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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

Gil da Costa Marques

TriGonoMeTria no TriânGulo reTânGulo8

Fund

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tos

de M

atem

átic

a i

8.1 Trigonometria nos primórdios8.2 ângulos no triângulo retângulo: o grau8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos8.5 outras razões trigonométricas8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis

163

Fundamentos de Matemática i

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1

8.1 Trigonometria nos primórdiosPor alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado,

cerca de 2.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era

esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida

por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como

soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram

a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de

medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360°.

Considerando-se dois pontos (P1, P2), ambos localizados sobre uma circunferência, é

possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1).

Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco

introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso,

dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais.

Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois

pontos, P1 e P2, podemos agora introduzir o ângulo a medindo

a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse

ângulo. Temos assim:

8.1

Hiparco (cerca 140 a.C.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigono-metria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria, a primeira instituição científica financiada pelo poder público. Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua principal contribuição à matemática teve a influência da matemática dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios. Introduziu também a função seno utilizando o número 60.

Figura 8.1: Definição de Corda associada a um ângulo.

Crd Crd= ( )a

164

8 Trigonometria no triângulo retângulo


A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a.

Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender

como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação

com a função comprimento da corda é bem simples:

8.2

Escrevendo a corda como sendo dada por

8.3

e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a

partir da função corda em 8.2, pode ser escrita como:

8.4

A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos

seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de

ângulos agudos num triângulo retângulo.

Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos,

desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180°. A fim de determinar a posição dos

corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda.

Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando

dentro de intervalos de 0,5°.

8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau

Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são

perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é deno-

minado hipotenusa.

senCrd

senCrda a

Ra a

2 2 2 120=

( )→

=

( )

Crd a l( ) = 2

sen a lR2

=

165



Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida.

Observamos que, como o ângulo reto tem 90° por medida, os outros dois ângulos de um

triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90°.

No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação:

8.5

onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos.

8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo

Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é

oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida

a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele,

e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é

denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que,

considerando agora o ângulo B, o lado b é o seu cateto oposto

enquanto o lado a é o seu cateto adjacente.

Você lembra?

1 grau é a medida do ângulo central obtido ao dividir uma circunferência em 360 partes iguais.

Figura 8.2: Lados e vértices do triângulo retângulo.

a b c2 2 2+ =

Figura 8.3: Lados de um triângulo retângulo.

166



A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como

sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa:

Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:

8.6

Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como

sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa:

Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:

8.7

Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para

os ângulos agudos.

senθ = cateto opostohipotenusa

Figura 8.4: Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

sen sen

A ac

B bc

= =

cosθ = cateto adjacentehipotenusa

Figura 8.5: Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.

cos cosA bc

B ac

= =

167



Exemplos

• ExEmplo 1A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha as lacunas da tabela:

30° 60° 45°

SenoCosseno

→ REsolução:Observemos a Figura 8.6:

a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l:Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB;pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que

de onde

h l=

32

ou h l= −

32

(não convém)

Portanto, temos que:

Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG.

h l l2 22

4= −

sen sen sen302

2 12

° = = = = =HCB ACBl

l

cateto opostohipotenusa

168



e

bem como:

e

b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a:Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retân-gulo isósceles DEF, obtemos que

de onde

d a= 2 ou d a= − 2 (não convém)

Portanto, temos que:

Completando então a tabela:

30° 60° 45°

Seno12

32

22

Cosseno 32

12

22

Convém notar que sen 30° = cos 60° e cos 30° = sen 60° que, alias, é uma propriedade válida para qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90° − α) e e cos α = sen (90° − α), como adiante veremos.

cos cos cos302

32° = = = = =HCB ACB h

l

l

l

cateto adjacentehipotenusa

==3

2

sen sen60

32 3

2° = = = = =CBH h

l

l

l

cateto opostohipotenusa

cos cos60 2 12

° = = = =CBH

l

l

cateto adjacentehipotenusa

d a a2 2 2= +

senhipotenusa

45 452

22

° = ° = = =cos a aa

169



8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos

Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo

é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e

do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões

8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos:

8.8

Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo

num triângulo retângulo, vale a relação:

8.9

A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis

entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo

ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo.

