trabalho de matemática - cônicas

8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas

1/27

JACKELINE MATIAS ALVES

CÔNICAS

HIPÉRBOLE, PARÁBOLA, ELIPSE E A CIRCUNFERÊNCIA


2/27

ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA

JACKELINE MATIAS ALVES, 20

CÔNICAS

HIPÉRBOLE, PARÁBOLA, ELIPSE E A CIRCUNFERÊNCIA

Trabalho de Pesquisa apresentado à Escola

Estadual Professora Silvana Evangelista

como um dos requisitos para obtenção de

nota na disciplina de Matemática.

Professor !obson

2SÃO PAULO

2016


3/27


Sumár!

"# INTRO$U%&O......................................................................................................."

2# PARÁBOLA............................................................................................................#

".$ Equação da Parábola..............................................................................................%

"." Equação &eral da Parábola....................................................................................'

'# ELIPSE.................................................................................................................$(

).$ Equação da Elipse.................................................................................................$$

(# HIPÉRBOLE..........................................................................................................."

*.$ Elementos de uma +ip,rbole.............................................................................."*." Equação redu-ida da hip,rbole.........................................................................."

)# CIRCUNFERÊNCIA..............................................................................................."

#.$ Equação da circunferncia.................................................................................."

#." Posiç/es do ponto em relação á circunferencia................................................."

#.* Posiçoes relativas de duas circunferencias........................................................"

(# BIBLIO*RAFIA#....................................................................................................."*

3SÃO PAULO

2016


4/27


"# INTRO$U%&O

0s seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto

de duas folhas com um plano. E1posiç/es gerais sobre as seç/es c2nicas são

conhecidas antes da ,poca de Euclides 34 )"#5"%# a.6.7 e e1iste uma

diversidade de definiç/es para elas8 cu9a equivalncia , mostrada na &eometria

Elementar. 0tualmente8 as mais usuais referem5se à propriedade foco -

diretriz dessas curvas8 por,m8 em seu c,lebre tratado sobre as seç/es c2nicas8

0pol2nio de Perga 34 "%"5$'( a.6.7 não mencionou essa propriedade e não

e1istia um conceito num,rico que correspondia ao que chamamos de

e1centricidade. 6oube a Pierre de :ermat a descoberta de que as seç/es

c2nicas podem ser e1pressas por equaç/es do segundo grau nas

coordenadas 318;7.


5/27


0lgumas definiç/es de figuras geom,tricas surgem da

intersecção de outras figuras. 6omo e1emplo citamos o

surgimento da parábola atrav,s da intersecção transversal de

um cone. =e9a figura

>e uma forma mais detalhada e utili-ando conceitos matemáticos

em relação aos estudos da &eometria 0nal?tica8 podemos definir

as condiç/es de formação de uma parábola atrav,s da utili-ação

de um plano de coordenadas cartesianas.

Suponha um ei1o d vertical e dois pontos : e =8 de acordo com a

representação

0 dist@ncia entre a reta vertical d e o ponto = deve ser

a igual à dist@ncia entre os pontos = e :.

>eterminaremos uma sequncia de pontos os quais

deverão estar à mesma dist@ncia de : e d. Abserve

0 parábola , formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma

dist@ncia do ponto : 3foco7 e da reta vertical d.

Todos os pontos do plano que possuem essa caracter?stica pertencem à parábola8

para tal verificação determinamos uma e1pressão matemática responsável por

essas comprovaç/es

Ande

5SÃO PAULO

2016


6/27


V: vértice da parábola.

F: foco da parábola

c: coeficiente que indica a distância do foco ao vértice,

deterinando a concavidade da parábola.

2#"#E+u-.! / Prá!1• E1m34!5 / um 6rá!17

>ada uma reta d e um ponto F 8 definimos 6rá!1 como o lugar geom,trico dos

pontos equidistantes do ponto F e da reta d .

0 parábola conta com os seguintes elementos

0 reta d , chamada de /r4r8 da parábola e o ponto F , o ponto focal8 ou 9!:! da

parábola. 0l,m destes dois elementos ainda temos o ponto V 8 v,rtice da parábola e

a reta que passa pelos pontos = e F que , chamada de ;! / 5m4r.

• E+u-.! / 6rá!1 :!m m

0ntes de fornecermos a equação

geral da parábola8 vamos analisar a

equação de quatro casos particulares

onde o v,rtice das parábolas se

encontram na origem dos ei1os no

plano cartesiano.

