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Download Mdulo 2 • Unidade 19 A trigonometria do tringulo r  razo entre o cateto adjacente e a hipotenusa chama-se COSSENO . J a razo entre o cateto oposto e o cateto adjacente chama-se TANGENTE. Isto : seno

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  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 247

    Mdulo 2 Unidade 19

    A trigonometria do tringulo retngulo

    Para incio de conversa...

    P direito

    a altura entre os dois andares.

    Voc conhece algum que j passou por esse problema? Ser que Bruno

    tem, de fato, a informao de que precisa para solucionar o problema? Saber que

    a inclinao ideal para uma escada interna de 30 e que o p-direito da casa

    de 270 cm, suficiente para calcular o comprimento da escada?

  • 248

    Nesta unidade, voc aprender a utilizar o tringulo retngulo para resolver problemas do cotidiano,

    trabalhar com as razes trigonomtricas no tringulo retngulo e utilizar os teoremas do seno e cosseno em

    situaes diversas.

    Objetivos de aprendizagem Utilizar as razes trigonomtricas para calcular o valor do seno, cosseno e tangente dos ngulos de 30, 45 e 60

    Resolver problemas do cotidiano, envolvendo as razes trigonomtricas.

    Utilizar os teoremas do seno e do cosseno, para resolver problemas variados.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 249

    Seo 1 O Tringulo Retngulo

    e as Razes Trigonomtricas

    Figura 1: Alguns exemplos do uso de tringulos no nosso dia a dia. Podemos perceber que esta gura geomtrica aparece em vrias situaes desde construes, maquetes a brincos e instrumentos musicais.

    Se observarmos o ambiente nossa volta neste momento, poderemos identificar vrias formas geomtricas,

    dentre elas, o tringulo. Vamos tentar?

    Interrompa sua leitura nesse momento. Olhe ao redor. Se quiser, levante-se e d uma volta pelo lugar onde

    voc est. Quantos tringulos voc consegue observar? Voc poderia dizer que todos eles tm as mesmas caracte-

    rsticas ou voc identifica alguma diferena entre eles? Se quiser, copie a tabela a seguir em seu caderno ou em uma

    folha parte, para ajudar em sua investigao.

    Atividade

    Tringulo Quantidade observada Onde encontrei? Caracterstica

    Tipo 1

    Tipo 2

  • 250

    Agora veja a definio a seguir:

    Um tringulo que possui um ngulo de 90 (reto) chamado de Tringulo Retngulo.

    Tringulos retngulos so figuras geomtricas muito mais comuns no nosso dia a dia do que imaginamos. Eles

    esto presentes nas mais diferentes situaes. A figura abaixo mostra algumas delas. Ser que algum dos objetos

    mostrados igual a um dos tringulos que voc encontrou?

    Figura 2: Alguns exemplos de objetos que possuem o formato ou que nos permitem enxergar tringulos retngulos. Voc no acha que esses tringulos so muito mais comuns do que voc imaginava?

    Alm de estarem presentes em nossas casas, nosso trabalho, em ambientes fechados e abertos, tringulos

    retngulos podem nos ajudar a resolver problemas importantes para nossa vida diria, tais como o do pedreiro Bruno.

    Mas de que forma isso poderia acontecer?

    Observe a imagem a seguir. Na primeira figura, um homem ir apoiar uma escada de madeira em uma parede.

    A figura ao lado, mostra como a escada fica. Voc nota a presena de alguma figura geomtrica?

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 251

    Voc consegue observar a mesma figura nesta imagem?

    E nesta representao de uma escada rolante? Ficou mais difcil?

    Se prestarmos ateno aos tringulos retngulos, verificaremos que os ngulos de 30, 45 e 60 so muito comuns.

    Figura 3: Um guardanapo de pano, dobrado em quatro partes, determina um tringulo retngulo, contendo o ngulo de 45. Da mesma forma, o origami exibe alguns tringulos. Em destaque, um tringulo retngulo com os ngulos de 30 e 60.

  • 252

    Tal como a atividade anterior, na figura a seguir, podemos perceber a presena de um tringulo retngulo que

    vai nos auxiliar a entender melhor como Bruno vai solucionar esse problema.

    Figura 4: Com essa gura, ca fcil ver o tringulo retngulo, ca fcil ver que o p-direito da casa um dos lados do tringulo e que o comprimento da escada o outro lado, certo? Mas ainda no cou claro como essas informaes vo ajudar Bruno a

    descobrir qual o tamanho da escada que deve construir!

    Diante disso, vamos entender de que forma a trigonometria aplicada nesses casos pode nos ajudar a resolver

    o problema de Bruno.

    Trigonometria

    um ramo da Matemtica que estuda as relaes entre os lados e os ngulos de um tringulo.

    Para isso, vamos fazer a atividade a seguir.

    Observe os tringulos abaixo e faa o que se pede:

    Todos so tringulos _________________, pois possuem um ngulo de 90. Alm dis-

    so, em todos h um ngulo de 30.

    Calcule o quociente entre a medida do lado oposto ao ngulo de 30 e a medida do

    oposto ao ngulo de 90 em cada um dos tringulos.

    a.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 253

    O lado oposto ao ngulo de 30 mede _____________. J o lado adjacente a este

    mesmo ngulo mede _____________. No confunda com o lado oposto ao ngulo de 90

    que mede _______________.

