Equaes linearesEste estudo de lgebra linear comear com a anlise dos sistemas de equaes lineares. Tais sistemas aparecem frequentemente emmatemtica aplicada, economia e engenharia ao modelar certos fenmenos. Por exemplo, em programao linear, geralmente discutido como maximizar o lucro quando existem certas restries relacionadas a dificuldade, disponibilidade de tempo, ou outras condies. Estas restries podem ser colocadas na forma de um sistema de equaes lineares.

A Wikipdia tem mais sobre este assunto: Sistema de equaes lineares

Mesmo que o leitor j tenha estudado o contedo deste captulo, interessante fazer uma leitura deste mdulo para relembrar os principais conceitos e definies, alm de se familiarizar com as notaes que sero utilizadas neste wikilivro. O assunto ser retomado posteriormente, quando for tratada a relao entre matrizes e sistemas lineares, no captulo "eliminao gaussiana". [editar]Equaes

lineares

A Wikipdia tem mais sobre este assunto: Equao linear

Uma equao linear uma equao composta exclusivamente de adies e subtraes de termos que so constantes ou o produto de uma constante pela primeira potncia de umavarivel. Conforme a natureza do problema que d origem a equao, as constantes e as variveis podem ser nmeros inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral (veja, por exemplo, um artigo sobre "corpos" naWikipdia). No caso dos nmeros inteiros, chama-se a equao de "equao linear diofantina", e seu estudo feito na teoria de nmeros. Neste Wikilivro, ser considerado que as constantes e as variveis de uma equao linear so elementos de um subcorpo do corpo dos nmeros complexos. Os elementos de sero chamados de escalares. Para a maior parte do texto, o leitor no familiarizado com corpos e outras estruturas algbricas pode admitir que os escalares so os nmeros complexos. Sugestes de leitura

Para uma breve discusso sobre o uso de outros tipos de escalares no contexto da lgebra linear, recomenda-s da primeira seo do captulo sobre equaes lineares no livro "Linear Algebra", de Hoffman & Kunze.

Se quiser saber mais sobre corpos e outras estruturas algbricas, ser interessante consultar um livro especfic lgebra. (Veja exemplos na bibliografia)

Uma caracterizao mais formal do que se entende por "equao linear" a seguinte: Definio Uma equao linear em forma denominados coeficientes, e variveis sobre o corpo uma equao que pode ser colocada na so

, sendo que os escalares chamado de termo independente, ou termo constante.

Cada equao linear pode ser vista como uma igualdade entre zero e um polinmio do primeiro grau em vrias variveis, uma vez que:

Exemplos: Nesta equao, as variveis so Aqui, aparece uma equao que no est na "forma padro". Pode-se reescrev-la como . e , e o termo constante .

Neste ltimo exemplo aparece apenas a varivel

, com coeficiente

. O termo constante

.

Como foi ressaltado no exemplo, para uma equao ser chamada de "linear", ela no precisa necessariamente estar com todas as variveis no membro esquerdo da equao, embora seja usual escrev-la assim. Como ser visto posteriormente, usando essa conveno possvel simplificar a resoluo de sistemas de equaes lineares (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz. [editar]Solues Definio Uma soluo da equao linear vetor) para , cujas entradas podem ser colocadas no lugar de cada uma , -upla (um

de uma equao linear

, de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto soluo de uma equao linear

aquele formado por todas as suas solues. Por exemplo, que uma soluo da equao linear , mas no. , uma vez

No caso em que a quantidade de variveis em uma equao linear menor ou igual a trs, pode-se associar ao seu conjunto soluo, uma interpretao geomtrica. Acompanhe os exemplos a seguir:

Representao grfica de duas equaes lineares

Se

igual a 2, a equao linear tem como correspondente geomtrico uma linha

reta. Por exemplo: e . corresponde a reta que contm os pontos Observe que o ponto (veja a figura). Se for 3, o conjunto soluo representado geometricamente como um plano no e . pode ser representada pela reta que passa pelos pontos

tambm est na reta dada pela primeira equao

espao tridimensional. Por exemplo: Os pontos que so solues da equao linear ,

esto todos sobre o plano definido por e .

