11. sistemas escalonados o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo...

11. Sistemas Escalonados11. Sistemas EscalonadosDizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o o número de coeficientes nulos antes do primeiro número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equaçãocoeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

....

....

............................................

n n

n n

nn n n

a x a x a x b

a x a x b

a x b

O sistema é também chamado sistema triangular, pois a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.

11. Sistemas Escalonados11. Sistemas EscalonadosSistema triangular (escalonado) – forma matricial

Superior

Inferior

Podem ser solucionados com Resolução Retroativa

11. Sistemas Escalonados11. Sistemas Escalonados

Resolva o sistema:

Resolução:

Na 3ª equação: z = -5z = -5Na 2ª equação: 2y – (-5) = -12y – (-5) = -1 2y = -1 – 52y = -1 – 5 y = -3y = -3Na 1ª equação: 3x – (-3) + (-5) = 23x – (-3) + (-5) = 2 3x = 2 – 3 + 53x = 2 – 3 + 5 3x = 43x = 4 x = 4/3x = 4/3Logo, o conjunto solução será: Logo, o conjunto solução será: (-5, -3, 4/3)(-5, -3, 4/3)

S1 =

5

12

23

z

zy

zyx


Resolva o sistema:

Resolução:

Primeiro perceba que este sistema tem mais variáveis que equações. Perceba ainda que a variável z não aparece no começo de nenhuma equação, ela será chamada de variável variável livrelivre.Para resolvermos este sistema, primeiro vamos atribuir um valor real arbitráriovalor real arbitrário para a variável livre:

z = z = , com , com ..Agora vamos calcular o valor de y na 2ª equação:

3y – 23y – 2 = 1 = 13y = 1 + 23y = 1 + 2 y = (1 + 2y = (1 + 2

S1 =

123

354

zy

zyx


Resolva o sistema:

Agora que já conhecemos y e z, vamos calcular o valor de x:

Logo a solução do sistema será:

Essa solução é chamada de solução geral do sistemasolução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.POSSÍVEL E INDETERMINADO.

S1 =

123

354

zy

zyx

353

214

x

5

3

2134

x

3

15219

3

12

x

12

1310 x

com,,3

21,

12

1310


Resolva o sistema:

Resolução:

Na 3ª equação: w = 2Agora perceba que este sistema tem duas variáveis livres (não aparecem no começo de nenhuma equação), vamos atribuir valores para elas:

t = t = e y = e y = , com , com e e Na 2ª equação:

Na 1ª equação:

S1 =

42

02

14

w

wtz

wtzyx

022 z

4 z

1244 x

2414 x4

1 x


Resolva o sistema:

Logo a solução do sistema será:

Essa solução é chamada de solução geral do sistemasolução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.POSSÍVEL E INDETERMINADO.

Se desejarmos soluções particulares para esse sistema, basta atribuir valores para e , por exemplo:

123

354

zy

zyx

ecom,2,,4,,

4

1

30 e 2,0,4,3,1

01 e

2,1,5,0,4

1

12. Sistemas Equivalentes12. Sistemas EquivalentesDois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes, e escrevemos:

SS11 ~ S ~ S22

Sendo dado um sistema, é possível realizar sobre ele uma série de operações elementares sem alterar seu resultadosem alterar seu resultado, ou seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, é que veremos a seguir.

723

241 yx

yxS

42

32 yx

yxS

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. ElementaresPROPRIEDADE 1:PROPRIEDADE 1:um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

184

9

20232

zyx

zyx

zyx

20232

9

184

zyx

zyx

zyx

Sistema 1 Sistema 2

Exemplo:

Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2:

x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares

Sistema 1 Sistema 3

Exemplo:


x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.

PROPRIEDADE 2: PROPRIEDADE 2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

184

9

20232

zyx

zyx

zyx

36228

9

20232

zyx

zyx

zyx

2)184( zyx

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares

Exemplo:


x=3, y=2 x=3, y=2 e z=4. z=4.

