calculo de flujo de potencia en sistemas de potencia
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Flujos de potencia en sistemas eléctricos de potencia.TRANSCRIPT
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN
TARCISIO LODDI
CURITIBA 2010
CLCULO DE FLUXO DE POTNCIA
UNIFICADO EM SISTEMAS DE TRANSMISSO
E REDES DE DISTRIBUIO ATRAVS DO
MTODO DE NEWTON DESACOPLADO
RPIDO COM ROTAO DE EIXOS
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TARCISIO LODDI
CLCULO DE FLUXO DE POTNCIA UNIFICADO EM
SISTEMAS DE TRANSMISSO E REDES DE DISTRIBUIO
ATRAVS DO MTODO DE NEWTON DESACOPLADO
RPIDO COM ROTAO DE EIXOS
Dissertao apresentada como requisito parcial obteno do grau de Mestre em Engenharia Eltrica. Programa de PsGraduao em Engenharia Eltrica PPGEE, Departamento de Engenharia Eltrica, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paran Orientadora: Profa. Dra. Elizete Maria Loureno
CURITIBA
2010
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AGRADECIMENTOS
Agradeo primeiro a Deus, que esteve comigo em todos os momentos. Nos alegres e principalmente nos mais difceis. Tambm agradeo a Ele ter me colocado
em uma famlia onde o estudo sempre foi fundamental e incentivado.
Agradeo sempre a minha famlia. Muito especialmente aos meus pais, Augusto e Irene, pelo incentivo e esforo ao longo dos anos para que eu estudasse
e sempre mostrando a importncia e necessidade de se ter uma vida digna e honesta.
Aos meus irmos Luis Augusto, Maria Therezinha e Maria Marta que sempre
me apoiaram e incentivaram em tudo que fiz.
Agradeo a minha orientadora Professora Elizete Maria Loureno, pela confiana, incentivo, idias, disposio e sempre me transmitindo calma e
tranqilidade nos momentos que mais necessitava.
Agradeo tambm aos colegas do Mestrado que de alguma forma ou outra contriburam para meu crescimento pessoal e profissional.
Agradeo Universidade Federal do Paran.
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RESUMO
Os estudos para o planejamento de curto, mdio e longo prazo dos sistemas
eltricos bem com para a operao dos mesmos so baseados em simulaes do
fluxo de potncia das redes utilizando-se ferramentas computacionais e mtodos de
resolues bem fundamentados. Estes mtodos so diferentes ao ser comparado
com o uso em sistemas de transmisso com os utilizados em sistemas de
distribuio. A dissertao prope uma estratgia de clculo de fluxo de potncia em
um sistema composto de rede de transmisso, com caractersticas de ligaes em
anel, conectada com a rede de distribuio, com caractersticas radiais. Esta
conexo eltrica feita atravs de transformadores. Este mtodo baseado no
mtodo de Newton Desacoplado Rpido com a aplicao da rotao de eixos no
sistema de distribuio. O mtodo consiste no ajuste, onde for necessrio, dos
dados do sistema eltrico de distribuio, criando uma rede fictcia onde possvel o
mtodo de Newton Desacoplado Rpido realizar a convergncia gerando resultados
confiveis. Posteriormente, so realizados testes no sistema unificado com a
instalao de gerao distribuda de pequeno porte ao longo da rede. Outra
simulao realizada com a mudana na configurao da rede de distribuio,
fazendo com que a mesma opere em anel (paralelismo de alimentadores).
Palavras-chave: Fluxo de potncia, Desacoplado Rpido, Rotao de Eixos, Fluxo de Potncia Unificado.
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ABSTRACT
Short-term, medium-term and long-term studies for both the planning and
operation of electrical systems are based on simulations of power flow in networks using
well-established computational tools and solution methods. The methods used for
transmission systems differ from those used for distribution systems. This paper puts forward
a strategy for calculating power flow in a system consisting of a transmission network with
ring connections connected to a radial distribution network. The connection between the two
networks is by means of transformers. The proposed method is based on the Newton Fast
Decoupled method using rotation of the axes in the distribution system. The method involves
adjusting, where necessary, the data for the electrical distribution system to create a fictitious
network in which the Newton Fast Decoupled method can be applied to achieve
convergence and yield reliable results. Tests are then carried out on the unified system with
small-scale distributed generation connected along the network. Another simulation is carried
out with the configuration of the distribution network changed so that it operates as a ring
(feeders in parallel).
Keywords: Power flow, Fast decoupled, Axis rotation, Unified power flow.
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SUMRIO
1 INTRODUO ...................................................................................................12
1.1 JUSTIFICATIVA ..............................................................................................12
1.2 MOTIVAO...................................................................................................13
1.3 OBJETIVO E CONTRIBUIES DO TRABALHO..........................................14
1.4 REVISO BIBLIOGRFICA............................................................................15
1.5 CONSIDERAES SOBRE O SISTEMA ELTRICO ....................................23
1.6 ESTRUTURA DA DISSERTAO..................................................................24
2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON..................................................................26
2.1 MTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SOLUO DE SISTEMA
ALGBRICOS...............................................................................................26
2.2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SOLUO DO FLUXO DE
POTNCIA ...................................................................................................28
2.2.1 Subsistema 1................................................................................................30
2.2.2 Subsistema 1 - Aplicao do Mtodo de Newton .........................................30
2.3 ALGORITMO BSICO PARA A RESOLUO DOS SUBSISTEMAS
1 E 2 PELO MTODO DE NEWTON-RAPHSON.........................................34
2.4 CONSIDERAES FINAIS DESTE CAPTULO.............................................35
3 MTODO DE NEWTON RAPHSON DESACOPLADO RPIDO ......................36
3.1 MTODO DE NEWTON DESACOPLADO......................................................36
3.2 ALGORITMO BSICO PARA A RESOLUO DOS SUBSISTEMAS 1
E 2 PELO MTODO DESACOPLADO .........................................................37
3.3 MTODO DESACOPLADO RPIDO (NDR)...................................................39
3.4 VERSES DO MTODO DESACOPLADO RPIDO .....................................41
4 MTODO DE NEWTON RAPHSON DESACOPLADO RPIDO COM
ROTAO TIMA DOS EIXOS...................................................................43
4.1 INTRODUO ................................................................................................43
4.2 RELAES R/X TPICAS EM SISTEMAS DE TRANSMISSO E
DISTRIBUIO ............................................................................................44
4.3 ROTAO DE EIXOS COMPLEXOS .............................................................45
4.3.1 Representao Matemtica do Mtodo........................................................46
4.4 MTODO DA NORMALIZAO COMPLEXA POR UNIDADE ......................48
vi
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4.5 EQUIVALNCIA ENTRE OS MTODOS........................................................51
4.6 CLCULO DE NGULO DE BASE OU ROTO ..........................................51
4.6.1 ngulo timo Orientado ao Ramo ..............................................................52
4.6.2 ngulo timo Orientado a Barra .................................................................53
4.7 CONSIDERAES FINAIS DO CAPTULO ...................................................56
5. RESULTADOS..................................................................................................57
5.1 INTRODUO ................................................................................................57
5.2 SISTEMA TESTE PADRO............................................................................58
5.2.1 Caso de10 Barras ........................................................................................58
5.2.2 Caso de 34 Barras .......................................................................................62
5.2.3 Caso de 70 Barras .......................................................................................65
5.2.4 Casos Base com Incluso de Gerao Distribuda ......................................69
5.3 ALIMENTADORES REAIS ..............................................................................70
5.4 CASO UNIFICADO .........................................................................................78
5.5 CONSIDERAES FINAIS DO CAPTULO ...................................................89
6 CONCLUSO ....................................................................................................90
6.1 SUGESTES DE TRABALHOS FUTUROS ...................................................90
REFERNCIAS.....................................................................................................92
ANEXO 1 - DADOS E RESULTADOS ................................................................94
ANEXO 2 - SISTEMA DE 14 BARRAS EM ANEL .............................................115
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LISTA DE TABELAS
TABELA 1 - VALORES DAS POTNCIAS ATIVAS E REATIVAS DO
SISTEMA DE 10 BARRAS .............................................................59
TABELA 2 - VALORES DAS RESISTNCIAS, REATNCIAS E RELAO
R/X SISTEMA DE 10 BARRAS.......................................................59
TABELA 3 - REDE FICTCIA DO SISTEMA DE 10 BARRAS:VALORES
DAS RESISTNCIAS, REATNCIAS E RELAO R/X ...............60
TABELA 4 - REDE FICTCIA DO SISTEMA DE 10 BARRAS: VALORES DAS
POTNCIAS ATIVAS E REATIVAS ...............................................60
TABELA 5 - SISTEMA DE 10 BARRAS: RESULTADO COM ANAREDE...............61
TABELA 6 - SISTEMA DE 10 BARRAS: RESULTADOS COM MATLAB ..............61
TABELA 7 - RESULTADOS PELO ANAREDE E MATLAB SEM ROTAO
DOS EIXOS ...................................................................................62
TABELA 8 - DADOS DOS ALIMENTADORES 1 E 2 LIGADOS EM
PARALELOS..................................................................................76
TABELA 9 - TENSES NAS BARRAS DURANTE O PARALELISMO .................77
viii
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LISTA DE ILUSTRAO
QUADRO 1- RESUMO GERAL DA REVISO BIBLIOGRFICA .........................21
FIGURA 1 - REPRESENTAO GRFICA DA IMPEDNCIA TPICA DE
ALTA TENSO ..............................................................................44
QUADRO 2 - RELAO DE R/X POR NVEL DE TENSO.................................45
FIGURA 2 - REPRESENTAO GRFICA DE IMPEDNCIA DE MEDIA
TENSO ........................................................................................45
FIGURA 3 ROTAO DOS EIXOS DA IMPEDNCIA ......................................46
FLUXOGRAMA 1 - FLUXOGRAMA SIMPLIFICADO PARA A REALIZAO
DA ROTAO DOS EIXOS DAS IMPEDNCIAS DE UMA