$B = 3(C(78 >iretri- ; D 5c e foco : 3(C c7

6SÃO PAULO

2016


7/27


6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7

temos que

"B caso = 3(C(7 >iretri- ;Dc e foco :

3(C 5c7

6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7 temos que

)B = 3(C(7 >iretri- 1D5c e foco :

3cC(7

7SÃO PAULO

2016


8/27



*B caso = 3(8(7 >iretri- 1Dc e foco: 35cC(7


8SÃO PAULO

2016


9/27


0ssim8 para parábolas com v,rtice na origem8 = 3(8(78 temos as equaç/es 1F D *c;8

1F D 5*c;8 ;F D *c1 e ;F D 5*c1.


10/27


11/27


Elementos da Elipse

:$ e :" N são os focos

6 N 6entro da elipse

"c N dist@ncia focal

"a N medida do ei1o maior

"b N medida do ei1o menor

cOa N e1centricidade

+á uma relação entre os valores a8 b e cN a" D b"c"

).$.E+u-.! / E165#

$B caso Elipse com focos sobre o ei1o 1.


12/27


"B 6aso Elipse com focos sobre o ei1o

;.

etermine a equação redu-ida da elipse sabendo que um dos focos ,

:$3( 8 5)7 e que o ei1o menor mede Q.

Solução temos que

12SÃO PAULO

2016


13/27


Se :$3( 8 5)7 N c D ) e o foco está sobre o ei1o ;.

"b D Q N b D *

Rsando a relação notável a" D b"c"8 obtemos

a" D *")" N a" D $% ' N a" D "# N a D #

0ssim8 a equação redu-ida da elipse será

Se :$3( 8 5)7 N c D ) e o foco está sobre o ei1o ;.

"b D Q N b D *

Rsando a relação notável a" D b"c"8 obtemos

a" D *")" N a" D $% ' N a" D "# N a D #

0ssim8 a equação redu-ida da elipse será

*. +LP!AKE

>efinição Se9am :$ e :" dois pontos do plano e se9a "c a dist@ncia entre eles8

hip,rbole , o con9unto dos pontos do plano cu9a diferença 3em mUdulo7 das

dist@ncias à :$ e :" , a constante "a 3( I "a I "c7.

13SÃO PAULO

2016


14/27


*.$Elementos de uma +ip,rbole

:$ e :" N são os focos da

hip,rbole

A N , o centro da hip,rbole

"c N dist@ncia focal

"a N medida do ei1o real ou

transverso

"b N medida do ei1o

imaginário

cOa N e1centricidade

E1iste uma relação entre a8 b e c N c" D a" b"

(#2Equação redu-ida da hip,rbole

$B caso +ip,rbole com focos sobre

o ei1o 1.

:ica claro que

nesse caso os

focos terão

coordenadas :$ 35c 8 (7 e :"3 c 8 (7.

0ssim8 a equação redu-ida da

elipse com centro na origem do

plano cartesiano e focos sobre o

ei1o 1 será

14SÃO PAULO

2016


15/27


"B caso +ip,rbole com focos sobre o ei1o ;.

a relação notável8 obtemosc" D a" b" N #" D )" b" N b" D"# V ' N b" D $% N b D *

0ssim8 a equação redu-ida será dada por

E1emplo ". Encontre a equação redu-ida da hip,rbole que possui dois focos com

coordenadas :" 3(8 $(7 e ei1o imaginário medindo $".

Solução Temos que

:"3(8 $(7 N c D $(

"b D $" N b D %

15SÃO PAULO

2016


16/27


Rtili-ando a relação notável8

obtemos

$(" D a" %" N $(( D a" )% N

a" D $(( V )% N a" D %* N a D Q.

0ssim8 a equação redu-ida da

hip,rbole será dada por

E1emplo ). >etermine a dist@ncia focal da hip,rbole com equação

Solução 6omo a equação da hip,rbole , do tipo temos que

a" D $% e b" D'

>a relação notável obtemos

c" D $% ' N c" D "# N c D #

0 dist@ncia focal , dada por "c. 0ssim8

"c D "W# D$(

Portanto8 a dist@ncia focal , $(.

#. 6L!6R


17/27


A comprimento 6 de uma circunferncia de

raio r pode ser determinado retificando5se a

circunferncia

• Ar:!5 @3>u1!5

6onsideremos dois pontos8 0 e 8 em uma circunferncia de centro A. o @ngulo

formado pelos segmentos A e 0A8 com o v,rtice no centro8 , denominado @ngulo

central.

