ufu cap2 modelagem de sistemas de potencia

Capítulo II – Modelagem de Sistemas de Potência FEELT/UFU

13

Capítulo II

MODELAGEM DE SISTEMAS DE POTÊNCIA

1. INTRODUÇÃO

Quando o objetivo é a análise do controle, elementos do sistema tais como: unidades

geradoras, máquinas motrizes, etc., são convenientemente representados por equações

diferenciais lineares que descrevam seu comportamento na operação com pequenas

perturbações (ou pequenos sinais).

As unidades geradoras são aproximadas por fontes de tensão alternada constante.

As velocidades ou freqüências destas fontes são determinadas por equações de quantidade

de movimento que ligam torques mecânicos (aceleradores) aos torques de inércia

desenvolvidos pelos rotores das máquinas e pelos torques desaceleradores produzidos pela

carga alimentada.

2. CONCEITOS BÁSICOS DA MECÂNICA DE ROTAÇÃO

A análise de qualquer sistema de potência, com o objetivo de estudar sua dinâmica,

envolve algumas propriedades mecânicas das máquinas que constituem o sistema. Isto se

deve ao fato que, após uma perturbação qualquer, as máquinas devem ajustar os ângulos

relativos de seus rotores, a fim de cumprir as condições impostas de transferência de

potência.

O problema é, portanto, tanto elétrico quanto mecânico, e, certos princípios e

equações da mecânica de rotação devem ser lembrados. As principais grandezas

mecânicas envolvidas estão relacionadas no quadro da tabela I.


14

Tabela I – Grandezas mecânicas envolvidas em estudos dinâmicos

Nome da grandeza Símbolo e equação Unidade (S.I.)

Deslocamento angular mecânico mθ rad

Velocidade angular mecânica mm

d

dt

θω = rad/s

Aceleração angular mecânica mm

d

dt

ωα = rad/s2

Momento de inércia J kg m2 ou Js2/rad2

Conjugado ou torque mecânico m mT J= α N m ou J/rad

Quantidade de movimento angular (momentum) mM J= ω Js/rad

Trabalho mecânico m m mW T d= θ∫ J ou joules

Potência mecânica mm m m

dWP T

dt= = ω W ou watts

A energia cinética (G) de um corpo em rotação é expressa por:

2m

1G J [J]

2= ω (01)

Sendo ωm expresso em rad/s, a energia cinética em joules, a expressão (01) mostra

que o momento de inércia J pode ser dado também em joule × seg2/rad2 (ou Js2/rad2).

Note que a palavra radiano (rad) aparecer como unidade na tabela I, porém, esta não

é de fato uma unidade e poderia, portanto, ser eliminada caso desejado.

Aplicando os conceitos acima para uma unidade geradora, a energia armazenada nas

massas girantes, que compreenderá o rotor, a turbina, etc., será melhor expressa em

MegaJoule (ou MJ), e os ângulos em graus elétricos.


15

Para o caso da máquina operando à velocidade angular mecânica constante ou

aproximadamente constante (suposição normalmente usada nos estudos de transitórios

eletromecânicos) tem-se que o produto J ωm (com ωm a velocidade angular mecânica obtida

na condição nominal de operação) será constante e representado pelo chamado

MOMENTUM (M):

mM J [Js / rad]= ω (02)

Nota: Na condição nominal tem-se ωm = ωms = velocidade mecânica nominal (síncrona).

A grandeza J do movimento de rotação é análoga a massa no movimento de

translação. Assim, a mesma varia enormemente com o porte do conjunto turbina-alternador.

Embora, conforme se verá oportunamente, M seja uma constante bastante utilizada, esta

sua grande dependência com as características físicas do conjunto gerador sugere a

definição de uma outra grandeza quase que invariável com a potência da máquina. Assim

surge a CONSTANTE DE INÉRCIA - H, definida como:

2m mEnergia cinética armazenada G (1/ 2)J (1/ 2)M

HPotência nominal da máquina S S S

ω ω= = = = (03)

Nota: Se a energia cinética for dada em MJ (MegaJoule) e a potência nominal em MVA,

então a unidade de H será MJ/MVA ou MW.s/MVA ou s.