REDE DE DISTRIBUIO.............................................................55
FIGURA 4 CASO BASE DE 10 BARRAS ..........................................................59
FIGURA 5 - CASO BASE DE 34 BARRAS ...........................................................63
FIGURA 6 CASO BASE DE 70 BARRAS ..........................................................66
QUADRO 3 COMPARAO ENTRE OS 3 SISTEMAS TESTE DO IEEE.........68
QUADRO 4 - COMPARAO DE RESULTADOS COM GERAO
DISTRIBUDA ................................................................................70
FIGURA 7 - CONFIGURAO DOS ALIMENTADORES 1 E 2 DO CASO
REAL..............................................................................................71
QUADRO 5 - DADOS DOS ALIMENTADORES 1 E 2 ANTES E APS A
ROTAO DOS EIXOS.................................................................72
QUADRO 6 - COMPARAO DE RESULTADOS ENTRE OS MTODOS .........73
FIGURA 8 - CONFIGURAO DE DUAS REDES DE DISTRIBUIO
RADIAL EM PARALELO................................................................74
FIGURA 9 - CONFIGURAO COM PARALELISMO..........................................75
FIGURA 10 - CONFIGURAO SISTEMA UNIFICADO DE 14 BARRAS
COM SISTEMA DE 10 BARRAS ...................................................79
QUADRO 7 POTNCIA DA BARRA 9 ................................................................80
FIGURA 11 - CONFIGURAO DO CASO 14 BARRAS MAIS CASO REAL
DOS DOIS ALIMENTADORES......................................................84
FIGURA 12 - CONFIGURAO DO CASO 14 BARRAS MAIS CASO REAL
DOS DOIS ALIMENTADORES EM PARALELO............................87
ix
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LISTA DE GRFICOS
GRFICO 1 PERFIL DO MODO DE TENSO (PU) .........................................64
GRFICO 2 PERFIL DO NGULO () ..............................................................64
GRFICO 3 PERFIL DO MODO DE TENSO (PU) .........................................67
GRFICO 4 PERFIL DO NGULO () ..............................................................67
GRFICO 5 TENSES NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS
ACRESCIDO DO CASO DE 10 BARRAS - COMPARAO
DOS RESULTADOS ......................................................................81
GRFICO 6 NGULOS NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS
ACRESCIDO DO CASO DE 10 BARRAS - COMPARAO
DOS RESULTADOS ......................................................................81
GRFICO 7 TENSES NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS
ACRESCIDO DO CASO DE 10 BARRAS COM GERAO
DISTRIBUDA NA BARRA 25- COMPARAO DOS
RESULTADOS...............................................................................82
GRFICO 8 NGULOS NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS
ACRESCIDO DO CASO DE 10 BARRAS COM GERAO
DISTRIBUDA NA BARRA 25- COMPARAO DOS
RESULTADOS...............................................................................83
GRFICO 9 TENSES NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS MAIS
CASO REAL - COMPARAO DOS RESULTADOS....................85
GRFICO 10 NGULOS NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS MAIS
CASO REAL - COMPARAO DOS RESULTADOS....................86
GRFICO 11 TENSES NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS MAIS
CASO REAL EM PARALELO - COMPARAO DOS
RESULTADOS...............................................................................88
GRFICO 12 NGULOS NAS BARRAS DO CASO 14 BARRAS MAIS
CASO REAL EM PARALELO - COMPARAO DOS
RESULTADOS...............................................................................88
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LISTA DE SMBOLOS
NB - nmero de barras da rede
NR - nmero de ramos da rede
G - matriz condutncia nodal
B - matriz susceptncia nodal
Y = G + jB - matriz admitncia nodal
R - matriz resistncia nodal
X- matriz reatncia nodal
Z = R + jX - matriz impedncia nodal
Gkm,Bkm - elementos (k, m) das respectivas matrizes G e B
Rkm,Xkm - elementos (k, m) das respectivas matrizes R e X
Vk - magnitude de tenso da barra k
k - ngulo de tenso da barra k
km - abertura angular: k m
K - conjunto de todas as barras conectadas barra k, incluindo a prpria barra k
k = K {k}- conjunto de todas as barras conectadas barra k, excluindo a barra k
Pk - potncia ativa injetada na barra k
Qk - potncia reativa injetada na barra k
gkm - condutncia do ramo k m
bkm - susceptncia do ramo k m
ykm = gkm + jbkm - admitncia do ramo k m
rkm - resistncia do ramo k m
xkm - reatncia do ramo k m
zkm = rkm + jxkm - impedncia do ramo k m
FPDR-RE Fluxo de Potncia Desacoplado Rpido com Rotao tima dos Eixos
xi
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1 INTRODUO
O Sistema Eltrico de Potncia esta passando por um momento de mudana
de seus conceitos e aplicaes. A produo de energia eltrica que no incio era de
pequena potncia e operava prxima aos centros de consumo foi evoluindo para
usinas de grande potncia instaladas em pontos cada vez mais distantes, com a
necessidade de sistemas de transmisso cada vez mais complexos tanto no ponto
de vista de operao como manuteno, sendo ainda, que os impactos ambientais
de grandes usinas geradoras esto sendo cada vez mais questionados, novamente
est sendo idealizada a utilizao da gerao de pequeno porte junto carga, sendo
agora contextualizada como gerao distribuda.
J a rede de distribuio o segmento do sistema eltrico onde esto
ocorrendo as maiores mudanas e implantao de novos conceitos, devido ao
grande avano nas tecnologias de comunicao, medio e automao. Este novo
conceito de rede est sendo conhecido como Smart-Grid e est provocando uma
nova anlise sobre os mtodos e aplicaes das redes de distribuio de energia
eltrica de mdia tenso, bem como na rede de alta tenso, visto que agora este
comea a ter uma interferncia causada pelo sistema de distribuio.
Atualmente os fluxos de carga utilizados pelas Concessionrias de Energia
so tratados de maneira independente, sendo utilizado um mtodo para alta tenso
e outro para o sistema de distribuio.
Na alta tenso, onde se opera com tenses acima de 69 KV, utilizado o
mtodo de Newton-Raphson com suas variaes: Completo, Desacoplado e
Desacoplado Rpido [1], sendo esses sistemas de clculos bem desenvolvidos e
com embasamentos tericos e prticos comprovados.
No sistema de distribuio de energia, onde se opera com tenses menores
de 35KV, o mtodo mais utilizado o Backward-Forward, chamado tambm de
Back-Forward Sweep [2]. Esse mtodo tambm possui uma literatura tcnica bem
desenvolvida e estruturada.
1.1 JUSTIFICATIVA
Tanto os mtodos de Newton-Raphson como o mtodo Backward-Forward
tiveram o seu desenvolvimento e aperfeioamento de forma independente, no
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13
considerando a possibilidade de um sistema interagir com outro. Criando assim um
tipo de fronteira onde os resultados de um sistema eltrico de alta tenso devem
ser trabalhados para serem introduzidos como fontes para as redes eltricas de
mdia tenso.
O sistema eltrico de alta tenso teve a sua regulamentao tcnica definida
h muito mais tempo que o sistema eltrico de mdia tenso, que ainda se encontra
em fase de aprimoramento e depurao das regras estabelecidas. No final de 2009
a ANEEL (Agncia Nacional de Energia Eltrica) colocou em vigor uma srie de
documentos chamados de PRODIST - Procedimentos de Distribuio de Energia
Eltrica no Sistema Eltrico Nacional, que estabelece novas regras,
regulamentaes e procedimentos para o sistema de distribuio includo as
solicitaes de acessantes de gerao distribuda que podem ser realizadas desde a
alta tenso at a baixa tenso com uma faixa de variao de quilowatts a
megawatts. O PRODIST tambm define novos fatores de qualidade da energia
distribuda, passando a monitorar o tempo de interrupo de energia e a freqncia
com que a energia interrompida em cada consumidor, fazendo com que fiquem
cada vez mais rgidas as penalidades por violao das metas. Isto com a finalidade
de proporcionar aos consumidores uma energia com fornecimento confivel e de
custos reduzidos.
Diante deste cenrio em evoluo, foi verificada a necessidade de uma nova
tcnica que permitisse o sistema de distribuio interagir com o sistema de alta
tenso e vice-versa. Sendo assim, foi realizado um levantamento de trabalhos
desenvolvidos que permitissem realizar simulaes de fluxo de potncia de maneira
confivel, considerando o sistema eltrico de distribuio com as novas
configuraes e mudanas, e foi localizado o mtodo desacoplado rpido com
rotao dos eixos, para ser aplicado em redes de distribuio, sendo que a partir
desta metodologia foi idealizada a possibilidade de realizar a unificao dos fluxos
de potncia utilizando uma nica ferramenta computacional e um nico mtodo
metodolgico.
1.2 MOTIVAO
Com a rede eltrica cada vez mais interligada e a necessidade de
atendimento a requisitos de qualidade cada vez mais rgidos, aliados a entrada cada
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14
vez maior de gerao distribuda no sistema de distribuio, verifica-se a
necessidade de novas prticas operacionais. Essas prticas buscam,
principalmente, evitar os desligamentos de consumidores para a realizao de
intervenes na rede eltrica e criam a necessidade de se utilizar uma metodologia
de clculo de fluxo de potncia onde seja possvel a anlise do sistema eltrico de
transmisso e de distribuio como um todo [3]. As limitaes de aplicao do
mtodo Backward-Forward para redes exclusivamente radiais [2] e do mtodo de
Newton-Raphson (e suas variaes desacopladas) para redes de altas tenses,
onde se verifica a predominncia da reatncia de srie das linhas com relao s
suas resistncias, aliadas a atual necessidade de integrao entre redes de
transmisso e distribuio inspirou o atual projeto de desenvolvimento de uma
ferramenta unificada de fluxo de potncia.
1.3 OBJETIVO E CONTRIBUIES DO TRABALHO
A dissertao prope uma estratgia unificada de clculo de fluxo de carga
em um sistema composto da rede de transmisso conectada com seus
alimentadores de distribuio, pois at o momento os estudos so tratados por
mtodos distintos [3]. Sendo na alta tenso utilizado o mtodo de Newton e suas
variaes e na distribuio o mtodo Backward-Forward. A metodologia proposta
consiste na utilizao do Mtodo Newton Desacoplado Rpido para todo o sistema
(transmisso e distribuio), o que viabilizado atravs da aplicao de tcnicas de
rotaes dos eixos para os alimentadores da rede de distribuio, onde a relao da
resistncia pela reatncia esta acima dos valores adequados para aplicao dos
mtodos desacoplados
O Newton Desacoplado Rpido com Rotao Automtica de Eixos [5]
aplicado recentemente em [4] resgatado nesse trabalho com o objetivo de ajustar
os dados de rede (resistncia e reatncia) da rede de distribuio e deix-los
relativos aos sistemas de transmisso e criar um sistema nico para realizao do
clculo do fluxo de potncia. Cabe salientar que em [3] os autores propem o
tratamento de redes de transmisso e distribuio, porm utilizando ferramentas de
clculo de fluxo de potncia distintas para os sistemas de transmisso e distribuio,
o que implica na realizao da anlise em duas etapas. Com relao referncia [4],
os autores propem o uso de rotaes de eixo para o uso do mtodo desacoplado,
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15
abrangendo apenas sistemas de distribuio.
