sid.inpe.br/mtc-m19/2011/11.22.18.25-PUD

SATELITES ARTIFICIAIS - MOVIMENTO ORBITAL

Helio Koiti Kuga

Valdemir Carrara

Kondapalli Rama Rao

URL do documento original:

INPE

Sao Jose dos Campos

2011

PUBLICADO POR:

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE

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SATELITES ARTIFICIAIS - MOVIMENTO ORBITAL

Helio Koiti Kuga

Valdemir Carrara

Kondapalli Rama Rao

URL do documento original:

INPE

Sao Jose dos Campos

2011

iii

RESUMO

Este trabalho foi preparado visando fornecer um suporte didtico e acadmico disciplina de Satlites Artificiais Movimento Orbital, do curso de Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaciais, modalidade Mecnica Espacial e Controle. Ela foi escrita e atualizada diversas vezes por diferentes colaboradores. Na verso atual deu-se especial ateno aos efeitos perturbadores que agem nas rbitas baixas de satlites terrestres, como o arrasto atmosfrico, presso de radiao e distores gravitacionais, entre outros. A modelagem apresentada aqui ir permitir ao estudante compreender o fenmeno fsico, bem como implementar computacionalmente estes modelos para uma eventual simulao do movimento orbital. O assunto exposto neste documento vasto, e de forma alguma a sua totalidade abordada aqui. Espera-se, no futuro, incorporar outros efeitos perturbadores, e incluir modelos mais recentes e mais precisos daqueles j conhecidos.

iv

v

ARTIFICIAL SATELLITES ORBITAL MOTION

ABSTRACT

This work was written to support the academic activities of the Artificial Satellites Orbital Motion class, for the MSc Space Engineering and Technology degree, Space Mechanics and Control option. It has been updated several times by different collaborators. This version received inclusions in the environmental orbital perturbations acting on low Earth orbits, as, for instance, the atmospheric drag, the solar radiation pressure and Earths gravity field, among others. The mathematical model of perturbations was included in order to allow the student to understand the physical principle acting on the orbit, as well as to allow him to implement it on a computer to perform orbit simulation or propagation. The knowledge area of the orbital motion is large, so this document cant cover it totally. However, it is expected that, in future, several other orbital disturbances can be included here, together with updated and more precise models.

vi

vii

SUMRIO

Pg.

1 INTRODUO........................................................................................................ 1 2 FORAS DE ORIGEM GRAVITACIONAL ......................................................... 3 2.1 Introduo............................................................................................................. 3 2.2 Expresso para o Geopotencial ............................................................................ 4 2.3 Representao dos Harmnicos Esfricos............................................................ 6 2.4 Potencial Gravitacional Terrestre ....................................................................... 16 2.5 Frmulas Recursivas para Clculo do Geopotencial .......................................... 18 2.6 Normalizao de Coeficientes e Polinmios ...................................................... 19 2.7 Representao Convencional.............................................................................. 21 2.8 Representao Uniforme .................................................................................... 23 2.9 Problemas ........................................................................................................... 24 3 FORAS PERTURBADORAS ............................................................................. 27 3.1 Introduo........................................................................................................... 27 3.2 Fora Gravitacional Devida ao Potencial do Corpo ........................................... 27 3.2.1 Efeito Devido No-Esfericidade da Terra ................................................... 34 3.3 Atrao gravitacional do Sol e da Lua ............................................................... 35 3.3.1 Efeito da Atrao Gravitacional do Sol e Lua................................................ 36 3.4 Foras de Mars Devidas Lua e ao Sol............................................................ 36 3.5 Fora de Arrasto ................................................................................................. 38 3.5.1 Relao rea-sobre-massa............................................................................... 40 3.5.2 O coeficiente de arrasto .................................................................................. 41 3.5.3 Densidade atmosfrica.................................................................................... 45 3.5.4 Modelos atmosfricos..................................................................................... 51 3.6 Foras de Presso de Radiao Solar ................................................................. 52 3.6.1 Coeficiente de presso de radiao................................................................. 54 3.7 Albedo e radiao terrestre ................................................................................. 60 3.8 Equao Geral das Foras que Atuam no Satlite.............................................. 61 3.9 Problemas ........................................................................................................... 62 4 MTODOS ANALTICOS DE PERTURBAO ............................................... 63 4.1 Introduo........................................................................................................... 63 4.2 Mtodo de Brouwer ............................................................................................ 63 4.3 Mtodo de Von Zeipel........................................................................................ 67 5 MTODOS SEMI-ANALTICOS DE PERTURBAO .................................... 69 5.1 Introduo........................................................................................................... 69 5.2 Equaes de Movimento .................................................................................... 69 5.3 Foras Perturbadoras .......................................................................................... 71 5.3.1 A Funo Potencial Gravitacional da Terra ................................................... 71 5.3.2 O Arrasto Atmosfrico ................................................................................... 71 5.3.3 A Funo Gravitacional de Outros Corpos .................................................... 72

viii

5.4 Mtodos de Soluo: Mtodo de Mdias ........................................................... 72 APNDICE A TABELAS DE POLINMIOS DE LEGENDRE.............................. 81 APNDICE B FLUXO SOLAR E ATIVIDADE GEOMAGNTICA....................... 87 B.1 Fluxo Solar............................................................................................................ 87 B.2 Atividade geomagntica ....................................................................................... 87 B.3 Nmero de manchas solares.................................................................................. 87 B.4 Arquivo de dados .................................................................................................. 88

1

1 INTRODUO

Os satlites artificiais terrestres so empregados em diversas atividades, entre elas a observao da Terra, o monitoramento do clima, o estudo da atmosfera e do campo magntico terrestre, e tambm como elo em telecomunicaes. Todas estas atividades requerem que se tenha uma superviso do satlite aps ter sido lanado. atravs desta comunicao estabelecida entre uma base de apoio e o satlite que se pode saber como est o funcionamento dos equipamentos de bordo. A forma de comunicao baseia-se na transmisso e recepo de cdigos, chamado de telemetria e telecomando, que os equipamentos do satlite entendem e interpretam corretamente. Para que possam funcionar, contudo, necessitam de energia eltrica, suprida por baterias ou por gerao em painis fotovoltaicos. As baterias podem suprir uma grande quantidade limitada de energia, por isso somente so empregadas em conjunto com os painis, para armazenar a energia excedente. Por sua vez, os painis apresentam baixo rendimento de converso, e para alimentar um simples ferro de passar roupa seria necessrio um painel de 4 por 6 metros. Considerando ainda o custo elevado das clulas solares, resta a soluo de transmitir sinais para o satlite com a mxima potncia (para que no seja necessrio amplificar muito o sinal) e transmitir do satlite com a mnima potncia, o que obriga ao receptor em Terra a possuir um ganho elevado. Isto implica em utilizar antenas parablicas de grande dimetro e alta potncia, que precisam ser apontadas com grande preciso para a posio do satlite e acompanhar seu movimento em rbita, j que um erro de apenas 0.5 grau no apontamento dessas antenas pode fazer com que o sinal j no seja recebido. Como conseqncia, a rbita deve ser conhecida com grande preciso, para que, a cada instante, a posio do satlite possa ser prevista e assim evitar perdas de comunicao. Conclui-se, portanto, que o conhecimento do comportamento da rbita vital para o sucesso da misso.

O movimento em rbita dos satlites artificiais terrestres resulta numa elipse de tamanho e excentricidade constantes num plano fixo. Caso o movimento orbital no fosse perturbado, o satlite permaneceria nessa rbita indefinidamente. Entre os principais efeitos que fazem com que a rbita altere-se com o tempo esto a no homogeneidade da massa da Terra, alm do seu achatamento, e tambm efeitos decorrentes do arrasto atmosfrico e perturbaes gravitacionais de outros corpos, notadamente da Lua e do Sol.

As perturbaes decorrentes da no-esfericidade do campo gravitacional terrestre sero estudadas no prximo captulo deste curso. Cabe salientar, entretanto, que o modelo do campo gravitacional terrestre no era bem conhecido na poca do lanamento do primeiro satlite artificial, em 1957. Era razoavelmente conhecido somente o coeficiente do harmnico esfrico de grau 2, que caracteriza o achatamento dos plos da Terra. Os primeiros aprimoramentos no modelo do potencial consideravam uma distribuio de massa simtrica e uniforme em relao ao eixo de rotao da Terra, e com isso tornou-se possvel calcular os coeficientes de grau 4 e 6. A este modelo foi adicionada uma fora de arrasto com a densidade puramente dependente da altitude que provocava um decaimento exponencial na altitude da rbita. Modelos desse tipo conduziam a erros da

2

ordem de 5 a 10 km na determinao da posio do satlite, ou seja, um erro angular da ordem de 0,05.

No decorrer de tempo, observaes realizadas nas rbitas dos satlites artificiais possibilitaram o clculo de novos coeficientes do campo gravitacional e o melhoramento do modelo de arrasto. Tambm foram introduzidas perturbaes devidas atrao do Sol e da Lua, presso radiao solar, etc. Os modelos mais sofisticados existentes atualmente levam em conta foras de mars terrestres, atrao do Sol e da Lua, utilizam um grande nmero de coeficientes para o campo gravitacional terrestre, e usam integradores de boa preciso numrica. Com estes efeitos includos, os erros ficam da ordem de apenas alguns centmetros. O 3 captulo deste curso apresenta alguns modelos matemticos para as foras perturbadoras que atuam nos satlites.

O 4o captulo trata dos mtodos analticos clssicos de anlise e propagao de rbita, e o 5 captulo explica os mtodos semi-analticos de propagao orbital incluindo alguns efeitos de perturbao. Finalmente, no 6 captulo so descritos os mtodos numricos existentes.

3

2 FORAS DE ORIGEM GRAVITACIONAL

Um satlite ao redor da Terra fica sujeito a diversas foras, das quais a fora predominante de origem gravitacional. Se a Terra fosse perfeitamente esfrica e homognea a rbita resultante seria uma elipse. Porm, devido a diferenas na homogeneidade de distribuio de massa e tambm forma no esfrica da Terra, a forma da rbita ir apresentar deformaes com relao elipse. Neste captulo ser apresentada a formulao que permite descrever o potencial gravitacional para um corpo no esfrico ou no homogneo.

