equaÇÃo linear sistema linear geometria da … · 2014-09-03 · 3 m .: 5 8 1 a solução de uma...

ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR Prof. Vianei Peixoto 1

EQUAÇÃO LINEAR

SISTEMA LINEAR

GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES

RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS



*

1 2 3 n

1 2 3 n

Seja , , ,....., , (números reais) e n (n 1)

x , x , x ,.....,

x (números reais)

Chama-se e

quaç

EQUAÇÃO LINEAR

Equa

ão Linear sobre

çã

na

o L

s i

inear

ncóg

1 2 3 n

1 2 3 n

1 2 3 n

1 1 2 2 3 3 n n

nitas x , x , x ,....., x ,

a equação da forma

onde , , ,....., são os coeficientes da equação

x , x , x ,....., x termos desconhecidos(incógnitas) da e

x x x ..... +

quação

x

1 2

1 2 3

são também chamados variáveis.

Exemplos:

a) 3x = 5

b) 3x 5x = 8

c) 2x - x + x = 1

A solução de uma equação linear com n incógnitas é a sequência de n

números reais que torna a iguald

S

a

olução de uma Equação Line

de que define a equação

ar em com n

uma sen-

tença

incógn

verd

itas

adei

ra.

Nos exemplos anteriores temos:

5a) S =

3

b) a dupla ou par ordenado (1,1) é uma solução

c) a terna ordenada (1,1,0) é uma solução

As equações b) e c) na verdade têm infinitas duplas ou ternas

ordenadas, respectivamente como solução.

1. Escreva 3 equações lineares com 2, 3 e 4 incógnitas respectivamente.

2. A equação 2x + 3y - t + z = 4 tem infinitas quádruplas como solução.

Determine pe

Exer

lo m

cício Propost

enos uma dela

o 1.1

s.

3. As quádruplas (1, -2, 3, 4), (1, -2, 3, 11) satisfazem a equação



2x + 3y - t + z = 4 ? Justifique a sua resposta.

*

Seja m, n

Sistema Linear de m equaçõe e n incógnitas é um conjunto

de m equações, com cada uma dessas eq

SISTEMA LIN

uações cont

Sis

end

tema Linea

o

n incógn

EAR

r

itas

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 m n m

x x x ..... + x

x x x ..... + x

.......................................................

x x x ..

e consi

...

deradas simultaneamente.

S:

x

+

Ob

1 2 3 m

: 1) se m=n o sistema é chamado

sistema linear de ordem n.

2) se = = ......... = 0 o sistema é

chmado sistema Linear

servação

Homogêneo.

Exemplos:

4x - 2y = 8a) onde m= 2 e n = 2

2x + 5y = 16

2x + 3y + z= 3b) onde m= 2 e n = 3

2x - 5y - 3z= 10

2x + 3y + z= 3

c) 4x - 9y - 10z = - 1 onde m= 3 e n=

2x - 5y - 3z = 10

3

Seja o sistema line

Solução de um Siste

ar S de m equações

ma Linear

e n incóg

m

ni

x n

tas.



11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2 m3 3 m n m

x x x ..... + x

x x x ..... + x

..............................S

.........................:

A solução do sistema S,

x x x ..... +

acima

x

, é

1 2 3 n

1 2 3 n 1 2 3 n

a n-upla ordenada

de números (b , b , b ,........,b ) tal que substituindo-se

x , x , x ,........, x por b , b , b ,........,b nessa mesma ordem,

em cada equação do sistema, a igualdade se verifica ver

dadeira

para cada uma equação do sistema.

Exemplos:

4x - 2y = 8a) onde m= 2 e n = 2

2x + 5y = 16

A solução é S= 3,2 , pois,

4. - 2. = 8 (V)

2. + 5. = 16 (V)

x - y + z = 1

b

3 2

3 2

) 2x +

y + 2z = 0 onde m= 3 e n=3

3x - y + z = 1

2 1 A solução é S= 0,- , , pois,

3 3



2 1 0 -

3 3

2 10 -

3 3

- + = 1 (V)

2. + + 2. = 0 (V)

3. - + 2 1

= 1 (V)0 -3 3

Consistente e

Classificação

determinado

Com relação a solução, um sistema linear pode ser:

1) ou ou possível e determinado compatível e

determin

do Sis

tema Qu

quando

anto

tem ad sò

a

men

Soluçã

te

o

o uma solução.