1.4 REVISO BIBLIOGRFICA
Desde sua formulao inicial, na dcada de 60, muitos mtodos tem sido
propostos para resolver o problema de fluxo de potncia para sistemas de
distribuio radiais. Alguns deles sero destacados a seguir por ordem cronolgica:
1 - Nos anos 50, empregava-se o mtodo de Gauss-Siedel para a resoluo
do fluxo de potncia. Apesar de eficiente, considerado muito lento, pois necessita
de um nmero excessivo de iteraes para encontrar a soluo. Aliado baixa
capacidade de processamento dos computadores da poca, o mtodo tornava-se
pouco utilizvel.
2 - W.F. Tinney ET AL. (1967) apresenta a resoluo do problema de fluxo
de potncia pelo mtodo Newton-Raphson, cujo desenvolvimento considera apenas
as caractersticas dos sistemas de transmisso de energia (sistemas malhados),
sem explorar computacionalmente caractersticas tpicas de redes de distribuio
(redes radiais). O Mtodo de Newton passou a ser uma referncia no clculo do
fluxo de potncia para redes malhadas, pois apresenta uma convergncia rpida e
eficiente.
3 - R. Berg ET AL (1967) Mechenized calculation of unbalanced load flow on
radial distribuition circuits o primeiro trabalho desenvolvido exclusivamente para
sistemas de distribuio, que pode ser considerado como base para o sistema
Backward/Forward e para todas as variantes que seguiram aps a efetivao do
mtodo.
Porm, enquanto muitos pesquisadores buscavam aperfeioar e
desenvolver tcnicas para resolver o problema de FP voltado para redes de
transmisso, as pesquisas para as redes de distribuio no tiveram tanta nfase.
Os estudos de FP para distribuio eram realizados com pouca ou nenhuma anlise.
4 - W. H. Keresting e D.L. Mendive (1976) apresentaram uma abordagem
para soluo do problema de fluxo de potncia para redes radiais: aplicao da
tcnica ladder para sistemas de distribuio.
No final dos anos 80, com a modernizao da legislao e o aumento da
competitividade, bem como a necessidade de uma melhora da qualidade da energia
fornecida, como decorrncia do aparecimento de cargas sensveis com a variao
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16
da tenso, o setor da distribuio de energia passou a ser estudado de maneira
mais intensa.
5 - A. V. Garcia, A. J. Monticeli et al (1984). propem um mtodo para
soluo do fluxo de potncia na distribuio utilizando o mtodo Desacoplado
Rpido, pois apresenta uma convergncia rpida e eficiente. No entanto, propem
uma modificao no mtodo para compensar a alta relao de resistncia e
reatncia nas linha r/x encontradas nos sistemas de distribuio, que provoca
dificuldades na convergncia para esses sistemas. A modificao proposta a
rotao dos eixos das impedncias, fazendo com que a rede de distribuio assuma
parmetros de uma de alta tenso.
6 - D. Rajiicic e A. Bose (1988) tambm utilizam o Mtodo Desacoplado
Rpido, mas com a proposta de insero de dois coeficientes 0,4 e 0,3
determinados experimentalmente nas equaes das matrizes B e B [1] . Os autores
no demonstram a metodologia de obteno dos coeficientes.
7 - D. Shimohammadi et al. (1976) propem paralelamente o mtodo
Backward/Forward Sweep, baseado na tcnica Ladder, proposta por W.H. Kerting et
al. (1976). O mtodo de resoluo consiste em dois passos bsicos: varredura
backward onde so calculados as correntes ou fluxos de potncia nas linhas,
iniciando das barras finais em direo a subestao e a varredura; e forward - que
realiza os clculos das quedas de tenso com as atualizaes das correntes ou
fluxos de potncia, que parte da subestao em direo as barras no final dos
alimentadores. Esses passos so repetidos at que se obtenha a convergncia do
algoritmo. Por possuir boas caractersticas de convergncia e ser muito robusto
tornou-se o principal mtodo de soluo e serviu como base para muitos mtodos
propostos posteriormente. Este mtodo pode ser aplicado tambm para sistemas
fracamente malhados, ou seja, sistemas que apresentam poucas interligaes, onde
so convertidos em redes radiais.
8 - M. E. Baran e F. F. Wu (1989) apresentaram o mtodo baseado no
mtodo Newton-Raphson, porm levando em considerao as caractersticas dos
sistemas de distribuio, o que torna esse mtodo exclusivo para sistemas radiais de
energia eltrica. O mtodo prope um novo modelo de equaes para o clculo de
fluxo de potncia, diferente, portanto, das equaes de fluxo de potncia para
sistemas de transmisso. Essas equaes so denominadas pelos autores de
equaes de fluxo de ramos ou ento DistFlow. Outra melhoria importante para a
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17
convergncia do mtodo o uso de uma matriz de sensibilidade (Jacobiana)
modificada que atende a caractersticas radiais dos sistemas de distribuio. H.D.
Chiang (1991) apresenta o mtodo de uma maneira mais detalhada onde realiza um
estudo dos algoritmos e convergncia.
9 - R. Cspedes (1990) apresentou o mtodo Soma de Potncias, baseado
no mtodo Backward/Forward. O mtodo Soma de Potncias tem como
caracterstica bsica a possibilidade de transformar o problema de clculo em um
conjunto de subproblemas que, por sua vez, podem ser resolvidos atravs das
equaes que relacionam as tenses entre dois ns de um alimentador de
distribuio com as potncias equivalentes dos ns. Essa potncia equivalente a
soma de todas as potncias a jusante da barra, incluindo as perdas, e so alocadas
na posio correspondente a barra (carga equivalente), ou seja, calcula-se as cargas
equivalentes para cada barra de carga. Este procedimento se d no sentido das
barras terminais para as subestaes. Ento, partindo da barra da subestao,
calculam-se as tenses do lado da carga para todas as barras. Com as novas
tenses recalculam-se as perdas e com isto recalculam-se as novas cargas. Dessa
forma, o processo de soluo realizado de dois em dois ns, e respeitado at que
a tenso em cada n do sistema seja determinada e o erro se torne uma tolerncia
especificada.
10 - Tsai-Hsiang Che et al (1991) utiliza uma aproximao do mtodo Gauss
Zbarra. baseado no princpio da superposio aplicada s barras de tenso dos
sistemas, ou seja, existem duas contribuies para clculo da tenso: uma
proveniente da alimentao da subestao e outra do equivalente de injeo de
corrente. As cargas, capacitores e reatores so modelados como fontes equivalentes
de injees de correntes. Ento o clculo do fluxo de potncia se baseia no mtodo
da superposio.
11 A. S. Barbosa, E. Colman , et al (1992) apresenta um trabalho onde
realizado a comparao da utilizao do fluxo de potncia em redes de distribuio
utilizando-se o mtodo da rotao de eixos e da soma equivalente de potncia,
mostrando que ainda no existia uma unanimidade sobre quais propostas seriam
mais eficientes para o problema do fluxo de potncia para as rede de distribuio.
12 - S.K. Goswani e S.K. Basu (1992) , o processo de resoluo iniciado a
partir da subestao, considerando as cargas equivalentes da mesma forma que R.
Cepedes (1990) props. A diferena est na primeira iterao, onde no so levadas
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em conta as perdas das linhas, e tambm no equacionamento, j que neste mtodo
ele utiliza o fluxo de correntes nos ramos. A cada iterao ento so encontradas
novas perdas no sistema que so utilizadas no processo do mtodo Soma de
Potncia.
13 - D. Rajicic et al. (1994) propuseram um mtodo que se baseia na
ordenao e orientao da matriz impedncia Z junto com o mtodo da Soma das
Potncias, porm, o mtodo se demonstra eficiente apenas para redes fracamente
malhadas.
14 - C.S. Chen e D. Shirmohammadi (1995) apresentam um mtodo para
sistemas de distribuio trifsicos desequilibrados, tambm baseados no mtodo
Backward/Forward Sweep, mas com a diferena no equacionamento, pois o clculo
das tenses utiliza a matriz impedncia Z.
15 - R. D. Zimmerman e H. D. Chiang (1995) o mtodo desacoplado rpido
para sistemas de distribuio. Foi baseado na formulao proposta por M.E. Baran e
F.F. Wu, mas com a diferena de utilizar o fluxo de corrente nos ramos, ao invs de
utilizar as potncias como no mtodo original. Utiliza uma matriz jacobiana
aproximada e com isso consegue diminuir o tempo computacional, j que
necessria somente uma inverso da matriz.
16 - D. Das et al (1995) apresenta um novo mtodo para resolver o fluxo de
potncia nas redes de distribuio radiais baseado no mtodo da soma de
potncias. O mtodo proposto envolve s a avaliao de uma expresso algbrica
das magnitudes de tenso e nenhuma funo trigonomtrica. A soluo do problema
do fluxo de potncia feita por meio do clculo iterativo dos mdulos de tenso das
barras, em funo da potncia ativa que circulam nos ramos. O critrio de
convergncia est baseado na diferena entre as perdas ativas e reativas em duas
iteraes subseqentes.
17 - M. H. Haque (1996) propem um mtodo que pode ser aplicado a
ambos os tipos de rede malhada e radial. Se a rede for malhada, convertida em
uma radial para o clculo do fluxo de potncia e utiliza o mtodo de injees de
corrente nos pontos em que houve a abertura da malha; na rede radial equivalente
realizado clculo atravs do mtodo da matriz impedncia reduzida, baseado no
mtodo proposto por T.H. Chen et al (1991).
18 - F. Zhang e C. S. Cheng (1997) o mtodo proposto baseado no
mtodo de Newton, modificado para atender as caractersticas dos sistemas de
-
19
distribuio radiais. A matriz Jacobiana assume a forma UDUt, onde U uma matriz
constante triangular superior que depende somente da topologia de sistema e D
um bloco matriz diagonal, sendo o resultado de estrutura radial e propriedades
especiais do sistema de distribuio. No processo iterativo utilizado uma
metodologia baseada no Backward/Forward Sweep e o equacionamento do fluxo de
carga baseado no mtodo da matriz impedncia Zbarra. Os autores no explicitam
a montagem da matriz jacobiana. O mtodo proposto pode ser utilizado em outras
aplicaes, como na estimao de estado, e tambm pode ser estendido soluo
de sistemas fracamente malhados, com gerao distribuda e sistemas trifsicos
(desequilibrado).
19 - Y.H. Moon et al (1999) , o mtodo proposto aplicado para soluo de
sistemas de distribuio radiais e malhados. Esse mtodo tambm baseado no
mtodo de Newton, mas diferentemente da formulao apresentada por F. Zhang e
C. S. Cheng (1997), que resolvem pela matriz impedncia Z, nesse trabalho utiliza-
se a matriz admitncia. A matriz Jacobiana, em sistemas monofsicos, dividida em
duas matrizes, sendo que ambas so formadas por blocos (2X2). A primeira matriz
formada pelas partes real e imaginria da matriz admitncia Ybarra do sistema e se
mantm constante durante as iteraes. O Vetor I (variao da corrente) tambm
atualizado durante o processo iterativo. As tenses da barras do sistema so
atualizadas at atingirem a convergncia (P e Q foram menores ou iguais
tolerncia estipulada).
