especificação de desempenho - .:: ?· onde: o cateto oposto é igual à parte imaginária do...

Download Especificação de desempenho - .:: ?· Onde: o cateto oposto é igual à parte imaginária do pólo…

Post on 11-Nov-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • .

    157

    157

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    INTRODUO O visto que o acrscimo de zeros e plos modificam o lugar das Razes, sendo que os mesmos so inseridos no sistema atravs de controladores (P, PI, PD, PID) e atravs de compensadores. O projeto de tais compensadores ou controladores pode ser feito com o Lugar das Razes que se baseia na especificao da dinmica dominante do sistema atravs do posicionamento de um par de plos complexos conjugados que dominaro a resposta em malha fechada. O controlador deve assegurar que o lugar das razes passe por esses plos dominantes. Especificao de desempenho Conforme visto no mdulo 5, um sistema de 2 ordem pode ser definido atravs de sua freqncia natural (n) e do coeficiente de amortecimento ():

    22

    2

    2)()(

    nn

    n

    sssRsC

    ++= Plos 12 = nns

    A figura abaixo mostra a especificao para um sistema de segunda ordem com uma entrada a degrau unitrio.

  • .

    158

    158

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    Dentre as caractersticas do sistema temos: tp tempo de pico (tempo para atingir o primeiro pico).

    dn

    pt

    =

    =

    21

    Mp Mximo de sobre-sinal (ou somente sobre-sinal) valor mximo de pico medido a partir da sada em regime permanente. Se o valor final for unitrio pode ser calculado por:

    )1/()/( 2 == eeM dp ou caso seja fornecido o sobre-sinal (Mp), o coeficiente de amortecimento () pode ser calculado por:

    ( )( )pp

    MM

    22

    2

    lnln+

    =

    ts tempo de acomodao (temo necessrio para que a curva alcance os valores em uma faixa (2% ou 5%) do seu valor final.

    33%)5(44%)2( ====

    ns

    ns tt

    O projeto de controladores (compensadores) basicamente um mtodo educado de tentativa-e-erro, onde se tenta satisfazer todas as especificaes de desempenho. Depois de projetado o controlador, o projetista deve verificar se o sistema em malha fechada satisfaz todas as especificaes de desempenho. Se no for este o caso, repete o processo de projeto por modificao de parmetros ajustveis, ou modifica a configurao do sistema, at atingir as especificaes requeridas. Quando desejamos alterar o desempenho transitrio de um sistema, o controlador deve contribuir com singularidades de modo que o LGR do sistema passe no ponto especificado, calculado a partir das especificaes de desempenho. Quando desejamos alterar o desempenho em regime, o controlador deve contribuir com o ganho necessrio, sem alterar muito o LGR do sistema original.

  • .

    159

    159

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    PROJETO DE COMPENSADOR EM AVANO DE FASE

    A funo de transferncia (FT) de um controlador avano de fase :

    T1s

    T1s

    K)s(G cc

    +

    += com 10

  • .

    160

    160

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    erro R(s) U(s) C(s) Entrada Sada de referncia

    +

    Processo 1

    (s+1)(s+4)(s+6)

    Controlador K(s + z) (s + p)

    -

    1) Calculando os plos dominantes: ( )

    ( )( )( ) 4,025,0ln25,0ln

    lnln

    22

    2

    22

    2

    =+

    =+

    =

    p

    p

    MM

    95,4

    404,02444

    =

    =

    =

    =

    s

    nn

    s tt

    Plos: 12 = nns = -1,98 j4,54 2) Traar o Lugar das Razes para o sistema sem compensao

    Nota-se pela figura que o plo no faz parte do lugar das razes, por isso no d para alcanar esses plos alterando o valor de K, h necessidade de um compensador. 3) Colocando um zero abaixo do plo desejado, isto , colocando (s + 1,98) no numerador.

  • .

    161

    161

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    4) Determinando a localizao do plo para satisfazer a condio angular: = 180poloszeros

    zc (p1 + p2 + p3 + pc) = + 180 Os ngulos so calculados por trigonometria:

    =

    adjacentecatetoopostocatetoarctan

    Onde: o cateto oposto igual parte imaginria do plo desejado

    e o cateto adjacente igual ao valor do plo menos a parte real do plo desejado

    5,4802,454,4arctan

    98,1654,4arctan3 =

    =

    =P

    6602,254,4arctan

    98,1454,4arctan2 =

    =

    =P 10278180

    02,454,4arctan180

    198,154,4arctan1801 ==

    =

    =P

    90054,4arctan

    98,198,154,4arctan =

    =

    =zc Determinao do ngulo pc:

    zc (p1 + p2 + p3 + pc) = + 180 90 (48,5 + 66 + 102 + pc) = 180 pc = 53,5

  • .

