apostila completa - analise de sistemas de potencia

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A n l i se de Si st e m a s de Pot nc i a

Prof. Carmen Lucia Tancredo Borges

Edio: Prof. Sergio Sami Hazan Leonardo Ney de A. Guerra

EE - UFRJ Departamento de Eletrotcnica

Maro 2005

PROGRAMA

1. Modelos de Redes de Potncia em Regime Permanente 1.1.Modelos dos Componentes de Redes. 1.2.Equaes nodais. 1.3.Matrizes de admitncia e impedncia nodal. 1.4.Mtodos de modificao e reduo dos modelos das redes. 2. Estudos de Fluxo de Potncia 2.1.Formulao do problema. 2.2.Mtodos de soluo: Gauss-Seidel, Newton-Raphson, Desacoplado Rpido e Linearizado. 2.3.Utilizao do fluxo de potncia: controle do fluxo de potncia ativa, controle de tenso, etc. 3. Estudos de Estabilidade 3.1.Tipos de estudos de estabilidade. 3.2.Modelos de geradores e cargas; equaes de oscilao. 3.3.Estabilidade em regime permanente: coeficiente de sincronizao. 3.4.Estabilidade transitria: critrio de reas iguais; soluo numrica da equao de oscilao; introduo ao estudo de sistemas multimquinas. 4. Programao da Gerao 4.1.Operao tima de geradores ligados a uma barra. 4.2.Programao tima da gerao em sistemas trmicos; frmula de perdas. 4.3.Introduo programao tima de gerao em sistemas hidrotrmicos. Bibliografia 1. John J. Grainger e William D. Stevenson, Power System Analysis, Mc Graw-Hill Ed., 1994. 2. W.D. Stevenson Jr., Elements of Power System Analysis, 4th Edition, McGraw-Hill, 1982 [Traduo, 2 edio] (Cap. 7, 8, 9 e 14). 3. O. Elgerd, Electric Energy System Theory: An Introduction, McGraw-Hill, 1971 (Cap. 7, 8 e 12). 4. A. Monticelli, Fluxo de Carga em Redes de Energia Eltrica, Edgar Blucher, 1983 (Cap. 1-6).

ndiceCaptulo 1 Modelo dos Componentes de um Sistema Eltrico de Potncia ......................................... 5 1.1 Elementos de um sistema eltrico de potncia ......................................................................... 5 1.2 Modelos da linha de transmisso............................................................................................. 5 1.2.1 Modelo da linha curta (at 80 km)................................................................................................... 5 1.2.2 Modelo de linha mdia (entre 80 km e 240 km).............................................................................. 6 1.2.3 Modelo da linha longa (acima de 240 km) ...................................................................................... 7 1.3 Modelo do transformador ....................................................................................................... 8 1.3.1 Transformador monofsico de dois enrolamentos ........................................................................... 8 1.3.2 Transformador monofsico de trs enrolamentos............................................................................ 9 1.3.3 Transformador trifsico ou banco de trs transformadores monofsicos. ..................................... 11 1.3.4 Transformador com comutao automtica de tape - modelo pi .................................................. 12 1.4 Modelo do gerador ................................................................................................................14 1.5 Modelo da carga ....................................................................................................................14 1.5.1 Representao da carga para fluxo de potncia ............................................................................. 14 1.5.2 Representao da carga para estudo de estabilidade ..................................................................... 14 1.5.3 Representao da carga para estudo de curto-circuito................................................................... 15 1.5.4 Representao da carga pelo modelo ZIP...................................................................................... 15 Captulo 2 Equaes da Rede Eltrica em Regime Permanente .........................................................16 2.1 Objetivo ................................................................................................................................16 2.2 Tipos de representao ..........................................................................................................16 2.3 Equaes nodais .....................................................................................................................16 2.3.1 Equivalncia de fontes................................................................................................................... 16 2.3.2 Equaes nodais da rede quando modelada por admitncias ........................................................ 17 2.3.3 Caractersticas de YBARRA .............................................................................................................. 19 2.3.4 Caractersticas de ZBARRA............................................................................................................... 19 2.3.5 Interpretao fsica dos elementos de YBARRA e ZBARRA ................................................................ 21 2.3.5.1 Elementos de Y BARRA ...............................................................................................22 2.3.5.2 Elementos de ZBARRA ...............................................................................................22 2.4 Reduo da rede ....................................................................................................................25 2.4.1 Objetivo ......................................................................................................................................... 25 2.4.2 Eliminao de barra ....................................................................................................................... 25 2.4.2.1 Eliminao da barra onde no existe fonte de corrente .............................................25 2.4.2.2 Eliminao de barra onde existe fonte de corrente independente ..............................29 2.4.3 Equivalentes de rede...................................................................................................................... 32 2.5 Montagem da matriz Y BARRA com elementos acoplados ..........................................................32 2.6 Modificao da matriz admitncia de barra ............................................................................35 2.7 Montagem e Modificao da matriz impedncia de barra .......................................................35 2.7.1 Modificao direta da matriz impedncia de barra........................................................................ 35 2.7.1.1 O elemento ligado entre a barra nova p e a referncia ...........................................36 2.7.1.2 O elemento ligado entre a barra nova p e a barra existente k .................................37 2.7.1.3 O elemento ligado entre a barra existente k e a referncia .....................................37 2.7.1.4 O elemento ligado entre a barra existente k e a barra existente j ............................38 2.7.2 Montagem direta da matriz impedncia de barra........................................................................... 40 2.7.3 Excluso de um elemento de impedncia zb da matriz ZBARRA ...................................................... 42 2.7.4 Modificao do valor da impedncia que liga duas barras............................................................ 42 2.8 Obteno dos elementos da coluna da matriz impedncia de barra a partir da matriz admitncia de barra..........................................................................................................................................42 2.8.1 Obteno de uma coluna da matriz impedncia de barra .............................................................. 42

Anlise de Sistemas de Potncia2.8.2 Obteno da diferena entre duas colunas da matriz impedncia de barra.................................... 43 Captulo 3 Fluxo de Potncia ...........................................................................................................45 3.1 Introduo .............................................................................................................................45 3.1.1 Dados de entrada ........................................................................................................................... 45 3.1.2 Condio de gerao e carga ......................................................................................................... 45 3.1.2.1 Gerao...................................................................................................................45 3.1.2.2 Carga ......................................................................................................................45 3.1.3 Restries operativas ..................................................................................................................... 45 3.1.4 Dispositivos de controle ................................................................................................................ 45 3.1.5 Soluo da rede.............................................................................................................................. 45 3.1.6 Aplicaes...................................................................................................................................... 46 3.1.7 Modelo da rede .............................................................................................................................. 46 3.1.8 Modelo matemtico do fluxo de potncia...................................................................................... 46 3.1.9 Mtodos de soluo ....................................................................................................................... 46 3.1.9.1 Mtodos baseados em Y BARRA ..................................................................................46 3.1.9.2 Mtodos baseados em Z BARRA ..................................................................................47 3.1.9.3 Mtodo de Newton-Raphson ...................................................................................47 3.1.9.4 Mtodos desacoplados.............................................................................................47 3.1.9.5 Fluxo de potncia linear ..........................................................................................47 3.2 Formulao do problema de fluxo de potncia em variveis complexas ..................................47 3.2.1 Equaes do fluxo de potncia em variveis reais e na forma polar ............................................. 48 3.2.2 Conceito de barra flutuante ou swing ou slack.............................................................................. 51 3.2.3 Tipos de barras............................................................................................................................... 51 3.2.3.1 Barra flutuante ou swing ou slack ou V .................................................................51 3.2.3.2 Barra de carga ou PQ ..............................................................................................51 3.2.3.3 Barra de tenso controlada ou PV............................................................................51 3.2.4 Sistema de equaes do fluxo de potncia .................................................................................... 51 3.2.4.1 Subsistema 1 ...........................................................................................................52 3.2.4.2 Subsistema 2 ...........................................................................................................52 3.3 Fluxo de Potncia pelo Mtodo de Gauss-Seidel ....................................................................53 3.3.1 Reviso do mtodo de Jacobi ........................................................................................................ 53 3.3.2 O mtodo de Gauss-Seidel ............................................................................................................ 54 3.3.3 Critrio de convergncia do mtodo de Gauss-seidel.................................................................... 55 3.3.4 Frmula geral do mtodo de Gauss-Seidel aplicado ao fluxo de potncia .................................... 55 3.3.5 Melhoria do mtodo de Gauss-Seidel............................................................................................ 55 3.3.6 Tratamento no caso de existir barra PV......................................................................................... 55 3.4 Fluxo de potncia pelo Mtodo de Newton-Raphson ..............................................................58 3.4.1 Reviso do mtodo no caso monovarivel, f(x) = 0 ...................................................................... 58 3.4.2 Reviso do mtodo no caso multivarivel, F(x) = [0] ................................................................... 59 3.4.3 Aplicao do mtodo de Newton-Raphson na soluo do fluxo de potncia ................................ 59 3.4.4 Matriz jacobiana geral ................................................................................................................... 60 3.4.5 Matriz Jacobiana aplicada soluo do fluxo de potncia............................................................ 60 3.4.6 Algoritmo da Soluo do Fluxo de Potncia pelo Mtodo de Newton-Raphson: ......................... 61 3.4.7 Elementos das submatrizes H, N, M, L do Jacobiano ................................................................... 63 3.4.8 Estrutura do jacobiano................................................................................................................... 63 3.5 Expresses do fluxo de potncia ativa e reativa nos diversos ramos e shunts ..........................67 3.5.1 Linha de transmisso mdia ou longa............................................................................................ 67 3.5.2 Linha de transmisso curta ............................................................................................................ 69 3.5.3 Transformador ............................................................................................................................... 70 3.5.4 Elementos shunt............................................................................................................................. 71 3.6 Fluxo de potncia pelo Mtodo Desacoplado Rpido .............................................................76 3.6.1 Fluxo de potncia pelo Mtodo de Newton desacoplado .............................................................. 76 3.6.2 Consideraes sobre as matrizes H e L do mtodo de Newton desacoplado................................. 76 3.6.3 Formulao final do mtodo Desacoplado Rpido........................................................................ 77 3.6.4 Artifcios matemticos para melhorar o desempenho do mtodo desacoplado rpido na presena de ramos com elevada relao r/x.............................................................................................................. 83