20 - A.G. Exposito e E.R. Ramos (1999), apresentaram um mtodo para
resolver o problema de fluxo de potncia em redes radiais. O algoritmo apresentado
segue uma aproximao diferente, apontada para aumentar a taxa de convergncia.
Este mtodo est baseado na idia intuitiva que quanto mais linear um sistema de
equaes for, melhor sua taxa de convergncia. Para alcanar esta meta, as
equaes de fluxo de carga foram escritas em termos de variveis alternativas que
conduzem a um conjunto de 3N equaes (2N equaes lineares e N quadrtico)
para uma rede com N+1 barras. Um algoritmo computacional, baseado no mtodo
de Newton-Raphson, proposto para resolver o sistema de equao resultante.
21 - M. H. Haque (2000) calcula o fluxo de carga para sistemas de
distribuio radiais ou fracamente malhados. O sistema de distribuio convertido
primeiro a uma rede de fonte equivalente com configurao radial. Conforme artigo
do autor de 1996, a diferena est no clculo do fluxo de potncia, que neste
-
20
trabalho calculado utilizando as equaes proposta por M.E. Baran e F.F. Wu
(1989): equaes DistFlow . As caractersticas do sistema original so preservadas
injetando potncia apropriada nos pontos em que foram abertos os circuitos no
sistema equivalente. As potncias injetadas so calculadas e atualizadas durante o
processo iterativo.
22 - P.A. N. Garcia et al (2000) onde o mtodo proposto baseado no
mtodo Newton-Raphson, chamado de Mtodo de Injeo de Corrente, e aplicado
para solues de sistemas trifsicos, com cargas desequilibradas, em que as
equaes das correntes injetadas so descritas em coordenadas retangulares e a
matriz jacobiana formada por blocos (6X6) e ser aproximadamente igual matriz
admitncia nodal, sendo esta variao determinada pelo modelo de carga adotado.
A matriz jacobiana pode ou no ser atualizada durante o processo iterativo,
visto que o numero de iteraes, sendo ela constante, um pouco maior.
23 - S. Jovanovic e F. Milicevic (2000), exploram a topologia espacial dos
sistemas de distribuio para formular o mtodo triangular de fluxo de carga de
distribuio. Utiliza em sua formulao uma matriz triangular T, que formada por
NramosXNbarras, constante durante o processo iterativo. Aps a formulao da
matriz, calcula-se o fluxo de potncia atravs de um processo baseado no backward
Sweep. A vantagem deste mtodo a simplicidade de sua formulao.
24 - A. Augugliaro et al (2002) apresentam um mtodo de soluo para
sistemas de distribuio. O mtodo valido tanto para sistemas radias quanto para
sistemas fracamente malhados. As tenses nas barras so consideradas com
variveis de estado. O mtodo de soluo baseado no mtodo iterativo
backward/forward sweep, modificado para aumentar a velocidade de convergncia.
25 - R. Ranjan e D. Das (2003) onde o mtodo proposto para soluo do
fluxo e potncia em sistemas radiais, baseado no mtodo proposto por M.E. Baran
e F. F. Wu (1989). A vantagem do mtodo proposto que todos os dados so
armazenados em forma de vetor, alm de poder ser utilizado com o sistema SCADA
(Supervisory Control and Data Acquisition) e DAC (Distribution Automation and
Control).
26 - T. L. Baldwins S.A. Lewis (2003) de apresentam uma reviso dos
mtodos clssicos e prope uma nova metodologia, baseado no trabalho de S.
Jovanovic e F. Milicevic (2000) e no mtodo Backward/Forward Sweep. Outra
contribuio do mtodo apresentado est na incluso de mltiplas geraes, ou
-
21
seja, no somente uma fonte (subestao) de alimentao.
27 - R. Ciric et al. (2004) apresenta uma metodologia baseada no mtodo
Backward/ Forward Sweep para clculo de fluxo de potncia de sistemas de
distribuio com retorno por terra.
O Quadro 1 apresenta resumo geral da reviso bibliogrfica, indicando a
origem de cada mtodo e sua particularidade em se permitir trabalhar com Gerao
Distribuda e redes em anel, fracamente malhadas ou radiais, apresentado a
seguir.
Nmero
ref.
Mtodo Mtodo
Origem
Sistema Permite
uso GD
Operao
em Anel
1 Gauss-Siedel - Transmisso Sim Sim
2 Newton-Raphson 1 Transmisso Sim Sim
3 Formulao da
proposta do
Backward/Forward
- Distribuio No No
4 Proposta de uso da
tcnica ladder
2 Transmisso
Adaptado
* *
5 Variao do
Desacoplado
Rpido
1 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
6 Variao do
Desacoplado
Rpido
1 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
7 Backward/Forward
Sweep
3 Distribuio No No
8 Newton-Raphson
Adaptado
(DistFlow)
2 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
9 Soma de Potncias 6 Distribuio No No
10 Gauss Aproximado 1 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
11 Variao do 1/6 Transmisso Sim Sim
-
22
Desacoplado
Rpido/ Soma de
Potncias
Adaptado/
Distribuio
12 Soma de Potncias
Variao
8 e 6 Distribuio No No
13 Soma de Potncias
Variao
8 Distribuio No Fracamente
malhada
14 Backward/Forward
Sweep rede
trifsica
3 Distribuio No Fracamente
malhada
15 Variao do
Desacoplado
Rpido
1 e 5 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
16 Soma de Potncias
Variao
8 e 6 Distribuio No Fracamente
malhada
17 Injees de
Corrente e Mtodo
de Gauss
1, 9 e
11
Transmisso
Adaptado e
distribuio
Sim Sim
18 Newton, Modificado 2 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
19 Newton, Modificado 2 e 16 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
20 Newton, Bem
Modificado
2 Transmisso
Adaptado
Sim Sim
21 Newton-Raphson
Adaptado
(DistFlow)
7 e 2 Transmisso
Adaptado
Sim Fracamente
malhada
22 Newton-Raphson
Adaptado e Injeo
de Corrente
7 e 15 Transmisso
Adaptado
Sim Fracamente
malhada
23 Triangular de Fluxo
de Carga de
Distribuio.
Distribuio - -
-
23
24 Backward/Forward
Sweep rede
trifsica
Modificado
3 e 12 Distribuio No Fracamente
malhada
25 Backward/Forward
Sweep rede
trifsica -
Modificado
3 Distribuio No Fracamente
malhada
26 Backward/Forward
Sweep rede
trifsica
3 e 23 Distribuio Sim Fracamente
malhada
27 Backward/Forward
Sweep rede
trifsica e
Monofsica
3 e 23
e 24
Distribuio Sim Fracamente
malhada
QUADRO 1 - RESUMO GERAL DA REVISO BIBLIOGRFICA FONTE: O Autor
1.5 CONSIDERAES SOBRE O SISTEMA ELTRICO
O sistema eltrico de transmisso composto por uma rede malhada de
linhas, com tenses variando de 69 kV at 765 kV com capacidade de transmisso
de grande quantidade de energia, algo na ordem de centenas de MVA. O termo rede
malhada de transmisso se deve ao fato de ter mais de um caminho eltrico entre
dois pontos do sistema, facilitando o fluxo de potncia. Pequenos trechos operando
de forma radial podem ser encontrados nas redes de transmisso. Estes casos so
pouco freqentes e contemplam pequenas distncias, portanto, no apresentam
maiores prejuzos caracterstica malhada dos sistemas de transmisso.
J os sistemas de distribuio so basicamente radiais, caracterizados por
ter um nico caminho entre cada consumidor e o alimentador de distribuio. O fluxo
de potncia flui da subestao para os consumidores atravs de um caminho
simples, o qual, em caso de interrupo, resulta na perda total de potncia para os
consumidores jusante do defeito. Os sistemas radiais de distribuio podem
apresentar uma caracterstica de fracamente malhados, termo adotado para indicar
-
24
a possibilidade de realizao da interligao de dois ramais de um mesmo
alimentador, sem que seja necessrio o desligamento deste alimentador.
Outra condio de operao do sistema de distribuio denominada
paralelismo consiste em se ter a possibilidade de conexo entre dois alimentadores
distintos atravs de uma chave seccionadora. Esta configurao disponibiliza dois
caminhos distintos entre a fonte de potncia e os consumidores. Podendo ser duas
subestaes diferentes, a mesma subestao com dois transformadores diferentes
ou mesmo o mesmo transformador. Este sistema por ser mais complexo que o
sistema radial em termos de proteo do sistema, s pode ser adotado de maneira
momentnea, com uma durao mxima da ordem de dezenas de minutos. A sua
vantagem est na melhoria do servio de entrega de energia, que passa a no ser
interrompido para a maioria dos consumidores quando um segmento da rede
desligado, uma vez que existe um caminho alternativo para o fluxo de potncia,
atravs do fechamento da citada chave de interligao.
1.6 ESTRUTURA DA DISSERTAO
No captulo 2 o mtodo de Newton-Raphson apresentado de maneira
resumida, objetivando o entendimento de sua variao, o mtodo Desacoplado
Rpido.
No captulo 3 o mtodo Desacoplado Rpido apresentado de maneira
resumida, objetivando o entendimento posterior das modificaes a serem
introduzidas pela nova metodologia.
No captulo 4 apresentada a metodologia proposta no trabalho, tanto para
a resoluo da rotao dos eixos de resistncias e admitncia como a metodologia
de escolha do melhor ngulo de rotao.
No captulo 5 so apresentados os resultados das simulaes com a
aplicao da metodologia proposta para os sistemas de distribuio radial IEEE de
10 barras, 34 barras e 70 barras adicionados ao caso de transmisso em anel IEEE
de 14 barras. Tambm so apresentados os resultados das simulaes de um
sistema de distribuio real acoplado ao caso de transmisso em anel IEEE de 14
barras. Em todos os casos bases foi includo um sistema de gerao distribuda e no
caso real foi realizado um paralelismo entre os dois sistemas de distribuio.
As concluses gerais e sugestes para trabalhos futuros so apresentadas
-
25
no captulo 6.
-
26
2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON
O mtodo de Newton-Raphson uma ferramenta numrica bastante
utilizada para resolues de sistemas de equaes no-lineares e consiste
basicamente num processo no qual iteraes lineares dos sistemas so montadas e
resolvidas. Com estas caractersticas este mtodo ficou sendo um dos principais
para solues de clculo de fluxo de potncia de redes eltricas, principalmente para
redes malhadas como os sistemas de transmisso.
