Saggitarius A∗

Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/

Regressão linearQual é a melhor reta que representa esse conjunto de pontos?

Podemos defini-la matematicamente!

Regressão linear

di

Queremos encontrar a reta que tenha a mínima distância possível de cada um dos i pontos experimentais

y

x

Regressão linear

y

x

di

Reta: Y = A + BX

Distância de um ponto à reta: di = Y(xi) − yi

= A + B xi − yi

Regressão linear

y

x

di

Distância de um ponto à reta: di = Y(xi) − yi

= A + B xi − yi

Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yi

Regressão linear

y

x

di > 0

Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yidi < 0

Regressão linear

y

x

di > 0

Distância de todos os pontos à reta: ∑ di = ∑ A + B xi − yi

Módulo? ∑ |di| = ∑ |A + B xi − yi|

di < 0

“Desvio padrão”

−4 −4

+4+4

∑ |di|/N = 4

−6−2

+1

+7

∑ |di|/N = 4

−4 −4

+4+4

−6−2

+1

+7

√∑ di2/N = 4,74

√∑ di2/N = 4

“Desvio padrão”

Método dos mínimos quadrados

di

Minimizamos a soma quadrática das distâncias: D = ∑ di2 = ∑ (A + B xi − yi)2

y

x

Método dos mínimos quadrados

di

Minimizamos a soma quadrática das distâncias: D(A, B) = ∑ di2 = ∑ (A + B xi − yi)2

y

x

Método dos mínimos quadrados

diD(A, B) = ∑ (A + B xi − yi)2

Vamos achar A, B que minimizam D.

y

x

Equação dos Mínimos Quadrados

Y

X

iésimo ponto (xi;yi)

ponto da melhor reta(xi;Ymr)

di

di é a distância, na vertical, entre a melhor retae o iésimo ponto experimental

melhor retaY = A + BX

di = Ymr - yi

Ymr = A + Bxi

a condição para obtenção da melhor reta é:

mínimodN

ii =∑

=1

2

di = A + Bxi - yi

di2 = (A + Bxi – yi).(A + Bxi – yi)

22222 222 iiiiiii yyBxxBAyABxAd +−+−+=

)).((2iiiii yBxAyBxAd −+−+=

Como xi e yi são valores fixos ( pontos experimentais ), a melhor reta é obtida ajustando os valores de A e de B ⇒ ),(

1

2 BAfdN

ii =∑

=

mínimoser1

2∑=

N

iid ⇒

01

2

=∂

∂∑=

A

dN

ii

01

2

=∂

∂∑=

B

dN

ii

∑∑∑∑∑∑∑=======

+−+−+=N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

i

N

ii yyxBxByAxABAd

1

2

11

22

111

2

1

2 222

2NA

∑∑∑∑∑∑======

+−+−+=N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii yyxBxByAxABNAd

1

2

11

22

11

2

1

2 222

0)(211

1

2

=−+=∂

∂

∑∑∑

==

=N

ii

N

ii

N

ii

yxBNAA

d⇒

N

yxBA

N

ii

N

ii ∑∑

==

+−= 11 I

0)(211

2

1

1

2

=−+=∂

∂

∑∑∑∑

===

=N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

yxxBxAB

d⇒ ∑∑∑

===

−=N

ii

N

iii

N

ii xAyxxB

111

2 II

substituindo a eq.I na eq.II :

∑∑ ∑

∑∑=

= =

==""""

#

$

%%%%

&

'−

−=N

ii

N

i

N

iiiN

iii

N

ii x

N

xByyxxB

1

1 1

11

2 III

multiplicando III por N :2

1 1111

2 ∑ ∑∑∑∑= ====

"#

$%&

'+−=

N

i

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii xByxyxNxNB

rearranjando : ∑∑∑∑∑∑∑=======

−=##

$

%

&&

'

(#$

%&'

(−=#

$

%&'

(−

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii yxyxNxxNBxBxNB

111

2

11

22

11

2

isolando B:2

11

2

111

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

xxN

yxyxNB

substituindo B na equação I:N

yxBA

N

ii

N

ii ∑∑

==

+−= 11

e rearranjando adequadamente, teremos:( )2

11

2

1111

2

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

xxN

yxxyxA

Método dos mínimos quadrados

N = Σxi = (Σxi)2 = Σxi2 = Σyi = Σxi yi =

1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0

λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Método dos mínimos quadrados

N = 6 Σxi = Σ(1/fi) = 1,00 x 10-3 + 1,25 x 10-3 + …+ 10,0 x 10-3 = 21,42 x 10-3 s (Σxi)2 = 4,588164 x 10-4 s2 Σxi2 = (1,00 x 10-3)2 + (1,25 x 10-3)2 + …+ (10,0 x 10-3)2 = 1,366014 x 10-4 s2 Σyi = 0,3405 + 0,4340 + … + 3,4556 = 7,3911 m Σxi yi = (1,00 x 10-3 x 0,3405) + …+ (10,0 x 10-3 x 3,4556) = 4,714885 x 10-2 s m

1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0

λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Método dos mínimos quadrados

2

11

2

111

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

xxN

yxyxNB

( )2

11

2

1111

2

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

xxN

yxxyxA

Método dos mínimos quadrados

A = [(1,366014 x 10–4 x 7,39115) – (21,42 x 10–3 x 4,714885 x 10-2 )]/ [(6 x 1,366014 x 10–4) – 4,588164 x 10–4] = - 8,1420724 x 10–4 m = –0,0008 m

B = [(6 x 4,714885 x 10-2 ) – (21,42 x 10-3 x 7,3911]/ [(6 x 1,366014 x 10-4) – 4,588164 x 10-4] = 345,23987 m/s = 345 m/s

2

11

2

111

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

N

ii

N

ii

N

ii

N

ii

N

iii

xxN

yxyxNB

( )2

11

2

1111

2

!"

