robortella vol 03 estática, hidrostática e gravitação- completo

8/16/2019 Robortella Vol 03 Estática, Hidrostática e Gravitação- completo

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TICAESTATIH A R T E I

l ESTÁTICA ESTÁTIC

A ESTÁTICA ESTÁTI

CA ESTÁTICA ESTÁ!CA ESTÁTICA ESTi

'TICA ESTÁTICA ESÁTTP.â Tf.STÁTTPi Ti1.«



amo



Conceitos iniciais *

Estática é a parte da Mecânica que estudo o equilíbrio estático

dos corpos.Conforme vimos no Principio da Inércia, equilíbrio estático im-

plica cm repouso do corpo.

Assim:

Ilustramos a seguir, várias situações de equilíbrio estático:

r * - T -

\A

' Par» melhor comoreensto do exposto neste capituto é aconselhével a prévialeitura do volume 2 tíesta coleçéo (D.némtea).



Ill



Estática do ponto material

A condição necessária e suficiente para que um corpo, conside-

rado ponto material, esteja em equilíbrio estático é que a resultante

das forças que agem sobre ele seja nula.

Ou seja:

-4 —►

Equilíbrio de um ponto material ► R = O

Analisemos algumas aplicações práticas:

1. Na situação ilustrada abaixo, esquematicamente temos:

mm

equilíbrio estático

* — —

R = O T = P



Para o equilíbrio estático, devemos ter.

a)

b) R = O

polígono das forças fechado

ou

J Rx= T,x+ T , x+ Px = 0

I Rv = T,v+ T,v+ P y= 0 «

Isto significa que, decompondo as forças agentes no ponto ma-

terial em duas direções ortogonais, a resultante deverá ser nula emcada um dos eixos.

De acordo com a figura, vem:

X



13

Segundo a direção x, Tl); = T^=>T, cos a = T2cos (3.

Segundo a direção y, Ti,. + Tjy = P=> Ti sen a f Tu sen 0 = P.

3. No caso ilustrado abaixo, admitindose que a polia e a corda

tenham inércia desprezível, esquematicamente teremos:

Estando a polia em equilíbrio estático, vem:

R = O -► P = 2T

4. No tratamento de algumas lesões do corpo humano é funda-

mental o conhecimento do equilíbrio estático, conforme você pode



14

1. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um corpo que pesa 60 newtonsestá suspenso ao teto por dois fios, que formam com o teto

ângulos de 60°. A força de tração em cada fio é de:

a) 34,5 N.

b) 51,8 N.

c) 86,0 N.

d) 91,3 N.e) 120 N.

Resolução: Observando o es-quema ao lado, temos:

• equilíbrio do corpo:

Rcorpo — O => T = P

• equilíbrio do ponto O:

Ro = O polígono das

forças fechado

Pela lei dos senos:

T* P

sen 30°

T i

sen 120°

P

1

2

'=> T, =

Y T

2

P

Y T

T, =

60 YT60

Y T 3

=> Y = 20 V T N =»

=> pTi sa 34,5 N

Polígono das forças agentes em O:



15

Como o triângulo é isosceles, Tt —T2. Portanto, a intensidade da

força de tração nos fios é, aproximadamente, igual a 34,5 N,

Resposta: alternativa a.

2. PUC (SÃO PAULO) — O es-quema representa dois cor-pos (1) e (2), com pesos res-pectivamente iguais a 5 kgf e10kgf, suspensos por cordasLi e La. Supondo desprezíveisos pesos das cordas, as tra-

ções em Li e L2 valem, res-pectivamente:a) 10 kgf e 5 kgf.b) 10 kgf e 15 kgf.c) 5 kgf e 10 kgf.d) 15 kgf e 15 kgf.è í 5 kgf e 15 kgf.

Resolução: Ao representar as for-

ças agentes nos corpos é inte-ressante observar que no corpo

(2) agem três forças: peso (P3), tração da cordaL^ (T i) e tração

da cordaL2(Ta).

Na situação de equilíbrio, temos:

corpo (1 ): Ti = Pi (1)

corpo (2 ): T2 = T i - | -P2 (2)

Substituindose (1) em (2),

vem: To = Pi + P2

Como P* 5 kgf e Po — 10 kgf,

temos:

To = 5 kgf + 10 kgf =*

T o= 15 kgf

Como Ti “ Pi, então

Tr = 5 kgf .

»I

alternativa



16

3. PUC (CAMPINAS) — 0 bloco A da figura pesa 100 kgf. O coe-

ficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície na qual

ele repousa é 0,30. O peso P é de 20 kgf e o sistema está em

equilíbrio. Qual a força de atrito exercida sobre o bloco A?

a) 20 kgf

b) 30 Nc) 30 kgf

Resolução: Observando o es-quema ao lado, temos:

• equilíbrio do corpo de

peso P:

d) 20 Ne) n.d.a.

R c o r p o = 0 = > T = P (1)

equilíbrio do ponto O:

R0 — O => polígono das

forças fechado

Assim, pela lei dos senos:

t T'

Polígono das forças agentes em O:

•sen45^" _senr45+r

=> T = T ' (2)

Pelo equilíbrio do bloco A,# = . Á (3) e N a = Pa (4).

Comparando as relações (1), (2) e (3), temos:

P = T = T ' = A.

Como P = 20 kgf, vem:A = 20 kgf

Note que a máxima intensidade da força de atrito estático será Adcs, =

= Hc Na = [i{.P A.

Como p,e = 0,30 e PA= 100 kgf, vem:

Adtrsl = 0 ,30 . 100 Adest = 30 kgf

n




4. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na figura, os corpos A e B estãoem contato e ligados por um fio flexível através de uma roldana.Uma força F é aplicada em B e o sistema permanece em equi-líbrio. Sobre o corpo A atuam:

a) somente 2 forças.b) somente 3 foi&as.c) somente 4 forças.

Resolução: No bloco A, agem três forças:

1. forçapeso (PA), aplicada pela Terra;

2. força de tração (T), aplicada pelo fio;

3. força de contato (C), aplicada pelo bloco B. Os vetorescompo-

nentes da força de contato são a força de atrito ( A ) e a força nor-mal (N).

Resposta: alternativa b.



,1

18

Observação: As forças agentes em B são:1. força-peso (PB), aplicada pela Terra;

2. força de tração (T), aplicada pelo fio;

3. força de contato (C'1, aplicada pelo solo;4. força de contato (C), aplicada pelo bloco A;

5. força externa (F), aplicada pelo agente externo.

5. PUC (CAMPINAS) — Na figura, as massas de A e B são, respec-

tivamente, 10 kg e 5 kg. O coeficiente de atrito de A com a mesa

é 0,20. O menor valor da massa de C, para evitar o movimento

de A, é:a) 15 kg. d) 12 kg.

b) 16 kg. e) 20 kg.c) 10 kg.

19

No equilíbrio estático do sistema, teremos: bloco B: T = Pb (1)

blocos C e A: T = A (2) e N = PA- f P , (3)À medida que a massa do corpo C diminui, a intensidade da força de atrito de destaque (do conjunto formado pelos blocos C e A) também

diminui, pois A„ÍKt = g.cN = 11.,( PA + P<) = M M A + M0)g.

Quando a intensidade da força de atrito de destaque for igualada pela

intensidade da força de tração, ocorrerá o mínimo valor da massa

do corpo C compatível com o equilíbrio estático.

Assim, em (2) teremos T = Aliest (4).De (1) e (4), vem:

Pu = A,i„at = jltN = |i ,( P A-j- Po) => MBy = [U-(M.\ 4-

3=> 5 — 0,2(104 Mo) ==» 5 = 2 + 0,2Mr => Mr — ------=>

0,2

=> Mc ^ 15 kg

Resposta: alternativa a.6. FEI — Na figura anexa estão representadas duas esferas idênticas

de peso P = 50 N. Desprezam-se os atritos. Calcule as reações

das paredes, considerando o sistema em equilíbrio.

Resolução: Observando o

esquema ao lado, podemos escrever:

* esfera Ei: o polígono das forças é um triângulo eqüilátero.

Logo:

N, = N;í = P =>

Polígono de forças da esfera E,:

Resposta: As reações das paredes nas esferas terão intensidades N, = == 75 N, N2 = 50 N, N, = 25 Y T n

1. MEDICINA DE POUSO ALE-GRE — Na figura ao lado, asintensidades das forças de tração

Tj e T2 nos fios deverão guar-dar a seguinte reiação:

a) T, = T2. b) T, < T2 < P.c) T, > T 2 > P.

d) T x = P cos 30° e T2 = P cos 60°.



21

2. FEI-MAUÁ — Uma corda de comprimento ( = 7,0 m está atada a dois pontos A e B, situados na mesma horizontal e separados por uma distânciad = 5,0 m. Num ponto D da corda, a 3,0 m dc A, prende-se um corpo

de peso P = lOkgf. Calcule as forças de tração nos trechos AD e BD dacorda.3. CESCEA — Na figura ao lado, |

temos um peso P, sustentado por B'dois fios AB e AC. Nas condições da figura, podemos afirmar,a respeito das intensidades dasforças de tração nos fios, que:a) são menores em AB 'do que em AC.

. b) são maiores em AB do que em AC.c) são iguais.d) dependendo do peso P, as alternativas a, b ou c podem estar corretas.e) Nenhuma das alternativas anteriores.

4. ACAFE — O sistema representadoestá em equilíbrio. A força de tração ha corda PO tem intensidadeaproximadamente igual a:(g = 10 rn/s2)

a) 100 N. b) 50 N.c) 116,3 K

d) 57,7 N.e) 157 N.

5. MEDICINA DA SANTA CASA — Um ponto material está sob a ação deduas forças de mesma intensidade 50 N. O ângulo entre essas duas forçasé de 120°. Para equilibrar o ponto, é necessário aplicar-lhe uma força deintensidade igual a:

a) 100 N. d) 50 N. b) 75 N. e) 25 N.c) 50 V ^N .

6, CESCEA —■ A figura ao ladomostra duas formas diferentes dese prender um mesmo balanço.Com respeito às intensidades dasforças de tração nas cordas dosdois arranjos, podemos afirmar

que:a) são maiores cm A do que

em B. b) são maiores em B do que

em A.são iguais em A e em B.somente serão diferentes se

c)d)e)

ambos estiverem oscilando. Nenhuma das alternativas anteriores é correta.



7. PUC (SÀO PAULO) — Uma barra homogênea AB, de secção reta uniforme,comprimento 1,2 m e peso 16kgf, está suspensa, por meio de duas cordasAC e BC de pesos desprezíveis, conforme indica o esquema. A intensidade

da força de tração em cada corda é de:

a) 20 kgf. b) 16 kgf.c) 12 kgf.

d) 10 kgf.e) 8 kgf.

8. CESGRANRIO — Esta questão apresenta duas afirmações, podendo asegunda ser uma razão para a primeira. Marque:a) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativa

da primeira.b) se as duas afirmações forem verdadeiras c a segunda não for uma justifi

cativa da primeira.c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.

d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.

e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.

Querendo romper uma corda, dois garotos tentam primeiro puxá-la, cadaum segurando-a em uma de suas extremidades (fig. I). Não conseguindo, prendem uma das extremidades da corda a um gancho fixo numa parede

e, os dois juntos, puxam a corda pela outra extremidade (fig. II).Fig. 1 Fig. II

l.a afirmação

A probabilidade de a cordaromper é a mesma nas duas porque

experiências.

2.1 afirmação

Em ambos os casos, a maiortração a que os garotos conseguiriam submeter a cordaé a mesma.



23

9. UNIVERSIDADE DE MINASGERAIS — Um corpo de 8,7 kgfé suportado por duas cordas: MQ, horizontal, c QN, que forma umângulo de 60° com a horizontal,conforme indica a figura ao lado.Sendo cos 30° = 0,87 ecos 60° = 0,50, as forças queagem ao longo das cordas valem:

a) F, = 5 N e F2 = 8,5 N.

b) F, = 0 e F2 = 10 kgf.c) Fj = 8 ,5 N e F2 = 10 N.

d) F, = 5 kgf e F2 = 1 0 k g f.

e) F, = 0 e F2 = 8,5 kgf.

10. ENGENHARIA DE SÄO JOSÉDOS CAMPOS — A bola dafigura ao lado, suspensa por umfio AC inextensível e sem peso,apóia-se na parede vertical AB.

O ângulo BAC vale 30° e o pesoda bola é de 150 newtons. Areação da parede tem intensidadede aproximadamente;a) 520 N.

b) 173 N.c) 87,N.

d) 300 N.

e) Nenhuma das respostas anteriores.

11. FUVEST — Na figura, vemosdois corpos 1 e 2, de massasM, = 2,0 kg e M2 = 4,0 kg,respectivamente, ligados por umfio que passa por uma roldana.O bloco 2 está apoiado no solo.

Supondo-se a inexistência de atritos e de outras massas, pergunta-se quais são as intensidades dasseguintes forças: (g = 10m/s-)

a) força de tração no fio f.

b) força exercida pelo solo sobreo bloco 2.



24

12. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um prisma de base hexagonal é colocado, em equilíbrio, sobre os mesmos planos inclinados em duas posiçõesdiferentes (I) e (II), como mostra a figura abaixo. Os dois planos são com-

— y — *

pletamente lisos, sem atrito. Sejam F, e Fa as forças exercidas pelo plano—> —*

AB sobre o prisma nos casos (I) e (II), respectivamente, e G, e G.> as forçasexercidas pelo plano AC sobre o prisma nos casos (1) e (II), respectivamente.

Com base nesses dados, analise as afirmações abaixo: —► —F

1 — As forças Fj c G> têm direções perpendiculares.

—* . *II — O módulo de F, é maior do que o módulo de F._,.

t i l — O módulo de F,_, é igual ao módulo de G].

13. FBI — O sistema abaixo está em equilíbrio. Os fios são leves e as poliasA e B possuem massas MA = 1,00 kg e MB = 2,00 kg, respectivamente.O corpo C tem massa Mc = 5,00 kg e a aceleração da gravidade é g == 10,0 m/s-. As forças tensoras Tj e T> valem, respectivamente:

14. FEI — Mediante uma força horizontal de intensidade F — 50 N. um corpode peso P = 120N é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado queforma um ângulo O com a vertical. A intensidade da reação normal exercida

pelo plano sobre o corpo e a tangente do ângulo valem, respectivamente:

a) 70 N e 7/12. d) 130N e 12/5.

b) 70 N e 12/7. c) 130N c 5/12.

c) 170 N c 12/17.



15. MEDICINA DE SANTOS — Dois pontos materiais P e Q de massas m em', respectivamente, estão unidos por uma corda que passa por uma roldana.Os pontos mantêm-se em equilíbrio conforme mostra a figura abaixo. O pro

duto das massas destes corpos é igual a 3 gramas; os ângulos í) e 0 valem,rcspcctivamente, 60° e 30°. Os ramos das cordas são paralelos às linhas dedeclive dos planos. Os valores de ra e m' são:

a) m = 31/4 g e m' = 3*f4 g. d) m - 3, /2 g e m' = 3 'i 4 g. b) m = 2 g e nf = 4 g, e) Faltam dados.c) m ~ m' = 1g.

d 16. MACKENZIE —- O bloco de peso lOkgf é mantido em repouso sobre11

o plano inclinado indicado na figura mediante a aplicação da força F, paralela à reta de maior declive do plano inclinado. O coeficiente de atritoestático entre o plano inclinado c o corpo vale 0,5. A intensidade da força, em kgf, que satisfaz à condição do problema, é:

17. FEI-MAUÁ — Um corpo de peso P = 50 N está apoiado num planoinclinado que forma um ângulo de 30° com a horizontal. O coeficiente deatrito estático entre o corpo e o plano é |i =± 0,2. Um segundo corpo de

peso O está preso ao primeiro por meio de um fio que passa por uma poliasem atrito. Entre que limites pode variar o peso Q de forma que o sistema

permaneça em repouso? Poderá ser nula a força de atrito entre o corpoe o plano inclinado? Justifique.

26

18. ENGENHARIA DE SÂO CARLOS — O sistema da figura está em equilíbrio. O que se pode dizer do coeficiente de atrito estático k?

a) k = 0.3 d) k > 0.5

b) k < 0.3 ej k = 0,5c) k < 0,5

19. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — Dois corpos. A e B de mesmo peso e superfícies desigualmente polidas, encontram-se em equilíbrio sobredois planos ortogonais entre si, conforme mostra a figura. Se inclinarmosmais qualquer um dos planos em relação à horizontal, o corpo i?á se movimentar sobfc a linha de maior dcclfve do plano. Designando por c (j,Bos coeficientes de atrito estático entre os corpos A c B e os respectivos pla

nos de contato, podemos afirmar que:

20. ENGENHARIA DE SANTOS — A respeito da força équilibrante de unisistema de forças concorrentes, podemos afirmar que:

a) seu sentido é sempre contrário ao da força resultante do sistema. b) é sempre nula,

c) sua direção é sempre contrária à da resultante do sistema.d) é sempre não-nula.c) Nenhuma das respostas anteriores.



21. ENGENHARIA DE SANTOS

— No sistema - representado na P ?figura, F, = Fo = F. A força 1

equilibrante do sistema tem intensidade:

a) 2F.b) F/2.c) F/VT.d) F V 2 . ,,e) Nenhuma das respostas ante

riores.

22. MEDICINA DE SANTOS — Assinale a alternativa errada:

a) Dado um ponto cm equilíbrio sob a ação de três forças, qualquer delas

é resultante das outras duas. b) A resultante de duas forças concorrentes pode ter intensidade igual à soma

das intensidades das forças componentes.c) Dadas duas forças concorrentes em um ponto P, a linha de ação da re

sultante delas também passa por P.d) Uma das alternativas acima está errada.

23. CESCEA -— Uma esfera é presa pelo seu centro a fios inextensíveis, de mas

sas desprezíveis, que passam por duas roldanas também de massas despre

zíveis e livres de atrito. Na extremidade dos fios estão dois corpos de pesos

P] = 20 N e P, = 10 N, conforme mostra a figura. O peso da esfera é

de 20 N e o sistema está em equilíbrio. Os valores do ângulo d> e da reação

do apoio sobre a esfera, que mais se aproximam dos valores corretos, são,respectivamente: (Considerar sen 30° = 0,5; sen 45° = 0,7 e sen 60° — 0,9.)

Üa) 30° e ON.

b) 30° e 12 N.

c) 45° e 18 N.

d) 60° e 0,7 N.

e) 60° e 2,5 N.



28

Este enunciado refere-se aos dois testes seguintes:

Um fio flexível passa por uma polia fixa e sustenta em suas extremidadesdois pesos, P e O. Q pode deslizar sem atrito ao longo de uma barravertical.

24. PUC (SÃO PAULO) — Na posição de equilíbrio, a força aplicada pela barrasobre o anel Q é:

a) horizontal, orientada para a direita, b) vertical, orientada para baixo.c) vertical, orientada para cima.

d) horizontal, orientada para a esquerda.e) inclinada em relação à barra,

25. PUC (SÃO PAULO) — Supondo d> = 60°, a relação P/Q, na posição dcequilíbrio, vale:

1. b 2. T ad = 8 kgf; TBD = 6 kgf. 3. b 4. c

5. d 6. a 7. d 8. e 9. d 10. c

11. al Tf = 20 N; b) N = 20 N.

12. I — C; II — E; li l — E,

13. e 14. d 15. a 16. e 17. Omín = 16,3 N; Qmfc = 33,7 N. A força de atrito

será nula quando Q = 25 N.

18. d 19. c 20. a 21. d 22. a 23. e 24. a 25. b

a) 1/2. b) 2.c) \r j n .

d) 2/V3.e) í



30

Momento escalar de uma força —>

Definese momento escalar de uma força F, em relação a um

ponto O, como sendo o produto da intensidade F dessa força pela —y

distância d que vai de O à linha de ação de F (reta que define a direção

da força), acrescido de um sinal positivo ou negativo. Ou seja:

Mt’(o> = ± Fd

O momento escalar de uma força agenfe num corpo está asso-

ciado à tendência de rotação deste corpo, em relação ao ponto, devido



1. 0 ponto O é denominado pólo do momento.

2. A distância d é denominada braço do momento.

3. O momento associado à tendência de rotação no sentido horário seráadmitido negativo. v

\ \

\

O momento associado à tendência de rotação no sentido anti-horário seráadmitido positivo.

mf (0> ^ 0

4. O momento de uma força será nulo quando o braço do momento forzero (linha de ação da força passando pelo pólo).

5. No Sistema Internacional, o momento de uma força é medido em N . m.

• Aplicações

Ilustremos algumas situações práticas onde ocorrem momentosde forças:



Observe que quanto maior for o braço do momento, mais facimente obteremos a rotação desejada.



Binário

Quando um corpo está submetido a duas forças com intensidades

iguais, mesmas direções, sentidos opostos e linhas de ação distintas,dizemos que esse corpo está sob a ação de um binário.

Observe que a aplicação de um binário produz a rotação do corposem causar aceleração de translação, pois a soma vetorial das forçasdo binário é nula. A partir da figura acima, podemos escrever:

>=> Mbitiirio = + 2Fd (sentido anti-horário) => } =$ M = + FD, onde D = 2d

O momento de um binário não depende do pólo escolhido. É sempreigual ao produto da intensidade de uma das forças pela distânciaentre suas linhas de ação, acrescido do sinal relativo ao sentidode rotação.

Aplicações

Veja, agora, algumas situações práticas onde as rotações sãocausadas pela ação de um binário:



34

Equilíbrio de um corpo rígidoPara que um corpo rígido, sob a ação de forças agentes num

mesmo plano, esteja em equilíbrio estático, é necessário e suficiente

que:1) a soma vetorial de todas as forças agentes no corpo seja nula.2] a soma algébrica dos momentos escalares de todas as forças em

relação ao mesmo ponto (pólo], no plano das forças, seja nula.

Em resumo:

Equilíbrio estático de um corpo rígido= 0

SM fioi = 0

Se um sólido em equilíbrio estático está submetido somente à ação de

três forças coplanares, necessariamente as linhas de ação dessas



I ____

___

/ __

_ ___

Isto se deve ao fato de que a soma algébrica dos momentos das forçasdeve ser nula em relação a qualquer ponto do corpo no plano das forças.

• Alavancas — Alavancas são máquinas simples, constituídas

de uma única barra rígida, que pode girar em torno de um ponto fixo

denominado fulcro ou ponto de apoio.

Podese realizar um trabalho com menor esforço quando se uti-

liza uma alavanca. Considerandose o peso da barra desprezível em

relação às demais forças, as forças agentes na alavanca são: —►

• força resistente (R): força que se deseja vencer;

• força potente (F): força que o operador exerce na barra;• força normal (N): força aplicada pelo apoio (fulcro).

fulcro



36

Na situação de equilíbrio da alavanca, temos:

1) 2F = 0 = > N = R “[ F

2) SMfio) — 0 )Ra — Fb = 0 => Ra = Fb

Abaixo, vemos uma aplicação do equilíbrio de uma alavanca na

construção civil.

— Classificação das alavancas — De acordo com a posição do

fulcro, em relação às forças potente e resistente, as alavancas seclassificam em:

Interfixa — O fulcro situase entre a potência e a resistência.

Exemplos: tesoura, monjolo, balança de travessão e gangorra.

Interpotente — A potência é aplicada entre o fulcro e a resis-

tência. Exemplos: pinça e pedal de acelerador.

Inter-resistente — A resistência situase entre o fulcro e a po-tência. Exemplos: carrinho de mão e quebranozes.

O esqueleto humano é um conjunto de alavancas de todos os tipos, comopodemos observar na ilustração:

• Tombamento de um sólido — Suponha um plano inclinado deinclinação variável CI\ onde repousa um sólido, conforme mostra oesquema seguinte.

Vamos supor também que o coeficiente de atrito estático entreas superfícies de contato seja elevado, de modo que não haja escor-regamento do bloco sobre o plano.

À medida que formos variando a inclinação <£ no sentido indi-cado, vamos aumentando as possibilidades de o sólido tombar.

38

Agora, vamos estudar esse fenômeno. Quando o sólido estáapoiado sobre o plano, as forças N e P estão dispostas conformefigura 1.

À medida que a inclinação do plano for aumentando, a com-pressão do apoio tende a mudar sua linha de ação para a aresta AB do sólido. Enquanto a linha de ação do peso P passar pela base dosólido (segmento AD), não haverá tombamento.

Quando a linha de ação de P passar pelo ponto A, o sólido estaráno lim ite de tombamento (figura 2). Um mínimo acréscimo ao ângulode inclinação do plano será suficiente para o sólido tombar. No limitede tombamento, podemos escrever:

_ AD A btg <í>= ------ => tg $ = — (1)

DC h

Conclusão:



39

1, Baseado no que foi exposto, podemos entender o funcionamento dobrinquedo conhecido como "João-teimoso". Esta teoria também é

fundamental na construção de inclinações de acostamentos em trechos

2. Quando se tem um conjunto deblocos homogêneos dispostosem uma pilha, o limite de

desmoronamento da_ mesmaocorrerá quando a linha deação do peso dos blocos que

estiverem acima de outro passar

pela aresta deste. Observe osesquemas abaixo. Nessesesquemas, estudamos o equilíbrio

para uma pilha de três blocos.

equilíbrio de uma pilha de blocos homogêneos

aresta

linha de ação dede

\ ;

^ ' 1 p. \ ' ^

_

lâ s -----

pi + pa

aresta

Se os blocos são homogêneos, a linha de ação dos pesospassará pelo centro geométrico dos blocos.



40

Complementos

1) Máquinas simples — Vimos que a alavanca é uma máquina

simples. Assim como ela, existem outras máquinas simples cuja

função é transmitir ou modificar forças: o plano inclinado e as polias.

O plano inclinado tem grande aplicação no transporte de cargas pesadas (vagõesde mineração, caminhões de mudança), bem como em parques de diversões.

A polia ideal simplesmente modifica a direção da força de tração transmitidapelo fio que a envolve.



41

Em nossa análise, consideraremos tais máquinas como sendo

ideais (os atritos das polias serão desprezíveis e não consideraremos

as inércias dos fios e das polias).

Denominase vantagem mecânica de uma máquina simples a ra-

zão entre as intensidades da força resistente e da força potente no

equilíbrio.

Ou seja:

Sendo tf o trabalho realizado pela força potente e xR o trabalho

realizado pela força resistente, o rendimento de uma máquina simples

será obtido mediante o quociente

2) Associação de polias — Na prática, é de grande interesse

associarmos polias fixas e móveis, a fim de conseguirmos mover

pesadas cargas com um mínimo de esforço. Apresentaremos, ainda

que superficialmente, algumas dessas associações:



42



43

— Talha diferencial

— Sarilho — O sarilho é uma associação de máquinas simples, de

grande utilidade na exploração de poços de água em zonas rurais.

44

Três forças atuam neste sistema: a força potente F aplicada na

manivela, a força resistente R agente na corda e a reação dovínculo N.

Na situação de equilíbrio, temos:Mkioi ~F ~J- Mí (o) = 0 => Rr -)- 0 — Fb — 0 =$ Fb — Rr

Sendo VM = — , entãoF

Note que o sarilho funciona como uma alavanca interfixa de braços

desiguais.

3) Equilíbrio dos sólidos

— Corpo apoiado — Dizemos que um corpo apoiado sobre uma

superfície está:

• em equilíbrio estável quando, levemente afastado de sua posição

de equilíbrio, volta a recuperá-la (figuras 1 e 4).

• em equilíbrio instável quando, levemente afastado de sua posição

de equilíbrio, não mais volta a recuperá-la (figuras 2 e 5).

• em equilíbrio indiferente quando, afastado de sua posição de

equilíbrio, ele retoma o equilíbrio em situação análoga à anterior(mesmas forças e mesmo estado em relação ao apoio) (figuras 3 e 6).

f ß ' i i /

í f , I ■- /

y ___

_ v _

Afig. 2 fig- 3

A /<

f\ I

&

fig. 1



— Corpo suspenso — Dizemos que um corpo suspenso por um deseus pontos está:

• em equilíbrio estável, se o ponto de suspensão S se localizaacima do centro de gravidade G do corpo [figuras 7 e 10).

• em equilíbrio instável, se o ponto de suspensão S se localiza

abaixo do centro de gravidade G do corpo (figuras 8 e 11).

• em equilíbrio indiferente, se o ponto de suspensão S coincide

com o centro de gravidade G do corpo (figuras 9 e 12).

G, 1 C

G = SSB

G Si ' !fig. 7

fig. 81

fig. 9

fig. 10 fig. 11 fig. 12

Outros exemplos de corpos em equilíbrio

equilíbrio indiferente



46

Como percebemos, a posição do centro de gravidade de um

corpo rígido, em relação ao seu ponto de apoio ou de sustentação,

desempenha papel fundamental no estudo do seu equilíbrio.

Verificase que um corpo será tanto mais estável em seu equi-

líbrio quanto mais baixo estiver situado seu centro de gravidade, de

modo que a vertical baixada deste centro caia dentro de sua base

de apoio.

Compare a estabilidade dos móveis abaixo, quando ambos sofrem

a mesma inclinação:

G mais baixo:maior estabilidade

G mais alto.menor estabilidade

4) Tensão normal e tensão de cisalhamento — Imaginemos uma

força F aplicada à secção transversal de área S de um sólido pris-

mático.



Façamos a decomposição desta força nas direções tangencial enormal à superfície de área S, onde o esforço é exercido.

O vetorcomponentenormal Fn pode realizar um esforço de traçãou de compressão.

Ao quociente entre a intensidade do vetorcomponentenormal

(Fn) e a área da superfície (S) denominamos tensão normal (aN)-

Em símbolos: = Fn

A unidade de no SI éN

m"

O vetorcomponentetangencial FT realiza um esforço de cisalha

mento. Ao quociente entre a intensidade do vetorcomponentetangencial

(Ft ) e a área da superfície (S) denominamos tensão de cisalhamento (aT).

Em símbolos: CFj -- Ft

A unidade de crT no SI é rrr

É comum se fazer confusão entre tração (grandeza vetorial) etensão (grandeza escalar).

5) Deformação normal específica — Se o sólido prismático men-cionado no item anterior for uma barra de comprimento original L,

o supondo que sob a ação da força F ela tenha se alongado ou encur



48

tado de um comprimento de intensidade AL, definimos como defor-

maçao normal específica (s) a grandeza escalar

6) Lei de Hooke*— Hooke verificou experimentalmente que,

dentro de certos limites (regime elástico), havia uma proporciona-lidade entre tensões normais (aN) e deformações específicas (s).

Em símbolos:

cfN= Ee

onde E é o coeficiente de proporcionalidade, conhecido como módulo

de Young. E depende da natureza do material que constitui o sólidoprismático.

Graficamente:

* Robert Hooke (16351703) — Físico, astrônomo e matemático inglês. Estudou osgases, o movimento planetário, descobriu a lei da elasticidade e a difraçãp da luz.Estudou também fósseis microscópicos e propôs teorias sobre a evolução das



E vem:

cjn = Ee

Fn AL

=> = E

s

RF

L

=> Fn —

L

-AL

onde ------= K é denominada constante elástica do sólido.L

Assim,Fn — KAL , que é a expressão mais conhecida da lei

de Hooke (a intensidade da força normal é diretamente proporcional

à intensidade da deformação). Entretanto, é bom ter em vista que, a

partir de um valor de intensidade da força normal, deixa de haverproporcionalidade entre Fm e AL, ou seja, entre aN ee. A partir de

então, as deformações passam a ser plásticas (ramo AB do gráfico}.

1. CESGRANRIO — Querendo arrancar um prego com um martelo,conforme mostra a figura, qual das forças indicadas (todas elas

de mesma intensidade) será mais eficiente?

a) Ab) B

c) C

d) De) E



50

Resolução: Evidentemente, só as forças representadas por C, D e E

têm condições de arrancar o prego de maneira normal.

Aquela que apresentar o maior momento escalar em relação ao ponto

O (cabeça do prego) será a mais eficiente das três.

Como as intensidades das. forças são iguais, o maior momento será

aquele que possuir maior braço.

Observando a ilustração abaixo, concluímos que o maior braço (dis-

tância do pólo à linha de ação da força) referese à força representada

Conclusão: A força mais eficiente, a que apresenta maior momento

escalar em relação ao pólo O, é representada pela letra D.

Resposta: alternativa d.

2. CESCEA — A figura abaixo mostra duas massas M e 2M presas

aos extremos de uma barra rígida de comprimento d. Deseja-seequilibrar o conjunto, apoiando-o em um ponto da barra, situado

a uma distância x da massa M. Qual deve ser o valor de x?

a) x = 2d/3 c) x — d/3

b) x = 3d/5 d )x = d/5

Resolução: Admitindo o peso da barra desprezível e estando o sistema

em equilíbrio, podemos escrever que a soma dos momentos das forças



Ou seja:

SMpiot ' 0

Do esquema acima, podemos escrever:

Mpioi = +Px (sentido anti-horário)

M2p(0) = —2P(d — x) (sentido horário)

Mn,0) = 0 (momento tem braço nulo)

Assim, EMpioi = 0 implica em:

Px — 2P(d — x) -f- 0 = 0 => Px = 2P(d — x ) =>

=> x = 2d — 2x => 3x = 2d


3. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Na estrutura abaixo, o peso da

barra horizontal é 120 N, e o peso do bloco é 60 N. Sendo a = 2me a' = 0,50 m, as reações dos apoios A e B são:

a) N a = 100N e NB= 80 N.b) Na = 105 N e Na = 75 N.

d) Na = 130 N e Nb = 50N.e) Na= 140 N e NB= 40 N.

52

Resolução:

a) Estando o sistema em equilíbrio, a soma dos momentos das forças

será nula em relação a qualquer ponto no plano das forças. To-memos, por exemplo, o ponto A.

Portanto, £M F(A) = 0.

Do esquema anterior, podemos escrever:

Mna<a, = 0 (braço do momento é nulo)

M„(a. — —pa' (sentido horário)

Mp(Ai = —P — (sentido horário)2

= 4-N b3 (sentido antihorário)

Portanto, 2MF(A) = 0 implica em:

0 — pa' — P -----

\~N Ba = 0 NBa = P — f pa' =>2 2

P = 120 N

1 a'p — 60 N

^ n b = — P + P —

2 aonde

a ' 0,50 m

a = 2 m

Logo:

i1/2 _n b = — . 120 + 60 .

2

2

=> |N b = : 7 5 N

b) Como o sistema está em equilíbrio, temos SF = O.

ÍP = 120 N

Logo Na + N b = P + p => Na = P + p N B onde r p = 60 N



E temos:

Na = 120 + 60 — 75 Na = 105 N

Resposta' alternativa b.

4. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉDOS CAMPOS — Um fciocode massa igual a 240 kg estásuspenso, conforme é apre-sentado na figura ao lado.Considerando desprezível a

massa da barra AB, a forçade tração no cabo BC éde:(Admitir g = 10 m /s2 )

a) 3 000 N.b) 3 200 N.c) 1800 N.d) 4 000 N.e) Nenhuma das anteriores

Resolução:

a) Aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo CAB, temos:

54

No triângulo ADB, sen a =

b) Para facilitar o estudo das forças agentes no ponto A da barra,

decompomos a força de contato exercida pela parede em:

—*

V : vetor-componente -vertical;

H: vetor-componeme-horizontal.

Na situação de equilíbrio, 2 Mf<a) — 0.

Observando o esquema das forças, podemos escrever:

Mvi*i = 0

Mh (A) = 0

MT(A) = 4- Td (sentido anti-horário)

Mt'(m = —T (A B ) (sentido horárioj

Então, SMfiai = 0 implica cm:

T'(a B)

Td — T'(AB) = 0 => T'( AB) = Td => T = — ------

-d

Como o bloco está em equilíbrio, T' = P.

P(AB)Logo, T = — ------- -, onde

d

2 400 . 16

P = Mg = 240

AB = 16 m

48d — -----m

5

Assim: T =48

T = 4 000 N

10 — 2 400 N

Observação: Na situação de equilíbrio da barra, temos 2 F = O. Decompondo

as forças agentes nas direções horizontal e vertical, temos:

horizontal: H —T cos a, = 4 000 . ----- = 3 200 =>20

H = 3 200 N

vertical: V + T sen « = p = > V = P - T sen « = 240.10 - 4 000 . —

Portanto, a força do contato total exercida peia parede na barra será

dc 3 200N , horizontal.


5. 1TA — Uma escada AB, de peso desprezível, apóia-se no chão enuma parede vertical, como mostra a figura. O ângulo da escadacom a parede vertical vale e o coeficiente de atrito, nos dois

apoios, é [i = 0,5, Qual deve ser o ângulo <f> para que um homem

de peso 80 kgf possa subir até á metade da escada, sem que ela

escorregue?

Resolução: Quando unia barra está apoiada contra uma parede, tendo

a sua outra extremidade apoiada no solo, devemos decompor as reações

dos apoios (parede e solo) horizontal e verticalmente.

Assim, a ação Ci da parede na barra será decomposta em Hi e Vi, —>

obedecendo às tendências de escorregamento da barra. A ação C2 do —> —4

solo sobre a barra será decomposta em Ha e V2, observadas, também,

as tendências de movimento da barra junto ao solo.

Ao tomarmos o momento das forças agentes na barra, estando o sistema

cm equilíbrio, devemos procurar fazê-lo em relação ao ponto onde

esteja concentrada a maioria das forças, pois, assim, os momentos

correspondentes se anulam (braço zero).



Substituindp e Vi pelas igualdades correspondentes, encon-Pi

H,tiradas nas expressões (3) e (5), vem:

d: 2jt 2 . 0,5 lLogo; ------= -------------- = ----------------- - — --------------

& 1 - (x® 1 _ (0,5)- l - 0,25

1 100í 1

d, 1 i

4 ^

0,75 75 3 C i - t e 3

Resposta: O ângulo formado entre a escada e a parede vertical, para

4que o observador consiga atingir o meio da escada, será O — arc tg — .