De (03):

m1

SH M2

= ω (04)

Se M for expresso em MJ × s/graus elétricos, então, ωm deverá ser também dado em

graus elétricos/s, isto é:

om 360 f [graus elétricos/s]ω = (05)

e

o1SH M(360 f )

2=


16

De onde:

o

SHM [MJ×s/graus elétricos]

180 f= (06)

A última expressão fornece, pois, a relação entre M e H.

O valor de H tem, conforme já citado, a grande vantagem de não variar muito com

tamanho da máquina. Por outro lado, o conhecimento de M é que mais interessa aos

estudos de estabilidade transitória.

Existem duas expressões para o cálculo de H, uma em função de WR2 e outra em

função de GD2. Estas são dadas em (07) e (08) abaixo:

2 2102,31WR n

H 10 [s]S

−= × (07)

ou

221,37GD nH [s]

S 1000

= ×

(08)

Sendo:

WR2 = peso de todas as partes rotativas no eixo, multiplicado pelo raio de giração ao

quadrado [libra × pés2 = lb × ft2];

GD2 = peso de todas as partes rotativas no eixo, multiplicado pelo diâmetro ao

quadrado [toneladas × metro2 = ton× m2];

n = número de rotações por minuto (velocidade nominal) [rpm];

S = potência nominal da máquina [MVA].

Na ausência de maiores informações sobre as máquinas, têm-se as recomendações

práticas da tabela II e figuras 2.1 e 2.2, mostradas a seguir.


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Tabela II – Valores típicos da constante de inércia H de máquinas síncronas

Tipo de máquina síncrona Constante de inércia H [MJ/MVA ou s]

Turbo-alternador 3 < H < 7 (ver figura 2.1)

Alternador hidráulico 2 < H < 4 (ver figura 2.2)

Compensador síncrono 1 < H < 2

Motor síncrono 0,5 < H < 2

Figura 2.1 – Valores de H para turbo-alternadores de grande porte (turbina incluso) (A) 1800 rpm - com condensação (B) 3600 rpm - com condensação (C) 3600 rpm - sem condensação

Figura 2.2 – Valores de H para alternadores hidráulicos do tipo vertical (A) 450 a 514 rpm, (B) 200 a 400 rpm, (C) 138 a 180 rpm, (D) 80 a 120 rpm.


18

Se várias máquinas síncronas estiverem operando em paralelo, com suas constantes

de inércia dadas por:

1 2 n1 2 n

1 2 n

G G GH ; H ; H

S S S= = =L (09)

então, a constante de inércia de uma máquina equivalente será dada por:

eq 1 2 neq

eq 1 2 n

G G G GH

S S S S

+ + += =

+ + +

L

L

ou,

1 2 neq 1 2 n

eq eq eq

S S SH H H H

S S S

= + + +

L (10)

De (10) se conclui que a constante de inércia total equivalente é a soma das

constantes de inércias individuais, referidas à potência nominal da máquina equivalente.

Exemplo 1: Um alternador tem as seguintes especificações: 6,8 MVA, 300 rpm, 60 ciclos/s,

GD2 = 180 ton×m2. Calcular a constante de inércia e o momentum M.

Solução 1:

De (08): 2

180 300H 1,37 3,26 [MJ / MVA]

6,8 1000

= × =

De (06): 3

o

6,8 3,26M 2,05 10 [MJ×s/graus elétricos]

180 60

−×= = ×

×

Exemplo 2: Um alternador A tem como características nominais: 50 Hz, 60 MW, 75 MVA,

1500 rpm e H = 7,5 MJ/MVA. Os correspondentes dados para um outro

alternndor B são: 50 Hz, 120 MW, 133,3 MVA, 3000 rpm e H = 4,5 MJ/MVA. Se

os dois alternadores operam em paralelo em uma central de geração, calcular

os parâmetros de um alternador equivalente.


19

Solução 2:

Seq = 75 + 133,3 = 208,3 MVA

De (10): eq

75 133,5H 7,5 4,5 2,7 2,88 5,58 [MJ / MVA]

208,3 208,3

= + = + =

3. EQUAÇÃO DE OSCILAÇÃO

Nos desenvolvimentos que se seguem, procurar-se-á obter a variação do ângulo δ

em função do desequilíbrio entre as potências elétrica e mecânica. Inicialmente, seja a

expressão do torque desenvolvido em um corpo em rotação:

a mT J= α (11)

Para a máquina síncrona tem-se que:

a m eT T T= − (12)

onde:

Ta = torque acelerante

Tm = torque mecânico

Te = torque elétrico

No regime permanente Tm = Te e Ta = 0. Porém, sob condições transitórias pode-se

ter Ta ≠ 0. A figura a seguir ilustra Tm e Te.