0Y D @ngulo central

A @ngulo central determina na circunfernciadois arcos de circunferncia

Se 0 e forem coincidentes8 teremos um arco

nulo e outro de uma volta.

• *ru R/3!

0s unidades de medida de arcos são grau e radiano. 0rcos de$Z , aquele cu9o comprimento , igual a $O)%( do comprimento

da circunferncia. A arco de uma volta corresponde8 portanto8 a

6D)%(Z.

0rco de um radiano 3$ rad78 , aquele cu9o comprimento ,

igual ao raio da circunferncia em que esta contido.

17SÃO PAULO

2016


18/27


Se $ rad , a medida de um arco cu9o comprimento 3retificado7 ,

igual a $r8 então " rad , a medida de um arco de comprimento

igual a "r8 [rad , a medida de um arco de comprimento igual a [r e " [rad , a

medida de um arco de comprimento e " [r. A arco de uma volta corresponte8

portanto8 6 D "[r. Kogo

>enomina5se medida de uma arco em radianos a ra-ão entre seu comprimento e o

comprimento do raio da circunferncia em que está contido8 ambos na mesmaunidade de medida.

#.$EUA%&O $A CIRCUNFERÊNCIA

18SÃO PAULO

2016


19/27


• . Equação redu-ida

Se9a uma circunferncia com centro no ponto G 3a8 b7 e raio rC temos o ponto P 318 ;7

pertencente à circunferncia se8 e somente se

/ , P D r ou

Então8 uma circunferncia com centro no ponto G 3a8 b7 e raio r tem equação 31 V

a7" 3; V b7" D r " 3equação redu-ida da circunferncia7.

Abservação V Se o centro da circunferncia estiver na origem8 então D D (8 esua equação será

1" ;" D r "

• Equação geral ou normal

>esenvolvendo a equação redu-ida 31 V a7" 3; V b7" D r "8 vamos obter

1" V "a1 a" ;" V "b; b" V r " D (

Portanto8 1" ;" V "a1 V "b; a" b" V r " D ( , a equação geral da circunferncia.

Abservação V 0 equação normal da circunferncia tamb,m pode ser apresentada na

forma 1

"

;" 01 V ; 6 D (8 onde

19SÃO PAULO

2016


20/27


0 D 5"a8 D 5"b e 6 D a" b" V r "

0plicação

>etermine as equaç/es da circunferncia de centro 3$8 #7 e raio ".

S!1u-.!7

Sendo a D $8 b D # e r D "8 então8 temos

Sendo a D "8 b D * e r D )8 então8 temos

31 V a7" 3; V b7" D r" 31 V $7" 3; V #7" D ""

31 V $7" 3; V #7" D * 3equação redu-ida7

31 V $7" 3; V #7" D *

1" V "1 $ ;" V $(; "# V * D (

1

"

;

"

V "1 V $(; "" D ( 3equação geral7

)#2PASL\]ES >A PA


21/27


` P!34! P 6r43:

:r:u39r?3:7 por fim8 temos o caso no qual a

dist@ncia do ponto P ao centro , igual ao raio.

Portanto8 quando se conhece o raio da circunferncia e dese9a5se analisar a posiçãorelativa de um ponto a uma determinada circunferncia8 basta comparar a dist@ncia

do Ponto ao centro da circunferncia com o valor do raio8 feito isso voc será capa-

de determinar as posiç/es relativas. 6om isso , necessário saber como se calcula a

dist@ncia entre dois pontos8 esse estudo voc pode acompanhar no artigo >ist@ncia

entre dois Pontos.

=e9amos algumas situaç/es para reali-ar esse tipo de análise quanto às posiç/esrelativas entre um ponto e uma circunferncia.

0nalise as posiç/es relativas entre os pontos dados e a circunferncia 31$7 "

3;$7"D' 8 cu9os pontos são 035"8"7. 35*8$78 >3$8$78 E35*85$7

>evemos obter duas informaç/es necessárias para reali-ar os cálculos8 que são as

coordenadas do 6entro da circunferncia e o raio8 da equação redu-ida podemos

obter facilmente essas duas informaç/es 6 35$8 5$7 e raio ).

21SÃO PAULO

2016

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm


22/27


asta calcular as dist@ncias dos pontos at, o centro e comparar com o raio.

=e9amos a representação gráfica das posiç/es relativas

desses pontos em relação à circunferncia.

=e9a que apenas com o conceito de dist@ncia entre pontos foi poss?vel abordar

vários temas da geometria anal?tica. 0 dist@ncia entre pontos está presente em

praticamente toda a geometria anal?tica8 se não8 em toda ela.