3

6. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — Tem-se uma caixa de

fósforos de dimensões a, b e c, cujo centro de gravidade coincidecom o de simetria. Coloca-se um palito de fósforo (considerandoseu peso desprezível) entre uma das laterais da gaveta e a tampada caixa, como mostra a figura. Qual o maior comprimento L

do palito para que a caixa fique em equilíbrio?

a) a2/b _ d) a/b2b) 2a/Y"5" e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 2b/2



58

Resolução: A situação-limite de equilíbrio ocorrerá quando a linha dc

ação da força-peso passar pela aresta A.

vi b a Neste caso, teremos tg a = — (l) e tg a — ____

(2).a L

b aDe (1) e (2), vem: — = — =>

a L


7. ITA — Uma barra delgada e homogênea está simplesmente apoiada

na parede, sem atrito, como mostra a figura. Para que o sistemafique em equilíbrio, o fio deve ser ligado no ponto:

b) Q ou R. e) R.

c) P ou R.

Resolução: As forças agentes na barra são:

peso (P), aplicada pela Terra, no centro de gravidade da barra, ponto Q;

normal (N), aplicada pela parede, na extremidade da barra e na direção

do seu eixo longitudinal; —*

tração (T), aplicada pelo fio.



As forças peso e normal podem ser esquematizadas:

.......... . _ Q

—*Tr

—►Pr

Na situação de equilíbrio, a soma dos momentos escalares das forças

agentes na barra deve ser nula em relação a qualquer ponto no plano

das forças.

Portanto, em relação ao ponto Q, devemos ter EMF(Q, = 0.

O momento das forças peso e normal em relação a Q vale:- V

— 0 (força N tem linha de ação que passa por Q)

Mp,oi = 0 (força P tem linha de ação que passa por Q)

Logo:

L M|. 4qi = 0 =>

= > M N(0i -|- M p,q, -f- M TIOi = 0 =>

=> 0 -f- 0 -f- MT(0, = 0

E vem:

M j (OI — 0 —>

Isto significa que a linha de ação da força T passa pelo ponto Q.

Logo, o fio deve estar ligado ao ponto Q.

Se o fio fosse ligado ao ponto P ou R, o sistema não ficaria em equi

líbrio, pois os momentos das forças N e T seriam nulos em relação



P não o seria. A barra tenderia, então, a sair da posição horizontal,

desequilibrando-se. conforme vemos a seguir:

60 ____________________________________ _______ _


Observação: O exercício anterior nos permite, então, concluir que: quandoum corpo rígido está em equilíbrio sob a ação de três forças coplanaresnãoparalelas, elas devem, necessariamente, ter suas linhas de açãoconcorrendo num único ponto.

8. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — Utilizando umatalha exponencial, é necessária a aplicação de uma força de1 000 N para equilibrar um peso de 512 000 N. O número de rol-danas móveis da talha será de:

a) 4. d) 15.b) 7. e) Nenhuma das respostas anteriores.



Resolução: A relação entre a

intensidade da força potente

(F) e a intensidade da força

resistente (R) é dada por F =

R = ------ , onde n e o numero de

2"

roldanas móveis.

Como F = 1 000 N e

R = 512 000 N, temos:

F = — =>2"

1 000 =512 000

2"

=> 2n= 512

Como 512 = 2“, decorre 2" = 2o.

Logo: j n = 9

Resposta: alternativa e.

F = 1 000 N

roldanas

móveis

=- 5t2 000 N

1. KPUSP — No esquema abaixo, o módulo do momento da força F. em rela

ção ao ponto O. é. M. Gira-se, no plano da figura, o segmento representa-

—►tívo da força F de 60° em sentido a nti-lio rã rio, cm torno de seu ponto deaplicação; inverte-se seu sentido; quadruplica-se seu módulo e seu ponto

de aplicação é levado ao ponto médio do segmento OP por translação.Com isso, podemos afirmar que:

C



62

a) o momentomuda de sinal, mas não de módulo. b) o momentomuda de sinal e seu módulo passa a /TM.c) o momentomuda de sinal e seu módulo passa a 2M.

d) somente com estes dados não se pode determinar o novo momento.e) Nenhuma das respostas anteriores.

2. MEDICINA DE SANTO AMARO — A respeito de um binário ou con- jugado, podemos afirmar que:

a) tem resultante nula. b) sua resultante produz uma rotação no corpo sobre o qual atua.c) não tem resultante.'d) há uma força que, atuando sozinha sobre um corpo livre, produz o mesmo

efeito que um binário.c) não se pode dizer nada a seu respeito.

3. MEDICINA DE SANTO AMARO — A figura abaixo indica um binárioe um ponto O.

Temos, então, que o momento do binário em relação ao ponto O será:

a) zero.

4. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — A figura abaixo mostra umquadro pendurado em uma parede. Admitindo que o tio é ideal e que oquadro é retangular c tem o centro de gravidade coincidente com o centro

geométrico, podemos afirmar que a força exercida sobre I parede, no pontoP, é representada pelo vetor:

d

£ | . d, + | £ l . da.

d) MWn = j F2 I . d.c) Nenhuma das respostas anteriores.

a)

e)

c)

P

63

6. MACKENZIE — Para que a barra não sofra rotação em torna de C, deve-

mos ter:a) F, = FL>.

b) F, sen . AC —F» cos . CB = 0.

c) F; cos — Fa sen .

d) AC . sen = CB . cos .

e) Nenhuma das anteriores.

7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Dois meninos A e B estão equi-librados numa tábua de peso desprezível, apoiada em C, conforme a figura.

c) 30 kgf.



64

8, FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma vassoura é suspensa pelo seucentro de gravidade, como indica a figura, permanecendo na posição horizontal. Cortando o cabo no ponto de suspensão e medindo o peso das duas partes obtidas, observa-se que:

J

a) as duas partes têm mesmo peso. b) a parte que contém a vassoura é a mais pesada.c) a parte que contém somente o cabo é mais pesada do que a que contém

a vassoura.d) a parte que contém a vassoura pode pesar mais ou menos que a parte

que só contém o cabo.e) o fato de a vassoura conservar-se na horizontal indica que a gravidade é

praticamente nula no local da experiência.

9. MACKENZIB — Uma pessoa de peso I* desloca-se ao longo de uma prancha rígida, apoiada em duas paredes verticais paralelas, separadas por

uma distância d, como mostra a figura.

Ao passar de um extremo ao outro, o esforço E sobre a parede A, des prezando-se o peso da prancha, varia de acordo com o diagrama:




10. UNF.SP — O sistema da figura abaixo é leve e suporta a carga O. emequilíbrio. Com base nessa afirmação, assinale a alternativa correta.

a) A barra BC sofre e exerce forças maiores do que Q, b) A barra AC é comprimida,

e) A barra BC é tracionada.

d) Em caso algum as forças suportadas por uma barra podem superara carga Q.


11. FE! — A figura mostra uma viga homogênea, prismática, disposta hori-zontalmente, apoiada num cutelo em C e suspensa em A por um fio ver-

tical, Sendo o peso da viga igual a 150 N, determinar a tração no fio AB.

12. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Para sustentarmos, em equilíbrio,

uma carga de 20 kgf, suspensa no ponto médio de uma alavanca homo-

gênea horizontal com 10 kgf de peso, articulada em A, conforme mostra

a figura, devemos fazer uma força F de:

a) 10 kgf.

b) 15 kgf.

d) 30 kgf.

e) 60 kgf.



A barra AB apresentada na figura abaixo tem peso desprezível e está presa

a uma parede vertical, mediante um fio inextensível CD, e a um pinocolocado na extremidade A. A barra sustenta um corpo de peso P = 100 N.

preso à extremidade B. São dados AB = 6 m e BC = 2 m. Este enunciadorefere-se às três questões seguintes:

13. FEI -— A intensidade da força dc tração no fio CD vale:

a) 100 N. d) 150 vT N .

b) 50 VTTN. e) Nenhuma das alternativas anb

c) 150 N.

14, FEI — A reação em A tem a direção indicada na figura:

b) II.

c) III.d) IV.

15.

FEI —- Para que a reação em A tenha a direção da barra, o fio de sus

pensão do corpo deve ser preso no ponto:

a) A. d) médio da barra. b) B, c) Nenhuma das alternativas anteriores-



Í6. MEDICINA DA SANTA CASA — Duas polias concêntricas, presas aum mesmo eixo, têm raios de 20 cm e 40 cm. Quatro cordas, A, B, Ce D, estão enroladas nas polias, de modo que A e B, quando fracionadas, giram as polias no sentido anti-horário, enquanto que C e D as giramno sentido horário. Uma pessoa de 60 kgf quer levantar uma carga de100 kgf. A melhor maneira de satisfazer o seu desejo é-

a) puxar pela corda b) puxar pela corda B, o preso na corda D.

preso na corda D.corpo

c) puxar pela corda A, o corpo

d) puxar pela corda C, o corpo preso na corda B.e) O homem não é capaz de levantar o corpo de forma alguma, qualquer

que seja a combinação acima utilizada.

17. MACKENZIE — Um tubo homogêneo é transportado na posição horizontal por três homens A, B e C, O homem A segura o tubo cm umaextremidade c os outros suportam-no através dc uma viga transversal,muito delgada, de modo que a carga seja igualmente dividida entre os trêshomens. Desprezando o peso da viga, a distância X, em. função dos com

primentos indicados na figura vista na planta, vale:

c) L/4

68

18. MEDICINA DA SANTA CASA — A barra da figura pode girar livremente em torno do eixo fixo S. Um corpo de massa M = 100 kg é pendurado na extremidade R da barra, que é mantida na posição horizontal através

de um dinamômetro preso no ponto O. O ponto O é tal que OS = 10 cmc OR = 40 cm.Desprezando o peso da barra e considerando a aceleração da gravidadeg = lO m/s-, o dinamômetro. na vertical, deverá marcar, aproximadamente;

a) 20 N. b) 25 N.c) 80 N.d) 500 N.c) 5 000 N.

Uma barra rígida, com peso desprezível, articulada em A e apoiada em Q.sustenta, na extremidade B, um peso P = 100 VTN. As distânciasAQ e OB valem, respectivamente, 60 cm e 40 cm. O ângulo mede 30°.

Este enunciado refere-se às questões de 19 a 21.

19. PUC (SÃO PAULO) — Nestas condições, a reação desenvolvida no pontode apoio Q tem intensidade;a) 100 N. d) 250 N.

b) 125 N. e) 500 N.c) 100 VTN.

20. PUC (SÃO PAULO) — A reação horizontal em A tem intensidade:a) 100 N. d) 250 N.

b) 125 N. e) 500 N.c) 100 VTN.

21. PUC (SÃO PAULO) — A reação vertical em A tem intensidade e sentido dados por:a) 25 V T N , para cima. d)100 V T N , para baixo.

b) 25 V T N , para baixo. e) 250 N, para cima.c) 100 VTN, para cima.



22. PUC (SÃO PAULO)

a) intcrfixas.

b) iníer-resistentes.c) interpotentes.

— A tesoura é uma combinação de duas alavancas:

d) uma ínterfixa e outra inter-resistente.

c) uma ínterfixa e outra interpotente.

23. MEDICINA DA SANTA CASA — Normalmente, os objetos esquematizados abaixo funcionam, rcspectivamcnte. como alavancas de que tipo?

a) ínterfixa, interpotente, inter-resistente e inter-resistente. b) Interpotente, interpotente, interpotente e interpotente.c) Inter-resistente, interpotente, ínterfixa e Ínterfixa.d) ínterfixa, inter-resistente. inter-resistente e interpotente.e) Nenhuma das respostas anteriores.

24. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — A barra rígida e homogênea MN da figura abaixo pode girar, sem atrito, em torno do pino M,apoiando-se no degrau, em O. Qual das cinco setas desenhadas pode representar a força exercida pelo pino M sobre a barra?

a) I b) II» IIId) IVe) V

25. ITA — Três blocos cúbicos iguais, de arestas a, estão empilhados, conforme sugere a figura. Nessas condições, a máxima distância x para queainda se tenha equilíbrio é: a

a) a/2.h) (7a/8).c) a



70

26. UNIVERSIDADE DO CEARÁ — Um cilindro dc raio R apóia-se, poruma dc suas bases, num plano inclinado dc 45° cm relação ao planohorizontal. Despreze a força de atrito. Para que o cilindro possa deslizar,

sem tombar, sua altura máxima H deverá ser igual a:a) 2R. c) 3R/2.

b) R. d) R/2.

27. CESGRANRIO — A figura representa uma escada apoiada em uma paredec duas das forças que atuam sobre ela: o peso P e a força F exercida pela parede.

Entre os cinco segmentos propostos a seguir, qual representa a força exercida pelo chão sobre a escada, para que ela permaneça em equilíbrio?

a) A

b) B

c) C

d) De) E

A figura abaixo representa um carro de massa M em movimento sobreuma pista perfeitamente horizontal. O centro de gravidade (G) do carro,

eqúidistante das quatro rodas, encontra-se a uma altura h acima da

pista, e a distância entre as rodas de cada eixo é L, Numa curva de raio

r, o carro entrou com velocidade V, considerada excessiva. O coeficientede atrito entre os pneus e o asfalto é | i e a aceleração da gravidade

28. CESCEA — Qual a condição necessária para que o carro em questãoderrape na curva descrita?

a) VV r > |ig c) V"/r > (tgL/2h b) V-7r- > |ig/h d) Nenhuma das respostas anteriores.

29. CESCEA — Qual a condição necessária para que o carro em questãocapote na Curva descrita?

a) V-Vr>g c )V ~ / r>g L /2h b) V -/r- > g/h d) Nenhuma das respostas anteriores.

30. CESCEA — Sabendo-se que o carro não conseguiu completar a curva, é

verdade que:a) se jt < l./2h, o carro capotou.

b) se jt > E/2h, o carro capotou.c) se > L/2h, o carro derrapou.d) Nenhuma das respostas anteriores.

3Í. FAAP — Na figura, o bioco A está cm equilíbrio estático, pesa 173 Ne o coeficiente de atrito entre ele e o plano inclinado é 0,5. A barra BCtem sua extremidade B presa à corda que está atada em C. Um peso D

de 15 N pode se movimentar sobre a barra, que tem 20 cm de comprimento, Desprezando os pesos da barra c da corda, bem como o atrito na

polia, determinar a posição do peso D cm relação à extremidade B da barra para que o bloco A fique na iminência de descida.

Dados: VT = 1,73; sen 30° e cos 30° = \ n

2

32. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — A magnitude da forçamínima Fmín, aplicada ao ponto C do cilindro de peso G = 1 000 N e raior = 15 cm, mostrado na figura abaixo, capaz de fazê-lo passar sobre o

obstáculo D, de altura h = 3 cm, será. em newtons:

72

33. ENGENHARIA DE SÀO JOSÉ DOS CAMPOS — Uma barra prismáticadelgada AB, dc peso Q e comprimento 2a, está apoiada, sem atrito, sobreÜm pequeno cilindro em D c encostada a uma parede vertical lisa, como

ilustrado na figura. O ângulo que a barra fará com a horizontal, quandoem equilíbrio, será dado pela expressão:

a) O = are sen [(b/a)"|. d) d> = arc sen [(a/ VT>)]. b) (f) = arc cos [ (a/b )'/ ;i]. c) Nenhuma das respostas anteriores.c) tf> = arc tg (b/a).

34. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — Desprezando o peso próprio da viga horizontal AB da figura, resultam forças nas barras arti

culadas Al), AE c BC, quando atua na viga uma carga vertical P. Asmagnitudes das forças que atuarão em cada barra, Al) e BC, respectivamente, serão:

a)

b)

P(b - a) Pb „ P(b - a) Pa----------------; ---------- • d) ----------------- ; ---------- .2b cos $ a 2b cos 4> bP(b —a) Pa

—------——; --------- • e) Nenhuma das respostas anteriores. b sen bP b



35. MACKENZIE — No dispositivo indicado na figura, a barra e os fios têm pesos desprezíveis. No instante t = 0 s, o registro c aberto e começa o

escoamento de água para o balde, com vazão constante de 5 litros por

minuto. O balde está, inicialmente, vazio c pesa 5 kgf. A tração de ruptura do fio horizontal é de 20 kgf, c o peso específico da água é de 1 kgf

por litro. O tempo gasto para a ruptura do fio horizontal é:

a) 6 minutos.

b) 5 minutos.c) 4 minutos.

36. FEI — Um portão homogêneo de espessura constante e peso P = 600 Nestá montado conforme indica a figura, sendo desprezíveis os atritos cm

seus apoios. Determinar a intensidade das reações nos apoios.

0,1 m 0,8 mh-+-----

-i

37. FEI — Uma prancha AB encontra-se em equilíbrio na posição horizontal,

suportando as massas m, c m2 = 0.5 kg, na posição indicada na figura.

Num determinado instante, a massa m, começa a se deslocar em direção

à extremidade A. com velocidade constante V, = 12cm/s.0,5 m 1,5 m

a) Determinar o valor da massa mL.

b) Determinar a velocidade da massa m2 e o sentido em que ela deve se

deslocar, de modo que a prancha AB permaneça na posição horizontal.



74

a) o comprimento correspondente ao alongamento da mola.

b) o peso da barra.

38. FAAP — O sistema esquematizado está no plano vertical c em equilíbriona posição indicada. A barra AD é homogênea e uniforme e o seu extre

mo A está apoiado no plano horizontal liso. A mola presa ao ponto B

da barra está disposta dc modo que o seu eixo se mantém na direção da perpendicular à barra. O fio que passa pela polia ideal e que tem umadas extremidades presa à barra cm C e a outra presa à partícula de peso

200 v T N é ideal, e no trecho CE se mantém horizontal.

Sabendo-se que a constante elástica da mola é 2 0Q0N /m e que AB =

= BC = CD, determinar:D

39. MEDICINA DE SANTOS — Máquina simples serve para multiplicar:

a) energia. d) trabalho.

b) potência. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) força.

40. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Em uma máquina, a razão

entre a força resistente e a força motriz recebe o nome de:

a) rendimento. d) vantagem mecânica.

b) trabalho passivo. e) Nenhuma das respostas anteriores.

c) trabalho resistente.

41. UNESP — Mediante certa máquina simples, alça-se lentamcnte uma carga

Q, exercendo força de acionamento F. Os correspondentes percursos sãoq e f.

a) Vantagem mecânica ideal é a razão Q/F.

b) Vantagem mecânica real é a razão f/q .

c) No arriamento da carga, é concebível que a força de acionamento sejaF (a mesma).

d) Havendo atrito, não há conservação de energia.e) Nenhuma das respostas anteriores.



75

42. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS, CRUZES — Uma pessoa pode erguer

um corpo de massa 50 kg. Se ela quiser suspender um Scania Vabis (caminhão) carregado, de 51,2 toneladas, com uma talha exponencial, esta

deverá ter, no mínimo: (Admita a massa da talha desprezível.)a) 100 polias móveis, d) 10 polias móveis.

b) 50 polias móveis. e) Nenhuma das respostas anteriores.

c) 20 polias móveis.

43. MEDICINA DE SANTO AMARO — Empregando-se uma talha expo

nencial para levantar uma carga de 192 kgf. devemos empregar uma po

tência de 6 kgf. O número de polias móveis da referida talha é:

a) 5. d) 8.

b) 6. e) Nenhuma das anteriores.c) 3.

44. CESCEA — Estão esquematizadas, nos desenhos abaixo, diversas máqui

nas simples. Indique aquelas em que a força (F) aplicada é menor do que

o peso a ser levantado (P), nas condições especificadas nos desenhos (figu

ras I, lí, III, IV. V, VI, VII).

a) II. V. VII.

b) I, II. V

c) I, IV, VI.

d) III. VI. VII.

76

45. MEDICINA DE SANTO AMARO — Na figura, a potência aplicada vale:

46. MEDICINA DE SANTO AMARO — Na questão anterior, a vantagem

mecânica será:a) 1. d> 2n- b) 2 cos . c) 2"-

c) 2.

47. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Para levantar um peso de

200 kgf. faz-se uso de um moitão ou cadernal; a força motriz necessária

é igual a: (O moitão tem 2 polias móveis.)

a) 100 kgf. d) 200 kgf.

b) 150 kgf. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 50 kgf.

48. ENGENHARIA DE SANTOS — O sarilho esquematizado é leve; o atrito

é desprezível; b = 2r. A carga Q c equilibrada pela força de acionamento

F, sendo = 30°.



a) O equilíbrio é instável.

b) É preciso ser Q + F = O.

c) Em relação ao eixo do sarilho, o momento de Q é rQ anti-horário, e omomento de F é bF horário.d) O equilíbrio requer F = Q.e) Nenhuma das respostas anteriores.

49. FMU — Um corpo ocupa as posições A, B e C sucessivamente. Nestecaso:

a) o corpo está em equilíbrio em A, B e C. b) afastado ligeiramente da posição A e depois largado, não volta ao equi

líbrio.c) afastado ligeiramerite da posição B e depois largado, volta ao equilíbrio.d) afastado ligeiramente da posição C e depois largado, rola continuamente,c) afastado ligeiramente da posição representada e depois largado, cm cada

uma das situações, se comporta de modo igual.

50. CESCEA — Em duas barras metálicas de comprimentos L, e L2 (L2 > L,),.fixas cm uma das extremidades, aplicam-se forças iguais às extremidadeslivres. Supondo essas barras de mesma secção e constituídas de mesmomaterial, podemos afirmar que:

a) o aumento de comprimento da barra Lx é maior do que o aumento decomprimento da barra L.2.

b) o aumento de comprimento da barra Lx é menor do que o aumento decomprimento da barra Lo.



78

51. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Np esquema anexo, representam-sedois cubos maciços de ferro, Cj c C2, com arestas a e 3a; eles estão sus pensos em repouso por fios de náilon cujos diâmetros são d c 2d e cujos

comprimentos são L e 2L. A relação R.,/Rt das reações nos apoios A2 e At é:

a) 3. d) 6,8. b) 9. e) 27.c) 18.

52. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Retomar o enunciado anterior. Deacordo com a lei de Hookc, a relação x2/Xi entre os alongamentos dosfios 21, c L respectivamente, deve ser da ordem de:

a) 3. d) 27. b) 7. e) 54

9. a 10. a 11. T = 50N. vertical, dirigida para baixo. 12. b 13. b 14. d 15. c 16. a

17. c 18. e 19. d 20. b 21. b 22. a 23. d 24. c

25. e 26. a 27. b 28. a 29. c 30. b 31. xss4 r4cm 32. d

34. d 35. d 36. dobradiça superior: Fj = 250 N (horizontal);dobradiça inferior: F2 = 250 N (horizontal), F3 = 600 N (vertical).

37. a) 1,5 kg; b) 36 cm/s no sentido de M para B.

38. a) X = 0,20 m; b) P = — - N. 39. c 40. d 41. a 42. d 43. a 44. c 45. d3

46. e 47. c 48. e j No equilíbrio. Qr = Fb \

— - 49'

a 50. b 51, e 52. c



P A R T E I I

j* % A ■■ A - .jacafi Mal , ÿ M

' 1

muJLx JLÍ.JLJL/JL U v U JLxl

HIDROSTÁTICAIR.DRTÁTTPA ITTTKL

I A O A T T T i D C%-:■ l i n iujljl niuruuim m a T T T T \ n n n m X i



Ireôôao exercida



Conceitos iniciais

Fluidostática é a parte da Mecânica que estuda o comportamento

de um líquido ideal ou gás ideal em equilíbrio, bem como o com-

portamento de corpos que estejam em contato com ele.

A Hidrostática constitui um caso particular da Fluidostática e

estuda o comportamento de uma porção de líquido ideal em equi-

líbrio e dos corpos nele imersos.

c >

/



82

Um líquido ideal se caracteriza por ter volume definido, serincotnpressível e não apresentar viscosidade. Devido a sua estru-

tura molecular, adaptase aos contornos dos recipientes que o con-

têm, não apresentando, assim, forma determinada.

• Densidade — Densidade absoluta (ou massa específica) (|i) de

uma substância homogênea é o quociente entre a massa (m) de uma

porção qualquer desta substância e o seu correspondente volume

(V), a uma dada temperatura.

Em símbolos:

O conceito de densidade pode ser estendido para um corpo.

Diremos que a densidade (d) de um corpo é o quociente entre sua

massa (m) e o correspondente volume externo (Ve«)-

Em símbolos:m

— Unidades de densidade

temos:

para m = 1 kg e V - 1 m:! (t (ou d) = 1■

No Sistema CGS, temos:para m = 1 g e V = 1 crrf1 * p. (ou d) = 1

*

No Sistema Técnico, temos:

para m — 1 utm e V = 1 m3 p. (ou d) = 1

No Sistema Internacional de Unidades,

kg

rrr

g

cm

utm

rrr

Note que: 10:3 k9



83

— Densidades aproximadas de sólidos,e líquidos

Sólidos Densidades (g/cm3)

alumínio (20° C) 2,65cortiça (20° C) 0,24

ouro (20° C) 19,32

gelo (0oC) 0,917

ferro {20° C) 7,80

madeira {20° C) 0,50

cobre (20° C) 8,93

Líquidos Densidades (g/cm3)

álcool (20“ C) 0,789

glicerina (20° C) 1,26

mercúrio (20° C) 13,600

querosene (20° C) 0,820

gasolina (20° C) 0,790

água pura (4° C) 1,000água do mar (20° C) 1,030

A densidade absoluta de uma substância nem sempre coincidecom a densidade de um corpo formado por aquela substância. Umexemplo: pela tabela anterior, vemos que a densidade absoluta do ferro a

20° C é de 7,800 g/cm;l; entretanto, uma esfera oca de ferro, com massade 1 kg e raio externo de 10 cm, possui uma densidade da ordem de

0,25g/cm:i, e flutua em água.Essa diferença é devida às partes ocas do corpo, não ocupadas pelasubstância. O mesmo ocorre com um navio feito de ferro.

A densidade de um corpo só coincide com a densidade da substância

da qual ele é feito quando o corpo é maciço.

• Peso específico de uma substância — Define-se peso específico(p) de uma substância como sendo o produto da densidade absoluta

(p) pela aceleração da gravidade local (g).

Em símbolos:

• Pressão exercida por uma força

— Pressão média — Define-se pressão média (pniJ exercida por umaforça normal sobre uma superfície como sendo o quociente entre a

intensidade da força normal (F) e a área da superfície (S).



84

Em símbolos:

A força normal exercida pela bailarina na região definida por parte do seu pé noN

solo é a normal N Assim, p,„ = ------ Estando a bailarina em equilíbrio, temos

P

N = P Logo, pal = .

Note que pressão é uma grandeza escalar que não assume va-

lores negativos. .

.— Pressão no ponto — Tomemos um ponto A de um elemento de

superfície de área S, sobre a qual agem forças normais cuja resul-

tante tem intensidade F.



Se fizermos esta área S ao redor do ponto A tão pequena quanto

possível, isto é, tendendo a zero (S-»0), teremos o que se convem

ciona chamar de “pressão no ponto A" (pA).

Em símbolos:F

Pm = lirn —S - » o S

— Pressão uniforme — Ouando todos os pontos de uma superfície

estão submetidos à mesma pressão, dizemos que a superfície está

a uma “ pressão uniforme". Neste caso, a pressão em cada ponto

(p) coincide com a pressão média na superfície (pm).

Em símbolos, pressão uniforme | p = pm

• Unidades de pressão — No Sistema Internacional de Unidades.

temos:

N------ = 1 pascal (Pa)para F = 1 N e S = 1 m2 -> p = 1m2

No Sistema CGS, temos:

dyn , ,=1---------

= 1 baria.para F — 1 dyn e S = 1 cm2 p =cm2

No Sistema Técnico, temos:

para F = 1 kgf e S — 1 m2 -*• p —-1kgf

m2

Note que: 1 Pa — 10 bárias

— Outras unidades usuais de pressão — A tradição tem mantido,ao longo do tempo, outras unidades de pressão, que passamos a

mencionar:

1 bar = IO5 Pa =s 10" bárias

1 milibar = 10:) bar — 102 Pa

A unidade “ milibar" é muito usada até hoje em meteorologia.

, kgf 1 atmosfera técnica — 1 ---------

_ocm-

1. Para uma mesma força normal, quanto menor for a área da superfíciede apoio, maior será a pressão correspondente. Assim, uma moça calçando

sapatos de salto alto exercerá, no solo, uma pressão maior do que a

exercida por um rapaz, de peso igual ao dela, mas que esteja calçandosapatos de salto baixo.



88

A. Se a força F não for normal à superfície, devemos decompôla nas

direções tangencial e normal.

Pressão exercida por um líquido

As moléculas de um gás exercem pressão nas paredes do reci-piente que as contém através das forças que elas aplicam nestas

paredes, durante as colisões.

As moléculas de um líquido, entretanto, não apresentam tanta

mobilidade quanto as moléculas de um gás; por isso, a pressão que

elas exercem não é do mesmo tipo.Devido à sua disposição característica, as moléculas no interior

de um líquido não apresentam grande mobilidade relativa e se “ em-pilham” umas sobre as outras. A ação da gravidade faz com que

elas se comprimam.

Deste modo, uma molécula exerce pressão sobre as que se

encontram logo abaixo, e estas, por sua vez, comprimem as moléculas



Mas não é apenas o fundo do recipiente que o líquido pressiona.

Também as paredes laterais são pressionadas, pelo mesmo processode compressão molécula a molécula. Se fizermos um furo na parede

lateral do recipiente, surgirá um jato de líquido perpendicular àparede. Este fato confirma que o líquido pressiona as paredes laterais

do recipiente.

Portanto, um líquido exerce pressão nos pontos do seu interior,

no fundo do recipiente e nas paredes laterais.

Concluise, então, que a força exercida por um líquido ideal em

equilíbrio é sempre perpendicular às paredes do recipiente que ocontém e a qualquer superfície nele imersa.

Assim, se uma porção de líquido exerce uma força de intensi-

dade F numa superfície de área S, podemos escrever:

*

r

F

Se F — pS

t L L

%

7 U H Al



90

• Lei de Stevin* — A lei de Stevin estuda o comportamento dapressão no interior de um liqui-

do ideal e homogêneo em equi-líbrio.

— 1.* parte — Imaginemos umaporção cilíndrica do líquido emposição horizontal, cuja espessu-ra seja comparável à do fio decabelo.

As forças exercidas pelorestante do líquido nas bases docilindro são perpendiculares aelas e de intensidades FA e FB, conforme mostra o esquema aolado.

Como o líquido está em equilíbrio, a porção cilíndrica do líquido

também está. Assim, na direção horizontal podemos escrever

Fa — Fb (1).

Dividindo os membros da expressão (1) pela área S das bases.Fa Fb

temos ------= -----

S S( 2 ). Logo: (33.

Donde concluímos que:

Os pontos situados na mesma horizontal de um líquido ideal

e homogêneo em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão.

— 2.‘ parte — imaginemos, agora, uma porção cilíndrica do líquido

em posição vertical, de espessura qualquer e altura h.

As forças exercidas pelo restante do líquido nas bases do cilindro

são perpendiculares a elas e de intensidades FAe Fa, conforme mostra

o esquema anterior. Na direção vertical, além destas forças exer-

cidas pelo próprio líquido, há a forçapeso da porção cilíndrica, cuja

intensidade é P.

’ Simon Stevin (15481620) — Físico e matemático holandês Estudou o movi-



I

Como o líquido está em equilíbrio,» a porção cilíndrica tambémestá. Assim, na direção vertical podemos escrever FB= FA+ P (4).

Chamando de [i a densidade do líquido, de m a massa da porção

cilíndrica e de V o seu volume, decorre:P = mg — (iVg = pShg (5)

Substituindo (5) em (4), decorre FB= F AHiShg (6).

temos

Dividindo os membros da expressão (6) pela área S das bases.

Fu F a |$hg+

$Logo: Pb — Pa + pgh I (7) => Pb — Pa - ph [8]

As expressões Í71 e (8) constituem a lei de Stevin, cujo enun-ciado é o seguinte:

A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido ideal e homogêneo em equilíbrio é igual ao produto do peso específico do líquido peia diferença de nível entre os pontos.

Esboçando o gráfico p X h da pressão em função da profundidade,obteremos uma reta, como mostra o diagrama a seguir;



92

Resumindo, para um líquido ideal e homogêneo em equilíbrio:

a) a pressão cresce linearmente com a profundidade;

b) a pressão não varia para pontos situados no mesmo nível

horizontal.

Devido à lei de Stevin, ao construir um dique, deve-se dotá-lo de umaespessura suficiente para suportar a pressão exercida pelolíquido no fundo.

• Pressão atmosférica (experiência de Torricelli) — O ar existente

sobre a superfície da Terra exerce sobre ela uma determinada pres-

são, denominada “ pressão atmosférica” . Algumas experiências muito

simples permitem constatar sua existência:

1) Eliminando o ar do interior de uma lata (por meio de umabomba pneumática, por exemplo), verificamos que ela irá se defor-mando devido às forças de compressão que as moléculas do ar

externo exercem sobre ela.



Uma engenhosa experiência realizada por Evangelista Torricelli *permitiu determinar o valor da pressão atmosférica ao nível do mar.

Torricelli tomou um tubo. encheuo de mercúrio até a boca, tampoua

Evangelista Torricelli (16081647) — Físico e matemático italiano, discípulo de

2) Unindo duas placas de vidro liso, bem limpas, eliminamos oar existente entre elas. Se tentarmos separálas, sentiremos muita

dificuldade, devido às forças de compressão exercidas sobre as

placas pelas moléculas do ar externo.

3) Colocando uma folha de papel liso sobre um copo com água,

firmandoa com a palma da mão e virando o copo para baixo, verifi-

caremos que, ao remover a mão que segurava o papel, a força externaexercida pelo ar sobre o papel impedirá que a água caia.



94

e emborcouo numa cuba que continha o mesmo líquido. O mercúriodentro do tubo desceu e parou a 76 cm do nível do mercúrio na cuba.

Os pontos A e B estão na mesma horizontal, no mesmo líquidoem equilíbrio. Logo, pela lei de Stevin, estão à mesma pressão. Apressão em A é a pressão atmosférica ao nível do mar e a pressãoem B é a pressão exercida pelo líquido na base da coluna. Isto signi-fica que o ar externo ao tubo exerce forças na superfície do líquidona cuba e impede que o líquido interno desça.

Aplicando a lei de Stevin ao mercúrio no interior do tubo, temos:

Paim = Pb = Po + ligh , onde

p0 ~ 0 ("vácuo")

(t = 13,6 g/cm3 = 13 600 kg/m3g = 9,8 N/kg

h = 76 cm = 0,76 m

Patm= 0 4 13 600 . 9,8 . 0,76

Patm— 101 300 N/rrr => P alm — 1,013 . 10" N/m2

Resumindo, a pressão atmosférica ao nível do mar é equivalente

à pressão exercida em sua base por uma coluna de mercúrio de76 cm de altura. Esta pressão é, no Si, igual a 1,013 . 10r’ N/m2. Estevalor é conhecido como "1 atmosfera".

1. Admitese como nula a pressão no ponto O, pois se consideroudesprezível a pressão do vapor de mercúrio que ali se formou por ocasiãoda descida da coluna. Devemos lembrar que o mercúrio é um líquido debaixa volatilidade à temperatura ambiente.

2, Se substituirmos o mercúrio por água, de densidade ao redor de 1 g/cm3e, portanto. 13,6 vezes menor que a do mercúrio, a altura do líquido queequilibrará a pressão atmosférica será da ordem de 13,6 vezes maior quea do mercúrio, isto é, 13,6 . 0,76 = 10,3 m. É o que acontece quandopretendemos tirar água de um poço usando uma bomba aspirante. O ardo interior do cano é eliminado pela ação da bomba, criandose uma regiãode baixa pressão (“ região de vácuo"). Na parte externa ao cano temosar que exerce pressão atmosférica sobre a superfície livre do líquido.



95

Este desequilíbrio de pressões causa o seguinte: as forças que o ar exercesobre a água externa ao cano empurram-na cano acima, até que elaatinja a altura máxima h = 10,3 m.

É importante deixar claro que a bomba não aspira a água, mas sim o ar. A coluna líquida é empurrada cano acima pelas forças externas, que oar do interior do poço exerce sobre a superfície livre do líquido.Na prática utilizam-se bombas aspirantes para alturas aproximadamente

iguais a 8 m, pelo fato de não se conseguir aspirar todo o ar nointerior do cano devido a vedações imperfeitas na bomba. Para alturasmaiores, utiliza-se bomba premente, que ajuda o ar externo a empurrar acoluna líquida.

3. O mesmo ocorre quando tomamos um refrigerante com canudinho. Aochupar o ar do interior do canudinho, levando-o para os pulmões,geramos uma região de baixa pressão no interior do canudinho e naboca. O ar externo ao canudinho pressiona a superfície livre do líquido eforça-o a subir canudinho acima.



96

4. O sifão é outro exemplo interessante de aplicação dos efeitos da pressão

atmosférica. Tomemos o esquema a seguir:

Eliminando o ar do tubo por meio de uma escorvada e mantendo suaextremidade livre (C) abaixo do nível AB do líquido no recipiente, a

pressão na extremidade C será maior que a pressão atmosférica e o

líquido desceró. Vejamos:pn = = pa[jn (pontos A e B na mesma horizontal)

pc = pB + jigh (lei de Stevin aplicada à porção BC do líquido)

Logo: pc = palm + |tgh => Pc > Patm

Graças à pressão atmosférica, é possível retirar gasolina do tanque de um

carro com uma mangueira. Trata-se de sifão improvisado.

5. A pressão atmosférica ao nível do mar (palm = 1,013 . 10r>N/m2) é

aproximadamente equivalente a 1 kgf/cm2. Uma mão aberta tem umaárea aproximada de 150 cm- em cada um dos lados. Logo, o ar aplica-lhe

uma força de intensidade de 150 kgf em cada um dos lados da mão,equivalente à intensidade do peso de dois homens médios.



