pds aula06 projeto de filtros

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Técnicas de Projeto de Filtros Carlos Alexandre Mello – [email protected] Carlos Alexandre Mello

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Projeto de Filtros.

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  • Tcnicas de Projeto de Filtros

    Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Carlos Alexandre Mello

  • Tcnicas de Projeto de Filtros O projeto de um filtro tem trs passos:

    Especificaes Determinada pela aplicao

    Aproximaes

    2Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Aproximaes Projeto do filtro especificamente (H(z))

    Implementaes Transcrio do projeto para hardware ou software

    2

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Em diversas aplicaes como

    processamento de voz ou som, filtros digitais so usados para implementar operaes seletivas de frequncia

    3Carlos Alexandre Mello [email protected]

    operaes seletivas de frequncia Assim, especificaes so necessrias no

    domnio da frequncia em termos de magnitude desejada e resposta em fase do filtro

    3

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Em geral, uma resposta em fase linear na

    banda de passagem desejada

    4Carlos Alexandre Mello [email protected] 4

  • Tcnicas de Projeto de Filtros As especificaes de magnitude so dadas

    de duas possveis formas: Especificaes absolutas

    Requisitos da magnitude |H(ejw)|

    5Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Requisitos da magnitude |H(ejw)| Especificaes relativas

    Requisitos definidos em decibis (dB)

    Escala dB =

    5

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Consideraes:

    Banda de Passagem 1 - 1 |H(jw)| 1 + 1, para 0 |w| wp

    6Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Banda de Corte |H(jw)| 2, para |w| ws

    Banda de Transio Largura finita igual a ws wp

    6

  • Tcnicas de Projeto de FiltrosEspecificaoAbsoluta

    7Carlos Alexandre Mello [email protected] 7

  • Tcnicas de Projeto de FiltrosEspecificaoRelativa

    8Carlos Alexandre Mello [email protected] 8

  • Tcnicas de Projeto de Filtros

    9Carlos Alexandre Mello [email protected] 9

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Exemplo: As especificaes de um FPB

    definem as ondulaes da banda de passagem em 0,25 dB e a atenuao na banda de corte em 50 dB. Determine 1 e 2banda de corte em 50 dB. Determine 1 e 2 Rp = 0,25 = -20 log10 [(1 - 1)/(1 + 1)]

    1 = 0,0144 As = 50 = -20 log10 [2/(1 + 1)]

    2 = 0,0032

    10Carlos Alexandre Mello [email protected] 10

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Objetivo:

    Projetar um filtro passa baixa (i.e., achar H(z)) que tenha banda de passagem [0, wp] com que tenha banda de passagem [0, wp] com tolerncia 1 (ou Rp em dB) e uma banda de passagem [ws, pi] com tolerncia 2 (ou As em dB)

    11Carlos Alexandre Mello [email protected] 11

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Vantagens de filtros FIR

    Resposta em fase linear O que implica que filtros de ordem M ou M-1 tm

    uma ordem de M/2 operaes Fceis de implementar Eficientes TDF pode ser usada em sua implementao

    12Carlos Alexandre Mello [email protected] 12

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIR

    Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Carlos Alexandre Mello

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Tanto a aproximao quanto a

    implementao podem ser realizadas de diversas maneiras diferentes, com o resultado de que no existe uma soluo

    14Carlos Alexandre Mello [email protected]

    resultado de que no existe uma soluo nica para o problema de projeto de filtros com um conjunto prescrito de especificaes

    14

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Todavia, podemos mencionar trs diferentes

    abordagens para o projeto de filtros analgicos e digitais: Abordagem analgica

    15Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Abordagem analgica Abordagem de analgico para digital Abordagem digital direta

    15

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIR Para o projeto de filtros FIR, as tcnicas so

    divididas nas seguintes categorias: Projeto usando janelas

    16Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Projeto usando janelas Mtodo da amostragem em frequncia Projeto equirriple timo ....