2.1 MTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SOLUO DE SISTEMAS
ALGBRICOS.
O mtodo de Newton parte da considerao de um sistema unidimensional
onde se deve determinar o valor de x tal que a funo g(x)=0. Em termos
geomtricos, a soluo da equao g(x) corresponde ao ponto onde a curva desta
equao corta o eixo x. A soluo deste problema pelo mtodo de Newton-Raphson
segue a seguinte seqncia:
a) Fazer k=0 e escolher uma soluo inicial )0()( xxx k == ;
b) Calcular o valor da funo )(xg no ponto )(kxx = ;
c) Comparar o valor calculado de )(xg com a tolerncia especificada ;
d) Se )(xg , ento )(kxx = ser a soluo do problema; se >)(xg deve-se prosseguir na metodologia;
e) Linearizar a funo )(xg , por srie de Taylor , em torno do ponto )(; kk xgx ,
ficando:
kkkk xxgxgxxg +=+ )()()( ' (2.1)
Sendo dxdgxg =)('
f) Encontrar x , tal que
0)()( ' =+ kkk xxgxg (2.2)
-
27
Ou seja, a nova estimativa passa a ser:
kkk xxx +=+1 (2.3)
Onde
)(/)( ' kkk xgxgx = (2.4)
g) Fazer k+1 = k e voltar ao item b.
Considerando um sistema de n-equaes algbricas no-lineares, teremos:
[ ]Tn xgxgxgxg ))(),.......(),(()( 21 = (2.5)
T
nxxxxx
=
,..,, 321 (2.6)
Seguindo o mesmo procedimento para uma equao unidimensional,
teremos:
++ kkkkk xxJxgxxg )()()( (2.7)
Onde a linearizao da funo )(xg dada apenas pelos dois primeiros
termos da srie de Taylor e J a matriz Jacobiana dada por:
nxnn
nn
n
xg
xg
xg
xg
xx
xx
x
gJ
==
)(........)(...
.
.
.
)(.......)(
1
1
1
1
(2.8)
E calcula- se o vetor de correo
kx por:
-
28
= )(.)]([ 1 kkk xgxJx (2.9)
A soluo deste problema pelo mtodo de Newton-Raphson segue a
seguinte seqncia:
a) Fazer k=0 e escolher uma soluo inicial
== )0()( xxx k ;
b) Calcular o valor da funo
)( kxg ;
c) Testar a convergncia de
)( kxg : se )( ki xg para i=1,n o
processo convergiu para a soluo
kx e termina o processo, seno,
continuar o processo;
d) Calcular a Matriz Jacobiana )(
kxJ ;
e) Determinar a nova soluo:
+ += kkk xxx 1 (2.10)
= )(.)]([ 1 kkk xgxJx (2.11)
f) Fazer k+1 = k e voltar ao item b
2.2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA SOLUO DE FLUXO DE
POTNCIA
A seguir iremos demonstrar resumidamente o desenvolvimento do mtodo
de Newton para a soluo de fluxo de potncia.
Esse mtodo toma como base as equaes de potncia nodais para as
barras da rede das correntes, resultantes da aplicao da lei de Kirchhoff. As
injees de potncia ativa e reativa na barra k podem ser expressas por:
)cos( kmkmkmkmKm
mkk senBGVVP
+= (2.12)
-
29
)cos( kmkmkmkmKm
mkk BsenGVVQ
= (2.13)
Onde k= 1, NB; sendo NB o nmero de barras da rede.
As equaes (2.12) e (2.13) indicam a existncia de 4 variveis por barra,
quais sejam, injeo de potncia ativa, injeo de potncia reativa, modulo e ngulo
da tenso na barra: Vk, k, Pk e Qk . Essas variveis nodais podem configurar como
incgnitas ou dados de entrada dependendo da classificao da barra, definida em
trs tipos:
1 - Barra tipo PQ so especificados os valores de Pk e Qk e
calculados os valores de Qk e k.
2 - Barra tipo PV so especificados os valores de Pk e Vk e
calculados os valores de Vk e k.
3 Barra de Referncia - so especificados os valores de Vk e k e
calculados os valores de Pk e Qk.
Para se obter o estado da rede necessrio conhecer os valores das
magnitudes das tenses (V) e os ngulos de fase () destas tenses de todas as
barras do sistema. A partir desses fatores, conhecendo-se tambm os parmetros
do sistema de transmisso, possvel determinar a distribuio de fluxo atravs de
todo o sistema [1].
Tem-se, assim, para cada barra, duas equaes de potncias nodais e duas
variveis conhecidas. As outras duas variveis devem ser encontradas atravs do
mtodo de Newton-Raphson, criando-se assim um problema com 2NB equaes e
2NB incgnitas:
=
=+
0)cos(
0)cos(
kmkmkmkmkm
mkk
kmkmkmkmkm
mkk
BsenGVVQ
senBGVVP
(2.14)
Normalmente um sistema eltrico composto de NPQ barras do tipo PQ;
NPV barras do tipo PV; e 1 barra do tipo V, tomada como referncia para as
tenses. Sendo assim, o sistema possui:
. 2 (NPQ + NPV + 1) variveis especificadas
. 2 (NPQ + NPV + 1) incgnitas
-
30
Com isto foi criado um processo matemtico que permite uma resoluo
mais rpida do sistema. Esse processo se resume em criar dois subsistemas, um
para clculo das variveis de estado de todas as barras dos sistemas, ou seja,
calcular V e para as barras PQ; e para as barras PV. Este subsistema
normalmente chamado de subsistema 1 [1]. O outro subsistema permite calcular as
potncias nodais de todas as barras dos sistemas, ou seja, P e Q da barra V e Q
das barras PV, alm da determinao da distribuio dos fluxos de potncia ativa e
reativa das perdas do sistema. Este subsistema normalmente chamado de
subsistema 2 [1], e pode ser obtido diretamente, ou seja, sem a necessidade de
processo iterativo.
A seguir iremos detalhar melhor o processo matemtico para resoluo do
subsistema 1 que, por envolver soluo de equaes algbricas no-lineares, exige
a aplicao de mtodos iterativos.
2.2.1 Subsistema 1
Conforme j mencionado este subsistema permite obter os valores de V e
desconhecidos das barras da rede.
Como para as barras do tipo V a soluo j conhecida, estas barras no
entram nesta etapa; apenas as barras do tipo PQ e PV so consideradas, visto que
os valores de V e so desconhecidos para as barras PQ e os valores de Q e so
desconhecidos paras barras do tipo PV.
Tem-se, assim, um sistema determinado:
. (2NPQ + NPV) dados especificados: P e Q das barras PQ; P das
barras PV
. (2NPQ + NPV) incgnitas: V e das barras PQ; das barras PV
Chamando de Pkesp
e Qkesp
os valores conhecidos de P e Q ento, o objetivo
resolver:
=
=+
0)cos(
0)cos(
kmkmkmkmkm
mkespk
kmkmkmkmkm
mkesp
k
BsenGVVQ
senBGVVP
(2.15)
-
31
2.2.2 Subsistema 1 - Aplicao do Mtodo de Newton
As incgnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor de estado x ,
tal que:
=
Vx
(2.16)
Onde o vetor dos ngulos das tenses das barras PQ e PV e tem dimenso (NPQ + NPV), e V o vetor das magnitudes de tenses das barras PQ e
tem dimenso NPQ.
Com o sistema (2.15) reescrito, podemos obter:
==
==
0
0calck
espkk
calck
espkk
QQQ
PPP (2.17)
Sendo que:
Pk e Qk so os resduos ou mismatches de potncia ativa e reativa da barra k;
espKP e espKQ so os valores j conhecidos de P e Q;
calcKP e calcKQ so calculados atravs das equaes (2.12) e (2.13) de potncias
nodais.
Os valores de Pk obtidos so validos para as barras do tipo PQ e PV, j os valores
de Qk so validos para as barras do tipo PQ.
Definindo a funo vetorial )(xg por:
0)( =
=Q
Pxg (2.18)
Onde P um vetor de desvios de potncia ativa de dimenso (NPQ + NPV)
e Q um vetor de desvios de potncia reativa de dimenso NPQ.
Pelo mtodo iterativo de Newton, para cada iterao v, tem-se:
kkk xxJxg = ).()( (2.19)
-
32
Onde:
J a matriz Jacobiana das derivadas de )(xg x;
x o vetor de correo de estado.
E estes so calculados a cada iterao.
Com o apresentado acima e realizando manipulaes algbricas possvel obter-se
o sistema linear do problema de fluxo de potncia a ser resolvido a cada iterao v:
=
k
kk
k
k
Vx
LM
NH
Q
P )( (2.20)
Sendo assim, possvel perceber que a matriz Jacobiana composta pelas
submatrizes chamadas de H, N, M e L definidas por:
= PH
VP
N=
= QM
VQ
L= (2.21)
Como para redes de transmisso malhadas a matriz admitncia Y
simtrica, possvel calcular os elementos de cada submatriz atravs das equaes
2.22, 2.23, 2.24 e 2.25, indicadas a seguir:
+==
==
==
)cos(
)cos(
2
kmkmkmkmmkk
mmk
kmkmkmkmmkm
kkm
kkkkk
kkk
BsenGVVP
H
BsenGVVP
H
QVBP
H
(2.22)
-
33
==
==
+==
)cos(
)cos(
)( 21
kmkmkmkmmk
mmk
kmkmkmkmkm
kkm
kkkkkk
kkk
senBGVVP
N
senBGVVP
N
VGPVVP
N
(2.23)
==
+==
+==
)cos(
)cos(
2
kmkmkmkmmkk
mmk
kmkmkmkmmkm
kkm
kkkkk
kkk
senBGVVQ
M
senBGVVQ
M
PVGQ
M
(2.24)
+==
==
==
)cos(
)cos(
( 21
kmkmkmkmmk
mmk
kmkmkmkmmkm
kkm
kkkkkk
kkk
BsenGVVQ
L
BsenGVVQ
L
VBQVVQ
L
(2.25)
A dimenso de cada submatriz :
Matriz H: [(NPQ + NPV) (NPQ + NPV)];
Matriz N: [(NPQ + NPV) NPQ]
Matriz M:[NPQ (NPQ + NPV)]
Matriz L:[NPQ NPQ]
O vetor de correes de variveis para uma determinada iterao obtido
atravs de:
=
k
kk
k
k
Q
Px
LM
NH
V
)1()( (2.26)
-
34
A soluo do processo iterativo ocorre quando, para um determinado estado
(, V), os desvios de potncia estiverem bem prximos de zero, ou seja, as
potncias ativas e reativas calculadas para as barras do tipo PQ devem ser iguais ou
estar bem prximas das especificadas. O mesmo vale para os valores das potncias
ativas das barras tipo PV.
