potencia cao
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MDULO II POTENCIAO E RADICIAO
PAGE 27
Potenciao
e
Radiciao Potenciao e Radiciao
O mdulo II composto por exerccios envolvendo potenciao e radiciao.
Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreenso.
1 Parte:Potenciao
1. Definio de Potenciao
A potenciao indica multiplicaes de fatores iguais. Por exemplo, o produto pode ser indicado na forma . Assim, o smbolo , sendo a um nmero inteiro e n um nmero natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
a a base;
n o expoente;
o resultado a potncia.Por definio temos que:
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
CUIDADO !!
Cuidado com os sinais.
Nmero negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:
Nmero negativo elevado a expoente mpar permanece negativo. Exemplo:Ex. 1:
EMBED Equation.3 Se , qual ser o valor de ?
Observe:
, pois o sinal negativo no est elevado ao quadrado.
os parnteses devem ser usados, porque o sinal negativo - no deve ser elevado ao quadrado, somente o nmero 2 que o valor de x.
2.Propriedades da Potenciao
Quadro Resumo das Propriedades
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:
a) Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicao de potencias de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.
Ex. 1.:
Ex. 2.:
Ex. 3.: ( neste caso devemos primeiramente resolver as potncias para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 so diferentes.
Obs.:Devemos lembrar que esta propriedade vlida nos dois sentidos. Assim: ou Exemplo:
b) Nesta propriedade vemos que quando tivermos diviso de potencias de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1:
Ex. 2:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
ou Exemplo:
c) Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .
Ex. 1:
Ex. 2:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
ou Ex.:
d)
EMBED Equation.3 Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de expoente fracionrio, onde o ndice da raiz o denominador do expoente.
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 3:
Ex. 4:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
ou Ex.:
e)
Ex. 1:
Ex. 2:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
ou Ex.:
f)
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 3:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja
ou Ex.:
g)
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 3:
Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja ou
Ex.:a)
b)
CUIDADO !!!
Obs.: importante colocar que nos trs exemplos acima o sinal negativo do expoente no interferiu no sinal do resultado final, pois esta no a sua funo.
Exerccios
1) Calcule as potncias:
a)
b) (-6)2c) -62d) (-2)3e) -23f) 50g) (-8)0h)
i)
j)
k) 028l) 132m) (-1)20n) (-1)17o)
2.O valor de [47.410.4]2 : (45)7 :
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual a forma mais simples de escrever:
a) (a . b)3 . b . (b . c)2b)
4. Sendo e , o quociente de a por b :
a) 252
b) 36
c) 126
d) 48
e) 42
5. Calcule o valor da expresso:
6. Simplificando a expresso , obtemos o nmero:
a)
b)
c)
d)
e)
7.Quando, qual o valor numrico da expresso ?
8.Escreva a forma decimal de representar as seguintes potncias:
a) 2-3 =
b) 10-2 =
c) 4-1 =
Exemplos mais complexos:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operao que aparece dentro dos parnteses.
(6)
(7)
EMBED Equation.3 ou
Exerccios
9.Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
10. Sabendo que , determine o valor de a.
Ateno neste exemplo. Simplifique as expresses:
Como temos multiplicao e diviso de potncias de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base 2, tentaremos escrever todos os nmeros que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e .
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicao e diviso de potncias de mesma base.
EMBED Equation.3 ou
Exerccios
11. Simplifique as expresses:
a)
b)
c)
2 Parte:Radiciao
1.Definio de Radiciao
A radiciao a operao inversa da potenciao. De modo geral podemos escrever:
Ex. 1:
Ex. 2:
Na raiz , temos:
O nmero n chamado ndice; O nmero a chamado radicando.2.Clculo da raiz por decomposio
2.1Propriedades dos radicais
a)
Ex. 1:
Ex. 2:
Ex. 3:
Obs.: importante lembrar que esta propriedade tambm muito usada no sentido contrrio ou seja (o denominador n do expoente fracionrio o ndice do radical).
Exemplo : .b) Ex.:
c) Ex.:
d) Ex.:
e)
Ex.:
f) Ex.:
Exerccios
12. D o valor das expresses e apresente o resultado na forma fracionria:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13. Calcule a raiz indicada:
a)
b)
c)
d)
14. Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
15. Escreva na forma de radical:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
16.De que forma escrevemos o nmero racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?
a) b)
c) d)
e)
2.2 Razes Numricas
Exemplos:
a)
b)
ou
ou
Obs.:Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.
2.3 Razes Literais
a)
Escrever o radical na forma de expoente fracionrio no resolve o problema, pois nove no divisvel por 2. Assim decomporemos o nmero 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 divisvel por 2 que o ndice da raiz.
Assim teremos:
b) pois 12 divisvel por 3 (ndice da raiz).
Outros Exemplos:
a)
b)
Exerccios
17. Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
18. Fatore e escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
19. Calcule a raiz indicada:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
20. Simplifique os radicais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Operaes com radicais
3.1. Adio e Subtrao
Quando temos radicais semelhantes em uma adio algbrica, podemos reduzi-los a um nico radical somando-se os fatores externos desses radicais.
