universidade federal do rio de janeiro circuitos elétricos ... · esta é uma equação...
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Circuitos Elétricos I – EEL 420
Módulo 6
Heaviside Dirac Newton
Conteúdo
6 – Circuitos de primeira ordem...........................................................................................................1
6.1 – Equação diferencial ordinária de primeira ordem...................................................................1
6.1.1 – Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes....................................................1
6.1.2 – Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante........................................1
6.1.3 – Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante..................................2
6.2 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero..............................3
6.2.1 – O circuito RC (resistor-capacitor)...................................................................................3
6.2.2 – O circuito RL (resistor-indutor)......................................................................................5
6.3 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero.................................6
6.4 – Linearidade da resposta ao estado zero.................................................................................10
6.5 – Invariância com o tempo.......................................................................................................11
6.6 – Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa.......................................11
6.7 – Resposta ao Impulso.............................................................................................................14
6.8 – Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples......................................................16
6.9 – Circuitos variáveis com o tempo e não lineares....................................................................19
6.10 – Exercícios............................................................................................................................23
6.11 – Soluções..............................................................................................................................28
6 Circuitos de primeira ordem
6.1 Equação diferencial ordinária de primeira ordem
6.1.1 Caso linear, homogênea, com coeficientes constantes
{dvdt
v=0
v 0=v0
∫dvv=∫
−1⋅dt
ln v=−tD
v=v0⋅e−t
Está é a chamada resposta natural da equação diferencial.
6.1.2 Caso, linear, com coeficientes constantes e entrada constante
{dvdt
v=k
v 0=v0
dvdt=
k⋅−v
∫dv
v−k⋅=−1⋅∫ dtD
ln v−k⋅=−tD
v=v ∞−[v ∞−v 0]⋅e−t
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Para este caso particular a resposta completa (v) é formada pela resposta natural
somada a uma resposta forçada que tem o mesmo formato da entrada.
6.1.3 Caso linear, com coeficientes constantes e entrada não constante
{dv t
dt
v t = y t
v 0=v0
Multiplicando ambos os lados da equação por et
dvdt
v ⋅e
t= y⋅e
t
como
dvdt
v ⋅e
t=
d v⋅et
dt
então
d v⋅et
dt= y⋅e
t
v⋅et=∫ y⋅e
t⋅dtD
v=e−t⋅∫ y⋅e
t⋅dtD⋅e
−t
Para o caso geral a resposta completa da equação diferencial é a soma da resposta
natural com uma resposta forçada que apresenta componentes com o mesmo formato da
entrada.
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6.2 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero
6.2.1 O circuito RC (resistor-capacitor)
O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão
constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha.
Para t>0 ,
iC t iRt =0
C⋅dvC
dt+
vR
R=0 e vC 0=v0
Como
vC=v R=v
{C⋅dvdt
vR=0
v 0=v0
{dvdt=−
1R⋅C
⋅v
v (0)=v0
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com
coeficientes constantes cuja solução geral é
v t =k⋅e−t⋅u t
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τ=R⋅C e k=v 0=v0
iC t =C⋅dvdt=−v0
R⋅e
−1R⋅C
⋅t
⋅u t
Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta
solução que depende das características do circuito ( só depende da topologia) e das
condições iniciais do circuito (k depende das condições iniciais).
A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na
figura abaixo. Nesta figura v0=1 e R⋅C=1 . Observa-se para t = R⋅C , 2⋅R⋅C , 3⋅R⋅C ... a
exponencial se reduz a e−1 , e−2 , e−3 … e por esta razão a contante RC é chamada de
constante de tempo do circuito (). A reta que tangencia a exponencial em t=0 intercepta o
eixo x no tempo R⋅C . Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1⋅ ,
14% em 2⋅ , 5% em 3⋅ , 2% em 4⋅τ e 0,7% em 5⋅ .
