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SEM0317 SEM0317 –– Aula 8Aula 8

Dinâmica de Manipuladores Dinâmica de Manipuladores RobóticosRobóticosRobóticosRobóticos

Prof. Dr. Marcelo BeckerProf. Dr. Marcelo BeckerEESC - USP

•• IntroduçãoIntrodução

• Método Newton-Euler

• Método de Krane

Sumário da AulaSumário da Aula


• Exemplos de Aplicação

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

EESC-USP © M. Becker 2008 2/77

IntroduçãoIntrodução• O porquê do uso de modelos dinâmicos em robótica:


IntroduçãoIntrodução

• Deseja-se compreender:– Torques e Forças (internos/externos)

• 2 problemas principais:– Dados deseja-se:θθθ &&&e, τ– Dados deseja-se:– Como o manipulador irá se movimentar

com a aplicação de ,ou seja, obter:

• Base: sistemas multi-corpos

θθθ &&&e, τ

τθθθ &&&e,


IntroduçãoIntrodução• Equações de Movimento...

),(),()( uqFuqVuqM =+&

),()( tqBqqAu += &

iam ⋅=∑F

ω×ω+α=τ∑ II

Formulação Mínima → G.D.L.Formulação Completa → Corpos

),()( tqBqqAu += &ω×ω+α=τ∑ II


IntroduçãoIntrodução• Descrição da Dinâmica...

Dinâmica Direta (Simulação)

Dados: Posições e Velocidades no instante inicial t0

Forças e Torques (F , τ) no instante inicial t0τ 0

Leis de Formação para F e τ quando t > t0

(Exemplo: Leis de Controle)Procura-se: Movimentos resultantes

(comportamento) para t > t0SOLUÇÃO

Integração das Equações de Movimento

Sist. de Equações Diferenciais


IntroduçãoIntrodução• Descrição da Dinâmica...

Dinâmica Inversa (Comando, Controle em Malha Aberta)

Dados: Movimentos desejados (posições, velocidades,acelerações) para t > t0Forças e Torques de contatoForças e Torques de contato

Procura-se: Forças e Torques nas articulações dos robôs

SOLUÇÃOResolução das

Equações de MovimentoSist. de Equações Algébricas

Planejador deTrajetorias

Sistema deControle

Robôτ

dθ

dθ&

dθ&&

θ

θ&




• Métodos mais empregados em Robótica:– Newton-Euler (N-E)– Krane– Krane– Lagrange-Euler (L-E)– Equações Generalizadas de d’Alembert (D)

• Qual empregar?



• Comparação (Fu et al., 1987): n - DoFs

Método L-E N-E D

Multiplicações128/3n

4 + 512/3n3 +

739/3n2 + 160/3n

132n13/6n

3 + 105/2n2 +

268/3n + 69739/3n2 + 160/3n

268/3n + 69

Adições98/3n

4 + 781/6n3 +

559/3n2 + 245/6n

111n - 44/3n

3 +44n3 + 146/3n

2 + 45n

Representação Cinemática

Matrizes Homogêneas 4x4

Matrizes de Rotação e Vetores

de Posição


de Posição

Equações de Movimento

Equações diferenciais

“closed-form”

Equações Recursivas


“closed-form”



• Comparação (Fu et al., 1987): 6 - DoFs

Método L-E N-E D

Multiplicações 101.348 792 2.963101.348 792 2.963

Adições 77.405 662 2.209

Representação Cinemática

Matrizes Homogêneas 4x4


de Posição


de Posição

Equações de Movimento


“closed-form”

Equações Recursivas


“closed-form”


IntroduçãoIntrodução• Prós e Contras...

– L-E: � Equações em uma forma bem estruturada;� Computacionalmente dispendiosas...

– N-E:– N-E:� Conjunto de Equações Recursivas;� Dificilmente empregadas para obter leis de

controle mais “avançadas”...

– D:�Equações em uma forma estruturada;� Computacionalmente dispendiosas...


