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SEM0317 SEM0317 –– Aula Aula 99

Planejamento de Trajetórias Planejamento de Trajetórias em Manipuladores Robóticosem Manipuladores Robóticosem Manipuladores Robóticosem Manipuladores Robóticos

Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP

•• IntroduçãoIntrodução

• Programação Explícita

– Espaço das Juntas

– Espaço Cartesiano

Sumário da AulaSumário da Aula

EESC-USP © M. Becker 2007


– Observações

• Programação Baseada em Modelos

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

2/89

IntroduçãoIntrodução

• Como obter a trajetória que descreve o movimento desejado para o manipulador robótico?


– Cinemática e Dinâmica conhecidas...– Técnicas:

1.1. Programação ExplícitaProgramação Explícita: usuário fornece uma trajetória pré-definida que o manipulador deve seguir– Posições, Velocidades e Acelerações desejadas;– Presença de Obstáculos, etc.

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2.2. Programação Baseada em ModelosProgramação Baseada em Modelos: usuário especifica modelos geométricos do manipulador e obstáculos e descreve a tarefa a ser executada através desses modelos– Condições de contorno para obter a trajetória desejada

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3.3. Programação Baseada em TarefasProgramação Baseada em Tarefas: usuário especifica comandos para o manipulador: “pegar parafuso A e colocá-lo no furo B” (task-level controller)– Cuidado com singularidades...

5/89


•• Programação ExplícitaProgramação Explícita– Espaço das Juntas





– Observações




6/89

Programação ExplícitaProgramação Explícita


– Cinemática e Dinâmica conhecidas...


– Cinemática e Dinâmica conhecidas...– Trajetória:

• Formas de representação• Tempo real: 60 ~ 2000 Hz

– Trajetória pré-definida:• Posições, Velocidades e Acelerações desejadas;• Presença de Obstáculos• Interface com usuário

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• Modos de controle para manipuladores robóticos

Presença de ObstáculosPresença de ObstáculosSIMSIM NÃONÃO


SIMSIM NÃONÃO

SIMSIM

NÃONÃOTra

jetó

rias

Tra

jetó

rias

De

finid

as

De

finid

as

Planejador de trajetórias Planejador de trajetórias offoff--line livre de colisões e line livre de colisões e acompanhamento onacompanhamento on--line line da trajetóriada trajetória

Planejador de trajetórias Planejador de trajetórias offoff--line e acompanhamento line e acompanhamento onon--line da trajetórialine da trajetória

Controlador de PosiçãoControlador de PosiçãoControlador de posição Controlador de posição com detecção e desvio com detecção e desvio de obstáculos onde obstáculos on--line line

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• Modos de controle para manipuladores robóticos

Condições de Contornoda Trajetória


Planejador de Planejador de TrajetóriasTrajetórias

da Trajetória

Especificaçõesda Trajetória

Limites Dinâmicos do Manipulador

)(),(),(),(

)(,)(),(

ttvttp

ttt

Ωφ

θθθ &&&

9/89


• Movimento desejado para o manipulador robótico?

Sistema de Referência da Ferramenta

Câmera


Câmera– Movimento do sistema de coordenadas da



Sistema de Referência do Punho

Sistema de Referência do Robô

Ferramenta

Sistema de Referência da Estação

Sistema de Referência da Peça


Sistema de Referência do Punho

Sistema de Referência do Robô

Ferramenta

Sistema de Referência da Estação

Sistema de Referência da Peça

de coordenadas da ferramenta T relativo ao da estação S

– Movimento desacoplado das njuntas do manipulador, etc.

S

T

10/89



– Movimento desacoplado: • Independe do manipulador, ferramentas, peças a


• Independe do manipulador, ferramentas, peças a serem manuseadas, etc.

– Problema básico:• Tinicial → Tfinal• Mudança de posição e orientação da ferramenta com

relação à estação S

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– No caso de trajetórias mais complexas:• Seqüência de posições e orientações desejados


• Seqüência de posições e orientações desejados (intermediários às posições inicial Tinicial e final da ferramenta Tfinal)

• Cada “ponto” intermediário: Tintermediárioi

• Especifica-se atributos espaciais e temporais Movimentos “suaves” (funções contínuas cujas derivadas

também são contínuas - 1ªs e às vezes 2ªs) Evitar movimentos com variações bruscas de aceleração (Jerk)

pois geram altas vibrações e atritos...