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Anlise de Sistemas de Potncia3.6.4.1 Artifcio da compensao ........................................................................................83 3.6.4.1.1 Compensao srie...........................................................................................83 3.6.4.1.2 Compensao paralela ......................................................................................83 3.6.4.2 Mtodo BX de van Amerongen................................................................................83 3.6.4.3 Esquema iterativo flexvel .......................................................................................83 3.7 Fluxo de potncia linearizado ou fluxo de potncia DC..........................................................84 3.7.1 Simplificaes propostas ............................................................................................................... 84 3.7.2 Desprezando as perdas do sistema................................................................................................. 84 3.7.2.1 Formulao matricial...............................................................................................85 3.7.3 Considerando as perdas do sistema ............................................................................................... 86 3.7.3.1 Formulao matricial...............................................................................................88 3.7.3.2 Metodologia de soluo...........................................................................................88 3.7.4 Resumo do mtodo linearizado ..................................................................................................... 88 3.8 Utilizao do estudo de fluxo de potncia. .............................................................................91 3.9 Controles e Limites ...............................................................................................................94 3.9.1 Modos de representao ................................................................................................................ 94 3.9.2 Ajustes alternados.......................................................................................................................... 94 3.9.3 Controle de tenso em barras PV .................................................................................................. 95 3.9.4 Limites de tenso em barras PQ .................................................................................................... 95 3.9.5 Transformadores em-fase com controle automtico de tap ........................................................... 96 3.9.6 Transformadores defasadores com controle automtico de fase.................................................... 97 3.9.7 Controle de intercmbio entre reas .............................................................................................. 98 3.9.8 Controle de tenso em barras remotas ........................................................................................... 99 3.9.9 Cargas variveis com a tenso ....................................................................................................... 99 Captulo 4 Estabilidade de Sistemas de Potncia ............................................................................100 4.1 Introduo ...........................................................................................................................100 4.2 Tipos de instabilidade ..........................................................................................................100 4.3 Tipos de perturbao ...........................................................................................................100 4.4 Tipos de estudos de estabilidade ..........................................................................................100 4.5 Conceitos bsicos da mquina sncrona................................................................................101 4.5.1 Princpio de funcionamento......................................................................................................... 101 4.6 Dinmica do rotor da mquina sncrona ...............................................................................102 4.6.1 Equao de oscilao da mquina sncrona................................................................................. 102 4.6.2 Tipos de estudos .......................................................................................................................... 105 4.7 Equivalente de mquina ou mquina equivalente .................................................................105 4.7.1 Valor da constante H na base do sistema ..................................................................................... 105 4.7.2 Mquinas coerentes ..................................................................................................................... 105 4.7.3 Mquinas no coerentes............................................................................................................... 106 4.8 Equao potncia-ngulo .....................................................................................................107 4.9 Conceitos sobre o regime transitrio da mquina sncrona ................................................... 112 4.10 Critrio das reas iguais..................................................................................................... 113 4.10.1 Potncia eltrica transmitida igual a zero durante o curto ......................................................... 113 4.10.2 ngulo crtico de eliminao da falta para potncia eltrica nula transmitida durante a falta ................................................................................................................................................................. 114 4.10.3 Tempo crtico de eliminao de falta ......................................................................................... 115 4.10.4 Anlise de casos......................................................................................................................... 116 4.10.5 ngulo crtico de eliminao da falta com transmisso de potncia eltrica diferente de zero durante a falta .......................................................................................................................................... 117 4.11 Coeficiente de potncia sincronizante ................................................................................ 119 4.11.1 Anlise da equao de oscilao linearizada ............................................................................. 119 4.11.2 Anlise grfica da potncia eltrica para pequenas oscilaes .................................................. 121

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Anlise de Sistemas de Potncia4.12 Estudo de estabilidade multi-mquinas ..............................................................................122 4.12.1 Modelo clssico de estabilidade ................................................................................................ 122 4.12.2 Etapas do estudo ........................................................................................................................ 123 4.13 Fatores que afetam a estabilidade do sistema......................................................................125 Captulo 5 Operao Econmica de Sistemas de Potncia ..............................................................126 5.1 Introduo ...........................................................................................................................126 5.2 Caractersticas das unidades geradoras.................................................................................126 5.3 Operao Econmica de Sistemas de Potncia - problema da programao da gerao .........127 5.3.1 Sistema trmico ........................................................................................................................... 127 5.3.2 Sistema hidro-trmico.................................................................................................................. 127 5.4 Despacho econmico em sistemas trmicos..........................................................................127 5.4.1 Caracterstica das unidades trmicas convencionais.................................................................... 127 5.4.2 Caso particular de 2 geradores sem perda na transmisso........................................................... 128 5.4.2.1 Mtodo dos multiplicadores de Lagrange...............................................................129 5.4.3 Extenso para o caso de n geradores ........................................................................................... 132 5.4.4 Considerao de limite na capacidade de gerao, sem se considerar as perdas na transmisso 132 5.4.5 Incluso das perdas na transmisso ............................................................................................. 137

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Anlise de Sistemas de Potncia

Captulo 1 Modelo dos Componentes de um Sistema Eltrico de Potncia1.1 Elementos de um sistema eltrico de potncia a) b) c) d) Linha de transmisso; Transformador de potncia; Gerador; Carga.

Existe mais de um modelo para cada um dos elementos listados. Para cada tipo de estudo existe um modelo especfico do elemento. Os modelos apresentados a seguir consideram: a) A rede em regime permanente; b) O sistema eltrico simtrico e equilibrado, logo somente componentes de seqncia positiva; c) Valores em por unidade. A Figura 1.1 mostra um pequeno sistema eltrico de potncia onde T 1 e T 2 so transformadores.

G Gerador T1Figura 1.1 Sistema eltrico de potncia

Cargas Linha de transmisso T2

1.2 Modelos da linha de transmisso O modelo da linha de transmisso depende do comprimento da mesma. A seguir a modelagem de cada um dos trs comprimentos tpicos. 1.2.1 Modelo da linha curta (at 80 km) Neste caso a capacitncia da linha, por ser pequena, desprezada, sendo a linha representada pelos parmetros srie, ou seja, a resistncia e a indutncia. A Figura 1.2 mostra o modelo da linha curta.& IS

r

j L

& IR& VR

& VSFigura 1.2 Modelo da linha curta

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Anlise de Sistemas de PotnciaDa Figura 1.2 pode-se tirar as seguintes equaes:z = r + j L & & IS = IR , & & & VS = V R + z I R .

(1.1) (1.2)

Explicitando-se as variveis da receptora vem:& & IR = IS , & & & V R = VS z I S .

1.2.2 Modelo de linha mdia (entre 80 km e 240 km) Neste caso considera-se a capacitncia da linha concentrada em ambas as extremidades da mesma. A linha representada pelo modelo pi-nominal, mostrado na Figura 1.3.& IS& I1 & IR

z& VS

y/2

y/2

& VR

Figura 1.3 Modelo da linha de comprimento mdio

Da Figura 1.3 pode-se tirar as seguintes equaes:& & & VS = V R + z I1 , y & & & I1 = I R + V R . 2& Substituindo-se a corrente I1 na equao acima e agrupando termos vem:

y & & & VS = 1 + z V R + z I R . 2 & & y & I S = I 1 + VS . 2

(1.3)

& & & Substituindo-se na equao de I S a corrente I1 e a tenso VS e agrupando termos vem:

y & y y & & & & I S = I R + VR + 1 + z VR + z I R , 2 2 2

y 2 y & y & & I S = z + 2 V R + 1 + z I R . 2 2 2

(1.4)

Explicitando-se as variveis da receptora, considere o sistema formado pelas Equaes 1.3 e 1.4.:& & & VS = a V R + b I R , & & & I S = c VR + d I R .

=

a b = ad bc , c d

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Anlise de Sistemas de Potncia V&R = I&R =& VS & IS b & & = d VS b I S , d

& a VS & & = a I S c VS . & c IS

Substituindo-se valores vem:y & & 1 + z VS z I S 2 , y y y2 + y 1 + z z z 2 2 4

& & d VS b I S & VR = = ad bc 1 + z y & & & V R = 1 + z VS z I S . 2

2 y & y 1 + z I S z + 2 2 2 & & a I S c VS & IR = = ad bc y y 1 + z 1 + z z z 2 2

y & V S 2 y2 + y 4

,

2 & = z y + 2 y V + 1 + z y I . & IR &S S 2 2 2

Observao: a d b c = 1 .1.2.3 Modelo da linha longa (acima de 240 km)

O modelo da linha longa determinado considerando-se os parmetros da linha distribudos, o que resulta em equaes diferenciais parciais, as quais so ajustadas a um modelo pi-equivalente, mostrado na Figura 1.4.& IS & VS & I1 & IR

zequivalente yequivalente/2 yequivalente/2& VR

Figura 1.4 Modelo da linha longa

Os valores dos parmetros da Figura 1.4 esto mostrados a seguir.z equivalente = Z yequivalente senh( l ) l tanh( l 2) =Y l 2

= z y , constante de propagao,Z = zl

e

Y = y l , onde l o comprimento da linha.

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Anlise de Sistemas de Potncia1.3 Modelo do transformador

1.3.1 Transformador monofsico de dois enrolamentos

A Figura 1.5 mostra o modelo completo de um transformador monofsico de dois enrolamentos.& I1 & V1

r1

x1

r2

x2

& I2 & V2

rf

xm

Figura 1.5 Modelo completo do transformador monofsico de dois enrolamentos

A Figura 1.6 mostra o modelo completo do transformador monofsico de dois enrolamentos com todos os parmetros referidos ao primrio, onde a grandeza com primo designa grandeza refletida. r1 x1

& I1 & V1

r'2

x'2& V '2

& I2

& V2

rf

xm

Figura 1.6 Modelo completo do transformador com parmetros referidos ao primrio

Considerando-se que a corrente de magnetizao do transformador muito menor que a corrente de carga, e tambm considerando-se que o transformador um equipamento de rendimento elevado, maior que 98%, pode-se, sem perda de exatido, desprezar o ramo paralelo e a resistncia srie do transformador, resultando no modelo da Figura 1.7, onde xeq = x1 + x' 2 .& I1

xeq

& I2

& V1

& V '2

& V2

Figura 1.7 Modelo do transformador monofsico desprezando-se o ramo paralelo e a resistncia dos enrolamentos

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Anlise de Sistemas de Potncia1.3.2 Transformador monofsico de trs enrolamentos

A Figura 1.8 mostra o esquema de um transformador monofsico de trs enrolamentos.

& VP

& VS

& VTFigura 1.8 Construo do transformador monofsico de trs enrolamentos

Dos ensaios de curto-circuito tem-se:x PS = x P + x' S , as grandezas base so do enrolamento primrio, x PT = x P + x'T , as grandezas base so do enrolamento primrio, xST = xS + x'T , as grandezas base so do enrolamento secundrio.

Referindo-se todos os parmetros ensaiados a uma mesma base tem-se x PS , x PT , x ST e, resolvendo-se o sistema de trs equaes vem que:x P = 0,5 ( x PS + x PT xST ) xS = 0,5 ( x PS + xST x PT ) xT = 0,5 ( x PT + xST x PS )

A Figura 1.9 mostra o circuito equivalente do transformador de trs enrolamentos, onde o ponto de encontro dos trs enrolamentos fictcio e no tem qualquer relao com o neutro do sistema. P& VP

xP xS

S& VS

xT T& VTFigura 1.9 Circuito equivalente de um transformador de trs enrolamentos

Exemplo 1.1. Um transformador trifsico de trs enrolamentos com tenses 132/33/6,6 kV tem as seguintes reatncias em pu, medidas entre enrolamentos e referidas a 30 MVA, 132 kV: x PS = 0,15 , x PT = 0,09 , xST = 0,08 . O enrolamento secundrio de 6,6 kV alimenta uma carga balanceada com corrente de 2.000,0 A com fator de potncia em atraso de 0,8 e o enrolamento tercirio de 33 kV alimenta um reator de j 50,0 /fase conectado em estrela. Calcular a tenso no enrolamento primrio de 132 kV para que a tenso no enrolamento secundrio seja de 6,6 kV.

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Anlise de Sistemas de PotnciaSoluo: Na base de 30 MVA e 132 kV vem:x P = 0,5 ( x PS + x PT xST ) = 0,5 (0,15 + 0,09 0,08) = 0,08 pu, xS = 0,5 ( x PS + xST x PT ) = 0,5 (0,15 + 0,08 0,09) = 0,07 pu, xT = 0,5 ( x PT + xST x PS ) = 0,5 (0,09 + 0,08 0,15) = 0,01 pu.

