um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em unidades SI):
y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0
x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5
)3()6( rrr a) Calcular
em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m
m)3 21(
) m 23 m 17() m 26 m 38()3()6(
yx
yxyx
ee
eeeerrr
2
2
m/s0.2100.2
m/s4.0)0.5 4.0(
tdtd
dtdv
a
tdtd
dtdv
a
yy
xx
2m/s) 0.24.0( yx eea
m/s 0.5 4.0 tvx m/s 10 0.2 tvy
222 m/s0.22.4 yx aaaa
O módulo da aceleração e ângulo
0.54.00.2
x
y
aa
tg o79 15