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  • BREVE REVISO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES

    importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitgoras, Propriedades dos tringulos retngulos, a fim de operar com os vetores sem maiores dificuldades. Vamos a uma pequena reviso:

    Geometria no tringulo retngulo: Hipotenusa: lado oposto ao ngulo de 90 num tringulo retngulo. Somente tringulos retngulos tem hipotenusas. Catetos: lados opostos aos ngulos agudos no tringulo retngulo.

    a

    cateto

    oposto ao

    ngulo a

    cateto adjacente ao ngulo a

    hipote

    nusa

    b

    c

    a

    Relaes matemticas que voc deve saber

    Pitgoras: a = b + c (vlido s para tringulos retngulos)

    a cateto oposto b

    senhipotenusa a

    a cateto adjacente c

    coshipotenusa a

    a bcateto oposto

    tgcateto adjacente c

    a a 2 2(sen ) (cos ) 1

    Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno e a tangente dos ngulos mais comuns que

    aparecem na tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando com o uso e a prtica, fazendo

    exerccios:

    x sen x cos x tg x

    30 1

    2

    3

    2

    3

    3

    45 2

    2

    2

    2 1

    60 3

    2

    1

    2 3

    CURSO ANUAL DE FSICA

    AULA 1 Prof. Renato Brito

  • 2 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Geometria no tringulo qualquer Lei dos Cossenos: calcula o 3 lado de um tringulo, do qual se conhecem dois lados e um ngulo.

    a

    a

    b

    c

    a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa

    esse o lado

    oposto a esse ngulo

    Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 1 membro da frmula sempre o lado oposto ao ngulo a. Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, determinaremos, a seguir, o comprimento do 3 lado de um tringulo do qual conhecemos dois lados e um ngulo.

    5 cm

    8 cm

    60o

    ?

    a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa

    esse o lado

    oposto a esse ngulo

    Chamaremos de a o ngulo de 60o do tringulo. O lado oposto ao ngulo a sempre o lado a na lei dos cossenos e,

    nesse exerccio, ser nessa incgnita. Os lados b e c podem ser escolhidos em qualquer ordem. Assim, temos: a = ? b = 8 cm c = 5 cm

    a = 600

    a2 = b

    2 + c

    2 2.b.c. cosa

    a2 = (8)

    2 + (5)

    2 2 x 8 x 5. cos(60

    o)

    a2 = 64 + 25 40

    a2 = 49

    a = 7 Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 7 cm.

  • 3 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Exemplos resolvidos em vdeo Questo 1

    Um observador, estando a x metros da base de uma torre, v o topo sob um ngulo de 60. Afastando-se 100 m em linha reta, passa a v-lo sob um ngulo de 30. A altura da torre corresponde, em metros, a: a) 40.

    b) 40 3.

    c) 50 2.

    d) 50 3.

    e) 50. Questo 2

    Ablio (A) e Gioconda (G) esto sobre uma superfcie plana de uma mesma praia e, em um dado instante, veem, sob respectivos ngulos de 30 e 45, um pssaro (P) voando, conforme representado a seguir.

    Considerando desprezvel as medidas das alturas de Ablio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distncia entre A e G era de 240m, a quantos metros de altura o pssaro distava da superfcie da praia?

    a) 60 3 + 1 m b) 120 3 + 1 m c) 180 3 + 1 m d) 120 3 1 m e) 180 3 1 m Questo 3

    Dois pontos A e B, esto situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do

    rio, est situado de tal modo que o ngulo CAB mede 75 e o

    ngulo ACB mede 75. A largura do rio, em metros,

    corresponde a: a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35.

  • 4 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Questo 4

    A extremidade A de uma planta aqutica encontra-se 10 cm acima da superfcie da gua de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balanar, essa extremidade toca a superfcie da

    gua no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua

    projeo ortogonal C, sobre a gua, encontrava-se inicialmente

    (figura 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o

    arco AB uma trajetria do movimento planta.

    Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta, em centmetros, : a) 9.

    b) 9 2.

    c) 10.

    d) 10 2.

    e) 11. Questo 5

    A figura abaixo mostra que duas circunferncias que se tangenciam interiormente. A circunferncia maior tem centro em

    O. A menor tem raio r = 5 cm e tangente a OA e OB.

    Sabendo-se que o ngulo AOB mede 60, a medida do raio da

    circunferncia maior corresponde a: a) 10 cm. b) 13 cm. c) 15 cm. d) 18 cm. e) 20 cm. Questo 6

  • 5 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Dois irmos herdaram um terreno em forma de um paralelogramo ABCD, conforme ilustrado. Como pretendem

    dividi-lo ao meio, resolveram passar uma cerca AC de

    comprimento y. O valor de y, em metros, corresponde a:

    a) 10

    .3

    b) 10 2.

    c) 5 3.

    d) 5 2.

    e) 5

    .3

    Questo 7

    Observando o ngulo a no tringulo issceles abaixo, determine o valor de sena sabendo que vlida a relao 4sena =

    3cosa :

    a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4. d) 0,5. e) 0,6.

    a

    20 20

  • 6 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    EXERCCIOS PROPOSTOS

    1) Leia o enunciado da questo e tente resolver. 2) Caso no consiga resolve, no tem problema, veja a

    resoluo da questo no final dessa apostila. 3) Em todas as questes abaixo, o aluno deve consultar os

    valores dos senos, cossenos e tangentes de 30, 45 e 60 que aparecem na tabela da nossa primeira pgina do resumo terico.

    Questo 01

    (UFPI) Um avio decola, percorrendo uma trajetria retilnea, formando com o solo, um ngulo de 30 (suponha que a regio sobrevoada pelo avio seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avio? Questo 02

    (Cefet PR) A rua Tenrio Quadros e a avenida Tefilo Silva, ambas retilneas, cruzam-se conforme um ngulo de 30. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Tefilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilmetros, a distncia entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenrio Quadros?

    30o

    Ten

    rio qu

    adros

    Tefilo Silva

    posto

    B

    C

    Questo 03

    Determine o valor do lado oposto ao ngulo de 60. Observe figura a seguir:

    Questo 04

    Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo do ponto A. Se

    ele percorreu 300 m, qual a largura do rio?

  • 7 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Questo 05

    Ao empinar uma pipa, Joo percebeu que estava a uma distncia de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Renata

    notou que ngulo a formado entre a linha da pipa e a rua era 60, como mostra a figura. Calcule a altura do poste.

    Questo 6

    Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um

    prdio, conforme mostra a figura abaixo:

    Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegar a um ponto B, de onde poder ver o topo C do prdio, sob um ngulo de 60. Quantos metros ela dever se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prdio sob um ngulo de 30? Questo 7

    Um avio est a 600 m de altura quando se v a cabeceira da pista sob um ngulo de declive de 30. A que distncia o avio est da cabeceira da pista?

    Questo 8

    Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

  • 8 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    Questo 9

    Em um tringulo retngulo, determine as medidas dos ngulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede 3 cm.

    Questo 10

    (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz

    ngulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: a) 63 m. b) 12 m. c) 13,6 m. d) 93 m. e) 18 m. Questo 11

    (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um tringulo retngulo medem 2a e 4a, respectivamente, ento a tangente do ngulo oposto ao menor lado :

    a) 2 3

    b) 3

    3

    c) 3

    6

    d) 20

    20

    e) 3 3

  • 9 CURSO DE MATEMTICA ANUAL AULA 1 Prof. Renato Brito Breve reviso de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

    GABARITOS e RESOLUCOES

    Questo 1

    xsen30

    1000

    1 x

    2 1000

    2x 1000

    x 500m

    A altura ser de 500 metros. Questo 2

    30o

    Ten

    rio qu

    adros

    Tefilo Silva

    posto4000 m

    x

    A

    B

    C

    BC 1 x

    sen30 x 2000 m 2 kmAC 2 4000

    Questo 3

    Aplicaao da lei dos cossenos x = 6 + 8 2 * 6 * 8 * cos 60 x = 36 + 64 96 * x = 100 48 x = 52 x = 52

    x = 213 Questo 4

    300

    2 = x

    2 + 240

    2

    90000 = x2 + 57600

    90000 57600 = x2

    x

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