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BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, Propriedades dos triângulos retângulos, a fim de operar com os vetores sem maiores dificuldades. Vamos a uma pequena revisão: Geometria no triângulo retângulo: Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90º num triângulo retângulo. Somente triângulos retângulos tem hipotenusas. Catetos: lados opostos aos ângulos agudos no triângulo retângulo. a cateto oposto ao ângulo a cateto adjacente ao ângulo a hipotenusa b c a Relações matemáticas que você deve saber Pitágoras: a² = b² + c² (válido só para triângulos retângulos) a cateto oposto b sen hipotenusa a a cateto adjacente c cos hipotenusa a a b cateto oposto tg cateto adjacente c a a 2 2 (sen ) (cos ) 1 Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos mais comuns que aparecem na tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando com o uso e a prática, fazendo exercícios: x sen x cos x tg x 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 – Prof. Renato Brito

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BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES

É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, Propriedades dos triângulos retângulos, a fim de operar com os vetores sem maiores dificuldades. Vamos a uma pequena revisão:

Geometria no triângulo retângulo: Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90º num triângulo retângulo. Somente triângulos retângulos tem hipotenusas. Catetos: lados opostos aos ângulos agudos no triângulo retângulo.

a

cateto

oposto ao

ângulo a

cateto adjacente ao ângulo a

hipotenusa

b

c

a

Relações matemáticas que você deve saber

Pitágoras: a² = b² + c² (válido só para triângulos retângulos)

a cateto oposto b

senhipotenusa a

a cateto adjacente c

coshipotenusa a

a bcateto oposto

tgcateto adjacente c

a a 2 2(sen ) (cos ) 1

Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos mais comuns que

aparecem na tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando com o uso e a prática, fazendo

exercícios:

x sen x cos x tg x

30° 1

2

3

2

3

3

45° 2

2

2

2 1

60° 3

2

1

2 3

CURSO ANUAL DE FÍSICA

AULA 1 – Prof. Renato Brito

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2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Geometria no triângulo qualquer Lei dos Cossenos: calcula o 3º lado de um triângulo, do qual se conhecem dois lados e um ângulo.

a

a

b

c

a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa

esse é o lado

oposto a esse ângulo

Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 1º membro da fórmula é sempre o lado oposto ao ângulo a. Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, determinaremos, a seguir, o comprimento do 3º lado de um triângulo do qual conhecemos dois lados e um ângulo.

5 cm

8 cm

60o

?

a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa

esse é o lado

oposto a esse ângulo

Chamaremos de a o ângulo de 60o do triângulo. O lado oposto ao ângulo a é sempre o lado a na lei dos cossenos e,

nesse exercício, será nessa incógnita. Os lados b e c podem ser escolhidos em qualquer ordem. Assim, temos: a = ? b = 8 cm c = 5 cm

a = 600

a2 = b

2 + c

2 2.b.c. cosa

a2 = (8)

2 + (5)

2 2 x 8 x 5. cos(60

o)

a2 = 64 + 25 40

a2 = 49

a = 7 Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 7 cm.

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3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Exemplos resolvidos em vídeo Questão 1

Um observador, estando a x metros da base de uma torre, vê o topo sob um ângulo de 60º. Afastando-se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 30º. A altura da torre corresponde, em metros, a: a) 40.

b) 40 3.

c) 50 2.

d) 50 3.

e) 50. Questão 2

Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, em um dado instante, veem, sob respectivos ângulos de 30º e 45º, um pássaro (P) voando, conforme é representado a seguir.

Considerando desprezível as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240m, a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?

a) 60 3 + 1 m

b) 120 3 + 1 m

c) 180 3 + 1 m

d) 120 3 1 m

e) 180 3 1 m

Questão 3

Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do

rio, está situado de tal modo que o ângulo ˆCAB mede 75º e o

ângulo ˆACB mede 75º. A largura do rio, em metros,

corresponde a: a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35.

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4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Questão 4

A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da

água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua

projeção ortogonal C, sobre a água, encontrava-se inicialmente

(figura 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o

arco AB uma trajetória do movimento planta.

Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta, em centímetros, é: a) 9.

b) 9 2.

c) 10.

d) 10 2.

e) 11. Questão 5

A figura abaixo mostra que duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em

O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e OB.

