robortella, avelino e edson (mecanica)

L

~

I

!~

I:

~ I

L \ L'

--1.

~ -.i\;'.;.0... - -

-- --6JtWázLf 11

...

Estática do ponto material

A condição necessária e suficiente para que um corpo, conside-

rado ponto material.estejaem equilíbrioestáticoé que a resultante

das forças que agem sobre ele seja nula.

Ou seja:

I Equilíbrio de um ponto material-.Ã = Õ I

Analisemos algumas aplicações práticas:

1. Na situaçãoilustradaabaixo,esquematicamente temos:

I

,I

I -I

I '{ ( l/I1111

]/,I

il

r,

\4

" ." I / I I/

J

'r

t:EQUIUBRIO ESTÁTICO

I

..........

" - -- -- R=O-'T=P

12

f-

I

I1IIr'

1

1

tL"/\

.

/,/' I' ; ~I ,

\. I i

~~~~

A

I

~

~'-

Para o equilíbrio estático, devemos ter:

p

p~

vc

.....

a) R= O ~ polígono das forças fechadoou

{

.....

b) = O R, = TI,+ T~,+ Px= OR ~ .....

Ry= TI,.+ T~r+ Py= O. . .

Isto significa que, decompondo as forças agentes no ponto ma.terial em duas direções ortogonais, a resultante deverá ser nula emcada um dos eixos.

De acordo com a figura, vem:

p

. IT2 I

I~ -- ---x

T2x

p

t\'

.j-

~

fi

. ,.

If.

. ~, .

i

f,,

~ 13

Segundo a direção x, TI =T2 =>TI cos a = T2cos~.x x

Segundo a direção y, Tly+ T2y = P => TI sen a + T2 sen ~=P.

3. No caso iiustrado abaixo, admitindo-se que a polia e a cordatenham inércia desprezível, esquematicamente teremos:

~

"~TT

p

Estando a polia em equilíbrio estático, vem:

I R = Õ... P = 2T I

4. No tratamento de algumas lesões do corpo humano é funda-mental o conhecimento do equilíbrio estático, conforme você podeobservar nas ilustrações abaixo.

-.

-~jj;.

r;:;.

'.'

.

'

.~

~D

.~ -_oJi\

\\ ~'.

'

Ifl .~

~~í,,. ~ ~,.~.'~

;~~7~~ i:::'.~';'

14

1. MEDICINADESANTOAMARO- Um corpo que pesa 60 newtonsestá suspenso ao teto por dois fios, que formam com o tetoângulos de 60°. A força de tração em cada fio é de:}1i)' 34,5N. t~~,'L,

b) 51,8 N.c) 86,0 N.d) 91,3 N.e) 120 N.

Resolução: Observando o es-quema ao lado, temos:

. equilíbrio do corpo:-+ -+Rcorpo= O ::::}T = P

. equilíbriodo ponto O:-+ -+Ro='0 =c;> polígono das.forças fechado

Pela lei dos senos:

TI P::::}

sen 1200P

sen 300TI

=>1

2

'/32

P.=>TI = -::::} T1=

Y360 60 '\Í3= - = ::::}V3 3

::::}TI = 20 '/3N ::::}

::::} IT~~34,$ N I

::::} L~

Polígono das forças agentes em o:

P

111kl

i]

~I

, ~

I

(j

~Como o triângulo é isósceles,' TI =T2. Portanto, a intensidade daforça de tração nos fios é, aproximadamente, igual a 34,5 N.

Resposta: alternativa a.

2. PUC (SAO PAULO)- O es-quema representa 'dois cor-pos (1) e (2), com pesos res-pectivamente iguais a 5 kgf e10 kgf, suspensos por cordas

. LI e L2. Supondo desprezíveisos pesos das cordas, as tra-ções em LI e L2 valem, res-pectivamente:a) 10kgf e 5 kgf.b) 10 kgf e 15 kgf.c) 5 kgf e 10kgf.d) 15 kgf e 15kgf.ê( 5 kgf e 15kgf.