2) ou ou

quando tem mais de um

Consiste

a soluçã

nte e indeterminado possível e indeterminado compatível e

indeterminado

Inconsistente impossível incomp

o.

3) ou ou quando não tem soatível lução.

1

1 1

Sejam S e S sistemas de equações lineares m x n.

O sistema S é equivalente ao sitema S e escrevemos S S , se e só

se têm a mesma solução.

6x + 5y = 27Exempl

Sistemas Equivalentes

o: S 5x - 4y = -2

1

1

1

52x + y = 9

S 3

5x - 4y = -2

Os sistemas S e S são equivalentes, pois,o par or-

denado (2,3) é solução do sistema S e do sistema S .

Faremos então a comprovação:

6. + 5. = 27S

5. -

2 3

2 4.3

1

1

52. + . = 9

S 3= -2

5. - 4. = -2

12 + 15 = 27 4 + 5 = 9S S

10 - 12 = -2 10 - 12

3

= -2

2 3

2



1) O que é um sistema linear ?

2) O que é uma solução de um sistema linear ?

3) Com relação a solução como podem ser classificados

os sistema lineares ?

4) O

Exer

que

cício Propost

são sistemas

o 1.2

equivalentes ?

5) Resolva os sistemas lineares:

x - y - 2z= 1 3x + 2y = 6 11x + 2y = 6/3

-x + y + z = 2-2x - 3y = 7 -2x - 3y = 7/4

2x -2y + z =-2



GEOMETRIA DAS EQUAÇÕES LINEARES

São entes matemáticos definidos por segmento de reta orientado.

Notação: AB - vetor AB de origem em A e

extremo em B

Vetores Geométricos

.

2Correspondência entre Vetores Geométricos e Pontos do Plano ( )



2 1 2 1

1 1 2 2

2 2 1 1 2 1 2 1

2

Ao vetor AB podemos associar o ponto do plano P de coordenadas (x -x , y -y ).

Sejam A(x , y ) e B(x , y )

AB = B - A = (x , y ) - (x , y ) = (x -x , y -y )

Ao ponto P = (x -x1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

, y -y ) podemos associar o vetor OP de origem O (0, 0).

P = (x -x , y -y ) = P - O = (x -x , y -y ) - (0, 0) = OP.

Exercício: O vetor AB tem origem no ponto A=(3, 5) e estrimidade no ponto B=(5, 8).

a) Ache o vetor OP que tem origem no O(0, 0), associado ao vetor AB.

b) Faça a representação gráfica.

a -aSeja o vetor v= . O vetor oposto de v é o vetor designado por -v = .

b -b

3Na figura temos a representação gráfica

Ve

do vetor v = e do seu oposto 2

tor O

-3-v= .

-2

Observ

to

a

pos

ação: A notação usual do vetor é na forma de coluna v= . Entretanto,

b

muitas vezes por comodidade de espaço escrevemos no formato ho-

rizontal v = (a, b). Us

amos sempre minúsculas.



a cSejam os vetores u = e v =

b d

a + cSoma dos vetores u e v é vetor u + v =

b + d

3 -2 3 + (-2)Exemplo: seja u = e v = u + v =

-2

Soma de Vetor

5 -2

es

1

5 3

a cSejam os vetores u = e v =

b d

Diferença dos vetores u e v é vetor

A diferença de dois vetores u e

D

v

é

u -

a s

v = u +

oma do primeiro vetor com o oposto do

iferenç

se

a de Vet

g

(-v)

re

u

o s

a -c a-cu - v = u + (-v) = + =

b -d b-

ndo

d

.

3 -2 3 2 5Exemplo: seja u = e v = u - v = =

-2 4 -2-4 -6



a a .aSeja o vetor v = e um número real. Então .v = . =

b b

"Para multiplicar um

Produto de um Vetor po

número por um vetor multiplica-se

cada componte

.

n

b

t

r um Númer

e do v

o

-2 -2 -4Exemplo: z = ,

etor

w =2. = , w = 2.z-1 -1 -2

pelo número"



1 2 3 n

1 2 3 n

1 1 2 2 n n 1 2 n

Sejam v , v , v , ......., v n vetores.