97

Por um raciocínio semelhante, concluímos que o ar exerce, sobre a cabeça

do homem, uma força equivalente ao peso de muitos sacos de areia.

Ele só não é esmagado por esta pressão externa porque no organismohá pressões internas que causam a compensação.

6. A pressão do ar diminui com a altitude, pois o ar torna-se maisrarefeito. Esta queda de pressão é perigosa para os seres humanos

acostumados com a pressão da superfície. Daí serem os aviões modernos

pressurizados.

• Pressão absoluta e pressão efetiva — Aplicando a lei de Stevin

aos pontos A e B do esquema abaixo, temos: ar

Pb — P a + Itgh

Mas, pA— Pa.m; logo, pB= Pa.m+ [tgh. A parcela pgh é a pressão devida somente ao líquido e recebe

o nome de pressão efetiva.

A pressão total do ponto B é denominada pressão absoluta.

Assim, podemos escrever:

pressão absoluta = pressão atmosférica + pressão efetiva



98

• Vasos comunicantes — Quando um mesmo líquido é disposto

num vaso em formato de U, ele alcançará o mesmo nível nos dois

Isto é facilmente confirmado pela lei de Stevin. Tomemos dois

pontos, A e B, no fundo do recipiente, em cada um dos seus ramos.

Como tais pontos estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquido

em equilíbrio, eles estão à mesma pressão. Logo, P a = P b .

Mas:

P a — Patm T l^ gh A

P b = Patm + P g h B

E decorre • Palm + p-gliA — Palm + Il-ghn =>

Em resumo:

Quando dois vasos são ligados pela base e expostos ao ar livre,

o líquido que eles contêm, quando em equilíbrio, atinge o mesmo

nível nos dois ramos.

(tyh& rAZflZ.2_

O mesmo aconteceria com diversos vasos, nas mais diferentes posiçõese com os mais diversos formatos.



99

Os poços artesianos são exemplos ilustrativos do princípio querege o comportamento dos vasos comunicantes.

O lençol de água se apresenta, em geral, entre camadas imper-

meáveis do terreno. É um reservatório subterrâneo que sofre a pres-são de todo o líquido que se encontra em níveis mais elevados. Sena superfície for feita uma perfuração que atinja o lençol, a água jorrará violentamente, tendendo a atingir o mesmo nível das partesmais altas do lençol.

Uma comprovação experimental bem simples pode ser feita comum funil e uma mangueira ajustada ao seu bico. Colocase água no"sistema e mantémse o funil em nível superior ao da outra extremi-dade da mangueira. Como a água está num sistema de vasos comu-nicantes, tende a ficar no mesmo nível nos dois ramos. Estando umdeles mais baixo, a água jorra.

O mesmo não acontece quando dois líquidos.nãomiscíveis sãodispostos, em equilíbrio, num sistema de vasos comunicantes. Ha-verá um desnível entre suas superfícies livres. Podemos relacionar

100

estes líquidos observando que a pressão, ao nível da superfície de separação dos líquidos, é a mesma.

Palm

Assim:

líquido 1

|l i

superfície de separação

líquido 2

P a — P a lm ~ f- { i a g h a

Como pi = ps (mesma horizontal dentro do mesmo líquido),

então putm firghi = p»i„i + p2gh-=> jtihi =

P a ra q u e o s i s te m a d e lí q u id o s d i fe re n te s s e j a re a l , to rn a -s e n e c e s s á r i o

q u e o l íq u i d o d e m a i o r d e n s i d a d e s e j a c o l o c a d o s o b o l íq u i d o d e m e n o r

• d e n s i d a d e . N o e s q u e m a a n t e r i o r , d e v e m o s te r p ,1 < « 2 .

• Paradoxo hidrostático — Observe a montagem abaixo. Todos os

vasos estão em contato com a atmosfera e o líquido é o mesmoem todos eles.

A pressão num ponto do interior do líquido é dada pela lei deStevin:

P — Patin - f ftgh

Logo, a pressão no fundo de cada vaso é a mesma,

independente do seu formato



Lembrando que p = ------ decorre F = pS, onde S é a área dasS

superfícies no fundo dos vasos.Observando o esquema anterior, concluímos que:

Si > S:s > Sa > Si

Portanto: Fi > Fs > F- > F,

Isto significa que, embora as pressões sejam iguais no fundo

dos vasos, as intensidades das forças que as causam são diferentes.

Em resumo, a pressão depende da profundidade do líquido e não

da forma do vaso.

• Lei de Pascal*— Se um ponto qualquer de um líquido ideal em

equilíbrio sofrer uma variação de pressão, todos os demais pontos

deste líquido sofrerão a mesma variação.

? /A

A p * - .

1 0 . J

r

Pela lei de Stevin, podemos escrever:

PB = PA + |tgh (1)

Se o ponto A sofrer uma variação de pressão Ap, sua pressão

passará a ser:P a = P a + Ap (2)

Como o líquido ideal é incompressível, o seu volume permanece

invariável e, conseqüentemente, o desnível entre A e B (h) e a sua

densidade (p) não mudam. Pela lei de Stevin, podemos escrever:

P b = P ' a + pgh

Como p'A= P a + Ap, temos p'B= P a + Ap + pgh.

Logo: p'B= (Pa + pgh) + Ap

De (1), vem: P 'b = P b + Ap (3)

Observando (2) e (3) concluímos que o ponto genérico B do interior do líquido sofreu a mesma variação de pressão Ap experimentada pelo ponto A.

* B l a is e P a sc a l ( 1 6 2 3 -1 6 6 2 ) — M a t e m á t ic o , f ís i c o , f i ló s o f o e e s c r it o r f ra n c ê s .

E st u d o u a d i n âm i ca e a es t á t i ca d o s f l u i d o s , i n ven t o u a ca l cu l ad o r a , a se r i n g a e



102

• Aplicações práticas da lei de Pascal

1) Funcionamento de uma seringa

2) Freio hidráulico — O sistema de freio hidráulico dos veículos

está basicamente esquematizado a seguir:

conseqüentemente, um acréscimo de pressão sobre o êmbolo docilindro. Esse acréscimo de pressão é transmitido através do fluido

de freio ao cilindro interno de cada roda. O pistão de cada cilindro

comprime a lona de freio contra o tambor da roda.

3) Prensa hidráulica — A prensa hidráulica é uma espécie de

máquina simples que multiplica a intensidade de forças.

Sejam Si e Ss as áreas das superfícies dos êmbolos da prensa,

admitida com o mesmo líquido nos dois vasos e em equilíbrio.

Aplicando uma força de intensidade Fi perpendicularmente ao

êmbolo de área Si, obteremos uma força de intensidade F3 perpen-



103

I

dicularmente ao êmbolo de área Sy, transmitida pelo líquido, de tal

modo que os acréscimos de pressão correspondentes sejam iguais:

Api = âpL. (lei de Pascal)

Logo:

Como Sy > Si => Fy > Fi.

Assim, dependendo da relação entre as áreas Si e Sa, podemos

obter no êmbolo de área Sy forças de intensidade Fa muitas vezes

maior que a intensidade Fi.

A prensa hidráulica pode ser utilizada como elevador de veículosnos postos de gasolina.

Para elevar o carro, abrese uma válvula que admite ar compri-mido no reservatório A, que contém óleo. O ar comprimido causa

um acréscimo de pressão na superfície do óleo. Este acréscimo de

pressão é transmitido ao reservatório B, até um pistão, que eleva o

carro.

Voltemos à prensa hidráulica:



104

Como o líquido é incompressível (ideal), quando 0 êmbolo de

área Si se desloca de Ahi, o outro êmbolo de área S se desloca

de Aha, de modo que o volume de líquido movimentado seja igual nos

dois ramos. Ou seja:Si Ahs

AVi — AV« => SiAhj = S 2Ah2 =?■------ = ----------

S a Ahi

4) Explosões submarinas — As bombas de profundidade lan-

çadas por navios provocam danos nos submarinos devido à trans-

missão do aumento de pressão por ocasião das explosões.

1. MEDICINA DE SANTO AMARO — Misturamse dois líquidos A

e B. O volume do líquido A é de 120 cm'1 e sua densidade é de

0,78 g/cmb O volume do líquido B é de 200 cm1 e sua densidade

é de 0,56 g/cm3. A densidade da mistura, em g/cm3, é de:

a) 0,64. d) 1,34.b) 0,67. e) Nenhuma das respostas anteriores.

c) 0,70.



Resolução: A densidade d da mistura é obtida dividindo a sua massam

m pelo seu volume V. Em símbolos, d = —— (I).

V A massa m da mistura é igual à soma das massas mA e mB dos líquidosmisturados. Em símbolos, m ~ mA+ mB (II).

O volume V da mistura é igual à soma dos volumes VA e VB doslíquidos misturados. Em símbolos, V = VA+ VB (III).

Mas mA= ;j,AVA, onde pA= densidade do líquido A = 0,78 g/cm 3

e VA= volume do líquido A — 120 cm;i.

Logo, mA= 0,78 .120 => mA= 93,6 g.E mB= [rBVu, onde pB= densidade do líquido B ™ 0,56 g/cm3e VB= volume do líquido B = 200 cm'1.Logo, mia = 0,56 . 200 => mB— 112 g.

Decorre, então:

d —m

V

mA+ mH

VA+ VB

=> d = 0,64 g/cm:t

93,6+ 112 205,6---------------- =» d = ■ =>120 + 200 320


2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Sobre um plano horizontal ABapóianmse 2 cubos de alumínio com 1 dm de aresta. A densidadedesses cubos é de 2,7 g/cm:!. Sobre eles apóia-se um terceirocubo, idêntico aos dois primeiros, conforme indica a figura.

A pressão média exercida sobre o plano AB vale, em kgf/dm2:

, 2a) — . 2,7.

3b) 3 . 2,7.

v 3c) — 2 7

d) 2,7.

e) 2 . 2,7.



Resolução: Como o sistema está em equilíbrio, a força total trocada

entre os blocos e o plano de apoio terá intensidade F tal que F = 3P (1),

onde P é a intensidade do peso de cada bloco.

Adotando a convenção: m = massa de cada bloco; g = intensidade da

aceleração da gravidade local; d = densidade de cada cubo; V = vo-

lume de cada cubo, podemos escrever;

P = mg

e d = — ---- => m — dV

Logo:

P = dVg (2)

Substituindo P da expressão (1) pelo termo equivalente dado pela

expressão (2), vem:

F = 3dVg (3)

Como os blocos são cubos de aresta a, podemos escrever V = a3 (4).Substituindo V da expressão (3) pelo correspondente da expressão (4),

vem F = 3da:ig (5).

intensidade da força normalMas, lembrando que pressão média = — ----------------- ---------------;—;---->

área da superfície comprimida

temos:

F



Decorre, então:

F 3da:,gPm — '

2S 2a2

pm= — dag (6)2

g kgNa expressão (6), fazendo d = 2 ,7 ------ = 2 ,7 -------

cms dm3

a = 1 dm; g = 9,8 m /s2, vem:

2.7 utm

9.8 dm3

Pm — 3 2,7 utm

2 9,8 dm3

Pm =3

• 2 , 7 -utm . m /s:

. 1 dm . 9,8m

3 „ , k8fpm= — . 2 ,7 --------

2 dm2

Resposta: alternativa c.

3. UNESP — A pressão absoluta em um ponto de um líquido homo-

gêneo em equilíbrio, sujeito a gravidade uniforme, em função da

profundidade h do ponto considerado, é mais corretamente

representada por:

4P

a)


108

Resolução: Admitindo que a situação do líquido mencionado seja a esquematizada abaixo, podemos escrever, tendo em vista a lei de Stcvin:

( P b = P

Pb = Pa + pgh> onde < Pa = Pmm

( PÊ = P

Decorre, então:

p = Paim + ph

Esta expressão revela que a pressão absoluta p em um ponto qualquer de um líquido homogêneo em equilíbrio varia com a profundidade h, de acordo com uma função do 1,° grau. Assim, a relação entre p e h é melhor expressa através dc um gráfico retilíneo do tipo:

onde tg a = dcc (p X h) S p.


4. CESGRANRIO — O tubo em

U contém mercúrio e água,

como mostra a figura. Am-

bos os ramos estão abertos

para a atmosfera. Qual dos

gráficos propostos a seguir

mostra a variação da pres-



a)

L

Resolução: A expressão “pressão hidrostática” é sinônima de “pressão

efetiva”, que é a pressão exercida exclusivamente pelo líquido. Ou

seja:

p = |igh ph

Na posição l, a pressão efetiva é nula e, a partir daí, até a posição

2, ela aumenta linearmente com a profundidade. O ângulo que o

gráfico retilíneo forma com o eixo das posições é designado por a.

No trecho que vai da posição 2 à posição 3, a pressão efetiva continua

aumentando com a profundidade. Neste trecho, entretanto, estamos

analisando a coluna de mercúrio cujo peso específico é maior que o

da água. Assim sendo, a variação de pressão ocorre com mais inten-

sidade a cada unidade dc profundidade e o ângulo que o gráfico reti-

líneo forma com o eixo das posições é designado por fi.Teremos, então,

que £ > a, pois p„s > P «RIU»*

No trecho que vai da posição 3 à posição 4, a pressão efetiva perma-

nece constante, pois neste trecho a profundidade é a mesma para todas

as posições. No trecho que vai da posição 4 à posição 5, a pressão

efetiva diminui, pois a profundidade também diminui com as posições.

Ao chegar na posição 5, a pressão efetiva é nula.

Deste modo, o gráfico p x L que melhor representa o fenômeno

exposto é o seguinte:4 c n I n m c c o n, i p (pressãoefetivai

3 ^ OC» P0ÍS p || g púfçua

I- (posição)2 3 4 5




5. FUVEST — Uma pessoa, quando enche os pulmões ao nível domar, inspira um volume de 1 iitro de ar, com massa de aproxi-

madamente 1,2 g. Esta mesma pessoa se instala em uma câmara

a 10 m de profundidade, abaixo do nível do mar, conforme mostra

Avalie a massa de ar inspirada por esta pessoa, no interior da

câmara, quando enche os pulmões. Suponha que a massa espe-

cífica da água do mar é de aproximadamente 1,0g/cm:!.

Resolução: Ao nível do mar, a pressão do ar é praticamente igual a

1 atm. Isto é, pai, = 1 atm (nível do mar).A cada 1Ü m de coluna de água corresponde um aumento de pressão

de aproximadamente 1 atm. Assim, a pressão do ar (p'ar) no interior da câmara, a 10 m de profundidade, iguala 2 atm. Isto é:

P ar — ■P a r P. - : d c íígna ^

:=> p'ür r= í atm + 1 atm

=> p'ir = 2 atm (a 10 m de profundidade)

Aplicando a equação de Clapeyron ao ar dos pulmões (admitido como

gás perfeito) ao nível do mar e à profundidade de 10 m, temos:m

ao nível do mar, parV = ------ RT (1).M

/

à profundidade de 10 ni, p'arV' = ------ RT' (2).M

Admitindo que o volume dos pulmões cheios de ar seja constante e

que a transformação ocorrida seja isotérmica, temos V — V' e T = T'.

Portanto, dividindo membro a membro as expressões (1) e (2), vem:

p ' . y

m

K

m

yí y f '

í pur = 1 atm

I p'ar 2 atmonde



111

1 m

2 m'

=> m' = 2m, onde ri i t=l , 2g . Logo, m' == 2 . 1,2 =>

=> m' = 2,4 g

Resposta: A massa de ar inspirada pela pessoa no interior da câmara,

ao encher os pulmões, é igual a 2,4 g.

6. CESGRANRIO — Um rapaz aspira ao mesmo tempo água e óleo,

por rneio de dois canudos de refrigerante, como mostra a figura.Ele consegue equilibrar os líquidos nos canudos com uma alturade 8,0 cm de água e de 10,0 cm de óleo.

A razão entre a massa específica do óleo e a da água é:

a) 0,80. d) 1.2.b) 0,20. e) 4.0.

c) 0,25.

Resolução: Ao aspirar o ar do interior dos canudos, o rapaz cria uma

região de baixa pressão na parte superior dos canudos. Assim, o ar

externo situado sobre a superfície livre dos líquidos força a subida

dos líquidos canudinhos acima, formando as colunas.



112

Observando a figura, podemos escrever:

Px — Pv ’— Patm 0 }

Por outro lado, aplicando a lei de Stevin às colunas dc líquido, temos:

Px — Pboca Pagbj (2)

Pr = Pboca + [ io g h 0 (3)

onde corresponde à pressão do ar da parte superior dos canudos,

que se encontram na boca do rapaz.

Levando em conta as expressões (I), (2) e (3), vem:

| ta g h a — [logho ’ ^

=> Pa$ba = |i0|h 0 =>

—̂ Paba — p0h0

P a

= ------

h„

P a 8,0 cm

P a ] 0,0 cm

P o= 0,80

P a


7. MAPOFEI — Um tubo em U contém dois líquidos não-miscíveis,

conforme a figura. As massas específicas dos líquidos são a —

= 5,0 g/cm:i e b = 10,0 g/cm:!. Dá-se h = 1,0cm. Adotar g — 10

m /s2. A pressão atmosférica é p = lO N/cm 2. Qual é a pressão

no ponto A?

Resolução:

113

Os pontos X e Y estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquido em equilíbrio. Logo, px = py (1).

Pela lei de Stevin, aplicada aos dois ramos do tubo em U, temos:Px = Pami + bgh (2)

Py = Pa + agh (3)

Tendo em conta (1), (2) e (3), decorre:

P a + agh Palm+bgh =>

'a = 5,0 g/cm 3 = 5,0 . 103 kg/.m3

b = 10,0 g/cm 3 = 10,0 . 103 kg/m 3

g — 10 m /s2

h = 1,0 cm = 1,0 . 1 0-2 m

N NPa lm ■—' 1 0 -

P a = patm + (b — a)gh, onde <

Logo: pA= IO3 + (10 -

=> P a = 10" + 5 . 102

5) . IO3 . 10

cm

í o - 2

2= 101'

m

pA— 100 500 N /m 2

Resposta: A pressão no ponto A é de 100 500 N /m 2.

8. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO — Os êmbolos de

certa prensa hidráulica têm respectivamente 5 cm e 25 cm de

raio. Sobre o menor está aplicada uma força de 100 kgf, perpen-

dicular ao êmbolo. Sabendose que a prensa está em equilíbrio,

podese afirmar que a força que deve estar aplicada ao outro

êmbolo, perpendicular a ele, é de:

a) 2,5 . 10:! kgf.

b) 3,8 . 10:: kgf.

c) 5,5 . IO3 kgf.

d) 7.3 . 103kgf.e) Nada disso.

(2)



114

Para uma prensa hidráulica em equilíbrio, tendo em vista a lei de

Pascal, podemos escrever:

F i _ F3S, ~~ So

Para o exercício em questão, vem:

Ft = 100 kgf

Si = nr2= Ti . 52= 25tc cm2

So = 7ir2 = it . 252= 625tccm2

100 kgf Fo

Logo:-------------

= —— — — 25tccm2 625tccm2

F2 = 2 500 kgf

Fo = 2,5 . 103 kgf


9. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO — Ainda com rela-

ção ao enunciado anterior, se o êmbolo menor sofrer um desloca-

mento de 50 cm, o maior sofrerá um deslocamento de:

a) 1,0 cm. d) 4,0 cm.b) 2,0 cm. e) Nada disso.

c) 3,0 cm.

Resolução:

O líquido contido no interior da prensa é admitido incompressível. Logo, o volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo menor (VjJ

será igual ao volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo maior

(V2). Deste modo, temos:

V! = V2

Sidi -—S2da

S,d!d2 = ---------

25tc . 50d2 = ---------------

625tt:


10. PUC (CAMPINAS) — O sistema esquematizado compreende dois

pistões cilíndricos, móveis, sem atrito, e uma alavanca. Os

pistões têm diâmetros de 5,0 cm e 20,0 cm; a alavanca tem braços

de 10 cm e 20 cm. A força F necessária para manter o sistemaem equilíbrio tem intensidade de:

c) 250 N.

Resolução:

M f . ( o ) + M f . ,< 0 ) = 0 = > - f - — F o b = 01 - ^

=> Fia = F2b => Fo = F, —— (1)b

Pela lei de Pascal, temos, em relação ao líquido:



116

Logo:

Fo

~ s 7 Sn

F-.

>B B -A

Substituindo F2 pela expressão (1), decorre:

■ - ------ ^ F

ttr2

F =‘B

■— Fi, b

rB= 10 cmrA— 2,5 cm

onde a — 20 cm b = 10 cmFi = 250 N

102Logo: F = ---------- .

2,52

20

10

. 250

8 000 N


1. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENT1STA — Qual das unidadesabaixo não mede massa específica?

a) g/cm :l d) g / í b) kg/nr‘ e) gf/cm3

c) utni/m3

2. FAFABES (ESPÍRITO SANTO) — A massa específica do mercúrio em dado problema tinha o valor determinado de 13,6 g/cm3. Em outro problema, aunidade de massa específica era kg/m 3. O valor numérico da massa específica do mercúrio nesta nova unidade era:a) 0,0136. d) 136000.

b) 13 600. e) 1,36.c) 136

3. UNIVERSIDADE DE SERGI-PE — Uma placa cie metal medo5,0 cm de espessura c sua super-

fície está desenhada na figura aolado. Sua massa é de 500.0 g.Qual é, aproximadamente, suadensidade?

a) 2,7 g/cm3 b) 3,6 g/cm:lc) 5,4 g/cm3

d) 6,8 g/cm3e) 7,2 g/cm3

4. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um recipiente cilíndrico de secçãotransversal igual a 10 cm3 e de 5 cm de altura está completamente cheio deum líquido cuja massa específica é 2 g/cm3. Qual é, em gramas, a massa dolíquido contido no recipiente?

a) 4 d) 50 b) 10 e) 100c) 25

5. PUC (SÃO PAULO) — Um frasco vazio tem massa igual a 30 g: cheiode água, 110 g e, cheio de outro líquido, 150 g. A densidade deste líquidoem relação à água contida no frasco é de:

a) 0,66. d) 1,50. b) 4,00. e) 5,00,c) 3,67.

6. EM ESC AM (ESPIRITO SANTO) — A relação correta entre o peso especí-fico (p) e a massa específica (jl) de uma substância é:

a) p = [t. d) p — g/ j.t. b) p = [ig. e) p = |i /V .c) p = [Jt/g.

fg = aceleração da gravidade;Onde<

(V = volume da substância.7

7. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA — Qual o peso especí-fico da água no sistema MKS?

a) 103kgf/m3 b) 9,81 . 103 N /m 3c) 9,81 . 103 kg/m 3d) 103 kg/ m3e) 1g/cm3



118

8. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA — O peso específicoda água no Sistema Técnico é:

a) 981 N/cnv1. d) 981 dyn/m 3.

b) 10:! kgf/m:í. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 9.81 . ICE N /ni3.

9. UNIVERSIDADE DE SERGIPE — Pressão é uma grandeza que pode sermedida em:

a) newtons. b) newtons por metro quadrado.c) newtons por metro.

d) quilogramas por metro cúbico,c) quilogramas por metro.

10. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O tijolo da figura apóia-se sobre osolo, sobre a base ABEF. Se estivesse apoiado sobre a base ABCD de áreaigual a 1/3 da anterior, a pressão exercida pelo tijolo seria:

a)

c) 1/3 do valor anterior.

l t , FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma pessoa de 80 kgf de peso apóia--se sobre uma chapa de 20 cm x 20 cm. que repousa sobre uma bolsa deágua. A aceleração da gravidade é g = 9,8 m /s2. A pressão média transmitida é da ordem de:

a)

c)



119

12. UNESP — A sapata de uma coluna mede 0,60 x 0,40 m- e suporta cargaQ = 4,8 tf (toneladas-força).

a) A pressão média da sapata no solo é de 4,8 tf. b) A pressão média do solo na sapata é de 4,8 tf.c) A base da sapata tem ájea A = 24 cm-.d) A pressão na base da sapata é de 2,0 kgf/cm2.c) n.d . a.

13. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Afirmação: A pressão exercida, no chão, por uma moça calçada com sapato de saltos finos é maiordo que a pressão que ela exerce quando está calçada com tênis.

porque

Razão: A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é diretamente proporcional à intensidade da força e inversamente proporcional àárea da superfície.

a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação. b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmação.c) Afirmação correta; razão errada.d) Afirmação errada; razão correta.

e) Afirmação c razão erradas.

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma placa retangular de vidro, medindo 1 m de largura por 2,5 m de comprimento, está imersa em um líquido,numa região onde a pressão é dc 10 newtons/m2 em todos os pontos daface da placa. Qual é, em newtons, a intensidade da força que atua sobreesta face da placa?

a) 0,25 d) 10

b) 2,5 c) 25c) 4,0

15. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO — A pressão atmosférica é de 10r*N/m - ao nível do mar. A força que ela exerce sobre umaárea de 100 m2 na superfície da água é de:a) 107 N. d) 10« N.

b) IO4 N. e) zero.c) 10:1N.



120

16. FUVEST — Uma bailarina, cujo peso é de 500 N, apóia-se na ponta de seu pé, de modo que a área dc contato com o solo é somente de 2,0 cm2.Tomando-se a pressão atmosférica como sendo equivalente a 10N/cm2, de

quantas atmosferas é o acréscimo dc pressão devido à bailarina, nos pontos

a) 25 d) 250

b) 100 e) 2,5c) 50

17. a rqu i t e t u ra de santos

a) 1kgf/cm2. b) 10 kgf/cm2.c) 1 kgf/ m2.

18. FEI — A lei de Stevin diz que a diferença de pressões entre dois pontosde um líquido em equilíbrio é:a) igual ao peso do líquido entre os dois pontos.

b) igual ao volume do líquido entre os dois pontos.c) igual ao peso específico do líquido vezes a diferença de cotas entre os

dois pontos.d) igual à massa específica do líquido vezes a diferença de cotas entre os

dois pontos.e) Nada disso.

19. POLITÉCNICA (USP) — A lei de Stevin — “A pressão num fluido emequilíbrio sob a ação da gravidade varia linearmente com a profundidade”

— vale para:

a) gases perfeitos. b) líquidos compressíveis.c) fluidos homogêneos e incompressíveis.d) qualquer líquido real.e) Nenhum ,dos anteriores.

— A pressão atmosférica é da ordem de:d) 1gf/cm2,e) 10:ikgf/m2.



20. UNIVERSIDADE DE ALAGOAS — Na figura abaixo está representadoum recipiente que contém um líquido. X, Y, Z e W são pontos deste líquido.Em que pontos a pressão do líquido é a mesma?

21. ITA — Emborca-se um tubo de ensaio numa vasilha com água, conformemostra a figura abaixo. Com respeito à pressão nos pontos A, B, C, D, Ee Ff qual das opções abaixo é válida?

A B

D• I- •

c* L •E F

_ Jd) pE = pB.e) Nenhuma das opções anteriores é correta.

a) P a = Pd-

b) P a = Pf-

c) PC= Pd-

22. POLITÉCNICA (USP) — Dois pontos situados em um líquido de densidadei.O . I0:í kg/m :i apresentam uma diferença de nível de 10 m, A diferença de

pressão entre esses pontos é aproximadamente de:a) 1,0 . 105 N . m~2. b) 1,0 . 10r>kgf . m -2.c) 1,0 . 10- atm.d) 1,0 . 102 cm Hg.e) Nada disso.



122

23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A pressão total, num ponto de umlíquido em repouso, em função da profundidade h do ponto considerado, é mais corretamente representada por:

24. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO — Um recipientecom a forma mostrada na figura abaixo contém um líquido de massa específica {i. Se p(| é a pressão atmosférica, a pressão no ponto P no fundo dorecipiente é:

a) Po + Jiga. d) po - j-iga. b) Po + lig(h + a). e) p0 - jigh.c) Po + pg(h - a).

25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual a pressão, cm N /m 2, no fundode um lago com 10 m de profundidade? Tomar a pressão atmosférica iguala 10® N /m 2, a aceleração da gravidade igual a 10m /s2 e a densidade daágua igual a 108 kg/m 3.

a) 10® b) 1,5 . 10®c) 2,0 . 10®

d) 10°e) 10]ü



26. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A figura abaixo representa um reci piente cilíndrico, cujo diâmetro da base é D, contendo um líquido de densidade d até uma altura h. Variando-se apenas a medida de uma destas

grandezas de cada vez, como podemos aumentar a pressão hidrostática em P?

a) Aumentando D. b) Diminuindo D.c) Aumentando h.

d) Diminuindo h.e) Diminuindo d.

27. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Num lago, a lOm de profundidade,a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosférica é de aproximadamente 2 atmosferas. No mesmo lago, a 20 m de profundidade, a somada pressão hidrostática com a pressão atmosférica será de, aproximadamente,em atmosferas:

a) 12. d) 2,33. b) 4. e) 2,50.c) 3.

28. FACULDADES FRANCJSCANAS — Um corpo situado num lago à profundidade de 62,5 m suporta uma pressão de, aproximadamente:

a) 6 atm. d) 9 atm. b) 7 atm. e) 10 atm.c) 8 atm.

29. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA — O excesso de pressão sobrea pressão atmosférica no ponto A do interior do líquido ideal de massaespecífica 1,5 . lO^kg/m2, contido no recipiente da figura, é:(Dado: g = 9,8 m/s-.)

a) 5,9 . 10-’ N /m 2. b) 1,470 . 10- N /m 2.c) 4 410 10* N /m 2

d) 4,4 . 102 N /m 2.c) 1,5 . 102 N /m 2.



124

30. CESGRANRIO — Um copo de vidro é mergulhado em um tanque com

água, de forma tal que esta encha completamente o copo (fig. 1). Ainda

totalmente imerso, o copo é então emborcado (fig. 2).

Em seguida, emerge-se parcialmente o copo, mantendo-se sua borda sem

pre submersa. Nesta situação, qual das figuras abaixo melhor ilustra a posição do nível de água no interior do copo?

31. FUVEST — Quando você toma um refrigerante em um copo com um

canudo’, o líquido sobe pelo canudo porque:

a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo.

b) a pressão no interior da sua boca é menor que a atmosférica.

c) a densidade do refrigerante é menor que a densidade do ar.d) a pressão em um fluido se transmite integralmente a todos os pontos do

fluido.e) a pressão hidrostática no copo é a mesma em todos os pontos de um



!

125

32. MEDICINA DA SANTA CASA — Um tubo contendo ar à temperaturaambiente é emborcado em mercúrio e permite as duas situações represen-tadas abaixo, encerrando, em ambas, a mesma massa de ar. A pressãoatmosférica no local é. em cm de Hg, um valor mais próximo de:

a) 76.

b) 75.c) 72.d) 70.e) 68.

33. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O tubo AB contém água. A extre-midade B é aberta e a A é fechada. A pressão exercida só pela água na

base do tubo é da ordem de:

c) 3 atmosferas.

34. CESGRANRIO — Julgue as afirmações abaixo:

1 . a a f i r m a ç ã o

No ponto P da parede deum copo contendo água. ecolocado sobre a sua mesade almoço, a força exercida pela água pode ser represen-

tada pelo segmento F da fi-gura.

p o r q u e

2 . a a f i rm a ç ã o

A pressão total em P é perpendicular à parede.



126

35. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo, está representadoo perfil de um recipiente cheio de água. A pressão hidrostática na basedo recipiente é igual a H. Qual é a pressão hidrostática no ponto P, eqüidis-tante dos pontos Y e X? (« é ângulo de inclinação da parede do recipiente.)

c) H/2

36. UNIVERSIDADE FEDERAL DE BRASÍLIA — Três recipientes cilíndricos A, B e C, cujos raios são r, 2r e 3r, respectivamente, contêm águaaté a altura h. As pressões nas bases dos cilindros obedecem à relação:

a) P a = Pn = Pc d> 9P a = 4p„ = Pc b ) P a = 2pB= 3pc. e) 9pc = 4pB = pA.

c) pc = 2p„ = 3pA.

37. MEDICINA DA SANTA CASA — Na figura a seguir, um tubo e o barrilse intercomunicam e estão cheios de água, cuja densidade é de 1 g/cm3. Aaceleração da gravidade é igual a lOm/s- e a pressão atmosférica é iguala 10 . 10"1N/m~. A força total no fundo do barril é, em ncwtons, maisaproximadamente igual a:

a) b)c)

tubo aberto

------------11 litro

[volume do tubo)

1 200 cm2

(área da tampa do fundo)

18 m

; p f \

2 m

2,4 . 104.3.6 . 104,3.6 . IO5.

d) 2,4 . 10*.e) 2,4 . 10a.



127

38. UNIVERSIDADE DE SALVADOR — A figura abaixo representa 3 frascos, X, Y e Z, cilíndricos e contendo o mesmo tipo de líquido.

px, pY e pz são, respectivamente, as pressões no fundo de cada frasco. Qualdas seguintes relações entre px, py e pz é correta?

a) Px > Pv > Pz d) pY> pz > Px

b) px > Pz > PY e) pz > px > pY

c) Py > Px > Pz

O esquema abaixo representa três recipientes A, B e C completamentecheios de água. A tem secção transversal S e altura H; B é formado de

duas partes cilíndricas de secções S e S/2 e alturas iguais a H/2; C éformado de três partes cilíndricas de secções S, S/2 e S/3 e alturas iguaisa H/3. (A) (B) (C)

“I 'SJV 7 ’’ T S

S H/3 3 ’H/ 2

2 ’

T s

— s

H/2

H/3

I I■* S d b* S • *í _

Este enunciado refere-se às próximas duas questões.

39. PUC (SÃO PAULO) —■ Nestas condições, as pressões pA, pB e pc nas bases dos recipientes A, B e C, respectivamente, são tais que:

a) P a — Pb = Pc-

b) pA= 2pB = 3pc,

c) Pa = 3pB= 4pc. e) pA= 4pa = 9pc.

4fl. PUC (SÃO PAULO) — As forças totais FA, FB e Fc exercidas pela água

3 4d) pA- —Ps = —Pc-

2 3



128

41. PUC (SÃO PAULO) — Os dois recipientes indicados no esquema abaixoestão cheios de água. Em ambos, o raio da secção mais larga é r e o damais estreita, r/2. Chamando de A B C ^ C D as forças exercidas pela água

respectivamente em AB e CD, bases dos recipientes, podemos afirmar que:

42. CESGRANRIO — Dois reservatórios idênticos, inicialmente vazios, sãoligados a meia altura por um cano de diâmetro muito menor que as di-

mensões lineares dos reservatórios. A um dado momento, uma bica situadaacima de um dos reservatórios começa a jorrar água com uma vazão cons-tante e suficientemente pequena para que possamos desprezar os efeitos daresistência oferecida à passagem de água pelo cano que interliga os doisreservatórios.

Qual dos gráficos abaixo melhor representa a evolução com o tempo donível de água no reservatório acima do qual se encontra a bica?



43. CESGRANRIO — Dois líquidos imiscíveis (água e óleo, por exemplo)estão em equilíbrio em um copo, conforme mostra a figura abaixo:

h n

líquido 2

Qual dos gráficos abaixo melhor ilustra a variação da pressão hidrostáticacom a altura h, medida a partir do fundo do copo?

b)

P a l m

IP

1\ 1 \ 1 \ 1 \1

______ 1 ____ \ h

P a l m

A P Ap

d) e)

44. UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ — A figura indica três pontos A, B eC de um líquido em equilíbrio. As pressões pA, pB e pc, nesses pontos,estão relacionadas por:

130

45. FUVEST — Um vaso cilíndrico I contém água até a altura de 1,0 m eestá ligado, por um tubo fino, a outro vaso cilíndrico II, inicialmente vazio,com diâmetro duas vezes maior que o de I, O tubo de comunicação está

a 0,5 m de altura e fechado, no início, por uma torneira, como mostraa figura.Pressão atmosférica: pa = 105 N/rn'-'.

a) Abrindo-se a torneira, que altura atingirá a água no vaso II? b) Antes de abrir a torneira, qual era o valor da pressão no fundo do vaso I?

46. MEDICINA DE ÍTAJUBÁ — Se a pressão atmosférica local p0 é igual a1,02 . 10r,N/m- e y é igual a 2,00 m, podemos afirmar que, na montagem

abaixo, a pressão no ponto A é de:

c) 1,22 . 10r' N/m-.

47. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Dois tubos comunicantcs, com secções respectivamente iguais a § cm- e 2 cm2, contêm mercúrio. Colocan-do-se 272 g de água no tubo estreito e sabendo que as massas específicasdo mercúrio e da água são respectiva mente 13,6 g/cm3 e l.Og/cm-1, podemos dizer que o nível do mercúrio no tubo mais largo subirá:

a) 10,0 cm. d) 2,0 cm. b) 0,5 cm. c) 0,1 cm.c) 5,0 cm.

48. MAPOFEI — Um tubo cm U, de secção transversal constante, contémmercúrio até a altura de 15 cm em cada ramo. Num dos ramos coloca-seuma coluna de água com 7,2 cm de altura e, sobre esta, uma de óleo(p<5 ieo = 0,8 g/cm 3) com 8,0 cm de altura. De quanto se eleva, no outroramo, o nível de mercúrio? (pmercúrio = 13,6 g/cm3.)

49. MACKENZIE — Suponhamos um sistema como mostra a tigura, onded! = densidade do mercúrio (13,6g/cm:i) e d2 = densidade da água

c) ht = VTÜ.

<50. MEDICINA DA SANTA CASA — Dois líquidos (1) e (2), de densidadesd! e do respectivamente, ocupam um recipiente em U c ficam em equilíbriohidrostático, conforme os desníveis indicados na figura abaixo. A razão

dj/d» é igual a:

a)

b)

c)

d)

5

13

15

15

13

20 cm

líquido (1)

g» . '

' *ã *' jç

/ , . __ _ _

/

/

líquido (2)

12 cm

40 cm

51. MEDICINA DE ITAJUBÁ — De acordo com a figura abaixo, calcule a pressão atmosférica local, sabendo-se que o gás dentro do recipiente estáa uma pressão de 136 cm Hg.

a) 5 5 cm Hgb) 60 cm Hg

d) 131 cm Hge) Nenhum dos valores anteriores



132

52. UNIVERSIDADE DO CEARÁ — A figura mostra um tubo em U deextremidades abertas, contendo dois líquidos não-miscíveis de densidadesd] e d2, respectivamente. As alturas das duas colunas de líquido são as

indicadas. A relação entre as densidades dos dois líquidos é:

a) d, = d2. b) di = 2d2,c) dx = 4d2.d) d, = 8d2.

