sistemas de potencia
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Analise EstaticaTRANSCRIPT
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Edmarcio Belati
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Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati
Análises Estática em Sistemas
Elétricos de Potência
Aula 2Aula 2
12/02/2015
Fluxo de Carga
Métodos Diretos
Métodos Iterativos
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A avaliação do desempenho das redes de energia elétrica em
condições de regime permanente senoidal é de grade
importância tanto na operação em tempo real do sistema como
no planejamento da operação e expansão do sistema. Entre as
informações a serem determinadas para uma condição definidas
de carga e geração se destacam as seguintes:
FLUXO DE CARGA AC
O carregamento das linhas de transmissão e transformadores;O carregamento das linhas de transmissão e transformadores;
O carregamento dos geradores;O carregamento dos geradores;
A magnitude da tensão nas barras;A magnitude da tensão nas barras;
As perdas de transmissão;As perdas de transmissão;
O carregamento dos equipamentos de compensação de reativos (síncronos e estáticos).O carregamento dos equipamentos de compensação de reativos (síncronos e estáticos).
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A partir das informações listadas é possível definir propostas de
alterações a serem implantadas no sistema, com objetivo de
tornar sua operação mais segura e econômica. Entre as
possíveis alterações no sistema, destacam-se:
Ajuste no despacho dos geradores;Ajuste no despacho dos geradores;
Ajustes nos dispositivos de controle de tensão (injeção de potência reativa, posição dos taps dos transformadores e statusdos bancos dos de reatores e capacitores);
Ajustes nos dispositivos de controle de tensão (injeção de potência reativa, posição dos taps dos transformadores e statusdos bancos dos de reatores e capacitores);
Ajustes no intercâmbio com sistemas vizinhos;Ajustes no intercâmbio com sistemas vizinhos;
Mudança na topologia (ligar ou desligar alguma linha ou transformadores).Mudança na topologia (ligar ou desligar alguma linha ou transformadores).
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FLUXO DE CARGA AC
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Já as alterações possíveis no planejamento da expansão do
sistema, destacam-se:
Instalação de novos pontos de geração;Instalação de novos pontos de geração;
Instalação de novas linhas de transmissão e transformadores;Instalação de novas linhas de transmissão e transformadores;
Instalação de dispositivos de controle de fluxo de potência (FACTS – Flexible AC Transmission System);Instalação de dispositivos de controle de fluxo de potência (FACTS – Flexible AC Transmission System);
Interconexão com outros sistemas.Interconexão com outros sistemas.
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FLUXO DE CARGA AC
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: FLUXO DE CARGA AC
O problema do fluxo de carga (load flow), ou fluxo de potência
(power flow) consiste na obtenção das condições de operação
(magnitude das tensões nodais, ângulos de fase e injeções de
potências nas barras de geração) em regime permanente de uma
rede de energia elétrica com topologia, consumo e níveis de
geração conhecidos.
Na formulação básica do problema do fluxo de carga em sistemas
elétricos são associadas quatro variáveis a cada barra da rede (que
representa um nó do circuito elétrico equivalente):
Vk – Magnitude do fasor tensão nodal da barra k;Vk – Magnitude do fasor tensão nodal da barra k;
k – Ângulo de fase do fasor tensão nodal da barra k;k – Ângulo de fase do fasor tensão nodal da barra k;
Pk – Injeção líquida (geração menos carga) de potência ativa da barra k;Pk – Injeção líquida (geração menos carga) de potência ativa da barra k;
Qk – Injeção líquida de potência reativa da barra k.Qk – Injeção líquida de potência reativa da barra k.
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Por outro lado, aos ramos da rede (cujas barras extremas são k
e m) associam-se as seguintes variáveis:
I km – Fasor da corrente que sai da barra k em direção à barra m;I km – Fasor da corrente que sai da barra k em direção à barra m;
Pkm – Fluxo de potência ativa que sai da barra k em direção à barra m;Pkm – Fluxo de potência ativa que sai da barra k em direção à barra m;
Qkm – Fluxo de potência reativa que sai da barra k em direção à barra m.Qkm – Fluxo de potência reativa que sai da barra k em direção à barra m.