)#'POSI%ES $A RETA EM RELA%&O Á CIRCUNFERENCIA

• P!5-G5 r14


23/27


0 reta s , e1terna à circunferncia de centro A e

raio !8 então podemos propor a seguinte situação

a dist@ncia do centro da circunferncia à reta s ,

maior que o raio da circunferncia.

> H !

!eta tan%ente # circunfer$ncia

0 reta s , tangente à circunferncia de centro A e raio !8 isto

,8 a reta s possui um ponto em comum com a circunferncia8

por isso podemos di-er que a dist@ncia entre centro A at, a

reta s possui a mesma medida.

> D !

!eta secante # circunfer$ncia

0 reta s , secante à circunferncia de raio ! e centro A8 a reta

intersecta a circunferncia em dois pontos. I !

)#(PASL\AES !EK0TL=0S >E >R0S 6L!6R


24/27


• 6ircunferncias tangentes.

a7 Tangentes e1ternas

>uas circunferncias são tangentes internas quandopossuem somente um ponto em comum e uma e1terior

à outra. 0 condição para que isso ocorra , que a

dist@ncia entre os centros das duas circunferncias se9a

equivalente à soma das medidas de seus raios.

dA6 D r $ r "

b7 Tangentes internas

>uas circunferncias são tangentes internas quando possuem

apenas um ponto em comum e uma este9a no interior da outra.

0 condição para que isso ocorra , que a dist@ncia entre os dois

centros se9a igual à diferença entre os dois raios.

dA6 D r $ 5 r "

• 6ircunferncias e1ternas.

>uas circunferncias são consideradas

e1ternas quando não possuem pontos em

comum. 0 condição para que isso ocorra ,

que a dist@ncia entre os centros das circunferncias deve ser maior que a soma

das medidas de seus raios.

dA6 H r $ r "

24SÃO PAULO

2016


25/27


). 6ircunferncias secantes.

>uas circunferncias são consideradas secantes quando

possuem dois pontos em comum. 0 condição para que

isso aconteça , que a dist@ncia entre os centros das

circunferncias deve ser menor que a soma das medidas

de seus raios.

d6A I r $ r "

*. 6ircunferncias internas.>uas circunferncias são consideradas internas quando

não possuem pontos em comum e uma está locali-ada no

interior da outra. 0 condição para que isso ocorra , que a

dist@ncia entre os centros das circunferncias deve ser

equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

dA6 I r $ 5 r "

#. 6ircunferncias concntricas.

>uas circunferncias são consideradas concntricas quando

possuem o centro em comum. adas as circunferncias e 8 de equaç/es

1" ;" D '

31 V 7" ;" D $%

25SÃO PAULO

2016


26/27


=erifique a posição relativa entre elas.

Solução Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a

medida do raio de cada uma das circunferncias. 0trav,s da equação de cada uma

podemos encontrar esses valores.

6omo a equação de toda circunferncia , da forma 31 V 1(7" 3; V ;(7" D r "8 teremos

6onhecidos os elementos de cada uma das circunferncias8 vamos calcular a

dist@ncia entre os centros8 utili-ando a fUrmula da dist@ncia entre dois pontos.

%. LKLA&!0:L0

&ircunfer$ncia. 3)$ de Maio de "($"7. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel em 6ol,gioeb httpOO.colegioeb.com.brOgeometria5analitica5iiOcircunferencia.htmli1--*Qdp1)

Aliveira8 &. 0. 3Sem data de Publicação7. 'osições relativas entre u ponto e uacircunfer$ncia. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel em rasil EscolahttpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOposicoes5relativas5entre5um5ponto5uma5circunferencia.htm

Pereira8 T. 3Sem >ata de Publicação7. &ircunfer$ncia. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?velem LnfoEscola httpOO.infoescola.comOgeometria5planaOcircunferenciaO

26SÃO PAULO

2016


27/27


!igonatto8 M. 3Sem data de publicação7. (ipérbole. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel emrasil Escola httpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOhiperbole.htm

!igonatto8 M. 3Sem data de publicação7. 'osiç)o relativa entre duas circunfer$ncias. 0cessoem Maio de "($%8 dispon?vel em Mundo Educação 5 RolhttpOOmundoeducacao.bol.uol.com.brOmatematicaOposicao5relativa5entre5duas5circunferencias.htm

!igonnato8 M. 3Sem data de Publicação7. *lipse. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel emrasil Escola httpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOelipse.htm

Silva8 M.

trabalho de matemática - cônicas

Documents