STv m

*

7 \

d2

JLo

y

K J

53. CESCEA — A figura mostra um tubo em U, de extremidades abertas,contendo três líquidos não-miscíveis, de densidades d0, dx e d2. Se a situação de equilíbrio for a da figura, as densidades estarão relacionadas pelaexpressão:

a) do = 8(0,75d2 - dx). b) d,, = 8(0,75d2 + d,).

c) d0 = (d2 - 0,75d,)/8.d) Nenhuma das anteriores.

54. MEDICINA DE SANTOS — Tem-sc um reservatório A contendo um gása 27° C. O reservatório está ligado a um tubo em U, de área de secçãoreta unitária; que contém água e mercúrio, conforme mostra a figura.

Determine a pressão do gás. Dados: aceleração da gravidade == 10m /s2;hx = 75 mm; h2 = 105 mm; densidade da água = 1 g/cm;i; densidade do

133

55. FUVEST — Um tubo de vidro em forma de U, fechado em uma dasextremidades, contém mercúrio à temperatura ambiente em seu interior,encerrando uma certa massa gasosa G, num lugar onde a pressão atmos

férica é normal. Os níveis do líquido em ambos os braços do tubo estãoindicados na figura. Considere que a pressão atmosférica normal (1 atmosfera) suporta uma coluna de 760 milímetros de mercúrio. Determinar a

pressão pB, no espaço tomado pela massa gasosa G, em atmosferas.

J? G

-Pn

53253 mmi

56. FESP — Dois líquidos não-miscíveis de densidades d, c i (d, < d.,) sãocolocados num tubo em U, sendo Ah a diferença de nível entre as superfícies livres dos dois líquidos. A coluna h do líquido menos denso será:

a)

b)

c)

d..

do dj

___ di __

d2 ■ dj

djAh

-Ah. d)d.,Ah

Ah.

d!

e) n. d. a.

57. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo está representadoo perfil de um recipiente formado por três segmentos de cilindro. As áreasdas secções retas dos segmentos A; B e C são, respectivamente, 100 cm2,50 cm2 e 25 cm2. No recipiente há água sob pressão. Os pontos 1, 2 e3 estão nivelados horizontal mente. Qual é a relação entre as pressõeshidrostáticas p 1( pa e p3 nos pontos í, 2 e 3?

a) p, = 2p. = 4p3 b) pi = V~Tpa --- 2p3

d) 4pi = 2p3 = p3e) 2pj = V^p2 = p3



134

58. PUC (CAMPINAS) — Dois vasos comunicantes contêm, em equilíbrio,mercúrio e óleo. A superfície livre do mercúrio está 2 cm acima da superfície de separação dos dois líquidos e a do óleo se encontra 34 cm acima

do mesmo nível de referência. Determinar a massa específica do óleo,sabendo-se que a do mercúrio é de I3 ,6g/cm :!.a) 0,88g /cm a d) 0,92g /cm :!

b) 0,80 g/cnv1 e) n. d. a.c) 0,65 g/cm:í

59. CESGRANRIO —~ Mesmo para alguém em boa forma física, é impossívelrespirar (por expansão da caixa torácica) se a diferença de pressão entre o

meio externo e o ar dentro dos pulmões for maior que um vigésimo (1/20)de atmosfera. Qual é, então, aproximadamente, a profundidade máxima(h), dentro d’água, em que um mergulhador pode respirar por meio de umtubo de ar, cuja extremidade superior é mantida fora da água?

a) Cinqüentacentímetros. d) Vinte centímetros. b) Dois metros. e) Um metro.c) Dez metros.

60. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ — Uma bolha de ar desprende-sedo fundo de um lago. Ao atingir a superfície livre do líquido, o volumeda bolha está quadruplicado. Admita que a temperatura é constante aolongo da camada do líquido. Se designarmos por K o peso específico daágua do lago e por p a pressão atmosférica local, a profundidade do lagoserá igual a:

a) 2p/K. d) 2p/3K. b) 4p/K . e) p/2K .



61. MAPOFE1 — Uma coluna d’água de 10 m de altura exerce pressão quesc pode considerar igual a 1,0 atm. A 10 m de profundidade, em um lago,

observa-se uma bolha de gás tendo volume de 0,10 cm3. Desprezar tensão

superficial A pressão atmosférica é de 1,0 atm. A temperatura da águaé constante. Quando a bolha chegar à superfície livre da água, qual é oseu volume?

62. MACKENZIE — A prensa hidráulica é uma aplicação:

a) do princípio de Pascal. b) do princípio de Arquimedes.

c) do teorema de Bernoulli relativo à dinâmica dos fluidos.d) da lei de Stevin.

e) da lei de J. T. Hidráulicus.

63. ITA — Na prensa hidráulica esquematizada, DL e Da são os diâmetros —F

dos tubos verticais. Aplicando-se uma força Ft ao cilindro C,, transmite-se —►

a C3, através do líquido de compressibilidade desprezível, uma força F2.Se Dj 50 cm e D2 = 5 cm, temos:

a)

b)

c)

d)

el

Fi

Fa=

10.

Fj

-*^- = 5.F,

F3 _ 1

F, 100

F3= 100.



136

64. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O freio hidráulico de

um automóvel é uma ilustração:

a) da lei de Hooke.

b) da segunda lei de Newton.c) do princípio de Arquimedes.

d) do princípio de Pascal.

e) da lei de Boyle.

Este enunciado se refere às questões 65 e 66. Na figura, o pistão A tem área SA= 10 cm2 e comunica-se hidraulicamentecom o pistão 3, que tem área SB= 100cm2. A mola tem constanteelástica k = 105 N/m. O pistão A, sob a ação de uma força constante-—►F, realiza um trabalho x = 20J, comprimindo a mola numa distância Ax.

B

A

L ____________ ---------- fc.

_______ í k

65. FEI — Calcular a distância Ax que a mola se comprime.

66. FEI — Calcular a intensidade da força F e a distância percorrida pelo

pistão A.

67. PUC (RIO DE JANEIRO) — Um elevador de automóvel funciona como

esquematizado na figura abaixo, em que dois pistões cilíndricos (diâmetros0,1 m e 1,0 m) fecham dois reservatórios interligados por um tubo; todo o

sistema é cheio com óleo. Levando-se em conta que os pesos do óleo e

dos pistões são desprezíveis em relação ao peso do automóvel (1,0 . 104 N), —►

qual a força mínima F que deve ser aplicada ao pistão menor e que seja

capaz de levantar o automóvel?



68. MAPOFEI — Uma bomba injeta óleo num cilindro e empurra um pistãoque levanta um peso de 100 toneladas-força. O pistão tem área igual a

0,25 metros quadrados. Qual a pressão do óleo? (Exprimir em unidades

do Sistema Internacional de Unidades.)

69. MAPOFEI — Na questão anterior, o pistão é levantado com uma velo

cidade de 1cm/min. Qual a vazão fornecida pela bomba, em litros/

segundo?

70. MAPOFEI — Com os dados fornecidos nas duas questões anteriores, calcule a potência da bomba de óleo, em watts.

71. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA — Um recipiente possui o for

mato de um tronco de cone, sobre cujas bases se apoiam dois cilindros providos de êmbolos A e B. O espaço entre os êmbolos é preenchido por um

líquido ideal. Ambos os êmbolos são comprimidos contra o líquido. Se a

razão entre os diâmetros dn/d Avale 5, a razão entre as pressões Pb/Pa valerá:

S

a) 1/25. d) 1. b) 5. c) 1/5.

c) 25.

72. UNIVERSIDADE DE PELOTAS — O macaco hidráulico representado

na figura a seguir está em equilíbrio. Os êmbolos possuem áreas iguais a

c) 160 kgf



138

73, ENGENHARIA DE SÀO JOSÉ DOS CAMPOS — Dois pistões de uma prensa hidráulica têm áreas na razão 2 para 15, Por meio de uma alavancainter-resistente é aplicada uma força dc 100 N no pistão de menor área,

conforme a ilustração abaixo. A força transmitida ao êmbolo maior, emnewtons, será de:

a) 50. d) 930.

b) 10 700. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 6 000.

11. b 12. d 13. a 14. e 15. a 16. a 17. a 18. c 19. c

20. c 21. c 22. a 23. e 24. b 25. c 26. c 27. c 28. b 29. b

30. a 31. b 32. d 33. c

34. 1.* afirmação: correta; 2.’ afirmação: falsa.

35. c 36. a

37. b (Entendendo-se por “ força total" a “ força exercida pela água- .)

38. e 39. a 40. a 41. e 42. a 43. c 44. d 45, a)0,125 m;

b) 1.1 . 10r' N/nrr. 46. e 47. d 48. x is 0,5 cm

49. e (O líquido de maior densidade, mercúrio, eleve ficar sob o líquido de menordensidade, água.)

50. b 51. b 52. c 53. a54. p?ís = 787.8 mm Hg

55, pa = 507mmHg íií 0,67 atm 56. a

57. c (Admitindo o líquido em equilíbrio.)

58. b 59. a 60. c 61. V = 0,20 enf 162. a 63. d 64. d 65. Ax = 2cm

6 6 . F = 200 N; d = 0.2 m. 67. b 6 8 .p = 3,92.10“ Pa 69, vazão « 0.042 g / s

70. potência ss 1,6 . 102 W

71. d (Admitindo o líquido em equilíbrio.)



140

Empuxo

Quando um corpo é total ou parcialmente mergulhado num fluido,

A resultante de todas as forças aplicadas pelo fluido no corpo

nele mergulhado é denominada empuxo.

Para analisar o empuxo, vamos lançar mão da lei de Arquimedes.

Lei de Arquimedes*

Imaginemos um corpo inteiramente mergulhado no interior de

um líquido em equilíbrio. Admite-se que o líauido seja ideal.

* Arquimedes de Siracusa (287 a,C. — 212 a.C.) — Cientista e matemático grego.Foi autor de importantes trabalhos em Geometria. Inventou interessantes artefatosmilitares durante o cerco romano à cidade de Siracusa. Desenvolveu tratados sobrecentros de gravidade e corpos flutuantes pelos quais é considerado o fundadorda Mecânica teórica

Este corpo está ocupando um volume que antes era ocupado por

uma porção do líquido. Logo, as forças que o líquido exerce sobre

o corpo são as mesmas que ele exercia sobre a porção do líquido

que ali se encontrava antes que o corpo ocupasse seu lugar.

I líquido 1

(leslocadoi 1I---------J

JP

A porção do líquido deslocada pelo corpo estava em equilíbrio.

Logo, a resultante das forças aplicadas pelo restante do líquido

(empuxo] equilibrava o peso desta porção de líquido deslocada pelo

corpo.

Consequentemente, como o peso desta porção de líquido deslo- — —

cada pelo corpo (Piíq<iMi) e o empuxo (E) exercido pelo restante do

líquido se equilibram, estas duas forças devem ter mesma direção,

mesma intensidade, sentidos contrários e mesma linha de ação.

^ ^ I í i] d cst

• Características do empuxo — A resultante das forças que umfluido exerce sobre um corpo nele mergulhado recebe o nome de

empuxo [E] e tem as seguintes características:

• intensidade (E): igual à intensidade do peso do fluido deslocado;

• direção; vertical;

• sentida: orientada de baixo para cima;



142

Se o líquido representado nas ilustrações tem densidade abso-

luta (i, podemos escrever:

Plíq dcsl —■ m iíq desl • 9

Plíq dcsl — |tV |íq dcsl • 9

Como E = Plíq dcsi, então E — jl 'Vjiq dcsl • 9 •

ê fó & v a ítia -----------------------------------------------------------------------------

— — O empuxo é basicamente devido ao fato de que a pressão na parte inferior

do corpo é maior que a pressão na sua parte superior. _______ _________

• Conseqüéncias da lei de Arquimedes:

I. Quando um corpo é abandonado no interior de um líquido, total

mente mergulhado nele, teremos:

V líq desl — Vcorpo

Primeira hipótese: se Pcorpo > E, então o corpo afunda.

Neste caso, temos P c o rp o — n i c o r p o • 9 — d V c o rp o • 9 '

Se E pVifq iiesi . 9 , loçjo:

dV nw po iAVirjrdwii = d > IX

Assim sendo, quando a densidade de um corpo é maior do que

a densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo afunda.

Segunda hipótese: se Pcorpo < E, então o corpo

Neste caso, por um raciocínio análogo, temos

Assim sendo, quando a densidade de um corpo é menor do que

a densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo vai à tona e

flutua.

flutua.

d < p

Terceira hipótese: se Pc or po E, então o corpo permanece em

repouso.

Neste caso, por um raciocínio análogo, temos d = p

Assim sendo, quando a densidade de um corpo é igual à densi-

dade do líquido no qual é mergulhado, o corpo permanece em repouso na posição em que é abandonado.



144

ôfóm m & ed.-------------------------------------------------------------------------------------

1. A densidade média do homem é aproximadamente igual ã densidade daágua nas condições ambientais. Assim, há condições para flutuar.

2 . O empuxo de um fluido sobre um corpo colocado em seu interiorIndepende do material de que o corpo é constituído, bem como do fatode o corpo ser oco ou maciço. Lembremos que E = (tV,fq dcs| . g.

Assim, uma esfera oca de ferro de raio r e uma esfera maciça de alumínio,também de raio r, mergulhadas em água, estarão sujeitas ao mesmo

empuxo.

esfera oca de raio r esfera maciça de raio i

mesmo empuxo E

Todavia, tal fato seria Impraticável caso o homem tentasse nadar numa

piscina de óleo, pois a densidade do óleo é bem menor que a densidade

média do homem.



m m 145

3. A lei de Arquimedes aplica-se iguaimente aos líquidos e aos gases.

Assim, o empuxo tanto é responsável pela sustentação de um nadador

numa piscina, como pela elevação de um balão-sonda a partir do solo.

Quando a densidade do corpo é muito maior que a do ar, o empuxo

possui intensidade desprezível em comparação com a intensidade da



146

4. A lei de Arquimedes só é válida quando a superfície inferior do corpoé banhada pelo fluido que o cerca. Observe as ilustrações abaixo:

lei de Arquimedes é válida

lei de Arquimedes é válida

Quando não é possível aplicar a lei de Arquimedes, então devemosanalisar separadamente as forças agentes no corpo.

Exemplo:

corpo em equilíbrio no fundo do recipiente

Forças agentes no corpo:

Pcorpo. exercida pela Terra;

N. exercida pelo fundo do recipiente;

F exercida peio líquido na superfície superior do corpo;



Observe que:

a) F = p$ = (palm + |tgh)S, onde S é a área da superfície superior do corpo.

b) F1 — F3 (equilíbrio horizontal).

c) N = F + Pcorpo (equilíbrio vertical).

5. É mais fácil elevar um corpo mergulhado em um líquido do que elevá-loquando ele se encontra fora dele. É fácil explicar: uma parte do peso docorpo é neutralizada pelo empuxo e temos a impressão de que o corpo é"mais leve” quando se encontra mergulhado no líquido.

Isto significa que, quando mergulhado em um líquido, o corpo “aparenta”ter um peso de intensidade menor. t. o peso aparente do corpo.

Em intensidade, podemos escrever.

P ss p Z eaparente corpo

II. Fração imersaImaginemos um corpo mergulhado no interior de um líquido.

Admitamos que sua densidade seja menor que a densidade do líquido.O corpo subirá à tona e flutuará, com parte do seu volume imersa.

No esquema anterior, as forças agentes no corpo são: —>

• empuxo CE): exercida pelo líquido e aplicada no ponto Gl, centro

148 :

• peso do corpo (PwpJ: exercida pela Terra e aplicada no ponto G,

centro de gravidade do corpo. Sua intensidade é determinada pela

expressão Ptorpu = m Co rpí, . g — dVc o r p o • Q •

Como o corpo está em equilíbrio na posição em que se encontra,

podemos escrever:

E PcorPü

Logo:

!<-V líq de$l • — d Vc orp o • $ =$

V|,'q desl d

Vcorpo

A fração - -̂h-- d— é denominada fração imersa do volume doVtorpo

corpo. E escrevemos:

fração imersa = _d̂

A fraçao imersa é um conceito muito útil na determinação dadensidade de um corpo. Tomemos um exemplo prático.

Desejamos conhecer a densidade d de um bloco de madeira.

Para tanto, colocamos este bloco de madeira num recipiente contendo

água, cuja densidade p é igual a t g/cm*. Medimos o volume do

líquido deslocado pela madeira e constatamos que ele corresponde

a 60% do volume do bloco de madeira. Ou seja, a fração imersa

é 0,6. Logo, a densidade d do bloco pode ser determinada:

fração imersa = — =>|i

d0,6 =

1 g/cm:!d = 0 , 6 g/cm:!

bloco de madeira

de densidade ddesconhecida

corpo

fração imersad

P

num recipiente contendo um líquido de densidade p conhecida



149

Outro exemplo interessante de aplicação da fração imersa díz

respeito ao gelo. A densidade do gelo é da ordem de 90% da densi-

dade da água do mar. Isto significa que fração imersa = — = 90%.H-

Em outras palavras, quando nos deparamos com um iceberg

(blocos de gelo flutuantes no mar), estamos vendo apenas 1 0 % do

seu volume; os restantes 90% do seu volume estão imersos. Daí

os enormes cuidados tomados pelos navios que viajam por oceanossituados em altas latitudes, onde existem muitos icebergs: a parte

imersa do iceberg é muito maior que a parte à vista, fora da água.

III. Corpos flutuantes —■análise da massaPara um corpo flutuante num líquido, decorre, no equilíbrio:

Pcorpo — E ,40* . V,

Mas. Pcorpo —- r n corpo ■ 9V

=> E = P l íq ,fcsl = n i l í q ílcsl • 9

Logo:°

mCorpo . nilíq desl * j í

150

Em outras palavras: a massa de um corpo flutuante é igual à

massa do líquido que ele desloca.

massa do navio = massa da água deslocada

IV. Equilíbrio dos corpos flutuantes

Quando um corpo está flutuando num líquido, temos:

® V líq desl . Vcorpo

• d < n *

• Pc or po — E

• G = centro de gravidade do corpo (invariável).

• Gl = centro de empuxo,coincidente com o centro de gravidade dolíquido deslocado (variável de acordo com a posição do corpo no

interior do líquido).

Primeira hipótese: G abaixo de GL.

Quando um corpo é deslocado levemente de sua posição de

equilíbrio, a força peso do corpo e a força empuxo apresentam um

momento resultante que procura girar o corpo, trazendo-o à posição



151

Quando um corpo é deslocado levemente de sua posição de equi-líbrio, a força peso do corpo e a força empuxo apresentam um mo-mento resultante que procura girar o corpo no sentido de trazêloà posição anterior de equilíbrio. O equilíbrio é estável.

Terceira hipótese: G acima de Gu

Neste caso, o equilíbrio pode ser estável, instável ou indiferente.

A análise fica facilitada com a introdução do conceito de metacentro.Metacentro (M) é o ponto de cruzamento da linha de ação do

empuxo, numa dada posição do corpo (5) , com a linha de ação doempuxo inicial na situação de equilíbrio (À).

Exemplos:

1 ) M acima de Glinha de ação

do empuxolinha de ação

final



152

3) M coincide com G

Nesta terceira hipótese (G acima de GL) estão incluídos os casos

de flutuação de barcos e navios.

No exemplo 1 — equilíbrio estável —, quanto mais baíxo estiver

o centro de gravidade G do sistema, mais rápida será a restituiçãodo sistema à situação de equilíbrio anterior. Ou seja, quanto mais

baixo estiver G, melhor será a estabilidade do sistema. Daí o uso

de lastro nos navios.

Complementação: Hidrodinâmica

A Hidrodinâmica estuda os líquidos ideais em movimento. Nãoserão levados em conta os rodamoinhos e as turbulências que os

líquidos reais normalmente apresentam quando fluem em alta velo-

cidade ou contornam obstáculos

1) Escoamento em regime permanente ou estacionário — Quando

um líquido escoa no interior de um conduto, de tal modo que em

qualquer ponto a velocidade, a densidade e a pressão não se alteramcom o decurso do tempo, dizemos que o escoamento está se dando

em regime permanente ou estacionário. Neste caso, podemos repre-

sentar o escoamento do líquido através de linhas inalteradas, deno-minadas linhas de corrente, tangentes à velocidade em cada ponto.

Se a velocidade, a densidade e a pressão, além de serem inva-riáveis em cada ponto, forem também iguais em todos os pontos



2 153

do líquido, o escoamento será permanente e uniforme. Neste caso,as linhas de corrente serão todas paralelas.

2 ) Vazão em volume — Admitamos um conduto prismático regular

e estudemos o que acontece num volume AV, delimitado peias sec-çõestransversais 1 e 2, de área S e de comprimento AL.

Vamos supor, ainda, que a velocidade v do líquido no interior

do conduto seja constante e que todo o volume AV do líquido passe

pela secção 2 no tempo At.

Definimos vazão em volume EQ) como sendo o quociente:

At

No Sistema Internacional e no Sistema Técnico, temos:

para

para

AV = 1 rn3

At = 1 s

No CGS, temos:

AV - 1 cm3

. At — 1 s

=> Q — 1nr 1

=> Q = 1cnrr

A expressão da vazão em volume poderá assumir outra forma.

Sendo o volume AV = ALS, temos:

AV ALSQ = ------= — -----



154

ALMas ------— v; logo:

At

Q = Sv

3} Escoamento em regime permanente — equação da continui-

dade — A expressão da vazão em volume, Q ~ Sv, foi desenvolvida

admitindo que a velocidade do líquido fosse constante em todos os

pontos, ou seja, que o líquido tivesse escoamento uniforme. Entre-

tanto, esta expressão continua válida mesmo que o escoamento não

seja uniforme, desde que tomemos um conduto percorrido por um

líquido em regime permanente e de dimensões tais que, numa dada

secção transversal, possamos considerar sua velocidade constanteem todos os pontos da secção.

Como os líquidos ideais são incompressíveis, o volume de líquidoque passa por uma secção num determinado intervalo de tempodeverá ser o mesmo que está passando pelas demais secções do

conduto no mesmo intervalo, de modo a não haver acúmulo de

líquido ao longo do conduto.

Logo, ao longo de um conduto de secções transversais de áreasSi, Ss, Ss, . . ., Sn e velocidades vi, V2 , V3 .........v„ podemos escrever

Q = SiVí = S v̂^ = S3V3 = . . , = Snv„ = constante, ou seja:

Q = Sv == constante [equação da continuidade)

O fato de 0 produto Sv permanecer constante ao longo do con-duto permite interpretar o aspecto das linhas de corrente. Numa

região estreita, as linhas devem ser mais próximas umas das outras

do que numa região larga. Assim, quando o conduto se afunila, a

distância entre as linhas diminui e a velocidade do líquido deveaumentar; quando o conduto se alarga, a distância entre as linhas

aumenta e a velocidade do líquido deve diminuir. A área da secção

155

transversal e a intensidade da velocidade são inversamente propor

4) Lei de Bernoulli4 — Consideremos um líquido ideal (não

coso, incompressível) escoando em regime permanente pelo condutoindicado na figura a seguir.

Vjs,-----

O trecho à esquerda tem uma secção transversal de área Si

uniforme. É horizontal e está a uma altura hi acima do plano hori-zontal de referência. O trecho à direita tem uma secção transversalde área S uniforme. H horizontal e está a uma altura ha do níveide referência.

Analisemos o volume de líquido hachurado que, no mesmo inter-valo de tempo, pàssa pelas secções (1 ) e [2) de áreas Si e Sa.

Como o líquido é incompressível, podemos escrever:

V = S iAf f = &.A& =

!<•

onde V é o volume da porção de líquido de densidade n e massa m que passa no mesmo intervalo de tempo pelas secções transversais(1 ) e (2 ) do conduto.*

* Daniel Bernoulli (17001782) — Matemático e físico suíço. Fez contribuições subs-tanciais para a teoria da probabilidade e estabeleceu as bases para a teoria cinéticados gases. Realizou relevantes trabalhos sobre astronomia, gravitação, marés e



156

Nos pontos da parte estreita (à esquerda), a pressão do líquidoé p i e a velocidade,Vj. e o líquido avança uma distância Aí, paralela

à força de intensidade Fi — piSi exercida pelo restante do líquido.

O trabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:xF l — F iA í1, - p iS iA ^ i

Nos pontos da parte larga (à direita), a pressão do líquido é p3

e a velocidade, v3, e o líquido avança uma distância A c o n t r a uma

força de intensidade F3 = pL-S3 exercida pelo restante do líquido. O

trabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:

~ f 2— ■ — F2A^a — —psSsAls

Como se supõe que o líquido é não-viscoso, o trabalho total—t —+

realizado pelas forças de pressão Fi e F3, exercidas pelo restante

do fluido sobre o volume de líquido analisado, será igual à variação

total de energia entre as secções (1) e (2). E é bom notar que apenas

as porções hachuradas contribuem para a variação de energia. A

porção intermediária é idêntica no transcorrer do tempo.

Assim:

trabalho total = variação total de energia j I "Tf,, — A E,L,i | AEp,,, „lav

p, — pa — — pv“ ------ p-v̂ + ligh-' — |ighi2 2

Decorre, então:

1 1p, + — |iv- -f jtghi = p3 + — pv;. -f bgn3

2 2 ‘(equação de

Bernoulli)

1. Como os índices 1 e 2 se referem a quaisquer pares de pontos do

liquido ao longo do conduto, podemos escrever:

p -i-----pv2 + pgh = constante

2. A equação de Bernoulli se aplica, a rigor, apenas ao regime permanentee as grandezas envolvidas devem ser consideradas ao longo de umamesma linha de corrente. A constante mencionada na observação anteriornão é igual para todas as linhas de corrente de um conduto



3. A equação de Bernoulli acima referese a processos isotérmicos(temperatura constante).

4. Num fluido compressível e viscoso surgirão forças de atrito e parte

do trabalho, calculado para o fluido incompressível, se transformará emenergia térmica, e teremos:trabalho variação de , _ _____ . ,

total = energia mecânica + 0(ener9'a ‘ erm.ca)

5. A Hidrostática é um caso particular da Hidrodinâmica. Para um líquidov, = v. 0 e decorre:em repouso, teremos

1 , 1Pi + — |i,v( + jxghi = p2 + — |xv; + p,gh2

=> Pi + [igh, = p2 + jigh j = >

=í> P2 = Pr + li9 Íhi UFazendo h, — h2 = h, obtemos:

p2 ~ Pt + ugb (lei de Stevin)

5) Aplicações da equação de BernouMi

a) Tubo de Venturí

É um medidor que se coloca nos condutos para determinar avelocidade dos líquidos.

Consideremos um conduto cuja área de suas secções trans-versais seja variável. Ou seja, o conduto sofre contrações emalgumas de suas regiões relativamente a outras.

referência

Tomemos um ponto [1] numa secção mais larga e um ponto (2)numa secção mais estreita e admitamos que eles estejam à mesmaaltura do nível de referência, isto é, hu = hs.

Assim sendo, aplicando a equação de Bernoulli a estes doispontos do líquido, temos:

1 1

158

Como hi = h2, decorre;

1 1Pi + — pv- = pa -f — (iv* (I)

2 1 2

Sendo o líquido incompressível por hipótese, ele não pode seacumular ao longo do conduto e sua densidade |i permanece cons-tante. Pela equação da continuidade, a vazão do líquido é constanteao longo das diversas secções, isto é, SiVi = SaVs.

Como Si > Sa, decorre Vi < Va.

Logo, tendo em vista a expressão (I), pi > pa.

É exatamente isto que indica a coluna de líquido situado acimadas secções onde se encontram os pontos ( 1 ) e (2 ).

Determinando, pela lei de Stevin, as pressões em (1) e (2) elevando em conta a equação da continuidade, é possível, através daexpressão (I), determinar as velocidades vi e va.

Resumindo:

Num conduto onde escoa um líquido incompressível e não

viscoso, nas regiões mais estreitas a pressão é menor e a velocidadeé mais intensa.

b) Sustentação de avião

A equação de Bernoulli se aplica também aos gases e atravésdela se pode explicar, por exemplo, a sustentação de um avião emmovimento no ar,

A secção transversal de uma asa de avião é vista no esquemaa seguir. Devido ao formato da asa, a velocidade do ar na facesuperior é maior que na face inferior, isto é, vL>> Vi. A maior con-centração de linhas de corrente na face superior indica que ali avelocidade é maior.

Portanto, com raciocínio análogo ao do exemplo anterior, con-cluímos que a pressão do ar na face superior da asa é menor que a



A diferença de pressões do ar entre as faces superior e inferior

dá origem ao surgimento de uma força resultante vertical na asa,

orientada para cima.

Vj F,

Esta forÇa vertical na asa é denominada “ força de sustentação”.

£ a responsável pela sustentação do avião no ar durante o seu movi-

mento.

c) Bola num jato de ar

Uma boia leve pode ser mantida “ flutuando" no ar, como mostra

o esquema abaixo. Para isto basta fazer passar entre as superfícies

da bola e do funil uma corrente de ar em alta velocidade. Haverá,

então, uma diferença de pressão entre a parte superior (pressão

baixa) e a parte inferior da bola (pressão atmosférica, mais alta),

que dará origem a uma força vertical F para cima, que equilibrará

o peso P da bola, suportandoa enquanto "flutua”.

entrada do ar



160

d) Spray

O pistão A do spray cria uma corrente de ar que passa pelaextremidade superior do tubo D (ponto B). O tubo D, por sua vez,encontra-se imerso no líquido a ser atomizado. A corrente de arque passa por B reduz a pressão sobre o líquido naquele ponto. Oar existente sobre a superfície livre do líquido em C força o líquidopara cima no tubo. Forma-se, então, em B, uma mistura de ar comas partículas do líquido que vão subindo: é o spray que, carregado

pela corrente, precipita-se no ambiente.e) Bola em translação com rotação

É do conhecimento geral que uma bola segue uma trajetóriacurvilínea. quando atirada no ar com alta velocidade de translação,aliada a uma certa rotação ao redor do eixo que passa pelo seu centrode gravidade.

A equação de Bernoulli explica facilmente este acontecimento.



161

O esquema (I) mostra a trajetória do centro de gravidade da

bola, quando ela descreve um movimento de translação pura, através

do ar que a circunda. Devido ao atrito, uma fina "lâmina" de ar é

arrastada pela bola em seu movimento de rotação. Na região B doesquema (II), esta “ lâmina" se move no mesmo sentido do ar circun-dante e, portanto, a velocidade resultante é igual à soma das velo-

cidades do ar devidas à rotação e à translação (ambas orientadas

para a esquerda). Na região A do esquema (II), a velocidade do ardevida à rotação (orientada para a direita) tem sentido contrário ao

da velocidade de translação (orientada para' a esquerda) e, portanto,

a velocidade resultante tem intensidade menor que na região B.

Deste modo, a pressão do ar é maior em A (onde a velocidade

do ar é menor) e a trajetória do centro de gravidade da bola assume

a forma curvilínea indicada no esquema (II).

Os jogadores de futebol se utilizam muito deste efeito do ar

sobre bolas em translação com rotação. Surgem, então, os chamados

chutes “ com efeito" (“ folha seca”).

f) Experiência simplesSeguremos uma folha de papel horizontalmente por uma extre-

midade, deixando livre a outra extremidade, e sopremos pela parte

superior. A extremidade iivre da folha se levanta.

Ao soprar, pusemos ar em movimento, reduzindo a pressão sobre

a superfície superior e tornandoa menor que a pressão exercida pelo

ar sobre a superfície inferior. A folha de papel é, então, empurrada

para cima pelo ar.

> -



g) Constatações práticas

Num fluido, onde a velocidade é maior a pressão é menor.

Esta conseqüência da equação de Bernoulli explica ps seguintesfatos:

1) Dois barcos movendose paralelamente no mesmo sentido são

impelidos um contra o outro.

2) Dois automóveis que se deslocam paralelamente são empurrados

um contra o outro.

3) Nas estações de trem e metrô, o passageiro deve evitar aproxi-

marse da borda da plataforma junto à linha, pois o trem, ao passar

em alta velocidade, provoca uma diferença de pressão do ar,

fazendo com que o passageiro seja empurrado contra o trem.

4) Nas estradas de rodagem ou nas vias expressas, o transeunte

deve evitar ficar próximo dos veículos que passam. A diferença

de pressão que surge entre o ar às suas costas e o ar à sua frente

pode fazer com que a pessoa seja empurrada contra o veículo.

h) Lei de Torricelli

A lei de Torricelli permite calcular a velocidade de escoamento

de um líquido através de um orifício num grande reservatório, a uma

profundidade h abaixo do nível do líquido.

Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que passa

pelos pontos (1)(2)(3), temos:

1 1pi H----- |ivL; + jighi = p:! j------pv2 + |igh;{ (I)

2 1 2

Tomando como nível de referência o plano horizontal que passa

pelo ponto (3) — orifício — , observando que a pressão nos pontos



163

i liliiilo tlc descida do nível do líquido seja desprezível quando com

punida com a velocidade em (3), pois o reservatório é de grandes

dimensões, temos:

pl p:t — Palm

Vi Rí 0

V I V

hi h

h:,= 0

Substituindo estes valores na expressão CU, temos:1

p*,mf 0 + (tgh = PaimH----- Ijv2 + 0

2

I decorre:

v 2 gh => v = V 2 gh

1 I IJVEST — Um cofre, de massa 1 800 kg e volume 1,5 m3, herme-

ticamente fechado, caiu no fundo do mar, num local onde a

profundidadje da água é de 15 m. Para resgatálo, empregouse um4—►

guindaste que, exercendo uma força vertical constante F, elevou

ii cofre até a superfície, com movimento uniforme. Densidade(Li agua do mar: 1 050 kg/m :í.

—

, 0 Qual a intensidade de F?

Id Qual o valor do trabalho realizado por F nessa operação?

K «-solução:



A elevação do cofre se realiza em movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico). Logo, a resultante das forças agentes no

cofre c nula. E, observando o esquema acima, podemos escrever

F + E = P (1).

Sendo E dcs, . g=> E = 1 050 . 1,5 . I0=>

=> E = 15 750 N e P = m,ulr, . g=> P = 1 800 . 10=»

=> P = 18 000 N, substituindo as intensidades do empuxo e do peso

na expressão ( I), temos:F + 15 750 = 18 000 =>

=> F = 18 000 15 750 =>

F — 2 250 N

b) Como a força F é constante e o deslocamento Ar do cofre é reti-

líneo, na mesma direção c sentido da força F, o seu trabalho pode

ser calculado através da expressão tf = FAr, onde F — 2 250 N e

Ar ^ 15 m.

Logo: t f = 2 250 . 15 =>

Tf — 33 750 J

Respostas: a) 2 250 N; b) 33 750 J.

2. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um pedaço de metal de 50 g

e densidade 7,8 g/cm ;1 é largado num lago de 10,0 m de profun-

didade. A velocidade do metal, ao atingir o fundo do lago, é de:

a) 8,7 m/s. d) 18,1 m/s.b) 10,5 m/s, e) Nenhuma das respostas

c) . 13,2 m/s. anteriores.

Resolução: Na análise do exercício consideraremos desprezível a força

de resistência da água ao movimento do corpo e admitiremos que o

móvel tenha sido largado na superfície do lago com velocidade inicial

166

{ vin — 0

onde < a = 872 c m/s 2

( i S = 10,0 m = 1 000 cm

Logo:

vfi„ = 02 + 2 . 872 . 1 000 => vfin = VTT 44Õ0Õ =>

=> Vfin « 1 321 cm/s =>


3. FUVEST — Um barco de massa igual a 200 kg está flutuando na

água. Espalhamse moedas de 10 gramas no fundo do barco, até

que o volume da parte submersa passe a ser de 0,25 m3. Sabese

que o barco continua flutuando. O número de moedas espa-lhadas é:

a) 500. d) 500 000.b) 5 000. e) 5 000 000.

c) 50 000.

As forças agentes no conjunto (barco-moedas) são: peso e empuxo.

Na situação de equilíbrio, temos E = P.

Sabemos que: E = Pitq d«d — ni],-q dou - g P == mtonjU,1[0 . g

Logo:

onde

m iú , dcs l - p — Hl conj un io - p ' :::>

'■—/ m if q des) — t n conjunio

=> pV|íq des) -- Ulbarto "f" n m moeda — s

p = densidade da água = 1 000 kg /m 3

V„-q des) = 0,25 m3mbarco = 200 kg



E vem:

1 000 . 0,25 = 200 + n . 0,01 =>

=> 250 ~ 200 -j- n . 0,01 =>=> 50 = n . 0,01 =$

50=>n = — ---- - =>

0,01

Resposta: alternativa

4. MEDICINA DA SANTA CASA — Um corpo de massa 50,0 kg evolume de 12,5 litros é mergulhado na água. O dinamômetro,

calibrado em kgf, deve indicar, mais aproximadamente:

n = 5 000

b.

a) 37,5.

b) 50.c) 62,5.

d) 37,5 . 9,8.

e) 50 . 9,8.

Resolução: Admitindo que a aceleração da gravidade seja normal, isto

é, g ~ 9,80665 m /s 2, e levando em contaa definição de kgf, o peso

do corpo é de intensidade P = 50,0 kgf.

O dinamômetro, entretanto, não indica o peso do corpo mas a intensi-

dade da força de tração no fio que deforma sua mola. Ou seja, o

dinamômetro indica T.