~

Resolução: Ao representar as for-ças agentes nos corpos é inte-ressante observar que no corpo(2) agem três forças: peso (P2)'tração da cordaL1 (TI) e traçãoda corda L2 (T2).

Na situação de equilíbrio, temos:corpo (1): TI = PI (1)

corpo (2): T2 =TI + P2 (2)

Substituindo-se (1 ) em (2) ,vem: T2 = PI + P2

Como PI = 5 kgf e P2 = 10 kgf,temos:

T2

T2

T 2 -:-5 kgf + 10 kgf ::::}

::::} IT2 =15 kgf I

Como TI =P1> então

ITI =5 kgfl.

P2TI

TI

P1

Resposta: alternativa e.

- - . "-~".,"""'n..,g.."1_''''__'-- --

16 ~ 17

3. PUC (CAMPINAS) - O bloco A da figura pesa 100 kgf. O coe.ficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície na qualele repousa é 0,30. O peso P é de 20 kgf e o sistema está emequilíbrio. Qual a força de atrito exercida sobre o bloco A?

A.~"~"''''11 '~ : ",~",'

P

a) 20 kgfb) 30 Nc) 30 kgf

Resolução: Observando oquema ao lado, temos:

. equllíbriodo corpo depeso P:

d) 20 Ne) n.d.a.

NA

T' 0/45' res-

-------T=P

-. -.Rcorpo= O=>T = P (1)

. equilíbriodo ponto O:

PA T

P-. -.Ro = O => polígono dasforças fechado

Assim, pela lei dos senos:T T'

Polígono das forças agentes em O:

T=P~=>'-'!.An.A~e-

=> T = T' (2)Pelo equilíbrio do bloco A,T' =A (3) e NA=PA (4).Comparando as relações (1), (2) eP = T = T' = A.

Como P = 20 kgf, vem:

I A= 20kgq

Note que a m.áxima intensidade da força de atrito estático será Adesl== f1.eNA= f1.ePA.

Como f1.e= 0,30 e PA= 100 kgf, vem:

Adesl= 0,30 . 100 => I Adesl= 30 kgf I

(3 ), temos: !l

j

\\ -.:'~..

Logo, sendo A < Adesh o bloco ainda não está na iminência de des-lizar.


4. UNIVERSIDADEDEBRASrUA- Na figura, os corpos A e B estãoem contato e ligados por um fio flexível através de uma roldana.Uma força F é aplicada em B e o sistema permanece em equi-líbrio. Sobre o corpo A atuam:a) somente 2 forças.b) somente 3 for.ças.c) somente 4 forças.

.. d) Nenhuma das alternativas.

. . ~..

F

Resolução: No bloco A, agem três forças:

1. força-peso (PA), aplicada pela Terra;2. força de tração' (T), aplicada pelo fio;3. força de contato (C). aplicada pelo bloco B. Os vetores-compo-

nentes da força de contato são a força de atrito (A): e a força nor-mal (N).

~~~,~~-~

TA

T

PA

Resposta: alternativa b.

18

Observação: As forças agentes em B são:1. força-peso (PB), aplicada pela Terra;2. força de tração (T), aplicada pelo fio;3. força de contato (C'), aplicada pelo solo;4. força de contato (C), aplicada pelo bloco A;5. força externa (F), aplicada pelo agente externo.

NB

T

PB

F

5. PUC (CAMPINAS) - Na figura. as massas de A e B são. respec-tivamente. 10 kg e 5 kg. O coeficiente de atrito de A com a mesaé 0.20. O menor valor da massa de C. para evitar o movimentode A. é:

a) 15kg.b) 16 kg.c) 10 kg.

AIIIII

d) 12 kg.e) 20 kg.