No fluxo de carga convencional, definem-se três tipos de
barras, em função das variáveis que são conhecidas (dados do
problema) e incógnitas, conforme mostra a Tabela 1.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: FLUXO DE CARGA AC
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As barras de carga aparecem em maior número e representam as
subestações de energia elétrica nas quais estão conectadas as cargas
do sistema elétrico (sistema de transmissão);
Em menor número, as barras de tensão controlada representam as
instalações que possuem geradores que podem realizar o controle da
sua tensão terminal (por intermédio do seu controle de excitação) e
também as barras cuja tensão pode ser controlada por intermédio do
ajuste do tap de algum transformador;
A barra de referência é única no sistema e imprescindível na formulação
do problema em função de dois fatores:
De forma geral:
Necessidade matemática de estipular um ângulo de referência (geralmenteigualado a zero);Necessidade matemática de estipular um ângulo de referência (geralmenteigualado a zero);
Para fechar o balanço de potência da rede pois as perdas de transmissão nãosão conhecidas a priori, ou seja, não é possível definir todas as injeções depotência do sistema antes de conhecer as perdas que são função dos fluxos depotência na rede.
Para fechar o balanço de potência da rede pois as perdas de transmissão nãosão conhecidas a priori, ou seja, não é possível definir todas as injeções depotência do sistema antes de conhecer as perdas que são função dos fluxos depotência na rede.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: FLUXO DE CARGA AC
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O problema de Fluxo de carga pode ser resolvido através de
método iterativos, visto que a solução de outra forma, métodos
diretos, se torna complexa para sistemas de médio e grande
porte.
Método direto (solução analítica):
Exercício 1 - Considere o sistema elétrico composto por duas barras e uma
linha de transmissão ilustrado na Figura abaixo. Para este sistema, são
conhecidos o ângulo de fase da Barra 1 (utilizada como referência angular pois
1=0), V1, e a demanda de potência da Barra 2 (que constitui uma barra de
carga), S2. Deseja-se determinar a magnitude da tensão e ângulo de fase da
barra 2, e a injeção líquida de potência da Barra 1, S1.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: FLUXO DE CARGA AC
Obs. A solução analítica para sistemas com várias barras se torna muito
complicado.
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Solução: Embora o sistema elétrico da Figura seja extremamente simples, a
determinação do fasor de tensão da Barra 2 não é imediata. Da análise do circuito
elétrico, observa-se que a tensão na Barra 2 está vinculada com a corrente I12 que
percorre a linha de transmissão pois:
e, por outro lado, a corrente que circula na linha de transmissão I12 é função da
tensão da Barra 2 pois a grandeza conhecida nesta barra é a potência
demandada, assim
Substituindo a expressão da corrente I12 na expressão da tensão na Barra 2 tem-
se:
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DIRETO
12LT12 IZVV
*
2
212
V
SI
*
2LT
*
212
2
*
2
*
2
2LT
*
21
*
22
*
2
*
2
2LT12
SZVVVVV
SZVVVV
)V(V
SZVV
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Substituindo os valores conhecidos, chega-se a:
Esta é uma equação a números complexos que pode ser resolvida separando-se as
partes real e imaginária, de forma a obter duas equações a números reais:
A solução analítica para V2 deste sistema não linear de equações pode ser obtida
somando-se o quadrado das duas expressões e eliminando-se, assim, a variável 2.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DIRETO
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As soluções da equação biquadrada são dadas por:
Têm-se, assim, 4 soluções para o sistema de equações: V2 = {+0,9460; -0,9460;
+0,0949; -0,0949}. Os valores negativos não têm significado, pois V2 representa o
módulo da tensão. Como o sistema elétrico não pode operar com valores muito
baixos para a tensão (0,0949 p.u., por exemplo) a única solução válida é dada por
V= 0,9460 p.u.