() corpo em questão está submetido à ação de 3 forças: peso, empuxo



169

Voltando com os valores de E c P, dados pelas expressões (3) e (4),

na expressão (I), decorre:

5

8(5)

Na expressão (5), admitindo cjue a densidade da água seja p — 1 g/cm ,

temos:

d = — . I8

d « 0,62 g/cnv*

Resposta: A densidade da haste será de aproximadamente 0,62 g/cm 3.

Observação: Podemos resolver esta questão aplicando diretamente a teoria

da fração imersa. Ou seja:

dfração imersa = —

volume imerso

volume da haste

d

tt

5 — hS

8

hS

d

fv

170

Resolução: As forças agentes no cubo na direção vertical são: empuxo

c peso.

Na situação de equilíbrio, temos E = P.

Mas: E = Eáico + Ea'gua (o empuxo recebido pelo corpo é devido ao

óleo e à água)Como E = |i„V,;,co dcs, . g -f- (iaVagua dcsl • ê

=> E = p„a2hg - f |iaa-(a — d — h)g

e P = rnmg = pmVmg = |ima:,g,

temos: P o ^ h ^ + p ^ f a — d — h ) / = p m̂ y

E vem:

p«h + pa(a — d — h) = p ma =>

=t> puh 4 Pa» — pad — pah = pma =>

=> (p<, — Pa)h = p ma — |iaa 4- pad =>

=* (pu — l ü h = (p m— pa)a 4- pad =>

, (Pm Pa)a 4- |-lad=> h = ------------------------------

(Po — Pa)

r pm = 0,5 g /cm 2

Pa = 1 g/ cm:t

onde < pQ= 0,8 g/cnv'

a = 10 cm

s. d = 4 cm

Finalmente:

(0,5 — 1) . 10 4- 1 . 4h =

(0,8 - 1)

5 cm

Resposta: A profundidade da camada de óleo é de 5 cm.

7. MACKENZIE — Uma grande caixad agua sobre uma torre é esgo-tada por um tubo de secção constante. Seja d a densidade abso-

luta da água e v a velocidade de escoamento no ponto A do tubo.

Fechandose o registro R, a pressão no ponto A:

a) permanece a mesma. d) diminui de dv/2 .

b) aumenta de dgh. e) aumenta de dv2/ 2 .

c) diminuí de dgh.

Resolução: A equação de Bernoulli nos permite concluir que a expressão1

p-(----- dv2 -f- dgh é constante para qualquer ponto do líquido, em2

particular para o ponto A.

Adotando como nível de referência o plano horizontal que passa pelo

ponto A, chamando de p a pressão no ponto A antes de fechar o

registro R e de p ' a pressão no mesmo ponto no instante em que o

registro R é fechado, temos:1 1

p - |----- dv2 dgh = p ' -|- —- dv'2 d- dgh'2 2

(ponto A situado no nível de referência)

(velocidade do líquido se anula no ponto A quando

se fecha o registro R)

A expressão enquadrada nos leva a concluir que no instante em que

se fecha o registro R a pressão no ponto A sofre uma variação positiva

igual a — dv2. Ou seja, a pressão no ponto A aumenta de — dv2.2 2

í h = h ' = 0onde <

{ v' = 0

E decorre:

1 p -h — dv2 — p ' =?

o



172

8 . UNIVERSIDADE DE LORENA — Um grande recipiente cilíndrico,aberto, está cheio de água até uma altura de 1,25 m. Se fizermosum pequeno orifício, de área 1 ,0 cms, circular, no fundo do reci-

piente, qual será a vazão da água? Use g = 10m /s2.Resolução: Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos (1) c (2)do líquido, situados numa mesma linha de corrente, temos:

1 2 Î 2p! + — |IV, f [Igh 1 = PH ----- |LVj 4 llgfv.

2 2

onde

Pl ——P 2 — PatmV, ce 0h, = hh.. = 0

h — 1,25 m

m r 1

1

, ’V * i , °*

w

■- i */(2)SL, = I.Ocnv^ll'jV ,.

E vcm:

4” 0 “I" llSÎ* —^olm — |Lva4“ 0 ^

Va = V 2 . 10 . 1,25

va = 5 m / s

\g = 10 ma

nível

de referência

E a vazão da água, através do orifício, é dada por Q = S2v2í onde

= 1,0 cm2 = 1,0 . 10-4 m- e vL, ^ 5 m /s .

Então:

Q — 1,0 . 1 0 -' . 5 =>

Q = 5 . 10-4m-Vs

Adotando a relação 1 m3 = 103 litros, podemos escrever:

O = 0,5 e/a

Resposta: A vazão da água será de 0,5 litro/segundo.



1. UNIVERSIDADE DO CEARÁ — Um cubo está totalmente imerso em umlíquido. As forças devidas exclusivamente à pressão exercida pelo líquidosão melhor representadas por:

2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo, mostra-se um blocode metal maciço e homogêneo, suspenso por um fio e mergulhado na água.A densidade do metal é maior do que a densidade da água. Qual das forçasrepresentadas na figura melhor indica o empuxo exercido sobre o metal?

a) a d) d►



174

3. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ — Um corpo totalmente imersoem um líquido em equilíbrio recebe deste um empuxo igual:a) ao volume da porção líquida deslocada.

b) a seu próprio peso.c) à massa da porção líquida deslocada.d) a seu peso aparente.e) ao peso da porção líquida deslocada.

4. UNIVERSIDADE DE SERGIPE — Um corpo de densidade D e massa Mestá totalmente imerso em um líquido de densidade d. Qual é o empuxo queatua sobre este corpo'? (Nas fórmulas seguintes, g é a aceleração da gravidade.)

a)

b)

M

D

M

Dd) d— g

M

e) d------gD

c) dg

5. UNESP — Um cilindro graduado contém água. Ao nível da superfície livre,

a leitura é L = 42 cm9. Um sólido maciço (sem porosidade) tem massam = 30 g. Merguthando-o totalmente na água, a superfície livre se elevaaté o nível de leitura L' = 54 cm9.

a) A massa (verdadeira) do sólido diminui. b) O peso (verdadeiro) do sólido diminui.

c) A densidade absoluta do sólido é menor que a da água.d) O volume do sólido é V = 12 cm3.e) n. d. a.

6. UNIVERSIDADE DE SALVADOR — Um ovo cozido pode ficar emequilíbrio indiferente no interior de água salgada. Se o volume do ovo é80,0 cm3 e sua massa é 90,0 g, qual a densidade da água salgada?

a) 0,64 g/cm 3 d) 1,12 g /cm3 b) 0,38 g/cm3 e) 1,72 g/cm3



7. FMU — O fato de uma rolha de cortiça boiar parcialmente imersa naágua significa que:

a) a cortiça possui maior densidade que a água.

b) a cortiça possui menor densidade que aágua.c) a densidade da cortiça e a da água sãoiguais.d) a densidade da cortiça é desprezível.

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A figura abaixo mostra a posição deum cubo de gelo (G) e de um ovo, em três líquidos (1, 2 e 3). Hm qualdas seguintes alternativas os líquidos estão ordenados de acordo com a ordemcrescente de suas densidades?

J V. ____ KSUC ---------- ---------------

1 2 3

a) 1, 2 e 3. b) 1, 3 e 2.c) 2, 1 c 3.

d) 2, 3 e 1.e) 3, 2 e 1.

9. ENGENHARIA DE LINS — Mergulhando-se um mesmo sólido sucessivamente em dois líquidos diferentes, o empuxo sobre o sólido:

a) é maior no líquido menos denso. b) é maior no líquido mais denso.c) é o mesmo em ambos os líquidos, pois o volume do líquido deslocado

é o mesmo nos dois casos.d) é sempre igual ao peso do sólido.e) não goza de nenhuma das propriedades enunciadas.

10. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO — Certa esfera rígida tem 6,0 g de massa e sua massa específica é 0,80 g/ cm5. Sabendo-seque a aceleração local da gravidade é de 9,8 m/s2 e que a referida esferaestá totalmente imersa num líquido de massa específica 0,90 g/cm3, calcular,em newtons, o empuxo exercido sobre ela.

11. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO — Têm-se duas esferas com massas iguais, sendo uma de chumbo e outra de ferro. Sabe-seque a densidade do chumbo é maior que a do ferro. Se as duas esferas sãomergulhadas em um mesmo líquido:

a) o empuxo será maior no ferro do que no chumbo. b) o empuxo será maior no chumbo do que no ferro.c) é preciso conhecer a densidade do líquido para se afirmar qualquer coisa

176

12. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS — Afirmação: Uma pessoa não conseguiria flutuar em uma piscina cheia de azeite.

porque

Razão: A densidade média do corpo humano, quando uma pessoa está comos pulmões cheios de ar, é de cerca de 1 g/cnvb

a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação. b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmaçãoc) Afirmação correta; razão errada.d) Afirmação errada; razão correta.e) Afirmação c razão erradas.

13. FACULDADES REUNIDAS NUNO DE LISBOA — Uma bola maciça demassa específica maior que a da água é abandonada no ponto P do fundode uma piscina cheia, como ilustra a figura. Dentre as afirmativas, qual acorreta?

b) A esfera ficará parada.c) A esfera rolará para a parte mais funda da piscina.d) A esfera rolará para a parte mais rasa da piscina.e) Nenhuma das afirmativas anteriores.

14. MEDICINA DE TAUBATÉ — Dois líquidos I e 2, não-miscívejs, de densidades d, e da, e uma bolinha de densidade d são despejados num recipiente.Dado que d, < d2< d, descreva como ficarão as coisas no equilíbrio.a) Líquido I por cima e a bolinha imersa à altura da superfície de separação

dos dois líquidos. b) Líquido 2 por cima c a bolinha flutuando sobre ele.c) Líquido 1 por cima e a bolinha flutuando sobre ele.



-

15. FUVEST — Um cubo maciço de metal com 1,0 cm de aresta e densidadeigual a 8.0 g/cm3 está a 1,0 m de profundidade, no interior de um recipiente

contendo água. Suspende-se lentamentc o cubo, com o auxílio de um fio

muito fino, até uma profundidade de 20 cm. Pede-se:a) o empuxo da água sobre o cubo.

b) o gráfico da pressão exercida pela água cm função da profundidade, entre

1,0 m e 20 cm.

Dados: densidade da água = 1,0 g/cm3; aceleração da gravidade = 10 m /s2.

16. FEI — Um submarino viaja com velocidade constante em relação à água,

em linha reta e cm posição horizontal. Em dado instante são desligados os

motores e ele perde velocidade até parar. Faça um esquema de todas as

forças externas que agem no submarino:

a) depois de desligar os motores e antes dc parar.

b) depois dc parar.

17. MEDICJNA DA SANTA CASA — O balão A, de 1 m3, está mergulhado

em mercúrio, de densidade 13,6 g/cm3, no qual permanece suspenso, presoao fundo por um fio. A massa do balão é igual a 103 kg. A aceleração da

gravidade local é de 10 m /s2. A força de tração exercida no fio é igual, em

newtons, a:

a) 10A d) 1,36 . 10».

b) 13,6 . 10*. e) 1,26 . 10'°

c) 1,26 . 10*.

18. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA — Um bloco de

ferro pesa 140 N. Que força devemos fazer para segurá-lo quando estiver

mergulhado em água? (Peso específico do ferro — 0,07 N/cm :l; peso especí

fico da água = 0,01 N/cm 3; aceleração da gravidade = 10 m /s2.)

19. MACKENZIE — Um bloco de madeira de densidade relativa 0,8 está total

mente imerso em água (densidade relativa = 1,0). Adotar g = lO m , s—2 e

desprezar os atritos. Abandonando-se o bloco, a sua aceleração será:

a) 2,5 m . s~2 para cima.

b) 2,5 m . s~2 para baixo.

c) nula, pois o bloco está em repousod) 0,8 m . s -2 para cima.



178

20. FEI — Um sólido de volume V = 10“ 4mft e densidade absoluta 2 700kg/m :i é mergulhado na água (densidade absoluta: 10Äkg/m 3). Calcular oempuxo. Adotar g = 10 m /s3.

Supondo a experiência realizada num elevador descendo com aceleraçãoconstante de 2 m/s-, calcular o empuxo.

21. CESGRANRIO — Considere as fases sucessivas de uma experiência realizada com uma balança de braços iguais, um recipiente contendo água eum sólido. Na fase I, equilibra-se tão-somente o recipiente com água. Nafase II, a balança está equilibrada com o sólido suspenso e mergulhado naágua. Na fase III, a balança está equilibrada com o sólido no fundo dorecipiente (o fio de suspensão foi rompido).

A densidade do corpo sólido em relação à água é igual a:a) 1,3. d) 1,6. b) 4,0. e) 10.

c) 6,0.

22. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA — Um cubo de metal de10,0 cm de aresta pesa 49 N, Se o mergulharmos em um líquido de massaespecífica 2,0 . 10:! kg/ni3, que não ofereça resistência viscosa, e o abandonarmos, sua aceleração, enquanto estiver totalmente imerso, será de:(Dado: g = 9,8 m/s-.)

a) 58 m/s-,b) 5,8 m/s*’.

d) 3,9 m/s2.e) 0,6 m/s2.



23. CESCEA — Considere um recipiente com um líquido, submetido a imut

aceleração vertical a, dirigida para cima. Sendo h a profundidade do líquidoe n sua massa específica, a variação da pressão com a profundidade e

dada por:

24. FEI — Uma esfera maciça de raio Tt = 15 cm e densidade absoluta d = 0,5 g/cm3 está imersa em um tanque contendo água. A densidade da

água é da — I,0 g/c m 3. A esfera é mantida em repouso por meio de umamola, de constante elástica k = IO3 N/m , presa ao fundo do tanque. Determinar a deformação sofrida pela mola na posição de equilíbrio. Supor

g = 10 m /s2.

25. ITA — Na figura abaixo, temos uma pia com um dreno D. M é um pedaço

de madeira, de forma cilíndrica, que se apoia no fundo da pia em perfeitocontato, de modo a tapar o dreno.

Nestas condiçoes. M vedará o dreno:

a) somente se a densidade do líquido for menor do que a da madeira. b) somente se a densidade do líquido for maior do que a da madeira.c) se a altura h for uma altura determinada.

d) somente se o diâmetro de M for muito maior do que o de D.e) em qualquer caso.

26. MACKENZIE — Um recipiente

a) p = tih(g - a). b) p = uh(g + a).

d) p = [th V ag.e) Não sei.

contendo água é colocado sobre

O prato de uma balança de mola,

mostrada na figura ao lado. Estaindica, então, a carga P. Um

corpo de peso p é introduzido

no seio do líquido, de maneira anão tocar o fundo do recipiente.Supondo que o citado corpo

sofre um empuxo E por parte

do líquido, a nova indicação da

balança será:



180

27. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA — O bloco visto nafigura pesa, no ar, 5 N. Na situação da figura, a leitura no dinamômetro D é 3 N. Ao retirar-se o bloco do interior do- líquido, a leitura na balança:

a) diminuirá de 2 N, d) diminuirá de 3 N. b) aumentará de 2N . e) aumentará de 3 N.c) aumentará de 5 N.

28. UNIVERSIDADE DE SERGIPE — Uma esfera de chumbo afunda verticalmente na água. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a intensidade do empuxo (E) exercido sobre a esfera, em função de sua profundidade (h)?

29. FEI — Um cilindro de altura h = 10,0 cm flutua em água, com sua base superior a 1 cm da linha d’água. Qual a menor espessura de umacamada de óleo que deve ser sobreposta à água, a fim de o cilindro ficartotalmente submerso? Supor a secção S do cilindro bem menor que a super



182

32. MACKENZIE — Um corpo metálico pesa 500 N no ar e 450 N quandosubmerso em água com densidade p, .= 103 kg/m :í. Sendo g = 10 m /s2,

o volume do corpo e a densidade relativa do metal são, respectivamente:

a) 5,0 ê e 10. d) 10,0 f e S , b) 4,5 ( e 5. e) 4,0 £ e 5.

c) 4,0 ê e 10.

33. MACKENZIE — Um bloco, com as dimensões indicadas na figura e feitode um material cuja densidade é 0,2 g/cm;1, flutua em água pura, servindo

como ponte. Quando um caminhão passa sobre ele, o volume da parte

submersa é 25% do volume do bloco. Desse modo, podemos afirmar que

a massa do caminhão é de:

a) 2 000 kg. d) 20 000 kg. b) 4 000 kg. e) 36 000 kg.

c) 16 000 kg.

34. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um bloco de alumínio pesa, no ar,

67,5 gf e, quando mergulhado em água, 37,5 gf. Sabendo que a densidade

do alumínio é 2,7 g/cm;l, o volume da parte oca do bloco é de:

a) 5,0 cm3. d) 41 cm3.

b) 25 cm3. e) Nenhuma das respostas anteriores.

c) 30 cm3.

35. MAPOFEI — Uma pequena esfera dc vidro penetra vertical mente com velo-

cidade v = 0.5 m/s, numa cuba de mercúrio. Quanto tempo leva para a es-

fera ser devolvida ao ar? Com que velocidade é devolvida? Despreze o atrito

da bola com o mercúrio e adote, parà os cálculos, Pmlrc,*,rio — 14g/cm3,

fividro = 4g /cm 3 c g — 10,0 m /s2.

36. MEDICINA DA SANTA CASA — Um corpo maciço pesa, no vácuo, 15 N

e, mergulhado na água, tem peso aparente de 10 N. Sendo g = 103 cm /s2

e a densidade da água 1 g/cm:i, a densidade média do corpo, em g/cm3,é de:

a) 1,5. d) 3,0.

b) 2,0. e) 5,0.



37. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ — Um cubo de madeira de massaespecífica 0,8 g/cm8 flutua em um líquido de massa específica 1,2 g/cm 3.A relação entre as alturas emersa e imersa é:

a) 2/3. d) 0,5. b) 2. e) 3/2.c) 1,5.

38. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ — Uma esfera sólida flutua emágua, de modo que o volume emerso é igual ao imerso. Pode-se prever que:

a) o peso da esfera é de 0,5 N. b) o diâmetro da esfera é de 1 cm,c) o peso da esfera é de 1 N.

d) a massa específica da esfera c igual à da água.e) a massa específica da esfera é igual a 0,5 g/ cm3.

39. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA — Para retirarfacilmente as sementes do suco de um limão espremido, adiciona-se umacolher de açúcar ao suco, fazendo as sementes flutuarem. Assinale o autordo princípio ou lei física envolvido no fenômeno mencionado.a) Von-Guerick. d) Newton,

b) Torricelli. e) Arquimedes.c) Pascal.

40. PUC (RIO DE JANEIRO) — Calcule a relação entre o volume imerso e ovolume total de um objeto maciço de densidade igual a 0,5 g/cm3, queflutua na água (densidade 1,0 g/cm3).

41. PUC (SÀO PAULO) — Um iceberg de densidade 0.92 g/cm3 tem a formade um paralelepípedo retângulo de 50 cm de altura e flutua na água. cujadensidade é de 1g/cm3. Para que o iceberg fique totalmente submerso ecom a superfície superior ao nível da superfície livre da água, quando uma

carga de 50 kg é colocada sobre ele, a área da base do iceberg deve ser de:a) 12 500 cm3. d) 62 500 cm2. b) 1 000 cm2. e) 8 000 cm2.c) 1 250 cm2.

42. FUVEST --- Um objeto cilíndrico é formado por um cilindro de madeiracom massa de 1 kg e um cilindro de ferro com massa de 1 kg de mesmodiâmetro, colados pela base. O objeto é colocado num tanque com água.Em relação à água, a densidade relativa da madeira é 0,5 e a do ferro é7,5. A situação final de equilíbrio é mais bem representada por:



184

43. FUVEST — Um cilindro de 200 g é pendurado em uma mola e produznesta uma distensão de 10,0 cm. A seguir, o cilindro é totalmente mergulhado em um frasco com água e observa-se que a distensão da mola diminui

para 5,0 cm. Qual o volume do cilindro?Dados: g = 10,0 m /s2; massa específica da água = 1,00 g/cm3.

44. PUC (SÃO PAULO) — Um bloco de madeira flutua na água com metadede seu volume submerso e, no óleo, com 3/4 de seu volume submerso.A relação entre as densidades da água e do óleo (da/d a) vale:a) 3/4 . d) 3/2.

b) I. e) 2/3.c) 1/2.

45. ENGENHARIA DE ITAJUBÂ — Um recipiente, contendo algumas esferas de aço, flutua na água que enche um segundo recipiente até uma cota H,medida a partir do fundo deste último. Retirando as esferas do recipienteflutuante c imergindo-as diretamente na água, teremos um valor maior oumenor para H?

46. PUC (SÃO PAULO) — O esquema abaixo representa uma laia'que flutuaem água, de densidade I g/cm:t. A altura da parte emersa é de 15 cm e o

corpo pendurado ao seu fundo é um bloco de forma cúbica de 10 cm dearesta. Sabendo que a base da lata é um quadrado de 20 cm de lado, se o bloco for introduzido dentro da lata a altura da parte emersa:

a) não é alterada. d) passa a ser de 12,5 cm. b) passa a ser de 17,5 cm. e) O sistema afunda.c) passa a ser de 14,5 cm.

47. MEDICINA DA SANTA CASA — Um submarino tem peso P e volume V'.Para ele submergir, um grande compartimento de lastro, de volume V, écheio com água, de densidade \i. Seja g a aceleração da gravidade. A



a)(P + pVg - pV'g)

(P/g + pV)

(P - pV'g)(p/g + ^ v T(P + pVg - jiV'g)

~” (P/gj-

4H. ENGENHARIA MAUÁ — Um recipiente contém dois líquidos imiscíveis,de densidades dA e dB. lima esfera oca, de raios interno R, e externo Rc,quando vazia, flutua na superfície do líquido A com metade de seu volume

imerso. Ao ser preenchida com um terceiro líquido C, a esfera passa aflutuar na superfície de separação de A e B, com metade de seu volumeem cada um dos líquidos. Determine:

a) a densidade do material da esfera.

b) a densidade do líquido C que preencheu a esfera. Desprezar o empuxodo ar.

4Dado: Ves[ = ------ ji;Rs.

3

49, PUC (RIO DE JANEIRO) — Um recipiente fechado contém água, naqual está imersa uma rolha de cortiça ligada ao fundo do recipiente porum fio. Se o recipiente estiver no interior de uma nave espacial cm

movimento circular c uniforme em torno da Terra, qual das afirmativasabaixo é correta?

a) O empuxo sobre a rolha é igual a seu peso; o fio ficará tensionado. b) O peso da rolha é maior que o empuxo que ela sofre; o fio ficará ten

sionado.c) O peso da rolha é menor que o empuxo que ela sofre; o fio não ficará

tensionado.ii) O empuxo sobre a rolha é nulo; o fio não ficará tensionado.c) O empuxo sobre a rolha é maior que seu peso; o fio ficará tensionado.

(P - pV'g)

(P/g + pV)


186

50. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Um pequeno frasco, contendo bolinhas de chumbo, flutua na água contida em um frasco maior (situa--ção 1). Jogando as bolinhas de chumbo dentro da água e colocando o

pequeno frasco ainda a flutuar (situação 2), teremos que h-, < porque aágua deslocada pelo pequeno frasco e as bolinhas é maior na situação 1do que na situação 2.

a) As duas afirmativas são corretas e a segunda é a causa da primeira. b) As duas afirmativas são corretas mas a segunda não é a causa da primeira.

c) A primeira afirmativa é correta e a segunda é errada.d) A primeira afirmativa é errada e a segunda é correta.e) As duas afirmativas são erradas.

51. MEDICINA DE ITAJUBÁ — O empuxo E'exercido por um líquido variacom o volume submerso V, de acordo com qual dos seguintes gráficos?



187Síãávôfââaz

52. MEDICINA DE SANTO AMARO — Um cilindro de madeira de densidade 0,60 . I03 kg/m a flutua em óleo de densidade 0,80 , IO3 kg/m 3. Afração do volume do cilindro que fica submerso no óleo é:

a) 0,52. d) 0,81. b) 0,63. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 0,75.

53. ARQUITETURA DE SANTOS — Dois blocos, um de madeira e outrode ferro, ambos de mesmo volume, encontram-se completamente submersoscm água. Qual está sofrendo maior empuxo? Por quê?

a) O de madeira. Porque é mais leve. b) O de ferro. Porque é mais pesado.

c) O de madeira. Porque madeira é menos densa que ferro,d) Ambos estão sofrendo o mesmo empuxo. Porque têm o mesmo volume.e) Nada se pode afirmar. Faltam informações a respeito das profundidades

relativas dos blocos.

54. PUC (SÃO PAULO) — Umaesfera de densidade flutuaentre dois líquidos de densidades respectivamente iguais a d;,

e d3. A linha de separação doslíquidos passa pelo centro daesfera. Com relação às densidades d1( ds e d3 pode-se afirmar que:

a) dx = d2 + d3.

b) dj =; d2 —d3.

c) di = 2(da + d3). e) Nenhuma das anteriores.

55. ENGENHARIA MACKENZIE — No sistema esquematizado, as poliase os fios são ideais; desprezam-se as forças de atrito. Os corpos A e Btêm massas respectivamente iguais a 1,5 g e 4,8 g. O corpo A permaneceem repouso totalmente imerso na água, cuja massa específica é 1 g . cm -3.Assim, a massa específica do corpo A é:

a) 1/5 g . cm~3.b) 5/11 g , cm-3.c) 5/3 g . cor3d) 3 g . cm-3,c) 5 g . cm- 3



188

56. MAPOFEI — A figura a seguir mostra dois corpos A e B de 10 kg demassa cada um, presos a um fio flexível, ínextensível, identificado pelonumero 2, que passa por uma polia de eixo fixo e de massa desprezível,

O corpo A tem volume de 10 000 cm3 e está imerso num líquido de massaespecífica 1000 kg/ms. O fio 1 que mantém inicialmente o sistema emequilíbrio é cortado num determinado instante. Desprezando a massa dosfios e adotando nos cálculos a aceleração da gravidade de 1 0m /s2. determinar:

a) as intensidades das forças de tração nos fios 1 e 2 antes de cortar o fio 1.

b) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema, logoapós o corte do fio 1.c) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema após

o corpo A sair compleíamente do líquido.

57. PUC (SÃO PAULO) — O sistema representado na figura encontra-se emequilíbrio. Os fios são incxtensíveis e sem peso, os atritos nulos, c cada polia pesa 2 newtons. O corpo A tem massa irr, .= 1 kg c o corpo B, devolume V, - I0— :!m:i, apóia-se sobre quatro molas idênticas, de constante

elástica k = 1,5 N/cm, c de volumes desprezíveis. Estas molas estãoapoiadas no fundo de um tanque T. A aceleração da gravidade valeg = 10m/s-. Cada mola sofre uma deformação AL, = 2 cm. A massa m,do corpo B vale:

fio 1

a) 3 kg. b) 5 kg.c) 8 kg

d) 10 kg.e) 12 kg.



189

58. PUC (SÃO PAULO) — Na questão anterior, o corpo B é totalmenteimerso em um líquido que foi introduzido no tanque, e cuja densidade éPi- Verifica-se que A desce 2 cm. Neste caso, a densidade do líquido

vale, em kg/trri:a) 300. b) 400. c) 500. d) 600. e) 700.

59. PUC (SÃO PAULO) — Ainda na questão 57, se o fio que liga o corpo B(totalmente imerso) à polia se romper, cada mola sofrerá uma deformação AL, cm cm, igual a:

a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

60, PUC (SÃO PAULO) — Um depósito de massa 10 kg flutua num líquido,

contendo 90 kg do mesmo líquido. Supondo desprezível a espessura das paredes do depósito, determinar a relação x/y .

61. PUC (SÃO PAULO) — Um corpo flutua na água, ficando 1/4 de suamassa emersa. A massa específica do corpo é cerca de:

a) 0,25 g/cnv*. d) l,00g/c m 3. b) 0,50 g /cm:i. e) Nenhuma das anteriores.c) 0,75 g/cniL

62. PUC (SÃO PAULO) — Um fioflexível e de peso desprezível passa, sem atrito, por duas polias

A e B fixas, e sustenta, em umade suas 'extremidades, um corpode peso 40 N e, na outra, umcorpo de peso 30 N. Um terceiro corpo, de peso P, é sus penso num ponto C do fio, entreas polias, de sorte que o ânguloformado pelos trechos AC e CBdo fio é de 90°, na situação de

equilíbrio. O corpo de peso Pestá imerso em água e tem oformato de um paralelepípedo,de base quadrada, cuja área da

base vale 10_ - m-'. A altura tem

imersos na água. Sendo a densidade da água igual a 10:t kg/m ;t e g (aceleração da gravidade) igual a 10 m /s 2, então o valor do peso P, em newtons, é:

a) 50 b) 70 c) 60 d) 80 e) 100



190

63. MAUÁ — Uma esfera maciça homogênea, de raio R = 0,13 m, flutua com metade de seu volume submersa num líquido de densidade d — = 1.15 . 10:!kg/m3. Retirada desse recipiente e colocada num outro, que

contém outro líquido, a esfera flutua com 1/3 de seu volume submerso.Calcule:

a) a densidade do segundo líquido. b) a massa da esfera.

64. FEI — Dois recipientes prismáticos, cujas bases têm áreas S[ = 1,0 m2 eS, = 3,0 m2, respectivamente, comunicam-se entre si por meio de um tuboc contêm água até um certo nível. Coloca-se dentro do recipiente de base §! um sólido de volume V = 0,5 m3 e densidade d = 0,8 g/cm3.Calcular a elevação do nível de água em cada um dos recipientes. Adotara densidade da água igual a 1,0 g/cm3.

65. MEDICINA DA SANTA CASA — Um barqueiro dispõe de uma chataque permite o transporte fluvial de cargas até 10 000 N. Ele aceitou umtrabalho dc traslado de um lote de 50 barras maciças de ferro (10 g/cm3)de 200 N cada. Por um erro de contagem, a firma enviou 51 barras. Nãoquerendo perder o freguês, mas também procurando não ter prejuízo comduas viagens, o barqueiro resolveu amarrar um certo número n de barrasembaixo do barco, completamente submersas. Qual o número n mínimo para que a travessia das 51 barras pudesse ser feita numa só viagem?(g = 10m/s2.)

a) 1

b) 5c) 10d) 50e) Nenhuma das respostas anteriores.

66 . UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA — Para que o equilíbrio dc um navio seja estável, é preciso que:

a) o centro de empuxo coincida com o centro de gravidade do navio. b) o centro de gravidade coincida com o metacentro do navio.c) o centro de gravidade e o centro de empuxo sejam coaxiais.d) o metacentro esteja acima do centro de gravidade do navio.e) Nenhuma das respostas anteriores.

67. FESP — Para que um barco tenha equilíbrio estável dentro da água, énecessário que:

a) seu centro de gravidade fique abaixo do centro de empuxo. b) o volume submerso seja maior que o volume emerso.c) seu centro de gravidade fique ao nível da água,d) seu centro de gravidade fique acima do centro de empuxo.e) a massa submersa seja maior que a massa emersa.



191

68. MAPOFEI — Num tambor cilíndrico de massa desprezível, de raio R = 0,20m e volume V = 1,0 ms, coloca-se um corpo de massa mA = 500 kg,

que pode ser considerada concentrada em A, ponto médio de uma geratriz,

como indicado na figura 1. Considere as situações representadas nas figuras 1, 2 e 3, em que o tambor se encontra parcialmcnte submerso em

água (densidade da água = 1 000 kg/ m3).

fios flexíveis,

inextensíveis

vínculos fixos

a) Nessas situações, o tambor estará em equilíbrio? Em caso afirmativo,ele será estável, instável ou indiferente? Justifique. (Indique as respostas

a u % e a3 com referência às figuras 1, 2 e 3, respectivamente.)

b) Quais as forças Flf F2, F;s e F4 em cada um dos fios que ligam o tambor

da figura 3 com vínculos fixos?

69. MACKENZIE — A figura ilustra um reservatório contendo água. A 5 m

abaixo da superfície livre existe um pequeno orifício de área igual a 3 cm2.

Admitindo g = 10 m /s3, podemos afirmar que a vazão instantânea atravésdesse orifício é de:



70. PUC (CAMPINAS) — Um tanque de água que repousa no chão tem dois pequenos furos, um em cima do outro, perfurados do mesmo lado. Osfuros estão a 3,6 cm e 10 cm do chão. Qual a altura de água no tanque

quando os jatos dos furos atingem o chão no mesmo ponto?

192

a) h = 8,4 cm. b) h = 13,6 cm.c) h = 20,0 cm.

71. MEDICINA DE TA UB ATÉ — Ocom secção de 2 cm- (área da basede 0,5 cnrVs. Que velocidade deve

a) 0,25 cm/s b) 0,5 cm/sc) 0,75 cm/s

d) h = 10,0 cm.e) n.d. a.

conteúdo de 10 cm3 de uma seringado êmbolo) deve ser injetado à razãoser imprimida ao êmbolo?

d) 1.0cm/se) 1,5 cm/s

72. MACKENZIE — Seja uma caixa com água, como mostra a figura abaixo.

Sabendo-se que a vazão através do orifício A, de k cm-, é de 10:!rr cnrVs,o desnível h será de:

a) 2 m. b) 1 m.



193

73, UNIVERSIDADE FEDERAL DO RARANÁ — A água contida em umreservatório se escoa à razão de 2 litros por segundo, através de umaabertura situada no fundo deste. A superfície do líquido em contato coma atmosfera mantém-se a 3,60 m do fundo do reservatório. Se a pressão

na superfície for acrescida de 8 kgf/cm2, a velocidade de escoamento aumentará para:

1atm 1atm + 8 kgf/cma

1

d) 12,4 litros/segundo.e) 16,0 litros/segundo.

— A viscosidade de

a) 4,0 litros/segundo. b) 7,2 litros/segundo.c) 9,2 litros/segundo.

74. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

um fluido está relacionada com:a) o atrito entre as moléculas do fluido.

b) 0 atrito entre o fluido e as paredes do recipiente.c) o equilíbrio do fluido.d) o peso específico do fluido.e) Nenhuma das respostas anteriores.

75. 1TA — No frasco com água representado na figura abaixo, R é um tubo

oco cuja parte inferior está imersa na água. A velocidade v da água quesai pelo orifício lateral do frasco é dada por:

a) v = V 2gH. b) v = V 2gy.c) v = V 2gd.



194

76. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Se um pequeno furo horizontal forfeito na parede vertical de um reservatório que contenha um líquido ideal(sem viscosidade), um filete de líquido escoará pelo furo, e sua velocidadeinicial terá intensidade v — V 2gh.Considere o movimento do fluido como o de um projétil lançado no

•—►

vácuo, desde o furo, com velocidade v.Se desejarmos que o filete incida em um ponto G o mais afastado possívelde F, o furo deverá ser feito em uma altura tal que:

F

2 Ia) h = ------H. d) h = -------H.

3 2

1 3 b) h = — H. e) h = ------- H.

4 4

1cj h ---------H.

3

77. MACKENZIE — A tampa de um buraco dc lí)“ 4 m- de secção na paredelateral vertical dc um aquário se solta. Sendo a massa específica da água

jt = !0:i kg /m :i e a aceleração da gravidade g == 10 m/s-, estando o nívelda água l,0m acjma do buraco e o aquário sobre uma superfície horizontalde atrito desprezível, a força que se deve aplicar ao aquário para impedirque o mesmo deslize é de:

a) 2 N. b) 1 N.c) 1/2 N.d) 4 N.e) Nenhuma das anteriores.



1. c 2. d 3. e 4. e 5. d 6 . d 7. b 8 . c 9. b

10. E « 6,61 . 10-2 n

11. a (Admitindo que as esferas sejam maciças.)

12. a 13. c 14. e

15. a) E - 1000 dyn;

F = força de resistência da água;—>P = peso; —>E = empuxo.

17. c

in. F = 120 N, vertical, para cima.

19. a

20. a) Líquido em equilíbrio: E = 1 N; b) Líquido com aceleração: E = 0,8N.

21 b

196

22 . b (aproximadamente)

23. b

24. x » 7 cm

25. e 26. d 27. a 28. a

29. Espessura mínima = 5 cm.

30. d 31. e 32. a 33. b 34. a

35. A esfera levará 0,04 s para retornar à superfície e o fará com avelocidade de 0,5 m/s.

36. d 37. d 38. e 39. e

40. Volume imerso/volume total ——.2

41. a 42. c43. V - 100 cnv1

44. d

45. Ao retirarmos as esferas de dentro do recipiente, imergindo-as diretamentena água. teremos um valor menor para H.

46. d 47. a

K 48. a) d = --------------- •---- dA;

2(f\a - R?)*1

b) dc = ---------dB.

2R;1

49. d 50. a 51. a 52. c 53. d 54. d 55. e

.56. a) T, = 100 N. T\, = 0;

b) T, =: 50 N, a = 5 m/s2;

c) To — 100 N, a = 0.

57. a 58. d 59. b

y 10

61. c 62. c

63. a) d; «1,73 . 10'< kg/m;!:b) m « 8 kg.

64. x = 0,1m

65. c 66 . d 67. d

68 . - * não há equilíbrio;

a.,— »hã equilíbrio estável;

a3 -» há equilíbrio estável enquanto as ligações forem mantidas;

4

69. b 70. b 71. a 72. d 73. c 74. a 75. d 76. d 77. a



P A R T E I I I

GRAVITAÇÀO



u da Oravi tacãoe i ô



Histórico Até o século XVI, os acontecimentos relacionados com os movi-

mentos dos corpos no espaço cósmico eram explicados levandosesempre em conta o sistema geocêntrico. O sistema geocêntrico é

um modelo de visão do mundo que admite a Terra no centro do

universo e os demais planetas, a Lua e o Sol girando ao seu redor.

Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo e matemático do século

II d. C., foi, sem dúvida, o mais famoso dos defensores deste sistema.

No século XVI, em 1543, o monge polonês Nicolau Copérnico

expõe as bases do sistema heliocêntrico. O sistema heliocêntrico é um modelo de visão do mundo que admite o Sol no centro do uni-

verso e os planetas girando ao seu redor em trajetórias circulares.