Valores base do enrolamento tercirio: 2 VB3 = 33 kV, S B3 = 30 MVA, Z B 3 = VB 3 / S B3 = 36,3 ,I B 3 = S B 3 ( 3 V B 3 ) = 524,86 A.

Valores base do enrolamento secundrio: 2 VB2 = 6,6 kV, S B2 = 30 MVA, Z B 2 = V B 2 / S B 2 = 1,45 ,I B 2 = S B 2 ( 3 V B 2 ) = 2.624,32 A.

Valores base do enrolamento primrio: 2 VB1 = 132 kV, S B1 = 30 MVA, Z B1 = VB1 / S B1 = 580,8 ,I B1 = S B1 ( 3 VB1 ) = 131,22 A.

Corrente secundria em pu: I 2 = 2.000/I B2 = 2.000/2.624,32 = 0,76 pu. O fator de potncia 0,8 em & & atraso, I 2 = 0,76 36,87 0 e VS = 1,00 0 . Reatncia terciria em pu: x3 = 50,0/36,3 = 1,38 pu. Para se encontrar a soluo do exemplo basta agora resolver o circuito equivalente da Figura 1.10 onde todos os valores esto em pu. P& VP & I1

j0,08& Vm

S j0,07& VS

& I2

& I3

j0,01 j1,38

zL

T& VT

Figura 1.10 Circuito equivalente do transformador de trs enrolamentos do Exemplo 1.1

& & Tomando-se as correntes de malha I1 e I 2 monta-se o seguinte sistema de equaes: & & & j 0,08 I1 + ( j 0,01 + j1,38) ( I1 0,76 36,87 0 ) = VP , & j 0,07 0,76 36,87 0 + 1,00,0 0 + ( j 0,01 + j1,38) (0,76 36,87 0 I ) = 0 .1

Agrupando termos vem: & & j1,47 I1 VP = 1,0653,130 ,& 0,0553,130 + 1,00,0 0 + 1,0653,130 = j1,39 I1 . & I = 1,8928,07 0 / 1,3990 0 = 1,36 61,930 ,1

& & VP = j1,47 I1 1,0653,130 = 1,134,76 0 .

10

Anlise de Sistemas de PotnciaOutro mtodo de soluo: O potencial do ponto M : & & & VM = VS + x S I 2 , & VM = 1,00 0 + j 0,07 0,76 36,87 0 = 1,0 + 0,0553,13 0 = 1,032,36 0 = 1,03 + j 0,04 . Corrente no enrolamento tercirio: & VP 1,032,36 0 1,032,37 0 & I3 = = = = 0,74 87,630 . xT + x L j 0,01 + j1,38 1,3990 0 A corrente no enrolamento primrio : & & & I1 = I 2 + I 3 = 0,76 36,87 0 + 0,74 87,630 = 0,64 j1,20 = 1,36 61,930 . Tenso na reatncia de disperso do enrolamento primrio: & & V XP = x P I1 = j 0,08 1,36 61,930 = 0,1128,07 0 . Tenso nos terminais do enrolamento primrio: & & & VP = V XP + VM = 0,1128,07 0 + 1,032,37 0 = 1,13 + j 0,09 = 1,134,76 , logo a tenso primria deve ser de 132 1,13 = 149,4 kV.

1.3.3 Transformador trifsico ou banco de trs transformadores monofsicos.

A modelagem do transformador trifsico em estudos de curto-circuito , em geral, diferente da modelagem de trs transformadores monofsicos. Na construo do transformador trifsico tipo ncleo envolvido, diferentemente do transformador tipo ncleo envolvente, suposto que a soma dos fluxos das trs fases instantaneamente nulo, no havendo, portanto caminho de retorno para estes fluxos. Para regime permanente simtrico e equilibrado os modelos so iguais. Ateno deve ser dispensada com relao defasagem entre as tenses de linha primria e secundria. Sob condies balanceadas no existe corrente de neutro, logo os elementos de circuito que por ventura esto conectados ao neutro no so representados no diagrama de impedncias. Se o transformador estiver ligado em delta-delta (-) ou estrela-estrela (Y-Y), a modelagem idntica ao modelo monofsico. Se o transformador estiver ligado em estrela-delta (Y-) ou delta-estrela (-Y), existe defasagem de 300 entre as tenses terminais primrias e secundrias. A norma brasileira diz que, independentemente do tipo da ligao ser Y- ou -Y, as tenses de linha secundrias devem estar atrasadas de 300 em relao s tenses de linha primrias. A Figura 1.11 mostra um transformador trifsico Y- com relao de transformao monofsica N1:N2. Determinao do ngulo das tenses de linha na ligao Y-, seqncia de fase abc. suposto que o lado estrela seja o enrolamento primrio.A& V AB

N1:N2

a& Vca

& VCN

B& V AN & V BN

N1:N2

b& Vab

C

N1:N2

c

& Vbc

NFigura 1.11 Transformador Y- e diagramas fasoriais das tenses terminais

11

Anlise de Sistemas de Potncia

& & & & A Figura 1.11 mostra que as tenses V AN , V BN , VCN do lado Y esto em fase com as tenses Vab , & & Vbc , Vca do lado delta, respectivamente. Relao de transformao monofsica: N1:N2.

Relao de transformao das tenses de linha N1 Y- N2; & & Se V est em fase com V ,AN ab

3 N1 + 30 0 : N 2 0 0 .

& & V AB = V AN 3 + 30 0 , N & & Vab = V AN 2 , N1

N 3 & & V AB = Vab 1 + 30 0 , N2& & Vab = V AB

N2 N1 3

30 0 .

A Figura 1.12 mostra o modelo do transformador em pu escolhendo-se as bases de tenso com a mesma relao de transformao das tenses de linha. Y-& V1 & V2& V1

xeq& V2

Figura 1.12 Transformador trifsico Y- e seu modelo equivalente em pu

Da Figura 1.12 vem: & & V1 = V2 30 0 ,V1(base) V2(base) = N1 3 , N2

xeq do modelo do transformador trifsico em pu no muda com o tipo de ligao do transformadortrifsico, pois esta reatncia vem do ensaio em curto.1.3.4 Transformador com comutao automtica de tape - modelo pi

LTC: load tap change ou TCAT: transformador com comutao automtica de tape. O tape passa a ser uma varivel do modelo. A admitncia do modelo pode ser colocada do lado unitrio ou do lado do tape. Assume-se que o valor da admitncia no varia com a posio do tape. A Figura 1.13 representa um transformador com comutao automtica de tape com relao 1:t. A seguir a deduo do modelo equivalente do TCAT a partir da Figura 1.13, que ser igualado ao circuito pi da Figura 1.14, onde A, B e C so admitncias.& Ii & Ik

1:t& Vi

y

& Ij& Vj

& Vk

Figura 1.13 Diagrama esquemtico de um transformador com tape

12

Anlise de Sistemas de Potncia& Vi 1 & & = , V j = t Vi . & Vj t

& & & & & I k = y (V j Vk ) = y (t Vi Vk ) ,& & & I k = t y Vi y Vk . & Ii & & & & = t , I j = I k , logo I i = t I k . & Ij

(1.5)

& Substituindo-se nesta equao o valor de I k da Equao 1.5 vem: & & & I = t 2 y V t y V .i i k

(1.6)

& Ii & Vi

& I1

& Ik

A& Vk

B

C

Figura 1.14 Modelo pi de um circuito eltrico genrico

Equaes do modelo pi da Figura 1.14. & & & I1 = A (Vi Vk ) , & & & & & & & I k = I1 C Vk , I k = A Vi A Vk C Vk , & & & I = A V ( A + C) V .k i k

(1.7) (1.8)

& & & & & & & I i = B Vi + I1 , I i = B Vi + A Vi A Vk , & & & I i = ( A + B) Vi A Vk .

Igualando-se as equaes (1.5, 1.7) e (1.6, 1.8) vem: t y = A, y = A + C y = t y + C C = (1 t ) y ,t 2 y = A + B B = t 2 y A B = t 2 y t y B = (t 2 t ) y .

O modelo pi do transformador com tape est mostrado na Figura 1.15.& Ii & Vi2

& I1

& Ik

ty (t t)y (1t)y

& Vk

Figura 1.15 Modelo pi do transformador com tape 1:t

Se t = 1 , ou seja, se o transformador est operando na relao nominal, o circuito equivalente se reduz ao modelo conhecido, como mostrado na Figura 1.16, onde y = 1 z .& IS & IR

y& VS

& VR

Figura 1.16 Circuito equivalente do transformador com tape para t = 1

13

Anlise de Sistemas de Potncia1.4 Modelo do gerador

A Figura 1.17 mostra o modelo do gerador sncrono de rotor cilndrico (plos lisos). ra& E

jXS& Vt

Figura 1.17 Modelo do gerador de rotor cilndrico

ra = resistncia da armadura, XS = reatncia sncrona, que a soma da reatncia Xa , devido a reao da armadura e da reatncia Xl devido a disperso. Pode-se desprezar a resistncia da armadura nas mquinas em que a resistncia da armadura muito menor que XS. Regime permanente: X S , Regime transitrio ou dinmico: reatncia transitria (x'd) ou sub-transitria (x''d).1.5 Modelo da carga

A representao da carga depende muito do tipo de estudo realizado. A carga pode ser representada por potncia constante, corrente constante ou impedncia constante. importante que se conhea a variao das potncias ativas e reativas com a variao da tenso. Em uma barra tpica a carga composta de motores de induo (50 a 70%), aquecimento e iluminao (20 a 30%) e motores sncronos (5 a 10%). Embora seja exato considerar as caractersticas PV e QV de cada tipo de carga para simulao de fluxo de carga e estabilidade, o tratamento analtico muito complicado. Para os clculos envolvidos existem trs maneiras de se representar a carga.1.5.1 Representao da carga para fluxo de potncia

A Figura 1.18 mostra a representao da carga como potncia ativa e reativa constantes. k PL + jQ LFigura 1.18 Representao da carga com potncia constante para estudo de fluxo de potncia

1.5.2 Representao da carga para estudo de estabilidade

Neste caso a ateno no com a dinmica da carga, mas sim com a dinmica do sistema. Por esta razo a carga representada por impedncia constante como mostra a Figura 1.19. k zFigura 1.19 Representao da carga para estudo de estabilidade com impedncia constante

14

Anlise de Sistemas de Potncia1.5.3 Representao da carga para estudo de curto-circuito

Cargas estticas e pequenas mquinas so desprezadas. Somente as mquinas de grande porte contribuem para o curto, logo apenas estas mquinas so consideradas.1.5.4 Representao da carga pelo modelo ZIP

Neste modelo parte da carga representada por impedncia constante, parte da carga representada por corrente constante e parte da carga representada por potncia constante. Carga = Z cte + I cte + Pcte ,P = ( p z V 2 + pi V + p p ) P ( no min al ) ,p z + pi + p p = 1,0 ,

onde: p z a parcela da carga representada como Z constante, p i a parcela da carga representada como I constante, p p a parcela da carga representada como P constante.Q = (q z V 2 + qi V + q p ) Q ( no min al ) , q z + qi + q p = 1,0 ,

onde: q z a parcela da carga representada como Z constante, q i a parcela da carga representada como I constante, q p a parcela da carga representada como P constante.