2.1 Introduo

Pela lei gravitacional de Newton, um corpo pontual de massa m atrado pela massa M por uma fora dada por:

2 ( )GMm

rr

=F r , (2.1)

onde G = 6.6720 10-11 m3/(kg s2) a constante gravitacional universal e r a distncia entre as duas massas. A fora gravitacional atrativa, e atua na direo do raio vetor unitrio r entre as duas massas. O potencial correspondente criado pela massa M dado por:

GMUr

= . (2.2)

A fora, agora, pode ser expressa na forma de um gradiente do potencial, ou seja:

Um m U

r

= =

F . (2.3)

Esta definio mais antiga do que a da energia potencial e os astrnomos usaram esta definio sem conhecer o significado da energia potencial (Baker et al.). Posteriormente perceberam que U proporcional ao negativo da energia potencial para uma massa unitria. U tambm chamado potencial de fora. Portanto, sendo V a energia potencial, na astronomia e na mecnica celeste comum usar-se:

GMV Ur

= = (2.4)

Quando se trata de uma distribuio de massa atraindo uma partcula, deve-se considerar a atrao que cada elemento de massa de distribuio dM (= dV) exerce

4

sobre a massa de prova, e assim o potencial total de atrao da distribuio sobre a partcula pode ser dada por (veja-se a Figura 2.1):

V

dVU Gr

= , (2.5)

onde a densidade e dV um pequeno diferencial de volume. A integral deve ser realizada sobre todo o volume do corpo de massa M. A distncia r que posiciona o ponto P onde o potencial calculado obtida de:

2 2 2( ) ( ) ( )r x x y y z z = + + . (2.6)

Figura 2.1 Potencial gravitacional num ponto P, devido ao da massa dM.

2.2 Expresso para o Geopotencial

Considere agora dois pontos P e P dados pelas suas coordenadas esfricas P(r, , ) e P(r, , ), conforme mostrado na Figura 2.2, onde r a distncia origem, a co-latitude e a longitude. O ngulo entre os raios vetores de P e P pode ser obtido diretamente do produto escalar entre os dois vetores, resultando:

cos cos cos ' sen sen ' cos( ' ) = + (2.7)

CM

dM

r

P(x, y, z)

(x, y, z)

x y

z

5

Figura 2.2 Distncia entre dois pontos P e P em coordenadas esfricas.

A distncia entre os dois pontos, por sua vez, dada por:

2 2 2' 2 ' cosr r r r = + (2.8)

onde o ngulo entre r e r'. Supondo-se r' < r, pode-se escrever:

2

2

1 1' '1 2 cosr rr

r r

=

+

(2.9)

Desenvolvendo esta em srie de potncias em relao a 'rr

,

2

1 21 1 ' '(cos ) (cos ) (cos ) ...o

r rP P Pr r r

= + + + =

0

1 ' (cos )n

n

n

r Pr r

=

=

, (2.10)

onde (cos )nP , n = 0, 1, 2, ..., so os polinmios de Legendre. Substituindo esta expresso no potencial de um elemento de massa dM, ento UdM = G/ dM, obtm-se:

r

r

x y

z

P

P

6

0

' (cos )n

dM nn

G dM rU Pr r

=

=

(2.11)

O teorema da adio de Legendre diz que

0

( )!(cos ) (2 ) (cos ) (cos ') cos ( ')( )!n

n mo nm nm

m

n mP P P mn m

=

= +

(2.12)

onde mo o delta de Kronecker e nmP so polinmios associados de Legendre. Usando

a Relao 2.10 com ngulos complementares e ' de e ' , a Equao 2.9 pode ser escrita como:

0 0

( )! '(2 ) (sen )( )!nn

dM mo nmn m

G dM n m rU Pr n m r

= =

= +

(sen ') cos ( ')nmP m =

( , , , ', ', ')f r r= (2.13)

Integrando a Expresso 2.11 em toda a distribuio de massa, obtm-se:

( )0 0

cos sen (sen )nn

enm nm nm

n m

aGMU C m S m Pr r

= =

= +

, (2.14)

onde:

cos '(2 ) ( )!' (sen ')

sen '( )!nm nmo

nmn

nm e M

C mn mr P dM

S ma M n m

= + (2.15)

e com ea sendo o semi-eixo equatorial do elipside da Terra, M a massa da Terra e ,nm nmC S os coeficientes harmnicos esfricos. Note que uma srie de Fourier apresenta

uma representao de uma funo num espao retilneo, enquanto que uma srie de harmnicos esfricos representa uma distribuio sobre uma superfcie esfrica.

2.3 Representao dos Harmnicos Esfricos

O potencial gravitacional obedece equao de Laplace, dada por 2U = 0 (Wertz, 1978) que pode ser expresso em termos de coordenadas polares:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 1 cot 1 0

sen

U U U U Ur r r r r r

+ + + + =

(2.16)

7

Se a soluo desta equao for da forma U(r, , ) = R(r) Y(, ), ento a equao diferencial acima pode ser separada em duas:

22

2d d2 ( 1) 0d d

R Rr r n n R

r r+ + = (2.17)

2 2

2 2 21

cot ( 1) 0sen

Y Y Yn n Y + + + + =

(2.18)

onde n (n+1) uma constante de separao. A soluo da equao diferencial para R leva a:

( 1)( ) n nR r A r B r += + . (2.19)

Os valores de A e B so determinados a partir da constatao de que A = 0 representa a funo do potencial fora do corpo, enquanto que B = 0 representa o potencial no interior do corpo. Admitindo que o potencial na superfcie (de raio ae) ser dado pelo prprio valor de Y, ento tem-se que A = 0 e B = 1nea

+. Logo a funo R fica:

1

( )n

eaR rr

+

=

. (2.20)

Por sua vez, admite-se que Y(, ) tambm possa sofrer uma separao de variveis, na forma:

( , ) (cos ) ( )Y P = (2.21)

Escolhendo uma constante de separao m2 e substituindo Y na equao diferencial, chega-se a duas novas equaes:

2 2

2 2d d

cot ( 1) 0d d sen

P P mn n P

+ + + = (2.22)

22

2d 0d

m

+ =

(2.23)

A soluo desta ltima encontrada facilmente resultando na srie de funes:

( ) cos senC m S m = + (2.24)

8

A partir da anlise desta soluo, conclui-se que m deve necessariamente ser inteiro. Fazendo x = cos, a primeira equao fica:

22

2d d(1 ) ( 1) 0

d d 1P m

x n n Px x x

+ + =

(2.25)

cuja soluo para m = 0 resulta nos polinmios de Legendre, dados pela frmula de Rodrigues:

( )21 d( ) 12 ! dn

n

n n nP x x

n x= (2.26)

Quando m 0, ento a soluo da equao diferencial resulta nas funes associadas de Legendre de ordem n e grau m, dados por:

( ) ( )/22

21 d( ) 1

2 ! d

mn m

n

nm n n m

xP x x

n x

+

+

= (2.27)

Pode-se tambm relacionar as funes associadas com os polinmios de Legendre, na forma:

2 2 d ( )( ) (1 )d

mm n

nm m

P xP x xx

= , (2.28)

A Tabela 2.1 fornece as expresses dos primeiros polinmios e funes associadas de Legendre

Tabela 2.1 - Polinmios e funes associadas de Legendre

n 0 1 2 3 Pn(x) 1 x 23 1

2 2x 3

5 32 2

x x

Pn1(x) - 21 x 23 1x x 2 23 1 (5 1)2

x x

Pn2(x) - - 23 (1 )x 215 (1 )x x Pn3(x) - - - 2 3/215(1 )x

Os polinmios de Legendre e funes associadas at a ordem 10 podem ser vistos no Apndice A.

9

A Figura 2.3 mostra os polinmios de Legendre de ordem mpar (1, 3 e 5) e a Figura 2.4 mostra os polinmios de ordem par (2 e 4). Os mpares satisfazem a condio P2k+1(-1) = -1, enquanto que os pares obedecem a P2k(-1) = 1, para k = 0, 1, 2 .... Ambos assumem valores unitrios em t = 1 (Pn(1) = 1). A Figura 2.5 ilustra as funes associadas de Legendre at a ordem 3.

Na expresso do potencial gravitacional o argumento dos polinmios e funes associadas o seno da latitude , mostrados na Tabela 2.2

Tabela 2.2 - Polinmios e funes associadas de Legendre em funo da latitude

n 0 1 2 3

Pn(sen) 1 sen 1 (1 3cos 2 )4 1 (3sen 5sen 3 )8

Pn1(sen) - cos 3 sen 22 3 (cos 5 cos3 )8

Pn2(sen) - - 3 (1 cos 2 )2 + 15 (sen sen 3 )4

+

Pn3(sen) - - - 15 (3cos cos3 )4 +

Os harmnicos com m = 0 so polinmios de grau n e assim possuem n zeros, que so reais e situados no intervalo 1 1t ou 0 pi . Estes harmnicos mudam seu sinal n vezes neste intervalo e no dependem da longitude . Eles dividem a esfera em zonas e so chamados harmnicos zonais, como mostrado na Figura 2.6. As funes associadas mudam seu final nm vezes no intervalo 0 pi . As funes cosm tm 2m zeros no intervalo 0 2 pi . Elas dividem a esfera em compartimentos nos quais o valor da funo alternadamente positivo e negativo, como mostrado na Figura 2.7, e so chamados como harmnicos tesserais (do latim tessera que significa mosaico ou azulejo). Em particular, quando n = m, eles degeneram em funes que dividem a esfera em setores positivos e negativos, quando so chamados harmnicos setoriais, mostrados na Figura 2.8.

10

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0Po

linm

ios

de Le

gendr

e

PP

P

13

5

Figura 2.3 Polinmios de Legendre de ordem mpar.

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Polin

mio

s de

Le

gen

dre PP 24

Figura 2.4 Polinmios de Legendre de ordem par.

11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-10

-5

0

5

10

15

Figura 2.5 Funes associadas de Legendre

Figura 2.6 Harmnicos zonais

P22

P31

P11

P33

P21

P32

12

Figura 2.7 Harmnicos tesserais

Figura 2.8 Harmnicos setoriais

As Tabelas 2.3 e 2.4 mostram figuras 3D em relevo dos polinmios e funes associadas de Legendre at a ordem 10. As figuras foram geradas com o aplicativo POV (The Persistece of Vision Raytracer, 2008), usando a forma normalizada dos polinmios (Seo 2.6), com coeficientes Cnm = 0.1 e Snm = 0.

13

Tabela 2.3 Polinmios e funes associadas de Legendre at a ordem 5

n = 1 2 3 4 5

m

=

0

1

2

3

4

5

14

Tabela 2.4 Polinmios e funes associadas de Legendre de ordem 5 at 10.

n = 6 7 8 9 10

m

=

0

1

2

3

4

5

6

7

15

Tabela 2.3 Polinmios e funes associadas de Legendre de ordem 5 at 10 (cont.).

n = 6 7 8 9 10

m

=

8

9

10

As Relaes 2.29 e 2.30 fornecem o seno e o co-seno de um mltiplo do ngulo como um polinmio envolvendo o seno e co-seno deste ngulo, at a potncia 10.

