1

No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente

Movimento de satélites artificiais

Movimento circular uniforme

Exemplos:

Pontos de um disco num gira discosPontos de um disco rígido de computador

Ponteiros de um relógio

As pessoas girando com o movimento da Terra

2

Movimento circular uniforme

x

y

r

xe

ye

Vector posição

r e

Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares

x s

dr

O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo é:

rs

drds

O arco descrito em dt é dado por

ds

3

O movimento circular é um movimento periódico

O tempo de uma volta completa é o período T

ao tempo que demora para descrever um ângulo de 2

A velocidade angular é T 2

v

v

A

B

ca

ca

No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante

A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade

O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória

A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo

No SI a unidade da velocidade angular é 1s

Pode-se escrever também 1s rad

Demonstraremos que

r

ou f 2 onde f é a frequência

A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)

4

x

y

r

xe

ye

A velocidade da partícula é a

derivada em ordem ao tempo de rv

)(dtd

O módulo da velocidade é v

Relaciona a velocidade angular velocidade linear v

22222 )cos(sin rrv

rv

porque

)cos(sincossin 2222222222 rrr

v

v

xv yv

5

O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia

O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a direcção da velocidade

A aceleração é

Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição

É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade

O módulo da aceleração centrípeta é

como rv

está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta

v

v

A

B

ca

ca

6

Exemplo 13. Um pião roda uniformemente com frequência de 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto na superfície do pião em r = 3 cm ?

A velocidade angular é: f 2 Hz) rad)(162(

-1-1 s rad 101~s rad 48.100Hz) rad)(1614.32(

A aceleração centrípeta será

-222-12 s m 0.306m) 103()s rad 101( rac

7

Como , a velocidade angular também não é constante.

é a aceleração tangencial e tem a mesma direcção do vector velocidade

Movimento circular uniformemente variado

No movimento circular uniformemente variado, a velocidade linear não é constante. v

A aceleração é

rv

[dtd

]

onde

+ dtd

é a aceleração angular

ta

v ca

cujo módulo é

tav

8

ta

a

ca

Módulo da aceleração total

Quando a aceleração angular é constante podemos obter

b) Sabendo que a velocidade da partícula é e calcule a aceleração da partícula.

Exemplo 14: um ponto na trajetória de uma partícula é dada pelas equações (em unidades SI):

y(t) = -1.0 t2 + 10.0 t + 2.0

x(t) = 0.2 t2 + 5.0 t + 0.5

)3()6( rrr a) Calcular

em t = 3 s : x(3) =17 m e y(3) =23 m

em t = 6 s : x(6) =38 m e y(6) =26 m

m)3 21(

) m 23 m 17() m 26 m 38()3()6(

yx

yxyx

ee

eeeerrr

2

2

m/s0.2100.2

m/s4.0)0.5 4.0(

tdtd

dtdv

a

tdtd

dtdv

a

yy

xx

2m/s) 0.24.0( yx eea

0.5 4.0 tvx 10 0.2 tv y

222 m/s0.22.4 yx aaaa

O módulo da aceleração e ângulo

0.54.00.2

x

y

aa

tg o79 9

1010

1.3 Movimento em três dimensões

zyx ezeyexr

Para um movimento em três dimensões o vector posição é

zzyyxx evevevv

A velocidade é

zzyyxx eaeaeaa

A aceleração é r

xe

ye

ze

x

z

y

zmzymyxmx evevevv

A velocidade média é

zmzymyxmx eaeaeaa

A aceleração média é

11

b) Obtenha os ângulos e que e fazem com a horizontal em t =1.0 s.

Exemplo 12. Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos e de e com a horizontal em t =1.0 s.

v

r

a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). As componentes da velocidade são:

tgtgtvv oyy 8.90 As componentes do vetor posição são:

tttvxx xx 1010000

22200 9.48.9

2100

21 ttgttvyy y

m/s 10xv

' rv

m ) 9.4 10( 2yxyx eteteyexr

m/s )8.910( yxyyxx eteevevv

-0.49s) 1)(49.0(49,0 txytg

o26

-0.98s) 1)(98.0(98,0 tvv

tgx

y

o44'