Chama-se combinação linear dos n vetores v , v , v , ......., v a toda expres-

são do tipo v + v + ....... v onde

Com

, ,.......,

binação L e

in ar

são números re-

ais e também chamados escalares.

Exemplo: a expressão é uma combinação linear dos vetores

(

Cons

3.(1

equê

, 2) + 2

ncia da

1, 2) e

definição

(3, 2).

.(3, 2

O

:

)

resultado da expressão 3. + 2. é o vetor , pois, temos

3. + 2. = (4, 6) +

Assim, dizemos que o vetor

(1, 2

(9, 1

(3, 15

0) é u

)= .

ma co

) (3, 2) (9, 10)

(1, 2

mbinação linear dos

) (3, 2) (9, 1

vetores

0)

(1, 2) e (3, 2).



Representação Gráfica da Combinação Linear

x + 2y = 8 x=2

-2x + y = -1 y =3

1 2 2 6 8 2. + 3. = + =

-2 1

Imagem Geométrica do Sistema Linear 2

-4 3 -1

1 2 8 2. + 3. = . Sendo

-2 1

2:

1

x

-

esta igualdade verdadeira,

8 1 2 é combinaçao linear das colunas e

-1 -2 1



Imagem Geométrica das Linhas do Sistema

Imagem Geométrica das Colunas do Sistema



1) O que são vetores geométricos ?

2) Represente no plano alguns vetores geométricos.

3) Dado o vetor AB de origem O(3, 4) e extremo B(-2, 5).

Exercício

Qual é o

Propost

po

o 1.

nto do plan

3

o associado ao vetor AB ?

2 -3 4) Dado os vetores v= e u= .

3 1

a) Qual o oposto de u? b) Qual o oposto de v ?

1 3 2 5) Seja os vetores u = , v = e z = .

2 2 -1

a) D

etermine os vetores u+v, v+z e u+z.

b) Faça a representação de cada soma.

1 3 6) Dados os vetores u = , v = .

3 2

a) Determine u - v e v - u.

b) Faça a representação de cada dife

rença.

c) Determine os produtos: -2u e 3v.

d) Faça a representação gráfica de cada produto.

1 2 7) a) Sendo u = , v = , determine o vetor dado pela expressão -2u + 3v

3 5

e

represente graficamente.

b) Seja z o vetor encontrado no ítem anterior. O vetor z é uma combinação

linear dos vetores u e v ?

c) Determine outro vetor que seja combinação linear de

1

u e v.

8) Verifique se o vetor (-3, 2) é combinação linear:

a) dos vetores v=(1,3) e u = (3,2)

b) dos vetores j= -1,2 e t=(-2,4)

a x + b 9) Escreva na forma de equação matricial o sistema:

1 1

2 2 2

y = c

a x + b y = c

10) a) Escreva a matriz associada ao sistema anterior.

b) Escreva a matriz aumentada do sistema anterior.



RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES

Existem vários métodos de resolução de um sistema linear, entre os quais,

o método de Cramer e o método de eliminação de Gauss-Jordan. O primeiro

tem suas limitações e o segundo é mais geral. Veremos a seguir os conceitos

que fundamentam o método de eliminação Gauss-Jordan.

m x n

Sejam m e n números naturais não-nulos.

Chama-se matriz m por n sobre a uma tabela M formada de números reais

distribuidos

Matriz m por n

em m linha e

s

n

obr

col

e (

unas.

M

x

( ))

E

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m2 m3 m n m x

a a a ........a 4 3 5

a a a ........a 1 3 5emplos: , -1 0 -3 , Matriz Genérica

-2 4 -3 ......................... 2 4 -6

a a a .....a

n

a) (Troca) Trocar duas linhas entre si.

b) (Mudança

Operações Elementares sobre

de escala) Multiplicar uma linha por um número di

as

fe

Linhas de u

rente de zer

ma Ma

o.

c) (Subs

triz

tituição) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha

multiplicada por um número diferente de zero.

a) (Troca) Troc

1 2

1 -1 -1 -

ar duas linhas en

1

tre si.

Troca da 1ª e 3ª linhas

A = 3 2 -1 2 A = 3 2 -1 2

b

2 -1 1

) (Mudan

1 -1 -1

2 -1

-1

1

1

1

-

-

2 3

ça de escala) Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.