Newton-Euler

• Cada corpo rígido é considerado separadamente• Quando da separação de cada corpo, as forças nos mancais

precisam ser introduzidas e posteriormente eliminadas.• O cálculo dos termos de inércia é feito através das

acelerações.


acelerações.Lagrange-Euler

• O sistema é considerado por completo.• Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não

precisam ser introduzidas.• O cálculo dos termos de inércia, através da derivada da

energia cinética é trabalhoso em sistemas grandes.• Alguns dos termos calculados, anulam-se posteriormente em

simplificações.


Métodos de Projeção - Kane

(Kane, T.R., Levinson, D.A.: "Dynamics: Theory and Application", McGraw-Hill, 1985)

• Trata o sistema como um todo.• Forças que não produzem trabalho (forças nos mancais), não

precisam ser introduzidas.


precisam ser introduzidas.• Baseado no princípio das potências virtuais. Cálculo dos

termos inerciais através de acelerações e produtos escalares com velocidades parciais.

Outros Métodos de Projeção: destaque especial Manfred Hiller.


IntroduçãoIntrodução• Observações...

– É usual desconsiderar forças de Coriolis e Centrífugas para aumentar a velocidade de controladores de manipuladores.de controladores de manipuladores.

– Porém essas forças são significantes no cálculo dos torques das juntas a altas velocidades...


Possibilidades para o Controle

• Dedução das equações de movimento com o auxilio do computador

Atenção: Equações de movimento são difíceis de comparar.


• Simulação das equações de movimento

Atenção: Equações de movimento são difíceis de comparar.


Software para análise de Sistemas MulticorposSoftware para análise de Sistemas MulticorposCaracterísticas importantes para diferenciar programasCaracterísticas importantes para diferenciar programas

Catalogo de critériosCatalogo de critérios

• Numérico / Simbólico • Com / sem solução das Equações (Simulação)• Abrangência das equações resultantes respectivamente

duração das Simulações• Capacidade para lidar com equações Lineares / Não-Lineares• Capacidade de Linearização• Equações de Vínculos gerados automaticamente / pelo

usuário• Equações de Vínculos gerados automaticamente / pelo

usuário• Dedução das Equações em modo interativo/ batch• Genérico / Específico para aplicações especiais• Somente corpos rígidos / corpos flexíveis• Forças internas disponíveis diretamente• Com / sem saídas e entradas gráficas• Equipamento necessário / Preço• Documentação e facilidade de ambientação e utilização• Manutenção, suporte técnico


Softwares de Interesse p/ Robôs Softwares de Interesse p/ Robôs (Sistemas Multicorpos)(Sistemas Multicorpos)

• Autolev (www.autolev.com)• MSC.ADAMS® (www.mscsoftware.com) • Matlab/Simulink (www.mathworks.com/products/matlab)• (www.cat.csiro.au/cmst/staff/pic/robot)• Matlab/SimMechanics• Matlab/SimMechanics

(www.mathworks.com/products/simmechanics)• Mathematica/TSI ProPac

(www.wolfram.com/products/applications/tsipropac)• Mathematica/Robotica (robot0.ge.uiuc.edu/~spong/Robotica)• Simpact• GraspIt (www1.cs.columbia.edu/~allen/GRASPIT)• Modellica (www.modellica.org)


Considerações sobre a construção de Considerações sobre a construção de Modelos para RobôsModelos para Robôs

Modelo + Simples (Possibilidades)• Desprezar acoplamentos entre parte dos corpos dos robôs• Desprezar termos de inércia em V(Q,U), considerando a matriz M(Q)• Exclusão de termos que se mantêm muito pequenos• Corpos como pontos ou barras delgadas (momento de inércia)

Compromisso: descrição mais exata possível e o esforço correspondente

Modelo + Completo (Possibilidades)• Considerar os atritos e as folgas• Mecanismos de transmissão de força como estruturas contendo

massas• Elasticidades locais (redutores)• Motores nos termos de inércia (inércia dos rotores e/ou efeitos

giroscópios)• Elos como estruturas elásticas contínuas• Comportamento de componentes não mecânicos (motor elétrico)• Ambiente externo, inclusão de contato


Auxilio de SoftwareAuxilio de SoftwareAnálise de Sistemas DinâmicosAnálise de Sistemas Dinâmicos

1. Construção do ModeloDescrição simplificada → modelo mecânico simplificado.“Apenas” as características de interesse do sistema real, porem da forma mais precisa possível.