A constante de tempo tem unidade de segundos e corresponde ao inverso da frequência
natural do circuito ( ω ). Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor
equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC.
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6.2.2 O circuito RL (resistor-indutor)
O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente
constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha.
Para t>0
v Lv R=0
L⋅di L
dtR⋅i L=0 e iL 0=I 0
{didt=−
RL⋅i
iL (0)=I 0
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros
constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é
iL t =I 0⋅e−R
L⋅t
⋅u t
Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia
do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como
=LR
que também apresenta unidade de tempo (segundos).
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6.3 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero
Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0
Para t>0
iCiR=iS
C⋅dvdt
vR=i S t e v 0=0
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com
excitação) e condição inicial nula (estado zero).
A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo
circuito:
para t=0+
dvdt=
iS
C (condição imposta pela topologia do circuito – toda a corrente passa pelo C)
para t=∞
v=R⋅iS t (condição imposta pela fonte – capacitor carregado)
A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma
de duas parcelas, uma com o formato da solução homogênea e outra chamada de solução
particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim vcompleta=vhv p . A solução
homogênea depende das condições iniciais do problema e da sua topologia e a solução
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particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta
forçada pois é imposta pela excitação.
Para o exemplo em questão
v t =K1⋅e−1R⋅C
⋅t
R⋅i St , para t≥0 .
sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema
v 0=K 1R⋅i S t =0
K 1=−R⋅i S t ,
logo
v t =R⋅iS t ⋅1 – e−1R⋅C
⋅t
Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse
uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante.
Exemplo: Se iS t =A1⋅cos ⋅t1 então v pt =A2⋅cos⋅t2
C⋅dvdt
vR=A1⋅cos ⋅t1
v t =K1⋅e−1R⋅C
⋅t
A2⋅cos ⋅t2, para t≥0
v 0=K1A2⋅cos 2=0
K 1=−A2⋅cos 2
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
C⋅dv p
dt
v p
R=A1⋅cos ⋅t1
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como v pt =A2⋅cos ⋅t2
então
−C⋅A2⋅⋅sen ⋅t2A2
R⋅cos⋅t2=A1⋅cos ⋅t1 onde
A2=A1
1R
2
⋅C 2
2=1−arctan⋅R⋅C
A figura abaixo foi produzida com R=1 , C=1F , A1=0 e 1=−900 . A resposta
completa é a soma da exponencial com o cosseno defasado. A influência da exponencial
desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso é chamada de resposta transitória ao
passo que a resposta sem exponencial decrescente é chamada de resposta em regime
permanente. Este transitório pode ser nulo se v 0=A2⋅cos 2 , isto ocorre porque neste
caso a corrente e a tensão já estão com a mesma defasagem e amplitude de regime permanente
então não é necessário nenhum período transitório para ajustar estes dois parâmetros.
O mesmo exemplo poderia ser resolvido da seguinte maneira:
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iS t =A1⋅cos ⋅t1=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t
v pt =A2⋅cos ⋅t2=A ' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t
C⋅dvdt
vR=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t
v t =K1⋅e−1R⋅C
⋅t
A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0
v 0=K1A' 2⋅cos 0=K1A' 2=0
K 1=−A' 2
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
C⋅dv p
dt
v p
R=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t
como v pt =A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
...[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t ]
R=A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2A' ' 2
R=A' ' 1
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2A ' 2
R=A ' 1
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6.4 Linearidade da resposta ao estado zero
É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma
função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de
onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para
representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as
seguintes condições.
Z t0 i 1i2=Z t0 i1Z t0 i 2
Z t0 k⋅i1=k⋅Z t0i1
Para uma determinada rede, v1 é a resposta a excitação com uma fonte i1t tal que
C⋅dv1
dt
v1
R=i 1t com v10=0
e v2 é a resposta para uma excitação i2t de tal forma que
C⋅dv2
dt
v2
R=i2 t com v20=0 .