Conhecido o valor de V2 , o valor de 2 pode ser obtido através da expressão:
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DIRETO
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Após a determinação do fasor V2 , a injeção de potência da Barra 1 pode ser
obtida diretamente:
Conhecido o valor de todas as injeções, podem-se determinar as perdas no
sistema de transmissão:
Obs. A solução analítica para sistemas com várias barras se torna muito
complicado.12
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DIRETO
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Método iterativo:
Métodos de Gauss/Gauss-Seidel
Considerar um sistema de n equações algébricas lineares Ax=b.
Tomando a linha i da equação matricial Ax=b :
Isolando xi tem-se:
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
nibxAxA
nibxA
n
ijj
ijijiii
n
j
ijij
,,1
,,1
,1
1
nixAbA
xn
ijj
jiji
ii
i ,,11
,1
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Para uma iteração (m + 1), o processo iterativo pode ser definido como:
Método de GaussPara a obtenção de xi
(m+1) são utilizados
os valores de xi(m) (todos os valores da
iteração anterior).
Uma forma alternativa para o processo iterativo é:
Método de
Gauss - Seidel
Para a obtenção de xi(m+1) são utilizados
os valores mais recentes disponíveis dos
elementos do vetor x.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
nixAbA
xn
ijj
jiji
ii
i
mm
,,11
,1
)()1(
nixAxAbA
xi
j
n
ij
jijjiji
ii
i
mmm
,,11 1
1 1
)()1()1(
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Exemplo:
Processo iterativo utilizando os métodos de Gauss e Gauss-Seidel para n = 3:
Gauss
Gauss - Seidel
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
)(
232
)(
1313
33
3
)(
323
)(
1212
22
2
)(
313
)(
2121
11
1
1
1
1
)1(
)1(
)1(
mm
mm
mm
xAxAbA
x
xAxAbA
x
xAxAbA
x
m
m
m
)1(
232
)1(
1313
33
3
)(
323
)1(
1212
22
2
)(
313
)(
2121
11
1
1
1
1
)1(
)1(
)1(
mm
mm
mm
xAxAbA
x
xAxAbA
x
xAxAbA
x
m
m
m
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Resolução do problema de fluxo de carga pelo método de Gauss-Seidel.
Os sistemas de potência podem ser modelados como um sistema de equações
algébricas lineares, I = Y E. O equacionamento para a utilização do método
de Gauss-Seidel é:
em que Ωk e o conjunto de barras vizinhas da barra k e K é o conjunto das
barras em Ωk mais a própria barra k.
O fasor da tensão Ek e obtida por:
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
kkkk
n
nknk
n
nknkkkk EYEEYEEYEIESk
*****
kn
nkn
k
k
kk
k EYE
S
YE
*
*1
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Utilizando o método de Gauss-Seidel tem-se, para uma iteração (m + 1):
em que NB e o número total de barras.
O valor de Sk utilizado na expressão de Ek(m+1) depende do tipo de barra:
Se a barra for PQ, Sk é especificado;
Se a barra for PV, somente Pk e especificado (Qk e calculado).
Então, estima-se Qk com base nos valores atuais das tensões.
Se a barra for slack, a tensão não e atualizada. Se a barra for PV,
somente a magnitude da tensão é atualizada.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
1
1 1
)()1(
)*(
*)1( 1 k
n
NB
kn
m
nkn
m
nknm
k
k
kk
m
k EYEYE
S
YE
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Exercício 2: Considere o sistema elétrico composto por duas barras e uma linha
de transmissão ilustrado na Figura abaixo. Para este sistema, são conhecidos o
ângulo de fase da Barra 1 (utilizada como referência angular pois 1=0), V1, e a
demanda de potência da Barra 2 (que constitui uma barra de carga), S2. Deseja-
se determinar o a magnitude da tensão e ângulo de fase da barra 2, e a injeção
líquida de potência da Barra 1, S1. Resolva utilizando o método de Gauss Seidel
(pode utilizar o computador – Matlab).