Usualmente so determinadas as seguintes condies de convergncia,
utilizando os desvios de potncia:
|Pk| P, para as barras k do tipo PQ e PV
|Qk| Q, para as barras k do tipo PQ
Onde P e Q so as tolerncias admitidas para os mismatches de potncia
ativa e reativa, respectivamente.
2.3 ALGORTMO BSICO PARA A RESOLUO DOS SUBSISTEMAS 1 E 2 PELO
MTODO DE NEWTON-RAPHSON
As etapas para a resoluo do problema de fluxo de potncia de carga pelo
mtodo de Newton-Raphson so descritas a seguir.
SUBSISTEMA 1
1. Fazer v=0 (contador de iteraes) e escolher valores iniciais dos ngulos
das tenses das barras PQ e PV e as magnitudes das tenses das barras
PQ, criando assim o vetor:
=0
0
Vx
(
2.27)
2. Calcular Pk(V
k
, k
) para as barras PQ e PV e Qk (Vk
, k
) para as barras PQ
e determinar os respectivos desvios de potncia: Pv
k Q
v
k .
3. Testar a convergncia: se max{|Pk
|}k=PQ,PV P e max{|Q
k|}k=PQ Q , o processo iterativo convergiu para a soluo (V
,
), ento ir para o
passo 7. Caso Contrrio executar o passo seguinte.
4. Calcular a matriz jacobiana
-
35
),(),(),(),(
kkkk
kkkk
VLVM
VNVH
(2.28)
5. Calcular os vetores de correes resolvendo o sistema:
=
),(
),(
),(),(),(),(
kk
kk
kkkk
kkkk
k
k
VQ
VPx
VLVM
VNVH
V
(2.29)
E determinar a nova soluo:
kkk
kkk
VVV +=+=
+
+
1
1
6. Fazer (k+1 = k) e voltar ao passo 2.
SUBSISTEMA 2
7. Calcular Pk e Qk para a barra de referncia e Qk para as barras tipo PV,
calcular fluxos de potncia ativa e reativa dos elementos da rede e calcular perdas.
2.4 CONSIDERAES FINAIS DESTE CAPTULO
O mtodo de NewtonRaphson, aplicado resoluo de fluxo de potncia
de redes eltricas, hoje a mais difundida e robusta ferramenta usada para
obteno da soluo dos valores das tenses complexas das barras do sistema. No
entanto, sob certas condies, o mtodo pode no apresentar convergncia, como
no caso de redes radiais, ou encontrar uma soluo para o sistema, no-factvel
para a rede eltrica. Isto principalmente em redes de distribuio com caractersticas
radiais onde dois fatores contribuem para a no convergncia do sistema: um dos
fatores seria, como j mencionado anteriormente, a relao r/x do sistema de
distribuio ser diferente da relao r/x do sistema de transmisso e outra razo
seria o condicionamento da matriz Jacobiana. Em [12] apresentada anlise onde
se verifica que no caso de redes em anel (redes malhadas) a matriz Jacobiana
apresenta a caracterstica de ser diagonalmente dominante, ou seja, o elemento da
diagonal principal maior que a soma de todos os elementos da mesma linha, fora a
diagonal. Em sistemas radiais esta caracterstica no se repete, indicando que a
convergncia do sistema se torna mais difcil.
-
36
Com o passar do tempo este mtodo foi aprimorado com diversos tipos de
controle e limites, entre os principais podemos citar o controle dos valores de tenso
das barras, injeo de potncias ativas e reativas, bem como a incluso de taps de
transformadores. E tambm ocorreram implementaes no mtodo de Newton-
Raphson para um melhor desempenho devido aos poucos recursos computacionais
existentes anteriormente. Entre uma dessas variaes est o Mtodo de Newton
Desacoplado Rpido (NDR) que ser alvo de estudo do prximo captulo.
-
37
3 MTODO DE NEWTON-RAPHSON DESACOPLADO RPIDO
O mtodo desacoplado e, subseqentemente, o mtodo desacoplado rpido
foram desenvolvidos com uma variao do mtodo de Newton-Raphson para que o
processo de clculo do fluxo de potncia pudesse convergir de maneira mais rpida
e para isso foram utilizadas algumas simplificaes aproximaes. O primeiro
considera a existncia de uma pouca sensibilidade entre [P e V] e entre [Q e ]. O
segundo vai alm, realizando simplificaes em algumas grandezas eltricas e
obtendo uma notria reduo de custo computacional.
A seguir iremos descrever resumidamente estes dois mtodos.
3.1 MTODO DE NEWTON DESACOPLADO
No captulo dois foram apresentadas as submatrizes H, N, M e L que
compem a matriz Jacobiana (J), as quais indicam as sensibilidades entre as
potncias (ativas e reativas) e as tenses complexas (magnitudes e ngulos de
fase), sendo possvel observar para estas submatrizes que as sensibilidades entre
[P e ] e entre [Q e V ] so bem maiores que aquelas entre [P e V ] e [Q e ].
Quando existe uma sensibilidade forte entre duas variveis se diz que existe
um acoplamento forte e quando a sensibilidade fraca pode-se dizer que existe um
desacoplamento.
Com estas premissas foi deduzido o mtodo de Newton Desacoplado no
qual so desprezadas as submatrizes N e M, j que seus valores so
substancialmente menores que os de H e L.
Utilizando estas simplificaes possvel deduzir que:
==
kkkkk
kkkkk
VVLVQ
VHVP
).,(),(
).,(),(
(3.1)
+=+=
+
+
kkk
kkk
VVV 1
1 (3.2)
As equaes (3.1) e (3.2) so chamadas de resoluo simultnea, pois os
mismatches de potncias ativa e reativa so calculados com base nos valores de
estado da iterao anterior.
-
38
Uma maneira de melhorar a caracterstica de convergncia do sistema
utilizando o esquema de soluo alternado, no qual se tem:
+=
=+ kkk
kkkkk VHVP
1
).,(),( (3.3)
+==
+ kkk
kkkkk
VVV
VVLVQ1
).,(),( (3.4)
Sendo que o sistema (3.3) constitui a meia-iterao, atravs da qual feita a
atualizao dos ngulos de fase das tenses das barras, relacionados aos
mismatches de potncia ativa (meia-iterao ativa). O sistema (3.4) compe a outra
meia-iterao, na qual feita a atualizao das magnitudes das tenses das barras,
relacionadas aos mismatches de potncia reativa (meia-iterao reativa). Aqui,
utilizam-se os valores atualizados dos ngulos de fase, melhorando o desempenho
do mtodo. Tem-se, portanto, uma atualizao de variveis de estado a cada meia-
iterao.
3.2 ALGORTMO BSICO PARA A RESOLUO DOS SUBSISTEMAS 1 E 2 PELO
MTODO DESACOPLADO
Seja p e q como os contadores das meias-iteraes ativa e reativa,
respectivamente, e KP e KQ como os indicadores de convergncia dos
subproblemas ativo e reativo, respectivamente, esses tm a funo de sinalizadores
(semforos) computacionais: sempre que alguma varivel de estado alterada, o
indicador de convergncia do outro subproblema igualado a 1, provocando uma
avaliao dos mismatches deste outro subproblema, mesmo que j tenha
convergido em uma iterao anterior. Com isso, evita-se afastamento do ponto de
soluo.
SUBSISTEMA 1
1 - Atribuir os valores iniciais: KP =KQ =1, p =q =0. Escolher valores iniciais
para as magnitudes (barras PQ) e ngulos de fase (barras PQ e PV) das tenses
nodais no fornecidas. Com isso, tem-se o vetor:
-
39
=0
0
Vx
(3.5)
2 - Calcular Pk(p, Vq ) para as barras PQ e PV. Calcular os respectivos
mismatches de potncia Pk.
3 - Testar a convergncia: se
max{|Pk|} P para k=PQ,PV (3.6)
Ir para o passo 13; caso contrrio ir para o prximo passo.
4. Calcular a matriz H. Calcular os vetores de correes para , resolvendo
),(.),( 1 qpqpp VPVH = (3.7)
e determinar o novo valor
ppp +=+1 (3.8)
5. Incrementar o contador de meias-iteraes ativas (p p +1).
6. Fazer KQ =1.
7. Calcular Qk (p, Vq ) para as barras PQ. Calcular os respectivos
mismatches de potncia Qk.
8. Testar a convergncia: se
max{|Qk|} Q, para k=PQ (3.9)
Ir para o passo 13; se no convergiu, ir para o prximo passo
9. Calcular a matriz L. Calcular os vetores de correes para V, resolvendo
),(.),( 1 qpqpq VQVLV = (3.10)
e determinar o novo valor
qqq VV +=+ 1 (3.11)
10. Incrementar o contador de meias-iteraes reativas (q q +1).
-
40
11. Fazer KP =1.
12. Voltar ao passo 2.
13. Fazer KP =0. Testar: se KQ =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o
passo 15, se no, voltar para o passo 7.
14. Fazer KQ =0. Testar: se KP =0, o processo convergiu. Se sim, ir para o
passo 15, se no, voltar para o passo 2.
SUBSISTEMA 2
15. Calcular Pk e Qk para a barra de referncia e Qk para as barras tipo PV.
Calcular fluxos de potncia nos elementos da rede e calcular perdas.
Neste algoritmo, os passos 2 a 6 e 13 correspondem meia-iterao ativa.
Os passos 7 a 12 e 14 correspondem meia-iterao reativa. A resoluo do
subsistema 2 (passo 15) igual ao mtodo de Newton-Raphson.
3.3 MTODO DESACOPLADO RPIDO (NDR)
Baseando-se no mtodo desacoplado, faz-se algumas consideraes a fim
de se chegar a um mtodo de clculo mais rpido.
Seja a matriz diagonal de magnitude de tenses, cuja dimenso definida
de acordo com as dimenses de H e L, ou seja:
=
NBV
V
V
V
..002
1
(3.12)
De forma que define-se duas novas matrizes, H e L, dadas por:
HVH 1' = (3.13)
LVL 1' = (3.14)
Os elementos dessas duas matrizes so, portanto:
-
41
+==
=
=
)cos('
)cos('
'
kmkmkmkmkk
mmk
kmkmkmkmmkm
kk
kkkkkk
BsenGVP
H
BsenGVH
QVQ
BVH
(3.15)
==
+=
kmkmkmkmmk
kmkmkmkmkm
k
kkkkk
BsenGL
BsenGL
VQ
BL
cos'
cos'
' 2
(3.16)
Tem-se assim o mtodo desacoplado modificado, definido por:
= './ HVP (3.17)
VLVQ = './ (3.18)
Levando em conta as seguintes consideraes:
km pequeno, de tal forma que cos(km) muito prximo de 1. Esta
aproximao vlida para sistemas de transmisso de Extra Alta Tenso e Ultra
Alta Tenso e tambm para sistemas de distribuio, j que para estes ltimos as
aberturas angulares so em geral pequenas;
Bkm , em magnitude, muito maior que Gkmsenkm. Para Extra Alta Tenso
a relao Bkm/Gkm da ordem de 5, e para de UAT a relao Bkm/Gkm pode atingir a
ordem de 20.