A soma das duas equações resulta em
C⋅dv1
dtC⋅
dv2
dt
v1
R
v2
R=i1t i 2t
ou seja
C⋅d v1v2
dt
1R⋅v1v2=i1t i 2t com v10v20=0
o que satisfaz a primeira condição para linearidade.
Caso a fonte i1t seja multiplicada por um determinado valor k então
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C⋅d k⋅v1
dt
k⋅v1
R=k⋅i1t com k⋅v10=0
Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado
zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo.
6.5 Invariância com o tempo
Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i1 e cuja resposta ao estado
zero seja v1 tal que
dv1
dt
v1
=i1 .
Agora, supondo que a excitação mude para i1t−T1 , então a resposta ao problema é
v1t−T1 tal que
dv1t−T1
dt
v1t−T1
=i1t−T1
cuja solução é idêntica à da equação
dydt
y=x onde
y=v1t−T1 e x=i1t−T1 com v10−T1=0 .
Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1
segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos.
6.6 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa
Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a
resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a
resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação
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zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas
equações são
C⋅dv I
dt
v I
R=0 (equação para o circuito RC com excitação zero)
C⋅dvO
dt
vO
R=i S t (equação para o circuito RC com estado zero)
onde v I e vO são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente.
Somando as equações temos
C⋅dv I
dt
v I
RC⋅
dvO
dt
vO
R=i S t
que pode ser reescrita como
C⋅d vIvO
dtv IvO
R=i S t .
Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema
completo.
vC t =v I t vOt , para t≥0 .
vC t =vO⋅e−1R⋅C
⋅tR⋅i S⋅1– e
−1R⋅C
⋅t .
Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da
resposta em regime permanente.
vC t =v transitoria t v permanente t
vC t =vO – R⋅iS ⋅e−1R⋅C
⋅t
R⋅i S t , para t≥0 .
Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato
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sol t=sol ∞−[sol ∞−sol 0]⋅e−t
onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e é a constante de
tempo do circuito, seja ele RC ou RL.
Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave
S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=R1⋅C .
para t≤0
vC=0
para 0≤t≤R1⋅C
vC 0=0
vC ∞=R1⋅I
vC=R1⋅I⋅1 – e−t
R1⋅C
para t=R1⋅C=T1
vC T1=R1⋅I1⋅1−1e
vC ∞= I⋅ R1⋅R2R1R2
2=C⋅ R1⋅R2R1R2
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vC t =vC T1⋅e−t−T1
2 vC ∞⋅1– e−t – T1
2 =v excitação zerov estado zero
vC t =vC ∞−[vC ∞−vC T1]⋅e−t−T12 =v permanente v transitória
6.7 Resposta ao Impulso
A resposta ao estado zero de um circuito invariante excitado por um impulso unitário
em t=0 é chamada de resposta ao impulso e simbolizada por h. Por conveniência usaremos
h(t)=0 para t<0.
Neste exemplo a resposta ao impulso pode ser calculada facilmente considerando o
capacitor como um curto circuito para t=0 e, a partir dai, calculando a resposta a excitação
zero.
Assim, para t=0
v=1C⋅∫ t ⋅dt=
1C
Para t>0 este problema apresenta a mesma solução do problema de excitação zero.
v t =k⋅e−t⋅u t
onde =R⋅C e k=v0=1C
.
A resposta ao impulso de um circuito linear e invariante caracteriza este circuito. Mais
adiante na matéria ficará provado que é possível obter a resposta ao estado zero de qualquer
rede linear e invariante e para qualquer excitação se conhecermos a sua resposta ao impulso.
Isto é intuitivamente correto, pois qualquer sinal pode ser obtido por um conjunto de infinitos
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impulsos de amplitudes apropriadas e deslocados no tempo (propriedades de linearidade e
invariância com o tempo). Também é intuitivo pensar que a função impulso apresenta todas as
frequências com igual amplitude o que permite calcular a resposta da rede para todas as
frequências simultaneamente. Como todos os sinais podem ser obtidos por uma soma de
senoides de diferentes frequências com diferentes amplitudes e fases (Transformada de
Fourier) então, conhecendo a resposta ao impulso podemos determinar a resposta do sistema a
qualquer excitação.
