Graduado em Matemática UFBAGraduado em Ciências Naturais UFBA

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Salvador-Ba

Geometria Analítica: Circunferência   

Equações da circunferência - Equação reduzida    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

 

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

  

   

Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as 

coordenadas do centro e o raio.Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem                

( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .Equação geral

   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

     Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de 

centro C(2, -3) e raio r = 4.   A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

 

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy.    Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 62º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes  

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio 

Posição de um ponto em relação a uma circunferência   Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:a) P é exterior à circunferência   

b) P pertence à circunferência

 

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + 

( y - b )2 - r2:se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;   se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 =    0, então P pertence à circunferência; se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

c) P é interior à circunferência

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e:

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência.

Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

Assim:

Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

A figura obtida é uma elipse.

Elipse

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e

sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a

2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo

plano e F1F2 < 2a, temos:

Observações:1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos

focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos

planetas também apresentam esse comportamento.2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos

focos.3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b

semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distância focal:

Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c,

0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a

um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de

hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes

elementos:

focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2

centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a

semi-eixo imaginário: b

semidistância focal: c

semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c

distância focal: eixo real: eixo imaginário:

Excentricidade        Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1.

Equações   Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

F1 (-c, 0)F2 ( c, 0)

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Nessas condições, a equação da hipérbole é:

Hipérbole eqüilátera Uma hipérbole é chamada eqüilátera

quando as medidas dos semi-eixos real e

imaginário são iguais:

a = b

Equação

    Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Parábola    Dados uma reta d e um ponto F                 , de um plano      , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano       eqüidistantes de F e d.   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano       e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os

seguintes elementos:

foco: o ponto F diretriz: a reta d 

vértice: o ponto V parâmetro: p 

    Então, temos que:o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. 

                Assim, sempre temos . •DF =p •V é o ponto médio de                                      

Equações   Vamos considerar os seguintes casos:a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

• Como a reta d tem equação                  e na parábola temos:•              ; 

• P(x, y); • dPF = dPd ( definição); 

•         obtemos, então, a equação da parábola: y2 = 2px

• b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

• Nessas condições, a equação da parábola é: y² = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical, a equação é: x²=2py

  

                                                                                                                                                                                   

• d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

x²= - 2py