matA12 – trigonometria e números complexos

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C

BA

Razões trigonométricas de alguns ângulos Razões trigonométricas num triângulo retângulo

0 6

30º

4

45º

3

60º

2

90º

180º

3

2

270º

sin 0 1

2

2

2

3

2 1 0 -1

cos 1 3

2

2

2

1

2 0 -1 0

tan 0 3

3 1 3 - 0 -

Cateto opostosin

Hipotenusa

BC

AC

Cateto adjacentecos

Hipotenusa

AB

AC

Cateto opostotan

Cateto adjacente

BC

AB

Relações entre razões trigonométricas

sin sin sin sin sin sin

sin cos2

sin cos

2

3sin cos

2

3sin cos

2

cos cos cos cos cos cos

cos sin2

cos sin

2

3cos sin

2

3cos sin

2

tan tan tan tan tan tan

1tan

2 tan

1tan

2 tan

3 1tan

2 tan

3 1tan

2 tan

Fórmulas trigonométricas

2 2sin cos 1 sin

tancos

2

2

1tan 1

cos

cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan

tan1 tan tan

cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan

tan1 tan tan

2 2cos 2 cos sin sin 2 2sin cos 2

2 tantan 2

1 tan

Período de uma função Limite notável

Diz-se que uma função f é periódica e tem período T 0T se

, ff x T f x x D

Ao menor valor positivo T que verifica esta condição dá-se o nome de período

positivo mínimo.

0

sinlim 1x

x

x

Equações trigonométricas

sin sinx cos cosx tan tanx

2 2 , x k x k k 2 2 , x k x k k , x k k

Derivadas de funções trigonométricas

sin ' cosx x cos ' sinx x

2

1tan '

cosx

x

sin ' 'cosu u u cos ' 'sinu u u

2

'tan '

cos

uu

u

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Unidade imaginária

i – unidade imaginária, em que 2 1i

1 i e se 0A , então, A i A

Número complexo – forma algébrica Número complexo – forma trigonométrica

z a bi , com ,a b e 2 1i 2 2z a b

z a bi

z a bi

cos sin cisz i

2 2z a b

cisz

cisz

Operações com números complexos

Forma algébrica Forma trigonométrica

Sejam z a bi e w c di números complexos Sejam z cis e 2 2 w cis números complexos

z w a bi c di a c c d i

2 2 2 2 z w cis cis cis

z w a bi c di a c c d i 1 1 1 z cis

z

z w a bi c di ac bd ad bc i 2

2 2 2

z ciscis

w cis

2 2 2 2 2

.z z w a bi ac bd bc adi

w c di c d c dw

,

nn nz cis cis n n

fatores

...n

n

z a bi a bi a bi a bi 2

, 0,1,..., 1 , n nk

z cis k n nn

4 4 1 4 2 4 31, , 1, p p p pi i i i i i

Propriedades

Sejam z a bi e w c di números complexos

2z z a , é um número real

2z z bi , é um número imaginário puro

z w z w

2z z z

z w z w

z z

w w

Domínios planos e condições em variável complexa

1 2z z representa a distância entre os afixos 1z e 2z .

1 , z z r r , representa a circunferência de centro P (afixo de 1z ) e raio r.

1 2z z z z , representa a mediatriz de 1 2,P P , sendo 1P e 2P os afixos de 1z e de 2z .

1 2z z z z , representa o semiplano (aberto) definido pela mediatriz de 1 2,P P e por 2P .

1 2z z z z , representa o semiplano (aberto) definido pela mediatriz de 1 2,P P e por 1P .

arg z , representa a semirreta de origem na origem do referencial que faz com o eixo real um ângulo de amplitude .

1arg z z , representa a semirreta de origem no afixo de 1z que faz com o semieixo positivo um ângulo de amplitude .

Re z a , representa a reta vertical que interseta o eixo real no ponto de coordenadas ,0a .

Im z b , representa a reta horizontal que interseta o eixo imaginário no ponto de coordenadas 0,b .