Entre os adeptos do sistema heliocêntrico estava JohannesKepler, astrônomo e matemático alemão. Kepler, manipulando um

rico acervo de dados astronômicos deixados por seu mestre, o dina-

marquês Tycho Brahe, o mais famoso astrônomo europeu no século

XVI, chega a notáveis leis empíricas sobre o movimento dos planetas.

Leis de Kepler

A análise de Kepler resultou em três leis empíricas, eminente-

mente descritivas, do movimento dos planetas. As duas primeirasforam apresentadas em 1609, em sua obra Astronomia Nova (a lei

das órbitas e a lei das áreas), e a terceira, em 1619 (a lei dos períodos),

em sua obra Harmônica Mundi.

• 1." lei: Lei das Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas * em

torno do Sol, que se encontra em um dos focos.

* Ver prancha matemática na p 211

200

Esquema do Sistema Solar

- - - —O ;Plutão

cNetuno

' J ' Saturno — - ^~ © u « t o s

' ' ' ' S r - \ \, ' ( ' Terra

/\

/ // ' I

' f Marte '

* V ' ' \ '( I / MercúrioI . / // - . <xx I t ' / r \ \ I I 1, : í Sol Venus , i I , , > a u i * v > .. w w , /

\ ̂ ■ " ' / ' ' v V s

\S "v

--- —* /

• 2.‘ lei: Lei das Áreas

O segmento imaginário, que une o Sol ao planeta,"varre” áreas iguais em tempos iguais.

Se At j — AL — Aj —A2.

Conseqüência: Se as áreas assinaladas são iguais, o arco maior AB deverá ser descrito no mesmo tempo que o arco menor CD. Logo, a velocidade em AB (próximo ao Sol) deve ser maior que a

velocidade em CD (longe do Sol).



Concluímos, então, que o planeta é mais veloz no periélio (maispróximo do Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).

movimento acelerado

Sol

00

/

. * J /

s

y *

movimento retardado

Esta lei é de grande importância, pois dela se conclui que osplanetas não se movem ao redor do Sol com velocidade constante,

como se acreditava até então. À medida que o planeta se aproximado Sol, sua velocidade aumenta, e, à medida que ele se afasta, suavelocidade diminui. Por isso, esta segunda lei é também conhecidacomo Lei das Velocidades.

(M&vaftfa _______________________________________________ Alguns autores preferem se referir a esta lei dizendo que "a velocidadeareolar do planeta é constante". Por velocidade areolar se entende oquociente entre a área varrida (A) e o tempo gasto em varrê-la (At).



202

• 3.* lei: Lei dos Períodos

Os quadrados dos períodos de revolução

dos planetas são proporcionais aos cubosde suas distâncias médias ao Sol:

T2 = Kd:i

TSol

d

T — período de revolução do planeta ao redor do Sol (mais comu-

mente denominado de ano do planeta),

d — distância média do planeta ao Sol = medida do semi-eixo maiorda elipse.

K — constante de proporcionalidade que depende da massa do Sol,

não dependendo do planeta em questão.

Esta lei é válida para qualquer planeta e permite concluir que,

quanto mais distante do Sol se encontrar um planeta, maior será o

seu período de revolução, isto é, maior o seu ano.Observe o exemplo a seguir, onde analisamos o comportamento

de dois planetas em seus movimentos ao redor do Sol.

B

Saturno

/

/ Sol

A

/Terra



203

O período de revolução de um planeta

sua órbita.

Para o planeta A (no exemplo, a Terra)

Para o planeta B (no exemplo, Saturno)

Tb /d »

(o seu ano) depende de

temos: t : = Kd:

temos: Tb = Kd:

t

1. As leis de Kepler só têm sentido num referencial fixo em relação aoSol. conhecido como referencial de Copérnico. Isto significa que daquida Terra não temos condições de perceber o que Kepler diz em suas leis.

2. A distância média da Terra ao Sol denomina-se unidade astronômica (UA) e é usada como escala do Sistema Solar.

1 UA = 1,49 . 10“ m

3. A tabela seguinte indica as excentricidades das órbitas elípticas dosplanetas (vide prancha matemática — Elipse — na p. 211). Comexceção de Mercúrio e Plutão, as excentricidades são inferiores a 0,1. Istosignifica que, em primeira aproximação, podemos admitir as órbitas dosplanetas do nosso Sistema Solar como circulares, para efeito prático.

Mercúrio fs

tr Plutão

Sol Vénus

Terra «I

Lua

Júpiter

J Marte

f

+Saturno

UranoNetuno

Em primeira aproximação podemos admitir as órbitas dos planetas como circulares



204

Planeta Excentricidade da órbita

Mercúrio 0.206

Vénus 0,007Terra 0,082Marte 0,093Júpiter 0,048Saturno 0,056Urano 0,047Netuno 0,012Plutão 0,246

I Complementos

1) Dados referentes ao Sistema Solar

• Apresentamos a seguir a tabela indicativa de alguns dados refe-

rentes ao Sistema Solar:

1 UA (unidade astronômica) = 1,49 . 10u m « 150 milhões de km

1 ano terrestre — 365,2 dias = 3,16 . 107s

Massa da Terra = 5,98 , IO"1kg

Período da Lua ao redor da Terra = 27,3 dias

AstrosDistância média ao Sol (em UA)

Período de revolução em torno

do Sol (em anos terrestres)

Massa em relação à Terra

Mercúrio 0,387 0,241 0,056

Vénus 0,723 0,615 0,815

Terra1,000 1,000 1,000

Marte 1,523 1,881 0,107

Júpiter 5,202 11,865 317,881

Saturno 9,554 29,650 95,168

Urano 19,182 83,745 14,602

Netuno 30,058 165,951 17,251

Plutão 39,400 247,687 0,095

Sol — — 332 945

1

81,3Lua — —

• Escala de tamanho dos planetas:

AsterótdesNetuno

t € í í

Saturno

•;* ' g

Terra

í « c

Mercúrio

Sol



205

• Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa "faixa de asteróides",

onde existe um grande número de planetóides. Sua descoberta foi

feita peio astrônomo siciliano Piazzi, a 1.° de janeiro de 1801, por mero

acaso,

• Os planetas que possuem satélites conhecidos são: Terra (um),Marte (dois), Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) e Netuno

(dois).

2) Dados referentes à Terra

• A Terra passa pelo periélio em fins de dezembro, a 147 milhões

de quilômetros do Soi, com a velocidade de 30,2 km/s; e passa pelo

afélio em fins de junho, a 152 milhões de quilômetros do Sol, com

a vetocidade de 29,3 km/s. Como se percebe, o periélio ocorre maisou menos na época do verão brasileiro. Por isso, o verão aqui no

hemisfério suí é ligeiramente mais quente e mais curto que o verão

do hemisfério norte, que ocorre quando a Terra se encontra no afélio.

//

y ? — : ___- (Dezembro)

Início da

Primavera

Periélio

/

As estações do ano para o hemisfério sul (caso do Brasil).



206

Leitura complementar

Um pouco de história da FísicaA

O século VI a. C. — século de Buda, Confúcio, dos filósofos jónicos e dePitágoras — constitui um dos marcos da história da espécie humana. Era oinicio da grande aventura: a indagação das explicações naturais e causas Iracionais para os fenômenos físicos.

O "disco terrestre", que flutuava sobre as águas, segundo os babilônios, )egípcios e hebreus, passa com o jónico Anaximandro a ficar no centro domundo, suportado por nada e rodeado de ar. Com a Escola Pitagórica o discofaz-se bola esférica. Em torno dela, o Sol, a Lua e os planetas giram em J|jcírculos concêntricos, cada um preso a uma esfera ou roda (sistema - *geocêntrico). Durante a revolução eles emitiriam sussurros musicais em

harmonia, a "Harmonia das Esferas".Filolao, discípulo de Pitágoras, atribui, em seguida, movimento ao nosso

globo. A Terra passou a ser transportada pelo ar. Heráclides do Pontoaceitava a rotação da Terra em torno de seu eixo, explicando assim o girodiário do céu; não explicava, porém, o movimento dos planetas.

Aristarco, o último da linhagem dos astrônomos pitagóricos, proclama,no século III a. C., que o Sol é o centro do universo e não a Terra, e que emtorno defe giravam todos os planetas (sistema heliocêntrico). É ocoroamento da cosmologia pitagórica.

Pelo fim do século III a. C., ou seja, de Platão e Aristóteles para frente,a ciência natural entra em decadência. Platão é avesso ao mundo visível,concreto, e Aristóteles reassume o geocentrismo. Ambos promovem a idéiado movimento circular como dogma da Astronomia.

No século II d. C„ aparece Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo ematemático, que desenvolveu a maior parte de seu trabalho em Alexandria,Egito. Em sua obra— O Almagesto (composta de 13 volumes) — Ptolomeucompleta as idéias de Apolônío (século III a. C.) e de Hiparco (séculoII a. C.) e descreve o seu modelo de sistema geocêntrico. O Almagestocontinuou a ser a bíblia da Astronomia até o século XVI. Para se ter uma idéia,o catálogo de estrelas fixas de Hiparco e as tábuas de Ptolomeu para ocálculo de movimentos planetários eram tão merecedores de confiança eprecisos, que serviram de guia de navegação a Colombo e Vasco da Gama.Hiparco calculou a distância da Terra ô Lua e errou em apenas 0,3 por cento,

Apesar do seu gigantismo, os astrônomos alexandrinos não viram aquiloque Heráclides e Aristarco tinham visto antes e que Copérnico retomariamais tarde, ou seja, que os movimentos dos planetas eram governados peloSol. Não viram (ou não quiseram ver), obstinados que estavam em defenderas idéias de Platão e Aristóteles, que geravam o medo da mudança, o desejo

da estabilidade e a permanência numa cultura que ia aos poucos sedesintegrando. O círculo era a imagem desta estabilidade.

Santo Agostinho torna-se, no século V d. C., com suas obras Confissões e Cidade de Deus, o símbolo da fusão entre a Antiguidade Clássica e aEuropa Medieval.

A Igreja Católica passa, então, a determinar todo o clima cultural e o doensino. A idéia da esfericidade da Terra, que vinha de Pitágoras, foi postade lado. A cosmologia desse período volta diretamente aos babilônios e



207

hebreus. Dominam-na duas idéias principais: que a Terra tem o formato doSanto Tabernáculo e que o firmamento está envolvido em água. É nessaépoca que surgem os anjos, e supõe-se que estejam presos às esferas das

estrelas e dos planetas para mantê-los em movimento, e os demônios, parabaixo, numa repetição das esferas celestes, até chegarem a Lúcifer, nocentro da Terra. Nesta fase não há lugar para mudanças. Não há evolução dasespécies biológicas, não há progresso social. O universo é estático. O homempode aspirar a uma vida superior ou condenar-se a outra inferior. Mas sóirá para cima ou para baixo após a morte. A Idade Média leva a extremos deobsessão a Filosofia platônica.

No século IX, João Scot adota novamente o heliocentrismo e as idéias deHeráclides e Aristarco retornam.

Passam a coexistir nessa época os dois sistemas: o de inspiraçãogeocêntrica para efeito teórico e concorde com a visão religiosa oficial(assumindo a Terra a forma de tabernáculos ou afins) e o de inspiraçãoheliocêntrica para fins práticos, usado inclusive em viagens marítimas (a Terraassume a forma esférica). É uma época ambígua, instável.

A partir do século XII, a Europa começa lentamente a recuperar a herançado passado. Os trabalhos de Arquimedes, Euclides, Aristóteles e Ptolomeusão redescobertos. O desenvolvimento das cidades e das comunicações comcerteza exerceram papel fundamental nesta gradativa mudança de clima

intelectual e diminuição do clima de terror apocalíptico dos séculos anteriores. A nova aliança entre a cristandade e o aristotelismo, concluída sobos auspícios de Tomás de Aquino, deu corpo a essa mudança de atitudecientífica, a essa nova tentativa de redescobrir a natureza.

Aristóteles, como sabemos, se preocupou com o movimento e fez estudose análises a respeito, embora bastante falhos: tudo quanto fosse pesadotendia para o centro, que é seu lugar natural; tudo quanto fosse fluido, comoo fogo e o ar, tentava afastar-se dele; os astros, nem pesados e nem fluidos,

e de natureza inteiramente diversa, moviam-se em círculo em torno dele.Entretanto, ele sai valorizado: a primeira prova da existência de Deus, deTomás de Aquino, se fundamentava inteiramente na Física aristotélica —Deus como causa primeira do movimento.

No século XVI, em 1543, com seu livro sobre as Revoluções das EsferasCelestes, o cônego polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) retoma o sistema heliocêntrico, admitindo que o movimento ao redor do Soí fosse circular euniforme. Como já vimos, o sistema heliocêntrico não era, então, umanovidade: já houvera outros defensores dele. O trabalho de Copérnico pode

ser considerado, inclusive, aristotélico, pois em diversas passagens ele aceitaa priori a naturalidade de determinados eventos (o movimento circular, porexemplo). Seu grande mérito está em deixar implícita a idéia do espaçoInfinito e descentralizado (pois admite que a gravidade não é inerente apenasà Terra). Conseqüentemente, os sentimentos de estabilidade, de repouso, deordem se vão. O homem passa a ocupar posição periférica e. portanto,secundária. A intimidade homem-divindade, que existia até então com aconsideração de um universo finito, desaparece,

É bom frisar entretanto que somente um século depois no século XVII



208

Pesquisas posteriores mais aprofundadas, devidas principalmente aoastrônomo dinamarquês Tycho Brahe (15461601), revelaram que o movimentodos planetas não se ajustava bem dentro desta concepção de círculos lconcêntricos. Eie chegou, inclusive, a propor um sistema “ misto" entre

geocentrismo e heliocentrismo.

Estando mais preocupado com as observações e medidas diretas, não chegouTycho Brahe a fazer qualquer tentativa de análise teórica desses resultados,tarefa essa que coube a seu assistente Johannes Kepler [15711630], que com

ele trabalhou durante seus últimos anos de vida. Kepler era ardente defensordo sistema copernicano (heliocêntrico) e tornouse um dos baluartes daFísica clássica.

Lei da Gravitação Universal

Por volta dos meados do século XVII os conhecimentos cientí-

ficos estavam totalmente dispersos. As contribuições dos antigos

gregos, de Nicolau Copérnico, Tycho Brahe, Johannes Kepler e GalileoGalilei estavam isoladas.

Coube ao inglês Isaac Newton (16421727) reunir as idéias cientí-

ficas mais expressivas até então e apresentálas ao mundo.

Foi o que aconteceu em 1687, quando Newton publica sua obra

Princípios Matemáticos da Filosofia da Natureza, um dos mais notáveis

acontecimentos de toda a história da Física.

Tendo por base as leis empíricas de Kepler e os resultados das

experiências de Gáliléo a respeito de objetos em queda livre, Newton

analisou o movimento da Lua em torno da Terra e o movimento dosplanetas ao redor do Sol.

Uma grande capacidade de generalização e um conhecimentoprofundo de Matemática permitiram a Newton descobrir a Lei da

Gravitação Universal:

Dois pontos materiais se atraem à

distância com forças cuja intensidade édiretamente proporcional ao produto de

suas massas e inversamente proporcional ao

quadrado da distância que os separa.

_ . , , _ MmEm símbolos: F = G ---------

da

onde

M, m — massas dos pontos materiais,

d — distância entre os pontos materiais.



â distância ao longo da reta que une os centros dos corpos.

A constante G da gravitação universal vale, no Sistema Inter-nacional:

G 6,67 . 10u N . m2/kg2

e não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualqueroutro meio interposto entre os corpos.

As forças gravitacionais têm, normalmente, intensidade despre-zível tendo em vista o pequeno valor de G em relação às intensidadesdas demais forças trocadas entre os corpos que nos cercam. Paraque a intensidade das forças gravitacionais seja apreciável, pelomenos um dos corpos envolvidos na interação deve ter grande massae. a distância entre eles deve ser relativamente pequena. É o que

acontece com o planeta Terra, por exemplo, e os corpos que seencontram ao seu redor.



210

A intensidade das forças de atração gravitacional entre os objetos

de pequena massa, tais como veículos, casas, árvores, etc., é despre-

zível face à intensidade da força de atração gravitacional que a Terra

exerce sobre eles.

• Corpos esféricos e homogêneos — A Lei da Gravitação Universal

foi estabelecida por Newton para pontos materiais, ou seja, corpos

cujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distâncias

entre seus centros.

Podese provar que quando um corpo é esférico e homogêneo (densidade constante em todos os seus pontos] ele se comporta,

para efeito de cálculo de interações gravitacionais, como se toda sua massa estivesse localizada em seu centro.

Assim sendo, quando estivermos analisando o efeito gravitacionalde um planeta sobre um corpúsculo nas suas proximidades, se fizer-

mos a hipótese de que o planeta é rigorosamente esférico e homo-

gêneo, então ele se comportará como se fosse um outro corpúsculo

localizado em seu próprio centro e de mesma massa.

Leitura complementar

Mais um pouco de história da FísicaContemporâneo de Kepler, o italiano Galileo Galilei (15641642) foi o

responsável pela introdução do método científico na análise dos fenômenosfísicos. O telescópio tornase com ele um instrumento de trabalho cotidiano no

exame do céu.

Galileo descobre, entre outras coisas, os satélites de Júpiter, as manchassolares e as fases do planeta Vénus. Analisou a queda dos corpos, omovimento dos projéteis e estabeleceu o princípio da relatividade dosmovimentos. Criou as bases da Dinâmica clássica, principalmente no que se



Era defensor intransigente do sistema copernicano clássico (heliocentrismocom movimento circular uniforme dos planetas) e não levou na devida contao trabalho genial de Kepler, apesar de ter conhecimento dele na troca de

correspondência que estabeleceram. A maior característica do gênio de Galileo foi combinar a visão

matemática do mundo com a visão empírica, obtida pela observação, pelaexperiência crítica e pela correta experimentação. Esse foi o seu maior legadoaos seus sucessores, principalmente Newton.

Coube a Isaac Newton realizar a síntese das idéias existentes até então.Tal foi o seu gênio que podemos dizer que ele tem desfrutado de umainfluência, de uma autoridade só comparável à de Aristóteles nos dois milêniosanteriores. Mesmo as correções feitas posteriormente por Albert Einstein

(1879-1955) não tiram o grande mérito e utilidade do trabalho de Isaac Newtonaté os nossos dias.

Newton une Kepler e Galileo. A aplicação das leis de Kepler à órbita da Lua, aliada ao estudo do movimento dos projéteis de Galileo, leva Newton à Lei da Gravitação Universal.

Prancha matemática

• Curvas cônicas — A elipse é uma das curvas pertencentes às

"secções cônicas", as quais podem ser definidas como a intersecçãode um cone de revolução com planos de orientação variada.

Círculo: plano de secçãoperpendicular ao eixo do cone.

Elipse: plano de secçãoinclinado de qualquer modo



212

eixo

Parábola: plano de secção paralelo à geratriz do cone. paralelo ao eixo do cone.

Em resumo:

• Construção de uma elipse — A Geometria nos ensina que aelipse pode ainda ser definida como o lugar geométrico dos pontosde um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos [focos)

Para desenhála, você precisa de lápis e papel, dois percevejos,um pedaço de linha ou barbante e uma prancheta de desenho. Fixeos percevejos em dois pontos Fi e F2, conforme a figura. Amarre ofio nos percevejos, tomando o cuidado de deixálo bastante frouxo.Introduza agora a ponta do lápis no fio, até que ele fique bem esticado.

Depois desloque o lápis e faça a curva, mantendo o fio sempre esti-cado, até que o traço feito pelo lápis chegue novamente ao pontode partida e a curva fique fechada. Os pontos onde você localizouos percevejos (F*, Fa) chamamse focos.

Nomenclatura da elipse:

AB — eixo maior.

— ÃBAO — semieixo maior = ------ .

2OFü

e — excentricidade da eiiDse = ------- .OB

Notas:

1) Para uma elipse temse 0 < e < 1.2) A circunferência pode ser considerada um caso particular de

olipse onde e = 0, ou seja, os focos Fi e Fa coincidem em O (centro).



214

1. MEDICINA DE SANTO AMARO — A segunda lei de Kepler (Leidas Áreas) permite concluir que um planeta possui:a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol.

• b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol.c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol.d) velocidade constante em toda sua trajetória.e) n.d.a.

Resolução: Pela segunda lei de Kepler (Lei das Áreas ou Lei das Velo-cidades) temos que: “O segmento imaginário, que une o Sol ao planeta,varre áreas iguais em tempos iguais”.

Daí decorre que, se as áreas sombreadas são iguais, a velocidade notrecho AB (arco maior) deve ser maior que a velocidade em CD (arcomenor). Em outras palavras, à medida que o planeta se aproximado Sol, sua velocidade aumenta, e à medida que ele se afasta, sua velo-cidade diminui. Logo, o planeta é mais veloz no periélio (mais próximo

do Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).


2. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Assinalar a afirmativa correta nosistema planetário:

a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol comocentro.

Aa 1Ato

B



c} A razão do raio da órbita para o seu período é uma constante

universal.

d) A linha que liga o Sol ao planeta descreverá no mesmo tempo

diferentes áreas.

Resolução: Análise das alternativas:

a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol como

foco (Lei das Órbitas). Alternativa errada, portanto, pois afirma

que o Sol é o centro da trajetória.

b) A linha que une o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos

iguais (Lei das Arcas). Portanto, alternativa correta.

c) A Lei dos Períodos nos permite escrever que T2 = Kd3, e daí

decorre que:

d3 1------ = ------- — cte

TH K

Isto significa qne a razão do cubo do raio da órbita para o qua-drado do período é uma constante, c sabese que esta constante

depende da massa do Sol.

A alternativa está duplamente errada, pois além de não especificar

os expoentes do raio e do período, afirma que a constante entre

eles é universal.

d) A linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos

iguais (Lei das . Áreas). Alternativa errada, pois afirma o contrário.


3. MAPOFEI — No Sistema Solar, um planeta em órbita circular de

raio R demora 2,0 anos terrestres para completar uma revolução.

Qual o período de revolução de outro planeta, em órbita deraio 2R?

Resolução: A Lei dos Períodos permite escrever, para qualquer planeta,

T Kd3.

Aplicando esta lei ao l.° planeta, temos Tj = Kd'í (I).

Aplicando esta lei ao 2.° planeta, temos TJ ~ Kd» (II).

Dividindo membro a membro as igualdades (I) e (II), decorre:



216

Pelo enunciado do exercício sabemos que:

T, = 2 ,0 anos terrestres

d, = R

do = 2R

T o =?

Substituindo na expressão (III), decorre, então:

(2,0)2 R3

T2 ~~ 0 R ) 3

E vem:

4,0 p *-------------- = — — ;= >

T2

=> T2 = 32 => T2 = y f T T =>

To ~ 5,6 anos terrestres

Resposta: O período de revolução do outro planeta é de 5,6 anos

terrestres, aproximadamente.

4. MEDICINA DO ABC — Suponhase que a Terra e Plutão executem

movimentos circulares uniformes em torno do Sol, com distânciasexpressas em UA (unidades astronômicas) iguais a 1 e 40, respec-

tivamente. O período de Plutão em torno do Sol, expresso em

anos terrestres, será igual a:

a) 40 V~40. d) 402 ^401

b) 402. e) s/405.c) 40:!.

Resolução: Lembremo-nos inicialmente de que unidade astronômica

(UA) é, por convenção, a distância da Terra ao Sol.

Pela terceira lei de Kepler, T 2 = Kd:t.



Para Plutão, temos Tji = KdP (2).

Dividindo-se (2) por (1):

Sendo Tt = 1 ano, d P = 40 UA e dT= l UA teremos:

o / 40 \ :iTP = l 2 í — —j => Tp = 40:l =>


TP = 40 V 40 anos

217

5. FEI — A força de atração entre dois corpos de massas M e m,separados peia distância r, tem, segundo Newton, a intensidadeF = GMm/r2. O valor de G para um corpo na superfície da Terra,é 6,67 . 10~" (MKS). Qual o valor de G para um corpo na super-fície da Lua?

Resolução: A constante G é universal, ou seja, em qualquer lugar ou

em quaisquer circunstâncias seu valor será sempre o mesmo. Portanto ,

no SI (MKS) G valerá sempre 6,67 . 10_ " (inclusive na superfície

da Lua).

Resposta: Na superfície da Lua, G = 6,67 . 10_n (MKS).

6. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Qual dos gráficos abaixo melhor repre-senta a variação da intensidade da força de atração gravitacionalF entre duas massas puntiformes, suficientemente distantes dequalquer outra massa, separadas por uma distância d?



218

Resolução: As forças dé atração gravit acionai trocadas entre duas massas

puntiformes M e m, separadas pela distância d, têm direção da reta

Mm

c]ue une os corpúsculos c intensidade F dada pela expressão F — G ------

.d2

M■>- -4-

- 1

Sendo G a constante universal da gravitação e admitindo que as massas

M e m sejam constantes, decorre:

1F = K ------

, onde K = GMm = cte.d2

Logo, F é inversamente proporcional ao quadrado da distância d.

Observe que:

I Iquando d = x, F, = K ------ = K -...... - =>

d2 x2

quando d = 2x, F« = K ------

= K ........

■■d2 (2x)2

=> F* = K -------4x2

quando d = 3x, F:; — K ------ = K ---------d2 (3x)2

=-> F. t = K -------9x2

c assim por diante.

Esta relação de dependência entre F e d corresponde a uma curva

denominada matematicamente hipérbole cúbica.

Resposta: alternativa e.



7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um rapaz de massa 70 kgencontrase a 10 m de uma jovem de massa 50 kg. Constantede atração gravitacional G = 6,7 . 1011 N . m2/kg2. A força de

atração gravitacional entre ambos é mais aproximadamenteexpressa por:a) 2,3 . 108 newton. d) 2,3 . 1012 newton.b) 6,7 . 10_U newton. e) um valor diferente dos anteriores.c) 2,3 , 10_H newton. MResolução: Pela Lei da Gravi-

tação Universal, observando a ,

figura ao lado, podemos escre l \

ver que:

F = GMm

d2

Assim, para

G = 6,7 . 1 0 11N . m2

kg2

M = 70 kg, m = 50 kg e d

70 . 50F = 6,7 . 1 0 -1!

102

= 234,5 . 10 n = 2,345 .

Portanto, aproximadamente


10 m, teremos;

— 6 ,7 . 1 0 11 . 35

10-«

F ~ 2,3 . I0 -9 N

8. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Dois corpos de massas rm

e ni2 atraemse mutuamente com uma força de intensidade F, quando separados por uma distância d. Quando eles estiveremseparados por uma distância 2d, a força de atração terá intensi-dade igual a:a) 2F. d) 4F.b) F/4. e) F.c) F/2.Resolução: Pela Lei da Gravitação Universal de Newton, podemos

mim2escrever F = G ------------- (1).

d2

------------ . 4

d

m2



220

Quando os mesmos corpos estiverem separados por uma distância

d' “ 2d, temos:

F ' ~ Gm i iro

d '2(II)

Desenvolvendo a expressão (II), decorre:

F'=:G Gm , nr.

— G

I m,m-.F' = LQ_—

'4jd2

F

4

F = F /4


niinia

d'2 (2d)2

Tendo em conta a expressão (I), vem:

4d2(UI)

9. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Sendo a massa da Terra

81 vezes a massa da Lua, em que ponto da reta qt/e une oscentros dos dois corpos um corpo seria igualmente atraído?

a) Num ponto cuja distância da Terra é nove vezes a distânciada Lua.

b) Num ponto cuja distância da Terra é oito vezes a distância daLua.

c) Num ponto cuja distância da Terra é sete vezes a distânciada Lua.

d) Num ponto cuja distância da Terra é seis vezes a distânciada Lua.

e) Na metade da distância entre a Terra e a Lua.

A Terra atrai o corpo com uma força gravitacional de intensidade I(Y

De acordo com a Lei da Gravitação Universal e considerando a figura,

temos:

F , = , e ^ ü L < i )

A Lua atrai o corpo com uma força gravitacional dc intensidade F2.

De acordo com a Lei da Çravitação Universal e tendo em conta a

figura, vem:

„ mLmFa = G — ----- (II)

2

O corpo é igual mente atraído pela T erra e pela Lua. Assim sendo,

decorre que Ft = F-, (III).

Substituindo em (III) as. expressões (1) e (II), vem:

^ m ti/ _ ^ m ,y

E decorre:

Mf nii.

x.,

(IV)

Pelo enunciado, sabemos que Mx ~ 81 mL.

Pela figura: Xi x2 ~ d => x2 = d — xx.

Voltando à expressão (IV), obtemos:

811)4 _ i)4

x2 (d — x,)2

Usando as propriedades das proporções:

81(d — x j 2 = xj

Decorre, então, extraindo-se a raiz quadrada dos dois membros:

9(d — xi) = x, =>

=> 9d — 9xa = Xi => x, = ■10

(V)

Mas, como x2 = d — Xi, vem:

9x2 = d — ■■—d =>

10

1x-> — ■

10(VI)

Observando as relações (V) e (VI), temos, finalmente, que xx — 9xa

ou seja, o corpo será igualnicnte atraído quando estiver num ponto

cuja distância dá Terra seja nove vezes a distância que o separa da Lua.



222

1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Copérnico contrariou o consenso geralde sua época, sustentando que os planetas giram em torno do Sol. Quandouma teoria contraria o consenso geral, deve-se:

a) admitir a teoria como falha, pois o consenso geral sempre acaba prevalecendo.

b) procurar unia evidência experimental que confirme o resultado da teoria.c) alterar a hipótese, a ponto de enquadrá-la no consenso geral.d) descartar o consenso geral, pois ele não tem validade em ciência,c) descartar tanto a teoria quanto o consenso geral.

2. FEI — Contribuindo valiosamente para o Renascimento Científico, JohannesKepler:

a) provou qúe a Via Láctea é uma aglomeração de corpos independentes donosso Sistema Solar,

b) demonstrou que o Sol gira ao redor da Terra.c) afirmou que os planetas se movem numa órbita elíptica ao redor do Sol.d) descobriu os satélites de Júpiter.e) negou a teoria heliocêntrica.

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo está representada aórbita de um planeta em torno do Sol. Os arcos AB e A'B' são percorridosem iguais intervalos de tempo. Qual é a relação entre as áreas S e S'?

a) S b) Sc) S

B >

S72



4, MEDICINA DE SANTOS — Baseados nas leis de Kepler, não podemos

dizer que:

a) os planetas se movem em elipses e em um dos focos está o Sol.

b) um raio vetor do Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

c) o quadrado do período de rotação de um planeta é proporcional ao cubo

do semi-ei xo maior da trajetória do planeta.

d) a excentricidade das trajetórias planetárias é desprezível, podendo-se con

siderá-las circulares.

e) a velocidade linear escalar de um planeta é mínima no ponto mais próximo

ao Sol.

5. ITA — Uma das conclusões expressas nas famosas leis de Kepler foi sobreo movimento dos planetas em órbitas elípticas, das quais o Sol ocupa um

dos focos.

a) Esta conclusão foi uma consequência, e portanto posterior, do enunciado

das leis da Mecânica de Newton.

b) Coube a Sir ísaac Newton interpretar teoricamente estas conclusões com

base na Lei da Gravitação Universal e nos princípios da Mecânica clás

sica, que ele próprio havia proposto.

c) Esta conclusão não apresenta nenhuma relação com o movimento dosengenhos conhecidos como satélites artificiais da Terra.

d) O movimento da Lua em torno da Terra é de natureza diferente daquele

descrito por Kepler.

e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

6. MEDICINA DA SANTA CASA — A terceira lei de Kepler afirma que

“os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aos

cubos de suas distâncias médias ao Sol”. Dc acordo com esta lei, é correto

dizer que:

a) planetas mais afastados do Sol são mais velozes.

b) dependendo de suas massas, planetas diferentemente afastados podem ter

mesma velocidade.

c) todos os planetas do Sistema Solar têm a mesma velocidade angular.

d) as velocidades dos planetas são inversamente proporcionais aos quadrados

das distâncias ao Sol.

e) o “ano” de Mercúrio é menor que o da Terra.

7. MEDICINA DE SANTO AMARO — O raio da órbita da Terra é de

1,49 . 1011 m e o da órbita de Urano é de 2,87 . 1013m. O período de

Urano é de:

a) 5 anos terrestres.

b) 40 anos terrestres.

c) 60 anos terrestres.

d) 84,5 anos terrestres.



224

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Marte está 52% mais afastado doSol do que Tt Terra. O ano (período do movimento de revolução em tornodo Sol) de Marte, expresso em anos terrestres, é de:

a) 1,52. d) 3,7. b) 1,87. e) Um resultado diferente dos anteriores.c) 2,3.

9. PUC (SÃO PAULO)

a) retilíneo uniformeb) circular uniforme.c) periódico.

10. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — São dadas as leis:1. Os planetas descrevem órbitas aproximadamente circulares, tendo o Sol

como centro,2. As velocidades areolares dos planetas são constantes (o raio de giro que

une cada planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais).3. A relação entre o quadrado dos períodos dos movimentos dos planetas e

os respectivos cubos dos raios de giro tem o mesmo valor para todos os planetas.

Destas leis, podemos concluir, em relação aos planetas do Sistema Solar, que:a) os mais afastados do Sol têm maior velocidade escalar média.

b) o período de revolução dos planetas não depende da massa dos mesmos.c) quanto maior a massa, maior deve ser a distância do planeta para que

a órbita seja estacionária.d) os planetas situados à mesma distância do Sol devem ter a mesma massa.e) todos os planetas se deslocam com mesma velocidade escalar média.

11. MEDICINA DA SANTA CASA — A força gravitacional com que a Terraatrai a Lua:

a) é menor do que a força com que a Lua atrai a Terra. b) é a mesma para todos os planetas.c) é pouco maior do que a força com que a Lua atrai a Terra.d) é de mesma natureza da força que faz uma fruta cair de uma árvore.e) é uma força nuclear.

12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — A Lei da Gravitação de Ncwton

diz que:a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta

do quadrado de suas distâncias. b) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa

do quadrado de suas distâncias.c) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa

de suas distâncias.d) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta

de suas distâncias

— O movimento de translação da Terra é:

d) retilíneo, mas não-uniforme.e) circular não-uniforme.



13. UNIVERSIDADE DE TA UB ATÉm,tna

F jj= G ------ —, a constante G:

a) tem sempre o mesmo valor. b) depende do meio.c) depende de m, e itijd) depende de r.e) depende de m3 c r.

Na lei dc atração universal

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A lei de Newton da gravitação univer-

, , , „ M'M" Fd2sal estabelece que F —Q -— - — Pode-se, então, escrever que G

± 3

da M'M"

É correto afirmar que G é:

I — diretamente proporcional a F.11 -— invcrsamenle proporcional âs massas M' e M".

III — dirctamente proporcional ao produto Fda.

Responda de acordo com o seguinte código:a) Só I é correta. d) Todas são corretas.

b) Só II é correta. e) Todas são incorretas.c) Só III é correta.

IS. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS — No sistema MKS, a constantede gravitação universal tem as unidades:a) m_2kg3s—*. d) mskg-2s -L b) m3kg~1s - 2. c) m -'kg:!s - a.c) m- ! kg-2s3.

16. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — A força gravitacional quea Terra exerce sobre você é maior que a que você exerce sobre a Terra, porque a massa da Terra é muito maior que a de um homem.

Assinale:

a) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativa da primeira.

b) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justificativa da primeira'.

c) Se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa,fd) Se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.e) Se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.

17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual é a força de atração gravita-cioiial entre duas massas dc 100 kg cada uma, distantes I m uma da outra?(Considere G igual a 6,7 . 10-11 N . mVkg-.)

a) IO4 N. d) 6,7 . 10-° N.



226

18. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — As forças gravitactonais variando pro porcionalmente às massas, a atração que a Terra exerce sobre a Lua é menos intensa que a atração que a Lua exerce sobre a Terra? Justificar.

19. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — A força de atração gravita-cional entre dois corpos celestes é proporcionai ao inverso do quadrado dadistância entre os dois corpos. Assim d que, quando a distância entre umcometa e o Sol diminui da metade, a força dc atração exercida pelo Solsobre o cometa:a) diminui da metade. d) é multiplicada por 4.

b) é multiplicada por 2. e) permanece consfante.c) é dividida por 4,

20. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A intensidade da força de atraçãogravitacional entre 2 esferas de massas (M) é (F) quando a distância entre,elas c (D). Qual é a intensidade da força de atração entre 2 esferas dcmassas M/2 quando a distância entre elas for

F V Fa) — e)

4 16

b) — d) 2F

8 e) 16F21. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Uma das consequências da

Leí da Gravitação Universal é que a força exercida pela Terra sobre umcorpo na sua superfície: •

a) deixa de existir se o corpo está no interior de um recipiente a vácuo. b) pode ser calculada, muito aproximadamente, como sc toda a massa da

Terra estivesse concentrada no centro da Terra.c) depende somente da massa do corpo e do seu volume.

d) é inversamente proporcional ao raio da Terra.e) não depende da massa da Terra.

22. UNIVERSIDADE DA BAHIA — Qual dos seguintes gráficos melhor re presenta a intensidade da força (F) de atração gravitacional entre dois cor pos em função da distância (d), entre eles?

0 0



23. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — Para corpos que estão à mesma dis-tância do centro da Terra, a intensidade da força de atração gravitacional(F) entre a Terra e estes corpos é diretamente proporcional às suas massas

(m). Qual dos seguintes gráficos melhor representa a relação entre F e m?

24. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Segundo a teoria da gravitação uni-versal de Newton, matéria atrai matéria na razão direta de suas massas ena inversa do quadrado da distância que as separa. Ora, se eu coloco pró-ximas duas massas sobre uma mesa horizontal, não sc nota nenhum desloca-mento mensurável. Daí devo concluir que:a) a lei é incorreta, pois necessariamente deveria haver um deslocamento.

b) a lei é correta, mas a força é bastante pequena em comparação com aforça de atrito.

c) a lei é correta, mas não se aplica à experiência em questão e sim somentea corpos no espaço interstelar.

d) a lei é incorreta, pois não leva em consideração a força de atrito.e) a lei é correta somente para grandes massas.