15

Anlise de Sistemas de Potncia

Captulo 2 Equaes da Rede Eltrica em Regime Permanente2.1 Objetivo

Determinao das matrizes que representam a rede eltrica de corrente alternada em regime permanente senoidal para uso computacional.

2.2 Tipos de representao

a) Modelo com parmetros de admitncia; b) Modelo com parmetros de impedncia. As equaes da rede sero extradas utilizando-se a anlise nodal da rede, pois esta apresenta desempenho computacional mais eficiente.

2.3 Equaes nodais

2.3.1 Equivalncia de fontes

& & As fontes da Figura 2.1 so equivalentes se E = z g I , y g = 1 z g .& I1

& I1

& I

zg

& V

R E D E

zg& E

& V

R E D E& I

& I1

yg

& V

R E D E

Figura 2.1 Equivalncia entre fonte de corrente e fonte de tenso

A notao usada no presente texto : Letra maiscula com ndice duplo corresponde a um elemento da matriz; Letra minscula com ndice simples ou duplo corresponde impedncia ou admitncia de um elemento do sistema.

16

Anlise de Sistemas de Potncia

2.3.2 Equaes nodais da rede quando modelada por admitncias

Seja o sistema da Figura 2.2, onde E3 representa um motor.& E1

1

2

& E2

T1 T2

3 T3

& E3

Figura 2.2 Sistema exemplo para as equaes nodais da rede

Utilizando-se o modelo de cada elemento, o sistema fica como mostra a Figura 2.3.

zg1& E1

zt1

1

2

z12 z13 z23

zt2

zg2& E2

z11

z22

3

zt3 z33 zm3

& E3

Figura 2.3 Sistema exemplo com os modelos dos elementos da rede

A Figura 2.4 mostra o diagrama da rede da Figura 2.3 em que cada fonte de tenso em srie com impedncia foi transformada em fonte de corrente em paralelo com a admitncia e as impedncias das linhas foram transformadas em admitncias.

17

Anlise de Sistemas de Potncia

y6 y4 1 y1 2 y2 0Figura 2.4 Diagrama unifilar do sistema exemplo com admitncias

y5 3 y3

& I1

& I2

& I3

& & E E1 & I1 = 1 = , z11 z g1 + z t1 & & E E2 & I2 = 2 = , z 22 z g 2 + z t 2 & & E E3 & , I3 = 3 = z 33 z m3 + z t 3y4 = 1 , z12 y5 = 1 , z 23

y1 =

1 1 = , z11 z g1 + z t1 1 1 = , z 22 z g 2 + z t 21 1 = , z33 z m3 + zt 3 1 . z13

y2 =

y3 =

y6 =

Equaes nodais do circuito da Figura 2.4. & & & & & & & Barra 1: I1 = y 4 (V1 V2 ) + y6 (V1 V3 ) + y1 (V1 V0 ) , & & & & & & & Barra 2: I = y (V V ) + y (V V ) + y (V V ) ,2 5 2 3 4 2 1 2 2 0

& & & & & & & Barra 3: I 3 = y5 (V3 V2 ) + y6 (V3 V1 ) + y3 (V3 V0 ) .& & & & & & & & & Barra 0: ( I1 I 2 I 3 ) = y1 (V0 V1 ) + y 2 (V0 V2 ) + y3 (V0 V3 ) .

A equao da barra 0 linearmente dependente das outras trs equaes. Basta somar as equaes das barras 1, 2, 3 para verificar. Agrupando-se termos das equaes das barras 1, 2, 3 vem: & & & & I1 = ( y1 + y 4 + y 6 ) V1 y 4 V2 y 6 V3 , & & & & I 2 = y 4 V1 + ( y 2 + y 4 + y5 ) V2 y5 V3 , (2.1) & & & & I = y V y V + ( y + y + y ) V .3 6 1 5 2 3 5 6 3

Colocando-se as Equaes 2.1 na forma matricial, tem-se para a matriz admitncia nodal YBARRA :& I1 y1 + y 4 + y6 & y4 I 2 = & I3 y6 y4 y 2 + y 4 + y5 y5

& V1 V . & y5 2 & y3 + y5 + y6 V3 y6

(2.2)

& & & A Equao 2.2 da forma I = YBARRA V , onde: I o vetor de injeo de corrente na rede por & fontes independentes, V o vetor de tenso nas barras em relao referncia e YBARRA a matriz de admitncia de barra ou matriz de admitncia nodal.

18

Anlise de Sistemas de Potncia2.3.3 Caractersticas de Y BARRA

1) Simtrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimenso n, onde n o nmero de barras do sistema sem contar a barra de referncia; 4) Esparsa, mais de 95% dos elementos nulo, o que uma vantagem; 5) Os elementos da diagonal principal so positivos; 6) Os elementos fora da diagonal principal so negativos; 7) Os elementos da diagonal principal Ykk so o somatrio das admitncias diretamente ligadas barra k; 8) Os elementos fora da diagonal principal Ykj so o simtrico da soma das admitncias que ligam as barras k e j. As caractersticas 7 e 8 acima permitem a montagem direta da matriz YBARRA por inspeo da rede.1 & & & & Pode-se tambm escrever a equao I = YBARRA V como V = Z BARRA I , onde Z BARRA = YBARRA . A matriz ZBARRA conhecida como matriz de impedncia de barra ou matriz de impedncia nodal.

2.3.4 Caractersticas de ZBARRA

1) Simtrica; 2) Complexa; 3) Quadrada de dimenso n, onde n o nmero de barras do sistema sem contar a barra de referncia; 4) Matriz cheia.

Exemplo 2.1 & & Escrever as equaes nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever I = YBARRA V que 0 & & corresponde ao diagrama unifilar da Figura 2.5, sabendo-se que Ea = 1,50 , Eb = 1,5 36,7 0 , & E = 1,50 0 , zg = j1,15, zt = j0,1, z13 = j0,25, z14 = j0,2, z24 = j0,2, z34 = j0,125, z23 = j0,4 em valores porc

unidade.

& Ea 3

1

& Ec

4

& Eb 2Figura 2.5 Diagrama unifilar do exemplo 2.1

A Figura 2.6 mostra o diagrama unifilar de impedncias do circuito da Figura 2.5.

19

Anlise de Sistemas de Potncia

& Ea = 1,50 0

j1,15+j0,1

1 j0,2

j0,25& Ec = 1,50 0

j1,15+j0,1

j0,125 4 3

j0,4& Eb = 1,5 36,7 0

j1,15+j0,1

j0,2

2Figura 2.6 Diagrama unifilar de impedncias do circuito da Figura 2.5

A Figura 2.7 mostra o diagrama unifilar de admitncias onde todas as fontes de tenso foram transformadas em fontes de corrente. A seguir os clculos para a determinao dos parmetros do sistema da Figura 2.7& I1 = 1,2 90 0

1 y1 = j0,8& I 3 = 1,2 90 0

y6 = j5,0 y4 = j4,0 3

0

y3 = j0,8

y7 = j8,0

4

& I 2 = 1,2 126,87 0

y5 = j2,5 y8 = j5,0

y2=j0,8 2Figura 2.7 Diagrama unifilar de admitncias do circuito da Figura 2.5

20

Anlise de Sistemas de Potncia& I1 = & I2 = & I3 = & Ea 1,50 0 = = 1,2 90 0 = j1,2 , z g + zt j1,25 & Eb 1,5 36,7 0 = = 1,2 126,87 0 = 0,72 j 0,96 , z g + zt j1,25 & Ec 1,50 0 = = 1,2 90 0 = j1,2 . z g + zt j1,25

y1 = 1 j1,25 = j 0,8 , y 2 = 1 j1,25 = j 0,8 , y3 = 1 j1,25 = j 0,8 , y 4 = 1 j 0,25 = j 4,0 , y5 = 1 j 0,4 = j 2,5 , y 6 = 1 j 0,2 = j5,0 , y 7 = 1 j 0,125 = j8,0 , y8 = 1 j 0,2 = j 5,0 .

De acordo com a regra de montagem da matriz YBARRA pode-se escrever:Y11 = j 0,8 j 4,0 j 5,0 = j 9,8 , Y22 = j 0,8 j 2,5 j 5,0 = j8,3 , Y33 = j 0,8 j 4,0 j 2,5 j8,0 = j15,3 , Y44 = j 5,0 j8,0 j 5,0 = j18,0 , Y12 = Y21 = 0,0 , Y13 = Y31 = j 4,0 , Y14 = Y41 = j 5,0 , Y23 = Y32 = j 2,5 , Y24 = Y42 = j 5,0 , Y34 = Y43 = j8,0 .

O sistema de equaes com a matriz admitncia de barra fica ento:& 1,2 90 0 j 9,8 0,0 j 4,0 j 5,0 V1 & 0 j 2,5 j 5,0 V2 j8,3 1,2 126,87 = 0,0 . 0 & 1,2 90 j 4,0 j 2,5 j15,3 j8,0 V3 & j 5,0 j8,0 j18,0 V4 0,0 j 5,0

O clculo das admitncias simples quando as resistncias so desprezadas. A diagonal principal negativa e os elementos fora da diagonal principal so positivos.

2.3.5 Interpretao fsica dos elementos de Y BARRA e ZBARRA

Seja o circuito da Figura 2.8.

y6 y41& I1

y52 3

y1

& I2

y2

& I3

y30

Figura 2.8 Interpretao fsica dos elementos de YBARRA e Z BARRA

21

Anlise de Sistemas de Potncia2.3.5.1 Elementos de Y BARRA

Seja a equao que descreve o circuito da Figura 2.8 pela matriz admitncia de barra: & & I1 Y11 Y12 Y13 V1 & V . & I 2 = Y21 Y22 Y23 2 & & I 3 Y31 Y32 Y33 V3 Os elementos da matriz admitncia de barra podem ser calculados pelo ensaio em curto-circuito onde: Ykk : admitncia prpria de curto-circuito da barra k, Yik : admitncia de transferncia de curto-circuito entre as barras i e k. Ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8: curto-circuito em todas as barras a exceo da & & barra 1. Tem-se portanto V2 = V3 = 0 .& Y11 = I1 & I1 Y11 & & & I 2 = Y21 V1 Y21 = I 2 & I 3 Y31 & Y31 = I 3 & V1 & V1 & V1& & V2 =V3 =0 & & V2 =V3 =0 & & V2 =V3 =0

[ ]

.

A expresso geral de cada elemento da matriz admitncia de barra relaciona o efeito causa e : & I Yik = i . & Vk V& =0, j kj

Verificao: ensaio de curto-circuito na barra 1 da Figura 2.8, ou seja, todas as tenses de barra, com exceo da barra 1 so zero.& & & & & & & I1 = y1 (V1 V0 ) + y 4 (V1 V2 ) + y 6 (V1 V3 ) , & I & & I1 = ( y1 + y 4 + y6 ) V1 1 = y1 + y 4 + y6 = Y11 . & V1

& & & & & & & I 2 = y 2 (V2 V0 ) + y 4 (V2 V1 ) + y5 (V2 V3 ) , & I & & I 2 = y 4 V1 2 = y 4 = Y21 . & V1

& & & & & & & I 3 = y3 (V3 V0 ) + y5 (V3 V2 ) + y 6 (V3 V1 ), & I & & I 3 = y6 V1 3 = y6 = Y31 . & V1

2.3.5.2 Elementos de ZBARRA

Seja a equao que descreve o circuito da Figura 2.8 & V1 Z11 Z12 & V2 = Z 21 Z 22 & V3 Z 31 Z 32

pela matriz impedncia de barra: & Z13 I1 I . Z 23 &2 & Z 33 I 3

Os elementos da matriz impedncia de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto onde: Z kk : impedncia prpria de circuito aberto da barra k, Z ik : impedncia mtua de circuito aberto entre as barras i e k.

