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BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES
É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, Propriedades dos triângulos retângulos, a fim de operar com os vetores sem maiores dificuldades. Vamos a uma pequena revisão:
Geometria no triângulo retângulo: Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90º num triângulo retângulo. Somente triângulos retângulos tem hipotenusas. Catetos: lados opostos aos ângulos agudos no triângulo retângulo.
a
cateto
oposto ao
ângulo a
cateto adjacente ao ângulo a
hipotenusa
b
c
a
Relações matemáticas que você deve saber
Pitágoras: a² = b² + c² (válido só para triângulos retângulos)
a cateto oposto b
senhipotenusa a
a cateto adjacente c
coshipotenusa a
a bcateto oposto
tgcateto adjacente c
a a 2 2(sen ) (cos ) 1
Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos mais comuns que
aparecem na tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando com o uso e a prática, fazendo
exercícios:
x sen x cos x tg x
30° 1
2
3
2
3
3
45° 2
2
2
2 1
60° 3
2
1
2 3
CURSO ANUAL DE FÍSICA
AULA 1 – Prof. Renato Brito
2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores
Geometria no triângulo qualquer Lei dos Cossenos: calcula o 3º lado de um triângulo, do qual se conhecem dois lados e um ângulo.
a
a
b
c
a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa
esse é o lado
oposto a esse ângulo
Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 1º membro da fórmula é sempre o lado oposto ao ângulo a. Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, determinaremos, a seguir, o comprimento do 3º lado de um triângulo do qual conhecemos dois lados e um ângulo.
5 cm
8 cm
60o
?
a2 = b2 + c2 2.b.c. cosa
esse é o lado
oposto a esse ângulo
Chamaremos de a o ângulo de 60o do triângulo. O lado oposto ao ângulo a é sempre o lado a na lei dos cossenos e,
nesse exercício, será nessa incógnita. Os lados b e c podem ser escolhidos em qualquer ordem. Assim, temos: a = ? b = 8 cm c = 5 cm
a = 600
a2 = b
2 + c
2 2.b.c. cosa
a2 = (8)
2 + (5)
2 2 x 8 x 5. cos(60
o)
a2 = 64 + 25 40
a2 = 49
a = 7 Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 7 cm.
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Exemplos resolvidos em vídeo Questão 1
Um observador, estando a x metros da base de uma torre, vê o topo sob um ângulo de 60º. Afastando-se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 30º. A altura da torre corresponde, em metros, a: a) 40.
b) 40 3.
c) 50 2.
d) 50 3.
e) 50. Questão 2
Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, em um dado instante, veem, sob respectivos ângulos de 30º e 45º, um pássaro (P) voando, conforme é representado a seguir.
Considerando desprezível as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240m, a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 3 + 1 m
b) 120 3 + 1 m
c) 180 3 + 1 m
d) 120 3 1 m
e) 180 3 1 m
Questão 3
Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do
rio, está situado de tal modo que o ângulo ˆCAB mede 75º e o
ângulo ˆACB mede 75º. A largura do rio, em metros,
corresponde a: a) 15. b) 20. c) 25. d) 30. e) 35.
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Questão 4
A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da
água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua
projeção ortogonal C, sobre a água, encontrava-se inicialmente
(figura 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o
arco AB uma trajetória do movimento planta.
Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta, em centímetros, é: a) 9.
b) 9 2.
c) 10.
d) 10 2.
e) 11. Questão 5
A figura abaixo mostra que duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em
O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e OB.
Sabendo-se que o ângulo AOB mede 60º, a medida do raio da
circunferência maior corresponde a: a) 10 cm. b) 13 cm. c) 15 cm. d) 18 cm. e) 20 cm. Questão 6
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Dois irmãos herdaram um terreno em forma de um paralelogramo ABCD, conforme ilustrado. Como pretendem
dividi-lo ao meio, resolveram passar uma cerca AC de
comprimento y. O valor de y, em metros, corresponde a:
a) 10
.3
b) 10 2.
c) 5 3.
d) 5 2.
e) 5
.3
Questão 7
Observando o ângulo a no triângulo isósceles abaixo, determine o valor de sena sabendo que é válida a relação 4sena =
3cosa :
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4. d) 0,5. e) 0,6.
a
20 20
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Leia o enunciado da questão e tente resolver. 2) Caso não consiga resolve, não tem problema, veja a
resolução da questão no final dessa apostila. 3) Em todas as questões abaixo, o aluno deve consultar os
valores dos senos, cossenos e tangentes de 30º, 45º e 60º que aparecem na tabela da nossa primeira página do resumo teórico.