A resposta ao impulso poderia ser obtida de outras formas. Em redes lineares é
possível derivar a resposta ao degrau. No problema acima a resposta ao degrau significa a
resposta do problema quando i(t)=u(t). Então
C⋅dvdt
vR=u t ,
v 0=0 e
v ∞=R⋅i=R⋅ut
v t =u t ⋅R1−e−1R⋅C
⋅t para t>0.
Como
h t =dv t
dt
então
h t =t ⋅R⋅1−e−1R⋅C
⋅t 1C⋅u t⋅e
−1R⋅C
⋅t
a primeira parcela é zero pois para t¹0, d(t)=0 e para t=0, 1−e−1R⋅C
⋅t
=0 .
h t =1C⋅u t ⋅e
−1
RC⋅t para todo t>0.
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Mostre que a mesma resposta poderia ser obtida calculando a resposta à função pulso
(soma de dois degraus) com 0 .
6.8 Resposta ao degrau e ao impulso para circuitos simples
Para os circuitos abaixo, considerar as correntes e tensões de fonte unitárias.
C⋅dvdt
vR=i
tem resposta ao degrau: vC t =R⋅1−e−1R⋅C
⋅t⋅u t
e resposta ao impulso: vC t =1C⋅e
−1R⋅C
⋅t
⋅u t
L⋅didtR⋅i=v t
tem resposta ao degrau: iLt =1R⋅1−e
−RL⋅t⋅u t
e resposta ao impulso: iLt =1L⋅e−
RL⋅t
⋅u t
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1R
ddt
L=i t
tem resposta ao degrau: v L t =R⋅e−
RL⋅t
⋅u t
e resposta ao impulso: v L t =R⋅t −R2
L⋅e−
RL⋅t
⋅ut
R⋅dqdt
qC=v t
tem resposta ao degrau: iC t =1R⋅e
−1R⋅C
⋅t
⋅u t
e resposta ao impulso: iC t =1R⋅ t −
1
R2⋅C⋅e
−1R⋅C
⋅t
⋅u t
L⋅di t
dtR⋅i t =v t
tem resposta ao degrau: v t =L⋅ t R⋅u t
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e resposta ao impulso: v t =L⋅ ' t R⋅t
C⋅dv t
dt
v t R=i t
tem resposta ao degrau: i t =C⋅t 1R⋅u t
e resposta ao impulso: i t =C⋅ ' t 1R⋅t
R⋅i t 1C⋅∫
0
t
i t ' ⋅dt '=v t
tem resposta ao degrau: v t =R⋅u t 1C⋅r t
e resposta ao impulso: v t =R⋅t 1C⋅ut
1R⋅v t
1L⋅∫
0
t
v t ' ⋅dt '=i t
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tem resposta ao degrau: i t =1R⋅u t
1L⋅r t
e resposta ao impulso: i t =1R⋅t
1L⋅u t
6.9 Circuitos variáveis com o tempo e não lineares
Nesta secção são apresentados exemplos de problemas não lineares e ou variantes com
o tempo. Estes problemas têm, em geral, solução difícil e não existe um método de análise,
exceto integração numérica das equações diferenciais. As técnicas utilizadas para solução de
problemas lineares e invariantes não podem ser aplicadas a classe de problemas que serão
estudados nesta seção, sendo assim não se aplicam os seguintes conceitos:
1) A resposta a excitação zero é uma função linear do estado inicial;
2) A resposta ao estado zero é uma função linear da excitação;
3) A translação temporal da excitação implica na translação da resposta ao estado zero;
4) A resposta ao impulso é a derivada da resposta ao degrau;
5) A resposta completa é a soma da resposta à excitação zero com a resposta ao estado
zero.
Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=1V
e C=1F determinar a resposta a excitação zero para os seguintes casos:
a) Resistor linear e invariante de 1W;
v t =u t ⋅e−t
b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5⋅cos t ] ;
dvdt[10,5⋅cos t ]⋅v=0 , para t ³ 0
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v 0=1
dvv=−[10,5⋅cos t ]⋅dt
∫0
tdvv=∫
0
t
−[10,5⋅cos t ]⋅dt
ln [v t ]=−[ t0,5⋅sen t ]
v t =u t⋅e−t−0,5⋅sen t
c) Um resistor não linear invariante tendo a característica iR=vR2;
dvdtv2
=0 , para t ³ 0
v 0=1
∫v 0
v t d v
v2=∫
0
t
−dt '
− 1v t
−1=−t
v t =u t ⋅1
t1
Exemplo: Para um circuito RC paralelo, sem excitação, com condição inicial v(0)=0V
e C=1F determinar a resposta ao degrau unitário de corrente.
a) Resistor linear e invariante de 1W;
v t =u t ⋅1−e−t
b) Resistor linear variante com o tempo R=1 /[10,5⋅cos t ] ;
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dvdt[10,5⋅cos t]⋅v=u t , para t ³ 0
v 0=0
Não é possível integrar a resposta ao impulso, calculada no exemplo anterior, para
obter a resposta ao degrau, pois o resistor é variável com o tempo. A resposta a este problema
conterá uma parcela constante (forçada pela fonte) e outra variável (forçada pelo resistor).
Como o resistor é variável com o tempo também não é possível realizar operações de
deslocamento temporal, ou seja, se o estímulo for deslocado no tempo a resposta não será a
anterior deslocada no tempo.
v t =v 0⋅e−t0,5⋅sen te−t0,5⋅sen t
⋅∫0
t
et−0,5⋅sen t ⋅dt
c) Um resistor não linear invariante tendo a característica iR=vR2;
dvdtv2
=u t , para t ³ 0
v 0=0
∫v 0
v t d v
1−v2=∫
0
t
dt '
v t =u t ⋅tanh t
observe que se a entrada fosse k×u(t) a resposta não seria multiplicada por k e sim
v t =k⋅u t⋅tanh k⋅t
Exemplo: Para o próximo circuito determine as formas de onda sobre o capacitor. A
fonte de tensão é pulsada com período 2T, amplitude V0 e ciclo de trabalho de 50%.
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Solução:
Aproximar o diodo por dois circuitos formados por um resistor em série com um diodo
ideal. Cada circuito representa a resistência linearizada do diodo para as situações de
polarização direta e reversa.
Analisar as constantes de tempo: Se as constantes de tempo forem muito menores do
que as formas de onda de tensão no capacitor terão um comportamento exponencial e
estabilizarão no valor máximo (V0) ou 0. Já a tensão sobre o diodo serão exponenciais com
amplitude de V0 decaindo para zero.
Se as constantes de tempo de carga e descarga do capacitor forem da mesma ordem de
grandeza de então as formas de onda não chegarão aos seus valores limites. Neste caso é de
se esperar que a tensão sobre o capacitor passe por um período transitório e estabilize entre
dois valores de tensão V1 e V2.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 22
Considerando que t=0 no início do primeiro ciclo de carga do capacitor em regime
permanente, então a carga do capacitor pode ser escrita como
v1t =V 1V 0−V 1⋅1−e−
t1
e a descarga como
v2t =V 2⋅e−t−T 2 .
Ao final de um período de carga v1T =V 2 , logo
v1T =V 2=V 1V 0−V 1⋅1−e−
T1 .
O final de um período de descarga v22⋅T =V 1 , logo
v22⋅T =V 1=V 2⋅e−
T2 .