22

Anlise de Sistemas de PotnciaEnsaio de circuito aberto na barra 1 da Figura 2.8: fontes de corrente inoperantes ou mortas em & & todas as barras com exceo da barra 1. Tem-se portanto I 2 = I 3 = 0 . & & Z11 = V1 I1 & & & I 2 = I 3 =0 V1 Z11 & & & I & V2 = Z 21 I1 Z 21 = V2 1 I&2 = I&3 =0 . & V3 Z 31 & & Z 31 = V3 I1 & &

[ ]

I 2 = I 3 =0

A expresso geral de cada elemento da matriz impedncia de barra relaciona o efeito causa e : & V . Z ik = i & I& k I =0, j k j

Observaes:& & & 1) se a corrente I1 (corrente injetada na rede durante o ensaio) de 1 pu, Z11 = V1 , Z 21 = V2 , & Z = V , ou seja, os elementos da coluna so numericamente iguais s tenses.31 3

2) Z kk a impedncia equivalente da rede vista entre a barra k e a referncia com as demais fontes (Th de corrente inoperantes, ou seja, a impedncia do equivalente de Thvenin, Z kk = Z kk ) . Pelo significado fsico dos elementos de Y BARRA e Z BARRA evidencia-se que no h reciprocidade entre estes elementos, ou seja, Ykm 1 Z km .Exemplo 2.2 Resolva as equaes nodais do Exemplo 2.1 para encontrar a matriz impedncia de barra pela inverso da matriz admitncia de barra. Calcule ento as tenses de barra. Soluo: Invertendo-se a matriz YBARRA com auxlio da funo inv( ) do MATLAB obtm-se: j 0,4774 j 0,3706 j 0,4020 j 0,4142 j 0,3706 j 0,4872 j 0,3922 j 0,4126 j 0,4020 j 0,3922 j 0,4558 j 0,4232 & j 0,4142 0 j1,20 V1 0,72 j 0,96 & j 0,4126 = V2 . & j 0,4232 0 j1,20 V3 & 0 j 0,4733 V4

O vetor tenso de barra encontrado efetuando-se a multiplicao indicada, ou seja:& V1 1,4111 j 0,2668 1,436 10,710 & 0 V2 = 1,3830 j 0,3508 = 1,427 14,24 . & V3 1,4059 j 0,2824 1,434 11,36 0 & 0 V4 1,4009 j 0,2971 1,432 11,97

Exemplo 2.3

Um capacitor com reatncia de 5 pu nas bases do sistema conectado entre a barra 4 e a referncia do circuito da Figura 2.7. Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tenso da barra 4. A impedncia do capacitor : zC = j 5,0 pu. Z 44 a impedncia equivalente da rede vista da barra 4.

& V4 a tenso da barra 4 antes do capacitor ser colocado. Z 44 obtido invertendo-se a matriz YBARRA . A matriz Z BARRA est mostrada acima, logo Z 44 = j0,47

& & e V4 , tambm mostrado acima vale V4 = 1,432 11,97 0 . A Figura 2.9 mostra o circuito de Thvenin em questo.23

Anlise de Sistemas de Potncia

4 I &

capacitor

Z44 & V4

0

j5,0

Figura 2.9 Equivalente de Thvenin por elemento de

Z BARRA

Soluo:& I capacitor = & V4 1,432 11,97 0 = 0,316378,030 . = Z 44 j 5,0 j 0,4733 j 5,0

A nova tenso da barra 4 passa a ser: 0,316378,030 j 5,0 = 1,582 11,97 0 . Notar que a nova tenso na barra 4 aumentou de valor.Exemplo 2.4 Se uma corrente de 0,316378,03 0 pu injetada na barra 4 do exemplo 2.2 (esta a mesma corrente que passa pelo capacitor) com todas as outras fontes mantidas, encontre as tenses nas barras 1, 2, 3, 4. Notar que no existe capacitor neste exemplo. Considerando-se todas as fontes inoperantes, as tenses nodais somente devidas a esta corrente injetada pode ser calculada a partir da matriz Z BARRA. Basta multiplicar a matriz Z BARRA pelo vetor corrente, ou seja, basta multiplicar a coluna 4 da matriz Z BARRA pela corrente 0,316378,030 . Efetuando-se esta operao vem:& & V1 = Z14 I 4 = 0,316378,03 0 j 0,4142 = 0,1309 11,97 0 pu,

& & V2 = Z 24 I 4 = 0,316378,03 0 j 0,4126 = 0,1304 11,97 0 pu,& & V3 = Z 34 I 4 = 0,316378,03 0 j 0,4232 = 0,1337 11,97 0 pu,

& & V4 = Z 44 I 4 = 0,316378,03 0 j 0,4733 = 0,1496 11,97 0 pu.

Para se determinar as novas tenses nas barras pode-se utilizar a superposio, adicionando-se as & & & tenses das barras somente devidas s fontes de corrente I1 , I 2 , I 3 com as tenses das barras devidas fonte de corrente de 0,316378,030 .& V1 = 1,436 10,710 + 0,1309 11,97 0 = 1,567 10,810 pu,& V2 = 1,427 14,24 0 + 0,1304 11,97 0 = 1,557 14,04 0 pu,

& V3 = 1,434 11,36 0 + 0,1337 11,97 0 = 1,568 11,410 pu,& V4 = 1,432 11,97 0 + 0,1496 11,97 0 = 1,582 11,97 0 pu.

Observar que a tenso da barra 4 a mesma da do exemplo 2.3.

24

Anlise de Sistemas de Potncia2.4 Reduo da rede

2.4.1 Objetivo

As matrizes impedncia de barra e admitncia de barra de um sistema eltrico real so muito grandes, dimenso da ordem de milhares. Nos estudos no necessrio se conhecer a tenso em todas as barras do sistema, logo seguem tcnicas para reduzir a dimenso da rede, eliminando-se trechos no prioritrios da rede para o estudo em questo.2.4.2 Eliminao de barra

Seja a rede eltrica representada pela matriz admitncia de barra. A eliminao se processa para duas diferentes situaes: a) no existe fonte de corrente na barra a ser eliminada, b) existe fonte de corrente na barra a ser eliminada.2.4.2.1 Eliminao da barra onde no existe fonte de corrente

Particionamento da matriz. Ordenam-se as equaes de tal forma que todas as barras sem fonte fiquem juntas e na parte inferior da matriz.& I1 & I 2 Y AA & I3 = t & I 4 YBA = Y AB I & 5 & V1 & Y AB V2 & V3 . & YBB V4 V &5 & VA

& IA

& IB

& VB

& Supondo-se I B = 0 , & & I A Y AA Y AB V A & = t & , I B Y AB YBB VB & & & I A = Y AA V A + Y AB VB , t t 1 & & & & & I B = Y AB V A + YBB VB = 0 VB = YBB Y AB V A . & & Substituindo-se o valor de VB na equao de I A vem: 1 t & & & I A = Y AA V A Y AB YBB Y AB V A .

Agrupando-se termos vem: t 1 & & & & I A = Y AA Y AB YBB YAB V A , que est na forma I A = YA V A . 1444 2444 3 4 4

(

)

YA

A ordem da matriz Y A neste exemplo a do nmero de barras com fonte de corrente.Exemplo 2.5. & Eliminao de apenas uma barra do sistema de trs barras da Figura 2.8 com I 3 = 0 .& IA & IB

& & I1 Y11 Y12 Y13 V1 & V & I 2 = Y21 Y22 Y23 2 & 0 Y31 Y32 Y33 V3

& VA & VB

Y Y Y Y A = 11 12 13 [Y33 ]1 [Y31 Y32 ] . Y21 Y22 Y23

25

Anlise de Sistemas de PotnciaY13 Y31 Y11 Y 33 YA = Y Y23 Y31 21 Y33 Y13 Y32 Y33 . Y Y Y22 23 32 Y33 Y12

Esta matriz representa um sistema equivalente ao sistema de trs barras, agora com dimenso 22. Colocando-se de forma escalar tem-se que a eliminao da barra n :Y 'ij = Yij Yin Ynj Ynn

,

que chamada de eliminao de Kron. Para maior eficincia computacional deve-se evitar a inverso da matriz Y BB. O procedimento ento o de eliminar uma barra por vez, aplicando-se a eliminao de Kron tantas vezes quanto o nmero de barras a serem eliminadas. A partir de Y A pode-se desenhar o circuito equivalente. No exemplo tem-se agora duas barras, mostradas na Figura 2.10 onde os elementos da nova matriz Y BARRA 2 2 so: Y '11 = y '1 + y '3 , Y ' 22 = y ' 2 + y '3 , Y '12 = Y '21 = y '3 . Resolvendo-se o sistema acima determina-se y'1, y'2, y'3.

y'31 2

& I1

y'1

& I2

y'20

Figura 2.10 Sistema equivalente ao sistema de trs barras

Exemplo 2.6 Eliminar as barras 3 e circuito equivalente com absorvidas em cada barra.

4 do sistema da Figura 2.11 sabendo-se que estas no tm fonte. Desenhar o estes ns eliminados e calcular as potncias ativa e reativa injetadas ou & & I1 = 1,2 90 0 , I 2 = 1,2 126,87 0 .

& I1y1 = j0,8

1y6 = j5,0 y4 = j4,0

3

y7= j8,0

4

& I2y2 = j0,8

y5 = j2,5 y8 = j5,0

2

Figura 2.11 Sistema para a eliminao das barras 3 e 4

26

Anlise de Sistemas de Potncia& & I = YBARRA V

YBARRA

1 2 3 4 0,0 j 4,0 j 5,0 j 9,8 0,0 j8,3 j 2,5 j 5,0 . = j 4,0 j 2,5 j14,5 j8,0 j 5,0 j8,0 j18,0 j 5,0

Eliminao da barra 4.j 5,0 j 5,0 = j8,41 , j18,0 j 5,0 j 5,0 Y '12 = Y ' 21 = 0,0 = j1,39 , j18,0 j 5,0 j8,0 Y '13 = Y ' 31 = j 4,0 = j 6,22 , j18,0 j 5,0 j 5,0 Y ' 22 = j8,3 = j 6,91 , j18,0 j 5,0 j8,0 Y ' 23 = Y '32 = j 2,5 = j 4,72 , j18,0 j8,0 j8,0 Y ' 33 = j14,5 = j10,94 . j18,0 Y '11 = j 9,8

Aps a eliminao da barra 4 a matriz Y BARRA fica:1 2 3 j1,39 j 6,22 j8,41 Y ' BARRA = j1,39 j 6,92 j 4,72 . j 6,22 j 4,72 j10,94

Eliminando-se agora a barra 3 vem:Y ' '11 = j8,41 j 6,22 j 6,22 = j 4,87 , j10,94 j 6,22 j 4,72 Y ' '12 = Y ' ' 21 = j1,39 = j 4,07 , j10,94 j 4,72 j 4,72 Y ' ' 22 = j 6,91 = j 4,87 . j10,94

Aps a eliminao das barras 4 e 3 a matriz Y BARRA fica: j 4,87 j 4,07 Y ' ' BARRA = . j 4,07 j 4,87A Figura 2.12 mostra o sistema de duas barras, que tem a matriz Y BARRA como acima, equivalente ao sistema da Figura 2.11 de quatro barras.

