Sócioepistemologia:Sócioepistemologia:Nota sobre a Construção Social do Nota sobre a Construção Social do

Conhecimento Matemático AvançadoConhecimento Matemático Avançado

Dr. Ricardo Cantoral – UrizaDepartamento de Matemática Educativa – Cinvestav IPN

Centro de Investigación en Matemática Educativa – Cimate UAG

Miembro regular de la Academia Mexicana de Ciencias

Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II

2

La sensibilité La sensibilité à la contradiction...à la contradiction...Recherches en Didactiques des MathématiquesRecherches en Didactiques des Mathématiques

• SOCIOÉPISTÉMOLOGIE: Approche SOCIOÉPISTÉMOLOGIE: Approche théorique systémique qui permet de traiter théorique systémique qui permet de traiter les phénomènes de production et de les phénomènes de production et de diffusion de la connaissance à partir d’une diffusion de la connaissance à partir d’une perspective multiple, en incorporant l’étude perspective multiple, en incorporant l’étude des interactions entre l’épistémologie de la des interactions entre l’épistémologie de la connaissance, sa dimension socioculturelle, connaissance, sa dimension socioculturelle, les procédés cognitifs associés et les les procédés cognitifs associés et les mécanismes d’institutionnalisation via mécanismes d’institutionnalisation via l’enseignement. (Cantoral, Farfán, 2003).l’enseignement. (Cantoral, Farfán, 2003).

3

The Teaching and Learning The Teaching and Learning of Mathematics at University Level of Mathematics at University Level

Kluwer Acadmic Publishers, 2001Kluwer Acadmic Publishers, 2001

• The history ... has also been looked at from a The history ... has also been looked at from a socioepistemological perspective by research socioepistemological perspective by research group ... at Cinvestav in Mexico... starts with the group ... at Cinvestav in Mexico... starts with the assumption that the present structure of assumption that the present structure of theoretical mathematical discourse in analysis theoretical mathematical discourse in analysis obscures the essential emprirical sources of the obscures the essential emprirical sources of the development of the field... Thus, looking at development of the field... Thus, looking at historical development provides alternative historical development provides alternative ways to introduce and develop knowledge in the ways to introduce and develop knowledge in the field.field.

4

KluwerKluwer Acadmic Publishers, 2001Acadmic Publishers, 2001

• ThisThis is especially necessary if one has in mind not is especially necessary if one has in mind not the training of future mathematicians but the the training of future mathematicians but the training of scentific students and engineers. Such a training of scentific students and engineers. Such a perspective has been used by Cinvestav in order to perspective has been used by Cinvestav in order to study the learning and teaching of variation, from study the learning and teaching of variation, from high school to studies in advanced analysis of the high school to studies in advanced analysis of the way variation is dealt with in different professional way variation is dealt with in different professional and social contexts, the cognitive analysis of and social contexts, the cognitive analysis of learning processes, and didactic engineering designs learning processes, and didactic engineering designs (see Cantoral, Farfán, 1998)” In Robert, p. 285.(see Cantoral, Farfán, 1998)” In Robert, p. 285.

5

Albert Einstein, 1940

• Todos os impérios do futuro virão a ser impérios do conhecimento, e somente terão êxito os povos que entendam como gerar conhecimento e como protegê-los, como buscar os jovens que tenham a capacidade para fazê-lo e assegurar que estes fiquem no país.

6

Albert Einstein, 1940

• Os outros países litorâneos bonitos com igrejas, minas, com uma história fantástica; pois provavelmente não ficarão com as mesmas bandeiras, nem com as mesma fronteiras, nem tão pouco êxito econômico.

7

En el siglo XXI

• Nos encontramos en una sociedad que depende cada vez más de sus avances científicos y tecnológicos.

• Lo nuevo de la evolución reciente de la modernidad es que, cada vez más, la ciencia y particularmente la tecnología afectan la vida cotidiana.