#$%

&−

−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====

N

ii

N

ii

N

iii

N

ii

N

ii

N

ii

xxN

yxxyxA

Método dos mínimos quadrados

A = [(1,366014 x 10–4 x 7,39115) – (21,42 x 10–3 x 4,714885 x 10-2 )]/ [(6 x 1,366014 x 10–4) – 4,588164 x 10–4] = - 8,1420724 x 10–4 m = –0,0008 m

B = [(6 x 4,714885 x 10-2 ) – (21,42 x 10-3 x 7,3911]/ [(6 x 1,366014 x 10-4) – 4,588164 x 10-4] = 345,23987 m/s = 345 m/s

1/f (10-3 s) 1,00 1,25 1,67 2,50 5,00 10,0

λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Mesma precisão de yi

Significativos de xi e yi

Universidade Federal de Santa Catarina 

Licenciatura Em Física a Distância 

Laboratório de Física I – FSC 9301 

Professor Flavio Renato Ramos de Lima 

Professor José Ricardo Marinelli 

Fazendo regressão linear na calculadora.* *(Os  conceitos básicos  são os mesmos para qualquer  calculadora MAS os  comandos  específicos  aqui mostrados  são para a  calculadora Casio  FX‐82MS, para algumas  calculadoras, alguns  comandos  serão ligeiramente diferentes.)  

   

Calculadora: Regressão linear ou método dos mínimos quadrados

Exemplo de pesos para correção do gráfico (valor total do gráfico = 10 pontos)

* Escalas

- Falta variável/unidade: -1 p por eixo

- Marcas de escala em excesso: -1 p por eixo

- Escala proibida: -2 p por eixo

- Gráfico pequeno? (<50%): -1 p

- Precisão correta das escalas?: -1 p por eixo

* Casos omissos: Decidam com coerência.

* Pontos exp. e melhor reta

- Pontos pouco visíveis: -1 p

- Pontos mal alocados: -1 p por ponto mal alocado

- Faltam pontos da melhor reta: -2 p

- Melhor reta incoerente com pontos: Verificar onde está erro.

- Gráfico poluído: -1 p

-Leitura difícil/falta capricho: -1 p

Agora você é o carrasco e vai corrigir o gráfico de seu colega!

Saggitarius A∗

PATETICE DOS COMENTARIOs

LONGE PERToPROXIMIDADE DE um gatINHO

UM GATINHO!

XKCD.COM

Tipos de papelpapel milimetrado

loglog ou dilog

semilog ou monolog

eixo linear

Papel milimetrado

eixo linear

eixo logarítmico

Papel semilog ou monolog

eixo linear

eixo logarítmico

Papel loglog ou dilog

eixo logarítmico

Escolha do papelCritério: Curva que representa pontos experimentais deve ser uma reta.

Y = A + B XY

X

Papel semilog ou monologEquações do tipo:

Y = A eBX ou Y = A 10BX ou Y = A 2BX

eixo log

Y

XA, B: constantes desconhecidas

eixo linear

Papel loglog ou dilogEquações do tipo:

Y = A Xn

eixo log

Y

XA, n: constantes desconhecidas

eixo log

eixo logarítmico

Papel semilog ou monolog

eixo linear

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

d

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

d

d

d

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

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log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

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d

d

d

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

+

+

+

0,100 1,000 10,000

1,00

10,00

d

+

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

+

+

+

+

+

+

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

d

d

d

d

Free Multi-Width Graph Paper from http://incompetech.com/graphpaper/multiwidth/

Traçado da curva1. Não precisa passar

sobre todos os pontos (às vezes não passa por ponto algum)

2. Não precisa começar no primeiro ponto nem terminar no último ponto

3. Deve ser traçada levando em conta a tendência dos pontos experimentais (nunca ligar ponto a ponto)

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

+

+

+

+

+

+

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

+

+

+

+

+

+

d

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

Obtenção das grandezas procuradas

+

+

+

+

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

d

B =�Y

�X=

Y2 � Y1

X2 �X1

B =log d2 � log d1log t2 � log t1

A = Y1 �BX1

A = log d1 �B log t1

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

� u

d

d

6) Um objeto é acelerado de tal forma que as distâncias percorridas pelo corpo para tempos previamente definidos, são dados pela tabela abaixo:

t(s) 0,200 0,500 1,200 3,000 20,000 50,000 x(cm) 2,25 3,77 6,18 10,000 30,14 50,50

Uma proposição teórica para explicar o comportamento experimental observado é dada por:

bx Ct . a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente,

bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel log-log (dilog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de C e b, com suas respectivas unidades e

número adequado de algarismos significativos. a) Linearização: Aplicando logaritmo decimal à equação dada, obtemos log x = log C + b log t. Comparando com a equação da reta, temos que Y = log x X = log t A = log C B = b b) Gráfico (próxima folha) c) Cálculo de C e b: Escolhendo, no gráfico, os pontos P1(30,000;37,5) e P2(1,000;5,50), temos:

log37,5 log5,50 0,833668578B 0,564 b

log30,000 log1,000 1,477121255�

�

0,564cm

s

log C log37,5 0,564 log30,000 0,740934881

C 5,51

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