2. Descrição MatemáticaFormulação matemática das relações e leis físicas.

Auxilio de Software

3. Determinação dos ParâmetrosDeterminação dos parâmetros (valores) através de medidas diretas ou de identificação no sistema real / experimental

4. Aquisição de InformaçõesInformação sobre movimentos, forças e energia. Representação na forma de tabelas, gráficos (2D / 3D, estáticos / dinâmicos)

5. InterpretaçãoConseqüências para a formulação construtiva, dimensionamento de atuadores ajuste dos controladores, carregamentos para FEM, etc ...


Simulação de Sistemas MulticorposSimulação de Sistemas MulticorposSimulação → Integração das E.d.M.Rotinas de Integração → Equações diferenciais de primeira ordem Representação de estados necessária a partir das E.d.M.

uqqJ

uqFuqVuqM

=

+−=

&

&

)(

),(),()(

=

q

uxVetor de estados

−=

=

−

−

uqJ

uqVuqFM

q

ux

1

1

)(

)),(),((

&

&&

=uqM &)(

No entanto: O calculo explicito de M-1 e de J-1 em cada passo de integração é ineficiente e desnecessário.

Melhor: Solução do sistema de equações lineares .... e = ... para a cada passo de integraçãoqqJ &)(


Composição do Modelo

Dedução das Equações deMovimento com auxilio do

Computador

Geração do Programa

Eng

enhe

iroA

utol

ev

Composição do Modelo

Dedução das Equações deMovimento com auxilio do

Computador

Geração do Programa

Eng

enhe

iroA

utol

ev

Manipulador simbólico especializado para:• Cinemática• Dedução de Equações de Movimento

para sistemas multicorpos pelo Método de Kane (por exemplo...)

Autolev


Geração do Programade Simulação

Simulação dasEquações de Movimento

Representação Graficados Resultados

Mat

lab

/ CM

atla

b /

C /

Gnu

Plo

t

Geração do Programade Simulação

Simulação dasEquações de Movimento

Representação Graficados Resultados

Mat

lab

/ CM

atla

b /

C /

Gnu

Plo

t

Método de Kane (por exemplo...)• Geração automática de Programas de

Simulação (MatLab, C, ...)


Flexíbilidade • Corpos de Ligação (elos)• Articulações • Tecidos

Contatos e Colisões

Áreas de Pesquisa


Extensão da Teoria Helicoidal

Solvers para tempo real (Hardware-in-the loop)

Modelagem do mundo externo

Dinâmica Reduzida com Simplificação do Modelo



•• Método Método NewtonNewton--EulerEuler




• Exemplo de Aplicação




Método NewtonMétodo Newton--EulerEuler

• “Produto final” do Método de Newton-Euler:

– Equações diferenciais de movimento– Equações diferenciais de movimento– Reações dinâmicas (forças e torques)


• Equacionamento:


Massa total do link i.Posição do Centro de Massa do link i com relação ao sistema inercial.Posição do Centro de Massa do link i com relação à origem do sistema (x , y , z ).link i

(xi-1, yi-1, zi-1) →

→

→

i

i

i

s

r

m

relação à origem do sistema (xi, yi, zi).Origem do iésimo sistema de coordenadas comrelação ao iésimo -1 sistema.

Velocidade linear do Centro de Massa do link i

Aceleração linear do Centro de Massa do link i

Força externa total aplicada no centro de massa do link i.

x0y0

z0

link i

ri

link i-1

link i+1

si

pi*

pi

(xi, yi, zi)

→

→=

→=

→

→

i

ii

ii

i

i

F

dt

vda

dt

drv

p

s

*


• Equacionamento:


Momento externo total aplicado no centro demassa do link i.

Matriz de inércia com relação ao sistema inercial.link i →

→

i

i

I

N

inercial.