Isolando V1 e V2 no sistema de equações que determina v1T e v22⋅T temos
V 2=V 0⋅1−e
−T1
1−e−T 1⋅e
−T 2
V 1=V 0⋅1−e
−T 1 ⋅e
−T 2
1−e−T 1⋅e
−T 2
6.10 Exercícios
Para todos os exercícios deste módulo faça o gráfico da resposta e compare com a
simulação do circuito. Para os problemas literais atribua valores aos componentes antes das
simulações. Lembre-se, não comece os problemas escrevendo as condições iniciais ou em
infinito.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 23
1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a
seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e
uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. Calcule a tensão sobre o capacitor (
vC ) e o resistor ( v R ). Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a vC o
circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas.
Qual seria a razão para estes nomes?
2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja vC 0=1V e
V=30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u t V . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há
alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória
seja nula.
3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2
fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1
fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido
correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo
4t∞ .
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4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo
anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor.
a) Considere I S1t uma fonte constante e independente.
b) Considere I 1t uma fonte constante e independente.
c) Considere V 1t uma fonte constante e independente
d) I 1t é um degrau unitário de corrente.
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e) I 1t é um degrau de corrente de 10mA e I 2t é uma fonte de corrente constante
de 4mA.
f) V 1t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s.
g) V 1t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R1⋅C1 segundos.
h) V 1t é uma fonte constante e independente.
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5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o
laser é necessário 60mA∣I∣180mA para 0t200 s . A chave S1 troca de posição em
t=0. Determine valores apropriados de R6 e R8 . O circuito estava em regime permanente
para t<0.
6) Para o circuito abaixo:
a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável.
b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms.
c) Encontre a equação de i(t) quando V 1t =10⋅e−100⋅t⋅u t V .
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6.11 Soluções
1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a
seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e
uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é
de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor vC e o resistor v R . Quando a fonte V é
considerada entrada e a saída corresponde a vC o circuito é chamado de passa baixas e
quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes?
Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o
problema
−vR
vC
RC⋅
dvC
dt
dvC
dt
vC
R⋅C=
vR⋅C
onde R⋅C=constante de tempo==0,1ms
vC=k 1⋅e−
1⋅t
k2
Para os 0,1ms onde v=10V
vC ∞=10V
vC t =[ vC 0−10]⋅e−
1⋅t
10
a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo)
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Para os 0,1ms onde v=0V
vC ∞=0V
vC t =10⋅e−
1⋅t
a tensão chega a 0V em 1,5ms.
Do segundo pulso em diante
vC t =−10⋅e−
1⋅t
10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V)
vC t =10⋅e−
1⋅t
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda
quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças
rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as
baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas
frequências).
v Rt =v−vC t
v Rt =10⋅e−
1⋅t
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V)
v Rt =10−10⋅e−
1⋅t
(considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V)
Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda
quadrada mas “zera” as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa
altas (passa altas frequências).
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 29
V(V1,C1) – tensão sobre o resistor
2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja vC 0=1V e
V=30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u t V . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há
alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória
seja nula.
C⋅dvdt
vR=[A' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t ]
R
onde =2⋅⋅1000 , A ' 1=30 e A ' ' 1=0
v t =K1⋅e−1R⋅C
⋅t
A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0
v 0=K1A' 2⋅cos 0=K1A' 2=1
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se v 0=A' 2 então K 1=0 e não há transitório
Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a
C⋅dv p
dt
v p
R=[A ' 1⋅cos ⋅t ]
R
como v pt =A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t
então
C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]...