~.i'I.'-""'';.';J'-_'''M.- ,

~

'~

~Ir

Resolução: Considerando os blocos C e A em conjunto, temos:N

PA+ Pc

,

I

~ .tI~

No equilíbrio estático do sistema, teremos:bloco B: T = PB (I)

blocos C e A: T = A (2) e N = PA + Pc (3)

À medida que a massa do corpo C diminui, a intensidade da força de. atrito de destaque (do conjunto formado pelos blocos C e A) também

diminui, pois Alest = l-1eN= 1-1.(PA+ Pc) = l-1e(MA + Mo)g.

Quando a intensidade da força de atrito de destaque for igualada pelaintensidade da força de tração, ocorrerá o mínimo valor da massado corpo C compatível com o equilíbrio estático.

Assim, em (2) teremos T = Adest (4).De (I) e (4), vem:

PI! = Adest= l-1eN= l-1e(PA+ Pc) => MB/= l-1e(MA+ M(')t=>. 3

=> 5 = 0,2(10 + Me) => 5 = 2 + 0,2Mc => Me= -=>0,2

=> I Me= 15kg I


6. FEl - Na figura anexa estão representadas duas esferas idênticasde peso P = 50 N. Desprezam-se os atritos. Calcule as reaçõesdas paredes. considerando o sistema em equilíbrio.

EI~

I

(.,,,

J E... 2 ,,1

~-,,~!:" ." ,1:, '"..-II1 .<:.-- r--

/~

I , 60.,A / l- - -- -./ --

Resolução: Observando oesquema ao lado, podemosescrever: .

. esfera E1: o polígono dasforças é um triânguloeqüilátero.Logo:N2 = Na = P =>

=> I N2 = Na =50 N I (1)

EI

E2N1

p

,'"'",v

esfera ~: do polígono dasforças, vem:

N1-P-= sen30°=>Na

=> N1 - P = Na sen 30°

Substituindo Na pelo valorencontrado em (1), vem:

1N1 - 50 = 50 . -=>

2

=> I N1 =75N I

N4b) - = cos 30°=>

Na=> N4 = Na cos 30°

Substituindo Na pelo valorencontràdo em (1), vem:

V3N4=50.-=>

2

=> IN4= 25V3NI

a)

2. FEI-MAUÁ- Uma corda de comprimentoR = 7,0 m está atada a doispontos A e B, situados na mesma horizontal e separados por uma distânciad = 5,0 m. Num ponto D da corda, a 3,0 m de A, prende-se um corpode peso P = 10 kgf. Calcule as forças de tração nos trechos AD .e BD dacorda.

3. CESCEA - Na figura ao lado, ~temos um peso P, sustentado pordois fios AB e AC. Nas condi-ções da figura, podemos afirmar,a. respeito das intensidades dasforças de tração nos fios, que:a) são menores em AB"do que em AC.

. b) são maiores em AB do que em AC.c) são iguais.

'd) dependendo do peso P, as alternativas a, b ou c podem estar corretas.e) Nenhuma das alternativas anteriores. .

4. ACAFE - O sistema representadoestá em equilíbrio. A força de tra-ção na corda PQ tem intensidadeaproximadamente igual a:(g = 10 m/s2)a) 100 N.b) 50 N.c) 116,3N.d) 57,7 N.e) 157 N.

5. MEDICINA DA SANTA CASA - Um ponto material está sob a ação deduas forças de mesma intensidade 50 N. O ângulo entre essas duas forçasé de 120°. Para equilibrar o ponto, é necessário aplicar-lhe uma força deintensidade igual a:a) 100 N.b) 75 N.c) 50 Y2N.

6. CESCEA - A figura ao ladomostra duas formas diferentes dese prender um mesmo balanço.Com respeito às intensidades dasforças de ,tração nas cordas dosdois arranjos, podemos afirmarque:a) são maiores em A do que

em B.b) são maiores em B do que

em A.c) são iguais em A e em B.d) somente serão diferentes se ambos estiverem oscilando.e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.