8

En el siglo XXI

• Esta influencia es observable en la creciente demanda de conocimiento científico y tecnológico para tomar decisiones comunes, ya sean individuales, como dietas alimenticias que afectan la presión arterial, la diabetes, o sociales, como la de optar por fuentes de energía más limpias que las tradicionales basadas en combustión de petróleo.

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En el siglo XXI

• La ciencia y la tecnología han dejado de ser parte del discurso de unos pocos académicos para formar parte de la “canasta básica” del ciudadano de a pie, de hecho, para interpretar las noticias diarias se requiere de un conocimiento mínimo en matemáticas ciencia y tecnología.

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Sociedades del conocimiento

• La del futuro será una sociedad del conocimiento. Éste será el recurso clave en el desarrollo de las personas, y los trabajadores del conocimiento serán fuerza dominante. Aunque la escuela ha dejado de ser el canal único mediante el cual se entra en contacto con el conocimiento

11

Se estima que...

• la educación en general, pero la educación básica y media en particular, dejarán de estructurarse en torno de materias tradicionales para hacerlo en función de temas, asuntos, problemáticas o competencias

• Se busca que el alumno sea capaz de aprender a aprender, a hacer, a ser, a participar...

12

Que motivo tais mudanças?

• concepção biológica universal dos seres humanos

• concepção de singularidade psicológica e genética (ADN)

Natureza social do estudante

Se passou da ... para ...

13

Natureza social do estudante

• Del coeficiente intelectual (IQ), que caracteriza al nivel de inteligencia

• A la inteligencia que progresa en varias dimensiones, que además se modifica y se expande

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• Currículo estandarizado

• Secuencia óptima de aprendizaje

• Atención a la heterogeneidad

• Los ritmos y las secuencias de aprendizaje varían

Acumulación del progreso

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En el año 2010, se liberalizan las profesiones básicas

• Un ingeniero formado en los EUA o en Canadá, puede trabajar en México

• Un ingeniero formado en México puede trabajar en EUA o en Canadá

• ¿Cuál será la dirección del flujo preferencial y mayoritario y hacia qué clase de empleos?

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La educación, pasa de ser ... a

• Un concepto teórico del interés exclusivo de los académicos

• El valor agregado en la producción

• Una promesa de mecanismo ideal para la promoción social

• Un asunto de competencia comercial

• pero sobre todo, se vuelve hoy día

• Un asunto de Seguridad Nacional

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Profesiones contenidas, TLC

• Actuarios• Agrónomos• Contadores• Enfermeiras• Farmacéuticos• Advogados

• Ingenheiros• Arquitetos• Odontólogos• Psicólogos• Médicos• Veterinarios

18

Número de alumnos por nivel educativo en 1986 y en 1996

• Educación Básica: 21,685,100 en 1986

22,480,700 en 1996

24,599,000 en 2006

• Educación Media: 1,941,900 en 1986

2,438,700 en 1996

3,600,000 en 2006

• Educación Superior:1,157,600 en 1986

1,522,000 en 1996

2,600,000 en 2006

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Matrícula por nível

20

Desertação ou expulsão?Desertação ou expulsão?

40

13

4

2té cn ico s

6T é cn ico m e d io

10

4

5lice n c ia d o s

9L ice n c ia tu ra

25B a ch ille ra to

1

2m a e s tro s

3N o rm a l

53S e cu n d a ria

100P rim a ria

Frações

Cálculo

Álgebra

¿Cuánto es la mitad de ½?

¿Cuánto es 20?

¿Cuánto vale el lím (1+1/n)n? n

21

Sistemas y SubsistemasSistemas y Subsistemas

Sistema didáctico

AAAA

SSSS

PPPP

AA

SS

PP

AA

SS

PP

AA

SS

PP

Sistema de enseñanza

22

Sistema educativoSistema educativo

23

Questões ausentes na aprendizagemQuestões ausentes na aprendizagem

• Como aprendem as pessoas? … Como aprendem as pessoas? … da onde?da onde?

• Como podíamos aprender a analisar seus processos de Como podíamos aprender a analisar seus processos de

aprendizagem? … aprendizagem? … a onde?a onde?