Força exercida no link i pelo link i-1, no sistema(xi-1, yi-1, zi-1) para suportar o link i eos demais links “acima” dele.

Momento exercido no link i pelo link i-1, no sistema(xi-1, yi-1, zi-1).

x0y0

z0

link i

ri

link i-1

link i+1

si

pi*

pi


→

→

→

i

i

i

n

f

I

• Desconsiderando atritos viscosos nas juntas, tem-se:


iiii

i amdt

vmdF ==

)(

)(Id ω

Onde:

EESC-USP © M. Becker 2008

)()(

iiiiiii

i IIdt

IdN ωωω

ω×+== &

+××+

×+×+

+××+×

=

−

−−

−

1

*

1

*

1

1

**

)(

)(2

)(

iiii

iiiiiii

iiiiii

i

vp

qzpqz

vpp

v

&

&&&&

&&

&

ωω

ωω

ωωω

28/77

• Com relação às forças e momentos externos exercidos no link i, tem-se:

E:


1+−= iii ffF

111)()(

+−+×−−×−+−= iiiiiiii frpfrpnnN

• Essas equações podem ser rescritas na forma de equações recursivas pois:


1

*

11)(

+−+×−×−+−= iiiiiii fpFrpnn

iiii sppr +=− −

*

1

29/77

z0

link i

ri

link i-1

link i+1

si

pi*

pi• Assim:


ppii--11

iiii sppr +=− −

*

1

x0y0

pi• Assim:


11 ++ +=+= iiiiii famfFf

iiiiiiii NFspfpnn +×++×+=++

)(*

1

*

1

30/77

• Finalmente:


+

+

=

−

T

iii

T

i

i

qbzn &1

τ


11 ++ +=+= iiiiii famfFf

iiiiiiii NFspfpnn +×++×+= ++ )(*

1

*

1

+− iii

T

i qbzf &1

31/77

• Como aplicar?

– Equações Forward


+

=

−

−

−)(

010

1

1

0

ii

i

i

i

i

i

qzRR

R

ω

ω

&


=

−

−

− )( 10

1

1

0

i

i

i

i

i

RR

R

ω

ω

×++

=

−

−

−

−

−

−

−

−

)(

))((

10

1

1

010

1

010

1

1

0

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

i

i

RR

qzRqzRR

R

ω

ωω

ω

&

&&&&

&

32/77

– Equações Forward


( )( )

+

+××+×

−

−

−...

...)()()()()(

10

1

1

*

000

*

00

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

vRR

pRRRpRR ωωω

&

&


( )

××+

+×+

+×++=

−

−−−

)()()(...

...)()(2...

...)()()(

*

000

010

*

001101

0

i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

ii

i

pRRR

qzRR

pRRvRqzRvR

ωω

ω

ω

&

&&&&&

( ) i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ivRsRRRsRRaR &&

0000000 )()()()()( +××+×= ωωω

33/77

– Equações Backward


i

i

ii

i

i

i

i

iaRmfRRfR 010

1

10 )( += +

+

+

( )...)()(...

...)()(

*1

10

1*

0

1

10

1

10

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

FRsRpR

fRpRnRRnR

+×++

+×+=

+

+

++

+

+

+


+

+

=

−

−

iii

iT

i

i

iii

iT

i

i

i

qbzRfR

qbzRnR

&

&

)()(

)()(

010

010

τ

( )))(()())((...

...)()(...

0

0

000

0

0

00

*

0

1

i

i

ii

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

i

RRIRRRRIR

FRsRpR

ωωω ×++

+×+++

&

34/77

• Equações Forward e Backward

– Em geral, as condições iniciais são:

Método Método NewtonNewton--EulerEuler

0000 === vωω &


( )Tzyx gggv ,,

0=&

35/77



•• Método de Método de KraneKrane



• Exemplo de Aplicação




Método de Método de KraneKrane


1. Escolha n coordenadas generalizadas qr(r = 1,..., n),2. Escolha n velocidades generalizadas ur(r = 1,..., n),

),(),(1

tqbqtqau ri

r

i

rir +=∑=

&

Método de Método de KraneKraneNa forma de Algoritmo...