27

Anlise de Sistemas de Potncia

y''31& I1 = 1,2 90 0

2

y''1

y''2

& I 2 = 1,2 126,87 0

0Figura 2.12 Circuito equivalente aps a eliminao das barras, sem fonte, 4 e 3

Para se calcular os valores dos elementos do circuito da Figura 2.12 basta aplicar as regras da construo da matriz Y BARRA e resolver o sistema. Tem-se ento:Y ' ' BARRA(11) = y ' '1 + y ' ' 3 = j 4,87 , Y ' ' BARRA( 22) = y ' ' 2 + y ' '3 = j 4,87 ,

Y ' ' BARRA(12) = Y ' ' BARRA( 21) = y ' ' 3 = j 4,07 .

Resolvendo-se o sistema vem: y ' ' 3 = j 4,07 , y ' '1 = y ' ' 2 = j 4,87 + j 4,07 = j 0,80 . Para se calcular a potncia injetada em cada barra, basta calcular primeiramente as tenses nas barras. Tem-se que:& & I 1 j 4,87 j 4,07 V1 & = & , I 2 j 4,07 j 4,87 V2

onde o vetor corrente conhecido. Utilizando-se o programa MATLAB para inverter a matriz Y BARRA com a funo inv(Y BARRA) vem:& V1 j 0,68 & = V2 j 0,57& V1 j 0,68 & = V2 j 0,57

& j 0,57 I1 & , j 0,68 I 2 j 0,57 1,2 90 0 , j 0,68 1,2 126,87 0

& V1 1,36 j 0,41 1,42 16,73 0 . & = = 0 V2 1,34 j 0,49 1,42 20,14 & & &* S1 = V1 I 1 = 1,42 16,73 0 1,290 0 = 1,7173,27 0 , & S1 = 0,49 + j1,64 , & & &* S 2 = V2 I 2 = 1,42 20,14 0 1,2126,87 0 = 1,71106,73 0 , & S 2 = 0,49 + j1,64 .

Perdas na linha de transmisso: & & V1 V2 = 0,0268 + j 0,0806 = 0,084971,63 0 , & & & I = y ' ' (V V ) = ( j 4,07) (0,084971,63 0 ) = 0,3460 18,37 0 .12 3 1 2

28

Anlise de Sistemas de PotnciaPotncia injetada na linha a partir da barra 1: & & &* S12 = V1 I12 = (1,42 16,73 0 ) (0,346018,37 0 ) , & S = 0,491,64 0 = 0,49 + j 0,014 .12

Potncia injetada na linha a partir da barra 2: & & & S = V I * = (1,42 20,14 0 ) (0,3518,37 0 ) ,21 2 21

& S 21 = 0,49178,22 0 = 0,49 + j 0,015 . & & S + S = j 0,029 .12 21

A potncia reativa consumida na linha tambm pode ser calculada por: 2 I12 y ' ' 3 = 0,34 2 4,07 = 0,029 . Perda reativa na admitncia do gerador 1: Q1 = V12 y ' '1 = 1,42 2 0,8 = 1,621 . Perda reativa na admitncia do gerador 2: Q2 = V22 y ' ' 2 = 1,42 2 0,8 = 1,621 . Perda reativa total: Q total = 0,029 + 1,621 + 1,621 = 3,271. Potncia total injetada no sistema: & & & S total = S1 + S 2 = 0,49 + j1,64 0,49 + j1,64 , & S = j 3,27 .total

2.4.2.2 Eliminao de barra onde existe fonte de corrente independente

A eliminao de barra onde existe fonte de corrente semelhante a eliminao de Gauss. Este mtodo tambm vale quando no existe fonte de corrente na barra eliminada, sendo a fonte de corrente nula um caso particular. A eliminao de Gauss consiste em transformar a matriz do sistema em uma matriz triangular superior. Com isto encontra-se o valor de uma varivel e, por substituio todas as demais variveis. Quando da eliminao de barra com fonte pode ocorrer que uma barra, originalmente sem fonte, fique com fonte. A eliminao de Gauss consiste de duas etapas: a) normalizao da primeira equao, b) eliminao da varivel pivotada nas outras equaes.& & Seja o sistema I = YBARRA V de dimenso trs por trs, escrito na forma estendida a seguir. & & & & Y33 V3 + Y31 V1 + Y32 V2 = I 3 , & & & & Y V + Y V + Y V = I ,13 3 11 1 12 2 1

& & & & Y23 V3 + Y21 V1 + Y22 V2 = I 2 .

a) Normalizao da primeira equao. Dividindo-se a primeira linha por Y33 e mantendo-se as outras linhas inalteradas vem: & I & Y & Y & 1 V3 + 31 V1 + 32 V2 = 3 , Y33 Y33 Y33 & & & & Y V + Y V + Y V = I ,13 3 11 1 12 2 1

& & & & Y23 V3 + Y21 V1 + Y22 V2 = I 2 .

29

Anlise de Sistemas de Potncia& b) Eliminao da varivel pivotada V3 nas demais equaes. Basta fazer a operao assinalada a seguir, onde o termo primo substitui a linha original. L' 2 = L2 Y13 L1 L'3 = L3 Y23 L1 & 1 V3 + & Y31 & Y32 & I V1 + V2 = 3 , Y33 Y33 Y33

& Y Y & Y Y & & & Y I & 0 V3 + Y11 13 31 V1 + Y12 13 32 V2 = I1 13 3 = I '1 , Y33 Y33 Y33 & Y Y & Y Y & & & Y I & 0 V3 + Y21 23 31 V1 + Y22 23 32 V2 = I 2 23 3 = I ' 2 . Y33 Y33 Y33

O sistema ficou ento reduzido a:& & & Y '11V1 + Y '12 V2 = I '1 ,& & & Y ' 21V1 + Y ' 22 V2 = I ' 2

.

A formao do termo Y 'ij a mesma da reduo de Kron para a eliminao da barra n, ou seja, Y 'ij = Yij Yin Ynj Ynn .

& & & Y I A formao das novas correntes injetadas I 'i = I i in n para a eliminao da barra n. Ynn

A Figura 2.13 mostra o circuito equivalente sem a barra 3.

y'31 2

& I '1

y'1

& I '2

y'20

Figura 2.13 Reduo de sistema de trs barras com fonte de corrente na barra eliminada

Exemplo 2.7.

Eliminar as barras 4 e 3 do sistema da Figura 2.7, cuja equao seguir.& 1,2 90 0 j 9,8 0,0 j 4,0 j 5,0 V1 0,0 & 0 j8,3 j 2,5 j 5,0 V2 1,2 126,87 = . & 1,2 90 0 j 4,0 j 2,5 j15,3 j8,0 V3 & j18,0 V4 j 5,0 j8,0 0,0 j 5,0

& & I = YBARRA V est repetido a

Eliminao da barra 4 do sistema da Figura 2.7.

Y '11 = j 9,8

j 5,0 j 5,0 = j8,41 , j18,0

30

Anlise de Sistemas de Potnciaj5,0 j5,0 = j1,39 , j18,0 j 5,0 j8,0 Y '13 = Y '31 = j 4,0 = j 6,22 , j18,0 j 5,0 j 5,0 Y '22 = j8,3 = j 6,91 , j18,0 j 5,0 j8,0 Y ' 23 = Y '32 = j 2,5 = j 4,72 , j18,0 j8,0 j8,0 Y '33 = j15,3 = j11,74 . j18,0 Y '12 = Y ' 21 = 0,0 Aps a eliminao da barra 4 o sistema fica: 1 2 3

& 1,2 90 0 j8,41 j1,39 j 6,22 V1 & 0 j 4,72 V2 . 1,2 126,87 = j1,39 j 6,91 1,2 90 0 j 6,22 & j 4,72 j11,74 V3

Eliminao da barra 3. j 6,22 j 6,22 = j 5,11 , j11,74 j 6,22 j 4,72 Y ' '12 = Y ' ' 21 = j1,39 = j 3,89 , j11,74 j 4,72 j 4,72 Y ' '22 = j 6,91 = j 5,01 . j11,74 Y ' '11 = j8,41 j 6,22 1,2 90 0 & I '1 = 1,2 90 0 = 1,2 90 0 j 0,64 = j1,84 = 1,84 90 0 , j11,74 j 4,72 1,2 90 0 & = 1,2 126,87 0 j 0,48 = 1,61 116,530 . I ' 2 = 1,2 126,87 0 j11,74

Aps a eliminao da barra 3 o sistema fica:& 1,84 90 0 j 5,11 j 3,89 V1 = & . 0 1,61 116,53 j 3,89 j 5,01 V2

A Figura 2.14 mostra o circuito equivalente do sistema no qual foram eliminadas a barra 4, que no tinha fonte, e a barra 3, que tinha fonte. j3,89 1& I ' '1 = 1,84 90 0

2 j1,22 0 j1,12& I ' ' 2 = 1,61 116,530

Figura 2.14 Circuito equivalente com eliminao de barra que contm fonte

31

Anlise de Sistemas de Potncia2.4.3 Equivalentes de rede

Usa-se o equivalente de rede para substituir parte de um circuito, no qual no existe interesse para determinado estudo, por seu equivalente. A Figura 2.15 mostra a rede original e a Figura 2.16 o equivalente da rede externa. 1 Rede interna 2 3 Rede externa

Figura 2.15 Circuito original

1

& I '1

Rede interna

2

ya yb

& I '2

3

& I '3

Figura 2.16 Rede externa substituda por equivalente

2.5 Montagem da matriz Y BARRA com elementos acoplados

A Figura 2.17 mostra um trecho de circuito em que existe admitncia ou impedncia mtua entre alguns elementos do sistema eltrico. A polaridade da tenso induzida importante.& Ii

i

& I ij

& I ji

j

zij

& Ij

& Ik

k

zml zkl& I kl & I lk & Il

Figura 2.17 - Parte de circuito com impedncia mtua

Polaridade relativa da corrente.& & & & Vi V j = zij I ij + zm I kl , & & & & Vk Vl = zkl I kl + zm I ij .

Em forma matricial vem:& & Vi V j zij = & & Vk Vl zm & zm I ij & , zkl I kl

onde a matriz Z denominada de matriz impedncia primitiva do elemento. Passando-se para admitncia vem:

32

Anlise de Sistemas de Potncia& & & I ij yij ym Vi V j , & = & & I kl ym ykl Vk Vl onde a matriz Y chamada de matriz admitncia primitiva do elemento. Expandindo-se a equao acima vem: & & & & & I ij = yij Vi yij V j + ym Vk ym Vl , & & & & & I ji = yij Vi + yij V j ym Vk + ym Vl ,

& & & & & I kl = ym Vi ym V j + ykl Vk ykl Vl ,& & & & & I lk = ym Vi + ym V j ykl Vk + ykl Vl . & & & & & & & & Sabendo-se que I ij = I i , I ji = I j , I kl = I k , I lk = I l e colocando-se a equao acima em forma

matricial tem-se:& I i yij & I j = yij & I k ym & I l ym yij yij ym ym ym ym ykl ykl & ym Vi & ym V j . & ykl Vk & ykl Vl

Notar que os dois blocos com yij e ykl so termos da matriz Y BARRA sem mtua. Regra prtica para a montagem da matriz Y BARRA com mtuas: 1) 2) 3) 4) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mtua; Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva; Montar a matriz Y BARRA sem considerar a admitncia mtua ym ; Incluir o efeito das mtuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais marcados diferentemente.

