processos decisórios · 2019. 7. 10. · 2.9 solução de sistema de equação linear com o...

Processos Decisórios

Luís Alberto Duncan Rangel

Mestrado em Sistema de Gestão

Universidade Federal Fluminense

[email protected]

2. Matriz com software Excel

2.1 Transposta de uma Matriz

2.2 Soma de matrizes

2.3 Determinante de uma Matriz

2.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar

2.5 Multiplicação de Matrizes

2.6 Matriz inversa

2.7 Exercício sobre matrizes através do Excel

SUMÁRIO

2.8 Sistemas de equações lineares

2.9 Solução de Sistema de Equação Linear com Produto da Matriz Inversa

2.10 Representação de Retas no Plano

2.11 Representação de Inequação no Plano

2.12 Software Winplot

2.13 Determinação da Equação da Reta

SUMÁRIO

Existem diversas funções pré-definidas na planilha Excel que podem ser utilizadas para nos auxiliar.

Para selecionarmos as funções temos que acessar “fx”.

Para trabalharmos com Matrizes temos as funções:

- Matriz.Determ – calcula o determinante de uma matriz.

- Matriz.Multi – faz a multiplicação de duas matrizes.

- Matriz.Inverso – calcula o inverso de uma matriz.

Para rodar algumas destas funções precisamos digitar ao mesmo tempo as teclas? “Shift + Ctrl + Enter”.

2. Matriz com Software EXCEL

2.1 Matriz Transposta:


2.2 Soma de Matriz:


2.3 Determinante da Matriz:


2.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:

Procedimento:

E = 2 * D


2.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:

Procedimento:

Na célula B2,

o número “2”

E=$B$2(F4)*D

A função “F4”

fixa linha e fixa

coluna.


2.5 Multiplicação de Matrizes: Produto de Matrizes: Número de coluna da matriz 1 tem que ser igual ao número de linha da segunda matriz.

Matriz resultante terá número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz.


2.6 Matriz Inversa:


2.7 Considere as Matrizes e os Escalares abaixo:

Calcule as operações com as matrizes empregando os recursos da planilha Excel:

3 5

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

xA

5 4

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 3 1

2 1 2 1

xB

4 4

4 3 2 1

1 2 3 4

1 1 1 2

3 4 2 1

xC

2K

3J

524

532

241

33xD

100

010

001

33xL


2.7 Exercícios sobre Matrizes com o Excel:

a) A1 = AT;

b) B1 = J * B;

c) A2 = K * AT ; (empregue a função “F4” para fixar o valor de “K” na operação);

d) det. C;

e) det. CT;

f) E = A x B;

g) F = B x C;

h) C-1 (matriz inversa de C)

i) (CT)-1 (matriz inversa da matriz transposta de C).


2.8 Sistema de Equações Lineares:

A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela expressão: ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano através da resolução de um sistema de equações lineares. A representação dessas duas retas na forma de um sistema é da seguinte forma:

A sua representação na forma matricial é:

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

1 1

1 2

a bA

a b

xX

y

1

2

cC

c


2.9 Solução de Sistema de Equação Linear com o Produto da Matriz Inversa

Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo vetor C:

Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna) podem ser determinados através do seguinte produto:

Calculado a A-1, tem-se:

2 5 10

4 3 12

x y

x y

10,214,92 0,357143

0,285714 0,14286A

CA.X .C.A.XA 1-1 A


2.9 Solução de Sistema de Equação Linear com o Produto da Matriz Inversa

Calculando o produto de A-1 x C temos a solução do sistema:

10,214,92 0,357143 10 2,142857

. .0,285714 0,14286 12 1,142857

X A C


Exemplo 1:

Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:

Empregando-se o Software Winplot, obtém-se o ponto de interseção das equações no plano, que é a solução do sistema. Sítio do Software Winplot:

http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe

No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.

Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”. Digitar as equações.

2 5 10

4 3 12

x y

x y

2.10 Representação de Reta no Plano



Exemplo 1:


2 5 10

4 3 12

x y

x y

Exemplo 2:

Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:

Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de interseção das equações no plano, que é a solução do sistema.

3 2 6

2 5 8

x y

x y


Exemplo 2:

x

y3X-2Y=6

-2X+5Y=8

(x,y) = (4.18181820688684,3.27272731033026)


3 2 6

2 5 8

x y

x y

Exercício 3:

Represente e determine a interseção das retas no plano.

a) 2X+4Y=8 e 3X+1Y=6

b) 5X+7Y=35 e -3X+2Y=6

c) -4X+3Y=12 e 6X+4Y=24

d) 3X-6Y=18 e -2X+1Y=4

e) 2X+Y=4 e -5X-1Y=5

f) -3X-3Y=6 e 4X-3Y=12


Solução Exercício 3:


a) 2X+4Y=8 e 3X+1Y=6 => x=1,6 e y=1,2

b) 5X+7Y=35 e -3X+2Y=6 => x=0,903 e y=4,355

c) -4X+3Y=12 e 6X+4Y=24 => x=0,706 e y=4,941

d) 3X-6Y=18 e -2X+1Y=4 => x=-4,667 e y=-5,333

e) 2X+Y=4 e -5X-1Y=5 => x=-3,0 e y=10,0

f) -3X-3Y=6 e 4X-3Y=12 => x=0,857 e y=-2,857




a) 2X+4Y=8 e

3X+1Y=6

=> x=1,6 e y=1,2




b) 5X+7Y=35 e

-3X+2Y=6

=> x=0,903 e y=4,355




c) -4X+3Y=12 e

6X+4Y=24

=> x=0,706 e y=4,941




d) 3X-6Y=18 e

-2X+1Y=4

=> x=-4,667 e

y=-5,333




e) 2X+Y=4 e

-5X-1Y=5

=>x=-3,0 e y=10,0




f) -3X-3Y=6 e

4X-3Y=12

=> x=0,857 e

y=-2,857


Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:


0x

x

y



0y

x

y



632 yx

0x

0y

632 yx

824 yx


Exercício:

Dado as inequações abaixo, represente-as interseções:

a) 3X + 6Y >= 36 5X >= 10 4Y >= 12 2X + 4Y <= 40 X >= 0 Y >= 0


Exercício:

Dado as inequações abaixo, represente-as interseções:

b) 2X + 5Y >= 10 8X + 4Y <= 32 X >= 0 Y >= 0


2.12 Software Winplot

2.13 Determinação da Equação da Reta

Determine a equação da reta que passa por dois pontos existente A(5,4) e B(7,0). Considere X1=5, Y1=4, X2=7, e Y2=0. Existem diversas formas de determinar a equação da reta, vamos utilizar o método que emprega matrizes?

Calculando o determinante da matriz, temos a equação da reta para estes dois pontos.

Temos: 4X+7Y+0-28-0-5Y=0 => 4X+2Y=28

Desta forma a equação da reta que passa pelos dois pontos é: 2X+Y=14

X Y 1

X1 Y1 1 = 0

X2 Y2 1

X Y 1

5 4 1 = 0

7 0 1

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