Multiplicação da 2ª linha por 1/3

1 -1 -1 -1 1 -1 -1

A = A =

2 -1 1 -1

3 2 -1 2

-1

2 -1

1 2/3 -1

1 -

/3 2/3

1



c) (Substituição) Substituir uma linha pela soma dela com outra linha

multiplicada por um número diferente de zero.

Substituição da 3ª lin

3

ha pela 1ª linha multiplicada por (-2), somada com a

a 3ª linha

-2 x 1 + 2 = , -2 x (-1) + (-1) = , -2 x (-1) + 1 = , -2 x 0 (-1) + (-1) = ,

1 -1 -1 -1

A =

1 3 1

4

1 -1 -1 -1

1 2/3 -1/3 2/3 A = 1 2/3 -1/3 2/3

02 -1 1 1 - 3 11

Seja M uma matriz retangular

A matriz M está na se são satisfeitas as seguintes condições:

i) Todas as linh

Forma Escal

as não-nula

onada de

da matri

forma escalo

z estão acim

nad

a d

Uma Matri

e qua

z

a

lquer linha nula.

ii) O primeiro elemento da 1ª linha é não-nulo e todos elementos abaixo dele

são nulos.

iii) O número de "primeiros elementos nulo", a partir da 2ª linha é maior que o

número de "primeiros elementos nulo" da linha anterior.

A matriz M está na se está na forma escalonada e ainda

são satisfeitas as seguintes condições:

i) Em cada linha o 1º elemento não-nulo é igua

forma es

l a 1.

calonada red

ii) Em cada

uzida

coluna os elementos acima do elemento igual a 1 é nulo.

* # # # # # * # # # # #

0 * # # # # 0 * # # # #

Matrizes Escalonadas 0 0 * # # # 0 0 * # #

0 0 0 * # #

0 0 0 0 * #

* # # # # #

0 * # # # #

# 0 0 0 0 * #

0 0 0 * # # 0 0 0 0 0 *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2

Matrizes Associadas

x x x ..... + x

x x x .

a um Sist

Seja o Sis.... + x

.......................................................

x

ema

tema Linear

Line

:

r

S

x

a

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m2 m

m

3 m n

11 12

3 3 m n m

a a a ........a

a a a ........a É chamada Matriz do Sistema ou Matriz dos Coeficientes

.........................

a a a

x ...

.....a

a a

.. + x

13 1n 1

21 22 23 2n 2

m1 m2 m3 m n 1

1

2

1

a ........a

a a a ........a É chamada Matriz Aumentada do Sistema ou Matriz Completa do Sistema

.........................

a a a .....a

.

.

É chamada Matriz dos Termos Independen

"

,

tes

Se as matrizes aumentadas de dois sistemas lineares forem equivalentes

por linha os dois sistemas são equivalentes e então têm a mesma sol

.

"ução

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 23 3 2n n 2

m1 1 m2 2

x x x ..... +

Notação M

x

x x x ..Seja o Sistema Linear

... + x

.....................................................

atricial de um Sistema Line

. S:

.

x x

ar

1 1

11 12 13 1n

2 2

21 22 23 2n

m1 m2 m3 m

m3 3 m n m

n

n m

xa a a ........a

xa a a ........a

. . = ..........................

. .a a a .....a

x ..... +

x

x

ou A.X = b onde



11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m2 m3 m n

1

2

n

a a a ........a

a a a ........a A = Matriz do Sistema ou Matriz dos Coeficientes

.........................

a a a .....a

x

x

X = . Matriz

.

x

1

2

m

das Variáveis e b = . Matriz dos Termos Independentes

.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

Exercício:

Usando o método de Gauss-Jordan, resolva o sistema linear:

x - 2x + 3x - 5x + 2x = -1

-x - 3x + x + 2x + 4x = 3

2x x + 4x + 5x + 3x = 1

5x + 5x + 3x - 16x - 8x

= -11



1) Resolva os sistema 3x3 usando a Regra de Cramer e o método

de

Exercício Propost

Gauss(Escaloname

o 1.4

nto)



2) Resolva os sistema 4x4 usando o método de Gauss(Escalonamento)

equaÇÃo linear sistema linear geometria da … · 2014-09-03 · 3 m .: 5 8 1 a solução de uma...

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