2

3

4 2

5 3

6 4 2

7 5 3

sin 2 2cos sinsin3 (4cos 1)sinsin 4 (8cos 4cos )sinsin5 (16cos 12cos 1)sinsin 6 (32cos 32cos 6cos )sinsin 7 (64cos 80cos 24cos 1)sinsin8 (128cos 192cos 80cos 8cos )sin

a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

=

=

=

= +

= +

= +

= + 8 6 4 2

9 7 5 3

sin9 (256cos 448cos 240cos 40cos 1)sinsin10 (512cos 1024cos 672cos 160cos 10cos )sin

a

a a a a a a

a a a a a a a

= + +

= + +

(2.29)

16

2

3

4 2

5 3

6 4 2

7 5 3

8 6 4 2

cos2 2cos 1cos3 4cos 3coscos4 8cos 8cos 1cos5 16cos 20cos 5coscos6 32cos 48cos 18cos 1cos7 64cos 112cos 56cos 7coscos8 128cos 256cos 160cos 32cos 1cos9 256co

a a

a a a

a a a

a a a a

a a a a

a a a a a

a a a a a

a

=

=

= +

= +

= +

= +

= + +

=9 7 5 3

10 8 6 4 2

s 576cos 432cos 120cos 9coscos10 512cos 1280cos 1120cos 400cos 50cos 1

a a a a a

a a a a a a

+ +

= + +

(2.30)

Computacionalmente as relaes em potncias so mais eficientes do que o clculo do mltiplo ngulo, em razo do fato de que o clculo do seno ou co-seno feito por meio de uma expanso em srie de Taylor, o que envolve diversas somas e produtos para cada mltiplo do ngulo. Por sua vez, o clculo em funo de potncias envolve apenas algumas somas e produtos, alm de um nico seno ou co-seno inicial. Sempre que possvel deve-se, contudo, recorrer s relaes de recorrncia, que sero mostradas na Seo 2.5.

2.4 Potencial Gravitacional Terrestre

A partir da anlise dos resultados obtidos com a integrao da Equao 2.13, em casos particulares, conclui-se que os coeficientes Cnm e Snm apresentam certas propriedades, apresentadas a seguir.

A primeira delas decorre do fato de que os termos de ordem n = m = 0 descrevem o potencial gravitacional principal da Terra, pois 00 1C = e 00 0S = . Alm disso, como a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro de massa da Terra, ento pode-se mostrar que 10 11 11 0oo noC C S S S= = = = = . Para provar esta afirmao, veja que os termos de ordem n = 1 fazem com que a Terra possua uma elevao no plo Norte e uma depresso no plo Sul. Este efeito provoca um deslocamento do centro de massa da Terra, e, desde que o centro de massa a prpria origem do sistema, ento os coeficientes C so nulos. Os coeficientes S devem tambm ser nulos, j que a funo seno, por ser mpar, provoca uma assimetria nos plos nos termos zonais, isto , sempre que em um deles for positivo o outro ser negativo.

Pode-se mostrar tambm que se a matriz de inrcia da Terra for dada por:

T

A D EI D B F

E F C

=

, (2.31)

17

com relao ao sistema de eixos geocntrico (eixo x passando pelo meridiano de Greenwich, no plano do equador, eixo z coincidente com o eixo de rotao, na direo do plo norte) ento os coeficientes 21C e 21S resultam:

21 2e

ECMa

= (2.32)

21 2e

FSM a

= . (2.33)

Pelas propriedades da mecnica, sabe-se que um corpo girando no espao tende a alinhar o eixo de rotao com o eixo de maior momento de inrcia, desde que haja dissipao de energia das velocidades angulares transversais. Como a Terra no pode ser considerada totalmente slida, ento natural supor que, neste caso, os produtos de inrcia dados por D, E e F sejam nulos. Pequenas perturbaes introduzidas pela atrao gravitacional do Sol e da Lua fazem, contudo, com que o eixo de rotao da Terra no esteja plenamente alinhado com os eixos principais de inrcia, e assim os coeficientes

21C e 21S no resultam nulos, ainda que bastante pequenos. Alm disso, o coeficiente setorial 22S dado por:

22 22 eDS

a M= (2.34)

que resultaria nulo apenas se, por coincidncia, o meridiano de Greenwich coincidisse com um dos eixos principais de inrcia.

A Terra no apenas achatada nos plos: quando vista a partir do plo norte a Terra apresenta tambm um pequeno achatamento no equador. Este achatamento reflete-se no coeficiente 22C , dado por:

22 21 ( )

4 eC B A

a M= , (2.35)

cujo principal efeito sentido nas rbitas dos satlites geoestacionrios, que so continuamente levados para uma longitude sobre Sri Lanka (antigo Ceilo).

O efeito da distribuio no uniforme de massa devido ao achatamento dos plos refletido no coeficiente zonal 20C . Como, porm, este coeficiente zonal possui valores positivos nos plos e negativo no equador (equivalente a um achatamento do equador), ento seu valor numrico resulta negativo. De fato, assume-se que 20 2C J= , onde J2

18

o coeficiente zonal devido ao achatamento ( 2 0J > ). Da mesma forma, o coeficiente zonal 30 3C J= representa o efeito que atribui para a Terra uma forma de pera.

2.5 Frmulas Recursivas para Clculo do Geopotencial

Os polinmios e funes associadas de Legendre so definidos em termos de equaes diferenciais cujas solues so conhecidas. A integrao destas equaes, no entanto, dificulta a sua utilizao em clculos feitos com o computador. Porm so tambm bastante conhecidas frmulas de recurso que permitem a obteno dos polinmios e funes associadas de ordem n e grau m a partir dos polinmios (e funes) de ordem inferior. Pode-se mostrar que, no caso de polinmios zonais, as frmulas de recurso so dadas por:

1 22 1 1

senn n nn nP P Pn n

= . (2.36)

que devem ser iniciados com P0 = 1 e P1 = sen. No caso das funes associadas (m 0), e lembrando que m n, tem-se os seguintes casos:

, 1, 1(2 1) cosn n n nP n P = , se m = n (setoriais) (2.37)

, 1, 1(2 1) senn m n nP n P = , se m = n 1 (tesserais) (2.38)

e

, 1, 2,2 1 1

senn m n m n mn n mP P P

n m n m

+ =

, se m n 2 (tesserais) (2.39)

Na aplicao das frmulas de recurso, convm lembrar que, por definio, ,n n oP P= ,

para m = 0.

Pode-se tambm aplicar frmulas de recurso para funes trigonomtricas, de forma a evitar a avaliao das sries cosm e sen m, na forma:

cos cos( 1) cos sen( 1) senm m m = (2.40)

sen sen( 1) cos cos( 1) senm m m = + (2.41)

A frmula de recurso para Pn(x)

19

1 22 1 1( ) ( ) ( )n n n

n nP x x P x P xn n

= (2.42)

e para as funes associadas

, 1, 2,2 1 1( ) ( ) ( )n m n m n m

n n mP x x P x P xn m n m

+ =

(2.43)

2.6 Normalizao de Coeficientes e Polinmios

O potencial gravitacional apresenta uma reduo nos valores dos coeficientes C e S medida que a ordem e o grau dos polinmios e funes associadas aumenta. Isto provoca erros de arredondamento quando calculados no computador, devido ao nmero de dgitos significativos ser limitado. Para minimizar esses efeitos, costuma-se utilizar os coeficientes na forma completamente normalizada C e S . A relao de normalizao a seguinte:

1 2( )!(2 1) ( )!

nmnm

nmmnm

CC n mSn n mS

+= +

(2.44)

com

1 se 02 se 1m

m

m

= =

(2.45)

comum distinguir-se os coeficientes C dos harmnicos esfricos de grau 0 e cham-los de coeficientes zonais Jn. Lembrando que os coeficientes Sn0 so todos nulos, ento:

0 , 0

, 0

00 n n

n n

S Sm

C J = =

= =

(2.46)

A presena do sinal negativo em Jn explica-se devido ao fato de que o coeficiente J2 resultaria negativo na expresso do potencial, devido ao formato da Terra. Decidiu-se, portanto, trocar o sinal de todos os coeficientes zonais J, para que o valor numrico de J2 resultasse positivo. Separando agora a normalizao entre coeficientes zonais e tesserais, tem-se:

1 212 1n n

J Jn

= +

(2.47)

20

e

1 21 ( )!

4 2 ( )!nmnm

nmnm

CC n mSn n mS

+= +

(2.48)

A Tabela 2.5 apresenta alguns valores dos coeficientes zonais normalizados, do modelo do potencial terrestre GEM-09, e a Tabela 2.6 apresenta valores dos coeficientes tesserais.

Tabela 2.5 Coeficientes zonais normalizados (GEM-09)

n 0n nC J=

1 0 2 -484.16555 10-6 3 0.95848 10-6

Tabela 2.6 Coeficientes tesserais normalizados (GEM-09)

n m nmC nmS

1 1 0 0 2 1 -0,00021 -0,00406 2 2 2,4340 -1.39786 3 1 2,02826 0,25244 3 2 0,89198 -0,62241 3 3 0,70256 1,41140

A normalizao dos polinmios feita na forma inversa dos coeficientes, e, portanto, os polinmios e as funes associadas normalizadas so dados por:

( )1 22 1n nP n P= + (2.49) 1 2( )!(4 2) ( )!nm nm

n mP n Pn m

= + +

(2.50)

Os fatores de normalizao at a ordem 6 so apresentados na Tabela 2.7

A Figura 2.9 mostra o geopotencial (superfcie de mesmo potencial da Terra), subtraindo-se o segundo harmnico, J2, pois este efeito muito superior aos demais. Percebe-se que a Terra apresenta uma distribuio no totalmente uniforme de massa,

21

com predominncia dos coeficientes associados ao terceiro harmnico. O potencial foi obtido a partir do modelo GEM10, com coeficientes zonais e tesserais at ordem 10.

Tabela 2.5 Fatores de normalizao dos polinmios e funes associadas

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 m = 0 3 5 7 3 11 13

m = 1 3 53

72

3 / 10 11/15 1321

m = 2 1 5

2 3

1 72 15

1 52

1 112 105

1 132 210

m = 3 1 7

6 10

1 702

1 1112 70

1 1312 210

m = 4 1 35

8

1 1172 35

1 13360 7

m = 5 1 11

360 14

1 13360 54

m = 6 1 13

720 462

2.7 Representao Convencional

O potencial na sua forma geral expresso como:

( )0 0

( , , ) cos sen (sen )nn

enm nm nm

n m

aU r C m S m Pr r

= =

= +

(2.51)

onde: nmC e nmS so coeficientes dos harmnicos esfricos, (= GM) a constante geogravitacional ( 3,986 x 105 km3/s2) e ae o raio equatorial da Terra. O potencial avaliado no ponto localizado pelo mdulo do raio vetor (distncia) r, pela latitude geocntrica e pela longitude geocntrica , conforme mostrado na Figura 2.10.

22

Figura 2.9 Superfcie equipotencial da Terra, subtrada do segundo harmnico e com efeito ampliado dos demais harmnicos.