Sabendo-se que o ângulo AOB mede 60º, a medida do raio da

circunferência maior corresponde a: a) 10 cm. b) 13 cm. c) 15 cm. d) 18 cm. e) 20 cm. Questão 6

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5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Dois irmãos herdaram um terreno em forma de um paralelogramo ABCD, conforme ilustrado. Como pretendem

dividi-lo ao meio, resolveram passar uma cerca AC de

comprimento y. O valor de y, em metros, corresponde a:

a) 10

.3

b) 10 2.

c) 5 3.

d) 5 2.

e) 5

.3

Questão 7

Observando o ângulo a no triângulo isósceles abaixo, determine o valor de sena sabendo que é válida a relação 4sena =

3cosa :

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4. d) 0,5. e) 0,6.

a

20 20

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Leia o enunciado da questão e tente resolver. 2) Caso não consiga resolve, não tem problema, veja a

resolução da questão no final dessa apostila. 3) Em todas as questões abaixo, o aluno deve consultar os

valores dos senos, cossenos e tangentes de 30º, 45º e 60º que aparecem na tabela da nossa primeira página do resumo teórico.

Questão 01

(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião? Questão 02

(Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

30o

Tenório quadros

Teófilo Silva

posto

B

C

Questão 03

Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:

Questão 04

Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo do ponto A. Se

ele percorreu 300 m, qual a largura do rio?

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7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Questão 05

Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Renata

notou que ângulo a formado entre a linha da pipa e a rua era 60°, como mostra a figura. Calcule a altura do poste.

Questão 6

Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um

prédio, conforme mostra a figura abaixo:

Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°? Questão 7

Um avião está a 600 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 30°. A que distância o avião está da cabeceira da pista?

Questão 8

Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

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8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

Questão 9

Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.

Questão 10

(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz

ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: a) 6√3 m. b) 12 m. c) 13,6 m. d) 9√3 m. e) 18 m. Questão 11

(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2 3

b) 3

3

c) 3

6

d) 20

20

e) 3 3

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9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

GABARITOS e RESOLUCOES

Questão 1

xsen30

1000

1 x

2 1000

2x 1000

x 500m

A altura será de 500 metros. Questão 2

30o

Tenório quadros

Teófilo Silva

posto4000 m

x

A

B

C

BC 1 x

sen30 x 2000 m 2 kmAC 2 4000

Questão 3

Aplicaçao da lei dos cossenos x² = 6² + 8² – 2 * 6 * 8 * cos 60º x² = 36 + 64 – 96 * ½ x² = 100 – 48 x² = 52 √x² = √52

x = 2√13 Questão 4

300

2 = x

2 + 240

2

90000 = x2 + 57600

90000 – 57600 = x2

x2 = 32400

x = 32400

x 180m

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Questão 5

a

C.Otg

C.A

htg60

6

h3

6

h 6 3 m

Questão 6

htg60

120

h3

120

h 120 3 m

htg30

x

3 120 3

3 x

3 x 360 3

x 360m

Questão 7

600sen30

x

1 600

2 x

x 1200m

Questão 8

a) Através do cosseno de 30°, temos:

cat. adjacente a 30cos30

hipotenusa

3 16

2 x

3 x 16 2

32x

3

Portanto, a hipotenusa mede 32

3 unidades.

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11 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores

b) Através do seno de y:

cat.oposto a y

senyhipotenusa

13

sen y26

1

seny2

O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.

c) Pelo seno de 60°:

cat.oposto a 60sen60

hipotenusa

3 w

2 18 w 9 3

Concluímos que w 9 3 unidades.

d) Através do cosseno de 45°:

cat.adjacente a 45 2 20cos45 2 z 20 2

hipotenusa 2 z

40 2 40 2z x x 20 2

22 2

Portanto, a hipotenusa mede 20 2 unidades.

Questão 9

Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h): (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²

h² = 3² + ( 3 )²

h² = 9 + 3

h = 12

h = 2 3 cm

Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:

aa

a

cat. oposto atg

cat. adjacente a a

3tg

3 a

3 3tg

3 3 a

3 3tg 3

3

Se a tg 3 , logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um

triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β:

β + α + 90° = 180° β + 60° + 90° = 180° β + 150° = 180° β = 180° – 150° = 30° Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°. Questão 10

Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Representação geométrica da questão 3

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

cat.oposto 1 x

sen30 2x 36 x 18mhipotenusa 2 36

Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

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Questão 11

Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras,

temos: (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² (4a)² = (2a)² + c² 16a² = 4a² + c² c² = 16a² – 4a² c² = 12a²

c = 212a

c = 2a 3

Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando:

Representação geométrica da questão 4 Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α:

aa a

a

cat.oposto a 2a 1 3 3tg tg

cat.adjacente a 32a 3 3 3

Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.