Figura 2.3 – Interpretação física dos torques: mecânico e elétrico


20

Quando da existência de um torque (Ta), acelerante ou desacelerante, é importante

considerar o movimento mecânico do rotor. Este movimento, porém, deve ser estabelecido

com base em uma referência, que normalmente corresponde a um eixo que gira à

velocidade síncrona. Assim, a oscilação mecânica, medida em termos de um ângulo

deslocamento do rotor (θm), com relação a um eixo de referência fixo é:

m 0 m s 0 m( )tθ = θ + ω − ω = θ + δ (13)

De onde:

m mm s

d d'

dt dt

θ δ= = ω − ω = ω (14)

Sendo ω’ = velocidade angular relativa. Derivando novamente (14):

2 2m m m

2 2

d d d d '

dt dtdt dt

θ δ ω ω= = = (15)

Sendo δm a medida do deslocamento angular mecânico entre o eixo do rotor (que gira

a velocidade ωm) e um eixo que gira a velocidade síncrona ωs, pode-se interpretar δm

conforme indicado na figura 2.4.

Figura 2.4 – Eixos mecânico e síncrono para um tempo t genérico


21

Neste ponto é importante definir o ângulo que mais interessa aos estudos.

Realmente, enquanto que δm está associado a um fenômeno mecânico, existe o seu

correspondente ângulo elétrico δ. A relação entre estes ângulos é:

[graus elétricos] = (P/2)×[graus mecânicos]

De onde:

m(P / 2)δ = × δ (16)

onde: P = número de pólos (P/2 = número de pares de pólos)

Este último resultado mostra que sendo constante a relação entre os dois ângulos,

pode-se analisar todo o transitório eletromecânico em termos da variação de δ, e,

posteriormente, o transformar em δm, se houver interesse.

Com base nestas considerações, é usual substituir o termo d2θm/dt2 ou d2δm/dt2 por

d2δ/dt2. Na verdade, a substituição direta δm = δ só ocorrerá se P = 2. Nos demais casos é

necessário a introdução do número de pares de pólos (P/2).

Assim, de (11) e (12):

2m

a m e m 2

dT T T J J

dt

δ= − = α = (17)

Dividindo tudo pelo torque base para obter os torques em p.u., sendo TB=Sn/ωms

(sendo Sn a potência nominal e ωms a velocidade mecânica nominal da máquina), tem-se:

2ms m

a m e 2n

J dT T T

S dt

ω δ= − = (18)

Da definição de H em (03), tem-se para a condição nominal:

2m

a m e 2ms

2H dT T T

dt

δ= − =

ω (19)


22

De (16) e sabendo que ωms = (2/P) ωs (sendo ωs = 2πf), tem-se:

2

a m e 2s

2H dT T T

dt

δ= − =

ω (20)

Manipulando esta equação:

a m es

d d / dtT T T 2H

dt

δ= − =

ω (21)

ou

a m e

d dT T T 2H (p ) M (p )

dt dt= − = δ = δ (22)

Sendo: pδ = desvio (variação) da velocidade elétrica em p.u.

M = 2H = momentum expresso em segundos (s)

Nota: O desvio ou variação da velocidade elétrica em p.u. (pδ) pode ser obtido por:

0 sp 1 [p.u.]δ = ω − ω = ω − ω = ω − (23)

Em p.u. as potências e torques são praticamente iguais. Assim, pode-se escrever a

equação (22) em termos de potência (em p.u.), em função de H ou M (em s), como:

a m e

dP P P 2H (p )

dt= − = δ (24)

a m e

dP P P M (p )

dt= − = δ (25)

Nota: Como os torques ou potências que aparecem nas expressões a seguir são

normalmente expressos em p.u., a barra, que é colocada acima destas grandezas

para indicar esta condição, será omitida a partir da próxima seção.


23

4. CONJUNTO ISOLADO GERADOR – CARGA

Inicialmente será útil examinar o caso de um gerador isolado suprindo uma carga

elétrica com potência P0, como mostrado na figura 2.5.