Figura 2.10 Sistema geocntrico terrestre

Esta relao, contudo, no permite uma visualizao dos efeitos dos harmnicos zonais, tesserais e o potencial do corpo central. Por isso conveniente separar a somatria em

x

y

z

r

23

suas diversas componentes. Para isso, lembrando que C11 = S11 = 0, pode-se eliminar o termo n = 1. Alm disso, n = 0 representa o potencial do corpo central, dado por /r, que gera o movimento kepleriano puro. Visto ainda que na prtica h um limite N para o valor mximo da ordem do polinmio, o potencial pode ser reescrito, na forma normalizada, como:

( )2

2 1

(sen )

cos sen (sen )

nNe

n n

n

nN ne

nm nm nm

n m

aU J Pr r r

a C m S m Pr r

=

= =

= +

+ +

(2.52)

2.8 Representao Uniforme

A acelerao devido ao potencial gravitacional apresenta, na formulao convencional apresentada na seo anterior, uma singularidade nos plos, ou seja, quando = 90 (ver Captulo 3, Seo 3.2). O uso da representao uniforme evita o aparecimento desta singularidade no clculo da acelerao (Pines 1973; Cunningham, 1969), pela modificao dos polinmios e funes associadas de Legendre. Recordando a equao diferencial que fornece os polinmios:

( ) ( )/22

21 sen d(sen ) sen 1

2 ! (dsen )

mn m

n

nm n n mP

n

+

+

=

, (2.53)

define-se os polinmios derivados de Legendre como:

( )21 d(sen ) sen 12 ! (dsen )n m

n

nm n n mA

n

+

+ =

, (2.54)

de onde vem facilmente que:

(sen ) cos (sen )mnm nmP A = . (2.55)

Como ambos devem ser equivalentes, ento se arrumando os termos convenientemente pode-se escrever:

( ) ( )cos sen (sen ) (sen )nm nm nm nm m nm m nmC m S m P C r S i A + = + (2.56)

onde rm e im valem:

cos cosmmr m= (2.57)

24

sen cosmmi m= (2.58)

Pode-se mostrar que rm e im so, respectivamente, a parte real e a parte imaginria da srie dada por:

real (cos cos sen cos )mmr i = + (2.59)

imag (cos cos sen cos )mmi i = + (2.60)

onde real() e imag() so funes que obtm a parte real e a parte imaginria do argumento. Alm disso, os valores de rm e im podem ser obtidos por de recurso, na forma:

1 1cos cos sen senm m mr r i = (2.61)

e

1 1cos cos sen senm m mi i r = + (2.62)

com condio inicial dada por r0 = 1 e i0 = 0. Finalmente, a representao uniforme do potencial fica:

( )2

2 1

(sen )

(sen )

nNe

n n

n

nN ne

nm m nm m nm

n m

aU J Ar r r

a C r S i Ar r

=

= =

= +

+ +

(2.63)

2.9 Problemas

1) Expandir explicitamente o geopotencial U at o termo n = 3, na forma uniforme e no uniforme. Separar os termos zonais dos termos tesserais e setoriais, ou seja:

}00 10 20 30U U U U U= + + + + zonais

11 21 31

22 32

33

U U UU U

U

+ + + +

+ + + +

tesserais

25

Calcular o valor do potencial para x = y = z = ae (raio equatorial da Terra). Note que tanto o raio r quanto o seno e o co-seno da latitude e longitude dependem das coordenadas cartesianas.

2) Provar que a representao convencional equivalente representao uniforme.

3) Provar que a soluo da equao associada de Legendre a funo de Legendre Pnm(sen).

4) Se Pn(x) o coeficiente de hn na expanso de (1 2 x h + h2)1/2 nas potncias ascendentes de h, ento provar que:

Pn(1) = 1

Pn(-x) = (-1)n Pn(x)

Pn(-1) = (-1)n

5) Provar as frmulas de recorrncia:

1 2(2 1) ( 1)n n nn P n x P n P =

1n n nn P x P P =

1 1(2 1) n n nn P P P+ + =

1( 1) n n nn P P x P+ + =

6) Mostrar uma representao grfica para os seguintes harmnicos esfricos de superfcie:

33(sen )P

66 (sen )P

84 (sen )P

7) Obter as frmulas de recurso para os polinmios derivados de Legendre An e Anm da representao uniforme.

26

27

3 FORAS PERTURBADORAS

3.1 Introduo

O movimento orbital de satlites artificiais constantemente influenciado por vrias foras perturbadoras como:

a) a fora gravitacional devida ao potencial do corpo,

b) a atrao gravitacional do Sol e da Lua;

c) a fora de arrasto;

d) a fora das mars devidas Lua e ao Sol;

e) a fora de presso radiao e

f) o albedo.

Devido a estas perturbaes, a rbita do satlite se desvia da rbita elptica de dois corpos e, conseqentemente, a rbita contrai e o satlite se arrasta em direo da Terra.

3.2 Fora Gravitacional Devida ao Potencial do Corpo

A fora de atrao gravitacional especfica em um ponto fora de uma distribuio do potencial U dada por:

r U= rs&&

(3.1)

O potencial para um corpo de distribuio assimtrica de massa mais facilmente escrito no sistema de coordenadas fixo no corpo enquanto o rr est de preferncia no sistema inercial.

Como U uma funo de r, , (coordenadas esfricas da partcula ou espaonave) num sistema fixo no corpo (Terra, por exemplo), o procedimento mais simples calcular o gradiente em (r, , ) e depois convert-lo para coordenadas retangulares (x', y', z') fixo no corpo e finalmente para o sistema inercial (x, y, z).

Considerando a Terra, seja (x', y', z') um sistema de coordenadas fixo na Terra com x' apontando para o meridiano de Greenwich, z' para o plo norte e y' a 90 de x' completando x', y' e z', um sistema dextrogiro. Seja (xa, ya, za) um sistema de coordenadas tal que xa est apontado ao CM da partcula, tal que o angulo entre o eixo xa e o plano equatorial seja e o ngulo entre a projeo do xa no plano equatorial e o eixo xseja . O eixo ya est no plano equatorial para lado leste.

28

Ento, efetuando uma rotao em torno do eixo z' de , x' coincide com xa' e y' com ya'. Agora, fazendo uma rotao em torno de y' (ou ya) de -, z' coincidir com o sistema xa ya za. Isto , se ar

r for vetor coluna do sistema (xa, ya, za) e rr for vetor coluna do sistema

(x', y', z'), ento:

( ) ( ) a y zr R R r= r r (3.2)

Figura 3.1 Sistema geocntrico terrestre

Chamando

( ) ( )y zT R R= (3.3)

onde

cos 0 sen( ) 0 1 0

sen 0 cosyR

=

(3.4)

e

cos sen 0( ) sen cos 0

0 0 1zR

=

(3.5)

x

y

z

r

xa ya

za

29

a matriz de rotao fica:

cos cos cos sen sen

sen cos 0sen cos sen sen cos

T

=

(3.6)

Assim, pode-se escrever:

'ar T r=r r

'ar T r=r r& &

(3.7)

'ar T r=r r&& &&

pois T um operador de rotao que gira qualquer vetor, de um sistema de referncias, para outro vetor. Como de fato, precisamos uma transformao inversa daquela dada na Equao 3.2, e como transformaes so ortogonais, tem-se:

'T

ar T r=r r

(3.8)

A transformao do sistema geocntrico terrestre para o sistema de coordenadas inerciais obtida de acordo com a Figura 3.2

Figura 3.2 Sistemas Inercial e Geocntrico

Se rr for o vetor coluna do sistema (x, y, z), ento:

x

y

z z

x

y r

30

( ) ( )Tz zr R r R r = = r r r

, (3.9)

onde:

cos sen 0( ) sen cos 0

0 0 1zR

=

, (3.10)

e o tempo sideral aparente de Greenvich (TSAG).

Assim, para obter a transformao completa, tem-se:

( )T T ar R T r= r r ( )T aT R r=

r TaG r=r

(3.11)

Uma vez que a rbita do satlite um plano "fixo" no espao que, por hiptese, no depende da velocidade de rotao da Terra, a Equao 3.10 vlida para acelerao tambm, isto ,

Tar G r=

r r&& && (3.12)

arr&&

representa as componentes da acelerao relativas ao sistema de coordenadas (xa, ya, za).

Sabe-se que para uma funo escalar U de coordenadas ortogonais gerais u1, u2, u3, vlida:

1 1

2 2

3 3

1

1

1

Uh u

UUh u

Uh u

=

, (3.13)

onde h1, h2 e h3 so chamados fatores de escala. No caso de coordenadas esfricas r, , , isto , u1 = r, u2 =, u3 = , as coordenadas retangulares so expressas como:

cos cosx r=

cos seny r= (3.14)

31

senz r= ,

cujas diferenciais resultam: d cos cos d cos sen d sen cos dx r r r=

d cos sen d cos cos d sen sen dy r r r= + (3.15)

d sen d cos dz r r= + .

Um elemento ds em coordenadas retangulares, quando expresso em coordenadas polares fica:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

(d ) (d ) (d ) (d )cos sen (d ) sen cos (d )

cos cos (d ) 2 sen cos sen cos (d d )2 sen cos cos (d d ) 2 cos sen cos (d d )

cos cos (d ) sen sen (d )cos sen (d

s x y z

r r

r r

r r r r

r r

r

= + + =

= + ++ + ++ + ++ 2 2

2 2

2 2 2 2 2

) 2 sen cos sen cos (d d )2 sen cos sen (d d ) 2 cos sen cos (d d )

cos (d ) sen (d ) 2 sen cos (d d )

r

r r r r

r r r r

+ ++ + +

(3.16)

Agrupando os termos comuns, os termos em 2(d )r resultam: 2 2 2 2 2cos cos cos sen sen + + = 2 2cos sen 1 + = , (3.17)

e os termos em 2(d ) ficam:

2 2 2 2 2 2 2 2sen cos sen sen cosr r r + + = 2 2 2 2 2sen cosr r r + = , (3.18)

os termos em 2(d ) : 2 2 2 2 2 2cos sen cos cosr r + = 2 2cosr (3.19)

os termos de (d d ) : 2 2 22 sen cos cos 2 sen cos sen cos 0r r = (3.20)

32

os termos de (d d )r : 2 22 sen cos cos 2 sen cos sen 2 sen cos

2 sen cos 2 sen cos 0r r r

r r

+ == + = (3.21)

os termos de (d d )r : 2 22 cos sen cos 2 cos sen cosr r + = 0. (3.22)

Portanto, o quadrado do elemento de arco 2(d )s dado por: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(d ) (d ) (d ) (d ) (d ) cos (d ) (d )s x y z r r r= + + = + + (3.23)

de onde conclui-se que 1 1h = , 2 cosh r= e 3h r= . Assim, os componentes de arr&& so computados por (com 1u r= , 2u = e 3u = ):

1cos

1

a

a a

a

Urx

Ur y U

rz U

r

= = =

r&&

r r&& &&

r&&

, (3.24)

onde arr&&

representa as componentes da acelerao inercial (Equao 3.24) rr&& tomada ao longo dos eixos instantneos xa, ya, za.