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
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Solução: Pela formulação geral do método:
)EYEYE
S(
Y
1E
NB
1kn
)m(
nkn
1k
1n
)1m(
nkn*)m(
k
*
k
kk
)1m(
K
Para barra 2 tem-se:
)EYEYE
S(
Y
1E
NB
12n
)m(
nn2
12
1n
)1m(
nn2*)m(
2
*
2
22
)1m(
2
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
Fora da diagonal
Diagonal)( 2
kmkm
sh
km
m
sh
kkk
km
j
kmmk
km
j
kmkm
yajbjbY
yeaY
yeaY
km
km
Obtenção dos elementos da matriz Y.
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Exercício 3 (casa) : Dado o sistema abaixo, encontre o estado do sistema
pelo método de Gauss-Seidel.
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
Método iterativo de Newton
Resolução de sistemas algébricos pelo método de Newton.
Considerar a equação algébrica não-linear:
Pretende-se determinar o valor de x para o qual a função g(x) se
anula.
Em termos geométricos a
solução da equação acima
corresponde ao ponto xs
em que a curva g(x) corta o
eixo horizontal x:
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0)( xg
xs x0x
g(x)
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Considerar que um ponto x0
suficientemente próximo de xs seja
conhecido. Neste caso, pode-se estimar a
distância entre x0 e xs através da expansão
da função g(x) em torno de x0. A expansão
de g(x) em série de Taylor desprezando os
termos de ordem igual e superior a 2
resulta em:
Se x for considerado como sendo aproximadamente a distância entre x0
e xs:
Logo:
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
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xxgxg
xxgdx
dxgxxg
)(')(
)()()(
00
000
0xxx s
0)x(g)xx(g s0
0)(')( 00 xxgxg
)('
)(
0
0
xg
xgx
xs x0x
g(x)
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Interpretação gráfica:Como o resultado e aproximado,
então:
Porem, se x0 esta
suficientemente próximo de xs,
então:
em que é muito pequeno.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
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sxxxx 10
sxx1xs x0
x
g(x)
∆x
x1
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A resolução do problema pelo método de Newton resulta em um
processo iterativo baseado nas idéias apresentadas
anteriormente.
Processo Iterativo:
(3) Comparar o valor calculado g
(x(v)) com uma tolerância
especificada . Se g (x(v))≤ ,
então x = x(v) correspondera a
solução procurada dentro da
faixa de tolerância ± . Caso
contrario, prosseguir.
(1) Inicializar o contador de iterações v = 0. Escolher um ponto inicial
x = x(v) = x(0).
(2) Calcular o valor da função g (x) no ponto x = x(v) g (x(v)).
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
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(4) Linearizar a função g (x) em torno do ponto (x(v) , g (x(v))) por
intermédio da serie de Taylor desprezando os termos de ordem igual
e superior a 2:
Este passo se resume de fato ao calculo da derivada g’(x(v))) .
(5) Resolver o problema linearizado, ou seja, encontrar x(v) tal que:
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
25
)()()(
)()()()()(
)(')(
)()()(
vvv
vvvvv
xxgxg
xxgdx
dxgxxg
0)(')( )()()( vvv xxgxg
)('
)()(
)()(
v
vv
xg
xgx
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e o novo ponto:
(6) Fazer v v+1 e voltar para o passo
(2).
Desenvolvimento do processo iterativo:
De acordo com o critério predefinido
(escolha de ), x(3) está
suficientemente próximo de xs (g x(3)
dentro da faixa ) a ponto de poder
ser considerado como a solução da
equação g (x) = 0.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO DE NEWTON
26
)('
)()(
)()()1(
)()()1(
)()()1(
v
vvv
vvv
vvv
xg
xgxx
xxx
xxx
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MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
A aplicações das leis de Kirchhoff a todas as NB barras da rede
elétrica resulta nas equações das potências nodais deduzidas
anteriormente.