Polígono de forças da esfera E1:

P ~ triângulo' J.../ eqüilátero

-~:lPN4

p N1

N4

.Resposta: As reações das paredes nas esferas terão intensidades N I =: 75 N, N2.= 50N, N4= 25 V3N

1. MEDICINA DE POUSO ALE-GRE - Na figura ao lado, asintensidades das forças de traçãoT I e T2 nos fios deverão guar-dar a seguinte relação:a) TI =T2'

b) TI < T2 < P.c) TI >T2>P.d) TI =P cos 30° e T2 =P cos 600.e) TI = Picos 30° e T2 =Picos 60°, P í,

~ .tI~

B"ca,

P

d) 50 N.e) 25 N.

~

~

22

7. PUC (SÃO PAULO) - Uma barra homogênea AB, de secção reta uniforme,comprimento 1,2 m e peso 16 kgf, está suspensa, por meio de duas cordasAC e DC de pesos desprezíveis, conforme indica o esquema. A intensidadeda força de tração em cada corda é de:

9. UNIVERSIDADE DE MINASGERAIS- Um corpo de 8,7 kgfé suportado por duas cordas: MQ,horizontal, e QN, que forma umângulo de 60° com a horizontal,conforme indica a figura ao lado.Sendo cos 30° = 0,87 ecos 60° = 0,50, as forças queagem ao longo das cordas valem:

a) FI = 5 N e F2 = 8,5N.b) F1= O e F2 = lOkgf.c) FI = 8,5 N e F2 = 10N.d) FI = 5 kgf e F2 = 10kgf.e) FI = O e F2 = 8,5 kgf.

A B

d) 10 kgf.e) 8 kgf.

a) 20 kgf.b) I6 kgf.c) 12kgf.

8. CESGRANRIO - Esta questão apresenta duas afirmações, podendo. asegunda ser uma razão para a primeira. Marque:

~) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativada primeira.

b) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justifi-cativa da primeira.

c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.Querendo romper uma corda, dois garotos tentam primeiro puxá-Ia, cadaum segurando-a em uma de suas extremidades (fig. I). Não conseguindo,prendem uma das extremidades da corda a um gancho fixo numa pare~ee, os dois juntos, puxam a corda pela outra extremidade (fig. 11).

10. ENGENHARIA DE SÃO JOS~DOS CAMPOS - A bola dafigura ao lado, suspensa por umfio AC inextensível e sem peso,apóia-se na parede vertical AB.O ângulo DAC vale 30° e o pesoda bola é de 150 newtons. Areação da parede tem intensidadede aproximadamente:a) 520 N.

b) 173 N.

c) 87.N.

d) 300 N.

e) Nenhuma das respostas ante-riores.

Fig.1

l F;g.II .".~!

.~

~ ~~.,,]

11. FUVEST - Na figura, vemosdois corpos 1 e 2, de massasM1 = 2,0 kg e M2 = 4,0 kg,respectivamente, ligados por umfio que passa por uma roldana.O bloco 2 está apoiado no solo.Supondo-se a inexistência de atri-tos e de outras massas, pergun-ta-se quais são as intensidades dasseguintes forças: (g = 10 m/ S2)

~.

1.a afirmação

A probabilidade de a cordaromper é a mesma nas duasexperiências.

2.a afirmaçãoEm ambos os casos, a maiortração a que os garotos con-seguiriam submeter a cordaé a mesma.

a) força de tração no fio f.

b) força exercida pelo solo sobreo bloco 2.

porque

gj .tl~

~Fi

A~=.