25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Suponha que a Terra tivesse sidooriginada com o dobro de sua massa e que seu volume fosse o mesmo quehoje apresenta. Com base nisso, julgue as afirmações abaixo:

I — As árvores seriam menos altas e com troncos mais grossos.II — As pernas dos animais seriam mais musculosas e os ossos mais

espessos.III — O ar seria menos denso.

26. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A intensidade da força de atraçãogravitacional entre dois corpos de massas M e M' é F. A distância entreos centros de gravidade dos dois corpos é D. Que massas dois outros corpos poderiam ter e qual deveria ser a distância entre seus centros de gravidade para se atraírem com força de mesma intensidade (F)?a) 2M, M' e 2D. d) 2M, 2IVT e 2D.

b) 2M, 2M' e D. e) M /2 , IVT e 2D.c) 2M, 2M' e D /2,



228

27. FILOSOFIA-USP — Duas esferas homogêneas A e B têm massas que

estão entre si como 1 e 4. Seus centros distam d. Em que posição deverá

ser colocada uma terceira esfera homogênea C sobre a reta que passa

pelos centros de A e B, para que a resultante das ações gravitacionais,exercidas pelas duas primeiras sobre € , seja nula? Exprimir o resultadoem função da distância d.

4. e; d (Baseados unicamente nas leis de Kepler não podemos inferir quea excentricidade das elipses seja desprezível.)

5. b 6 . e 7. d 8 b 9. c 10. b 11. d 12. b

13. a (G é constante universal.)

14. e 15. b 16. d 17. e

18. Não. Tendo em vista o Princípio da Ação e Reação, as forças que surgem

na interação gravítacional de duas massas devem ter mesma direção,sentidos contrários e mesma intensidade.

19. d 20. c 21. b 22. d 23. a

24. b (A intensidade da força gravitaciona! é bastante pequena em comparação

com a intensidade da torça de atrito de destaque.)25. 1— C; II — C; III — E.

26. d

2

rü = — d3

27.



232

• Variação de g* com a altitude — Podemos perceber pela expres-

são da intensidade do vetor-campo-gravitacional, g*GM------ , que, a

d2medida que nos aproximamos da Terra, d diminui e g aumenta até

atingir o valor 9„

GM

R2, que é o valor da intensidade do vetor-

-campo-gravitacional em todos os pontos da superfície da Terra.

Observar que nestes pontos d = R. Nestas condições, para G —

= 6,67 . 10“ " N . n r/kg 2 (constante universal da gravitação], M =

= 5,98 . 1024 kg (massa da Terra) e R = 6,37 . 10“ m (raio médio da

Terra) ternos:

g;s i9 ,83N/kg

Esboçando graficamente esta variação de g* em função de d, para

pontos externos à Terra, temos:

S2_

Observe que um ponto a uma altura h da superfície da Terra se encontra a uma distância d = R + h do seu centro.Portanto, a intensidade do vetor- -campo-gravitacional pode ser expressa por:

9 =GM

(R + h)=



Aceleração da gravidade (g)

Todos os resultados obtidos anteriormente no estudo do campogravitacional junto à superfície terrestre não levam em conta a rotaçãoda Terra ao redor do seu eixo.

Quando um corpúsculo junto à Terra acompanha o movimentode rotação ao redor do seu eixo, ele tem uma aceleração centrípeta

(ad em relação a este eixo.

Descontando-se

-campo-gravitacional

jeixo

da Terra em sua superfície (g*), obtemos

vetor-

o que

se convenciona chamar de vetor-campo-da-gravidade g ou aceleração

da gravidade, ou seja:

eixo eixo

Ao produto do vetor g pela massa do corpúsculo m denominamos—>

peso (P). —*

P = mg

► —>

A linha de ação do peso P é a linha de ação de g [que, em geral,

não passa pelo centro da Terra, como indica a figura acima).



234

Aliás, quando utilizamos um fio de prumo encontramos a linha

de ação do peso, que é denominada vertical do lugar.

Normalmente despreza-se o efeito da rotação da Terra ao redordo seu eixo, isto é, despreza-se a aceleração centrípeta do corpúsculo

(ac = O).

Nos pólos isto é sempre verdade, pois ali não há rotação. Quando“♦ —t ♦ ~—y

ac — O, teremos g = g*, ou seja, o vetor-campo-gravitacional na—> —>

superfície (g*) coincide com o vetor-campo-da-gravidade (g).

Decorre, então, que P = F m9„ (quando desprezamos o

efeito de rotação) e, neste caso, a linha de ação do peso passa pelocentro da Terra.

Isto significa que o peso de um corpo é diferente nos diversos

pontos da Terra. Nos pólos o peso tem intensidade máxima, pois

ali não há rotação. No Equador o peso tem intensidade mínima, pois

ali é onde o efeito da rotação se faz sentir mais.

Admitamos um corpúsculo de massa m nas proximidades da

Terra e desprezemos os efeitos do ar (resistência do ar, empuxo,

viscosidade).

Neste caso, a única força que age sobre ele é a força-peso P.

Vem. então:—► —>

P = mg (teoria do campo da gravidade);

P = my (Princípio Fundamental da Dinâmica).

Identificando as duas exprtessoes anteriores, temos:



Daí concluímos que, quando a única força que age sobre o corpo

é a força-peso P, independentemente de sua massa, ele adquire uma—> —>

aceleração y que coincide com a aceleração da gravidade g que, como

já sabemos, é função apenas do local e da Terra.

Isto é importante, pois explica, por exemplo, o fato de corpos

de massas diferentes, abandonados do repouso e da mesma posição

no vácuo, caírem igualmente, pois ambos têm a mesma aceleração.

boia de chumbo

A figura só tem sentido no vácuo, pois, se os efeitos do ar fossemsentidos, os corpos chegariam ao solo em instantes diferentes.

(M&vaeãsd -------------------------------------------------------------

1. Note que a unidade de g pode ser dada em m/s- tio SI.

2. O vetor-campo-da-gravidade (g) varia com a posição do ponto da

superfície terrestre. Chama-se vetor-campo-normai-da-gravidade (gnormíl) ovetor-campo-da-gravidade obtido ao nível do mar. latitude de 45°, cuja

intensidade vale g — 9,80665 m/s-.

3. A tabela abaixo mostra valores de g ao nível do mar em latitudes

diferentes:

nível do MAR

Latitude X g(m/s‘-’)

0° (Equador] 9,780

10° 9,782

20° 9,786

30° 9,793

40° 9,802

50a 9,811

60° 9,819

70° 9,826

80° 9,831

90° (pólos] 9832

•*



236

4, Variação de g* em pontos internos à Terra.

superfície da Terra

Admitamos a Terra como uma esfera homogênea de centro C e densidadep. Para um ponto B situado no seu interior a uma distância r do

centro, verifica-se que o vetor-campo-gravitacional naquele ponto (g*)

é devido apenas à massa M , da Terra localizada na esfera de centro C eraio r, cujo volume é V,.

Aplicando a expressão da intensidade do vetor-campo-gravitacional ao

Mi 4ponto B, temos g* = G — onde Mj = pV; = p . —— Ttr3.

Logo;

e vem:

. 4Si = Gp . — Ttr

3

4Como na expressão anterior Gp . ------

7t = K = cte, decorre;

9* = Kr

Isto significa que a intensidade do vetor-campo-gravitacional g* nos pontosdo interior da Terra varia linearmente com a distância r destes pontos ao

centro da Terra.

Graficamente teríamos:

. s*



5. Outros dados relativos ao Sistema Solar:

Raio médio(m)

Massa(kg)

Intensidade do campogravitacional na

superfície (N/kg)

Sol 6,96 10* 1,98 10“0 274,40Mercúrio 2,34 10 “ 3.28 10-“ 3,92Vénus 6,26 10 “ 4,83 1024 8,82Terra 6,37 10“ 5.98 1021 9,80Marte 3,32 10« 6,40 102:l 3,92Júpiter 6,98 10? 1,90 1027 26,46

Saturno 5,82 ÍO7

5,68 10

-Ö 11,76Urano 2,37 10" 8,67 102r> 9,80Netuno 2,24 to 7 1,05 10 - “ 9,80Lua 1,74 10“ 7,34 10 -2 1,67

Corpos em órbita

Quando um corpo é mantido em órbita ao redor de um planetasob a ação exclusiva da força gravitacional, ele é denominado satélite do planeta.

Em geral, o corpo é colocado em órbita através de um lançamentohorizontal a partir de um ponto conveniente situado a uma distânciad do centro do planeta.

Qualquer que seja a intensidade da velocidade V de lançamento,é possível demonstrar-se que a órbita descrita pelo corpo é umacurva cônica, isto é, elipse, circunferência, parábola óu hipérbole. Ocentro do planeta se encontra sempre num dos focos (ou no foco)



238

\

elipse

• Órbita circular — Sem dúvida, o caso que mais nos interessa é

o da órbita circular.

Para que a órbita circular seja estável, se faz necessário que a

força gravitacional se mantenha perpendicular à velocidade em cadainstante do movimento. Assim sendo, a força gravitacional desem-

penha o papel de resultante centrípeta e o movimento decorrente écircular e uniforme.

Pela teoria do campo gravitacional, temos F — mg*.

—y —> —>

Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica F = Rc — mac



Igualando as duas expressões anteriores, temos:

t/ a c - i/g* =>

Isto significa que, quando um corpo gira ao redor de um planeta em órbita circular, a aceleração centrípeta coincide em cada ponto com o vetor-campo-gravitacional no local da órbita.

Em intensidade, podemos escrever:

afc = g*=>

=>

V = V g * ïVelocidade do satélite para se manter em órbita circular ao redor do planeta.

É importante deixar claro que g*, na expressão anterior, é o valorda intensidade do campo gravitacional do planeta no local da órbitae que a distância d é a distância que vai do centro do planeta ao saté-lite. ou seja, d = R f h, isto é, raio do planeta mais altitude.

Sabemos, também, que pela teoria do campo gravitacional g* =

GM= . Substituindo este valor de g* na expressão da velocidade,

decorre:

V = =

Logo: V = V 7 d = / - ^ p - =GM

(R + h)

Observe que à velocidade do satélite em órbita circular nãodepende de sua massa m.

1. Período de revolução

Sendo ac = g*. então co2d =

GM

GM

d2

onde o) =

47T“Logo: ——— d = ■

T2 d2

4jr2T2 = — — d '1

GM

27T

T

T2 = Kd:í onde K =47t2

GMcte.

Observemos que esta expressão nada mais é do que a “ Lei dos Períodos”de Kepler estendida a satélites. Atente para o detalhe de que a constanteK = 4tc2/GM depende exclusivamente da massa do corpo central M,sendo comum para todos os satélites que giram ao redor do planeta.Note que o período do satélite não depende de sua massa m.



Em (2) temos:

MG = 6,7 . 10" N . m2/kg 2

g = G ------

onde { M = 6,4 . 1023 kgR2R = 3,2 . 10° m

Logo:

6,4 . KF*g = 6,7 . 10 " . --------------------=> g = 4,2 N/k g

(3,2 . 10T

Substituindo este

P i= mg onde \

valor em (1), decorre:

g = 4,2 N/kg

m = 70,0 kg

Assim: j

P = 7 0 ,0 .4 ,2 => P = 294 N

Ou, levando cm conta os algarismos significativos:

P = 2,9 . 102 N


2. UNIVERSIDADE DE ALAGOAS — Próximo à superfície da Terra, a

aceleração da gravidade tem um valor aproximado de 10m/s2.

Qual será o seu valor a uma altura igual a um raio terrestre, emrelação à superfície da Terra?

a) 20 m/s2 c) 5 m /s2b) 10 m/s2 d) 2,5 m /s2

Resolução:

Considerando a Terra perfeitamente esférica e homogênea e despre-

zando os efeitos da rotação, temos:

Mg* = G ------ = 10 m /s2 (1)'o R2

A uma altura h = R decorre que:

Mg* = G ---------------- => g* = G

M■g* = G

M2



242

Levando (1) cm (2), temos:

10

4 g* = 2,5 m /s2

Observação: A expressão aceleração da gravidade para pontos externosao planeta é imprópria. A expressão adequada é vetor-campo-gravitacional.


3. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS — O diâmetro de um planetaé o dobro do terrestre e sua massa é seis vezes maior que a daTerra. A razão entre a aceleração da gravidade na sua superfíciee a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:

1

a) -----24

c) 3.

Resolução:

3e) —.

4

Planeta X

Se o diâmetro do planeta é o dobro do terrestre, isto significa que o

seu raio também é o dobro.

Admitindo oü planetas esféricos e homogêneos e desprezando os efeitos

da rotação:

para o planeta X: g = GMx

r ;

para o planeta Terra: gT“ GMt

R2

T



m

Como Rx - 2R t e Mx =- 6Mr, temos:

Q/ Mx

r Sx Rx gx MxRt gx 6MtRt

êT ?

1"pt Mt gr

RÍ

MtR x gr Mt(2Rt)2

gx i

â

St gr 2


4. FUVEST — Um homem na Terra pesa 100 quilogramas-força

(1 000 N).

a) Qual a massa desse homem?

b) Qual seu peso em Júpiter, sabendo que, comparado com a

Terra, esse planeta tem massa 320 vezes maior e raio 11 vezes

maior? (Adotar gr ~ lOrn/s- na superfície da Terra.)

Resolução:

a) A intensidade do peso do homem na Terra (P-r) pode ser expressapor Pr — mgT.

Então:

Pt f PT= I 0 0 0 Nm — ------ onde {

gr l gr = 10 m /s2

I 000

Logo: m — — -------10

m = 1 0 0 k g

b) Admitindo os planetas Terra e Júpiter esféricos c homogêneos edesprezando os efeitos de rotação, temos:

peso do homem na Terra (PT)

• /

244

peso do homem em Júpiter (Pj)

Dividindo membro a membro as expressões (2) e (1), decorre:

Mjifí

( Mj = 320Mti-Pj r ;

Pt

Logo:

Pj

4

Mti^-=>

P j M ,R t

m tr ;onde < Rj — UR t

PT= 1 000 Nr ;

320MtR ; 320==------ =í> Pj =

1 000 Mt(11Rt)2 121

Respostas: a) 100 kg; b) 2 645 N.

320 . 1 000

121Pj« 2645 N

5. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL — Um satélite artificial gira em

órbita circular ern torno daTerra a 9,0 , 10;t km do seu centro.

Sendo a massa da Terra 6,0 . 102‘ kg e G = 6,7 . 10~u N . m2/kg2,a velocidade orbital do satélite será de aproximadamente:

a) 7,0 . 103 m/s. d) 6,7 . 105m/s.b) 7,0 . 102m/s. e] 7,0 . 104m/s.c) 6,7 . 103m/s.

Resolução:



Como já vimos na teoria, a intensidade da velocidade de um satélite

em órbita circular ao redor de um planeta é dada pela expressão

V = onde G = 6,7 . 1 0 -“ N . m2/kg2, M = 6,0 . 102'1kg

e d = 9,0 . 103 km = 9,0 . 10« m.

Logo: _______________________

V = 6,7 i o - n6,0 . 1024

9,0 . 10«

V « 6,7 . 10» m /s


6. MEDICINA DA SANTA CASA — Considere o sistema Sol-Terra.

Admita que o movimento da Terra em torno do Sol seja circular

e uniforme. Despreze os efeitos de outros corpos do Sistema

Solar. Suponha conbécidos os valores de:r = raio da Terra;

R = distância entre os centros da Terra e do Sol; p = densidade da Terra;

T = período de revolução da Terra em torno do Sol.

Podemos afirmar que a força de atração média, exercida pelo Sol

sobre a Terra, é:

a)271 Rpr

5 T

1 , RPb) — 7ts - - ■■■

3 T V

c)16

■TCRpr'!

~F~

16d) ------TtRpT"'1.

e) nenhuma das anteriores.

Resolução: A força de atração gravitacional tem intensidade F expressa

GMmpor F — --------- -, onde m = massa da Terra e M = massa do Sol. Sa-

R 2

4bemos que m — pV = p . — itr* (I).

m



246

Por outro lado, a força de atração coincide com a resultante centrípeta

e temos:

F = RC

Decorre que:

to2RaM. = ------- —,

GMijfi

R2rfíto2R

onde co = •2rc

Logo:

M4tt2R s

T 2G

(II) (Esta expressão permite calcular a massa da Terra.

Substituindo as expressões (I) e (II) na expressão de F, temos:

4ti2R:í 4 .G— — p . ■— 7rra

GMm T 2G 3F = •——— => F = — —

R2 R2

E resulta:

16F = 7C,i

Rpr3

3 rp2


7. CESCEA — Admitindo-se que a Lua gira em torno da Terra, em

trajetória circular, cuja única causa é a atração terrestre, com

velocidade constante v, sendo a massa M, o que você pode dizer

sobre o trabalho x executado nesse deslocamento?

a) x = Mv.1

b) x = — Mv2.2

d) x = zero.

e) Não sei.

c) x = infinito.

Resolução: A força gravitacio■—y

nal F que a Terra exerce sobre a Lua, mantendoa em órbita,

é perpendicular ao seu deslo-

camento A S em todos os tre-

chos da trajetória. Logo, em

cada trecho elementar temos:

xF FAS cos 90° => Tf = 0



3. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — No interior de um satélite

que gira em torno da Terra, em órbita circular, a aproximadamente

200 km de altitude, um astronauta tem a “ sensação" de não ter

peso. Qual das explicações abaixo é correta?a) A atração da Terra é “desprezível” para objetos a esta altitude.

b) Uma força de interação oposta em sentido e igual em módulo

à força de atração terrestre a esta se adiciona, dando resultante

nula sobre o astronauta.

c) Tanto o astronauta quanto o satélite têm a mesma aceleração

em relação a um sistema inercial fixo no centro da órbita.

d) A atração da Lua sobre o astronauta anula a força da atração

terrestre.e) A atração conjunta do Sol e da Lua sobre o astronauta anula a

força de atração terrestre.

Resolução: Não havendo necessidade de trocar forças entre si para se— >

conservarem em órbita e possuindo ambos a mesma velocidade V e a

mesma aceleração y = g*, o astronauta não toca o satélite e “flutua”

na nave. Daí a “sensação” de não ter peso. Este estado é chamado

■—t —>de “imponderabilidade” (y = g* para passageiro e veículo).

A situação física acima discutida é semelhante à de um elevador (com

passageiros em seu interior) sob a ação exclusiva da gravidade quando

ocorre o rompimento do cabo de sustentação.




248

9. IME — Determinar a relação entre os pesos de um corpo, obtidos

em uma balança de mola, no Equador e no Pólo Norte, ambos ao

nível do mar. Considerar a Terra esférica com raio R e massa M.

Resolução: Quando um corpo de massa m se encontra apoiado sobre

uma “balança de mola” na superfície da Terra, sobre ele atuam duas

forças: força de atração gravitacional (F) e força normal de contato (N).

0 ) = velocidade angular

da Terra em torno

do seu eixo.

paralelo

I

Decompondo a força F na direção da força normal e na direção do

raio do paralelo que passa pelo lugar, temos:

Na direção da força normal temos N = P, pois o corpo está em equi-

líbrio nesta direção. Isto significa dizer que a indicação da “balança

de mola” (N) coincide com a intensidade da forçapeso quando o corpo

se encontra em equilíbrio relativamente à superfície da Terra.

Na direção do raio do paralelo, aplicando o Princípio Fundamental em

relação a um referencial fixo ao eixo da Terra, temos Rc = mac =

= niíirr, onde r é o raio do paralelo.



No Pólo Norte:

No Pólo Norte não há rotação. Logo, ac = 0.

Neste caso. PlJorlc — F ~ GMm

Ra

(1), ou seja, no Pólo Norte

a força-peso coincide com a força gravitacional.

No Equador:

No Equador a aceleração centrípeta do corpo tem intensidade dada

por ac = m2R.

Aplicando o Princípio Fundamental em relação a um referencial fixo

ao centro da Terra, temos:

Rc — mac =>

=> F — N = mac

Logo: N = F — mac.

Como N = P, decorre:

PEquador = F — mac =>

Equador = G.Mm

R2mo)aR (2)



250

Assim sendo, substituindo (1) em (2), temos:

Equador — P Norte ' mco12*R

Resposta:

Equador — P«„rte — mw2R

onde

m é a massa do corpo;

cu a velocidade angular de rotação da Terra

R o raio da Terra (6 400 km).(

iz r a d \

~£2 h ~ ) ’

1 . ITA — A relação g = G-— —entre o valor da aceleração da gravidade naR2

superfície da Terra e os valores da constante da gravitação universal, da

massa e do raio da Terra:

a) é resultado de uma fórmula empírica elaborada pelos astrônomos e válida

para qualquer planeta de forma esférica. b) dá o valor correto da aceleração da gravidade em qualquer ponto da

Terra desde o pólo até o Equador.c) pode ser obtida teoricamente, tanto no caso da Terra, como no caso de

uni planeta qualquer de forma esférica, homogêneo, c que não esteja em

rotação em torno de um eixo relativamente a um sistema de referência

inercial.d) dá o valor correto de g mesmo para pontos internos à superfície da

Terra, desde que R seja interpretado como a distância entre este ponto

e o centro da Terra.e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

2. ITA — A aceleração da gravidade, 3,600 , 104 km acima, da superfícieda Terra (o raio da Terra é igual a 6,40 . 10s km), vale aproximadamente:

a) 2,23 . 1 0 -1 m /s2.

b) 1,48 m /s2.c) 9,82 m/s2.d) 1,00 m /s2.e) Nenhuma das respostas acima é válida.



251

ENGENHARIA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS — Se g é a aceleraçãoda gravidade ao nível do mar, a aceleração a uma altura h acima destenível, supondo R o raio da Terra, será:

i n -i-/ k

k2a) g i d) g

b) g

c) g

V K


4. FESP — O valor da aceleração da gravidade a uma altitude igual a nove

raios terrestres vale aproximadamente:10 9

a) -------m /s2. d) —— m/sA9 100

1 b) -------m /s 2, e) Nenhuma das alternativas.

10

9c) ------m/s2.

10

5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — A intensidade da força-peso de umMm

corpo é dada por P = k --------- , onde:d2

k = constante universal de gravitação;M = massa da Terra;m = massa do corpo;d = distância entre os centros de gravidade da Terra e do corpo.

Qual é a intensidade do campo gravitacional da Terra no centro de gravi

dade do corpo?- a) km d) km /d2

b) kM e) kM /d 2c) Mm/d2

6. PUC (SÃO PAULO) — O campo gravitacional da Lua, na superfície damesma, é aproximadamente 1/6 do da superfície da Terra; uma pessoa demassa 70 kg deve pesar aproximadamente, na Lua:

a) 70 N. d) 115 N.

b) 1S0N. e) 70 kgf.c) 700 N.

7. PUC (SÃO PAULO) — A massa dessa pessoa na Lua será:a) 700 kg.

70 b) — kg.

c) 700 N.

d) 115 N,

e) 70 kg.



252

8. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um corpo é levado a umaaltitude igual ao raio da Terra. Podemos afirmar que:

a) seu peso não varia.

b) seu peso reduz-se à metade.c) seu peso reduz-se a 1/4 do valor ao nível do mar.d) sua massa reduz-se à metade.e) nenhuma das respostas satisfaz.

9. MACKENZ1E -— Que alteração sofreria a intensidade da aceleração dagravidade se a massa da Terra fosse reduzida à metade e o seu raio diminuído de 1/4 de seu valor real?

10 .

MEDICINA DE ITAJUBÁ — Duplicando-se o raio de um planeta, mantendo a sua densidade constante, a aceleração gravitacional na sua superfície sc tornará:

a) oito vezes maior. d) duas vezes menor. b) oito vezes menor. e) quatro vezes menor.c) duas vezes maior.

11 . MACKENZIE — Qual é o valor da aceleração da gravidade do Sol se oseu raio é 110 vezes maior do que o da Terra e sua massa específica média

é 1/4 da massa específica média da Terra? A aceleração da gravidade nasuperfície da Terra é de 9,8 m . s-3.

12. IME — Um astronauta equipado, utilizando o esforço máximo, salta 0,60 mde altura na superfície terrestre. Calcular o quanto saltaria na superfícielunar nas mesmas condições. Considerar o diâmetro e a densidade da Lua

como sendo — c — .dos da Terra, rcspcctivamcntc.

13. FUVEST — Considere as seguintes informações: 1) Um corpo de massa3 kg é atraído por uma força de 4,8 N na sgpcrfície da Lua. 2) Aceleraçãoda gravidade na Terra é de lO m /s2. 3) A massa da Lua é de aproximadamente 1/100 da massa da Terra. 4) O raio da Lua é aproximadamente1/4 do raio da Terra,

Utilizando algumas destas informações, pode-se afirmar que, se um objetofor abandonado próximo à superfície da Lua, sua aceleração será de:

c) 0,16 m /s3.

14. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO —- Se a aceleração da gravidadena superfície da Terra é g, o seu valor na superfície de um planeta quetenha o dobro da massa e o dobro do raio da Terra será:

4 3

a) 10 m /s3.

b) 0,10 m /s3.

d) 1,6 m /s2.

e) 2,5 m /s2.

d) g/2.e) g/4.



15 . MEDICINA DE LONDRINA — Se a Terra tivesse seu raio reduzido àmetade, sem que houvesse alteração em sua massa, o que ocorreria como peso dos objetos que estavam e permanecem sobre sua superfície .depois

desta redução?a) Permaneceria inalterado. d) Ficaria multiplicado por 4.

b) Ficaria multiplicado por 2. e) Ficaria dividido por 4.c) Ficaria dividido por 2.

16 . MACKENZ1E — Um foguete elevou-se a uma altura h = 0 ,ÍR da superfície terrestre. O raio da Terra é R . Em que proporção variou o peso docorpo do foguete cm comparação com o seu peso na superfície terrestre?

17. UNIVERSIDADE DE TAUI3ATÉ —- O raio da Lua é — do raio da Terra4

c a massa da Lua é ------ da massa da Terra. Quando Armstrong pisou80

na Lua, o seu peso naquele satélite era:

1 1a) ------ do seu peso na Terra. c) — do seu peso na Terra.

20 • 5

,. 1 . _ d) 5 vezes o seu peso na Terra. b) ------ do seu peso na Terra.

80

18 . CESGRANRIO —- Júpiter, o maior planeta do Sistema Solar, tem diâmetro11 vezes maior do que o da Terra e massa 320 vezes maior que a terrestre.Qual será, na superfície de Júpiter, o peso de um astronauta e seu equipamento, cujo peso total na Terra é I20N?

a) 120 N d) 320 N b) 180 N e) 3 500 Nc) 240 N

19. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Para um corpo na superfície de um planeta que tivesse o dobro do volume da Terra e massa igual à da Terrateríamos:

a) o peso do corpo no planeta igual ao peso do corpo na Terra. b) o peso do corpo no planeta igual ao dobro do peso do corpo na Terra.c) o peso do corpo no planeta igual à metade do peso do corpo na Terra.d) Nenhuma dessas.

20. MACKENZIE — Se um planeta tem massa igual ao dobro da massa daTerra e tem raio igual ao triplo do da Terra, então na sua superfície umcorpo de massa 10 kg terá peso aproximadamente igual a:

a) 2,2 N. d) 13,3 N. b) 4,4 N. e) n.d.a.



254

21. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ — O planeta Mercúrio apresenta um raiocorrespondente a aproximadamente 40% do da Terra, e sua massa atingea 4% da terrestre. Quat será o peso, na superfície de Mercúrio, de um

corpo que, na Terra, pesa 196N?

22. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ — A seguinte experiência é feita na Terracom o corpo descrito na questão anterior: sobre uma superfície plana, horizontal, scm atrito, aplica-se ao corpo uma força constante de 490 N, efe-tuando-se a medida da aceleração resultante a. Qual o valor de a?Caso esta experiência seja repetida nas mesmas condições, porém na superfície do planeta Mercúrio, mediremos uma aceleração maior, menor ouigual? Explique.

É dado o valor da constante gravitacional de campo terrestre: g = 9,80 N/kg.

23. MEDICINA DA SANTA CASA — Considerando a constante dc gravitaçãouniversal com valor G = 6,67 . 10—11 N . m2 . kg-2, a aceleração da gravidade ao nível do mar g —9,8 m . s'1-2, e o raio da Terra r = 6 400 km, escolha, dentre os valores fornecidos a seguir, o que melhor representa a massada Terra, cm kg.

a) 5,2 . 1022 d) 6,0 . IO23

b) 5,5 . 1022 e) 6,0 . 102*c) 5,8 . 1022

24. MAPQFEI — A massa da Terra é 81 vezes a da Lua. A distância da Terraà Lua mede 380 000 km. A que distância do centro da Terra se situa o pontoonde o campo gravitacional é nulo?

25. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO -— Indique a afirmativa correta:

a) O campo gravitacional terrestre é uniforme em toda a região situadaentre a Terra e a Lua. b) A constante gravitacional G tem o mesmo valor para todos os pares de

pontos materiais.c) As forças gravitacionais, assim como as eletrostáticas, podem ser tanto

de atração como de repulsão.d) A resultante das forças gravitacionais exercidas pelo sistema Terra-Lua

sobre um çorpo situado a meia distância entre os dois planetas é nula.

e) A força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional àdistância que os separa,

26. MEDICINA DA SANTA CASA — Na Eua, para uma pedra cair em quedalivre, a partir do repouso, da altura de 20 m c atingir a superfície lunar,necessita de 5.0 s, A aceleração da gravidade na Lua, com base nessa medida,expressa em m/s2, é um valor mais próximo de:a) 9,8. d) 1,6.

b) 4,9. e) 1,2.



r /« r / /v // /( r 7 r \

27. FUVEST — A figura representa o gráfico posição — tempo do movimentode um corpo iançado verticalmente para cima, com velocidade inicial V0,na superfície de um planeta.

a) Qual o valor da aceleração da gravidade na superfície do planeta? b) Qual o valor da velocidade inicial V()?

28. PUC (SÀO PAULO) — O peso de um corpo:

a) medido ao longo de um meridiano e ao nível do mar permanece cons-tante.

b) medido ao longo de um paralelo e ao nível do mar varia sensivelmente.c) não varia com a altitude.d) é maior no Equador que nos pólos.e) varia com a latitude.

29. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual das opções abaixo representauma afirmação correta?

a) Uma astronave que gira em torno de um planeta é atraída por ele. b) Na Lua, a aceleração gravitacional é nula.c) Na Lua, o peso de um astronauta é o mesmo que na Terra.d) A massa do primeiro jipe lunar era menor na Lua do que na Terra.e) A aceleração da gravidade tem a mesma intensidade em qualquer lugar

da Terra.

30. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Devido à rotação da Terra em tornode seu próprio eixo, um corpo de massa M sobre a superfície da Terra, loca-lizado a uma latitude O, experimenta uma aceleração centrípeta que é:a) maior do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.

b) igual à de um corpo de mesma massa localizado no Equador.c) difícil de ser calculada sem os dados numéricos.d) menor do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.

31. MAPOFEI — Admitir que a Terra seja uma esfera homogênea de raio R,girando com velocidade angular m. Exprimir a diferença (gs —gE) entre asacelerações da gravidade no Pólo Sul e no Equador



256

32. INATEL — Supondo que a Terra seja uma esfera perfeita de raio igual a6 400 km, quanto pesará no Equador um homem que, no Pólo Norte, pesou

80 kgf? Dados; 1 dia = 8,6 . KHs;gpAio = 9,832 m/s-.

33. MEDICINA DA SANTA CASA — A constante de gravitação universal éG. O período de rotação de um planeta X é T. Sabe-se que no equador deX, mesmo um dinamômetro de alta sensibilidade mantém suspenso na vertical qualquer corpo de massa 1 t, acusando força zero. A densidade médiado planeta X é:

a)

n

GT ’ d)

37C

GT2

b)4-tc

GTe)

3tc

GT '

c)47t

3GT- ‘

34. ÇESCEA — Quantas vezes mais rápido, aproximadamente, teria de girar n

Terra em seu movimento de rotação, para que uma pessoa, situada ao longoda linha do Equador, tivesse seu peso reduzido a zero? São dados;g — 10 m /s2, Wt = velocidade angular de rotação da Terra = 7 . 10~5 rad/s,e R t = raio da Terra íi; 6 400 km.

a) 2 vezes. d) 1 000 vezes. b) 18 vezes. e) Depende da massa do corpo.c) 100 vezes.

35. ENGENHARIA DE SANTOS — Instalam-se fios de prumo em diversos

locais na superfície daTerra e aguarda-se o equilíbrio. Julgar as afirmativas:1) Cada fio de prumoaponta aproximadamente para o centro da Terra.2) Os fios de prumo são todos verticais, portanto paralelos entre si.3) Exceto nos pólos e no Equador, a rotação da Terra influi na direção da

vertical do lugar.

36. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual dos seguintes gráficos melhorrepresenta o módulo da aceleração da gravidade no interior da Terra?(Considere que a distância zero é o centro da Terra, que a distância R é igual

ao raio da Terra e que a Terra é homogênea.)

Um satélite artificial da Terra tem órbita circular. Os testes 37 e 38

Em relação a um referencial inerciah

37. CESGRANRIO — qua] das opções anteriores meliior representa a resultante

das forças que atuam sobre o satélite?

38. CESGRANRIO —■qual das opções representa melhor a aceleração do sa-

télite?

39. FUVEST — Um planeta de massa m gira numa órbita circular ao redor de

uma estrela de massa M, com velocidade de translação constante. Esboce

graficamente esta situação, identificando as direções e sentidos das forçasque agem sobre o planeta e sobre a estrela, indicando a relação entre os

módulos dessas forças. (Considerar m < < M.)

40. EUVEST —■ Podemos admitir, numa primeira aproximação, que a Terra

descreve um movimento circular uniforme em torno do Sol.

a) Faça uma figura da trajetória da Terra em torno do Sol, mostrando,

num determinado ponto da trajetória, os vetores velocidade e aceleração

centrípeta da Terra. b) Indicando com FG o módulo da força gravitacional que o Sol exerce

sobre a Terra e com Fc o módulo da força centrípeta que atua sobre

a Terra, quanto vale Fc/ F c?

41. PUC (CAMPINAS) — Em relação a um referencial com origem no centroda Terra e eixos dirigidos para estrelas fixas, um satélite S descreve em torno

da Terra uma órbita circular de raio Rj. Julgar:

1. A força gravitacional que atua no satélite é inversamente proporcional

a Ri.

2. A força resultante sobre o satélite é nula.3. O satélite possui aceleração.

258

//

a) 1, 2 e 3 são falsas. d) Só a 2 é correta. b) Só a | é correta. e) o.d,a,c) Só a 3 é correta.

42. CESCEA — Considere-se um satélite artificial cm órbita circular ao redorda Terra. Qual das seguintes afirmações é correta:

a) Sobre o satélite age uma força de origem gravitacional que modificaseu movimento inercial, mantendo-o em órbita.

b) Sobre o satélite age uma força dc origem gravitacional que se opõe àforça centrífuga, impedindo que ele se afaste da Terra.

c) A inércia que o satélite possui gera uma força centrífuga que impedeque ele caia em direção à Terra.

d) Se não existisse uma força de origem gravitacional agindo sobre o satélite,este afastar-se-ia radialmente da Terra.

e) Não sei.

43. CESCEA — Para um satélite permanecer em uma órbita circular a uma

altura h da terra (h < < R, sendo R o raio da Terra) é necessário que:a) a aceleração centrípeta do satélite -seja igual à aceleração da gravidade na altura h.

b) a força centrífuga seja equilibrada pela força da gravidade na altura h.

c) a força de atração da Terra sobre o satélite seja equilibrada pelaatração do Sol sobre o satélite.

d) a velocidade angular do satélite seja proporcional à altura b.

e) Não sei.

44. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um satélite está em órbita circular emtorno da Terra. Desta situação afirma-se:

I — O vetor-veloeidade é constante.II — O período é constante.

III — O vetor-aceleração é constante.

Destas afirmações está(ão) correta(s):

a) apenas II. d) apenas I e III b) apènas III. e) I, II e III.



45. ITA — Os satélites de comunicação (chamados síncronos) permanecem praticamente estacionários sobre determinados pontos do Equador terrestre. Comreferência a este fato. ignorando o movimento de translação da Terra:

a) um observador terrestre que esteja sob o satélite diz que ele não cai porque está fora da atração da gravidade.

b) outro dirá que ele não cai devido ao campo magnético que envolvea Terra.

c) um terceiro invoca a terceira lei de Newton e explica que existe umareação igual e oposta à atração da gravidade.

d) um observador que estivesse no Sol explicaria o fenômeno còmo ummovimento circular uniforme sob a ação de uma força única, centrípeta.

e) Nenhuma das afirmações acima é correta.

46. ENGENHARIA DE SANTOS — Um satélite de massa 1 1 1 descreve umaórbita circular de raio R cm torno de um planeta de massa M. Sendo G aconstante de gravitação universal, podemos afirmar que a velocidade escalardo satélite será dada por:

a)

b)

c)

V =

V =

V =

MG

R-

MGR

/ MG

V R

d)

e)

47. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS — Deseja-se colocar um satélite emórbita circular ao redor da Terra. Pode-se afirmar que a velocidade do satélite será:

a) diretamente proporcional à-massa do.foguête. b) independente da massa do foguete.c) inversamente proporcional à massa do foguete.d) diretamente proporcional à distância do satélite ao centro da Terra.e) proporcional ao inverso do quadrado da distância Terra-satélite.

48. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Considerando que a Terra tenha massa Me raio R, a velocidade com que se deve lançar um satélite para que entre

em órbita circular logo acima da superfície terrestre é:a) MgR. d) \U2p:,

b) 2gR. e) V“gR.c) 2 V gRM.