    16

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    A ideia bsica de um projeto por janelas selecionar um filtro seletor de frequncias ideal apropriado (que sempre no-causal e de resposta ao impulso infinita) e ento truncar sua

    17Carlos Alexandre Mello [email protected]

    resposta ao impulso infinita) e ento truncar sua resposta ao impulso em uma janela para obter um filtro FIR causal e de fase linear Assim, o foco est na escolha de uma funo de

    janelamento e um filtro ideal apropriados

    17

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Vamos considerar o FPB ideal Hd(ejw) com magnitude 1 e fase linear na banda de passagem e resposta zero na banda de corte:

    1.e-jw , |w| wc

    18Carlos Alexandre Mello [email protected]

    onde wc chamada de frequncia de corte (cut-off) e o atraso da amostra (sample delay)

    18

    Hd(ejw) =1.e , |w| wc0 , wc < |w| pi

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    A resposta ao impulso desse filtro infinita e dada por:

    19Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Para obter um filtro FIR a partir de hd[n], precisamos truncar hd[n] em ambos os lados.

    19

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Para obter um filtro FIR causal de fase linear h[n] de comprimento M, devemos ter:

    20Carlos Alexandre Mello [email protected]

    e = (M - 1)/2 Essa operao chamada de janelamento

    20

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Em geral, h[n] pode ser pensado como sendo formado pelo produto de hd[n] e uma janela w[n] tal que: h[n] = h [n].w[n]

    21Carlos Alexandre Mello [email protected]

    h[n] = hd[n].w[n] onde w[n] alguma funo simtrica com respeito

    a no intervalo 0 n M 1 e 0 fora desse intervalo

    21

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Dependendo de como obtivermos w[n] acima, temos diferentes projetos de filtros

    Por exemplo:

    22Carlos Alexandre Mello [email protected]

    uma janela retangular

    22

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    No domnio da frequncia, a resposta H(ejw) dofiltro FIR causal dada pela convoluo de Hd(ejw)e a resposta da janela W(ejw):

    23Carlos Alexandre Mello [email protected] 23

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    24Carlos Alexandre Mello [email protected] 24

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Observaes: 1. Como a janela w[n] tem comprimento finito igual a M,

    sua resposta em frequncia tem uma regio de pico central (lbulo principal) cuja largura proporcional a 1/M e tem lbulos laterais com pesos menores.

    25Carlos Alexandre Mello [email protected]

    2. A convoluo gera uma verso da resposta ideal Hd(ejw), mas com algumas distores (ondulaes).

    3. A largura da banda de transio proporcional a 1/M. 4. Os lbulos laterais produzem ondulaes que tm

    forma similar tanto na banda de passagem quanto na de corte.

    25

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Projeto usando janelas: Para uma dada especificao de filtro, escolha um filtro de comprimento M e uma funo janela w[n] para a mais estreita largura do lbulo

    26Carlos Alexandre Mello [email protected]

    para a mais estreita largura do lbulo principal e a menor atenuao nos lbulos laterais possvel.

    26

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Usando Janelas

    Da observao 4 anterior, podemos notar que a tolerncia 1 da banda de passagem e a tolerncia 2 da banda de corte no podem ser especificadas de forma

    27Carlos Alexandre Mello [email protected]

    podem ser especificadas de forma independente

    Geralmente, toma-se 1 = 2

    27

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela Retangular

    Resposta em frequncia

    28Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Resposta em frequncia

    28

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Magnitude da funo sen[w(M+1)/2]/sen(w/2)

    29Carlos Alexandre Mello [email protected] 29

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    A largura do lbulo central wm = 4pi/(M + 1) para uma janela retangular

    Observa-se tambm que a magnitude do primeiro lbulo lateral aproximadamente em w =

    30Carlos Alexandre Mello [email protected]

    lbulo lateral aproximadamente em w = 3pi/(M+1) e dada por:

    30

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    medida que M cresce, a largura de cada lbulo lateral diminui, mas a rea sobre eles permanece constante Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vo

    permanecer constantes e a atenuao da banda de passagem permanece em cerca de 21 dB

    31Carlos Alexandre Mello [email protected]

    passagem permanece em cerca de 21 dB Isso significa que as ondulaes vo sofrer um

    pico perto das bordas das bandas Isso conhecido como fenmeno de Gibbs Esse fenmeno ocorre por causa da transio

    brusca de 0 para 1 (e de 1 para 0) da janela retangular

    31

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    32Carlos Alexandre Mello [email protected] 32

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela Triangular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma transio mais suave para

    evitar o fenmeno de Gibbs. Isso seria conseguido atravs de uma janela triangular da