...[ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t ]
R=[A' 1⋅cos ⋅t ]
R
agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações:
para senos: −C⋅⋅A' 2A' ' 2
R=0
para cossenos: C⋅⋅A' ' 2A ' 2
R=30
3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2
fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1
fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4 para t>4. Indique o sentido
correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4 no intervalo
4t∞ .
a) Transformando o Norton (I=10A e R=2) em Thévenin
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diL
dt
RL⋅iL=
RL⋅I S
diL
dt
14⋅i L=
14⋅10=2,5
iL0=0A , iL∞=10A
iLt =10– 10⋅e−t4 para t>0
iL4=10– 10⋅e−1=6,32 A
w L4=12⋅L⋅i L
2 4=12⋅8⋅6,322=159,8 J
b)
iL4=6,32 A e iL∞=0 e =LR=
84=2
iLt =6,32⋅e−t−4
2 para t>4
c)
wR=∫0
∞
R⋅I 2t dt
wR=4⋅∫4
∞
6,322⋅e
−2⋅ t−4 2 ⋅dt=4⋅6,322
⋅−1⋅e−t−4∣4∞
=159,8 J
4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo
anterior calcule tensão sobre o capacitor ou a corrente sobre o indutor.
a) Considere I S1t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.
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−I S1iR1iC=0 e iR1=I S1−iC
−R1⋅iR11C⋅∫ iC t ⋅dtR1⋅iC=0 – considerando vC 0=0
derivando esta equação
R1⋅diC
dt
1C⋅iCR1⋅
diC
dt=0
diC
dt
1C⋅R1R1
⋅iC=0
iC t =k⋅e−t
C⋅R1R1
iC 0+=
R1⋅I S1
R1R1
=k
i t =R1⋅I S1
R1R1
⋅e−t
C⋅R1R1 para t>0
b) Considere I 1t uma fonte constante e independente.
iL10-=iL1 0
+=
I1G1G2
⋅G2
iL1∞=I1
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Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema
I1⋅R1=L⋅diL1
dtR1⋅I1
=L1
R1
iL1t =k 1⋅e−
1⋅t
k2, para t>0.
iL1∞=k 2= I1 , iL10=k1k 2=I1
G−1G2
⋅G2
k 2= I1 , k 1=−I1⋅G1
G1G2
v L1t =L⋅diL1 t
dt, para t>0.
c) Considere V 1t uma fonte constante e independente
V TH=−409
V , RTH=RN=209 , I N=−2A
vC1 0+=V TH , vC1 ∞=
V TH
RTHR2
⋅R2=3,48V
Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C1, R2, RN e IN
em paralelo. Este circuito já foi calculado.
Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 34
REQ=R2⋅RN
R2RN
I N=C⋅dvC1
dt
vC1
REQ
=REQ⋅C1
vC1 t =k1⋅e−
1⋅t
k 2, para t>0.
vC1 ∞=k 2=3,48
vC1 0=k 1k 2=−4,44
k 1=−7,92
d) I 1t é um degrau unitário de corrente.
Observe que neste circuito R1 esta em paralelo com L1. Este conjunto está em série
com o paralelo de C2 com R2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo
independentes: a) I1, R1 e L1 ; b) I1, R2 e C2.
iL1t =k 1⋅e−
R1
L1
⋅t
k2
vC2 t =k3⋅e−
1R2⋅C2
⋅t
k4
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e) I 1t é um degrau de corrente de 10mA e I 2t é uma fonte de corrente constante
de 4mA.
Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor
REQ=RTH=12k // 20k16k =9k
iEQ=[10⋅u t – 4]mA
V C1 0–=−
4 mA⋅[20k12k // 16k]20k12k
⋅12k=−16V
iC 0+=6mA
16V9k
=7,77 mA
iC ∞=0
dvC
dt
vC
REQ⋅C=
iEQ
C
iC t =iC 0+⋅e
−tC⋅REQ⋅u t mA
f) V 1t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s.