Tem-se um sistema com (2 • NB) equações.
Considera-se que o estado da rede seja conhecido quando as
tensões (magnitudes e ângulos de fase) de todas as barras
forem conhecidas. Seja V’s e ’s este estado:
27
m
kmkmkmkmmkk senBGVVP )cos(
m
kmkmkmkmmkk BsenGVVQ )cos(k=1,…,NB
Ts
NB
s
2
s
1
s
Ts
NB
s
2
s
1
s VVVV
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Edmarcio Belati
Assim:
O problema que consiste em obter o estado, V’s e ’s, pode ser
colocado na forma das equações de fluxo de carga:
Tem-se um sistema com (2 • NB) equações.
28
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
m
s
kmkm
s
kmkm
s
m
s
kk senBGVVP )cos(
m
s
kmkm
s
kmkm
s
m
s
kk BsenGVVQ )cos(k=1,…,NB
0)cos(
m
kmkmkmkmmkk senBGVVP
0)cos(
m
kmkmkmkmmkk BsenGVVQk=1,…,NB
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Considere uma rede elétrica constitua por:
Uma barra de referência ou slack (V e são dados - deve-se obter P e Q)
NPQ, N barras do tipo PQ (P e Q são dados - deve-se obter V e )
NPV, N barras do tipo PV (P e V são dados - deve-se obter Q e )
Logo, a rede tem (NPQ + NPV + 1) barras e:
V e são incógnitas associadas ao estado da rede chamadas de
variáveis de estado.
Conhecidas as variáveis de estado pode-se então calcular as
incógnitas P e Q, além de outras grandezas associadas com as
condições de operação da rede, como por exemplo os fluxos de
potência nos ramos.29
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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Devido a existência de dois tipos de incógnitas, o problema de fluxo de
carga pode ser decomposto em dois subsistemas de equações algébricas
denominados: Subsistema 1 e Subsistema 2.
Subsistema 1 (dimensão 2NPQ + NPV)
Consiste na determinação das variáveis de estado (V e )
desconhecidas:
V e para barras PQ, têm se: (2 • NPQ) incógnitas;
SUBSISTEMA 1
para barras PV, têm se: (NPV) incógnitas.
Em termos de incógnitas têm se um total de (2NPQ + NPV).
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SUBSISTEMA 1
Em termos das potências, são dados (especificados):
P e Q para barras PQ, têm se: (2NPQ) dados;
P para barras PV, têm se: (NPV) dados.
Para cada potência dada, pode-se escrever uma equação de fluxo de
carga:
As equações resulta em um sistema de (2NPQ + NPV)
equações com o mesmo número de incógnitas. Portanto:
Sistema determinado.
31
PVePQbarrassenBGVVPm
kmkmkmkmmk
esp
k 0)cos(
PQbarrasBsenGVVQm
kmkmkmkmmk
esp
k 0)cos(
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Subsistema 2 (dimensão NPV +2)
SUBSISTEMA 2
Consiste na determinação das potências nodais desconhecidas.
Conhecidas todas as tensões da rede através do sistema de equações
do subsistema 1. As incógnitas restantes são:
P para a barra de referência - 1 incógnita;
Q para as barras PV e a barra de referência - NPV + 1 incógnitas.
Resultando em (NPV + 2) incógnitas a serem determinadas.
32
referênciadebarraparasenBGVVPm
kmkmkmkmmkk
)cos(
PVbarrasereferênciadebarraparaBsenGVVQm
kmkmkmkmmkk
)cos(
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PQbarrasparaVQQQ calc
k
esp
kk ,0),(
PVePQbarrasparaVPPP calc
k
esp
kk ,0),(
As incógnitas do subsistema 1
podem ser escritas como:
As equações de fluxo de carga para o subsistema 1 podem ser
reescritas como:
Valores das injeções de potência ativa e
reativa especificados para as barras
(considerados constantes, em princípio).