    33Carlos Alexandre Mello [email protected]

    conseguido atravs de uma janela triangular da forma:

    33

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    34Carlos Alexandre Mello [email protected] 34

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Hanning

    35Carlos Alexandre Mello [email protected] 35

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Hamming

    36Carlos Alexandre Mello [email protected] 36

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Blackman

    37Carlos Alexandre Mello [email protected] 37

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Caractersticas das funes

    38Carlos Alexandre Mello [email protected] 38

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Esta a melhor janela Ela e considerada tima porque prov um

    lbulo principal largo para a dada atenuao da

    39Carlos Alexandre Mello [email protected]

    lbulo principal largo para a dada atenuao da banda de corte, o que implica a mais brusca banda de transio

    39

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser

    40Carlos Alexandre Mello [email protected] 40

    I0(.) a funo de Besselmodificada de ordem zero

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Variadas formas da Janela de Kaiser

    41Carlos Alexandre Mello [email protected] 41

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Na expresso de w[n], existem dois parmetros:

    O comprimento M O parmetro

    Se = 0, temos a janela retangular

    42Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Se = 0, temos a janela retangular Variando e M, possvel ajustar a amplitude

    dos lbulos laterais Kaiser encontrou duas frmulas que permitem

    achar M e de modo a atender s especificaes do filtro

    42

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser considerando 1 = 2

    w = wS - wP A = -20log10

    43Carlos Alexandre Mello [email protected]

    A = -20log10

    43

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser O procedimento para projetar um filtro passa-baixa

    digital FIR usando a janela de Kaiser consiste nos seguintes passos:

    i) Estabelecer as especificaes wP, wS e . i) Estabelecer as especificaes wP, wS e . ii) Estabelecer a frequncia de corte wc do filtro passa-baixa

    ideal ao qual se aplicar a janela (wc = (wP + wS)/2). iii) Calcular A = 20log10 e w = wP - wS e usar as frmulas de

    Kaiser para encontrar os valores de M e . iv) Encontra a resposta ao impulso do filtro atravs de

    h[n]=hd[n]w[n], onde w[n] a janela de Kaiser ehd[n] = -1[Hd(ejw)].

    44

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Devido complexidade de clculos com

    funes de Bessel, o projeto dessas janelas no fcilno fcil

    A equao de w[n] definida por Kaiser tem valores encontrados empiricamente e so definidos sem prova

    45

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro

    passa-baixa com as seguintes especificaes: wP= 0,4pi, wS = 0,6pi e = 0,001

    w = (w + w )/2 = 0,5piwc = (wS + wP)/2 = 0,5piw = wS - wP = 0,2piA = -20log10 = 60 dBComo A > 50:

    = 0,1102(A 8,7) 5,633M = (A - 8)/(2,285w) 36,219 M = 37 (M inteiro)

    46

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Janela de Kaiser Exemplo: Projetar, usando janelas de Kaiser, um filtro

    passa-baixa com as seguintes especificaes: wP= 0,4pi, wS = 0,6pi e = 0,001

    A resposta ao impulso A resposta ao impulso

    com w[n] dado pela definio da janela de Kaiser

    47

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRTipos de Janelas

    Implementaes no MatLab O MatLab tem diversas funes para

    implementar janelas: w = rectwin(M): Janela retangular w = rectwin(M): Janela retangular w = bartlett(M): Janela de Bartlett w = hanning(M): Janela de Hanning w = hamming(M): Janela de Hamming w = blackman(M): Janela de Blackman w = kaiser(M, Beta): Janela de Kaiser

    48

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Funo 1:function hd = ideal_lp(wc, M)% Ideal low pass filter% wc = cutoff frequency% M = length of the ideal filteralpha = (M - 1)/2

    Funo 2:function [db, mag, pha, w] = freqz_m(b, a)% Versao modificada da funcao freqz[H, w] = freqz(b, a, 1000, 'whole');H = (H(1:501))';w = (w(1:501))';alpha = (M - 1)/2

    n = [0:(M-1)];m = n - alpha + eps;hd = sin(wc*m)./(pi*m);

    w = (w(1:501))';mag = abs(H);db = 20*log10((mag + eps)/(max(mag)));pha = angle(H);

    49

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 1: Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguintes

    especificaes wP = 0,2pi, RP = 0,25 dB, wS = 0,3pi e AS= 50 dB.

    Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman Tanto a janela de Hamming quanto a de Blackman provem atenuao de mais de 50 dB

    Vamos escolher a janela de Hamming que prov a menor banda de transio e assim tem a menor ordem

    50

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 1:wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi;tr_width = ws - wp;M = ceil(6.6*pi/tr_width) + 1n = [0:M-1];n = [0:M-1];wc = (ws + wp)/2;hd = ideal_lp (wc, M);w_ham = (hamming(M))';h = hd.*w_ham;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);delta_w = 2*pi/1000;Rp = -(min(db(1:wp/delta_w+1)))As = -round(max(db(ws/delta_w+1:501)))

    51

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 1:

    M = 67alpha = 33Rp = 0,0394As = 52As = 52

    52

    stem(hd)stem(h)stem(mag)stem(w_ham)

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 2: Resolver o exemplo anterior com janela de Kaiser

    53

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3: A resposta em frequncia de um filtro rejeita-faixa ideal

    dada por:

    Usando uma janela de Kaiser, projete um filtro rejeita-faixa de comprimento 45 com atenuao na banda de corte de 60 dB

    54

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3: Observe que a largura da banda de transio

    no foi dada Ela ser encontrada a partir do comprimento Ela ser encontrada a partir do comprimento

    M = 45 e do parmetro da janela de Kaiser Das equaes de projeto da janela de Kaiser,

    podemos determinar a partir de As:

    55

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e

    observar a atenuao na banda de corteM = 45; As = 60; n=[0:M-1];M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7)w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);

    beta = 5,6533

    56

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3:

    Problema.Abaixo de 60 dB

    57

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3: Observe que, com esse valor, a mnima atenuao da

    banda de corte menor que 60 dB (em mdulo) Assim, precisamos aumentar para aumentar a

    atenuao para 60 dB.atenuao para 60 dB. Vamos colocar um acrscimo no valor calculado de

    para conseguir uma atenuao maior Observamos que, assim, a atenuao fica maior que 60

    dB na banda de corte

    58

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3: Vamos agora implementar a janela de Kaiser e

    observar a atenuao na banda de corteM = 45; As = 60; n=[0:M-1];M = 45; As = 60; n=[0:M-1];beta = 0.1102*(As - 8.7) + 0.3w_kai = (kaiser(M, beta))';wc1 = pi/3; wc2 = 2*pi/3;hd = ideal_lp(wc1, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc2, M);h = hd.*w_kai;[db, mag, pha, w] = freqz_m(h, [1]);

    beta = 5,9533

    59

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRExemplos no MatLab

    Exemplo 3:

    Acima de 60dB OK!

    60

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia

    Nessa tcnica, usamos o fato de que a funo de sistema H(z) pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequncia H(ejw)frequncia H(e )

    Seja h[n] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] sua transformada discreta de Fourier com M-pontos e H(z) sua funo de sistema

    61

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia

    62

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto por Amostragem em Frequncia

    Observaes (da figura anterior): 1) O erro de aproximao a diferena entre a

    resposta ideal e a atual zero nas freqncias amostradas2) O erro de aproximao nas outras 2) O erro de aproximao nas outras freqncias depende da forma da resposta ideal, ou seja, quanto mais sharp a resposta ideal, maior o erro de aproximao

    3) O erro maior perto das fronteiras das bandas e menor dentro das bandas

    63

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo

    Os mtodos de janelamento e de amostragem na frequncia tm alguns problemas: 1) No podemos especificar wP e wS precisamente nos

    projetos.2) No podemos especificar e simultaneamente 2) No podemos especificar 1 e 2 simultaneamente

    Ou consideramos 1 = 2 (como no janelamento) ou otimizamos 2 (como na amostragem).

