INTRODUÇÃO

Conhecer alguns tipos de Escalas; Confecção de gráficos em papel multímetro, mono-log e di-log; Linerização de certas curvas; Obter equações a partir de gráficos lineares.

Elementos Gráficos

Escalas são segmentos de reta sobre os quais vêm marcados pequenos traços e aos quais correspondem números ordenados. Esses números são chamados argumentos da reta e representam os possíveis valores de uma grandeza física.

PASSO de escala, a distância arbitraria medida em unidades de comprimento, geralmente em cm, que separa dois traços quaisquer da escala.

DEGRAU de escala, a variação da grandeza física apresentada na escala correspondente ao passo.

MÓDULO da escala, como o valor absoluto da relação entre passo e o degrau.

PASSOME = DEGRAU

Retas Médias v(cm/s) 45 Velocidade de 40 queda de um corpo 35 30

25 20 15

10

5

0 t(s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Velocidade de queda de um ovo com a sua respectiva reta média que é utilizada para extrair

informações numéricas a respeito do movimento de queda .

Note que a reta média não necessariamente deve passar por todos os pontos experimentais (veja ponto com t = 5,6 s) e, não necessariamente, deve passar pelo primeiro e último pontos do gráfico. O critério é que os pontos fiquem distribuídos em torno da reta da forma mais aleatória possível.

Deve-se ter cuidado com o uso dessa técnica para traçar retas médias. E muitoscasos,apesar das incertezas experimentais serem suficientemente grandes, os pontos não ficam aleatoriamente distribuídos em torno da reta.

Nesse caso, é evidente que a função que descreve a curva média não deve ser uma reta. Um exemplo é mostrado na figura acima. Note que os pontos não estão igualmente distribuídos em torno da reta média.

Nota-se que, apesar do número de pontos sobre a reta ser equivalente ao número de pontos sob a reta, há a tendência de haver pontos na parte inferior somente nos extremos do gráfico enquanto os pontos superiores encontram-se na região central do gráfico. Esse é um exemplo claro de que a curva média selecionada (reta) não é adequada para descrever os dados experimentais. Mais uma vez, existem métodos matemáticos para avaliar se a função utilizada é a que melhor descreve os dados experimentais, porém o aprendizado desse

método foge ao escopo do curso. O desenvolvimento da intuição, nesse caso, é importante no julgamento dos resultados obtidos.Representação dos pontos

Deve-se assinalar no gráfico a posição dos pontos experimentais: usando marcas bem visíveis (em geral círculos cheios). Nunca se deve indicar as coordenadas dos pontos gratificados no eixo. Deve Colocar as barras de incerteza nos pontos, se for o caso. Se as incertezas são menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda. NUNCA LIGUE OS PONTOS. Esse é um erro grosseiro de confecção de gráficos, muito utilizado em programas de computadores. A figura abaixo mostra como desenhar os pontos experimentais em um gráfico.

Barras de incerteza

Marcador

Correto

Errado

Representação de pontos experimentais em um gráfico. NUNCA LIGUE OS PONTOS. Indique as barras de incerteza (se for o caso) em cada ponto nos eixos x e y.

Às vezes, dependendo da análise a ser realizada com os dados, é necessário o desenho de curvas médias ou funções teóricas. Essas curvas têm como utilidade permitir a extrapolação e/ou interpolação de pontos, bem como a comparação entre os dados experimentais e uma previsão teórica.

Interpretação gráfica de dados

Regras gerais para confecção de gráficos

A construção de gráficos, quando feita sob regras universais, facilita significativamente a sua interpretação. Nesse sentido, regras rígidas (como regras de sintaxe de uma linguagem qualquer) são adotadas no mundo científico e tecnológico.

Os seguintes cuidados devem ser tomados na construção de gráficos:        

a. colocar o título, com uma breve descrição do significado do gráfico,

b. colocar a variável independente na escala da abscissa (eixo x) e a variável dependente na ordenada (eixo y),

c. os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade e devem conter apenas a escala,

d. as escalas devem ser marcadas nos eixos a intervalos iguais (não muito próximos) e com número correto de algarismos significativos. Não se deve marcar nada entre os intervalos (não marcar nos eixos os valores dos pontos experimentais). A escolha da escala deve ser de tal modo que não dificulte a confecção do gráfico e a sua utilização, isto é, escolher escalas com divisões principais no papel gráfico que permitam subdivisões de fácil leitura. Valores como 2, 5 e 10 são melhores, mas 4 também é algumas vezes usado. Nunca usar 3, 7, 9 etc., pois dificultam a leitura de seus submúltiplos e múltiplos no gráfico. As divisões na escala de abscissas não precisam ser iguais às divisões nas escalas das ordenadas,

e. costuma-se marcar um círculo (ou outras figuras geométricas quaisquer) em torno do ponto experimental, com raio »2 mm,

f. escolher as escalas também levando em conta o número de algarismos significativos de suas medidas. Não adianta ampliar muito a escala se as suas medidas não têm uma precisão compatível com o número de algarismos sugerido pela escala.

g. colocar nos pontos experimentais as chamadas barras de erro, que representam os erros, tanto na abscissa (erros de medidas), como em ordenadas (obtidos por propagação). Caso a resolução da escala não o permita, indicar isso no comentário sobre o gráfico.

h. ao traçar uma reta por pontos experimentais, usar sempre o método de mínimos quadrados, descrito na secção seguinte.

v(cm/s)

45

40

35

30

25

20

Velocidade de quedade um corpo

Eixo dasordenadas

Pontos

Título

Curva média

15

10

5

00 1

Eixo dasabscissas

2 3

Escala doeixo

4 5

experimentais

6 7 8

Nome davariável eunidade

9 10 t (s)

Componentes típicos de um gráfico científico padrão.