12/89




Tinicial

Tfinal

13/89


•• Programação ExplícitaProgramação Explícita–– Espaço das JuntasEspaço das Juntas





– Observações




14/89

Espaço das JuntasEspaço das Juntas

• Movimento desejado para o manipulador robótico é descrito em função das variáveis de junta– Não causa problemas de singularidade– Não é feita correspondência entre as variáveis


– Não é feita correspondência entre as variáveis de junta e o espaço cartesiano

• Cada “ponto” é descrito como uma posição e orientação de T em relação a S

• Converte-se os “pontos” para variáveis de junta através da cinemática inversa

• Obtém-se uma função “suave” para cada uma das njuntas do manipulador

função “suave”

15/89


• Polinômios Cúbicos– Tem-se:

• O “ponto” inicial (t0, θ0) e o final (tf, θf)

– Deseja-se:• Uma função “suave” para θ(t)


Função Contínua Função Contínua quanto à velocidadequanto à velocidade

• Uma função “suave” para θ(t)

t0 tf

θ0

θf

fft θθ

θθ

=

=

)(

)0( 0

0)(

0)0(

=

=

ftθ

θ&

&

Po

lin

ôm

io d

o 3

º G

RA

UP

oli

nô

mio

do

3º

GR

AU

16/89


• Polinômios Cúbicos– 4 coeficientes...

3

3

2

210 ...)( tatataat +++=θ


– Assim, para velocidade e aceleração:

– Substituindo as condições para t = 0 e t = tf...

taat

tataat

.62)(

.3.2)(

32

2

321

+=

++=

θ

θ&&

&

17/89


• Polinômios Cúbicos– Obtém-se para as equações de posição e

velocidade:

00 a=θ


2

321

1

3

3

2

210

00

.3.20

0

...

ff

ffff

tataa

a

tatataa

a

++=

=

+++=

=

θ

θ

18/89


• Polinômios Cúbicos– Obtém-se os 4 coeficientes...

( ).3

θθ −=a


01

00

=

=

a

a θ( )

( )033

022

.2

.3

θθ

θθ

−−=

−=

f

f

f

f

ta

ta

19/89


• Polinômios Cúbicos (MatLab)– Para as condições: - Tem-se:

º150 =θ 32 .44,4.2015)( ttt −+=θ2−=θ&


st

f

3

º75

=∆

=θ

tt

ttt

.66,2640)(

.33,13.40)( 2

−=

−=

θ

θ&&

&

20/89


• Polinômios Cúbicos– Nos gráficos:

70

80


0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

20

30

40

50

60

tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

32 .44,4.2015)( ttt −+=θ

21/89



30

35

2.33,13.40)( ttt −=θ&


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

30

tempo [s]

Vel

ocid

ade

Ang

ular

[gr

aus/

s]

22/89



30

40

tt .66,2640)( −=θ&&


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

tempo [s]

Ace

lera

ção

Ang

ular

[gr

aus/

s2 ] tt .66,2640)( −=θ&&

23/89


• Polinômios Cúbicos– Tem-se:

• O “ponto” inicial (t0, θ0) e o final (tf, θf) • Os “pontos” intermediários

– Deseja-se:


– Deseja-se:• Uma função “suave” para θ(t)SEM PARAR em cada

“ponto” intermediário...

– Procedimento:• Converter os pontos inicial, final e intermediário

para as variáveis de junta através da cinemática inversa

• Obter as cúbicas que conectam os pontos.

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• Polinômios Cúbicos– Agora as condições de contorno não são

nulas...

a=θ


fft θθ

θθ&&

&&

=

=

)(

)0( 0

2

321

10

3

3

2

210

00

.3.2

...

fff

ffff

tataa

a

tatataa

a

++=

=

+++=

=

θ

θ

θ

θ

&

&

25/89


• Polinômios Cúbicos– Obtém-se os 4 coeficientes...

( ) 12.

3θθθθ && −−−=a


01

00

θ

θ&=

=

a

a ( )

( ) ( )02033

0022

.1

.2

12.