Figura 2.5 – Esquema de um conjunto isolado gerador-carga

Sob condições de regime permanente, o gerador da figura 2.5 alimenta a carga com

potência P0, com freqüência constante ω0. Pela definição de “regime permanente”, o torque

mecânico de acionamento é igual ao torque elétrico de frenagem.

Serão examinadas agora as equações do estado de equilíbrio, usando o subscrito “0”

para indicar este estado. A figura 2.6. é uma descrição, através de diagrama de blocos da

função de transferência da velocidade de um gerador em função dos torques. Ela define as

relações entre as variações da velocidade (pδ) e as variações nos torques (∆Tm e ∆Te).

Figura 2.6 – Diagrama de blocos do conjunto isolado gerador-carga


24

Observando a figura 2.6 tem-se a equação em forma operacional da seguinte

maneira:

[ ]m e

1p (s) T (s) T (s)

Msδ = ∆ − ∆ (26)

onde: M = momento de inércia efetiva do rotor da máquina (em segundos);

∆Tm = variação do torque da máquina motriz (em p.u.);

∆Te = variação do torque elétrico (em p.u.);

pδ = desvio da freqüência ou da velocidade ω0 (em p.u.);

ω0 = freqüência ou velocidade de regime permanente (em p.u.);

ω = ω0 + pδ = 1 + pδ = freqüência ou velocidade real do rotor (em p.u.);

A equação (26) pode também ser expressa no domínio do tempo por:

[ ]m e1

p (t) T (t) T (t) dtM

δ = ∆ − ∆∫ (27)

Com relação a constante de inércia (H) em s, ou kWs/kVA, ou MWs/MVA, tem-se que

M = 2H nas equações (26) ou (27), M = 2H desde que T e pδ estejam em p.u. Estas

equações podem ser obtidas a partir da expressão (22).

A representação da figura 2.6 pode ser usada para simular uma única máquina ou um

grupo de máquinas rigidamente acopladas em um sistema de potência. Neste último caso, a

constante de inércia M á a soma composta das inércias de todas as máquinas, a variável

∆Tm representa a variação total no torque das máquinas motrizes do sistema e ∆Te

representa a variação total no torque elétrico sistema.


25

5. AMORTECIMENTO DO SISTEMA

A relação expressa pela figura 2.6 é entre torque e velocidade, porém, é mais

significativo deduzir uma relação que envolva as variações básicas de potência elétrica e

mecânica. A relação entre potência e torque é dada por:

P T= ω (28)

Desenvolvendo a equação (28) para pequenas oscilações fazendo:

0P P P= + ∆

0T T T= + ∆

0 pω = ω + δ

e desprezando os termos de segunda ordem, obtém-se:

0 0P T T p∆ ≈ ω ∆ + δ (29)

Da equação (29):

0

0 0

T pPT

δ∆∆ = −

ω ω (30)

Usando a equação (30) na figura 2.6 e lembrando que ω0 = 1 p.u., chega-se ao

diagrama de blocos da figura 2.7, onde os desvios de velocidade por unidade pδ são

expressos em função das variações das potências elétrica e mecânica.

A potência mecânica no eixo da turbina é essencialmente uma função da posição da

válvula e independente da freqüência (em alguns tipos de turbinas hidráulicas isto nem

sempre é válido visto que as variações de velocidade podem afetar a potência desenvolvida

a despeito da posição da válvula)


26

(a) Diagrama completo com aplicação da equação (30)

(b) Agrupando os somadores do diagrama (a) (c) Considerando Tm0=Te0 no diagrama (b)

Figura 2.7 – Diagramas de blocos do conjunto gerador-carga com os desvios de velocidade (pδ) expressos em por unidade em função das variações das potências elétrica e mecânica

Já a potência elétrica depende das características da carga e pode, portanto, ser

afetada pela freqüência. Esta dependência pode ser expressa por:

e LP P (1 D p )′= + δ (31)

onde: PL = carga conectada na freqüência normal;

D’ = característica de freqüência da carga.

Nota: No caso de uma carga puramente resistiva a potência elétrica seria independente

da freqüência, isto é, D’ da equação (31) seria nulo.

Em geral, as cargas de um sistema de potência são uma composição de cargas de

motores com várias características de velocidade-torque, cargas de iluminação e de

aquecimento. Alterações de freqüência causam alterações de carga devido a mudanças nas


27

velocidades dos motores, bem como devido a alterações na tensão, nos pontos de

utilização, causadas por alterações de freqüência.