~

~~

24 ~ .tI~12. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um prisma de base hexagonal é colo-

cado, em equilíbrio, sobre os mesmos planos inclinados em duas posiçõesdiferentes (I) e (11), como mostra a figura abaixo. Os dois planos são com-

~ --.pletamente lisos, sem atrito. Sejam Fie F:.! as forças exercidas pelo plano-+ --.AR sobre o prisma nos casos (I) e (11), respectivamente. e GJ e G2 as forçasexercidas pelo plano AC sobre o prisma nos cl\sos (I) e (11), respectivamente.

B - \B

c

-~II~Com base nesses dados. analise as afirmações abaixo:

--. ~

I - As forças F I e G:.! têm direções perpendiculares.- --.

II - O módulo de FI é maior do que o módulo de F:.!.~ --.

III - O módulo de F2 é igual ao módulo de GI.

13. FEl - O sistema abaixo está em equilíbrio. Os fios são leves e ás poliasA e R possuem massas MA = 1,00 kg e Mo = 2.00 kg, respectivamente.O corpo C tem massa Mc = 5,00 kg e a aceleração da gravidade é g == 10.0 m/s2. As forças tensoras TI e T:,! valem, respectivamente:

TJ

a) 80.0 N e 70,0 N.

b) 80,0 kgf e 70,0 kgf.

c) 40.0 N e 70,0 N.

70,0 kgf.35.0 N.

T2

d) 40,0 kgf ee) 22,5 N e

14. FEl - Mediante uma força horizontal de intensidade F = 50 N. um corpode peso P = 120 N é mantido em equilíbrio sobre um plano inclinado queforma um ângulo com a vertical. A intensidade da reação normal exercidapelo plano sobre o corpo e a tangente do ângulo valem. respectivamente:a) 70 N e 7/12. d) 130 N e 12/5.b) 70 N e 12/7. e) 130 N e 5/12.c) 170 N. e 12/17.

~\Q

15. MEDICINA DE SANTOS - Dois pontos materiais Pe Q de massas m em', respectivamente, estão unidos por uma corda que passa por uma roldana.Os pontos mantêm-se em equilíbrio conforme mostra a figura abaixo. O pro-duto das massas destes corpos é iguaL a 3 gramas; os ângulos e 6 valem,respectivamente. 60° e 30°. Os ramos das cordas são paralelos às linhas dedeçlive dos planos. Os valores de m e m' são:

a) m = 31/4g e m' = 3a/4g.b) m = 2 g e m' = 4 g.c) m = m' = 1g.

. 16. MACKENZIE - O bloco de peso 10 kgf é mantido em repouso sobre

d) m = 31/2 g ee) Faltam dados.

m' = 31/4g.

--.o plano inclinado indicado na figura mediante a aplicação da força F, para-lela à reta de maior declive do plano inclinado. O coeficiente de atritoestáticp entre o plano inclinado e o corpo vale 0,5. A intensidade da for-ça, em kgf, que satisfaz à condição do problema, é:

4m

3ma) 5.b) lI.c) 2 <; F <; 10.

17. FEI-MAUÁ - Um corpo de peso P = 50 N está apoiado num planoinclinado que forma um ângulo de 30° com a horizontal. O coeficiente deatrito estático entre o corpo e o plano é IL = 0,2. Um segundo corpo depeso Q está preso ao primeiro por meio de um fio que passa por uma poliasem atrito. Entre que limites pode variar o peso Q de forma que o sistemapermaneça em repouso? Poderá ser nula a força de atrito entre o corpoe o plano inclinado? Justifique.

d) O <;F <; 3.e) 5 .;;;;F <; 11.

Dados: sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87.

- . ''iII.~.iiiilitl'''~''""..'-- -

,4'g'j .tl n~26

18. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS - O sistema da figura está em equi-líbrio. O que se pode dizer do coeficiente de atrito e.stático k?

't

21. ENGENHARIA DE SANTOS 0,- No sistema' representado nafigura, FI = F2 = F. A forçaequilibrante do sistema tem in-tensidade:

a) 2F.b) F/2.c) FI V'L.d) F \1'2.e) Nenhuma das respostas ante-

riores.