3

θθθθ

θθθθ

&&

&&

++−−=

−−−=

f

f

f

f

f

ff

f

f

tta

ttta

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• Polinômios Cúbicos– Tendo as velocidades das juntas desejadas

para cada “ponto”, aplica-se as equações anteriores para cada trecho.

– Especificação das velocidades:


– Especificação das velocidades:1.1. Via usuárioVia usuário: fornece para cada posição a

velocidade linear e angular no espaço cartesiano2.2. Via SistemaVia Sistema: velocidades escolhidas

automaticamente através de um processo heurístico

3.3. Via SistemaVia Sistema: velocidades escolhidas automaticamente para manter uma aceleração contínua

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• Polinômios Cúbicos– Heurística:

• Se ocorre mudança de sinal na inclinação na linha tracejada → velocidade nula...

• Senão, a velocidade é obtida pela média das


• Senão, a velocidade é obtida pela média das inclinações

t0 tA tB tC tD

θD

θC

θB

θA

θ0

28/89

50

55


• Polinômios Cúbicos– Exemplo – “Pontos” desejados (MatLab)

θD

θA

50

55

θD

θA


0 2 4 6 8 10 1210

15

20

25

30

35

40

45

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

θC

θB

θA

θ0

0 2 4 6 8 10 1210

15

20

25

30

35

40

45

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

θC

θB

θA

θ0

29/89

50

55

50

55


• Polinômios Cúbicos– Exemplo – Ângulos da Junta

θD

θA θA

θD


0 2 4 6 8 10 1210

15

20

25

30

35

40

45

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

0 2 4 6 8 10 1210

15

20

25

30

35

40

45

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

θC

θB

θA

θ0

θC

θB

θA

θ0

30/89

10

15


• Polinômios Cúbicos– Exemplo - Velocidade

10

15


0 2 4 6 8 10 12-20

-15

-10

-5

0

5

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[gra

us/s

]

0 2 4 6 8 10 12-20

-15

-10

-5

0

5

Tempo [s]

Vel

ocid

ade

[gra

us/s

]

31/89


• Polinômios de “Ordem mais Elevada”– Empregados quando se deseja definir

posição, velocidade e aceleração no início e o final do segmento da trajetória

– Polinômios de 5ª ordem:


– Polinômios de 5ª ordem:• 6 coeficientes...

5

5

4

4

3

3

2

210 .....)( tatatatataat +++++=θ4

5

3

4

2

321 .5.4.3.2)( tatatataat ++++=θ&

3

5

2

432 .20.12.62)( tatataat +++=θ&&

32/89


• Polinômios de 5ª Ordem– Obtém-se para as equações de posição,

velocidade e aceleração:

5432 +++++=θ


20

10

00

2a

a

a

=

=

=

θ

θ

θ

&&

&

3

5

2

432

4

5

3

4

2

321

5

5

4

4

3

3

2

210

.20.12.62

.5.4.3.2

.....

ffff

fffff

ffffff

tatataa

tatatataa

tatatatataa

+++=

++++=

+++++=

θ

θ

θ

&&

&

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• Polinômios de 5ª Ordem– Obtém-se os 6 coeficientes...

00 θ=a

2

000

3

)..3()..12.8(.20.20 fffff tta

θθθθθθ &&&&&& −−+−−=


00 θ=a

5

2

000

5

4

2

000

4

33

.2

).()..6.6(.12.12

.2

)..2.3()..16.14(.30.30

.2

f

fffff

f

fffff

f

t

tta

t

tta

ta

θθθθθθ

θθθθθθ

&&&&&&

&&&&&&

−−+−−=

−+++−=

=

01 θ&=a

2

02

θ&&=a

34/89


• Polinômios de 5ª Ordem (MatLab)– Para as condições iniciais, tem-se:

º150

=

=

θ

θ s/º00 =θ& 2

0 /º0 s=θ&&


stt f

f

3

º75

==∆

=θ sf /º0=θ& 2/º0 sf =θ&&

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• Polinômios de 5ª Ordem (MatLab)– Obtém-se as equações:

543 .4815,1.11,11.22,2215)( tttt +−+=θ


32

432

543

.63,29.32,133.32,133)(

.4075,7.44,44.66,66)(

.4815,1.11,11.22,2215)(

tttt

tttt

tttt

+−=

+−=

+−+=

θ

θ

θ

&&

&

36/89

70

80


• Polinômios de 5ª Ordem– Nos gráficos:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

20

30

40

50

60

70

tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

543 .4815,1.11,11.22,2215)( tttt +−+=θ

37/89

35

40



432 .4075,7.44,44.66,66)( tttt +−=θ&


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

15

20

25

30

tempo [s]

Vel

ocid

ade

Ang

ular

[gr

aus/

s]

38/89

30

40




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

tempo [s]

Ace

lera

ção

Ang

ular

[gr

aus/

s2 ]

32 .63,29.32,133.32,133)( tttt +−=θ&&

39/89


• Funções Lineares e Parabólicas– Interpolação linear para mover a junta da

posição atual para a posição final• Velocidade torna-se descontínua no início e no final do

movimento...


movimento...

– Para obter uma trajetória “suave”: adiciona-se trechos parabólicos...

• Emprega-se trechos de aceleração constante• Comportamento “suave” para a velocidade• Comportamento contínuo para posição e velocidade• Diversas soluções são possíveis...

– Simetria com relação a th na solução!

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• Funções Lineares e Parabólicas

θf

θ

θf

θ

θh

θf

θ

θf

θ

θh


– Como a velocidade na fronteira da parábola é igual à velocidade no segmento de reta:

bh

bhb

ttt

−−

=θθ

θ .&&

t0 tf

θ0

ttb tf - tb t0 tf

θ0

tth

θh

t0 tf

θ0

ttb tf - tb t0 tf

θ0

tth

θh

2

0 ..2

1bb tθθθ &&+=

41/89


• Funções Lineares e Parabólicas– Assim, para t = 2.th:

0)(... 0

2 =−+− θθθθ fbb ttt &&&&


Duração desejada para o MovimentoDuração desejada para o Movimento

θ

θθθθ&&

&&&&

2

)(4

2

0

22 −−−=

f

b

ttt

2

0 )(4

t

f θθθ

−≥&&

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• Funções Lineares e Parabólicas– Tem-se:

• O “ponto” inicial (t0, θ0) e o final (tf, θf) • Os “pontos” intermediários

– Deseja-se:


– Deseja-se:• Uma função “suave” para θ(t)SEM PARAR em cada

“ponto” intermediário...

– Procedimento:• Segmentos lineares unem os pontos especificados;• Segmentos parabólicos suavizam o movimento.

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• Funções Lineares e Parabólicas (MatLab)– Para as condições iniciais, tem-se:

º15=θ 2

1 /º40 s=θ&&


º75

º150

=

=

fθ

θ2

2

1

/º30

/º40

s

s

=

=

θ

θ&&

&&

44/89

70

80

70

80


• Funções Lineares e Parabólicas– Nos gráficos:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

20

30

40

50

60

tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310

20

30

40

50

60

tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

45/89



25

30

25

30


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

tempo [s]

Vel

ocid

ade

Ang

ular

[gr

aus/

s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

tempo [s]

Vel

ocid

ade

Ang

ular

[gr

aus/

s]

46/89



20

30

30

40


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-30

-20

-10

0

10

20

tempo [s]

Ace

lera

ção

Ang

ular

[gr

aus/

s2 ]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

tempo [s]

Ace

lera

ção

Ang

ular

[gr

aus/

s2 ]

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• Funções Lineares e Parabólicas– Sejam:

• j, k e l 3 pontos consecutivos• A duração do segmento que conecta os pontos j

e k é tdjk


e k é tdjk

• A duração do segmento de parábola que conecta os pontos j e k é tk

• A duração do segmento de reta que conecta os pontos j e k é tjk

• A velocidade durante o trecho linear é• A aceleração durante o trecho parabólico no

ponto j éjθ&&

jkθ&

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• Funções Lineares e Parabólicas

θ

θj

tjk klθ&


td12

tkθi

ttdjk

θk θl

jkθ&

49/89


• Funções Lineares e Parabólicas– Dados:

• Todos os pontos desejados da trajetória:• As durações desejadas dos trechos da trajetória: tdjk