Considerando a expresso para a funo potencial generalizada, U, dada por

( )0 0

cos sen (sen )nn

enm nm nm

n m

GM aU C m S m Pr r

= =

= +

(3.25)

ou

( )1 0

cos sen (sen )nn

enm nm nm

n m

aU C m S m Pr r r

= =

= + +

(3.26)

onde = GM, ento a acelerao que atua numa massa de prova externa Terra, em relao ao sistema de coordenadas fixas na Terra fica:

33

20 0

( 1) ( cos sen )sec ( sen cos )

cos ( cos sen )

nm nm nmnn

ea nm nm nm

n m

nm nm nm

n C m S m Pa

r m C m S m Pr r

C m S m P

= =

+ +

= + +

r&&

, (3.27)

onde P'nm a derivada de Pnm em relao a sen. As expresses cos P'nm e sec Pnm so calculadas usando-se as relaes:

11

1, 1

1, 2,

1,

sec 1sec (2 1) cos (sec )

2 1 1sec sen (sec ) (sec )cos sen (sec ) ( ) (sec )

nn n n

nm n m n m

nm nm n m

PP n P

n n mP P Pn m n m

P n P n m P

= =

+ =

= + +

(3.28)

As expresses cosm e senm podem ser calculadas pelas frmulas de recorrncia apresentadas na Seo 2.5.

Assim a fora devida ao campo gravitacional fica da forma TG aa r G r= =r r r&& &&

, onde arr&&

dada pela Equao 3.27. Escrevendo a Equao 3.26 em trs termos correspondentes ao corpo central, harmnicos zonais, harmnicos tesserais e setoriais, na forma:

( )2 2 1

( ) ( , )

cos sen

n nne e

n n nm nm nm

n n m

U U J U C Sr

a aJ P C m S m Pr r r r r

= = =

= + +

= + +

(3.29)

e considerando os coeficientes normalizados dos harmnicos do geopotencial, a Equao 3.27 reescrita na forma:

2 22

22 1

1 ( 1)0 00 cos

( 1) ( cos sen )sec ( sen cos )cos ( cos sen )

nn

ea n

n

n

nm nm nmnn

enm nm nm

n m

nm nm nm

n Pa

r Cr r r

P

n C m S m Pa

m C m S m Pr r

C m S m P

=

=

+

= +

+ +

+ + +

r&&

(3.30)

onde os nmP normalizados podem ser calculados diretamente pelas expresses de recorrncia:

34

1 2

2 2

1/22 21 2

1, 2,

2 1sec .

2 1. (2 1) sen sec sec

2 3

nm

n m n m

nPn m

n m nn P P

n

+ =

+

(3.31)

1 22 2

1,2 1

cos sen sec ( ) sec2 1nm nm n m

nP n P n m Pn

+ = +

. (3.32)

Na prtica, a expanso em srie realizada at um limite N para n, que depende do modelo do geopotencial utilizado.

3.2.1 Efeito Devido No-Esfericidade da Terra

A no-esfericidade da Terra causa duas perturbaes importantes. Primeiro, o plano orbital gira ao redor do eixo de rotao da Terra numa direo oposta ao movimento do satlite, tal que para i < 90, o ngulo diminui gradativamente enquanto i fica constante. A variao em dada por:

( )7 2

229,97 1 cosea e ia

& (graus/dia), (3.33)

onde ae o raio equatorial da Terra, a o semi-eixo maior orbital e e a excentricidade. A segunda perturbao no semi-eixo maior da rbita que gira no plano orbital tal que o argumento do perigeu aumenta por uma taxa dada por:

( ) ( )7 2

22 24,98 1 5cos 1ea e ia

&

(graus/dia). (3.34)

Os dois efeitos causam uma variao de vrios graus por dia para satlites de baixa altitude. Alm destas variaes seculares em e , os harmnicos zonais Jn causam algumas perturbaes peridicas nos elementos orbitais. Entre elas, a mais importante a oscilao da distncia do perigeu causada por J3. Esta dada por:

6,8 sen senp per r i (km) (3.35)

onde rpe a distncia do perigeu quando o argumento do perigeu for nulo ou 180 (perigeu no plano equatorial). Assim, quando varia de 0 a 90, a distncia do perigeu diminui de 6,8 sen i km; e quando varia de 180 a 270, esta aumenta de 6,8 sen i km.

35

3.3 Atrao gravitacional do Sol e da Lua

Considerando que a massa do satlite desprezvel em relao massa da Terra, do Sol e da Lua, a perturbao gravitacional de um terceiro corpo (Sol ou Lua) pode ser estudada atravs do problema reduzido de 3 corpos, conforme mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3 Atrao gravitacional do terceiro corpo (Lua) no satlite

O potencial perturbador devido ao terceiro corpo dado por (Kovalevsky, 1967):

31 i

i ii i

r rR G Mr r r

=

r r

r r r , (3.36)

onde Mi e ri so respectivamente a massa e distncia do corpo perturbador ao corpo principal. A acelerao sobre o satlite, causada por estes corpos, dada pelo gradiente do Ri em relao a r

r:

3 3i i

i i iii

r r ra R G M

rr r

= = +

r r rr

r r (3.37)

ou

3 3

3 3

3 3

( )( )( )

i i i i

i i i i i

i i i i

x x x D x ry G M y y D y rz z z D z r

+

= +

+

&&

&&

&&

(3.38)

onde

rv

irr

i iD r r= r r r

36

1 22 2 2( ) ( ) ( )i i i i iD r r x x y y z z = = + + r r

. (3.39)

3.3.1 Efeito da Atrao Gravitacional do Sol e Lua

Os efeitos das atraes gravitacionais do Sol e da Lua so em geral pequenos e peridicos. A variao na distncia do perigeu em geral se acumula em menos de 2 km de amplitude para um satlite com excentricidade menor que 0,25. Todos os elementos orbitais exceto o semi-eixo maior a so afetados pela atrao gravitacional do Sol e da Lua.

3.4 Foras de Mars Devidas Lua e ao Sol

A atrao gravitacional do Sol e da Lua cria um potencial na Terra que depende da geometria entre a Terra e o corpo perturbador. Como a Terra no perfeitamente rgida, ela se deforma sob a ao deste potencial, e, com isso, a prpria distribuio de massa da Terra alterada. Como conseqncia, a nova distribuio de massa cria um potencial no espao diferente do original, sem o corpo perturbador. Para modelar o efeito introduzido pela presena de um terceiro corpo (Sol ou Lua) no potencial da Terra, assume-se inicialmente que a massa do corpo perturbador esteja concentrada no seu centro de massa, ou melhor dizendo, despreza-se o tamanho do corpo perturbador em face da distncia deste corpo at a Terra. Assim, o potencial gerado pelo corpo perturbador de massa concentrada Mi, num ponto P, localizado na longitude , latitude e distncia geocntrica R da superfcie terrestre, conforme a Figura 3.4, dado por:

2(cos )

n

i ii n

ni i

G M G M RU Pr r

=

= =

(3.40)

onde ri a distncia geocntrica at a massa Mi, a distncia de P at o corpo perturbador e o ngulo geocntrico entre P e Mi. Devido ao potencial Ui, a Terra se deforma suavemente e assim criada uma nova distribuio de massa. Esta nova distribuio gera um potencial adicional conhecido como potencial de mar. Como a Terra no perfeitamente rgida nem tampouco completamente elstica, pode-se sugerir que o acrscimo no potencial causado pelo potencial perturbador consiste apenas de uma frao kn deste ltimo, na forma:

i n iR k U= , (3.41)

onde kn um coeficiente de elasticidade de grau n. Considerando apenas o termo principal de grau 2 no potencial Ui (mesmo porque este potencial de magnitude muito menor do que o potencial do corpo principal), tem-se:

37

2

2 (cos )iii i

G M RU Pr r

=

(3.42)

Figura 3.4 Foras de mars num ponto da superfcie terrestre

O potencial Ri num ponto externo Terra, e situado a uma distncia geocntrica r, proporcional razo 1( / )nR r + tal que na superfcie essa razo 1. Assim, Ri, num ponto externo Terra, pode ser escrito como:

3 5

2 2 23 3 (cos )ii ii

GMR RR k U k Pr r r

= =

(3.43)

Usando esta funo potencial, a acelerao causada pela fora de mars sobre um ponto do espao escrita como:

25

22 3 5

2

(1 5 ) 2 /3 (1 5 ) 2 /2 (1 5 ) 2 /

i ii

Mi i ii

i i

x D x D r x rG M R

a y k D y D r y rr r

z D z D r z r

+

= = +

+

r&&

r r&&

r&&

(3.44)

onde

.

. .

i i i i

i i

r r x x y y z zDr r r r

+ += =

r r

, (3.45)

e

x y

z

R

Mi

ri

P

38

( )1 22 2 2i i i ir x y z= + + (3.46) com (xi, yi, zi) sendo as coordenadas do corpo perturbador.

Os coeficientes de mar kn (elasticidade) so denominados nmeros de Love. As deformaes da Terra causadas por mars devido atrao do Sol e da Lua podem produzir perturbaes observveis na rbita do satlite. A magnitude destas perturbaes depende de propriedades elsticas da Terra, representadas pelos nmeros de Love, que no so constantes para toda a Terra mas dependem do ponto. Observaes mostram que (NASA, 1977, Kuga e Silva, 1984):

0,245 0,005 k2 0,31 0,01 (3.47)

3.5 Fora de Arrasto

Um satlite que se move na atmosfera influenciado por um atrito, que denominado fora de arrasto, que atua no sentido contrrio ao movimento de satlite. A expresso da fora de arrasto dada por:

12 D R R

D C S v v= r r

(3.48)

onde a densidade local do ar, CD o coeficiente de arrasto, S a rea efetiva e vR a velocidade do satlite em relao a atmosfera da Terra.

No caso de uma rbita elptica, o satlite afetado pelo arrasto numa pequena faixa da rbita, perto do perigeu (Figura 3.5).

Figura 3.5 Fora de arrasto numa rbita excntrica

39

Assim, o satlite, sendo retardado pelo arrasto perto do perigeu, no vai ter a mesma energia para ir to longe no apogeu subseqente, como tinha no apogeu anterior. Conseqentemente a altitude do apogeu diminui, enquanto a altitude do perigeu mantm um valor quase constante, e a rbita elptica contrai-se para uma rbita circular (Figura 3.6 e 3.7).