A Figura 2.18 mostra o circuito equivalente do circuito da Figura 2.17 com mtuas. i yij ym ym k ym yklFigura 2.18 - Circuito equivalente com elementos acoplados

j

ym l

Exemplo 2.8. Sejam z12 = z34 = j0,25 pu e zm = j0,15 pu como mostrados na Figura 2.19. Determinar a matriz Y BARRA do sistema.

1 zm 3

z12

2

z34

4

Figura 2.19 - Circuito referente ao exemplo

33

Anlise de Sistemas de Potncia& & V1 V2 j 0,25 & & = V3 V4 j 0,15 & j 0,15 I12 & , j 0,25 I 34

onde a matriz acima a matriz Z primitiva. A matriz Y primitiva a inversa de Z primitiva. j 6,25 j 3,75 YPRIMITIVA = , j 3,75 j 6,25 ym = j 3,75 , y12 = y34 = j 6,25 . i) Sem acoplamento.0 0 j 6,25 j 6,25 j 6,25 j 6,25 0 0 = 0 j 6,25 j 6,25 0 0 j 6,25 j 6,25 0

YBARRA

ii) Considerando-se o acoplamento. Basta acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1), (4,2) e acrescentar ym em (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).0 + j 3,75 0 j 3,75 j 6,25 j 6,25 j 6,25 j 6,25 0 j 3,75 0 + j 3,75 . = 0 + j 3,75 0 j 3,75 j 6,25 j 6,25 j 6,25 j 6,25 0 j 3,75 0 + j 3,75

YBARRA

Exemplo 2.9. Sejam z13 = z23 = j 0,25 pu, zm = j 0,15 pu. Determinar a matriz admitncia de barra do circuito da Figura 2.20.

z13& I3

1 zm

& I1

3 z23

2

& I2

Figura 2.20 - Exerccio de clculo da matriz admitncia de barra com mtuas

Inicialmente determina-se a matriz impedncia primitiva, invertendo-se esta determina-se a matriz admitncia primitiva, determina-se a matriz admitncia de barra sem se considerar as mtuas e depois inclui-se as mtuas seguindo os passos do algoritmo. j 0,25 Z PRIMITIVA = j 0,15 j 0,15 j 3,75 j 6,25 , YPRIMITIVA = . j 0,25 j 3,75 j 6,25

i)

matriz admitncia de barra sem se considerar as admitncias mtuas :j 6,25 0 j 6,25 0 . j 6,25 = j 6,25 j 6,25 j 6,25 j12,5 = j 6,25 j 6,25

YBARRA

ii) matriz admitncia de barra com as admitncias mtuas Com a polaridade indicada no enunciado do exerccio, + ym deve ser adicionado aos elementos (3,3), (1,2), (3,3), (2,1) e ym deve ser adicionado aos elementos (3,2), (1,3), (3,1), (2,3). Incluindo-se as mtuas na matriz acima vem:

34

Anlise de Sistemas de Potncia j 6,25 = 0 + j 3,75 j 2,5 = j 6,25 j 3,75 . j 6,25 j 2,5 = j 6,25 j 3,75 j 2,5 = j 6,25 j 3,75 j 5,0 = j12,5 + j 3,75 + j 3,75 0 + j 3,75 j 2,5 = j 6,25 j 3,75

YBARRA

A seguir os clculos que comprovam a exatido da matriz Y BARRA encontrada com a utilizao da regra acima.& & & & V1 V3 = z13 I1 + zm I 2 , & & & & V2 V3 = zm I1 + z23 I 2 . & & & I + I = I , logo1 2 3

& & V1 V3 z13 & & = V2 V3 zm

& zm I1 & , z23 I 2

& I1 y13 & = I 2 ym

& & ym V1 V3 & & , y23 V2 V3

& & & & & & & & & I1 = y13 V1 y13 V3 + ym V2 ym V3 I1 = y13 V1 + ym V2 + ( y13 ym ) V3 , & & & & & & & & & I = y V y V + y V y V I = y V + y V + ( y y ) V ,2m

1

m

3

23

2

23

3

2

m

1

23

2

23

m

3

& & & & & I1 + I 2 = ( y13 + ym ) V1 + ( y23 + ym ) V2 + ( y13 y23 2 ym ) V3 , & & & & I = ( y y ) V + ( y y ) V + ( y + y + 2 y ) V .3 13m

1

23

m

2

13

23

m

3

Em forma matricial vem:& I1 y13 & ym I2 = & I 3 y13 ym

ym y23 y23 ym

& V1 V , que confere com o exerccio. & y23 ym 2 & y13 + y23 + 2 ym V3

y13 ym

2.6 Modificao da matriz admitncia de barra

A incluso ou retirada de um elemento da rede utiliza o mesmo procedimento j visto na montagem da matriz admitncia de barra com ou sem mtuas. Para a eliminao da barra utiliza-se a reduo de Kron.

2.7 Montagem e Modificao da matriz impedncia de barra

A matriz impedncia de barra pode ser modificada para refletir mudanas na rede eltrica. Estas mudanas podem ser a adio de elemento, retirada de elemento ou modificao no valor da impedncia do elemento. At o momento as maneiras de se calcular a matriz impedncia de barra so: a) Inverso da matriz admitncia de barra, b) Ensaio de circuito aberto. Nenhum destes mtodos utilizado na prtica devido ao tempo necessrio para o clculo.

2.7.1 Modificao direta da matriz impedncia de barra

Seja o sistema original da Figura 2.21 composto de n barras, cuja matriz impedncia de barra conhecida como Z ORIGINAL .

35

Anlise de Sistemas de Potnciak Sistema original m

nFigura 2.21 - Sistema a ser modificado

Z ORIGINAL

Z11 Z = 21 M Z n1

Z12 Z 22M

Z n2

L Z1n L Z 2n M M L Z nn

A incluso de um novo elemento denominado zb atende a uma das quatro possibilidades a seguir.2.7.1.1 O elemento ligado entre a barra nova p e a referncia

Modificao da matriz impedncia de barra pela incluso de um elemento que possui impedncia prpria z b ligado entre uma barra nova p e a referncia. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.22 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p. 1 p=3

z12

2

z1

z2

zb

Figura 2.22 - Sistema original acrescido de elemento entre barra nova p e a referncia

A matriz Z ORIGINAL do sistema da Figura 2.22 :Z12 Z Z ORIGINAL = 11 Z 21 Z 22

Recordando o que foi explicado quando da interpretao fsica dos elementos da matriz impedncia de barra, o valor dos elementos da coluna da matriz impedncia de barra a tenso da barra dividida pela corrente injetada em determinada barra, com todas as outras fontes mortas. Se esta corrente tiver o valor unitrio, a tenso ser numericamente igual impedncia. Ensaiando-se a barra 1 com corrente unitria, tem-se que a tenso na barra p =3 devido a esta corrente nula, o mesmo acontecendo com a corrente injetada na barra 2. Quando a corrente injetada na barra p = 3 unitria, a tenso que aparece na barra p = 3 zb. Z11 Z BARRA = Z 21 0 Z12 Z 22 0 0 0 zb

Regra 1: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedncia de barra original, sendo nulos os elementos fora da diagonal principal. O elemento da diagonal principal o valor da impedncia zb do elemento. Os valores dos elementos da matriz impedncia de barra original no sofrem alterao.

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Anlise de Sistemas de Potncia2.7.1.2 O elemento ligado entre a barra nova p e a barra existente k

Modificao da matriz impedncia de barra pela incluso de um elemento que possui impedncia prpria zb ligado entre uma barra nova p e uma barra existente k. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.23 mostra este sistema acrescido de uma nova barra denominada p. k=2 1 z12 z2 zb p=3

z1

Figura 2.23 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra nova p e uma barra existente k

A matriz Z ORIGINAL do sistema da Figura 2.23 :Z12 Z Z ORIGINAL = 11 Z 21 Z 22

Injetando-se corrente unitria na barra 1, a tenso na barra p = 3 a mesma que a tenso da barra k = 2. Injetando-se corrente na barra k = 2 a tenso na barra p = 3 tambm a mesma que a tenso da barra k = 2. Injetando-se corrente na barra p = 3, a tenso ser a impedncia vista da barra k = 2 adicionada de zb. Z11 Z12 Z BARRA = Z 21 Z 22 Z 21 Z 22 Z 22 Z 22 + zb Z12

Regra 2: inclui-se nova linha e nova coluna na matriz impedncia de barra original, onde os elementos fora da diagonal principal so iguais aos elementos da linha e da coluna k (barra onde o novo elemento conectado) e o elemento da diagonal principal ( Z kk + zb ) . Os valores dos elementos da matriz impedncia de barra original ficam idnticos.2.7.1.3 O elemento ligado entre a barra existente k e a referncia

Modificao da matriz impedncia de barra pela incluso de um elemento que possui impedncia prpria zb ligado entre uma barra existente k e a referncia. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.24 mostra este sistema acrescido da nova impedncia. 1 z12 z1 k=2 z2 zb

Figura 2.24 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente e a referncia

Z12 Z Z ORIGINAL = 11 Z 21 Z 22

Este caso abordado em duas etapas, mostradas na Figura 2.25.

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Anlise de Sistemas de Potncia1) O elemento novo includo entre uma barra k existente e uma barra nova (n+1) fictcia, 2) curto circuita-se a barra fictcia para a terra pela reduo de Kron. 1 zb k=2 n+1=3 z2 1 zb k=2 n+1=3

z12

z12 z2

z1

+

z1

Figura 2.25 - Procedimento para a incluso de um elemento entre uma barra existente k e a referncia

Etapa 1: incluso do elemento entre uma barra existente k = 2 e uma barra nova fictcia (n+1) = 3. & & V1 Z11 Z12 Z12 I1 & & Z 22 I 2 V2 = Z 21 Z 22 & & V3 Z 21 Z 22 Z 22 + zb I 3 Etapa 2: curto circuita-se a barra fictcia (n+1) = 3 para a referncia e procede-se eliminao de Kron para eliminar a barra (n+1) = 3. A eliminao de Kron foi deduzida para a matriz admitncia de & barra e I B = 0. O mesmo se aplica matriz impedncia de barra e VB = 0 . Regra 3: o caso 2 com eliminao de Kron. Inclui-se temporariamente uma nova linha e uma nova coluna na matriz impedncia de barra original onde os elementos fora da diagonal principal so iguais aos elementos da linha e da coluna k, e o elemento da diagonal principal ( Z kk + zb ) referente barra fictcia (n+1). Elimina-se a barra fictcia aplicando-se a reduo de Kron.2.7.1.4 O elemento ligado entre a barra existente k e a barra existente j

Modificao da matriz impedncia de barra pela incluso de um elemento que possui impedncia prpria zb ligado entre uma barra existente k e uma barra existente j. Seja o sistema original composto de duas barras. A Figura 2.26 mostra este sistema acrescido da nova impedncia. zb k=1 z12 z1 z2 j=2

Figura 2.26 - Sistema original acrescido de elemento entre uma barra existente k e uma barra existente j

Z12 Z Z ORIGINAL = 11 Z 21 Z 22

Este caso abordado nas duas etapas mostradas na Figura 2.27. 1) Incluso do elemento entre barra existente k e entre barra fictcia (n + 1), 2) curto circuitam-se a barra fictcia (n + 1) e a barra j.