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
Valores das injeções de potência
ativa e reativa calculados através
das equações das potências nodais.
Mismatches (resíduos ou erros) de
potência ativa e reativa
33
Vx
NPQ+NPV
NPQ
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Além do algoritmo básico, que consiste na resolução do sistema de
equações de fluxo de carga (subsistemas 1 e 2), o problema de fluxo de
carga pode também levar em consideração na sua resolução a
representação dos limites operacionais dos equipamentos e a atuação
dos dispositivos de controle.
O objetivo nesta aula é apresentar o algoritmo básico.
As equações de fluxo de carga na forma vetorial pode ser representada
por:
Em que:
• P é o vetor das injeções de potência
ativa nas barras PQ e PV.
• Q é o vetor das injeções de potência
reativa nas barras PQ.
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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0),( VPPP calcesp
0),( VQQQ calcesp
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Considere a função vetorial:
Como a solução do subsistema 1 e obtida quando os mismatches são
iguais a zero, as equações do subsistema 1 podem ser colocadas na
forma:
Que é um sistema de equações algébricas não-lineares e pode ser
resolvido pelos métodos apresentados anteriormente.
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
35
0)(
Q
Pxg
Q
Pxg )(
NPQ+NPV
NPQ
UF
AB
C –
An
ális
es E
stá
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
O ponto central da resolução do sistema de equações g (x) = 0 pelo
método de Newton consiste na determinação do vetor de correção do
estado x a cada iteração. Para uma certa iteração v , o vetor x é obtido
através de:
Para o subsistema 1:
36
v
v
v
Q
Pxg )(
NPQ+NPV
NPQ
v
v
v
Vx
NPQ+NPV
NPQ
)(
)()(
)()(
)(
v
v
V
V
PP
xJ
NPQ+NPV
NPQ
NPQ+NPV NPQ
vv xxJxg )()(
UF
AB
C –
An
ális
es E
stá
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Como os valores especificados das potências são constantes, pode-se
escrever, por exemplo:
O que resulta na matriz Jacobiana:
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
37
)(
)()(
)()(
)(
v
v
V
V
PP
xJ
NPQ+NPV
NPQ
NPQ+NPV NPQ
)),(()),(()( VPVPPP esp
UF
AB
C –
An
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es E
stá
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
v
vv
v
v
VLM
NH
Q
P
As matrizes que compõem a matriz Jacobiana são geralmente
representadas por:
E podem ser colocadas na forma:
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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Porque não tem (-)?
V
QL
QM
V
PN
PH
)()(
)()(
UF
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An
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SE
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Edmarcio Belati
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As expressões para os elementos das matrizes H, M, N e L são:
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
UF
AB
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SE
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MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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AB
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stá
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Edmarcio Belati
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Comentários sobre as submatrizes H, M, N e L:
•São estruturalmente simétricas e numericamente assimétricas (assim como J);
•Têm as mesmas características de esparsidade da matriz admitância nodal Y;
•Têm dimensões distintas, em função dos dados do problema:
H [(NPQ + NPV) (NPQ + NPV)]
N [(NPQ + NPV) NPQ]
M [NPQ (NPQ + NPV)]
L [NPQ NPQ]
Observações sobre critérios de convergência do método de
Newton
• O método de Newton não e sensível a escolha da barra de referencia;
• Considera-se que a solução tenha sido atingida quando, para um
determinado estado, as potências calculadas para as barras forem
iguais as (ou muito próximas das) potências especificadas para as
mesmas:
P e Q para barras PQ e P para barras PV;
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
• O critério de convergência mais comumente usado é:
• P e Q normalmente estão na faixa de 0,01 a 10 MW/MVAr,
dependendo da aplicação.
Interpretação: as tolerâncias definem erro máximo no cálculo
dos fluxos de potência nos ramos.