PROPRIEDADE 3: PROPRIEDADE 3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação, ou seja, MULTIPLICAR UMA MULTIPLICAR UMA EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.

9

2)20232(

zyx

zyx

184

49575

20232

zyx

zyx

zyx

184

9

20232

zyx

zyx

zyx

Sistema 1 Sistema 3

14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema LinearPodemos transformar um sistema escrito em sua forma normal para um outro equivalente, na forma escalonada, esse processo é chamado de ESCALONAMENTO DE UM ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEARSISTEMA LINEAR.

1º passo: Escolhemos, para 1a equação, uma em que o coeficiente da 1a incógnita seja não nulo. Se possível fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.

2° passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais equações, usando as propriedades 1 e 2.

3º passo: Desprezamos a 1a equação e aplicamos os dois primeiros passos com as equações restantes.

4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema ficar escalonado.

14. Escalonamento de um Sistema Linear14. Escalonamento de um Sistema Linear

Ex1) Resolva o sistema:

Resolução:

Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:

142

62

92

zyx

zyx

zyx

142

62

92

zyx

zyx

zyx

Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:

142

62

92

zyx

zyx

zyx 2

92zyx

1233 zy2

1956 zy



Agora é só repetir o processo, só que usando a 2ª equação:

142

62

92

zyx

zyx

zyx

1956

1233

92

zy

zy

zyx

2

1233

92

zy

zyx

5 z

Finalmente, é só usar o processo da resolução retroativa e encontrar a solução do sistema:

5z 12533 y15123 y

33 y 1y

9521 x1019 x

0x 5,1,0S



Resolução:

Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:

422

0233

13

tzyx

tzyx

tzyx

Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:

3

13 tzyx

310 tz2

247 tzy

422

0233

13

tzyx

tzyx

tzyx

422

0233

13

tzyx

tzyx

tzyx



Agora vamos trocar as posições das equações 2 e 3:

310

247

13

tz

tzy

tzyx

O sistema já está na forma escalonada. Perceba que ele apresenta uma variável livre (o t não aparece no começo de nenhuma equação) e portanto, ele é SPISPI:t 310 z

10

3

z

422

0233

13

tzyx

tzyx

tzyx



Já sabemos os valores de t e z:

310

247

13

tz

tzy

tzyx

t10

3

z

2410

37

y

422

0233

13

tzyx

tzyx

tzyx

10

20

10

4021710

y

y102040217

y

10

4133

110

33

10

4133

x

10

10

10

1093413310

x

109341331010 x

422610 x 2

5

2113

x



Resolução:

455

023

4

zyx

zyx

zyx

455

023

4

zyx

zyx

zyx

A última equação indica que o sistema é SPISPI, e pode ser abandonada.

1225

92

zy

zyx

3

4zyx

1225 zy

5

24410 zy

2

4zyx

1225 zy

000 zy



Atribuímos valores para a variável livre z:

4zyx

z

1225 y

455

023

4

zyx

zyx

zyx

5

122

y

45

122

x

5

20

5

51225

x

5122205 x

5

38 x

1225 zy

,

5

122,

5

38S



Resolução:

71210

153

84

yx

yx

yx

71210

153

84

yx

yx

yx

A última equação indica que o sistema é SISI.

690

3913

84

y

y

yx

3

84yx

3913 y

10

8752 y

4

S



Resolução:

122

62

92

zyx

zyx

zyx

122

62

92

zyx

zyx

zyx

E agora, como fazemos se queremos usar 3 para eliminar -4?Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos a soma das duas em separado.a soma das duas em separado.

2

92zyx1233 zy

2

1954 zy

481212 zy

571512 zy

93 z

4

3

1233

92

zy

zyx

93 zO resto é com você!O resto é com você!

15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema LinearConsidere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.