3. Velocidades angulares absolutas wA, wB, ...e as velocidades absolutas vA, vB,...

4. Tabela das velocidades angulares parciais (wA)r, (wB)r , ......e das velocidades parciais (vA)r, (vB)r , ... (r=1,...,n).

5. Acelerações angulares absolutas αA, αB, ... e acelerações absolutas aA, aB, ......

∑=

ω+ω=ωr

r

rErEE u1

0 )()( ∑=

+=r

r

rErEE vuvv1

0 )()(


6. Momentos inerciais (torques de inércia) TA*, TB* , ....

−−

113232)( III αωω

ω

ω

ω

⋅

ωω−

ω−ω

ωω−

+

α

α

α

⋅

−=

3

2

1

332313

232221

131211

12

13

23

3

2

1

332313

232221

131211

*

0

0

0

III

III

III

III

III

III

TE


7. Contribuições (FA*)r, (FB*)r, ,...,

As n forças inerciais generalizadas Fr* do sistema completo são formadas pela adição das componentes de cada corpo:

−−

−−=

332121

221313

113232

*

)(

)(

III

IIITE

αωω

αωω

( ) nrTvamF rEErEEErE L,1)()(**

=ω⋅+⋅−=

L++= rBrAr FFF )()(***


8. Substituir forças ativas e momentos ativos por forças equivalentes FA, . FB,.. c/ linha de ação passando pelo centro de massa do corpo rígido e por momentos TA, . TB,..... (ou MA, MB)

9. As n forças ativas generalizadas Fr do sistema completo são formados

( ) nrTvFF rEErEErE L,1)()( =ω⋅+⋅=


9. As n forças ativas generalizadas Fr do sistema completo são formados pelas contribuições dos diferentes membros:

As equações de movimento do sistema e (r = 1,...,n)

Com respeito à forma generalizada das equações de movimento introduzida anteriormente para sistemas multicorpos não-lineares, vale:

L++= rBrAr FFF )()( 0*

=+ rr FF

),()(*

*

1

uqVqM

F

F

n

+=

M ),(

1

uqF

F

F

n

=

M







•• Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação




Exemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação

• Pêndulo duplo...

B*


Adept Cobra 600

SCARA Robot

n1

n2

a1

a2

b1b2

q1

q2

LA

L1

A*

LB

L2

43/77

Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação --11

• Manipulador Planar de 2 DoFs com duas juntas de rotação



• Matrizes de Transformação de Coordenadas (Rotação):

− 0

11sc

− 0

22sc

− 0

1212sc


−

=

100

0

0

11

11

1

0cs

sc

R

−

=

100

0

0

22

22

2

1cs

sc

R

−

=

100

0

0

1212

1212

2

1cs

sc

R

−=

100

0

0

22

22

1

2cs

sc

R

−=

100

0

0

11

11

1

0cs

sc

R

−=

100

0

0

1212

1212

2

1cs

sc

R

45/77


• Assumindo as condições iniciais:

• Tem-se as equações forward, para i = 1:

e0000 === vωω & ( )Tygv 0,,0

0=&

• Tem-se as equações forward, para i = 1:


1111

11

1

0

0

1

0

0

100

0

0

θθ &&

=

−= cs

sc

)(1000

1

10

1 θωω &zRR +=

0000 === vωω &

46/77


• Para i = 2:

0000 sc

)( 2010

1

1

2

20

2 θωω &zRRR +=


( )212122

22

1

0

0

1

0

0

1

0

0

100

0

0

θθθθ &&&& +

=

+

−= cs

sc

47/77


• A aceleração angular das juntas de rotação, para i = 1:

11001000

1

10

1)1,0,0()( θθωθωω &&&&&&& T

zzRR =×++=

• Para i = 2:


1100100010

000 == ωω &

[ ] ( )212010

1

2010

1

1

2

20

2)1,0,0())(( θθθωθωω &&&&&&&&& +=×++=

TzRzRRR

48/77


• A aceleração linear das juntas de rotação, para i = 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )00

1*

10

1

10

1

10

1*

10

1

10

1

10

1 vRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω


+

×

×

+

×

=

00

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

111gc

gsll

θθθ &&&&

+

+−

=

0

11

1

2

1

gcl

gsl

θ

θ

&&

&

( )Tgv 0,,0

0=&



( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )10

1

1

2*

20

2

20

2

20

2*

20

2

20

2

20

2vRRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω

000


+

+−

−+

+

×

+

×

+

+

×

+

=

0100

0

0

...