Para tal, introduzimos as seguintes identidades:

8.10

8.11

8.12

8.13

sen cos2 22 2

2A A ac

bc

a bc

+ =

=

+2 2

+

sen cos2 2 1θ θ+ =

sen90 1° =

cos90 0° =

sen( ) sen180° − =x x

cos( ) cos180° − = −x x

170



Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo

ABC qualquer, vale a seguinte relação:

onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectiva-

mente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa

circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar,

na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D

a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o

ângulo BCD é inscrito numa semicircunferência.

Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência

e determinam o mesmo arco BC, logo têm a mesma medida.

Agora, no triângulo retângulo BCD, temos:

de onde

ou seja,

Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações:

bB

rsen

= 2 e cC

rsen

= 2

Logo, podemos concluir que:

aA

bB

cC

rsen sen sen

= = = 2

Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer, inscrito numa circunferência de raio r.

senD ar

=2

sen A ar

=2

aA

rsen

= 2

aA

bB

cC

rsen sen sen

= = = 2

171



Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC,

qualquer, valem as seguintes relações:

onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente.

Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas.

Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto).

a. A é um ângulo agudo.

Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo

Teorema de Pitágoras,

b2 = h2 + m2

O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras,

a2 = h2 + n2

Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos:

b2 − m2 = a2 − n2

Eliminando n obtemos:

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

cos

cos

cos

Figura 8.8: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é agudo.

b m a c m2 2 2 2− = − −( )

172



Portanto, b2 − m2 = a2 − c2 + 2cm − m2 e daí a2 = b2 + c2 − 2cm.

Mas (m/b) = cos A ou m b A= .cos .

de onde a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A.

b. A é um ângulo obtuso.

Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e

assim, pelo teorema de Pitágoras,

b2 = h2 + m2

Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras,

a2 = h2 + (m + c)2

Eliminando h, temos:

b2 − m2= a2 − (m + c)2

Simplificando a última equação, temos:

a2 = b2 + c2 + 2cm

Mas mb

H AC A A= = ° − = −cos cos( ) cos 180 , ou seja,

m = − b.cos A

Logo,

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A .

Figura 8.9: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é obtuso.

173



c. A é um ângulo reto.

Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A = 0.

• ExEmplo 21. Determine o valor de x no triângulo abaixo.

a.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos:

e, como sen 120° = sen 60° = 3

2 e sen 45° =

22

temos:

b.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos:

uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.

Logo, como sen 30° = 12

e sen 45° = 2

2, temos

Figura 8.10: O triângulo dado.

100120 45sen sen°

=°

x

x = =100 2

3100

36

Figura 8.11: O triângulo dado.

10030 45sen sen°

=°

x

x =100 2

174



c.

→ REsolução:Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.12, temos:

x2 = 16 + 25 − 2.4.5.cos 60°

ou seja, como cos 60° = 12

, temos:

x2 = 21

ou seja,

2. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por:

S p p a p b p c= − − −( )( )( ) , onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida

a Heron.

→ REsolução:Consideremos a Figura 8.13.Sabemos que a área do triângulo é dada por

Também temos sen A hb

= .

E, pela Lei dos Cossenos,

a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A

ou seja,

Como sen cos2 2 1A A + = , temos:

Figura 8.12: O triângulo dado

x = 21

Figura 8.13: O triângulo ABC.

S c h=

⋅2

cos A b c abc

=+ −2 2 2

2

hb

b c abc

+

+ −

=

2 2 2 2 2

21

175



Ou seja, 2

21

2 2 2 2 2Sbc

b c abc

+

+ −

= , pois h S

c=

2.