A densidade da atmosfera depende de vrios fatores, entre eles as variaes de temperatura nas camadas atmosfricas de acordo com o ciclo solar de onze anos, as variaes com a mudana diria na atividade na superfcie solar, a variao diurna, as variaes com atividade geomagntica, as variaes semi-anuais, e as variaes latitudinais e sazonais na termosfera baixa.

Figura 3.6 Decaimento orbital devido ao arrasto atmosfrico

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Time (days)

0200400600800

100012001400160018002000

Orb

it de

cay

(km

)

Perigee altitude (km)

Apogee altitude (km)

Figura 3.7 - Variao da altitude do perigeu e apogeu devido ao arrasto.

O coeficiente de arrasto CD funo de parmetros que dependem de propriedades da superfcie do satlite (material, acabamento e temperatura), do ngulo de incidncia, temperatura e velocidade das molculas, etc.

40

A rea efetiva S determinada pela configurao e o tamanho do veculo, juntamente com o ngulo de ataque em relao ao fluxo atmosfrico. Esta superfcie conhecida como rea projetada pois est associada com a rea externa do satlite projetada na direo da velocidade relativa com a atmosfera.

A velocidade relativa Rvr

calculada admitindo-se que a atmosfera tem a mesma velocidade de rotao da Terra, e dada por:

^

T

R T T

x yv r r y x

z

+

= =

&rr r r& &

&

, (3.49)

onde T T = r

a velocidade angular de rotao da Terra (T = 360,9856473/dia) e rr& a velocidade do satlite relativa ao sistema inercial. Assim, a expresso final para a acelerao devido ao arrasto fica na forma:

12

T

D R T

x x ySy C v y xm

z z

+

=

&& &

&& &

&& &

. (3.50)

Na verdade, foi comprovada a existncia de ventos nas altitudes orbitais. Porm, a inexistncia de modelos matemticos que levem em conta este efeito no clculo da velocidade relativa faz com que a melhor aproximao seja ainda considerar a atmosfrica como esttica com relao Terra.

A fora de arrasto afeta principalmente o semi-eixo maior e a excentricidade orbital. Como a densidade atmosfrica cai exponencialmente com a altitude, tambm a fora de arrasto diminui exponencialmente. No entanto, tanto a densidade quanto o coeficiente balstico (o produto de CD pela relao rea-sobre-massa, S/m), dependem de vrios fatores, como ser visto a seguir.

3.5.1 Relao rea-sobre-massa

Satlites com relao rea-sobre-massa maior do que 0,1 m2/kg so pouco densos, e apresentam um decaimento elevado. Cita-se como exemplo os satlites ECHO I, de relao igual a 37,2 (30 m de dimetro, 52 kg) e ECHO II, com 20,7 (41 m de dimetro, 256 kg), mostrado na Figura 3.8a. Satlites com relao entre 0,001 e 0,1 so os mais comuns, como o SCD-2 (0,005), visto na Figura 3.8b e ROSAT (0,006). Satlites com relao menor do que 0,001 so altamente densos, utilizados em estudos do campo geogravitacional, como o LAGEOS-3 (relao igual a 0,0007 - esfera de 30 cm de raio e 407 kg), mostrado na Figura 3.8c.

41

.

(a) ECHO-2 (b) SCD-2 (c) LAGEOS-3 Figura 3.8 - Satlites ECHO-2, SCD-2 e LAGEOS-3

3.5.2 O coeficiente de arrasto

O coeficiente de arrasto CD pode ser medido experimentalmente ou avaliado por meio de modelos matemticos. O valor do coeficiente de arrasto fica normalmente compreendido entre 1,2 e 3,8, e depende de vrios fatores. Nas altitudes orbitais, a mecnica dos fluidos no pode ser aplicada ao problema, pois vlida apenas em meios contnuos. A rarefao da atmosfera faz com que as molculas possam ser tratadas individualmente (estatisticamente) e no mais como um fluido. Desta forma, pode-se aplicar a teoria cintica dos gases, desenvolvida no sculo XIX por Maxwell. Pela teoria cintica dos gases, a velocidade mdia das molculas num gs est diretamente relacionada com a temperatura deste gs: quanto maior a temperatura, maior a velocidade das molculas. Num meio contnuo, as colises das molculas do gs com uma superfcie so rapidamente transmitidas s outras molculas, ou seja, ao emergir de uma coliso, a molcula transmite seu movimento s outras molculas que esto ao seu redor. Para que a teoria cintica dos gases possa ser aplicada, contudo, exige-se que o caminho livre mdio, isto , a distncia percorrida pela molcula entre duas colises sucessivas seja maior do que as dimenses tpicas do experimento. Em outras palavras, admite-se que as colises entre molculas sejam raras. Isto realmente acontece nas altitudes orbitais, onde o caminho livre mdio ultrapassa as dezenas de metros. Esta hiptese necessria para que a distribuio de velocidades (e temperatura) das molculas incidentes no satlite no seja afetada pela distribuio de velocidades das molculas emergentes aps a coliso.

No choque das molculas da atmosfera com a superfcie do satlite ocorre uma troca de energia e uma troca de quantidade de movimento, de tal forma que a distribuio de velocidades das molculas emergentes resulta diferente daquela das molculas incidentes. Em geral, a temperatura do fluxo incidente varia desde 400 at 2500K, e, portanto, as molculas provocam um pequeno aquecimento na superfcie do satlite que fica em torno de 300K. Este aquecimento s no maior porque a densidade da atmosfera muito baixa. Ao colidirem com a superfcie do satlite, as molculas so capturadas, re-emitidas e capturadas novamente, colidindo vrias vezes com a superfcie (Figura 3.9). Neste processo a molcula vai gradativamente perdendo energia, de tal forma que sua temperatura aproxima-se da temperatura da superfcie.

42

Figura 3.9 - Mltiplas colises das molculas da atmosfera com a superfcie

A interao entre o gs e a superfcie um fenmeno ainda pouco conhecido. Schaaf e Cambr (1961) apresentaram um modelo matemtico que utiliza a teoria cintica dos gases de Maxwell, em conjunto com 2 coeficientes, e , que representam, respectivamente, a quantidade de movimento trocada durante a coliso nas direes normal e tangencial, dados por:

i r

i w

P PP P

=

, e (3.51)

i r

i

Q QQ

= (3.52)

onde P e Q so as componentes da quantidade de movimento do fluxo na direo normal e tangencial, respectivamente. Os ndices i e r representam o fluxo incidente e refletido, enquanto que Pw a quantidade de movimento na direo normal carregada pelo fluxo refletido caso este fluxo tivesse temperatura igual temperatura da superfcie.

O coeficiente de acomodao trmica, , traduz a troca de energia durante a coliso e permite modelar a transferncia de calor entre o fluxo de molculas e o satlite. Experimentalmente sabe-se que tanto quanto e dependem do material da superfcie, do acabamento superficial e tambm da temperatura, alm da velocidade, temperatura e ngulo de incidncia do fluxo. Contudo, as poucas medies efetuadas na rea indicam que estes coeficientes so prximos a 1, o que equivale a dizer que a troca de calor e quantidade de movimento quase total (Schaaf e Cambr, 1961, Dought e Schaetzle, 1969 e Knechtel e Pitts, 1969 e 1973). Numa reflexo especular, na qual as molculas refletidas possuem ngulo de reflexo igual ao ngulo de incidncia, deve-se esperar que no haja tempo para troca de calor entre a molcula e a superfcie, e, portanto, a distribuio de velocidades do fluxo emergente igual ao fluxo incidente. Neste caso, os coeficientes , e so todos nulos. Na outra extremidade, quando a reflexo totalmente difusa, a temperatura das molculas emergentes igual temperatura da superfcie, e, neste caso, , e so unitrios.

43

O coeficiente de arrasto depende da razo entre a velocidade do satlite com relao atmosfera e a velocidade mais provvel das molculas. Esta relao, conhecida como razo de velocidades s, assume valores entre 2 e 20, nas altitudes orbitais. Em outras palavras, a velocidade do satlite bem maior do que a velocidade das molculas. A razo de velocidades dada por:

2R im

s vk T

= (3.53)

onde m a massa mdia das molculas, k a constante de Boltzmann e Ti a temperatura local da atmosfera (obtida de modelos da atmosfera). A massa mdia das molculas dada por:

av

Mm

N= , (3.54)

onde M a massa molecular mdia local (tambm obtida de modelos atmosfricos) e Nav o nmero de Avogrado.

A dependncia do coeficiente de arrasto com relao velocidade ou temperatura das molculas emergentes traduzida pela relao entre a temperatura da superfcie Tw e a temperatura local da atmosfera Ti. Contudo, a influncia desta relao no ultrapassa a 10% do valor do coeficiente de arrasto na maioria dos satlites.

O modelo obtido por Schaaf e Cambr aplica-se exclusivamente a uma placa plana, numa orientao qualquer com relao ao fluxo incidente. Pode-se, contudo, admitir que esta placa plana tenha uma rea infinitesimal, e assim o modelo matemtico pode ser integrado em toda a superfcie do satlite exposta atmosfera. De fato, como as molculas possuem velocidades em todas as direes, mesmo as superfcies encobertas do satlite em relao ao fluxo incidente sofrem coliso com molculas da atmosfera, embora em menor quantidade.

Este modelo baseia-se na hiptese de duas distribuies de velocidade da atmosfera: o fluxo incidente e o emergente. Portanto, quando ocorre dupla reflexo do fluxo, devido, por exemplo, a um satlite com geometria cncava, como mostrado na Figura 3.9, o modelo no pode mais ser aplicado. As dificuldades tericas introduzidas pela dupla (ou tripla) reflexo, so, entretanto, to grandes que geralmente despreza-se seu efeito, passando a considerar-se apenas uma reflexo mesmo em satlites com geometria cncava. Um outro problema surge quando superfcies do satlite so encobertas por outras, na direo do fluxo incidente, como mostrado na Figura 3.10. Neste caso, a rea encoberta no sofre a incidncia direta das molculas, embora ainda persista uma contribuio de molculas vindas de outras direes. Logo, a simples eliminao destas superfcies do clculo no corrige o problema, embora leve a um resultado mais prximo do real. Modelos matemticos que levem em conta satlites com geometria cncava ainda so escassos, principalmente em virtude das complexidades terica e

44

computacional (Evans, 1964, Chahine, 1961). Comparaes entre teoria e experimento so tambm raras (Fredo e Kaplan, 1981, e Boettcher e Legge, 1980)

A distribuio de velocidades uma relao escalar que d a probabilidade de uma molcula possuir velocidade entre v e v + dv. Esta distribuio uma gaussiana, que depende da velocidade, da temperatura, da densidade e da massa das molculas do gs. A funo distribuio de velocidades pode ser integrada de forma a obter-se a quantidade de movimento do fluxo incidente num elemento de rea plano, resultando:

[ ]

2 22

cos

2

2 2

2e cos

2 2

11 erf( cos ) (2 ) cos cos2 2

si wn

i

w

i

u TP ss T

Ts s s

T

= + + pi

+ + + + pi

, (3.55)

onde u a velocidade da atmosfera com relao ao satlite, o ngulo de incidncia (ngulo entre a direo do fluxo e a normal ao elemento de rea), i a densidade do fluxo incidente e erf(s) a funo erro, definida como:

2

0

2erf( ) e dx yx y=

pi , (3.56)

rea encoberta

Direo do fluxo incidente

Dupla reflexo

Figura 3.10 - Dupla reflexo e encobrimento de superfcies em geometria cncava.