Bkk V 2h , em magnitude, muito maior que Qk. Isso indica que as reatncias
shunt so, na grande parte dos casos, muito maiores que as reatncias srie (linhas
e transformadores);
As tenses Vk so prximas da unidade (em p.u.).
Aplicando estas aproximaes s matrizes H e L chega-se a duas novas
matrizes, chamadas de B e B, respectivamente:
-
42
===
kmmk
kmkm
kkkk
BB
BB
BB
'
'
'
(3.19)
===
kmmk
kmkm
kkkk
BB
BB
BB
"
"
"
(3.20)
V-se aqui um resultado bastante interessante: as matrizes B e B
dependem apenas dos parmetros da rede (impedncias e suceptncias dos ramos
e elementos shunt), ficando, portanto, independentes das variveis de estado do
sistema (magnitudes e ngulos das tenses nodais). As novas matrizes aproximam-
se bastante da matriz susceptncia nodal B, com a ressalva de que em B no
constam as linhas e colunas referentes barra V, e em B no constam as linhas e
colunas referentes s barras V e PV. Essas matrizes so constantes ao longo do
processo iterativo (diz-se que o mtodo apresenta "tangente fixa"), diminuindo o
tempo computacional e a quantidade de memria antes usada para calcular e
inverter H e L a cada iterao. Da o mtodo ser denominado desacoplado rpido,
cujas equaes so:
= './ BVP (3.21)
VBVQ = "./ (3.22)
Estas equaes passam a substituir os passos 4 e 9 do algoritmo do mtodo
desacoplado, apresentado na seo 3.1.1. O restante do algoritmo no alterado.
As matrizes constantes B e B so calculadas logo no passo 1 e apenas uma vez
para todo o processo iterativo.
3.4 VERSES DO MTODO DESACOPLADO RPIDO
Com um estudo mais aprofundado do mtodo desacoplado rpido foram
propostas e avaliadas 4 (quatro) verses deste mtodo, sendo assim nomeados:
verso BB, verso XB , verso BX e verso XX [15, 16].
Resumidamente a diferena entre os quatro mtodos est em se usar ou
-
43
no os valores das resistncias das linhas e se no for utilizada onde desprezar
estes valores.
A verso BB no despreza os valores das resistncias e se pode dizer que
o mtodo desacoplado rpido propriamente dito.
A verso XB despreza os valores das resistncias para a formao da
matriz B, sendo este o mtodo mais utilizado.
A verso BX despreza os valores das resistncias para a formao da matriz
B.
A verso XX despreza os valores das resistncias para a formao tanto da
matriz B como da matriz B.
-
44
4 MTODO DE NEWTON RAPHSON DESACOPLADO RPIDO COM ROTAO
TIMA DOS EIXOS
4.1 INTRODUO
As aproximaes e simplificaes consideradas na elaborao do mtodo de
Newton Raphson Desacoplado Rpido, apresentadas no captulo anterior, esto
associadas, principalmente, as relaes entre reatncias e resistncias (r/x) dos
elementos da rede. As relaes r/x das linhas de transmisso, por sua vez,
dependem do tipo de cabo e do nvel de tenso do sistema. Quanto mais alto o nvel
de tenso, maiores so as relaes r/x, conseqentemente, maior o acoplamento
P-, Q-V, ou seja, mais adequadas so as referidas aproximaes.
Os sistemas de transmisso, onde os nveis de tenso so iguais ou
superiores a 230kV, apresentam relaes x/r iguais ou superiores a 5, garantindo o
bom desempenho dos mtodos desacoplados. No entanto, as linhas de transmisso
dos alimentadores dos sistemas de distribuio, que envolvem tenses inferiores a
69kV, possuem relaes muito baixas, podendo ser inferiores a unidade. Portanto,
os mtodos desacoplados, na sua forma convencional, no podem ser aplicados a
sistemas de distribuio.
A tcnica de rotao utilizada nesse trabalho foi proposta em meados da
dcada de 80 [5] e consiste basicamente em mudar o sistema de referncia
complexo atravs de uma rotao dos eixos real e imaginrio, de modo que as
impedncias representadas no novo sistema de referncia possuam relao r/x
favorvel ao desacoplamento adotado pelo mtodo de fluxo de potncia
desacoplado rpido.
Neste captulo a tcnica proposta em [5] apresentada de duas formas, a
forma convencional, baseada na idia de rotao dos eixos complexos, e na forma
de uma normalizao por unidade (p.u.) complexa, baseada na adoo de uma base
complexa de potncia, o que permite a normalizao no apenas do mdulo, mas
tambm dos ngulos das impedncias, possibilitando, assim, a adequao da
relao r/x de forma similar rotao de eixos.
Finalmente, esse captulo apresenta a metodologia proposta nesse trabalho
de um fluxo de potncia unificado para redes de transmisso interconectadas a
alimentadores de distribuio, atravs da aplicao da normalizao complexa, ou
-
45
rotao de eixos, aos elementos dos alimentadores, permitindo a utilizao dos
mtodos de Newton e suas variaes desacopladas.
4.2 RELAES R/X TPICAS EM SISTEMAS DE TRANSMISSO E
DISTRIBUIO
As linhas de transmisso dos sistemas de distribuio, ao contrrio daquelas
presentes em sistemas de transmisso, apresentam, tipicamente, valores de
resistncia srie de ordem equivalente, ou mesmo superiores aos seus valores de
reatncia srie.
A Figura 1 ilustra a representao grfica de uma impedncia srie tpica de
uma linha de transmisso de um sistema de alta tenso. Nesta possvel perceber
que o valor da resistncia r ( ou p.u. ) muito pequeno em relao ao valor da
reatncia x ( ou p.u. ). Essas caractersticas das redes de alta tenso implicam
em um forte acoplamento entre a abertura angular e o fluxo de potncia ativa e,
tambm, entre a diferena de potencial e a potncia reativa, resultando no
conhecido desacoplamento P-QV.
FIGURA 1 REPRESENTAO GRFICA DA IMPEDNCIA TPICA DE ALTA TENSO
Valores tpicos de relao r/x para sistemas de transmisso e distribuio
em funo do cabo utilizado so apresentados no Quadro 2.
-
46
Cabos Utilizados em rede de
Transmisso
Cabos Utilizados em rede de
Distribuio
Tipo Bitola r/x Tipo Bitola r/x
Cobre 450 MCM a
9000 MCM
0,29 a 0,17 Cobre 6 AWG
300 MCM
3,13 a 0,33
Alumnio com
Alma de Ao
556,5 MCM
a 1,75 Pol
0,41 a 0,21 Alumnio
sem Alma
de Ao
4 AWG
336,4 MCM
3,2 a 0,51
QUADRO 2 RELAO DE R/X POR NVEL DE TENSO FONTE: O Autor
Na Figura 2 est ilustrada graficamente uma impedncia srie tpica de um
alimentador de um sistema de distribuio. Neste caso percebe-se que o valor da
resistncia r ( ou p.u. ) e da reatncia x ( ou p.u. ) tem propores
equivalentes, impedindo a aplicao das tcnicas de desacoplamento adotadas
pelos mtodos desacoplados.
FIGURA 2 - REPRESENTAO GRFICA DE IMPEDNCIA DE MEDIA TENSO
4.3 ROTAO DE EIXOS COMPLEXOS
De acordo com [5-6] uma impedncia pode ser representada em outro plano
real-imaginrio, cujos eixos estejam defasados de um ngulo em relao aos
eixos anteriores. A Figura 3 ilustra a rotao de eixos aplicada a uma impedncia
-
47
tpica de rede de distribuio. Nesse novo plano a impedncia passa a ser
representada pelos componentes rrot e xrot.
FIGURA 3 ROTAO DOS EIXOS DA IMPEDNCIA
Sendo assim, verifica-se que esta tcnica permite o ajuste dos valores de
resistncia e reatncia srie dos elementos da rede, a partir do ngulo de rotao,
de forma que esses possam apresentar, por exemplo, as mesmas caractersticas
das redes de alta tenso, permitindo assim, a aplicao de mtodos desacoplados
de fluxo de potncia.
4.3.1 Representao Matemtica do Mtodo
A rotao de eixos ilustrada na Figura 4.3 implica que:
Zrot= Z . ej (4.1)
Onde Z a impedncia original do ramo e o ngulo de rotao.
Assim, os valores rotacionados de resistncia e reatncia so definidos por
= senxrr rot .cos. (4.2)
-
48
= cos.. rsenxx rot (4.3)
A relao rrot/xrot pode, ento, ser expressa por:
nrsenx
senxrxr
rot
rot
cos...cos.
= (4.4)
Em [4] evidencia-se a possibilidade da utilizao da variao do ngulo de
rotao, , na obteno de uma nova relao rrot/xrot, adequada a aplicao do Fluxo
de Potncia Desacoplado Rpido.
A rede fictcia obtida com a aplicao do ngulo de rotao definido para
todos os ramos da rede requer que as injees de potncia ativa e reativa nas
barras sejam igualmente rotacionadas. Esta alterao se faz necessria para que os
valores de magnitude e ngulo da tenso em cada barra da rede fictcia sejam os
mesmos da rede original, evitando assim a necessidade de aplicao de um
processo de desrotao aos estados da rede.
As relaes entre potncia complexa (S), tenso complexa (V), impedncia
(Z) e corrente (I) podem ser descritas como:
*IVS = (4.5)
e
ZV
I =
(4.6)
Substituindo-se Z por Zrote-j , tem-se:
)(. jrot eZV
I = (4.7)
A equao (4.7) mostra que se nas correntes for aplicada uma rotao de
mesmo ngulo, mas de sentido oposto aplicada s impedncias, as tenses complexas sero as mesmas do sistema original. Assim, para a potncia complexa tem-se:
Srot = V .(Irot)* (4.8)
ou
-
49
Srot = S.ej (4.9)
Conseqentemente, as injees de potncia ativa e reativa rotacionadas so
expressas por:
Prot= P. cos Q. sen (4.10)
Qrot= P. sen Q. cos (4.11)
Dessa maneira, aplicando-se a rotao de eixos aos valores especificados
de potncia ativa e reativa, alm das impedncias sries, o Fluxo de Potncia
Desacoplado Rpido apresentar bom desempenho e fornecer o mesmo estado
(tenses complexas) da rede original. Aps a convergncia nas grandezas de
interesse, aplicada a rotao em sentido inverso, obtendo-se ento os valores
reais da rede.