    3) O erro de aproximao no distribudo uniformemente nas bandas

    Ele mais alto perto das fronteiras das bandas e menor quanto mais distante delas

    64

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo

    O mtodo equirriple timo evita esses problemas. No entanto ele bastante difcil de utilizar e requer computador na sua implementao

    O objetivo minimizar o erro mximo de aproximao (minimax do erro)aproximao (minimax do erro) Otimizao

    Tais filtros so chamados de equirriple porque o erro distribudo de maneira uniforme na banda de passagem e de corte o que resulta em um filtro de menor ordem

    65

  • Tcnicas de Projeto de Filtros FIRProjeto Equirriple timo

    Exemplo:

    66

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR

    Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Carlos Alexandre Mello

    67

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR A tcnica bsica de projeto de filtros IIR transforma filtros

    analgicos bem conhecidos em filtros digitais A vantagem dessa tcnica est no fato que tanto tabelas

    de filtros analgicos quanto as converses esto vastamente disponveis na literaturaEssa tcnica chamada de transformao de filtro

    68Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Essa tcnica chamada de transformao de filtro analgica-digital (A/D)

    No entanto, as tabelas de filtros s esto disponveis para filtros passa-baixa Para gerar outros filtros seletores de frequncia, temos que aplicar

    transformaes a filtros passa-baixa Essas transformaes tambm esto disponveis na literatura.

    68

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Existem duas formas de projeto de filtros IIR

    69Carlos Alexandre Mello [email protected] 69

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Para projetar filtros IIR, vamos:

    1) Projetar FPB analgicos; 2) Aplicar transformaes no filtro para obter FPB

    digitais;3) Aplicar transformaes de frequncia nas bandas

    70Carlos Alexandre Mello [email protected]

    3) Aplicar transformaes de frequncia nas bandas para obter outros filtros digitais a partir do FPB.

    O principal problema dessas tcnicas que no temos controle sobre a fase do filtro Assim, os projetos de filtros IIR sero apenas em

    magnitude

    70

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa

    Seja Ha(j) a resposta em frequncia do filtro analgico

    Ento as especificaes do FPB quanto

    71Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Ento as especificaes do FPB quanto resposta quadrtica de magnitude so dadas por:

    71

    onde o parmetro de ondulao da banda de passagem, P a frequncia de corte da banda de passagem, A o parmetro de atenuao da banda de corte e S a frequncia da banda de corte

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIREspecificaes de um filtro passa-baixa analgico

    Da figura temos:

    72Carlos Alexandre Mello [email protected] 72

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa

    Os parmetros e A esto relacionados aos parmetros RP e AS na escala dB como:

    73Carlos Alexandre Mello [email protected] 73

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa

    As tolerncias 1 e 2 da escala absoluta so relacionados a e A por:

    74Carlos Alexandre Mello [email protected] 74

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa

    Especificaes de filtros analgicos no tm informao de fase

    Para calcular a funo de sistema Ha(s) no

    75Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Para calcular a funo de sistema Ha(s) no domnio-s considere :

    75

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Escala Relativa

    Ento temos :

    76Carlos Alexandre Mello [email protected] 76

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIR Observao:

    A transf. apresentada no plano-s indicando o uso da transf. de Laplace (por ser no domnio analgico)

    O domnio-s ou plano-s o nome do plano complexo no qual a transformada de Laplace apresentada

    77Carlos Alexandre Mello [email protected]

    qual a transformada de Laplace apresentada graficamente

    A transf de Laplace se relaciona com a transf de Fourier, mas enquanto a transf de Fourier mapeia um sinal ou funo em termos de vibraes (senides), a transf de Laplace mapeia uma funo em relao aos seus momentos

    77

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    O projeto de filtros IIR reside na existncia de filtros analgicos para obter filtros digitais

    Esses filtros analgicos so chamados de filtros prottipos

    78Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Trs prottipos so largamente usados na prtica: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elptico

    Vamos ver as caractersticas das verses passa-baixa desses filtros.

    78

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth A principal caracterstica desse filtro que a resposta

    em magnitude plana (flat) na banda de passagem e de corte

    A resposta quadrtica de magnitude de um FPB de N-

    79Carlos Alexandre Mello [email protected]

    A resposta quadrtica de magnitude de um FPB de N-sima ordem dada por:

    onde N a ordem do filtro e c a frequncia de corte

    79

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth

    80Carlos Alexandre Mello [email protected] 80

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    Filtro de Butterworth Do grfico, podemos observar:

    i) Em = 0, |Ha(j0)|2 = 1, para todo N. ii) Em = c, |Ha(jc)|2 = 0,5, para todo N, o que

    81Carlos Alexandre Mello [email protected]

    c a c

    implica 3 dB de atenuao em c iii) |Ha(j)|2 uma funo monotonicamente

    decrescente em iv) |Ha(j)|2 se aproxima de um FPB ideal em N . V) |Ha(j)|2 maximamente plano em = 0