-+FI

'I~

-+F2

\/

m:! = 100 kg "i

a) k = 0.3b) k .;;;0,3

c) k .;;;0,5

d) k ;;;.0,5

e) k = 0,522. MEDICINA DE SANTOS - Assinale a alternativa errada:

a) Dado um ponto em equilíbrio sob a ação de três forças, qualquer delasé resultante das outras duas.

b) A resultante de duas forças concorrentes pode ter intensidade igual à somadas intensidades das forças componentes.

c) Dadas duas forças concorrentes em um ponto P, a linha de ação da re-sultante delas também passa por P.

d) Uma das alternativas acima está errada.

19. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) - Dois corpos, A e B de mesmopeso e superfícies desigualmente polidas, encontram-se em equilíbrio sobredois planos ortogonais entre si, conforme mostra a figura. Se inclinarmosmais qualquer um dos, planos em r~lação à horizontal, o corpo itá se movi-mentar sobfé' a linha de maior decltve do plano. Designando por I-1Ae I-1Bos coeficientes de atrito estático entre os corpos A e B e os respectivos pla-nos de contato. podemos afirmar que:

,-,-"~~ ,,...~.::o.<,.,~,

a) I-1A= I-1B'

b) ~tA = tg 45°.I

c) I-1A=-'1-18

23. CESCEA - Uma esfera é presa pelo seu centro a fios inextensíveis, de mas-sas desprezíveis, que passam por duas roldanas também de massas despre-zíveis e livres de atrito. Na extremidade dos fios estão dois corpos de pesosPI = 20 N e P:! = 10 N, conforme mostra a figura. O peso da esfera éde 20 N e o sistema está em equilíbrio. Os valores do ângulo 'e da reaçãodo apoio sobre a esfera, que mais se aproximam dos valores corretos, são,respectivamente: (Considerar sen 30° = 0,5; sen 45° = 0,7 e sen 60° = 0,9.)

. d) I-1A= 1-18sen .

e) o ângulo só pode ser de 45°. .j P1

20. ENGENHARIA DE SANTOS - A respeito da força equilibrante de umsistema de forças concorrentes, podemos afirmar que:

a) seu sentido é sempre contrário ao da força resultante do sistema.

b) é sempre nula.

c) sua direção é sempre contrária à da resultante do sistema.

d) é sempre não-nula.

e) Nenhuma das respostas anteriores.

IjP2

a) 30° e O N.b) 30° e 12 N.c) 45° e 18N.

d) 60° e 0,7N.

e) 60° e 2,5 N.

-

28

Este enunciado refere-se aos dois testes seguintes:Um fio flexível passa por uma polia fixa e sustenta em suas extremidadesdois pesos, P e a. a pode deslizar sem atrito ao longo de uma barravertical.

a

.'

24. PUC (SÃO PAULO) - Na posição de equilíbrio, a força aplicada pela barrasobre o anel Q é:

a) horizontal, orientada para a direita.b) vertical, orientada para baixo.c) vertical, orientada para cima.d) horizontal, orientada para a esquerda.e) inclinada em relação à barra.

25. PUC (SÃO PAULO) - Supondo equilíbrro, vale:

a) 1/2.b) 2.c) ,rm.

= 60°, a relação P/Q, na posição de

d) 2/ n.e) t.

'.

~1. b 2. TAD= 8kgf; TBD = 6kgf. 3.b 4. c

5. d 6. a 7. d 8. e 9. d 10.c

11. a1 Tr= 20 N; b) N =20 N.

12. i - C; 11- E; 111- E.

13. e 14. d 15. a 16. e 17. 0mfn = 16,3N; Om.tx= 33,7 N. A força de atritoserá nula quando O = 25N.