Questão 01
(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião? Questão 02
(Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
30o
Tenório quadros
Teófilo Silva
posto
B
C
Questão 03
Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir:
Questão 04
Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo do ponto A. Se
ele percorreu 300 m, qual a largura do rio?
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Questão 05
Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Renata
notou que ângulo a formado entre a linha da pipa e a rua era 60°, como mostra a figura. Calcule a altura do poste.
Questão 6
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um
prédio, conforme mostra a figura abaixo:
Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°? Questão 7
Um avião está a 600 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 30°. A que distância o avião está da cabeceira da pista?
Questão 8
Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:
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Questão 9
Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede 3 cm e o outro mede √3 cm.
Questão 10
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: a) 6√3 m. b) 12 m. c) 13,6 m. d) 9√3 m. e) 18 m. Questão 11
(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2 3
b) 3
3
c) 3
6
d) 20
20
e) 3 3
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GABARITOS e RESOLUCOES
Questão 1
xsen30
1000
1 x
2 1000
2x 1000
x 500m
A altura será de 500 metros. Questão 2
30o
Tenório quadros
Teófilo Silva
posto4000 m
x
A
B
C
BC 1 x
sen30 x 2000 m 2 kmAC 2 4000
Questão 3
Aplicaçao da lei dos cossenos x² = 6² + 8² – 2 * 6 * 8 * cos 60º x² = 36 + 64 – 96 * ½ x² = 100 – 48 x² = 52 √x² = √52
x = 2√13 Questão 4
300
2 = x
2 + 240
2
90000 = x2 + 57600
90000 – 57600 = x2
x2 = 32400
x = 32400
x 180m
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Questão 5
a
C.Otg
C.A
htg60
6
h3
6
h 6 3 m
Questão 6
htg60
120
h3
120
h 120 3 m
htg30
x
3 120 3
3 x
3 x 360 3
x 360m
Questão 7
600sen30
x
1 600
2 x
x 1200m
Questão 8
a) Através do cosseno de 30°, temos:
cat. adjacente a 30cos30
hipotenusa
3 16
2 x
3 x 16 2
32x
3
Portanto, a hipotenusa mede 32
3 unidades.
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b) Através do seno de y:
cat.oposto a y
senyhipotenusa
13
sen y26
1
seny2
O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 30°.
c) Pelo seno de 60°:
cat.oposto a 60sen60
hipotenusa
3 w
2 18 w 9 3
Concluímos que w 9 3 unidades.
d) Através do cosseno de 45°:
cat.adjacente a 45 2 20cos45 2 z 20 2
hipotenusa 2 z
40 2 40 2z x x 20 2
22 2
Portanto, a hipotenusa mede 20 2 unidades.
Questão 9
Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h): (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
h² = 3² + ( 3 )²
h² = 9 + 3
h = 12
h = 2 3 cm
Considere um ângulo α oposto ao lado de 3 cm. Calculando sua tangente, temos:
aa
a
cat. oposto atg
cat. adjacente a a
3tg
3 a
3 3tg
3 3 a
3 3tg 3
3
Se a tg 3 , logo α = 60°. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e que esse é um
triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β:
β + α + 90° = 180° β + 60° + 90° = 180° β + 150° = 180° β = 180° – 150° = 30° Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 30° e 60°. Questão 10
Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:
Representação geométrica da questão 3
Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:
cat.oposto 1 x
sen30 2x 36 x 18mhipotenusa 2 36
Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.
12 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Renato Brito Breve revisão de Geometria para ajudar no estudo dos vetores
Questão 11
Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede 2a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras,
temos: (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² (4a)² = (2a)² + c² 16a² = 4a² + c² c² = 16a² – 4a² c² = 12a²
c = 212a
c = 2a 3
Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando:
Representação geométrica da questão 4 Vamos chamar de α o ângulo oposto a 2a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α:
aa a
a
cat.oposto a 2a 1 3 3tg tg
cat.adjacente a 32a 3 3 3
Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.