Multiplicando e dividindo por 2 a primeira fração, temos

ou seja,

(4S)2 + (b2 + c2 − a2)2 = (2bc)2

de onde resulta

16S2 = (2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2

Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever

16S2 = [2bc − (b2 + c2 − a2)].[2bc + (b2 + c2 − a2)]

ou ainda,

16S2 = [a2 − (b2 + c2 − 2bc)].[(b2 + c2 + 2bc)] − a2]

isto é,

16S2 = [a2 −(b − c)2].[(b + c)2 − a2]

Novamente, fatorando as diferenças de quadrados,

16S2 = [a + b − c]. [a − b + c].[b + c + a].[b + c − a]

ou

Como p a b c=

+ +2

é o semiperímetro, temos

S2 = (p − c).(p − b).p.(p − a)

ou

Ou, de outra forma,

S p p a p b p c= − − −.( ).( ).( ) .

42 2

12 2 2 2 2

Sbc

b c abc

+

+ −

=

S a b c a b c a b c b c a2

2 2 2 2=

+ −⋅− +

⋅+ +

⋅+ −

S p c p b p p a= − − −( ).( ). .( )

176



8.5 Outras razões trigonométricasNum triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir

outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno.

Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quo-

ciente do cateto oposto pelo cateto adjacente:

8.14

Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos

ângulos A e B, em termos dos catetos do triângulo retângulo:

8.15

Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo

o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo:

8.16

Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B da Figura 8.3 são,

em termos dos catetos a e b:

8.17

Figura 8.14: Tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

tg cateto opostocateto adjacente

θ =

tg tgA ab

B ba

= =

Figura 8.15: Cotangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

cotgtg

θθ

= =1 cateto adjacente

cateto oposto

cotg cotgA ba

B ab

= =

177



Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o

inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo:

8.18

Assim, para os ângulos A e B da Figura 8.3, temos:

8.19

Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do

seno do mesmo ângulo:

8.20

Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B da

Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo

8.21

Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a

ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo.

Figura 8.16: Secante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

secθ = hipotenusacateto adjacente

sec secA cb

B ca

= =

Figura 8.17: Cossecante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.

cossecθ = hipotenusacateto oposto

cossec cossecA ca

B cb

= =

178



8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveisMedir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta,

isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o

metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades,

as quais serão aqui apresentadas.

Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora

da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta.

Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangu-

lação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação

da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e

do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos.

O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito.

Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos.

Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de

Mileto (625 – 558 a.C.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da

determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal

medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à

sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide.

Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d × tgθ.

179



Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas

posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é

o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de

fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes

da estrela podem ser registradas em imagens da região

do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são

diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco.

Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima

Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe

de meros 0,77 segundo de arco (2 décimos-milésimo

de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores

ainda.Tendo em vista a dificuldade experimental de

distinguir pontos muito próximos, esse método é

bastante limitado.

O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de

comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades

astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais

brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-Centauri) e 800 pc, excluindo-se

evidentemente o Sol.

D(parsec) = 1 / p(segundo de arco)

Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos!

Um parsec = 206265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49 · 108 km.

• ExEmplo 31. Na Figura 8.20 está representado um morro entre

dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto C consegue mirar tanto A quanto B, informando que o ângulo ACB = 135°. Sabendo que CA = 100 m e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância entre A e B.

Figura 8.19: Paralaxe estelar.

Figura 8.20: Encontrar a distância entre A e B.

180



→ REsolução:Pela Lei dos Cossenos, temos:

(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2AC.BC.cos 135°

Como cos 135° = − cos 45° = −2

2 então

(AB)2 ≅ 26231,6 de onde AB ≅ 161,96 m.

2. Na Figura 8.21, estão representados os pontos A e B situados em margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e, com o teodolito, mediu os ângulos ACB e ABC , encontrando 85° e 75°, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente?

→ REsolução:Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é 180o, determinamos o ângulo A BAC = = 20°.Pela Lei dos Senos, temos:

de onde temos

ou seja, usando uma calculadora, obtemos

AB ≅ 874

GlossárioAcutângulo: Todos os ângulos são agudos.

Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso.

Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco.

Figura 8.21: Encontrar a distância entre A e B.

30020 85sen sen°

=°

AB

AB = °°

300 8520

.sensen

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