• A magnitude desejada da aceleração para cada

kθ


• A magnitude desejada da aceleração para cada trecho:

– Obtém-se:• A duração dos segmentos parabólicos que

conectam os pontos da trajetória: tk

kθ&&

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• Funções Lineares e Parabólicas– Para os pontos internos à trajetória:

jk

jkt

−=

θθθ&


kjdjkjk

k

jkkl

k

kjkklk

djk

jk

tttt

t

t

2

1

2

1

||)sgn(

−−=

−=

−=

θ

θθ

θθθθ

&&

&&

&&&&&&

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• Funções Lineares e Parabólicas– Para o 1º trecho da trajetória:

1211 1

tt

t

−

−=

θθθ&&


211212

1

122

12121

112

12121121

112

2

1)(2

2

1||)sgn(

2

ttttttt

tt

tt

ddd

d

−−=−

−−=

−

−=−=

−

θθθ

θθθθθθθ

&&

&&&&&&&

52/89


• Funções Lineares e Parabólicas– Para o último trecho da trajetória:

1

1− −

= nnnnt

θθθ

&&&&


1)1()1(12

)1()1(

)1(

1)1(1

)1(

2

1)(2

2

1||)sgn(

2

1

−−−−

−−

−

−−−

−

−−=−

−−=

−

−=−=

−

nnnndnn

n

nnnndnndn

nnnd

nnnnnnnn

nnd

nn

ttttttt

tt

tt

θθθ

θθθθθθθ

&&

&&&&&&&

53/89

50

55


• Funções Lineares e Parabólicas– Exemplo – “Pontos” desejados (MatLab)

θD

θA


0 2 4 6 8 10 1210

15

20

25

30

35

40

45

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

θC

θB

θA

θ0 θ0

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–– Espaço CartesianoEspaço Cartesiano




– Observações




55/89

Espaço CartesianoEspaço Cartesiano

• Movimento desejado para o manipulador robótico é descrito em função de variáveis Cartesianas– Seqüência de “pontos” que fornecem a Posição

e Orientação da ferramenta em função do


e Orientação da ferramenta em função do tempo

• Cada “ponto” é descrito como uma posição e orientação de T em relação a S em Coordenadas Cartesianas

• Trajetórias mais comuns: segmentos de reta, arcos de circunferência, elipses, senoidais, etc.

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• Movimento desejado para o manipulador robótico é descrito em função de variáveis Cartesianas– Seqüência de “pontos” que fornecem a Posição

e Orientação da ferramenta em função do


e Orientação da ferramenta em função do tempo

• Não é necessário converter inicialmente os “pontos” para variáveis de junta através da cinemática inversa

• São Computacionalmente mais “caras” pois requerem a solução da cinemática inversacinemática inversa do manipulador “em tempo real” (taxa de atualização – update rate)

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• Movimento Retilíneo no Espaço Cartesiano– Movimento comumente empregado

• Seleciona-se uma seqüência de pontos alinhados e próximos

• Emprega-se uma função “suave” para conectar os


• Emprega-se uma função “suave” para conectar os pontos

– Splines, p.e.: funções lineares e parabólicas– Componentes de posição: alinhados– Componentes de orientação: Matriz de rotação

» Não se pode usar interpolação linear» Emprega-se então a representação ângulo-eixo

(angle-axis)

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• Problemas encontrados no Espaço Cartesiano com Movimento Retilíneos– Incompatibilidade com o espaço de trabalho e

singularidades1. Pontos intermediários da Trajetória fora do espaço de


1. Pontos intermediários da Trajetória fora do espaço de trabalho Posição Inicial e Final Posições intermediárias A

B

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singularidades2. Velocidades de Junta Elevadas quando próximos a


2. Velocidades de Junta Elevadas quando próximos a singularidades Manipulador desvia da trajetória desejada...

B

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singularidades3. Posições inicial e final atingíveis em diferentes soluções


3. Posições inicial e final atingíveis em diferentes soluções

BA

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–– ObservaçõesObservações




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ObservaçõesObservações

• Geração de Trajetórias em “Tempo Real”– Trajetória usualmente gerada em termos de

– Enviadas para o Sistema de Controle do Manipulador

juntadevariáveise →)()(),( ttt θθθ &&&


Manipulador• Taxa de atualização (update rate)...