...

0

00

0

0

0

0

00

0

11

1

2

1

22

22

212121

gcl

gsl

cs

sc

ll

θ

θ

θθθθθθ

&&

&

&&&&&&&&



( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )10

1

1

2*

20

2

20

2

20

2*

20

2

20

2

20

2vRRpRRRpRRvR &&& +××+×= ωωω


( )( )

++++

+−−−−−

=

0

2

12

2

121221

1221

2

2

2

1

2

1212

gcscl

gscsl

θθθθ

θθθθθθ

&&&&&&&

&&&&&&&


• A aceleração linear do centro de massa, para i = 1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1vRsRRRsRRaR && +××+×= ωωω

Onde:


−

−

=

02

12

1

1

1

1 ls

lc

s

−

=

−

−

−=

0

02

02

12

1

100

0

0

1

1

11

11

10

1

l

ls

lc

cs

sc

sR



−

−

200

20 ll


+

+−

=

+

+−

+

+

×

×

+

×

=

02

2

0

...

...

0

02

00

0

02

1

0

11

1

2

1

11

1

2

1

11

110

1

gcl

gsl

gcl

gsl

aR

θ

θ

θ

θ

θθ

θ

&&

&

&&

&

&&

&&



( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )20

2

20

2

20

2

20

2

20

2

20

2

20

2vRsRRRsRRaR && +××+×= ωωω

Onde:


−

−

=

02

12

1

12

12

2 ls

lc

s

−

=

−

−

−=

0

02

02

12

1

100

0

0

12

12

1212

1212

20

2

l

ls

lc

cs

sc

sR



+

−

×

×

+

−

×

=2

002

02

ll


( )( )

++++

+−−−−

+

+

×

+

×

+

+

×

+

=

0

2

...

...

0

02

00

0

02

0

12

2

121221

1221

2

2

2

1

2

1212

212121

20

2

gcscl

gscsl

aR

θθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

&&&&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&&



−

−

200

20 ll


( )( )

++++

+−−−−

+

+

−

×

+

×

+

+

−

×

+

=

0

2121

2121

...

...

0

02

0

0

0

0

0

02

0

0

12

2

121221

1221

2

2

2

1

2

1212

212121

20

2

gcscl

gscsl

aR

θθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

&&&&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&&


• Tem-se as equações backward para i = 1, 2 e sem carregamento externo:

• A força exercida no link, para i = 2: • A força exercida no link, para i = 2:



• Para i = 1:



• O momento no link, para i = 2:

Onde:Onde:




Onde:Onde:



• E finalmente o torque em cada link, para i = 2, b2 = 0 :



• Para i = 1, b1 = 0:


B*

B


n1

n2

a1

a2

b1b2

q1

q2

LA

L1

A*

LB

L2


ur





0*

=+ rr FF








•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados



Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

• Exercícios Recomendados:– Livro do Craig (2005): pp. 194-200

– Grupo de 5 alunos:

• Tarefa extra...


Tarefa extra-aula:Desenvolva as Equações de Movimento para odedo de robô da figura abaixo:








•• Exercícios RecomendadosExercícios Recomendados

•• Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada


Bibliografia RecomendadaBibliografia Recomendada

• Santos, I.F., 2001, Dinâmica de Sistemas Mecânicos: Modelagem, Simulação, Visualização e Verificação, Makron Books, ISBN 85-346-1110-6.

• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence –Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence –Capítulo 3, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.

• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics and Control – Capítulo 6, 3rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN 0-201-54361-3


sem0317 sem0317 – aula 8 aula 8 dinâmica de ... · •exemplos de aplicação •exercícios ......

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