Reta em papel milimetrado

Em um gráfico de escalas lineares (papel milimetrado) retas são objetos geométricos simples de serem representados matematicamente. Nesse caso, a equação de uma reta pode ser escrita como:

y= ax + b

Onde y é a variável dependente e x é a variável independente. a e b são constantes, respectivamente denominadas coeficientes angular e linear. Para obter os coeficientes a e b é necessário escolher dois pontos da reta média desenhada no gráfico. ESCOLHA PONTOS BASTANTE DISTANTES!!!! Pontos muito próximos acarretam em incertezas bastante elevadas e, muitas vezes, fora de controle. De preferência, escolha um ponto anterior ao intervalo dos dados e

um ponto após o intervalo das medidas efetuadas. Vamos denominar esses pontos como sendo (x1, y1) e (x2, y2). Utilizando a equação de reta acima, podemos escrever que:

y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b

Temos, nesse caso, duas equações e duas incógnitas (a e b). Podemosresolver o sistema acima de tal modo que:

a = Δy = y2 – y1 e b = y1 – ax1 Δx x2 – x1

Reta em papel di-log

Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Vamos analisar os dois casos mais simples: a relação tipo potência (y = axb) e tipo exponencial (y = a.ebx).

Quando se sabe que a relação não é linear, pode-se linearizá-la através de uma mudança de variáveis, ou então fazer essa linearização graficamente, usando um tipo de papel cujas escalas não sejam lineares. O tipo mais útil de escala é a escala logarítmica, onde em vez de a distância entre marcas

sucessivas das escalas serem constante, ela varia logaritmicamente.

Uma escala linear é construída de tal modo que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (2 - 1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a (3 - 2) e assim por diante, por isso as distâncias entre marcas sucessivas nas escalas são iguais. A escala logarítmica é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log2 - log1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes.

Vejamos agora como utilizar o papel di-log. Temos uma relação tipo:y  =  axb,  onde a e b são constantes. Aplicando logaritmo:log(y) = log (a) + log (xb)  =  log(a) + blog(x)fazendo:  log(y) = Y,  log(a) = A,  log(x) = X,  obtém-se: Y = A + bX,  equação de uma reta. Ou seja, podemos transformar uma relação tipo potência em uma relação linear aplicando o logaritmo. Se em um papel milimetrado fizermos o gráfico não de x e y, mas de log(y) e log(x), nós teremos uma reta. Nesse caso, estaremos colocando em uma escala linear segmentos que são proporcionais não a x e y, mas sim aos logaritmos de x e y, calculados um a um. Para facilitar esse trabalho (não havia calculadoras na época) foi impresso um papel com as divisões proporcionais às diferenças entre os logaritmos das variáveis e não às diferenças entre as variáveis: é o papel di-log.

Se colocarmos diretamente no papel di-log x e y nós estamos fazendo com que as distâncias entre sucessivos valores de x e de y sejam proporcionais a log(x)    e  log(y), porque as escalas foram construídas assim. No caso do exemplo acima, as distâncias são proporcionais a X e Y e vamos obter então uma reta.

Reta em papel mono-log

Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e bem simples é a exponencial: y = a.ebx,  também podemos linearizá-la através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um papel milimetrado, colocar no eixo y os valores medidos de y e no eixo x colocar ebx e não as medidas x.

Outra possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica e o outro linear. Notem que a escala logarítmica está em uma base qualquer, não é porque estamos lidando com exponencial que a escala logarítmica está na base e. Para essa escala vale tudo o que vimos acima para o papel di-log. Temos então: log(y) = log[a.ebx] = log(a) + bx.log(e) = log(a) + (b.log(e)).x Y = A + Bx,  que é a equação de uma reta. Para se achar o valor de A, quando a escala o permitir, faz-se x= 0 e obtém-se Y = A. Ou então, toma-se um valor qualquer de x sobre a reta do gráfico, obtém-se Y e daí A. Note-se que este procedimento não é equivalente a tomar um par (x,y) medido e calcular a. No gráfico, está-se usando a reta média, obtida em geral por mínimos quadrados, que leva em conta todos os pontos experimentais.

No papel mono-log, não podemos obter o coeficiente angular simplesmente medindo as distâncias com uma régua, pois as escalas são diferentes. A maneira geral de fazê-lo é: b = [logy2 - logy1]/(x2 - x1)

REFERÊNCIAS

I. TEXTOS CONSULTADOS NA INTERNET

HIBLER, Irineu. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA. Disponível em <www.dfi.uem.br/dfi/salva.php?id=graficos.pdf>

TURTELLI, Armando. F 129 - ROTEIRO TEÓRICO. Disponível em <http://www.ifi.unicamp.br/~turtelli/apost1.html>. 08 novembro 1999

VUOLO, J.H. . INTRODUÇÃO ÀS MEDIDAS EM FÍSICA FAP152. Disponível em <http://www.dfn.if.usp.br/~suaide/aulas/2006.fap0152/ApostilaFAP152_1.pdf>. 2005