49. FUVEST — Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em tornoda Terra, o seu período seria T. Sendo G a constante de gravitação universal, expresse a massa específica média (densidade média) da Terra em função



260

50. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um satélite de massa m descreve uma órbitacircular de raio 1^ em torno de um planeta de massa M. A constante degravitação universal vale G. Se este satélite passar a girar cm outra órbita

circular de raio R., = R ,/3 em torno do mesmo planeta, a relação V^/V^entre os módulos de suas velocidades tangenciais ao longo das órbitas deraios R, c R2, respectivamente, será:

a) 1/9. b) 1/3.c) \Z~X/3.d) 3.e) um valor diferente dos anteriores.

51. FEI-MAUÁ — Pretende-se lançar um satélite artificiai que irá descrever umaórbita circular a 1 040 km de altura. Sabendo-se que G (constante gravita-cional) = 6,7 . 10—11 uSI c que o raio e a massa da Terra são RT = 6 400 kme Mx = 6 . IO-4 kg, determine a velocidade tangencial que deve ser imprimida ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada.

Determine também a frequência do movimento do satélite e o número devoltas que ele dará por dia em torno da Terra.

52. ARQUITETURA DE SANTOS — Um satélite gira cm torno da Terra comvelocidade V, mantendo-se à distância d de sua superfície. Se R é o raioda Terra, a aceleração da gravidade terrestre nos pontos da trajetória dosatélite é:

a) zero. d) V2/(R -f d). b) 9,8 m/s3. e) W d .

53. UNIVERSIDADE DE SAO CARLOS — A distância da Terra à Lua é de384 000 km. A Lua gasta aproximadamente 2,4 . 1015s para completar umavolta em torno da Terra. Considerando o movimento circular uniforme, aaceleração centrípeta da Lua será de:

c) 5,4 . 10~2 m /s3.

54. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Em determinado ponto do es paço, um corpo de massa 1 kg é atraído para a Terra com uma aceleraçãode 8 m /s2. A aceleração a que estará sujeito um corpo de 4 kg, se colocadono mesmo ponto do espaço, será, em m/s2, de:

c) VVR.

a) 0,54 . IO“ 2 m /s3. bj 2,71 . 10—2 m /s3.

d) 2,63 . 10-* m /s2.ej 2,71 . 10—'! m /s2.

a) 8. b) 32.

d) 1.e) 4.



261

55. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um satélite move-se numa órbitacujo raio é 2 vezes maior que o raio terrestre. A aceleração centrípeta destesatélite em torno da Terra será, sendo g a aceleração da gravidade na super

fície terrestre, de:a) 0. d) g/2,

b) g. e) g/4.c) 2g.

56. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um satélite artificial terrestre, cujamassa é 200 kg. descreve uma trajetória perfeitamente circular com velocidade constante, em módulo. A aceleração centrípeta sobre o satélite é de8 m/s-. Qual é, em newtons, a intensidade da força de atração gravitacionalda Terra sobre o satélite?

a) 12 800 d) 0,04 b) 1 960 e) zeroc) 1600

57. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um satélite artificial circula emtorno da Terra numa órbita circular. O período de rotação do satélite:

a) independe de sua massa. b) será tanto maior quanto maior a sua massa.c) será tanto maior quanto menor a sua massa.d) é diretamente proporcional à sua massa.e) Nenhuma das respostas anteriores.

58. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Dois satélites estão em órbita, auma mesma distância da superfície da Terra. Os dois satélites possuem massas diferentes. Assim sendo, poderemos afirmar:

a) O de maior massa possui maior período. b) O de menor massa tem maior velocidade.c) Os dois possuem a mesma aceleração.d) Os dois possuem a mesma energia cinética.e) O de maio!' massa possui maior frequência.

59. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Três satélites artificiais A, B, Cencontram-se em órbita circular em torno do centro da Terra. A e B estãocm órbitas dc raios iguais, enquanto C encontra-se mais afastado da Terra.

Supondo-se mA> mB> mc, o período de-C é maior, menor ou igual ao período de A?

a) Menor. b) Maior.c) Igual.d) Impossível calcular, pois não se conhece ovalor dasmassas.e) Impossível calcular, pois não se conhecem asdistâncias dos satélites ao

centro dá Terra.

262

60. IME — Um corpo esférico de massa m, = 10 kg percorre, no espaçosideral, uma órbita circular de raio 107 m em torno de outro também esférico, cuja massa é rru = 2 . 1022/ 6,67 kg, A constante de gravitação

é G = 6,67 . 10—11 N . m2/kg3. O período de revolução é de;a) 200 000 s. d) 360 000 s.

b) 100 000 s. e) Nenhuma das anteriores,c) 300 000 s.

61. PUC (CAMPINAS) — A distância média entre Marte e seu satélite Fobosé de 9 500 km. O diâmetro de Marte é de 6 800 km e sua densidade médiaé de 4 120kg/m :í. O período de Fobos é:

a) T = 5,6 h. d) T = 3,6 h. b) T = 7,7 h. e) n. d. a.c) T = 7,6 h.

.62. IME — Um planeta esférico, sem atmosfera e com 3 115 km de raio, temaceleração da gravidade de 8 m /s2, independente da altitude. Uma astronavegira em órbita circular concêntrica com o planeta a uma altitude de 10 km.Um objeto, com massa de 10 kg, solta-se da nave. Qual o seu tempo dequeda?

63. UNIVERSIDADE DO CEARÁ — Um satélite estacionário, utilizado cmcomunicações, é colocado em órbita circular acima da linha do Equador,com velocidade tangencial Vs e angular ms.- Sendo Vx a velocidade tangen-

, ciai de um ponto do Equador e 0 )T a velocidade angular da Terra, podemosafirmar que:

a) Vs > VT e o)s = (0 T. b) V5 = VT e cos = o)r.

c) Vs < Vx e (i)s > WT.d) Vs VT e ws < 0)T-

64. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Suponha um satélite artificialque gire numa órbita circular ao redor da Terra, a uma altura h acima dasuperfície do nosso planeta. Sendo M a massa da Terra, R o seu raio e Ga constante de gravitação universal, podemos concluir que a velocidade angular que o satélite deve ter para permanecer em órbita será dada por:a) [GM/(R + h)]V2. d) GM/(R + h)V2.

b) GM/(R + h). e) [GM/(R + h)3]V2.c) GM/(R + h)2.

65. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Em relação ao problema anterior, se m é a massa do satélite, podemos concluir que sua energia cinéticaserá dada por:

a) GM m/(R + h)2. d) GM m/2(R + h). b) GMm/(R + h)»/2 . e) GM m/3(R + h).

263

66. UNIVERSIDADE DE SAO CARLOS — Considerando o movimento daTerra em tomo do Sol como circular, desprezando o efeito dos outros corposcelestes e dispondo das seguintes grandezas: t — período de rotação daTerra em torno de seu eixo, T — período de translação da Terra em tornodo Sol, R — distância da Terra ao Sol, M — massa da Terra, G — constante universal de atração gravitacional, podemos afirmar que a massa doSol é:

47taR;la) ------------

GT2d)

b) 4* 3R\GT:i

e)

4it2RaC)------------

.GT

GTt

471a R<

GT-t-

67. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Galileu observou o satélite Io de Jú piter e determinou seu período em 1,77 dias ou 1,53 . 105 s. Sua distânciaa Júpiter foi também determinada: 4,22 . 1010 cm. A constante da gravitação universa! é 6,7 . )()-!t unidades CGS. A massa de Júpiter é da ordem de:

a) 1021 g. b) 10™ g.c) K)s# g.d) 102tig.e) Um valor diferente dos anteriores e expresso em potências de 10.

68. FUVEST -—- Dentro de um satélite em órbita em torno da Terra, a tãofalada “ausência de peso”, responsável pela flutuação de um objeto dentrodo satélite, é devida ao fato de que:

a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a gravidade não se propaga

no vácuo. b) a órbita do satélite se encontra fora da atmosfera, não sofrendo assim osefeitos da pressão atmosférica.

c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, conseqüentemente, o pesode qualquer objeto é nulo.

d) a força de atração terrestre, centrípeta, é muito menor que a força centrífuga dentro do satélite.

e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma aceleração produzida unicamente por forças gravitacionais,

69. CESCEA — Use o código abaixo para responder à questão:

a) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, e a razão é uma justificativa correta da asserção.

b) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, mas a razão não é uma justificativa correta da asserção.

c) A asserção é uma proposição verdadeira e a razão é uma proposição incorreta.



264

d) A asserção é uma proposição incorreta e a razão é uma proposição verdadeira.

e) Não sei.

Um astronauta pode flutuar livremente dentro de um satélite em órbita terrestre porque o campo gravitacional diminui à medida que aumenta adistância ao centro da Terra.

70. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Sabe-se que no interior de umanave cm órbita da Terra os corpos flutuam. Podemos afirmar que, para oastronauta, este fenômeno é devido à:

a) ausência do campo gravitacional da Terra. b) ação do campo gravitacional da Lua.

c) ausência de atmosfera.d) ausência de suas massas no espaço.e) força centrífuga.

71. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — Esta questão apresenta duasafirmações, podendo a segunda ser uma razão para a primeira. Assinale:

a) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativada primeira.

b) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justificativa da primeira.

c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.

Vamos supor que a órbita do laboratório espacial Skylab é uma circunferênciacujo centro coincide com o centro da Terra. Inúmeras reportagens transmitidas pela televisão mostram ocupantes do Skylab flutuando dentro da nave.Em consequência, podemos afirmar que:

l.a afirmação 2.a afirmaçãoA força resultante que atua a aceleração deste astronau-sobre o astronauta que flu- porque ta em relação à nave (Sky-tua é nula, quando medida lab) é nula.em um referencial inercial,

72. ITA — Um satélite artificial, depois de desligados.todos os seus propulsores,gira numa órbita circular estável em torno da Terra. Abandonando-se umobjeto no centro do satélite, observa-se que ele permanece indefinidamente

“flutuando” nesse local. Isto ocorre porque:a) dentro do satélite não existe atmosfera.

b) no local onde se encontra o satélite o campo gravitacional devido à Terraé nulo.

c) no local onde se encontra o satélite a soma dos campos gravitacionaisdevidos à Terra e a todos os outros corpos celestes é nula.

d) a carcaça do satélite funciona como blindagem para os campos gravitacionais.



73. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dentro de uma cápsula em órbitacircular em torno da Terra e cerca de 300 km acima do nível do mar umcorpo, abandonado com velocidade nula em relação à cápsula, no meio da

mesma, não cai em relação à cápsula porque:a) está fora do campo gravitacional da Terra. b) a cápsula está caindo livremente no campo gravitacional e sua velocidade

tangencial é suficiente para que ela siga trajetória circular.c) a força da gravidade da Terra é igual e de sentido oposto à força de

gravidade da Lua.d) a pressão da atmosfera nessa altura é suficiente para que ela siga traje

tória circular.e) Nenhuma das razões é válida.

74. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — No interior de um satéliteartificial, que está girando em volta da Terra descrevendo uma órbita fechada, um astronauta deixa cair duas esferas de massas 50 g e 200 g. Pode--se constatar que:

a) a esfera maior cai mais depressa. b) a esfera menor cai mais depressa, pois encontra menor resistência.c) ambas caem e o fazem com a mesma velocidade, pois, já que não há ar,

não existe atrito, e são válidas as leis de queda no vácuo.

d) as velocidades de queda serão maiores que as observadas em um satéliteque descreve órbitas cm tomo de Marte,

e) todas as respostas acima estão erradas.

75. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — Um satélite artificial em órbitacircular dista R do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélitetambém em órbita circular tem período igual a ST. O raio da sua órbita é:

a) 2R. d) 16R, b) 4R. e) Nenhum desses.c) 8R.

76. FESP — Um satélite artificial gira ao redor da Terra em trajetória circularde raio Ru e período T#. Se em virtude de uma perturbação o raio quadru- • plicasse, o novo período T:

a) não seria afetado. d) seria T = 8T0. b) seria T = 4T0. e) Nenhuma das alternativas.c) seria T = T„/4.

77. PUC (SÃO PAULO) — Supondo as trajetórias descritas pelos planetas emtorno do Sol praticamente circulares, o trabalho realizado pela força de atração do Sol numa revolução em torno do astro é:

a) proporcional ao raio de suas trajetórias. b) proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.c) inversamente proporcional ao raio de suas trajetórias.d) nulo.e) inversamente proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.



266

1. c 2. a 3. a 4, b 5. e 6. d 7. e 8. c

9 . O n o v o v a lo r d a “ a c e l e r a ç ã o d a g r a v i d a d e " s e r i a — d a a c e l e r a ç ã o n o r m a l

9

da g r av idade .

10 . c 11 . gs = 269 ,5 m /s 2 12 . hL = 3 ,6 m 13 . d 14 . d 15 . d

16 . O peso do corpo ser á 1 ,21 vezes m eno r do que na sup er f íc ie da Ter r a .

17 . c 18 . d 19 . d (Peso no p lane ta = \ / 0 ,2 5 • peso na Ter r a . )

2 0. e (P « 2 2 , 2 N )

21. Pm = 4 9 N

22 . aTcrra = 24 ,5 m /s 2 ; aMcrcllrio = 24 ,5 m /s 2 . Co m o a m assa iner c ia l é a m esm a,

p a ra a m e s m a r e s u l t a n te t e re m o s a m e s m a a c e l e r a ç ã o .

23 . e 24 . d = 342 000 km 25 . b 26 . d

27. a) g = 2 m / s 2 ; b) V 0 = 6 m /s .

28. e 29 . a 30. d

31- gs - 9e =3 2 . P E = 7 9 ,7 2 k g f

33. d 34 . b

35. 1) E; 2) E; 3) C .

36. c 37 . c 38 . c3 9 . A s fo r ç a s d e a t ra ç ã o g r a v i ta c í o n a l o b e d e c e m a o P r in c í p io da A ç ã o e R e a ç ã o ,

t e n d o m e s m a d i r e ç ã o , s e n t i d o s o p o s t o s e in t e n s i d a d e s i g u a i s .

M

40. a)

à'V

Terra

/ '

Sol

41 . c 42 . a 43 . a 4 4 . a 4 5 . d 4 6 . c 4 7 . b 4 8 . e 4 9 . d m =3rt

G T2

5 0 . c 5 1 . V T « 7 , 9 . 10 :i m / s ; f « 2 ,0 . 1 0— 1 H z « 17 v o l ta s / d i a .

52 . d 53 . d 5 4 . a 55 . e 56 . c 57 . a 58. c 59 . b 60 . e 61 . c

6 2 . O o b j e to p e r m a n e c e e m ó r b it a e m t o rn o d o p l a n e ta .

63. a 6 4. e 65, d 66 . a 67. c 6 8. e 69. b 70 . e 71. d 72. e 73. b

7 4 . e ( A m b a s a s e s f e r a s p e r m a n e c e m n o p o n t o e m q u e fo r a m a b a n d o n ad a s e m

r e la ç ã o à n a v e e m e s t a d o d e i m p o n d e r a b i lid a d e . )

75. b 76. d 77 . d



G Gravibcionanerqia



Energia potencial gravitacionalJá vimos anteriormente a expressão que nos permite calcular a

energia potencial do sistema formado por um ponto material e aTerra, numa determinada posição.

_. , _ plano de referênciaTrata-se de Ep„, grav = mg h.

Nesta expressão, m é a massa do ponto material e h é a ordenadado ponto em reíação a um plano de referência horizontal qualquer

dentro de um campo gravitacional uniforme. Isto significa que g*. intensidade do campo gravitacional, deve ser obrigatoriamente cons

tante, o que só ocorre nas proximidades imediatas da Terra.

À medida que passemos a trabalhar com grandes distâncias relativamente ao raio da Terra, a intensidade do campo gravitacional (g*)

passa a variar sensivelmente, conforme pudemos deduzir pela Lei

da Gravitação Universal, ou seja, g* =GM

"d*” '

Isto significa que a expressão E po t g rav — mg*h não pode mais seraplicada, pois o campo gravitacional não é uniforme.

Para determinar uma nova expressão para a energia potencialgravitacional do sistema corpúsculo-Terra numa posição qualquer doespaço, adota-se um ponto de referência no infinito (região do espaçoonde as ações gravitacionais do planeta são praticamente desprezíveis) em relação ao planeta. Aparentemente, esta escolha parece



Isto pode ser feito, pois o ponto de referência é sempre arbitrário. É bom lembrar que, no ponto de referência, a energia potencialgravitacional do corpúsculo ali colocado é nula por convenção.

Pode-se demonstrar matematicamente que, adotando-se o refe-

rencial no infinito relativamente ao planeta, a expressão da energiapotencial gravitacional do sistema corpúsculo-Terra (Epol) é:

_ GMmEpot — -------------------

onde d é a distância do corpúsculo ao centro do planeta.

A expressão indica que a energia potencial gravitacional dosistema é sempre negativa ou nula. Nula unicamente quando o corpúsculo estiver no ponto de referência, ou seja, no infinito.

Energia mecânica de um sistema

Como já sabemos, energia mecânica de um sistema é a somaalgébrica de suas energias potencial e cinética.

Em símbolos:

Eiwi Eci

Admitamos, por exemplo, um foguete que se afasta da Terra comvelocidade de intensidade V, a uma distância d do centro do planeta.

d

/



Logo:

GMm

A última expressão nos indica que a energia mecânica do sistemaplanetasatélite, em órbita circular, é negativa. Gostaríamos de enfa-tizar que esta conclusão, ou seja, energia mecânica negativa, sempreocorre quando as órbitas são fechadas (elipses, por exemplo). Obser-vase que, quando as órbitas são abertas (parábolas e hipérboles), aenergia mecânica do sistema é positiva ou nula.

• Sistema conservative — Quando um sistema é conservative, a

energia mecânica se mantém constante em qualquer estado dosistema.

Isto ocorre freqüentemente no espaço cósmico, nos sistemasformados por corpos materiais que se atraem gravitacionalmente.

Primeiramente, porque as forças gravitacionais de atração entreas partes do sistema são conservativas e, em segundo lugar, pelainexistência de atrito, pois o sistema está no vácuo.

Em e: ■—L Ec in + E po t — cte sistema conservative

Velocidade de fuga ou de escape

Normalmente, quando lançamos um corpo para longe da Terra,ele retorna ou entra em órbita. É sinal de que a velocidade impri-mida ao corpo não foi suficiente para vencer a atração da ferra.



272

Se o lançamento for vertical, as forças gravitacionais vão freandoo corpo. Num determinado momento ele pára e volta.

Se o lançamento for horizontal, as forças gravitacionais vão des-viando o corpo até que ele se choca com a Terra ou se torna satélite,entrando em órbita elíptica (órbita fechada).

Estamos, obviamente, desprezando a ação da atmosfera parafacilitar a análise do problema.

Há, entretanto, uma velocidade mínima a partir da qual o corponem entra em órbita fechada (tornandose satélite) nem retorna: elese afasta indefinidamente do planeta. É a velocidade de fuga ou de

escape do corpo em relação ao planeta (Vr).

infinito

d

Partindo com V(, o movimento do corpo será retardado à medidaque se distancia do planeta, devido à ação das forças gravitacionais.Entretanto, só conseguirá parar num ponto muito afastado (infinito).Lá as forças gravitacionais serão praticamente nulas e ele não terá

condições de retornar.Vamos determinar essa velocidade de fuga (sem levar em conta

o atrito com a atmosfera).

Lancemos o corpo com exatamente a velocidade de fuga (Vf) apartir do ponto A, situado à distância d do centro do planeta.



Ä

No momento da partida, as energias cinética e potencial dosistema corpo-planeta valem:

pAEcin

cA --L-pot --

= mV ?/2

GMm

Portanto, a energia mecânica do sistema na partida vale:

GMm a __ mVf tinec — (D

2 d

Ao chegar num ponto muito afastado do planeta (infinito), o corpopára (mas não retorna). Logo, nesta posição, temos:

Ed« = 0 (corpo pára)

E,w, = 0 (corpo chega ao ponto de referência)

Logo, a energia mecânica do sistema no infinito vale: _inf _iní . _inf inf n n

Erncc — Ecin + Epot = 0 + 0 = * Emcc = 0 (II)Mas, o sistema corpo-Terra é conservative; daí, concluímos:

A — inf — i-mee — Lmcc — «

Esta conclusão é importante. Para o corpo se afastar do planeta e não mais retornar, a energia mecânica mínima do sistema deve ser zero.

Mas, igualando as expressões (I) e (II), vem:

pA _ pinf t-m ee — f-m e e

píV? GM r/

E, finalmente:

v ' = V

[2 G f j r

d

Lembrando que g* = ^ temos GM = g*d2 que, substituídada

na expressão acima de Vf, traz:

Ví2GM



274

onde g‘ é a intensidade do campo gravitacional no ponto de lança-

mento e d é a distância deste ponto ao centro do planeta.

Se o lançamento for horizontal, podese demonstrar matematica-mente (o que foge ao escopo do curso) que a trajetória descrita pelo

corpo, ao ser lançado exatamente com a velocidade de fuga (Vf), será

uma parábola (curva aberta) com foco no centro do planeta.

I

infinito

Se o corpo for lançado horizontalmente com uma velocidade maiorque a de fuga (V > Vf), ele não pára nem no infinito. Isto significa

que a energia mecamca do sistema e positiva, pois Emec = ECm-j- Epoi

(energia mecânica no infinito), onde:

E^f, = 0 (corpo chega ao ponto de referência)

Edn > 0 (o corpo não pára)

Neste caso, podese provar matematicamente que a trajetóriadescrita pelo corpo é uma hipérbole (curva aberta) com foco no centro

do planeta (melhor seria dizer ramo de uma hipérbole).

infinito



276

1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Um satélite artificial está percor-rendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Na figura abaixo,temos dois pontos A e B representando duas posições do satélite.

\V

Podemos afirmar que;

a) a energia mecânica total do satélite em B é muito maior doque em A.

b) a energia cinética do satélite permanece constante.

c) a energia cinética do satélite emA

é menor que emB

e aenergia potencial deste em A é maior que em B.

d) a energia cinética do satélite em A é maior que em B e aenergia potencial deste em A é menor que em B.

e) a energia potencial é constante, mas a energia cinética crescede A para B.

Resolução: Adotando como referência um ponto muito afastado da

Terra (infinito), representando por M a massa da Terra, por m a massa

do satélite e por d a distância entre seus centros, temos:• energia potencial gravitational do sistema Terra-satélite:

GMm

• energia cinética do sistema Terra-satélite:

mV2Ecm= — ------

onde V é a intensidade da velocidade do satélite e onde admitiuse a

Terra estacionária e sem rotação.

• energia mecânica do sistema Terrasatélite:

E|M>t I Ecin

Mm mV2Em£rc= —G ----------- 1-------------

d 2 m

O sistema Terrasatélite pode ser considerado conservativo, pois as

forças trocadas entre os corpos são conservativas (forças gravítacionais)

e o sistema se encontra no vácuo, onde não há atrito.

Logo, a energia mecânica do sistema se conserva ao longo da órbitae podemos, então, escrever Emcc = Emtc.

À medida que o satélite se aproxima da Terra, a distância d diminui e a energia potencial gravitacional também diminui. Neste caso, como

a soma das energias potencial e cinética (energia mecânica) deve per-manecer constante, a energia cinética do satélite aumenta.

Assim sendo:

dA < dB=> E po c ^ E p o t ■—^ E c in > E c in

Isto significa que no percurso de B para A a energia potencial diminui e a energia cinética aumenta.

Em resumo, no percurso de B para A:

GMm . .Epo, = ------------- diminui, pois d diminui;d

GMm mV2Emec = (---------- permanece constante;

d 2

mV2aumenta.

2



278

Graficamente temos:

Observe que, como a órbita do satélite em torno da Terra é fechada,

a energia mecânica do sistema Terra-satélite em relação a um referencial

no infinito é negativa.


2. ITA — Um foguete lançado verticalmente da superfície da Terra

atinge uma altitude máxima igual a três vezes o raio R da Terra.Calcular a velocidade inicial do foguete.

a) V =3GM

2Rgravitacional.

b) V =

c ) V = J -

Resolução:

4GM

3R

2GM

3R

onde M é a massa da Terra e G a constante

d)

e)



Admitindo o sistema Terra-foguete conservatívo e adotando referencialnum ponto muito afastado da Terra (infinito), decorre que a energiamecânica do sistema permanece constante ao longo do percurso do

foguete. A massa do foguete é m e supõe-se a Terra estacionária.Assim:

pin ___ pfin^ n je c — ^ m c c

Ep", + E Í = E ‘ Z + E Í , onde EÍ = 0

GMi^ i/ívr. G M 0

R 2 _ 4 R

Logo:

GM V?n _ GM

R 2 4R

v ln _ GM+

GM

2 4R R

Vi* _ GM+

4GM

2 4R 4R

Vf. = 3 GM

2 4R


3. ITA — A energia potencial de um corpo de massa m na superfície

da Terra é — GMrm/Rr. No infinito, essa energia potencial é nula.Considerandose o Princípio de Conservação da Energia (ciné-

tica f potencial), que velocidade deve ser dada a esse corpo demassa m (velocidade de escape) para que ele se livre da atraçãoda Terra, isto é, chegue ao infinito com V = 0?

G 6,67 . 10—11 N . m2 . kg—’; MT= 6,0 . 1024 kg; RT — 6,4 . 10° m.

Despreze o atrito com a atmosfera.

a) 13,1 m/s d) 113km/s

b) 1,13 . 10: im/s e) Depende do ângulo de lançamento.

c) 11,3 km/s



280

Resolução:

inf in i to

O sistema Terra-corpo é conservativo. Admite-se a Terra estacionária.

Assim, Emt!C= Epot - f - Ecin = constante.

Logo:

V)n « 11 , 3 km/s

Observe que a velocidade de escape (ou de fuga) a partir da superfície

do planeta não depende da massa do corpo lançado.

Este conceito (velocidade de escape) também é útil no estudo dos gases

da atmosfera terrestre. Embora as velocidades quadráticas médias do

gás hidrogênio, do gás hélio, do gás nitrogênio, do gás oxigênio sejam

inferiores à velocidade de escape da Terra, um certo número dc molé

culas destes gases terá velocidade igual ou superior a ela, e escaparão

da Terra. Principalmente se estiverem nas camadas superiores da atmos

fera. Por esta razão, alguns gases (como o hidrogênio e o hélio, por

exemplo) são relativamente escassos na atmosfera.

Em outros planetas de velocidade de escape menor que a da Terra

(Mercúrio por exemplo tem velocidade de escape de 4 3 km/s aproxi

R.?

Portanto:

2

(velocidade de escape ou de fuga)

Decorre, então:



4. MAPOFE! — Num dado local e em dada época do ano, qual a

maré de maior altura, a da Lua Nova ou a da Lua Cheia? Explique.

Resolução: A mudança dc nível das águas dos oceanos é devida à ação

conjunta da Lua c do Sol sobre a Terra. Principal mente devido à ação

da Lua. A água dos oceanos no lado mais próximo da Lua sofre uma

atração mais intensa do que a água no lado oposto. Assim, as inten-

sidades das forças de atração sobre uma massa unitária de água em A

e C são diferentes. A intensidade de atração em A é maior que em C.

A Terra como um todo, imaginada concentrada em B, sofre uma força

de atração de intensidade intermediária por massa unitária.

Portanto, em A a superfície da água se afasta da Terra na direção da

Lua. Esta é a região da maré alta.

Mas, devido à rigidez da Terra como uni todo, cia experimenta uma

força atrativa de intensidade maior que a água, em C. Assim, a Terra

se afasta da água em C, propiciando o surgimento de uma maré alta em C, do mesmo modo que cm A.

Como o volume da água dos oceanos é praticamente constante, o

surgimento de marés altas em A e C faz o nível das águas baixar

em D e E: são as marés baixas.

A força gravitacional ‘exercida pelo Sol sobre a Terra é mais intensa

que aquela exercida pela Lua. Por que, então, a Lua tem maior

influência no fenômeno das marés?

A razão é simples: as marés são devidas basicamente à diferença relativa

nas intensidades das forças gravitacionais nos lados opostos A e C, e

não às forças em si. Pelo fato do Sol estar muito distante da Terra,

a diferença relativa entre as intensidades das forças que ele faz surgir

em um lado da Terra e no lado oposto é muito pequena. A Lua,

entretanto, está muito próxima da Terra e a diferença relativa das forças

que ela cria é suficiente para dominar a formação das marés.



m

% Lua

Obviamente, a ação elo Sol complementa a ação predominante da Lua e altera as marés.

Duas vezes, durante o mês lunar, o Sol, a Lua e a Terra ficam aproxima-

damente em linha reta (Lua Nova e Lua Cheia). Nestas situações, as marés atingem valores até 20% maiores que os normais. Quando a Terra, a Lua e o Sol formam ângulo reto, as marés atingem valores até 20% abaixo dos normais.

Resposta: As marés na Lua Nova e na Lua Cheia têm praticamente a mesma altura.

1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um satélite artificial move-se em tornoda Terra T, numa órbita elíptica estacionária, como mostra a figura abaixo.



Qual das alternativas apresenta uma opção correta, sendo as grandezas vetoriais envolvidas consideradas em módulo?

a) O peso do satélite em P é o mesmo do que em Q e diferente de zero. b) O peso do satélite em P e em Q é zero.c) A aceleração do satélite em P é maior do que emQ.

d) A aceleração do satélite em P é menor do que emQ.

e) A energia cinética do satélite em P é a mesma do que em Q.

2. CESCEA — Um satélite, S, da Terra, T, suposta parada, descreve umaórbita elíptica, como mostra a figura abaixo:

S,

Com respeito às afirmações abaixo sobre o satélite S:

I — A energia cinética em A é maior que em B.II — A energia potencial, em módulo, é maior cm A do que em B.

III — A energia total é maior em A do que em B.

podemos afirmar que:

a) somente I e II são verdadeiras. d) todas são falsas. b) somente I e III são verdadeiras. e) apenas III é verdadeira.c) todas são verdadeiras.

3. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Analise as afirmações abaixo, emrelação à seguinte questão: um meteoro de massa m cai sobre a Terra, proveniente de um ponto muito afastado, onde estava em repouso inicialmente.Despreze os efeitos do Sol c dos planetas. M = massa da Terra; R — raioda Terra; G = constante gravitacional. Julgar as afirmativas:

]■, A velocidade do meteoro, ao atingir a superfície da Terra, seráV 2ÜM/R.

II. A energia cinética do meteoro será GMm/R.III. A energia total do meteoro, na superfície da Terra, é nula.

4. PUC (CAMPINAS) — Um satélite artificial da Terra move-se fora daatmosfera, em órbita estável. Portanto:

a) a órbita precisa ser circular. b) é necessário fornecer, continuamente energia ao satélite.c) a órbita é elíptica.d) é necessário dar impulsos intermitentes e periódicos ao satélite.e) n.d.a.



284

5. 1TA — Um astronauta, ao voltar da Lua, pode escolher diversas trajetórias

para atingir a Terra. Supondo que ele não usará os retrofoguetes dentro dostrechos de trajetória mostrados no desenho, em qual das trajetórias será míni

mo o acréscimo de energia cinética da nave entre as altitudes H —2,0 . 104

km e h = 1,0 . 104 km acima da superfície da Terra?

e) C

d) De) Todas as trajetórias dão a mesma variação de energia cinética.

6. ITA — Duas estrelas de massas m e 2in, rcspectivamcnte, separadas poruma distância d e bastante afastadas de qualquer outra massa considerável,

executam movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nes

tas condições, a mínima quantidade de energia necessária para separar com

pletamente as duas estrelas, em função da constante universal de gravitaçãoG, será dada por:

a) -G m 2/d. d) -2G m -7d. b) -(-Gm2/d. e) Nenhum dos valores acima.

c) +2Gm-/d,

7. ITA — O trabalho necessário para levar a partícula de massa M /3 do pontoA até o ponto B, em função da constante universal de gravitação G, quando

essa partícula se encontra sob a ação de 2 massas, M e 2M, conforme figura

abaixo, será dado por:

L

D,

a) A

b) B

D

a) +9GM2/2D.

b) —9GMV2D.

c) + GM -/2D.

d) -GM2/2D,

e) Nenhum dos valores acima.

285

8. FBI — Uma espaçonave está em órbita circular de raio RL. No seu interior,um astronauta larga um objeto de massa m. Pergunta-se:a) Qual o trabalho realizado pela força de atração da Terra?

b) Qual a variação da energia cinética ©m duas posições distintas na órbita?

9. FBI — Se a espaçonave da questão anterior passa a outra órbita, tambémcircular, de raio Ra 20% maior que Rlt qual a variação relativa percentualJ .............................. Ei - E2da energia cinética, isto e, --------------- . 100?

E.>

10, ENGENHARIA DE ITAJUBÁ — Um satélite é colocado em uma órbita

circular a D acima da superfície da Terra e sua massa e m. Sendo R o raiomédio da Terra, G a constante de gravitação c M a massa da Tprra, pede-se,efn função desses dados: /

a) a velocidade tangencial do satélite nessa órbita. b) o período de cada revolução em torno da Terra.c) a energia total do satélite em função da distância ao centro da Terra.

II. MAPOFEI — A figura mostra a órbita prevista do cometa Kohoutek no

Sistema Solar. A posição do cometa é indicada com a respectiva data.

a)

b)

c)d)

Xórbita lit' Mercúrio X

c< 2 'Í 3 1 . XII. XII

18 u23 . I* 21

28

. II*. 23

"24

B . J ;k 4 * 31 *

I S o , ^ f 7 , X "5 . XII

27 . II*8. Ill* zfi

18 . I l l *28

/

27

28 . Ml •29 \

\ /

/

11 13 , Xlt 1(1*11 . XII 9*3 . XI I

/ 8 * 4 . XIIt P Í S . X l

Sét9 . XI

5« 9 . XI

. 4 * 30 . X

3 * 2 0 . X

J»10 . X

Jp 30 • IX

órbita de Vónus

Órbita da Terra

Órbita de Marte

Em que situação deveria estar um observador para ver a trajetória comona figura?Em quais intervalos a velocidade do cometa é máxima e mínima respectivamente?Em que trecho da trajetória a aceleração tem maior intensidade? Por quê?Como varia a energia potencial gravitacional do cometa ao longo da



286

12. FACULDADE FARIAS BRITO — A cauda de qualquer cometa aumenta

à medida que o mesmo sc aproxima do Sol e é orientada no sentido oposto

ao Sol, como mostra a figura abaixo (este fato pôde ser observado com o

cometa Kohoutek, em dezembro de 1974).

" - / -

*>»cometa /

O fato da cauda do cometa estar dirigida no sentido oposto ao Sol se deve:

a) à força centrípeta sobre a poeira e gases que escapam do cometa. b) ao fato de ser o cometa formado por matéria, onde a lei de gravitação

de Newton é repulsiva.c) à pressão da radiação solar sobre a poeira e gases que escapam do

cometa.

13. ENGENHARIA DE MOGI DAS CRUZES — Assinale a proposição errada:

a) O peso de um corpo varia não só com a altitude, mas também com a

latitude.

b) As variações na aceleração da gravidade em diversos pontefs da super-fície da Terra são pequenas o suficiente para serem desprezadas.

c) A formação das marés é um importante fenômeno explicado pela atraçãogravitacional.

d) O valor da constante gravitacional foi determinado experimentalmentc

por Newton.

e) Ptolomeu desenvolveu a teoria em que as estrelas, o Sol, a Lua e todos

os planetas giravam ao redor da Terra.

14. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — A velocidade de escape deum foguete em relação a um dado planeta:

a) só depende da massa do foguete.

b) só depende da massa do planeta.

c) depende da massa do foguete e de outros fatores, como a gravidade do planeta.

d) depende do raio do planeta, suposto esférico e com densidade constante.e) é diretamente proporcional à aceleração da gravidade do planeta e inver-

samente proporcional ao cubo de seu raio.



15. UNÍCAMP — As velocidades das partículas gasosas na temperatura ambientesão da ordem de 2 400 m/s; as moléculas mais leves, como as de hidrogênioe hélio, podem atingir velocidades da ordem de 1l,2km /s . Qual das afirma-

ções abaixo é correta?a) A atmosfera da Terra é uma anomalia que resulta do equilíbrio dinâmico

entre as partículas que escapam e as que emanam da superfície terrestre. b) Há fuga de hidrogênio e hélio da atmosfera terrestre para o espaço.c) Existe atmosfera na Lua.d) Não existe hidrogênio e hélio na atmosfera terrestre.c) A atmosfera da Lua é constituída por elétrons livres que não obedecem

às leis da gravitação.

Os objetos que circundam a Terra são atraídos por ela com uma forçaproporcional à própria massa, e inversamente proporcional ao quadrado dadistância entre eles e a Terra (centro). A não ser que o objeto supere

esta força, ele acabará retornando à Terra, se lançado para cima. Defineseentão uma energia de ligação, e uma velocidade de escape como sendo

a velocidade que o corpo deve ter para que, uma vez lançado para o alto,não mais retorne à Terra. Considerese para as questões 16 e 17 osseguintes dados: massa da Terra ~ 6 . 10 ' kg; raio da Terra S i 6 . 10® m;

N . in-constante de gravitação universal Rí 7 . 10u ------------.

kg*

16. FMU — Se um corpo de 10 kg se encontrar em um dos pólos da Terra efor lançado para o alto, para que não retorne à Terra a velocidade de lan-çamento deve ser (aproximadamente)a) 1 000 m/s, b) 1 200 m/s.c) 40 000 m/s.

17. FMU — A correspondente energia

Terra será (aproximadamente) de:a) 700 megajoules.

b) 18 000 joules.c) 42 000 joules.

de:

d) 18 000 m/s.

e) (2 000 m/s.

de ligação deste objeto em relação à

d) 4 megajoules.e) 1,2 megajoules.

4. e (O plano da órbita deve conter o centro da Terra.)

5. e 6. c 7. c 8. a) Nulo; b) Zero.

9. 20%

robortella vol 03 estática, hidrostática e gravitação- completo

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