RobôRobôSistema de

ControleGerador deTrajetória

τ)(tdθ&

)(tdθ&&

)(tdθθ

θ&RobôRobô

Sistema deControle

Gerador deTrajetória

τ)(tdθ&

)(tdθ&&

)(tdθθ

θ&

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• Geração de Trajetórias em “Tempo Real”– Espaço das Juntas– Para splines cúbicas (polinômios de 3º grau)

• Todos os coeficientes das n splines cúbicas são


• Todos os coeficientes das n splines cúbicas são calculados previamente:

• Quando se chega ao final de um trecho da trajetória, um novo conjunto de coeficientes do polinômio é empregado e t reiniciado como 0 (“zero”)

3

3

2

210 ...)( nnnnn tatataatnnnn

+++=θ

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• Geração de Trajetórias em “Tempo Real”– Espaço das Juntas– Para splines Lineares e Parabólicas

• O valor de t é verificado a cada atualização para determinar se o trecho atual é linear ou parabólico.


determinar se o trecho atual é linear ou parabólico.Para o trecho linear:

0

.

=

=

+=

θ

θθ

θθθ

&&

&&

&

jk

jkj t

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• Geração de Trajetórias em “Tempo Real”– Espaço das Juntas– Para splines Lineares e Parabólicas

• O valor de t é verificado a cada atualização para determinar se o trecho atual é linear ou parabólico.


determinar se o trecho atual é linear ou parabólico.Para o trecho parabólico:

( )

k

inbkjk

inbkinbjkj

jkjinb

t

ttt

tttt

θθ

θθθ

θθθθ

&&&&

&&&&

&&&

=

+=

+−+=

+−=

.

.2

1).(

21

2

Para um novo trecho com spline

linear e parabólica, t é reiniciado como

sendo tk/2

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• Geração de Trajetórias em “Tempo Real”– Espaço Cartesiano– Para splines Lineares e Parabólicas

• Valores de posição e orientação representados no espaço cartesiano.


espaço cartesiano.

• x representa a posição e orientação.

• Para cada grau de liberdade, tem-se, no trecho linear:

0

.

=

=

+=

x

xx

txxx

jk

jkj

&&

&&

&

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• No trecho parabólico:


( )

k

inbkjk

inbkinbjkj

jkjinb

xx

txxx

txttxxx

tttt

&&&&

&&&&

&&&

=

+=

+−+=

+−=

.

.2

1).(

21

2

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• Converte-se então a trajetória em coordenadas Cartesianas para variáveis de junta xxx &&& e,


Cartesianas para variáveis de junta :

– Para posição: CINEMÁTICA INVERSACINEMÁTICA INVERSA– Para velocidade: JACOBIANOJACOBIANO– Para aceleração: JACOBIANO INVERSO e sua DERIVADAJACOBIANO INVERSO e sua DERIVADA

• Modo mais simples:– Converter e empregar um SOLVER para se obter

um vetor Θ com as variáveis de junta (taxa de aquisiçãotaxa de aquisição); – Diferenciação Numérica é então empregada:

xxx &&& e,θθθ &&& e,

Tem S

Gx

ΘΘ &&& e

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• Algoritmo, para cada instante de tempo t:


t

t)(t(t)(t)

t

t)(t(t)(t)

SOLVE(t)S

G

S

G

δδ

δδ

−Θ−Θ=Θ

−Θ−Θ=Θ

=Θ

→

&&&&

&

)( T

Tx

ΘΘΘ &&& e,Envia-se para o sistema de controledo Manipulador

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• Planejar Trajetórias com o Modelo Dinâmico– Em geral, considera-se um valor padrão ou

máximo de aceleração na geração de trajetórias• Função da dinâmica do Manipulador e de seus limites


• Função da dinâmica do Manipulador e de seus limites• Atuadores são caracterizados:

– Não por torque e aceleração máximos...– Por curvas de torque vs. velocidade

• Induz-se Simplificações:– Considerar uma aceleração máxima (“conservadora”)

para cada junta do manipulador– Não se aproveita completamente as capacidades de

velocidade do atuador...