38

Anlise de Sistemas de Potncia

zb k=1 z12 z1

n+1=3 j=2 k=1

zb j=2 z12

z2

+

z1

z2

Figura 2.27 - Procedimento para a incluso de um elemento entre barras existentes

Etapa 1: incluso de elemento entre a barra k = 1 existente e uma barra fictcia (n + 1) = 3 . A matriz do sistema com a barra fictcia :& V1 Z11 Z12 & V2 = Z 21 Z 22 & V3 Z11 Z12 & Z11 I1 I Z 21 &2 & Z11 + zb I 3

& & Etapa 2: as tenses V j = 2 e Vn +1= 3 so iguais logo, fazendo-se a linha (n + 1) = 3 menos a linha j =

2 e colocando-se o resultado na linha (n + 1) = 3 vem:& V1 Z11 Z12 & Z 22 V2 = Z 21 0 Z11 Z 21 Z12 Z 22 & I1 & I . Z 21 2 & Z11 Z 21 + zb I 3

Z11

(2.1)

Para tornar a matriz acima simtrica efetua-se a coluna (n + 1) = 3 menos a coluna j = 2 no lugar da coluna (n + 1) = 3.& V1 Z11 & V2 = Z 21 0 Z11 Z 21

Z12 Z 22 Z12 Z 22

& I1 I . & Z 21 Z 22 2 & Z11 + Z 22 Z12 Z 21 + zb I 3

Z11 Z12

(2.2)

Expandindo-se as trs linhas das Equaes 2.1 vem:& & & & V1 = Z11 I1 + Z12 I 2 + Z11 I 3 , & & & & V = Z I +Z I +Z I ,2 21 1 22 2 21 3

(2.3) (2.4) (2.5)

& & & 0 = ( Z11 Z 21 ) I1 + ( Z12 Z 22 ) I 2 + ( Z11 Z 21 + zb ) I 3 .

Expandindo-se as trs linhas das Equaes 2.2 vem:& & & & & V1 = Z11 I1 + Z12 I 2 + Z11 I 3 Z12 I 3 , & & & & & V = Z I +Z I +Z I Z I ,2 21 1 22 2 21 3 22 3

(2.6) (2.7) (2.8)

& & & 0 = ( Z11 Z 21 ) I1 + ( Z12 Z 22 ) I 2 + ( Z11 + Z 22 Z12 Z 21 + zb ) I 3 .

Para que as Equaes 2.3, 2.4 e 2.5 fiquem iguais, respectivamente, s Equaes 2.6, 2.7 e 2.8, & & & basta somar Z12 I 3 na Equao 2.6, Z 22 I 3 na Equao 2.7 e ( Z12 Z 22 ) I 3 na Equao 2.8, ou seja, & & basta somar I ao I do vetor corrente da Equao 2.2. A barra (n + 1) = 3 fictcia, sem fonte de3 2

corrente, logo pode-se aplicar a reduo de Kron. A equao fica ento:

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Anlise de Sistemas de Potncia& V1 Z11 & V2 = Z 21 0 Z11 Z 21

Z12 Z 22 Z12 Z 22

& I1 I + I . & & Z 21 Z 22 2 3 I3 Z11 + Z 22 Z12 Z 21 + zb &

Z11 Z12

Regra 4: inclui-se temporariamente nova linha e nova coluna na matriz impedncia de barra original, onde os elementos fora da diagonal principal so iguais diferena entre os elementos das colunas/linhas k e j e o elemento da diagonal principal vale Z kk + Z jj Z kj Z jk + zb . Elimina-se a linha e a coluna da barra fictcia aplicando-se a reduo de Kron.2.7.2 Montagem direta da matriz impedncia de barra

a) um processo mais rpido que montar a matriz admitncia de barra e depois inverter; b) Trabalha-se diretamente com a lista dos componentes da rede; c) A matriz impedncia de barra montada passo a passo, incluindo-se um componente de cada vez, recaindo em um dos quatro casos de modificao da matriz impedncia de barra j vistos; d) Restrio: a matriz impedncia de barra deve ser iniciada por componente ligado referncia. Quando no existir tal elemento, uma barra tomada como referncia.Exemplo 2.10. Montar a matriz impedncia de barra passo a passo para o sistema da Figura 2.28.

1 3

2

4

3

~

1

5 6

2

~

Figura 2.28 - Sistema exemplo para a montagem da matriz impedncia de barra

Dados dos ramos em pu. Nmero do elemento 1 2 3 4 5 6 Barras de para 0 1 0 3 1 2 2 3 2 3 1 3 Impedncia (pu) j0,25 j0,20 j0,08 j0,06 j0,06 j0,07 Admitncia (pu) j4,00 j5,00 j12,50 j16,67 j16,67 j14,29

Elemento 1 ligado entre a referncia e a barra nova 1. Caso 2.4.7.1. 1 = [ j 0,25] 1

Z BARRA

Elemento 2 ligado entre a referncia e a barra nova 3. Caso 2.4.7.1. 1 j 0,25 = 0,00 3 0,00 1 j 0,20 3

Z BARRA

40

Anlise de Sistemas de PotnciaElemento 3 ligado entre a barra 1 existente e a barra nova 2. Caso 2.4.7.2. 2 1 3 j 0,25 j 0,25 0,00 1 0,00 j 0,20 Z BARRA = 0,00 3 j 0,25 0,00 j 0,33 = j 0,25 + j 0,08 = Z11 + zb 2 Rearrumando-se a matriz Z BARRA para que a ordem das colunas corresponda ao nmero das barras vem: 2 1 3 j 0,25 j 0,25 0,00 1 Z BARRA = j 0,25 j 0,33 0 2 0,00 0,00 j 0,20 3 Elemento 4 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4. 1 j 0,25 j 0,25 = 0,00 j 0,25 3 2 j 0,25 0,00 j 0,33 0,00 0,00 j 0,20 j 0,33 j 0,20 4 j 0,25j 0,33

Z BARRA

j 0,20 j 0,59 = Z 22 + Z 33 Z 23 Z 32 + zb

1 2 3 4

Aps a aplicao da reduo de Kron na barra 4 vem: j 0,1441 = j 0,1102 j 0,0847 j 0,1102 j 0,1454 j 0,1119 j 0,0847 j 0,1119 . j 0,1322

Z BARRA

Elemento 5 ligado entre a barra 2 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4. Ao invs de se inserir um a um os elementos, pode-se inserir o paralelo dos elementos 4 e 5, no caso j 0,03 . j 0,1441 j 0,1102 j 0,08477 j 0,0255 j 0,1102 j 0,1454 j 0,1119 j 0,0847 j 0,1119 j 0,1322 j 0,0203 j 0,1138 = j 0,1454 + j 0,1322 j 0,1119 j 0,1119 + j 0,06 j 0,0255 j 0,0335

j 0,0335 j 0,0203

Aplicando-se a reduo de Kron na barra 4 vem: j 0,1384 j 0,1027 j 0,0892 j 0,1027 j 0,1355 j 0,1179 j 0,0892 j 0,1179 j 0,1286

Elemento 6 ligado entre a barra 1 existente e a barra 3 existente. Caso 2.4.7.4.j 0,1027 j 0,0892 j 0,1384 j 0,1027 j 0,1355 j 0,1179 j 0,0892 j 0,1179 j 0,1286 j 0,0492 j 0,0152 j 0,0394 j 0,0394 j 0,1286 = j 0,1384 + j 0,1286 j 0,0892 j 0,0892 + j 0,07 j 0,0492 j 0,0152

41

Anlise de Sistemas de PotnciaAplicando-se a reduo de Kron na barra 4 vem: j 0,1231 = j 0,1074 j 0,1014 j 0,1074 j 0,1340 j 0,1141 j 0,1014 j 0,1141 j 0,1188

Z BARRA

Utilizando-se o programa MATLAB para inverter diretamente a matriz Y BARRA encontra-se para Z BARRA :j12,50 j14,29 j 30,79 j12,50 j 45,84 j 33,34 = j14,29 j 33,34 j 52,63 j 0,1232 = j 0,1074 j 0,1015 j 0,1074 j 0,1341 j 0,1141 j 0,1015 j 0,1141 . j 0,1188

YBARRA

Z BARRA

Observao: Para maior eficincia do processo, fecha-se o lao o mais cedo possvel para se aplicar a reduo de Kron em matriz de dimenso menor.

2.7.3 Excluso de um elemento de impedncia z b da matriz ZBARRA

Basta incluir um elemento de impedncia prpria de valor zb , pois o paralelo de zb com zb um circuito aberto, com a aplicao de dois dos quatro casos de modificao da matriz impedncia de barra.

2.7.4 Modificao do valor da impedncia que liga duas barras

Basta inserir um elemento que em paralelo com o valor j existente fornea o valor desejado. Para se transformar o valor de zx no valor zy entre as barras k e m, como mostra a Figura 2.29, basta inserir o elemento zb de tal forma que z x // zb = z y . k zx m k m zy

Figura 2.29 - Modificao do valor original z x da matriz impedncia de barra, z x //z b =z y

2.8 Obteno dos elementos da coluna da matriz impedncia de barra a partir da matriz admitncia de barra

a) Utilizado quando no necessria toda a matriz impedncia de barra, b) necessria uma coluna da matriz impedncia de barra, alguns elementos de uma coluna da matriz impedncia de barra, diferena entre duas colunas da matriz impedncia de barra, etc. Em estudos de curto-circuito calcula-se, a partir da matriz Y BARRA, apenas uma coluna da matriz ZBARRA, a de interesse, no sendo necessrio determinar toda a matriz ZBARRA.

2.8.1 Obteno de uma coluna da matriz impedncia de barra

Se a matriz impedncia de barra for multiplicada pelo vetor que contm 1 na linha k e zero no resto vem:

42

Anlise de Sistemas de Potncia Z11 L Z1k Z 21 L Z 2 k M M M M M M Z N 1 L Z Nk L Z1N 0 Z1k L Z 2 N M Z 2k M M 1 = M M M M M L Z NN 0 Z Nk

ou seja, (k ) Z BARRA l k = Z BARRA , coluna k da matriz impedncia de barra. Pr multiplicando-se a equao acima pela matriz admitncia de barra vem:(k ) YBARRA Z BARRA l k = YBARRA Z BARRA , 144 44 2 3 I (K ) (K ) YBARRA Z BARRA = l K , sistema de equaes lineares com incgnita Z BARRA .

Procedimento para soluo da equao acima: a) montar a matriz YBARRA , b) fatorar a matriz YBARRA em LU , ou seja, L U = YBARRA ,(k ) c) solucionar o sistema L U Z BARRA = l k em duas etapas, 14 4 2 3 H

primeira etapa: solucionar L H = l k ,(k ) segunda etapa: solucionar U Z BARRA = H .

O custo computacional do processo est em calcular as matrizes L e U.

2.8.2 Obteno da diferena entre duas colunas da matriz impedncia de barra

Seja0 M =1 1 0

lk j

Coluna k Coluna j

(k j ) Z BARRA l k j = Z BARRA , (k j ) YBARRA Z BARRA l k j = YBARRA Z BARRA ,

(k j ) YBARRA Z BARRA = l k j , resolvido por decomposio LU da matriz Y BARRA, mostrado anteriormente,(k j ) L U Z BARRA = l k j .

Exemplo 2.11. Calcular a diferena dos elementos (Z BARRA(44