    81

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    Filtro de Butterworth Sua funo de sistema Ha(s) :

    82Carlos Alexandre Mello [email protected] 82

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    Filtro de Butterworth Para projetar o filtro, precisamos encontrar as

    razes e plos da funo do sistema Os plos so dados por:

    p = ejpi(2k + 1)/2N.ejpi/2 , k = 0, 1, 2,..., 2N-1

    83Carlos Alexandre Mello [email protected]

    pk = ejpi(2k + 1)/2N.ejpi/2c, k = 0, 1, 2,..., 2N-1 Assim, os plos esto em um crculo de raio c

    nos ngulos k = (pi/N)k + (pi/2N) + pi/2, k = 0, ..., 2N 1

    E os zeros so sk = (-1)1/2N.j c = cejpi(2k+N+1)/2N, k = 0, 1, ..., 2N 1.

    83

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    Filtro de Butterworth O FPB analgico especificado pelos

    parmetros P, S, RP e AS Assim, a essncia do projeto no caso do filtro

    84Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Assim, a essncia do projeto no caso do filtro de Butterworth obter a ordem N e a frequncia de corte dada c

    84

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    Filtro de Butterworth Assim, dadas essas especificaes, queremos:

    85Carlos Alexandre Mello [email protected] 85

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth Resolvendo as equaes para N = c, temos:

    86Carlos Alexandre Mello [email protected] 86

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth Como N deve ser inteiro, ento consideramos:

    N = N Obviamente, isso ir gerar um filtro com ordem

    87Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Obviamente, isso ir gerar um filtro com ordem maior do que o necessrio

    Para satisfazer exatamente as especificaes do projeto em P:

    87

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth Para satisfazer exatamente as especificaes

    do projeto em S:

    88Carlos Alexandre Mello [email protected] 88

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Projete um filtro Butterworth satisfazendo:

    Ponto de corte na banda de passagem: P = 0,2pi Ripple na banda de passagem: RP = 7 dB Ponto de corte na banda de corte: S = 0,3pi

    89Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Ponto de corte na banda de corte: S = 0,3pi Ripple na banda de corte: AS = 16 dB

    89

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    90Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Para satisfazer as especificaes em P

    Para satisfazer as especificaes em S

    90

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    Podemos escolher c entre esses dois valores, por exemplo c = 0,5Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e

    91Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Temos que projetar um filtro Butterworth com N = 3 e c = 0,5

    Ou seja:

    Como = s/j, temos:

    91

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    Os plos pk da funo anterior podem ser calculados no MatLab como:

    >> a = [-64 0 0 0 0 0 1];>> b = roots(a) >> b = roots(a)

    b = -0.5000 -0.2500 + 0.4330i -0.2500 - 0.4330i 0.5000 0.2500 + 0.4330i 0.2500 - 0.4330i

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 92

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    Para termos um filtro causal e estvel, usamos os plos do semi-plano esquerdo:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 93

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    Vamos ajustar o numerador para que o ganho na frequncia zero seja unitrioOu seja, no denominador, quando s = 0, temos: Ou seja, no denominador, quando s = 0, temos:

    (s + 0,5)(s2 + 0,5s + 0,25) = 0,5.0,25 = 0,125 Logo, o numerador multiplicado por um fator de 1/8

    e temos:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 94

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    Para transformar o filtro em digital, podemos usar o mtodo de transformao bilinearNele, consideramos: Nele, consideramos:

    onde T um parmetro

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 95

    OBS: Explicao nas notas de aula.

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Butterworth: Exemplo Soluo:

    No nosso caso, consideramos T = 1:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 96

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev

    O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple na banda de passagem

    e o tipo II, na banda de cortee o tipo II, na banda de corte Os filtros Butterworth tm resposta monotnica em

    ambas as bandas Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem

    menor ordem Assim, um filtro de Chebyshev tem menor ordem que

    um de Butterworth para as mesmas especificaes

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 97

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Chebyshev

    98

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Chebyshev A resposta quadrtica de magnitude de um filtro

    Chebyshev tipo I dada por:

    onde N a ordem do filtro, o fator de ondulao da banda de passagem e TN(x) o polinmio de Chebyshev dado por (podemos considerar x = /c):