Valores representativos de amortecimento de sistemas são D’ = 1 ou D’ = 2 p.u. Um

valor de D’ = 2 significa que uma variação de 1% na freqüência causaria uma variação de

2% na carga, na base da carga conectada.

Desenvolvendo a equação (31) na forma de pequenas perturbações, e desprezando

termos de segunda ordem, obtém-se:

e L L0P P D P p′∆ = ∆ + δ (32)

A figura 2.8 mostra o diagrama de blocos do sistema de potência contendo uma

máquina isolada equivalente e uma carga PL0 conectada com uma característica de

amortecimento D’PL0 = D.

Figura 2.8 – Diagrama de blocos do conjunto gerador-carga (carga conectada com característica de amortecimento D’)

O termo de amortecimento D’PL0 = D é proporcional à carga PL0 conectada e à

característica sensitiva de freqüência da carga D’. Assim, D tende a zero para um sistema

levemente carregado.


28

6. UNIDADES E SISTEMA P.U.

Desde que o sistema por unidade é largamente utilizado na análise de sistemas de

potência, é conveniente selecionar uma base para as potências ∆PM e ∆PL, etc. Poderia ser

uma base arbitrária, embora seja freqüentemente selecionada uma base que esteja próxima

da potência nominal do sistema que está sendo representado.

O valor da base (em MVA ou kVA) escolhido deve ser usado na determinação do

valor de M (como na equação (25)) e do parâmetro D. A variável pδ é usualmente expressa

em por unidade na base da freqüência nominal.

Exemplo 3: Um sistema de potência isolado compreendendo duas unidades de 500 MVA

suprindo uma carga conectada de 750 MW. A constante de inércia de cada

unidade é H = 3,5 s na base da máquina. A carga varia de 1% para 1% de

variação da freqüência. Expresse as constantes M e D do diagrama de blocos

da figura 2.8, na base de 1000 MVA.

Solução 3:

Cálculo da inércia equivalente para as 2 unidades na base de 1000 MVA

H 2 3,5 (500 /1000) 3,5 s= × × =

Cálculo da constante M na base de 1000 MVA

M 2H 2 3,5 7 s= = × =

Cálculo do amortecimento na base de 1000 MVA

D 1 (750 /1000) 0,75 pu= × =

A figura 2.9 mostra o diagrama de blocos deste sistema com estes valores

numéricos na base de 1000 MVA. Note que este mesmo sistema na base de

500 MVA teria as seguintes constantes (em pu):

M = 7 (1000/500) = 14 s

e

D = 0,75 (1000/500) = 1,5 p.u.


29

Figura 2.9 – Diagrama de blocos do sistema do exemplo 3

(M = 7 p.u. e D = 0,75 p.u. na base de 1000 MVA)

A resposta da freqüência do sistema para uma variação em degrau na carga ∆PL,

seria:

L LP 1 P / Dp (s)

s Ms D s[1 s(M / D)]

∆ ∆δ = − = −

+ + (33)

Nota: No domínio do tempo a equação (33) resultaria em:

( )t /(M / D)LPp (t) 1 e

D

−∆δ = − − (34)

A figura 2.10 mostra o gráfico da variação da freqüência em função do tempo para a

entrada degrau na carga. A taxa de variação inicial da freqüência no tempo t 0+= é ∆PL/M

p.u./s. O valor final é -∆PL/D e a constante de tempo (ou o tempo para variação de 63%) é

M/D segundo.

Figura 2.10 – Resposta da freqüência (pδ) do sistema gerador-carga para uma variação degrau na carga (∆PL)


30

7. ACOPLAMENTO ELÉTRICO ENTRE MÁQUINAS

Passando do caso de uma máquina isolada para o de máquinas operando em

paralelo ou sistemas de potência operando interligados, é útil examinar o caso de duas

máquinas síncronas operando em paralelo, conectadas através de uma reatância X12, como

na figura 2.11.