Pode-se generalizar a relao entre equaes lineares e geometria para o caso em se tem um nmero arbitrrio de variveis. No entanto, nessa situao no possvel visualizar a "forma geomtrica" que corresponde s solues da equao. O termo utilizado para descrever a forma geomtrica correspondente ao conjunto soluo de uma equao a variveis hiperplano afim, de dimenso . Neste texto, no entanto, ser usado simplesmente a terminologia -plano. [editar]Sistemas Definio Um sistema de equaes lineares (ou sistema linear) uma coleo de equaes lineares envolvendo o mesmo conjunto de variveis. Um sistema geral de equaes lineares com incgnitas (ou variveis) pode ser escrito como

de equaes lineares

Aqui, e

so as incgnitas, so os termos constantes.

so os coeficientes do sistema,

A "chave" colocada esquerda das equaes uma forma de lembrar que todas as equaes devem ser consideradas em conjunto. A seguir so apresentados alguns exemplos de equaes lineares. Exemplos:

um sistema de trs equaes, nas variveis

e

.

um sistema de trs equaes e duas variveis

e

.

um sistema linear formado por uma nica equao e trs variveis

[editar]Solues Definio

de sistemas lineares

Uma soluo de um sistema linear uma

-upla de valores

que

simultneamente satisfazem todasas equaes do sistema.

Cada equao de um sistema linear em trs variveis determina um plano. Uma soluo do sistema corresponde a um ponto na interseo desses planos

Exemplo: Considere os sistemas de equaes lineares apresentados acima.

tem como sua soluo

.

e

no tem qualquer soluo, pois no existem nmeros cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula. , embora seja formado por uma nica equao linear, admite uma infinidade de solues, todas da forma .

A coleo de todas as possveis solues de um sistema linear ser chamada de conjunto soluo, sendo geralmente denotado por . Uma frmula que descreva todos os vetores do conjunto soluo chamada de soluo geral. Dessa definio, decorre que o conjunto soluo de um sistema linear a interseo entre os conjuntos solues de cada equao do sistema (veja a figura). Um sistema linear dito consistente se possui alguma soluo. Caso contrrio, chamado de inconsistente. Em geral, para qualquer sistema linear existem trs possibilidades a respeito das solues: Uma nica soluo: Neste caso, existe apenas uma soluo especfica (uma certa -upla). O conjunto tem um nico elemento. Geometricamente, isto implica que os -planos determinados pelas equaes do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto doespao, que especificado pelas coordenadas da soluo (as "entradas" da -upla). O sistema dito possvel (existe alguma soluo) e determinado (existe uma nica soluo); Nenhuma soluo: Nesta situao, no existe qualquer -upla de valores que verifiquem simultaneamente todas as equaes do sistema. O conjunto vazio. Geometricamente, os -planos

correspondentes as equaes no se intersectam (so paralelos). O sistema dito impossvel (no existe soluo). Infinitas solues: As equaes especificam -planos cuja interseco um -plano onde Sendo este o caso, possvel explicitar um conjunto com infinitas solues. O sistema dito possvel (existe alguma soluo) e indeterminado (sua quantidade infinita) .

As seguintes figuras ilustram os casos acima:

Uma nica soluo [editar]Sistemas Definio

Nenhuma soluo

Infinitas solues

lineares equivalentes

Dois sistemas lineares so ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo. Exemplos: Considere o seguinte sistema linear:

(I) Obviamente, existe um nico par ordenado . que soluo de tal sistema. Seu conjunto soluo

Sabendo que a segunda igualdade em (I) vale se, e somente se, verdade que solues do sistema acima so as mesmas do sistema

, pode-se conc

(II) Alm disso, todo par ordenado que satisfaz as equaes deste ltimo sistema, tambm soluo de

(III) pois, logicamente, no faz diferena a ordem em que as equaes aparecem em um sistema. Uma outra equivalncia, no to imediata, entre o sistema (III) e

(IV)

Para ter certeza que ambos os sistemas so equivalentes, basta observar que se um par ordenado soluo d ento suas coordenadas verificam e , por tanto (somando membro a membro), tem-

se Reciprocamente, se se .