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 99

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Chebyshev Para um filtro Chebyshev tipo II:

    Ou seja, x = (/c) substitudo por seu inverso e 2TN2(x) tambm

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 100

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Elptico Esses filtros apresentam ondulaes na banda

    de passagem e de corte So similares em magnitude a filtros FIR

    equirripleequirriple So filtros timos no sentido que eles alcanam

    a menor ordem N para as dadas especificaes So muito difceis de projetar e analisar

    No possvel projet-los com ferramentas simples, sendo necessrio uso de tabelas e computadores

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 101

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Elptico A resposta quadrtica de magnitude dada por:

    onde N a ordem do filtro, o fator de ondulao da banda de passagem e UN(x) a funo elptica Jacobiana de ordem N

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 102

  • Tcnicas de Projeto de Filtros IIRCaractersticas de Prottipos Analgicos

    Filtro de Elptico Apesar da anlise complexa, o clculo da ordem do

    filtro simples e dado por:

    Onde:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 103

    1

  • Transformaes em Frequncia Como dissemos anteriormente, o projeto de filtros

    seletores de frequncia como passa-alta, passa-faixa ou rejeita faixa, so feitos a partir de um prottipo do tipo passa baixaA partir desse prottipo, possvel aplicar uma A partir desse prottipo, possvel aplicar uma transformao algbrica para construir o filtro desejado

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 104

  • Transformaes em Frequncia Seja HPB(Z) a funo do sistema de um filtro

    passa-baixa dado o qual se quer transformar para obter uma nova funo H(z)

    Observe que as variveis complexas Z e z esto associadas ao filtro passa-baixa prottipo e ao associadas ao filtro passa-baixa prottipo e ao filtro obtido pela transformao, respectivamente

    O que se deseja uma funo Z = G(z) tal que:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 105

  • Transformaes em Frequncia Se HPB(Z) a funo racional de um

    sistema causal e estvel, uma exigncia natural que a funo transformada H(Z) tambm apresente essas caractersticas. Isso implica que:Isso implica que: 1. G(z-1) deve ser uma funo racional de z-1. 2. O interior do crculo unitrio do plano Z deve

    mapear o interior do crculo unitrio do plano z. 3. O crculo unitrio do plano Z deve mapear no

    crculo unitrio do plano z.

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 106

  • Transformaes em Frequncia Denotando por e w as variveis (ngulos)

    associados, respectivamente, aos planos Z e z, a transformao Z-1 = G(z-1) pode ser re-escrita como:

    De forma que:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 107

  • Transformaes em Frequncia A forma mais geral da funo G(z-1) que satisfaz

    s condies acima :

    com |k| < 1 Dependendo da escolha de N e k, diversos

    mapeamentos podem ser obtidos O mais simples (N = 1, 1 = ):

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 108

  • Transformaes em Frequncia

    Agora, escolhendo uma ordem apropriada N e os coeficientes {k}, podemos obter uma variedade de mapeamentos

    As transformaes mais comuns esto na As transformaes mais comuns esto na tabela a seguir...

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 109

  • Transformaes em Frequncia

    110

  • Comparao entre Filtros FIR e IIR Seja M o comprimento (nmero de coeficientes)

    de um filtro FIR de fase linear e N a ordem de um filtro elptico (IIR)

    Se assumimos que ambos os filtros atendem exatamente s mesmas especificaes, os dois exatamente s mesmas especificaes, os dois filtros so equivalentes e atendem relao:

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 111

  • Comparao entre Filtros FIR e IIR Isso mostra que, para a maior parte das

    aplicaes, filtros IIR elpticos so desejveis do ponto de vista computacional

    As condies mais favorveis para filtros FIR so: 1. Grandes valores de 1; 2. Pequenos valores de 2; 3. Grande largura da banda de transio.

    Carlos Alexandre Mello [email protected] 112

  • Tcnicas de Projeto de Filtros Referncias:

    Digital Signal Processing using MatLab, V.Ingle, J.G.Proakis, Brooks/Cole, 2000

    Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim

    113Carlos Alexandre Mello [email protected]

    Discrete-Time Signal Processing, A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall, 1989

    Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, M.Weeks, Ed. Infinity Science, 2007

    Digital Signal and Image Processing, T.Bose, John Wiley and Sons, 2004

    113