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v R2=V1 logo iR2=V1R2
(a mesma corrente que flui pelo paralelo de C1 com R1)
vC1=v R1=Vo
Para 0<t<0,5
vC1 0+=0V , vC1 ∞=−
V1R2
⋅R1
=R1⋅C1
vC1 t =k1⋅e−
1⋅t
k 2
vC1 ∞=k 2=−5
vC1 0=k 1k 2=0
k 1=5
Para t>0,5
vC1 0,5=5⋅e−
10,1⋅0,5
−5≈−4,9V , vC1 ∞=0V
vC1 t =k 3⋅e−
1⋅ t−0,5
k4
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k 4=0
vC1 0,5=k3=−4,9
g) V 1t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R⋅C segundos.
Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton
V1R1
=C⋅dvC1
dt
vC1
R1
Para 0t6⋅R1⋅C1
vC1 0+=0V , vC1 ∞=V1
=R1⋅C1
vC1 t =k1⋅e−
1⋅t
k 2
vC1 t =−V1⋅e−
1⋅t
V1
Para t6⋅R1⋅C1
vC16⋅R1⋅C1=−V1⋅e−
1R1⋅C1
⋅6⋅R1⋅C1
V1≈V1 , vC1∞=0V
vC1 t =V1⋅e−
1⋅ t−6⋅R1⋅C1
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h) V 1t é uma fonte constante e independente.
Solução:
iL0–=
V 1
R1
, i L∞=V 1
R1
, iL0+=i L 0
-
vC 0–=V 1 , vC 0
+=V 1 , vC ∞=0V
C⋅dvC
dt
vC
R=0
vC t =6⋅e−tR⋅C V para t>0.
5) Um circuito de disparo para laser é apresentado na figura abaixo. Para disparar o
laser é necessário 60mA∣I∣180mA para 0t200 s . A chave S1 troca de posição em
t=0. Determine valores apropriados de R6 e R8 . O circuito estava em regime permanente
para t<0.
Com a chave na posição atual, o equivalente Thèvenin de V2, R7 e R6 é
V TH=v2⋅R6
R6R7
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RTH=R7⋅R6
R7R6
iMAX=v2
RTHR9
=180mA
R6
804⋅R6
=0,18
R6=51,4
I t =I 0⋅e−t =0,18⋅e
−R EQ
L3
⋅t
onde
REQ=R9R8
R8 deve ser escolhido tal que I(200s)=60mA
6) Para o circuito abaixo:
a) Determine a faixa de valores de B para que o circuito seja estável.
b) Determine o valor de B para que a constante de tempo do circuito seja de 20ms.
c) Encontre a equação de i(t) quando V 1t =10⋅e−100⋅t⋅u t V .
Retirando o capacitor e inserindo em seu lugar uma fonte de corrente independente de
valor IT para cima (para calcular um equivalente Norton do resto do circuito)
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vT−v1
R1
B⋅v1 – vT
R1 vT
R2
=iT
vT⋅ 1R1
–BR1
1R2 v1⋅ B
R1
–1R1 =iT
como
iT=V TH
RTH
− I N
então
1RTH
=1
RN
=3 – B10k
RTH=10k3−B
a) RTH≤3
=RTH⋅C1=20⋅10−3=RTH⋅2⋅10−6
RTH=20⋅10−3
2⋅10−6 =10k
RTH=10k
3−B=10k
b) B=2
Com o capacitor no circuito
−i2⋅ivC1
R2
C1⋅dvC1
dt=0
vC1=v1 – i⋅R1
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−i2⋅iv1−R1⋅i
R2
C1⋅d v1 – R1⋅i
dt=0
didt
i=
1R1
⋅dv1
dt
v1
R1⋅R2⋅C1
i 0=v10
R1
=1mA
i t =k 1⋅e−50⋅tk 2⋅e
−100⋅t
Em regime permanente
v1=10⋅e−100⋅t , i=k 2⋅e−100⋅t
dv1
dt=−1000⋅e−100⋅t ,
didt=−100⋅k 2⋅e
−100⋅t
−100⋅k 2k2
=−1000
10k
10100
k 2=0
Para t=0
−1 mA=k1⋅e−50⋅tk 2⋅e
−100⋅t
k 1=−1
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