4.4 MTODO DA NORMALIZAO COMPLEXA POR UNIDADE
Esta seo apresenta uma forma alternativa de interpretar a rotao de
eixos descrita na seo anterior, baseada nos conceitos de normalizao das
grandezas dos sistemas de energia.
A difundida normalizao das grandezas eltricas em sistemas de energia,
conhecida por normalizao por unidade (ou simplesmente p.u.), oferece inmeros
benefcios. A idia bsica estabelecer valores de base para grandezas, tais como
tenso, corrente, impedncia, potncia e definir a grandeza em p.u., como segue:
grandezadebasevalorrealgrandeza
unidadeporgrandeza = (4.12)
Tenso, corrente, potncia e impedncia so grandezas que se relacionam
de tal forma que a escolha de valores de base para quaisquer duas delas determina
os valores de base para as outras duas. Se forem especificadas as bases para
corrente e tenso, poderemos determinar as bases para impedncia e potncia
-
50
aparente. Isto pode se melhor observado atravs das equaes (4.13) e (4.14)
abaixo.
IZV .= (4.13)
= IVS . (4.14)
Normalmente, devido s necessidades e convenincias, escolhe-se uma
base comum de potncia (em voltampere), ou seja, Sbase para todo o sistema e uma
base em um nvel arbitrrio de tenso. Diferentes bases de tenso so especificadas
para cada nvel de tenso, todos relacionados com a relao de transformao de
cada banco de transformador. As bases para as quantidades atuais de impedncia e
corrente so obtidas a partir das equaes (4.13) e (4.14).
A convenincia da representao em p.u. das grandezas em sistemas
eltricos de potncia bem conhecida. Normalmente, a tenso e potncia de base
so valores reais, resultando em valores reais de base de impedncia e corrente.
Dessa forma, a normalizao afeta apenas os mdulos das grandezas envolvidas.
Nesse trabalho consideramos a possibilidade de adoo de uma base de potncia
(em VA) complexa, isto :
basejbasebase eSS
= .
(4.15)
J as grandezas bases de tenso so definidas da mesma forma que na
normalizao em pu convencional, ou seja, um diferente valor de magnitude
escolhido para cada nvel de tenso do sistema de acordo com as relaes de
transformao, enquanto que o ngulo da tenso de base nulo. Dessa forma, a
base da potncia complexa, enquanto as bases para as tenses so reais, de
forma que.
basej
basebase VeVV ==0. (4.16)
Portanto, a partir de (4.15) e (4.16), podemos concluir que o valor base de
impedncia Zbase ser tambm complexo e definido por:
-
51
base
base
jbasebase
j
base
base
base
basebase
eZZ
eSV
SV
Z
=
==
.
22
(4.17)
A equao (4.17) implica que a grandeza da impedncia na representao
pu ter uma magnitude normalizada que depende dos valores de base adotados
para potncia e tenso, assim como na definio convencional por unidade. Alm
disso, e diferentemente da normalizao convencional, os novos valores de
impedncia em p.u. tero defasagem angular definida pelo ngulo de fase da
impedncia base (idntico ao ngulo da potncia de base) com sinal contrrio, ou
seja
)(.
.
.
base
base
jpupu
jbase
j
basepupupu
eZZ
eZ
eZ
Z
jXRjXRZ
+
=
=+
=+=
(4.18)
onde orig o ngulo original da impedncia srie do elemento.
Conseqentemente, os valores em p.u. da parte real (resistncia) e
imaginria (reatncia) da impedncia so definidos por:
( )baseoripupu ZR += cos. (4.19)
( )baseorigpupu ZX += sin. (4.20)
Assim, a relao r/x na nova normalizao pu complexa dada por :
( )baseorigpu
pu
R
X += tan (4.21)
De forma similar, as injees de potncia ativa e reativa so devidamente
normalizadas pela base voltampere complexa, ou seja:
-
52
base
VApupupu S
SQjPS =+= .
(4.22)
e
( )basepupu SP += cos. (4.23) ( )basepupu SQ += sin. (4.24)
As equaes (4.19), (4.20), (4.23) e (4.24) mostram que uma nova relao
entre o fluxo de potncia ativa e potncia reativa, bem como entre os valores da
reatncia e resistncia do ramo, obtida para o sistema normalizado. Portanto, as
relaes r/x representadas pela equao (4.21) podem ser ajustadas pela definio
do ngulo de fase da potncia de base base. Isso significa que os problemas sobre a
convergncia do mtodo desacoplado rpido para o sistema de distribuio ditada
pela baixa r/x podem ser contornados atravs da adequada escolha /determinao
do ngulo base.
importante observar que, a soluo obtida para os estados a partir da
aplicao do clculo de fluxo de potncia para o sistema normalizado com o uso de
uma base complexa de potncia exatamente a mesma que a obtida com a base
real (p.u. convencional). Isto esperado, uma vez que as bases de tenso so
mantidas reais na nova abordagem.
4.5. EQUIVALNCIA ENTRE OS MTODOS
Os dois mtodos de clculo para realizar a mudana dos valores de
resistncia, reatncia, das potncias ativas e reativas em funo do ngulo de
rotao do eixo so equivalentes e trazem o mesmo resultado final. Podem ser
utilizadas qualquer uma das duas metodologias diretamente sem prejuizo ou
necessidade de qualquer alterao nos valores obtidos aps a aplicao da rotao.
4.6 CLCULO DO NGULO DE BASE OU DE ROTAO
As duas sees anteriores demonstram que a definio do valor do ngulo
de rotao ou ngulo de base essencial para a aplicao da tcnica ao sistema em
-
53
estudo. Em [6] os autores propem a determinao do ngulo a partir do ajuste da
relao r/x do sistema, tornando-a adequada aos nveis de transmisso, algo em
torno de 3 (trs), por exemplo. A desvantagem dessa tcnica a necessidade de
verificar se a aplicao do ngulo ao ramo com melhor relao no o torna
inadequado ao desempenho dos mtodos desacoplados.
Alternativas para determinao do ngulo de rotao foram propostas na
literatura. A seguir apresentamos dois mtodos para determinao do ngulo.
4.6.1 ngulo timo Orientado ao Ramo
Como j citado anteriormente, o ngulo de rotao ou de base base
precisa ser ajustado s necessidades do sistema. Busca-se, portanto, um valor nico
e ideal para cada alimentado. Uma opo realizar uma rotao automtica, isto ,
o ngulo de rotao conforme descrito na seqncia.
O desacoplamento sobre o qual se baseia o fluxo de carga desacoplado
rpido consiste em desconsiderar o efeito dos mdulos das tenses nas barras
sobre a injeo de potncia ativa e o efeito dos ngulos das mesmas na injeo de
potncia reativa. Assim, para realizar o clculo do ngulo de rotao utiliza-se um
critrio que consiste em minimizar os acoplamentos entre P e V e entre Q e , ou
seja, o ngulo deve fazer com que as submatrizes N e M [8], obtidas aps a
rotao, tenham valores prximos de zero. Resumindo, o ngulo de rotao deve ser
ajustado de forma a atender hiptese do desacoplamento.
Com esta tcnica obtm-se um ngulo de rotao para cada trecho k-m,
diferentemente de um mesmo ngulo aplicado a toda a rede. Cada equao nodal
possui seu respectivo ngulo otimizado.
Inicialmente so calculados os ngulos das impedncias de cada trecho k-m
da rede de distribuio, definido por km:
tg km = (xkm/rkm) (4.25)
O segundo passo consiste em determinar o ngulo ideal de rotao para
cada trecho. Considerando que se pretende determinar a maior relao r/x possvel
(ou a menor relao r/x), o ngulo de rotao de cada trecho km determinado por:
km = 90 km (4.26)
-
54
Analisando melhor (4.25) e (4.26) possvel verificar que para cada trecho
k-m da rede de distribuio, estamos simplesmente fazendo com que a resistncia
rotacionada do ramo seja igual a zero ( 0=rrot
km).
Finalmente, um ngulo nico para toda a rede determinado a partir da
mdia aritmtica simples de todos os ngulos envolvidos, conforme proposto em [4].
(timo) = (1/Nl) . km (4.27)
onde NI o nmero total de ramos do sistema.
A partir desse ngulo so determinados os valores rotacionados de
resistncia e reatncia de cada ramo, ou seja:
)(.)cos(. timokmtimokmrot
km senxrr = (4.28)
)cos(.)(. timokmtimokmrotkm xsenrx += (4.29)
Conforme mencionado anteriormente, as potncias injetadas ativa e reativa
so igualmente rotacionadas para garantir que o estado obtido para a rede fictcia
seja o mesmo da rede original. Assim:
)(.)cos(. timoktimokrot
k senQPP = (4.30)
)cos(.)(. timoktimokrotk QsenPQ += (4.31)
4.6.2 ngulo timo Orientado a Barra
Outra forma de clculo do ngulo seria direcionado a barra [4], que resulta
em um processo mais complexo e que, no entanto, no apresenta ganhos
significativos quando comparado com o mtodo proposto anteriormente, por isto no
foi utilizado para a realizao deste trabalho.
Basicamente, a diferena do mtodo do ngulo orientado barra est em
calcular um ngulo timo para rotacionar uma barra k de maneira que as
consideraes de desacoplamento de um ramo k-m sejam mantidas. Mas como este
valor de ngulo orientado a barra, se faz necessrio novamente o clculo para os
outros ramos conectados a mesma barra, sendo assim, o ngulo calculado para k-m
diferente do ngulo calculado para m-k.
-
55
A alternativa encontrada para minimizar a influncia do conjunto de ramos
ligado barra k utilizar o critrio dos mnimos quadrados.
Demonstrando de uma maneira matemtica teremos que:
xr
km
km
ktg = (4.32)
=
kk km
km
kk xrf tg
2
min (4.33)
= 0k
k
ddf
02 =
k
k
kk km
km
k ddtg
tgxr
(4.34)
=
kk km
kmkk x
rtgN (4.35)
=
kk km
km
kk x
rN
arctg1 (4.36)
onde Nk o nmero de barras conectadas barra k.
Este mtodo duplica o nmero de admitncias da rede e provoca a perda da
simetria da matriz admitncia nodal, alm da rede eltrica perder sua representao
fsica.
Cabe ressaltar que foram realizados alguns testes utilizando a rotao de
eixos ou normalizao complexa, mas ao invs de se utilizar o Mtodo Desacoplado
Rpido foi utilizado o mtodo de Newton-Raphson direto e os testes apresentaram
convergncia e resultados muito semelhantes aos obtidos com Desacoplado Rpido.
A seguir mostrado o Fluxograma simplificado para a realizao da rotao
dos eixos das impedncias de uma rede de distribuio.
-
56