O fluxo de potência entre as duas máquinas da figura 2.11 é dado pela expressão

familiar potência-ângulo. Assim, P12 é a potência transferida da fonte de tensão E1 para a

fonte E2, sendo expresso por:

1 212 12

12

E EP sen

X= δ (35)

Figura 2.11 – Sistema com duas máquinas síncronas interligadas

A solução da equação do ângulo de potência em sua forma não linear é tratada em

análises de estabilidade transitória, onde são consideradas grandes sobrecargas e grandes

desvios angulares. Objetivando a análise do controle, o interesse reside em pequenas

variações em torno de um ponto de operação, e a equação (35) pode ser expressa, em

forma de pequenas oscilações, pela equação linear:

1 212 12 12 s 12

12

E EP cos T

X

∆ = δ ∆δ = ∆δ

onde

1 2s 12

12

E ET cos

X= δ = coeficiente de torque sincronizante [p.u.]


31

O coeficiente Ts representa a inclinação ∆P12/∆δ12 da curva potência-ângulo da figura

2.11 em torno do ponto de operação. A variação do ângulo ∆δ12 é obtida pela integração da

variação da freqüência entre as máquinas 1 e 2, pδ1 - pδ2.

Figura 2.12 – Curva potência-ângulo para o sistema com duas máquinas síncronas interligadas

Nas representações anteriores, com diagramas de blocos, a variável pδ foi expressa

em por unidade (p.u.) da freqüência nominal. Para converter este termo para

radianos/segundo, deve-se multiplicá-lo por ω0 ou 377 rad/s. Assim, quando este termo é

integrado fornecerá δ12 em radianos para uso na equação (35).

O diagrama de blocos que descreve duas máquinas, ou grupos de máquinas

acopladas, é mostrado na figura 2.13, onde o coeficiente de torque sincronizante (Ts) foi

multiplicado por 377 rad/s, ou seja:

1 2s 12

12

E ET 377 T 377 cos

X= × = × δ

Note que o intercâmbio de potência entre as máquinas TL12 1 2T

P (p p )s

∆ = δ − δ age

como uma carga para o grupo de máquinas 1 e como geração para o grupo de máquinas 2.

Este fato é indicado por sinais apropriados nos somadores do diagrama de blocos da figura

2.13.


32

Figura 2.13 – Diagrama de blocos para o sistema com duas máquinas síncronas interligadas

Portanto, foi deduzido um modelo de um sistema de duas máquinas, ou de dois

sistemas de potência interligados através de uma linha de interligação (“tie line”,

representando somente a parte que fornece a freqüência do sistema e o intercâmbio na linha

de interligação, a partir das potências da máquina motriz e da carga.

Resumindo, as variáveis e as constantes básicas que entram no modelo são:

∆Pm = variação da potência da máquina motriz (em p.u.);

∆PL = variação da carga na freqüência nominal (em p.u.);

∆PTL = variação da potência elétrica entre as máquinas (em p.u.);

pδ = variação da freqüência em torno da síncrona (em p.u. da freqüência base,

onde 1 p.u. = 377 rad/s para sistemas de 60 Hz);

M = constante de inércia = 2H (em segundos) na mesma base da máquina motriz

ou potência da carga;

D = amortecimento do sistema (p.u. potência / p.u. pδ);

T = coeficiente de torque sincronizante (p.u. potência × 377 rad/s).


33

Será examinada agora a natureza desse modelo de sistema de potência. Usando a

fórmula G/(1+GH) para redução de diagrama de blocos, determina-se a função de

transferência total relacionando pδ1 a ∆PL1. Isto é, faz-se todas as outras entradas ∆Pm1,

∆Pm2 e ∆PL2 iguais a zero e determina-se pδ1 para um degrau em ∆PL1 = ∆PL.

Partindo do diagrama de blocos da figura 2.13, a figura 2.14 mostra uma série de

reduções que são evidentes por si mesmas.

(a) Primeira redução

(b) Segunda redução

(c) Terceira redução

Figura 2.14 – Reduções do diagrama de blocos da figura 2.13


34

A expressão final da função de transferência pode ser simplificada ainda mais se as

unidades forem supostas iguais, ou áreas com M1 = M2 = M e D1 = D2 = D, chegando-se a:

21

2L1

p (Ms Ds T)

P (Ms D)(Ms Ds 2T)

∆ δ − + +=

∆ + + + (36)

Para este caso, o teorema do valor final (t → ∞ ou s → 0) mostra que, para uma

variação em degrau unitário em ∆PL1 (isto é ∆PL1 = ∆PL.= 1), o resultado é:

T 1

2DT 2D

− −=

A resposta no tempo de ∆pδ1, para um degrau unitário em ∆PL, é obtida tomando a

Transformada Inversa de Laplace de:

2

12 2

(Ms Ds T)p (s)

D D 2TsM (s )(s s )

M M M

− + +∆ δ =

+ + +

(37)

Quando (D/2M)2 é pequeno relativamente a (2T/M), esta expressão é

aproximadamente igual a:

2

12 2

(Ms Ds T)p (s)

D D 2TsM (s ) (s ) )

M 2M M

− + +∆ δ =

+ + +

e a inversa é:

D Dt t

M 2M1 1 2 3

2Tp (t) k k e k e sen t

M

− − ∆ δ = + + + ψ

(38)

onde k1, k2 e k3 podem ser obtidas pelas regras das frações parciais e transformação inversa

de Laplace.


35

A figura 2.15 mostra o comportamento dos dois sistemas interligados diante de uma

súbita alteração de carga na área 1, admitindo que não haja variação nas potências das

máquinas motrizes.

Nota-se o desvio final em regime permanente da freqüência em ambas as áreas, que

se estabiliza em ∆L/2D.

Observa-se também as oscilações de pδ e ∆PTL, com uma freqüência igual a 2T / M

que tipicamente se situa entre 0,2 e 2 Hz, dependendo dos valores de T e de M. Quanto

maior T, isto é, quanto menor for a reatância entre as máquinas ou entre os sistemas, maior

será a freqüência de oscilação.

O amortecimento do sistema, anteriormente discutido, contribui para a taxa de

decréscimo dessas oscilações. Os enrolamentos amortecedores e os enrolamentos de

campos das máquinas são também uma fonte de amortecimento, especialmente para altas

freqüências.

Figura 2.15 – Resposta da freqüência para dois sistemas interligados diante de uma súbita alteração de carga na área 1


36

Salienta-se que foi observado o comportamento do sistema de potência não incluindo

os efeitos do regulador de velocidade da máquina motriz. Isto seria equivalente à operação

com o regulador bloqueado.

Freqüentemente aparecem situações onde é preciso considerar um sistema finito

interligado a um grande sistema que, para efeitos práticos, pode ser tomado como infinito

(pδ2 = 0). Para este caso, o diagrama de blocos do sistema é mostrado na figura 2.16.

A função de transferência entre pδ1 e ∆PL1 está indicada na figura 2.17, mostrando

que o desvio de freqüência em regime permanente é zero, como era de se esperar do

sistema interligado com o sistema infinito, cuja freqüência não pode variar.

A função de transferência entre ∆PTL e ∆PL1 está indicada na figura 2.18, com um

ganho em regime permanente de -1, isto é, toda a variação de carga na área 1 é

compensada pelo suprimento através da linha de interligação, proveniente da área infinita

vizinha.

Observe que a freqüência de oscilação é T / M em radianos/segundos, onde M é a

inércia da área finita e T é o coeficiente de torque sincronizante entre as áreas.

Figura 2.16 – Diagrama de blocos para um sistema finito conectado a um sistema infinito


37

Figura 2.17 – Função de transferência entre pδ1 e ∆PL1 do diagrama da figura 2.16

Figura 2.18 – Função de transferência entre ∆PTL e ∆PL1 do diagrama da figura 2.16

8. EQUIVALÊNCIA

Pode-se tirar algumas conclusões, a partir das expressões da figura 2.14, para se

chegar a maneiras lógicas pelas quais os sistemas de múltiplas máquinas possam ser

aproximados por um reduzido número de máquinas.

Um caso que se justifica a concentração das máquinas é aquele em que distúrbios

atingem com simetria várias máquinas, não dando lugar, desta maneira, a oscilações entre

as mesmas.

No exemplo da figura 2.15, se a alteração de carga atingisse ambas as áreas com

igual peso, isto é, se ∆PL1 = ∆PL2 = ∆PL/2, então a freqüência natural das oscilações entre as

máquinas não seria excitada, não haveria alteração no fluxo de potência de interligação e

ambas as freqüências seguiriam o decréscimo monótono da figura 2.15, sem oscilações.

Obviamente, para tal caso, o comportamento das máquinas poderia ser representado

pelo comportamento de uma única máquina equivalente.

Um outro caso em que se justifica a concentração das máquinas é aquele em que

elas estão rigidamente acopladas, isto é, quando o valor do coeficiente de torque

sincronizante for grande.