• Como as funções do problema de fluxo de carga em geral não são
muito não-lineares e existem estimativas iniciais muito próximas da
solução exata, o método e muito confiável e rápido para a grande
maioria da aplicações.
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MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
Exemplo: Considere a rede de 2 barras e 1 linha de transmissão
mostradas a seguir.
O processo iterativo ate a obtenção
da convergência utilizando como
critério os valores absolutos dos
mismatches de potencia pode ser
visualizado ao lado.
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Algoritmo básico para a resolução dos subsistemas 1 e 2 pelo
método de Newton
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
Subsistema 1
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MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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Subsistema 2
Obs: Este é o processo de resolução básico, em que as restrições de
operação e os dispositivos de controle não são considerados.
(vii) Calcular Pk para a barra de referencia e Qk para as barras de
referência e PV
MÉTODO DE NEWTON PARA FLUXO DE CARGA
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
Exercício 3: Dado o sistema abaixo, encontre o estado do sistema pelo
método de Newton.
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Barra Tipo P Q V
1 V - - 1,0 0,0
2 PV -0,40 - 1,0 -
Dados de Barras (pu)
Linha r x bsh
1-2 0,2 1,0 0,02
Dados de Linhas (pu)
Dados de BarrasDados de Barras
Arquivo em Matlab: newton.m
PV
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MÉTODOS DE RESOLUÇÃO: MÉTODO ITERATIVO
Exercício 4 (casa): Dado o sistema abaixo, encontre o estado do sistema
pelo método de Newton.
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Barra Tipo P Q V
1 V - - 1,0 0,0
2 PQ -0,30 0,07 - -
Dados de Barras (pu)
Linha r x bsh
1-2 0,2 1,0 0,02
Dados de Linhas (pu)
Dados de BarrasDados de Barras
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Edmarcio Belati
Considerar o sistema abaixo.
barra tipo Pc (p.u.) Q c(p.u.) P g(p.u.) Qg(p.u.) V (p.u) ()
1 V 0,05 0,3099 --- --- 1,00 0,00
2 PQ 1,7 1,0535 --- --- ---
3 PQ 2,0 1,2394 --- --- --- ---
4 PV 0,8 0,4958 3,18 --- 1,02
linha r (p.u.) x (p.u) bsh (p.u.) *
1-2 0.01008 0.0504 0.1025
1-3 0.00744 0.0372 0.0775
2-4 0.00744 0.0372 0.0775
3-4 0.01272 0.0636 0.1275
Resolver o subsistema 1 utilizando pelo Método de Newton e pelo Método de
Gauss-Seidel e o subsistema 2 do sistema acima. Utilizar um erro de 0,0001
() para as barras PV e PQ. Apresentar todo o desenvolvimento e o processo
iterativo.
TRABALHO 2
* carregamento total.
Iniciar os cálculos com = 0,0 para as barras PV e PQ e V= 1,0 (p.u) para as
barras PQ.
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Detalhes do trabalho:
Trabalho individual;
Será atribuída uma nota de 0 -10 para o trabalho.
A entrega do trabalho deverá ser feita via e-mail em arquivo pdf com
a descrição (EEL-201 – TRABALHO 2).
obs: enviar o arquivo do matlab (*.m)
A data limite para entrega é até o dia 26/02/2015. Trabalhos
entregues após a data limite não serão considerados. Endereço de
e-mail: [email protected]
TRABALHO 2
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Edmarcio Belati
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REFERÊNCIAS
Alcir J. Monticelli – Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica.
Edgard Blucher 1983;
Carlos A. Castro J. - Unicamp – Anotações de Aula;
Jizhong Zhu – Optimization of Power System Operation;
Profa Ruth Leão - Sistemas Elétricos de Potência - (notas de aula);
Elementos de Análise de Sistemas Elétricos de Potência, Stevenson
Junior, W.D. 2 edição, 1986, McGraw-Hill.