Na direo tangencial ao elemento de rea, a quantidade de movimento dada por:

[ ]{ }2 22 cossen e cos 1 erf( cos )2 sit uP s ss = + pi + pi . (3.57) A fora aerodinmica resultante neste elemento de rea dA ser ento dada por:

45

( cotg ) cosece t n tF P P n P u= + r

(3.58)

onde n e u so os vetores unitrios nas direes normal e do fluxo incidente, respectivamente.

Portanto, a fora de arrasto agindo em um satlite pode ser dada como:

( , , , / ) daer e w iAF F s T T A= r v

(3.59)

onde Fe a fora elementar agindo num elemento de rea plano de rea dA. Por definio, o coeficiente de arrasto definido como:

212

aer RD

R

F vCS v

=

v v

. (3.60)

Pode-se mostrar que quando a rea S adotada for igual rea projetada na direo da velocidade, e quando a razo de velocidades s for grande, o coeficiente de arrasto CD tende ao valor 2.

A integrao da equao que fornece a fora aerodinmica pode ser efetuada analiticamente em corpos simples, como esfera, paraleleppedo, cone e cilindro. O coeficiente de arrasto numa esfera resulta:

2

4 2 23

2 erf( ) e 2(4 4 1) (2 1)2 2 3

s

wDesf

i

TsC s s ss s s T

+

= + + + + pi pi

(3.61)

Quando se deseja uma grande preciso no clculo da fora aerodinmica, ou no caso de no haver integral analtica para a geometria do satlite, recorre-se ao uso de modelos computacionais, que levam em conta a geometria, as propriedades de cada superfcie (coeficientes de acomodao e temperatura), e modelos realistas da atmosfera (Carrara, 1982 e 1988, Boettcher, 1979). Tais programas permitem tambm avaliar torques aerodinmicos que auxiliam o projeto de sistemas de controle de atitude. 3.5.3 Densidade atmosfrica

A densidade atmosfrica varia exponencialmente com a altitude, mas mudanas no perfil de temperaturas com a altitude provocam igualmente variaes na densidade e na frao individual de cada componente dos gases que formam a atmosfera. Nos primrdios da era espacial, foram desenvolvidos alguns modelos matemticos e empricos para a densidade da alta atmosfera, como o MSIS, o J70 (Jacchia, 1972), U.S. Standard Atmosphere (United States Air Force, 1976) e o CIRA70. Estes modelos

46

foram posteriormente melhorados pela incluso de dados obtidos de novos satlites, como o modelo J77 (Jacchia, 1977) e MSIS 86.

A atmosfera dividida em camadas, para fins de estudo, conforme mostra a Figura 3.11. Os modelos matemticos da alta atmosfera abrangem as camadas da Termosfera e Exosfera. Na Magnetosfera o nmero de molculas e tomos muito reduzido, e pode ser desprezado no clculo da fora aerodinmica. A partir da Termosfera, o nmero de molculas ionizadas cresce gradativamente, em virtude da radiao solar, formando assim um plasma condutor de eletricidade.

A Tabela 3.1 apresenta algumas propriedades da alta atmosfera, como o nmero de densidade das partculas neutras, nneutro (nmero de molculas por unidade de volume), o nmero de densidade das partculas ionizadas nion, o percentual de partculas ionizadas rion, o constituinte principal da atmosfera, a velocidade mdia das molculas e ons vmol, e a velocidade mdia dos eltrons velec.

Troposfera

Exosfera

TermosferaMezosferaEstratosfera

Magnetosfera

10 km50 km80 km300 km

2000 km

15C

700C-90C

700C

-60C-60C

15C

Figura 3.11. A alta atmosfera terrestre.

Tabela 3.1 Propriedades da alta atmosfera

h (km) nneutro (m-3) nion (m-3) rion (%) Const. principal vmol (m/s) velec (m/s) 300 2 1015 2 1012 0.1 O 1.6 103 1.4 105 500 2 1014 2 1011 0.1 O 1.7 103 1.4 105

1000 5 1012 1 1010 0.2 O 1.7 103 1.4 105 2000 1 1011 5 109 5 He 3.4 103 1.4 105 3000 2 1010 2 109 10 He 3.4 103 1.4 105 4000 1 109 2 109 70 H 6.8 103 1.4 105

As caractersticas da atmosfera sofrem influncia de vrios fatores. A densidade depende, basicamente, do constituinte principal naquela altitude. A relao entre os constituintes, por sua vez, depende da temperatura local. A temperatura varia pouco na regio ao redor dos 100 km de altitude, porm aumenta assintoticamente at a denominada temperatura exosfrica, por volta dos 2000 km. Verificou-se, com dados

47

obtidos dos primeiros satlites, que a temperatura exosfrica variava com o tempo, numa taxa diria. Comprovou-se que esta variao era causada pelo Sol e que estava relacionada com o nmero de manchas na superfcie do Sol. Por sua vez, o nmero de manchas depende do ciclo solar, que apresenta perodos de mxima e mnima atividades do Sol num perodo de 10,6 anos. Com base na anlise dos dados obtidos dos satlites, Jacchia sugeriu que fosse utilizado, ao contrrio do nmero de manchas, o fluxo solar ou intensidade espectral do Sol na faixa de 10.7 cm de comprimento de onda (2800 MHz). J se sabia, anteriormente, que este fluxo, denotado por F10.7, relacionava-se com os perodos de atividade solar, e eram medidos diariamente pelo Herzberg Institute of Astrophysics, do Canad, desde 1937, pois influencia as radiocomunicaes. O fluxo solar apresenta uma variao entre 10 (em perodos de fraca atividade) at 400 (durante exploses solares), em unidades de 10-22 W/m2Hz. No modelo J77 (Jacchia, 1977), a temperatura exosfrica mdia dada por:

0.8 0.41/2 10.7 10.75.48 101.8T F F= + , (3.62)

onde 10.7F o fluxo solar mdio (num intervalo de 2 meses, aproximadamente) e 10.7F o fluxo dirio observado. Com base na temperatura exosfrica, Jacchia propos um perfil de temperatura em funo da altitude baseado num arco tangente, conforme mostra a Figura 3.12. Este perfil parte de condies fixas a 90 km de altitude, com um gradiente de temperatura nulo, atinge um ponto de inflexo a 125 km e caminha-se assintoticamente at a temperatura exosfrica. Este perfil de temperatura ento utilizado na equao baromtrica, que obtm valores de densidade e composio a 100 km. Estes valores sero utilizados como ponto inicial na integrao da equao de difuso, que calcula a densidade e composio numa data altitude. Os valores da massa molecular mdia e da densidade atmosfrica podem ser vistos nas Figuras 3.13 e 3.14.

A densidade calculada pela equao da difuso constitui o denominado perfil esttico da atmosfera. Sobre este perfil so acrescentados diversos efeitos que causam variaes significativas na densidade mdia. Todos estes efeitos possuem modelagem emprica, realizada atravs do ajuste de curvas que dependem de diversos fatores. O principal efeito a atividade geomagntica, causada pela interao do vento solar com o campo magntico terrestre, e que provoca um aquecimento da atmosfera principalmente durante as exploses solares que ocorrem com maior freqncia nos perodos de grande atividade solar. O vento solar, composto basicamente por ncleos de He, distorce o campo magntico da Terra, fazendo com que o campo assuma a forma de uma gota cuja cauda aponta na direo contrria do Sol (Figura 3.15). As distores introduzidas pelo vento solar no campo geomagntico so sentidas na superfcie e medidas em intervalos de 3 horas por 12 em observatrios magnticos espalhados em vrios continentes. Estas informaes so ento repassadas ao Institute fr Geophysick, na Alemanha, que divulga ento o ndice planetrio da atividade geomagntica Kp, em tabelas com intervalos de 3 horas entre dois valores. O ndice planetrio possui uma escala quase logartmica, e assume apenas valores discretos entre 0 e 10, com incrementos de 1/3: 0o, 1-, 1o, 1+, 2-, 2o, 2+, etc. Em virtude da escala ser quase logartmica, e tambm em parte por adotar valores discretos, os modelos atmosfricos

48

raramente usam o ndice planetrio, preferindo a amplitude planetria da atividade geomagntica, Ap, que possui escala linear entre 0 e 400. Como a amplitude tem seus valores definidos em funo do ndice planetrio, ela tambm assume apenas 28 valores discretos neste intervalo: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, etc. No modelo J77 o ndice planetrio deve ser fornecido com uma defasagem no tempo que depende da latitude magntica do local, podendo atingir at 7 horas de diferena. A atividade geomagntica provoca um incremento na temperatura exosfrica, principalmente nas regies polares, pois nestas regies as partculas do Sol aprisionadas pelo campo geomagntico atingem baixas altitudes.

0 100 200 300 400 500 600Altitude (km)

0

500

1000

1500

2000

Tem

pera

tura

lo

cal (

K)

Figura 3.12 - Perfil da temperatura local para 4 temperaturas exosfricas distintas.

49

0 500 1000 1500Altitude (km)

0

10

20

30

Mas

sa m

ole

cula

r m

dia

2400K

1500K

1000K

750K500K

Figura 3.13 - Massa molecular mdia da atmosfera em funo da temperatura exosfrica.

0 500 1000 1500Altitude (km)

1E-16

1E-15

1E-14

1E-13

1E-12

1E-11

1E-10

1E-9

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

Den

sidad

e (kg

/m3)

500K750K 1000K

1500K2400K

Figura 3.14 - Densidade atmosfrica em funo da altitude e da temperatura exosfrica.

50

Figura 3.15 - Interao do vento solar com o campo geomagntico.

A densidade atmosfrica tambm depende do ngulo formado entre a direo do Sol e o local onde se encontra o satlite, medido a partir do centro da Terra. Este efeito, conhecido com variao diria ou diurna, provoca um valor mximo da temperatura exosfrica ao redor das 17 horas, com um mnimo s 5 horas local. No modelo J77 este efeito depende tambm da declinao solar (poca do ano).