. safisfaz e

, basta subtrair membro a membro, e o

Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior equivalente a

(V) pois as solues da ltima equao so as mesmas da segunda. Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto soluo (so equivalentes), embora no exemplo(V) a soluo no esteja "to evidente" como no caso de (I). Isso sugere uma estratgia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto soluo de um sistema linear arbitrrio (por exemplo(V)), basta encontrar um outro sistema linear que lhe seja equivalente, mas cuja soluo seja imediata (como o (I), cuja soluo bvia!). Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (seno imediatos!) de resolver. As tcnicas usadas para este fim sero apresentadas na prxima seo. Pense rpido...

1.Se dois sistemas so equivalentes, preciso que cada equao do primeiro seja equivalente auma equao do segundo? Sim No Depende dos sistemas em questo.

2. possvel que dois sistemas sejam equivalentes sem que tenham o mesmo nmero deequaes? Sim No

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[editar]Operaes

com equaes

Para um melhor entendimento das tcnicas que podem ser utilizadas na resoluo de sistemas lineares, sero sintetizadas no teorema a seguir as "operaes" que podem ser feitas com as equaes de um sistema, sem que seu conjunto soluo seja alterado. Como ser visto posteriormente, possvel determinar o conjunto soluo de qualquer sistema linear (resolver o sistema), usando apenas trs "operaes elementares". Teorema Se um sistema linear obtido a partir de outro, atravs de uma dessas operaes 1. Trocar a posio de duas equaes; 2. Trocar uma equao por um mltiplo (no nulo) de si mesma; 3. Trocar uma equao pela soma de si mesma com um mltiplo de outra equao;

ento ele possui as mesmas solues que o sistema original. [editar]Demonstrao Deixada a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para acrescent-la ao texto.

[editar]Mtodos

para a resoluo de sistemas linearesde variveis

[editar]Eliminao

Um mtodo bastante simples para a resoluo de um sistema linear eliminar as variveis, uma aps a outra. Este mtodo consiste dos seguintes passos: 1. Na primeira equao, isole uma das variveis em funo das outras. 2. Substitua a expresso acima em cada uma das outras equaes. Isso produz um outro sistema de equaes, com uma equao a menos e uma varivel a menos. 3. Repita o passo anterior at que reste apenas uma equao linear. 4. Resolva esta equao e use a resposta obtida para determinar as demais variveis nas outras equaes. Por exemplo, se o sistema linear for

pode-se resolver a primeira equao em terceira equaes, segue:

, obtendo

e usando essa expresso na segu

Agora, se a primeira das duas equaes for resolvida em equao fornece:

, obtem-se

, que substitudo na

Colocando que .

na segunda equao, tem-se

e usando esses valores na primeira equao

Portanto, o conjunto soluo deste sistema consiste de um nico ponto

.

Sugesto de leitura Veja na Wikipdia os artigos sobre o mtodo da soma e a regra de Cramer. Sabe-se que sistemas lineares em poucas variveis tambm podem ser resolvidos usando outros mtodos. Observe, no entanto, que estas tcnicas no so muito prticas ao lidar com sistemas grandes, onde exista um grande nmero de variveis. Apesar disso, tais procedimentos podem ser generalizados, dando origem a algoritmos como a eliminao de Gauss e aeliminao de Gauss-Jordan, que pode ser usado em situaes bem mais gerais.

O mtodo da eliminao gaussiana ser estudado em um captulo posterior. Muitas vezes preciso resolver vrios sistemas lineares que diferem apenas em seus termos constantes. Os coeficientes das incgnitas permanecem os mesmos. Uma tcnica chamada de decomposio LU usada nestes casos. Em situaes muito particulares, ela adminte uma variante conhecida como fatorao de Cholesky. Tais tcnicas sero estudadas nos ltimos captulos.