    Agora, calcule a razo (quociente) entre a medida do lado oposto ao ngulo de 30

    e o oposto ao ngulo de 90.

    lado oposto ao ngulo de 30

    lado oposto ao ngulo de 90=

    b.

    O lado oposto ao ngulo de 30 mede ___ ____. J o lado adjacente a este mesmo

    ngulo mede _____. No confunda com o lado oposto ao ngulo de 90 que mede _____.

    Agora, calcule a razo (quociente) entre a medida do lado oposto ao ngulo de 30

    e o oposto ao ngulo de 90.

    Com essa atividade, percebemos que a razo (quociente) entre o lado do tringulo

    oposto ao ngulo de 30 e o oposto ao de 90 tem sempre o mesmo valor. Esse valor

    ______________.

    Observe a figura:

    Voc sabia que nos tringulos retngulos, o lado que se ope ao ngulo de 90 (ngulo reto) chamado de Hipo-

    tenusa e os demais lados so chamados de Cateto? Como h dois catetos no tringulo, um deles estar em uma posio

    oposta ao ngulo agudo x e, por isso, ser chamado de cateto oposto e o outro ser o cateto adjacente (vizinho) ao ngulo.

  • 254

    Figura 5: Representaes de tringulos retngulos, seus catetos e a hipotenusa. Utilizamos nas duas guras o ngulo de 30, mas os nomes dos lados so usados em quaisquer tringulos retngulos.

    Figura 6: Tringulo retngulo, a hipotenusa e os catetos. O ngulo de 30 foi substitudo pelo ngulo x que representa qual-quer medida de ngulo.

    Pessoal, acho que agora j temos todas as informaes necessrias para auxiliar nosso amigo Bruno. Naquela

    ocasio, vimos que a escada deveria ter uma inclinao de 30 em relao ao solo e que o p direito da casa (a altura

    entre os andares da casa) era de 270 cm. Sendo assim, temos a seguinte figura:

    Figura 7: A escada a ser construda por Bruno, o pedreiro. Nesta gura, vemos um tringulo retngulo com o ngulo de 30 indicado, alm do cateto oposto a ele com 270 cm de comprimento.

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 255

    Podemos verificar que o cateto oposto ao ngulo de 30 o 270, e o comprimento x a hipotenusa do trin-

    gulo, Como poderemos calcular o comprimento x da escada?

    Para resolvermos o problema de Bruno, vamos nos lembrar da atividade 1 onde pudemos trabalhar com tri-

    ngulos semelhantes a este. Naquela ocasio, percebemos que a razo entre o cateto oposto ao ngulo de 30 e a

    hipotenusa (lado oposto ao ngulo de 90) sempre vale 1

    2.

    Vamos utilizar essa dica e as informaes dadas no problema para calcularmos a medida x:

    cateto oposto

    hipotenusa=

    270

    x1

    2=

    270

    xx 270 2

    x = 540 cm

    Com isso, verificamos que a escada ter 540 cm de comprimento. Este valor ser aproximadamente a medida do corri-

    mo da escada. Alm disso, se pensarmos que cada degrau tem 18 cm de altura, ento a escada ter 270 18 = 15 degraus.

    Agora, desejamos um bom trabalho ao nosso amigo Bruno e vamos seguir o nosso caminho.

    Vimos at o momento que a razo entre o cateto oposto ao ngulo de 30 e a hipotenusa sempre igual a .

    Mas, no s o ngulo de 30 que tem esse privilgio. Todos os ngulos agudos possuem esta caracterstica. Porm,

    cada um deles possui um valor diferente para esta razo.

    ngulo agudo

    Um ngulo agudo aquele que menor que 90.

    Pelo que estamos vendo, isso mais importante do que imaginvamos. E verdade. Essa razo entre o cateto opos-

    to e a hipotenusa to importante que recebe um nome especfico para isso: SENO. Portanto, quando quisermos nos referir

    razo entre o cateto oposto e a hipotenusa de um ngulo, estaremos fazendo referncia ao SENO deste ngulo.

    Sendo assim, vamos conhecer alguns valores desta razo. Que tal os senos dos ngulos de 45 e de 60? Afinal,

    vocs se lembram que esses ngulos so muito comuns no nosso dia a dia, no ?!

    ngulo Seno

    301

    2

    452

    2

    603

    2

    Tabela 1: Nesta tabela, vemos os valores dos senos de 30, 45 e de 60. Da mesma maneira que trabalhamos com o ngulo

    de 30, podemos agir com os demais ngulos. Ou seja, a razo entre o cateto oposto ao ngulo de 45, por exemplo, e a hipo-

    tenusa vale sempre 2

    2

    .

  • 256

    Agora, sua vez! Resolva os problemas a seguir, utilizando os conhecimentos que adquirimos at agora.

    Um avio levanta voo sob um ngulo de 30. Depois de percorrer 10 km, a que altura

    se encontra este avio?

  • Matemtica e suas Tecnologias Matemtica 257

    Uma escada de 8 metros de comprimento est apoiada em um ponto de uma pare-

    de a 4 metros de altura. Qual das opes abaixo traz o ngulo de inclinao da escada em

    relao parede?

    ( a ) 30

    ( b ) 45

    ( c ) 60

    ( d ) 90

    Muito bem! Estamos cada vez melhores!

    Mas uma curiosidade est aparecendo agora: ser que existem outras razes nesses tringulos ret

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