Exemplos:
1)
2)
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidncia os radicais que apareceram em todos os termos da soma.
3)
4)
Exerccios
21. Simplifique :
22. Determine as somas algbricas:
a)
b)
c)
d)
23. Simplifique as expresses e calcule as somas algbricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
24. Calcule as somas algbricas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
25. Considere e determine:
a) a + b + c =b) a ( b + c )=c) a b + c=d) ( a + b ) c=
26. Simplifique a expresso.
3.2 Multiplicao
Temos 4 casos bsicos para a multiplicao de radicais, a seguir veremos cada um:
1 caso: Radicais tm razes exatas.
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
Exemplo:
2 caso: Radicais tm o mesmo ndice.
Devemos conservar o ndice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possvel o resultado obtido.
Exemplos: a)
b)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 pode parar aqui!Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicao e diviso:
c)
3 caso: Radicais tm ndices diferentes.
O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionrios em fraes equivalentes (com mesmo denominador).
Exemplos: a)
b)
ATENO:
, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois igual a duas razes de dois.
por que?
ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potncia, ento:
3.3 Diviso
A diviso de radicais tem 3 casos bsicos, a seguir veremos cada um deles:
1 caso: Os radicais tm razes exatas.
Nesse caso, extramos as razes e dividimos os resultados.
Exemplo:
2 caso: Radicais tm o mesmo ndice.
Devemos conservar o ndice e dividir os radicandos.
Exemplos:
3 caso: Radicais com ndices diferentes.
O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias, efetuar as operaes de potncias de mesma base e voltar para a forma de radical .
Exemplo:
4. Racionalizao de Denominadores
Racionalizar uma frao cujo denominador um nmero irracional, significa achar uma frao equivalente ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da frao por um nmero conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma frao significa reescrever a frao eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:
2) Temos no denominador razes com ndices maiores que 2:
(a)
Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 1 + 2 = 3.
(b)
Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 2 + 3 = 5.
3) Temos no denominador soma ou subtrao de radicais:
Exerccios
27.Calcule
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
28.Simplifique os radicais e efetue:
a)
b)
c)
29. Efetue:
a)
b)
c)
d)
30. Escreva na forma mais simplificada:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
31. Efetue as multiplicaes e divises:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
32.Efetue:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
33.Quando , o valor numrico da expresso :
a) 0
b) 1
c) 1
d)
e)
34.Se e :
a) x o dobro de y;
b)
c)
d) y o triplo de x;
e)
35. Racionalize as fraes:
a)
b)
c)
d)
Respostas dos Exerccios
1 Questo:
a)36h)
o)
b)36i)
c)36j)
d)8k)0
e)8l)1
f)1m)1
g)1n)-1
2 Questo:
d)
3 Questo:
a)
b)
4 Questo:
a)
5 Questo:
6 Questo:
a)
7 Questo:
8 Questo:
a)0,125b)0,01c)0,25
9 Questo:
a)
d)
g)
j)
b)
e)
h)
k)
c)
f)
i)
10 Questo:
11 Questo:
a)E = 3nb)F = 2n 3 c)G = 5 n + 4 . 2
12 Questo:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
13 Questo:
a)
b)
c)
d)
14 Questo:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
15 Questo:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
16 Questo:
c)
17 Questo:
a)5c)6e)0g)-5
b)3d)1f)7h)2
i)-1
18 Questo:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
19 Questo:
a)2ad)
g)
j)
b)
e)
h)
k)
c)
f)
i)
20 Questo:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
21 Questo:
22 Questo:
a)
b)
c)
d)
23 Questo:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
24 Questo:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
25 Questo:
a)
b)
c)
d)
26 Questo:
27 Questo:
a)
c)
e)
g)
b)
d) f)24h)1
i)5
28 Questo:
a)
b)28c)
29 Questo:
a)
b)
c)
d)
30 Questo:
a)xd)
g)
j)
b)
e)xh)
k)5b4
c)
f)x -7i)
31 Questo:
a)
c)
e)
b)
d)
f)
32 Questo:
a)
c)
e)
b)
d)2f)
33 Questo:
a)
34 Questo:
c)
35 Questo:
a)
b)
c)
d)
EMBED Equation.3
O sinal negativo no expoente indica que a base da potncia deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.
Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potncia.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Resultados possveis
O sinal deve ser contrrio, seno a raiz no ser eliminada do denominador.
Como os ndices das razes so iguais, podemos substituir as duas razes por uma s!
Multiplicamos numerador e denominador da frao por 2 e transformamos na frao equivalente EMBED Equation.3
A ordem dos fatores no altera o produto (multiplicao)
Forma fatorada de 243
Forma fatorada de 144
Devemos fatorar 144
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Conservamos a base e somamos os expoentes.
EMBED Equation.3
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