• Como atender á diversidade social e cultural dos Como atender á diversidade social e cultural dos

estudantes e os sistemas educativos?estudantes e os sistemas educativos?

24

Conhecimento matemáticoConhecimento matemático

• Teórico – CMTCMT

• Escolar – CMECME

• Funcional – CMF CMF

TD

PT

CMTCMTCMTCMT

CMECMECMECMECMFCMFCMFCMF

25

CMT – Somas com decimaisCMT – Somas com decimais

• 22,5 37 41,5 101 pues

• (22 101 2 100 5 101) (33 101 7

100 0 101) (44 101 1 100 5 101)

(22 33 44) 101 (2 7 1) 100 (5 0

5) 101 (9 101) (10 100) (10 101)

(9 101) (1 101) (1 100) (9 1 )

101 (1 100) 10 101 1 100 100 + 1

101

26

CME – Somas com decimaisCME – Somas com decimais

Pedro vai á papelaria a comprar três

cadernos, um de desenho e outro de

matemática e música, cujo os preços são:

$ 22,50; $ 37,00 e $ 41,50

27

101.00

CME – Somas com decimaisCME – Somas com decimais

Quanto deve pagar por sua compra?

22,50

+ 37,00

41,50

11

101.00101.00101.00101,00

11

28

CMF – Sumas con decimalesCMF – Sumas con decimales

Se comercian productos cuyos precios 22 pesos

con 50 centavos, 37 pesos y 41 pesos con 50

centavos, ¿Cuánto debo pagar por los tres?

… 22 + 37 es casi 22 + 38; 60 (es 60 – 1)

… 60 menos 1 + 40 más 1 es 60 + 40; 100

… 50 + 50 centavos es 1 peso

… la suma es entonces 101 pesos

29

Construa o gráfico deConstrua o gráfico de yy==xx22

Procedimiento usual:

Tabular + Puntear + Trazar

• ( 2) 2 4

• ( 1) 2 1

• 0 2 0

• 1 2 1

• 2 2 4

2 4

1 1

0 0

1 1

2 4

30

PuntearPuntear

2 4

1 1

0 0

1 1

2 4

31

A los mismos estudiantesA los mismos estudiantes

Se les propuso

bosquejar la

gráfica, pero

partiendo de otra

tabla de valores

2 4

1 1

1 1

2 4

0 0

32

Producen este dibujoProducen este dibujo

2 4

1 1

1 1

2 4

0 0

33

(x, y)

(2, 3)

(0, 1)

(y – 3) (x – 2)

(3 – 1) (2 – 0)

2y – 6 = 2x – 4

2y – 2x = 2

y = x + 1

=

Presentação escolar da equação Presentação escolar da equação de uma retade uma reta

34

Pendência e o teorema de ThalesPendência e o teorema de Thales

A

C

D

E

CA

AB=

DE

EB<>

B

D

E

Un ejemplo de enseñanza:Un ejemplo de enseñanza:P a r a d i g m a sP a r a d i g m a sdel cálculo diferencialdel cálculo diferencial

•Enfoque algorítmicoEnfoque algorítmico

•Enfoque formalEnfoque formal

•Enfoque axiomáticoEnfoque axiomático

36

Relaciones entre variablesRelaciones entre variables• Este enfoque se caracteriza por su centración Este enfoque se caracteriza por su centración

en las en las variablesvariables y sus relaciones; sus y sus relaciones; sus representantes principales son los libros de representantes principales son los libros de texto de principios del siglo XX. Como el texto de principios del siglo XX. Como el libro de W. A. Granville, …libro de W. A. Granville, …

• Los conceptos: función, límite, continuidad, Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, … se estructuran sobre la derivada, integral, … se estructuran sobre la idea idea paramatemáticaparamatemática de variable… de variable…

37

Relaciones entre funcionesRelaciones entre funciones• Este enfoque se caracteriza por su Este enfoque se caracteriza por su

centración en las centración en las funcionesfunciones y sus y sus relaciones; sus representantes principales relaciones; sus representantes principales son los libros como el de M. Spivakson los libros como el de M. Spivak