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• Planejar Trajetórias com o Modelo Dinâmico– Para se obter o tempo mínimo para um

manipulador atingir uma posição ou executar uma trajetória:• Modelo Dinâmico do Manipulador


• Modelo Dinâmico do Manipulador• Curvas de torque x velocidade dos atuadores

Soluções Numéricas são empregadas...

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• Uso de Quartenions– Comparação entre o uso de quartenions e matrizes

OperaçãoOperação QuartenionsQuartenions MatrizesMatrizes


OperaçãoOperação QuartenionsQuartenions MatrizesMatrizes

R1R2 9 (+) e 16 (x) 15 (+) e 24 (x)

Rv

12 (+) e 22 (x) 6 (+) e 9 (x)

R → Rol(n,θθθθ)24 (x), 1 (√) e 1

(arctan)8 (+), 10 (x), 2 (√)

e 1 (arctan)

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•• Programação Baseada em ModelosProgramação Baseada em Modelos



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Programação baseada em ModelosProgramação baseada em Modelos

• Planejar Trajetórias Livres de Colisões– Colisões com obstáculos:

• Fixos (máquinas, paredes, grades, etc.)• Móveis (pessoas, objetos, outros manipuladores, etc.)

– Não disponíveis comercialmente...


– Não disponíveis comercialmente...– O sistema deve ter modelos:

• Do manipulador;• Da área de trabalho;• Dos obstáculos potenciais.

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• Planejar Trajetórias livres de Colisões– Várias técnicas são aplicadas:

• Modelar o espaço livre da área de trabalho empregando a Teoria de GrafosTeoria de Grafos e encontrar uma trajetória livre de colisões



trajetória livre de colisões– Complexidade exponencial no número de juntas do

manipulador...

• Empregar Campos de Potencial ArtificialCampos de Potencial Artificial ao redor dos obstáculos e um pólo de atração na posição desejada– Mínimos Locais...

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• Planejar Trajetórias livres de Colisões– Exemplo: Lozano-Pérez (1987)

• Robô PUMA com garra de 3 dedos• 6 Graus de Liberdade


EESC-USP © M. Becker 2007 77/89


• Manipulador com n graus de liberdade• Representação no Espaço de Configurações:

– Configuration Space (C-space): Conjunto de parâmetros



– Configuration Space (C-space): Conjunto de parâmetros que definem completamente a posição de qualquer ponto do manipulador ou obstáculo (fixo ou móvel) dentro de seu espaço de trabalho.

– Forma de representação:» Espaço das Juntas» Espaço Cartesiano Espaço das Juntas Espaço Cartesiano

Multiplicidade de Soluçõesobtidas na cinemática inversa...

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• Mapeia-se os obstáculos no Espaço de Configurações– C-Space Obstacles (Figura para um manipulador RRR)



• Espaço Livre: complemento do C-Space Obstacles

θ1

θ2

θ3

θ2

θ2

a3

b3 a3

b3

θ3

R1

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• Espaço livre é obtido para cada junta• n juntas → n C-spaces...





1

θ22π


Um manipulador com 2 juntas rotacionais (RR) e obstáculos no espaço cartesiano (2D) e no espaço das juntas (C-space)

1

2

12

θ1

2π0

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2


Um manipulador com 3 juntas rotacionais (RRR) e obstáculos no espaço cartesiano (2D) e no espaço das juntas (C-space)

1

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Quando a ferramenta executa uma tarefa em uma região interna...

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• Planejar Trajetórias livres de Colisões











•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados


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Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

• Exercícios:– Livro do Craig (2005): pp. 226-229










•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

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Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics:

Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3

• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, Programming and Control, The MIT Press.


• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, Programming and Control, The MIT Press.

• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.

• Corke, P., Robotics Toolbox for MatLab (Release 7).

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Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

• Lozano-Perez, T., 1987, A Simple Motion-Planning Algorithm for General Robot Manipulators, IEEE Journal of Robotics and Automation, Vol. RA-3, Nº 3, pp. 224-238.


• Lozano-Perez, T., 1981, Automatic Planning of Manipulator Transfer Movements, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. SMC-11, Nº 10, pp. 681-698.

sem0317 sem0317 – aula aula 9 planejamento de trajetórias … · espaço das juntas •...

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