Outro efeito decorre de variaes sazonais-latitudinais, que dependem, como o nome indica, da poca do ano e da latitude (e tambm da altitude). Da mesma forma com que foi feito na atividade geomagntica, o modelo J77 introduz um incremento na temperatura exosfrica devido aos efeitos da variao sazonal-latitudinal.

Como a Terra passa por dois equincios durante um ano, nesta poca (em abril e outubro) ocorrem dois perodos de mxima variao semi-anual. Este efeito depende, portanto, da poca do ano e da altitude.

3.5.3.1 Atividade solar

Como foi dito, a atividade solar provoca um aquecimento na atmosfera, alterando a densidade e composio. A atividade, representada pelo fluxo solar F10.7, possui valores entre 10 (baixa atividade) e 400 (alta atividade), medidos pelo Herzberg Institute of Astrophysics, do Canad. O valor observado ento corrigido para uma unidade astronmica, isto , corrige-se o efeito da excentricidade da rbita da Terra. Embora o valor dirio medido seja altamente imprevisvel, seu valor mdio apresenta um comportamento que permite, at certo ponto, fazer previses (Lopes e Carrara, 1984). A previso do valor mdio mais confivel quanto menor for o intervalo de previso. A preciso obtida nesta previso depende tambm se o Sol encontra-se num perodo de mnima ou mxima atividade. Os perodos de mnima atividade so bastante regulares, o que aumenta a confiabilidade da previso. Nos perodos de mxima atividade o fluxo apresenta valores dirios errticos de maior amplitude, e cuja mdia pode atingir maior ou menor intensidade de ciclo para ciclo, como mostrado na Figura 3.16, cujos valores

51

foram obtidos no Dominion Radio Astrophysical Observatory (DRAO, 2008). Um exemplo dos valores divulgados pelo DRAO mostrado no Apndice B.

O fluxo solar dirio mostrado na Figura 3.17. Nota-se que em 2 de abril de 2001 houve uma tempestade solar registrada pelo ndice, que atingiu um valor de 560. Estas exploses duram apenas poucas horas, nem sempre so registradas, e ocorrem principalmente em perodos de alta atividade, como na poca mostrada na figura.

Valores medidos do fluxo solar e da atividade geomagntica foram agrupados num nico arquivo (Carrara, 1989), com a inteno de aumentar a confiabilidade dos modelos numricos. Com base neste banco de dados, foram desenvolvidas interfaces que interpolam e ajustam os valores medidos de acordo com as especificaes dos modelos atmosfricos.

3.5.4 Modelos atmosfricos

Os modelos matemticos da densidade atmosfrica baseiam-se na integrao da equao de difuso, que uma equao diferencial que envolve a temperatura, o nmero de densidade e deve ser integrado numericamente na altitude. Em vista da necessidade da integrao numrica para avaliar a densidade numa dada altitude, procurou-se desenvolver modelos analticos aproximados com a inteno de melhorar o desempenho computacional. Tanto os modelos analticos quanto os numricos foram implementados em computador no INPE (Carrara, 1990).

1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000Tempo (anos)

50

100

150

200

250

300

Flux

o so

lar

md

io (30

di

as)

Figura 3.16 - Fluxo solar mdio 10.7F .

52

0 30 60 90 120 150 180 210Tempo (dias) a partir de 1/1/2001

100

200

300

400

500

600Fl

uxo

so

lar

corr

igid

o

Figura 3.17 - Fluxo solar dirio 10.7F .

Conta-se, presentemente, com o modelo J70 (Jacchia, 1972), baseado no modelo J64 (Jacchia, 1964) do mesmo autor. Este modelo originou a verso analtica de Jacchia-Roberts (Roberts Jr., 1971), tambm implementada no INPE, e posteriormente revisada para incluir melhorias (Kuga, 1985). A verso de 1977 do modelo de Jacchia foi implementada por Matos (1984), que tambm implementou duas verses analticas do mesmo modelo: a verso De Lafontaine e Hughes (1983) e uma adaptao do modelo Jacchia-Lineberry (que originalmente havia sido desenvolvido para o J70) para o modelo J77 (Mueller, 1982).

Tambm bastante utilizados so os modelos analticos MSIS-83 e MSIS-86 (Hedin, 1987), dos quais foi implementado este ltimo.

3.6 Foras de Presso de Radiao Solar

As rbitas de satlites cuja razo entre a rea e sua massa muito grande podem sofrer efeitos significativos devido fora de presso de radiao solar. A presso de radiao causada pela troca de quantidade de movimento dos ftons solares com a superfcie externa do satlite. A quantidade de movimento associada a cada fton depende da energia do prprio fton e, portanto, a fora aplicada ao satlite depende da energia irradiada pelo Sol. Na rbita da Terra, esta energia constante (no varia com a atividade solar) e vale aproximadamente 1350 W/m2.

A acelerao causada pela presso de radiao atua na direo Sol-satlite, no sentido oposto ao versor Terra-Sol, Sr , e dada por:

53

PR R S SSA C P rm

= r

, (3.63)

onde o fator de eclipse, que vale 0 quando o satlite se encontra na sombra da Terra e 1 quando o satlite est iluminado, CR um fator que depende da refletividade do satlite, denominado de coeficiente de presso de radiao, S a seco transversal quando observada na direo de incidncia dos raios solares e m a massa do satlite. PS a presso de radiao na rbita terrestre, e vale aproximadamente 4.55 10-6 N/m2.

Srr

o raio vetor do Sol relativo Terra.

O fator de eclipse pode ser calculado conforme a posio do satlite em relao Terra e ao plano terminador, que separa as regies da luz e sombra da Terra. Da fig. 3.18, se

0sh r r= r r

, (3.64)

ento o satlite est antes do terminador e portanto = 1. Quando h < 0, ento se d Rt, = 1 (iluminado). Se d < Rt, ento = 0 (sombra), onde Rt o raio terrestre (mdio) e d o mdulo do produto vetorial:

Sd r r= r

. (3.65)

r

rs

Figura 3.18 Geometria entre a rbita e a sombra da Terra

Como foi dito, a constante PS est diretamente relacionada intensidade de radiao mdia nas proximidades da rbita da Terra e definida por:

SWPc

= (3.66)

54

onde c a velocidade da luz (300000 km/s) e W a intensidade de radiao, definida como a energia incidente por unidade de rea, por unidade de tempo emitida pelo Sol. Esta intensidade oscila com variao de cerca de 7% num ano em funo da excentricidade da rbita terrestre, e vale:

20

0RW WR

=

, (3.67)

onde I0 a intensidade de radiao uma unidade astronmica, igual a 1350 W/m2, R a distncia da Terra ao Sol e R0 a distncia mdia da Terra ao Sol (uma unidade astronmica). A presso de radiao fica ento:

20 0

SW RPc R

=

= 4.5 10-6

20R

R

N/m2. (3.68)

As perturbaes devido presso de radiao solar so pequenas para satlites de construo normal mas so grandes quando a razo entre a rea e a massa for alta. Os efeitos so peridicos e todos os elementos orbitais so afetados.

A expresso resultante para a presso de radiao solar fica ento:

///

S S

R S S S

S S

x rxSy C P y rm

z z r

=

&&

&&

&&

(3.69)

3.6.1 Coeficiente de presso de radiao

O coeficiente de presso de radiao CR em geral admitido nas aplicaes que envolvem propagao de rbita com valores compreendidos entre 1 e 3. Embora este procedimento gere preciso suficiente na maioria das aplicaes, pode-se contudo recorrer a modelos mais sofisticados quando a preciso requerida for mais acentuada, ou ento em rbitas onde a presso de radiao solar dominante (como nas rbitas geoestacionrias, por exemplo). O coeficiente pode igualmente ser obtido a partir da aplicao de teorias que modelam a interao da luz com superfcies slidas. Os modelos existentes foram formulados nas dcadas de 60 e 70, e aplicados nas misses interplanetrias para Marte, nas quais a presso de radiao era o efeito predominante (Evans, 1964 e Georgevic, 1973a e 1973b).

O valor de CR maior em satlites que possuem superfcies altamente refletoras, e depende tanto da geometria quanto das propriedades das superfcies externas. A modelagem matemtica da fora de radiao semelhante quela empregada na fora aerodinmica, e muitas vezes so calculadas juntas nos programas computacionais. Para o seu clculo, define-se inicialmente a intensidade de radiao, que representa a energia

[V1] Comentrio: Pgina: 84 Incluir mais informaes a respeito do efeito da presso de radiao nos elementos orbitais.

55

por unidade de rea e unidade de tempo que deixa um elemento de rea dA numa direo (com relao normal) e subentendida num ngulo slido d (Figura 3.19):

5

d 0d 0d 0

dlimd d d cosAt

EIA t

=

(3.70)

dA

d

Figura 3.19 - Intensidade de radiao emitida por um elemento de rea.

A energia irradiada pelo elemento dada pela integral da intensidade de radiao em todo o hemisfrio visvel:

cos di HW I I= = pi , (3.71)

desde que seja assumido que a intensidade de radiao seja isotrpica, isto , no dependa da direo de emisso e nem do ngulo . Considere agora um elemento de rea dA do satlite e um sistema de coordenadas fixo a este elemento, com o eixo ze coincidente com a normal e com os eixos xe e ye contidos no plano do elemento, tal que ye esteja tambm contido no plano formado por ze e pela direo de incidncia dos raios solares s (com Ss r= ), como mostrado na Figura 3.20.

dA

s

xe ye

ze

Figura 3.20 - Sistema de coordenadas do elemento de rea do satlite

Nesta situao, a fora aplicada neste elemento devido radiao incidente vale:

d d cosi S SF P A r= r

(3.72)

56

Decompondo agora esta fora nas direes normal e tangencial (nas direes de ze e ye, respectivamente), tem-se:

2d d cosi SP P A= , e (3.73)

d d cos seni ST P A= (3.74)

A radiao incidente interage com a superfcie, podendo deix-la aps refletir, ser absorvida ou ser transmitida. A radiao absorvida eleva a temperatura do elemento de superfcie, que passa a irradiar no espectro do infravermelho, e tambm a conduzir calor para os elementos de rea vizinhos. A conveco desprezada pelo fato de haver quase vcuo nas altitudes orbitais. A contribuio da irradiao pode ser levada em conta, desde que se disponha da temperatura absoluta de cada elemento de superfcie. Entretanto, a parcela de radiao irradiada geralmente pequena, e quase sempre simtrica com relao ao satlite, de tal forma que sua resultante, quando integrada em toda a superfcie externa praticamente nula. Desta forma, justifica-se a sua excluso da formulao apresentada aqui.

A radiao transmitida s efetiva em superfcies transparentes, que so relativamente raras nos satlites. A incluso deste efeito na modelagem no complicada, porm torna a descrio das reas transparentes bastante complexa na integrao. Em vista disso, a transmisso ser igualmente excluda.

A parcela refletida da radiao incidente pode se dar da forma especular ou na forma difu