38

Seja a expressão da parte inferior da figura 2.14 que relaciona a variação de

freqüência pδ1 à variação de carga do sistema ∆PL1, dada por:

21 2 2

3 2L1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

p (s) (M s D s T)

P (s) M M s (D M D M )s [D D T(M M )]s T(D D )

δ − + +=

∆ + + + + + + +

(39)

Tomando o limite desta expressão, quando T → ∞, tem-se:

1

L1 1 2 1 2

p (s) 1

P (s) (M M )s (D D )

δ −=

∆ + + + (40)

Pode-se notar que a expressão (40) tem a mesma forma daquela da área simples

isolada, deduzida no exemplo 3 (equação (34)).

A máquina simples equivalente tem uma inércia igual à soma das inércias e o

amortecimento equivalente do sistema é, da mesma forma, igual à soma dos termos de

amortecimento dos sistemas individuais.

9. POTÊNCIA ELÉTRICA DA MÁQUINA

Na análise de controle de carga-freqüência, é necessário algumas vezes representar

a potência elétrica medida de uma máquina ou de um grupo de máquinas. Um modo simples

de deduzir esta potência, a partir dos diagramas de blocos até agora desenvolvidos, será

mostrado aqui.

Voltando ao diagrama de blocos da figura 2.8 e acrescentando a potência da linha de

interligação ∆PTL, tem-se a representação da figura 2.19, onde se preserva a identidade de

∆Pe que é a potência elétrica da unidade, ou da unidade equivalente.

Na figura 2.19 pode-se identificar a saída do somador x como sendo:

m eP P x∆ − ∆ = (41)

portanto, ∆Pe = ∆Pm – x , onde x é a potência de aceleração.


39

Figura 2.19 – Diagrama de blocos do conjunto gerador-carga incluindo a potência da linha de interligação ∆PTL

No diagrama de blocos mais comum, onde a identidade de ∆Pe não é preservada,

pode-se deduzir o valor de ∆Pe da equação (41), conforme mostrado no diagrama de blocos

da figura 2.20.

Figura 2.19 – Diagrama de blocos modificado da figura 2.19


40

Em muitos estudos pode ser necessário preservar a identidade das máquinas

motrizes, ao passo que o comportamento elétrico das unidades pode ser simulado

adequadamente considerando as unidades como um gerador equivalente. Para tal caso, o

modelo seria como mostrado na figura 2.21.

Observa-se, na figura 2.21, a formação das potências elétricas pelas potências

mecânicas menos as correspondentes potências de aceleração. Note que MA é a soma das

inércias das unidades individuais em uma área, isto é, MA = M1 + M2 + ... .

Figura 2.20 – Diagrama de blocos modificado da figura 2.20


41

10. COMENTÁRIOS SOBRE OS MODELOS DESENVOLVIDOS

Os modelos até agora desenvolvidos se prestam para mostrar o comportamento

dinâmico das unidades de geração ou dos sistemas de potência como um todo. Deve-se

ressaltar que estes modelos, embora adequados para o estudo dos controles de regulação e

de carga-freqüência, são apenas aproximados.

Em particular, o amortecimento envolve efeitos que foram desprezados,

especialmente os torques de amortecimento desenvolvidos nos enrolamentos de campo e

amortecedores das unidades de geração. Estes são funções do deslizamento ou das

velocidades relativas entre as unidades e, para um sistema de múltiplas máquinas, exigiriam

uma representação muito minuciosa de geradores e sistemas de excitação.

Tais torques de amortecimento são algumas vezes referidos como “torques de

indução”, em contraste com os torques síncronos.

Visto que os torques de indução são intensamente afetados pela impedância externa,

estes não são significativos para o caso de representação de geração em uma área, como

uma máquina única equivalente, interligada a outra área através de uma impedância por

unidade, razoavelmente alta, na base da máquina equivalente.

Concluindo, deve-se ressaltar que os modelos vistos até aqui (representados por

diagramas de blocos e funções de transferência) são válidos apenas para pequenas

variações de velocidade (pδ), ângulo do rotor (∆δ) e torques (∆Tm, ∆Te). Para o caso da

análise de estabilidade transitória, quando ocorrem geralmente grandes oscilações do

ângulo δ, tais modelos não se aplicam.


42

ANOTAÇÕES

ufu cap2 modelagem de sistemas de potencia

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