Observe que, além das incógnitas x e y, o sistema apresenta uma variável m. Tal variável é chamada de "parâmetro do "parâmetro do sistema"sistema".Discutir esse sistema em função do parâmetro m significa classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real assumido por assumido por mm. Para tanto, utilizaremos o que aprendemos com o Teorema de Cramer:

Para dirimir essa última dúvida, usaremos o que aprendemos com escalonamento de sistemas.

14

223

ymx

yx

SPDDse 0

SI

ou

SPI

Dse 0

15. Discussão de um Sistema Linear15. Discussão de um Sistema Linear

Ex1) Discutir o sistema:

Resolução:

Sabemos que, se: 04

23

mD

44

223

ymx

yx

Resolvendo: 0212 m

m2126m

O sistema é SPD.

Sabemos que, se: 04

23

mD O sistema é SPI ou SI.

Resolvendo: 0212 m

6mComo fazer para Como fazer para saber se é SPI ou SI?saber se é SPI ou SI?



Agora que sabemos que se m = 6m = 6 o sistema é SPI ou SI, substituiremos esse valor no sistema e em seguida faremos o seu escalonamento.

14

223

ymx

yx

146

223

yx

yx 2

223 yx

30 ySI

Resumindo temos:

SPDm 6

SIm 6



Resolução:

I. Sabemos que, se: 02

3

a

aaD

42

03

ayx

ayax

Resolvendo: 062 aa

60 aoua

O sistema é SPD.

II. Sabemos que, se: 02

3

a

aaD O sistema é SPI ou SI.

Resolvendo: 062 aa

60 aoua

06 aa



Vamos substituir a = 0a = 0:

42

03

ayx

ayax

402

000

yx

yx Observando a 1ª equação concluímos que o sistema é SPISPI.

Vamos substituir a = 6a = 6 e escalonar o sistema:

462

0186

yx

yx

Observando a 2ª equação concluímos que o sistema é SISI.

23

03

yx

yx 1

03yx

20 y



42

03

ayx

ayax

Resumindo temos:

SPDaoua 06

SPIa 0

SIa 6



Resolução:


11

aD

bayx

yx

2

2

Resolvendo: 02a2a

O sistema é SPD.


11

aD O sistema é SPI ou SI.

Resolvendo: 02a2a



Vamos substituir a = -2a = -2, e em seguida escalonar o sistema:

bayx

yx

2

2

byx

yx

22

2

Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja:

2

2yx

40 by

04b 4b SPI

04b 4b SIResumindo temos:

SIbea

SPIbea

SPDa

42

42

2



Resolução:


12

11

111

m

mD

12

2

0

zymx

mzyx

zyx

Resolvendo: 02 mm

10 moum

O sistema é SPD.


12

11

111

m

mD O sistema é SPI ou SI.

01 mm



12

2

0

zymx

mzyx

zyx

Resolvendo: 02 mm10 moum

Vamos substituir m = 0m = 0, e em seguida escalonar o sistema:

120

20

0

zyx

zyx

zyx 1

0zyx

22 zy

12 zy1

22

0

zy

zyx

10 zSI



12

2

0

zymx

mzyx

zyx

Resolvendo: 02 mm10 moum

Vamos substituir m = 1m = 1, e em seguida escalonar o sistema:

12

2

0

zyx

zyx

zyx 1

0zyx

202 zy

10 zy2

202

0

zy

zyx

00 zSPI



12

2

0

zymx

mzyx

zyx

Resumindo temos:

SPDmoum 10

SPIm 1

SIm 0



Resolução:


212

212

21

a

a

D

Resolvendo: 084 a

2a

O sistema é SPD.