• Los conceptos: función, límite, Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, … se continuidad, derivada, integral, … se estructuran sobre la idea estructuran sobre la idea matemáticamatemática de de función real de variable real …función real de variable real …

38

Relaciones entre estructurasRelaciones entre estructuras

• Este enfoque se caracteriza por su Este enfoque se caracteriza por su centración en las centración en las estructurasestructuras numéricas; sus numéricas; sus representantes principales son los textos representantes principales son los textos como el de K. Kuratowskycomo el de K. Kuratowsky

• Los conceptos: función, límite, continuidad, Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, se estructuran sobre la derivada, integral, se estructuran sobre la idea de estructura idea de estructura metamatemáticametamatemática de de número realnúmero real

39

y = f (x)

y = f ´ (x)

Derivada de uma função Derivada de uma função Resposta de um docenteResposta de um docente

40

Um exemplo de gestão de classeUm exemplo de gestão de classe

• Problema: Seja V = ax2+ay2-2az2 o potencial elétrico com a constante. Encontra o campo elétrico e o valor de a para que o Trabalho W de levar uma carga q=2C do ponto (0,0,2) ao ponto (0,0,0) seja de –5105J.

• Professor: Qual é o Trabalho?• Estudante: W=FD• P: Pois, ... não é um produto vetorial...• E: Então W= F D

41

Um exemplo de gestão de classeUm exemplo de gestão de classe

• P: Pois o D... é grande?, recordar que é uma integral

• E: ¡Ah, sim!, W = F d• P: Pois se necessita o diferencial de longitude,

não?• E: ¡Sim claro!, W=F d dl• P: Tiralo... uma d e usa vectores• E: W = F dl

R. Pulido

42

Onde ela é positiva Onde ela é positiva ((xx)?)?

43

Onde ela é positiva Onde ela é positiva ((xx)?)?

44

Onde ela é positiva Onde ela é positiva ((xx)?)?

++ +

45

Onde ela é positiva Onde ela é positiva ((xx)?)?

?

46

Linguaje e discurso escolarLinguaje e discurso escolar

• Posição• Velocidade• Aceleração• …?

• Ordenada• Pendência• Concavidade• …?

f (x) f (x)

f (x)

f (x)

Quente – frio … morno / Grande - pequeno, ... médio

Bom - mau, ... regular / Longe – perto, ... “mais ou menos”

47

R e l m eR e l m e2020

Reunión Latinoamericana de Matemática EducativaReunión Latinoamericana de Matemática EducativaCamaguey, CubaCamaguey, Cuba

48

Newton, 1676Newton, 1676

49

Em onde ha mais polvos?, Em onde ha mais polvos?, encima ou embaixoencima ou embaixo

50

Qual o caminho mais curto?Qual o caminho mais curto?

51

Representação dos câmbiosRepresentação dos câmbios

52

O quê ? E como desloca?O quê ? E como desloca?

53

Qual é a diferença?Qual é a diferença?

54

Qual é a diferença?Qual é a diferença?

55

Qual é a diferença?Qual é a diferença?

56

CAS, CAS, visualizaçãovisualização

57

DispositivoDispositivo experimentalexperimentalCinvestav IPNCinvestav IPN

E. IVE. II

E. IE. III

P. AP. B

EscritorioCF

CM

58

Língua natural e íconesLíngua natural e ícones

59

Trajetória e íconesTrajetória e ícones

60

Trajetória das coordenadasTrajetória das coordenadas

61

Segundos de demora nas vértices Segundos de demora nas vértices da posição do móvelda posição do móvel

62

Gráfica com elemento icónico para Gráfica com elemento icónico para expressar “ dar a volta ”expressar “ dar a volta ”

63

Modelo trajetória-numéricoModelo trajetória-numérico

64

Produção finalProdução final

Dr. Ricardo Cantoral – UrizaDr. Ricardo Cantoral – UrizaCentro de Investigación en Matemática Educativa – UAGCentro de Investigación en Matemática Educativa – UAG

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