    162

    162

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    Determinando o plo do compensador:

    ( )

    34,5)5,53tan(

    54,498,198,1

    54,4)5,53tan(

    tan

    ==

    =

    =

    pcpcpc

    adjacentecatetoopostocateto

    oo

    PC 5) Calculando o ganho pela condio do mdulo: erro R(s) U(s) C(s) Entrada Sada de referncia

    +

    Processo 1

    (s+1)(s+4)(s+6)

    Controlador K(s + 1.98) (s + 5,34)

    -

    O ganho calculado pela condio do mdulo utilizando a funo de transferncia em malha aberta e fazendo s igual ao plo desejado:

    43,1750057.01

    1)0.0000) (+ (-0.0057)(

    10.0000i) + -0.0057(

    110*6.248510,442+ -3588,7(

    1j790,47) (2.3j790,47) (2.3

    j790,47- 2.3)54,4(

    1j790,47- 2.3

    )54,4(

    1)654.498,1)(454.498,1)(154.498,1)(34,554.498,1(

    )98.154.498,1(

    1)6)(4)(1)(34,5(

    )98.1(

    222

    5

    54,498,1

    ==

    =

    =

    =

    =++

    =

    =++++++++

    ++

    =++++

    +

    +=

    K

    K

    K

    K

    jK

    jK

    jjjjjK

    sssssK

    js

    Outra forma de calcular o ganho atravs do matlab, entrando com o numerador e denominador da funo em malha aberta e clicando o plo desejado:

    num = [0 0 0 1 1.98] den=conv([1 1],conv([1 4],conv([1 6],[1 5.34])))

    rlocus(num, den) ; traa o lugar das razes

  • .

    163

    163

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    Conforme especificado o tempo de acomodao do sistema compensado de 2s, sem compensao o tempo passa para 3s. O sobre-sinal do sistema compensado fica prximo de 0,25 enquanto que nos outros sistemas o sobre-sinal maior.

  • .

    164

    164

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    PROJETO DE COMPENSADOR EM ATRASO DE FASE

    A funo de transferncia de um controlador atraso de fase :

    T1s

    T1sK

    )s(G cc

    +

    +

    = com 1>

    pszsK)s(G cc +

    +=

    Erro em regime do sistema no compensado:

    ( )sGKe ppsss +=

    11lim

    0 { })(lim0

    sGKC ppsp =

    Erro esttico de posio do sistema compensado:

    { } pcpc

    scspCKC

    Ts

    TsK

    sGsGC

    =

    +

    +

    ==

    .1

    1

    lim)().(lim00

    '

    O objetivo do controlador melhorar o regime, sem alterar significativamente o

    transitrio.

    Passos para projeto:

    1) construir o L.R. do sistema no compensado. Com base nas especificaes da resposta transitria localizam-se sobre o L.R. os plos dominantes de malha fechada 2) calcula-se o valor da constante de erro esttico necessrio (Cp) 3) determina-se o acrscimo no valor da constante de erro esttico necessrio para se atender s especificaes (Cp) 4) determinam-se o plo e o zero do compensador que produzam o aumento no valor da constante de erro esttico, sem alterar significativamente o L.R., localizar o plo prximo origem 5) traar o novo L.R. para o sistema compensado 6) ajustar o ganho Kp do sistema

  • .

    165

    165

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    Exemplo de Projeto: Projete um compensador em atraso de fase para o sistema seguinte com as seguintes especificaes: - sobressinal de 25% Mp = 0,25 - e erro de regime ess = 5% erro R(s) U(s) C(s) Entrada Sada de referncia

    +

    Processo 1

    (s+1)(s+4)(s+6)

    Controlador K(s + z) (s + p)

    -

    1) Calculando os plos dominantes: ( )

    ( )( )( ) 4,025,0ln25,0ln

    lnln

    22

    2

    22

    2

    =+

    =+

    =

    p

    p

    MM

    Traando o Lugar das Razes no Matlab e procurando o lugar onde Mp = 25%,

    temos:

    onde: os plos do sistema so dados por: s = -1,36 j3,08 e o ganho dado por: K = 70,2

  • .

    166

    166

    Prof. Celso Mdulo 9 Projetos usando o Lugar das Razes

    2) Clculo do valor do erro esttico para verificar se corresponde ao erro especificado: Erro em regime do sistema no compensado para entrada a degrau unitrio:

    ( ) 25,0

    241.2,701

    1

    )6)(4)(1(1.2,701

    1lim11

    1lim00

    =+

    =

    ++++

    =+

    =

    sssssGK

    ses

    ppsss

    No corresponde ao erro especificado. Erro esttico de posio do sistema no compensado: { } 93,2)(lim

    0==

    sGKC ppsp

    3) Acrscimo na constan

Recommended

View more >