212

212

21

a

a

D O sistema é SPI ou SI.

a48

322

122

2

zyx

zyax

bzyax



322

122

2

zyx

zyax

bzyax

Resolvendo: 084 a2a

Vamos substituir a = 2a = 2, e em seguida escalonar o sistema:

322

124

22

zyx

zyx

bzyx 2

bzyx 22

bzy 2123 bzy 300

1

Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja:

03 b 3b SPI 03 b 3b SI



322

122

2

zyx

zyax

bzyax

Resumindo temos:

SIbea

SPIbea

SPDa

32

32

2


Alguns sistemas lineares apresentam número de equações número de equações diferente do número de incógnitasdiferente do número de incógnitas, nestes casos, não não poderemos usar o determinantepoderemos usar o determinante dos coeficientes do sistema, pois a matriz dos coeficientes não será quadrada e, portanto, não existirá o determinante. Então, vamos discutir o seguinte sistema em função do parâmetro real m, por meio apenas do escalonamentopor meio apenas do escalonamento.


142

12

mzyx

zyx

Resolução:

142

12

mzyx

zyx 2

12 zyx

12 zm

02 m 2m SI

Vamos analisar a última equação:

02 m 2m SPI



142

12

mzyx

zyx

É importante lembrar que esse sistema nunca será SPD, pois o número de equações não é igual ao número de incógnitas, logo ele não é um sistema normal.

Resumindo temos:

SPIm

SIm

2

2

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - DiscussãoComo um sistema linear homogêneo é formada por equações cujos termos independentes são todos nulos. Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, podemos escrever:Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada solução trivialsolução trivial..

Observe que para um sistema linear homogêneo de n equações com n incógnitas, teremos sempre:

Portanto, para discussão de um sistema linear homogêneo de n equações e n incógnitas é suficiente apenas o cálculo do é suficiente apenas o cálculo do determinante Ddeterminante D dos coeficientes das incógnitas, isto é:

0 zyx DDD

.,062

04,

023

04

032

etcyx

yx

zyx

zyx

zyx

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão

Observações Importantes:1.Sistema Homogêneo NUNCA SERÁ IMPOSSÍVELNUNCA SERÁ IMPOSSÍVEL;2.Se o número de equações for diferente do número de número de equações for diferente do número de incógnitas, o sistema será SPIincógnitas, o sistema será SPI.

PRÓPRIASoutrivialdaalémsoluçõesoutrasSPIDse 0

IMPRÓPRIAoutrivialsoluçãoapenasSPDDse 0



Resolução:

Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, podemos calcular D:

23

312

541

a

D

023

032

054

zayx

zyx

zyz

Como o sistema é homogêneo, só há duas possibilidades:

SPDDse 0 0133 a13

3a

1712

139

a

1213153 a

15613153 a

a133

Resolvendo:



023

032

054

zayx

zyx

zyz

SPIDse 0 0133 a13

3aResolvendo:

Resumindo temos:

0,0,013

3 TrivialSoluçãoSPDa

TrivialdaalémSoluçõesOutrasSPIa 13

3


Ex2) Classificar e resolver o sistema:

Resolução:

Podemos também classificar e resolver por meio do escalonamento, é o que veremos a seguir:

0732

04

03

zyx

zyx

zyx

0732

04

03

zyx

zyx

zyx 4

03zyx

0135 zy

2

0135 zy

1

0135

03

zy

zyx

SPI00 z


Ex2) Classificar e resolver o sistema:

Agora vamos resolvê-lo:

0732

04

03

zyx

zyx

zyx

0135

03

zy

zyx

z 0135 y

y513

5

13y

035

13

x

5

133

x

5

1315 x

5

2x

,5

13,

5

2S

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão16. Sistema Linear Homogêneo - DiscussãoEx3) Determine a, de modo que o sistema admita soluções próprias:

Resolução:

Soluções próprias, são as demais soluções, além da solução além da solução trivialtrivial, ou seja, o sistema deve ser SPIo sistema deve ser SPI:

02

02

0

azyx

zyx

azyx

PRÓPRIASoutrivialdaalémsoluçõesoutrasSPIDse 0

Então:

0

12

121

11

a

a

D 036 aa63

2

1a

11. sistemas escalonados o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo...

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