18. d 19. c 20. a 21. d 22. a 23. e 24. a 25. b

-~

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II

I

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€5tática

do Corpo ~ígido

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IIIt

30

Momento escalar de uma força -.Define-se momento escalar de uma força F. em relação a um

ponto O. como sendo o produto da intensidade F dessa força pela-.distância d que vai de O à linha de ação de F (reta que define a direçãoda força). acrescido de um sinal positivo ou negativo. Ou seja:

I MF(Ü) = ::t Fd I

.......

........

........

1

~

---------- lo

l

O momento escalar de uma força agen~e num corpo está asso-ciado à tendência de rotação deste corpo, em relação ao ponto, devidoli ação da força. .

~ ~.tl~

~1. O ponto O é denominado pólo do momento,2. A distância d é denominada braço do momento.3. O momento associado à tendência de rotação no sentido horário seráadmitido negativo. "-,

"-

~ ~"IM"o)<ol

oj G "

11

..I

o momento associado à tendência de rotação no sentido anti-horário seráadmitido positivo.

I MF(O} > 01

4. O momento de uma força será nulo quando o braço do momento forzero (linha de ação da força passando pelo pólo).

o..,".....

',~

I MF(O) = O I

5. No Sistema Internacional.o momento de uma força é medido em N . m.

O. AplicaçõesIlustremos algumas

de forças:situações práticas onde ocorrem momentos

'I

~--

".' ,.....-

32 - - 1

r - I

~ .1 ~- ~-~{! 33

\i~ . \ ,1/'d \

//. I \ ~- ------

I

161

e j

~~o~

II

I

y:/

/ Jd

LObserve que quanto ma~or for' o braço do momento, mais facil-

mente obteremos a rotação desejada..

Ouando um corpo está submetido a duas forças com intensidadesiguais, mesmas direções, sentidos opostos e linhas de ação distintas.dizemos que esse corpo está sob a ação de um binário.

I I .....I I I FI'I I - ,T.

.....F2

I1

..-~;" - '--141"'/;Z

,. -:::

7- -~ I FI =F2 =F I

EL/Observe que a aplicação de um binário produz a rotação do corpo

sem causar aceleração de translação, pois a soma vetorial das forçasdo binário é nula. A partir da figura acima, podemos escrever:

MMFI \01 - + Fd

d}

~ Mbinário = + 2Fd (sentido anti-horárioJ ~.F..IOI-+F M FD d D 2d- ~ binário= + ,on e =

~O momento de um binário não depende do pólo escolhido. I: sempreigual ao produto da intensidade de uma das forças pela distânciaentre suas linhas de ação, acrescido do sinal relativo ao sentidode rotação.

o.. AplicaçõesVeja, agora, algumas situações

causadas pela ação de um binário:práticas onde as rotações são

.

},tII~"Ii

liltV

~- -'

L- $.~t~"'~I

'34

-- ---

"'"

\. '-

?~(.,

,

"I'

,

/,

Vi'

Equilíbrio de um corpo rígidoPara que um corpo rígido. sob a ação de forças agentes num

mesmo plano, esteja em equilíbrio estático, é necessário e suficienteque:1) a soma vetorial de todas as forças agentes no corpo seja nula.2) 'a soma algébrica dos momentos escalares de todas as forças em

.relação âo mesmo ponto (pólo), no' plano das forças. seja nula.Em resumo:

-+ -+Ir:! ~F='O

Equilíbrio estático de um corpo rígido+~MF(o) =O

~()

Se um sólido em equilíbrio estático está submetido somente à ação detrês forças coplanares, necessariamente as linhas' de ação dessasforças deverão concorrer num único ponto ou serem as três paralelas.

i ~ .t! .

fN'~

.7'

N2

---=--=--- -

Isto se deve ao fato de que a soma algébrica dos momentos das forçasdeve ser nula em relação a qualquer ponto do corpo no plano das forças.

. Alavancas- Alavancas são máquinas simples, constituídasde uma única barra rígida, que pode girar em torno de um ponto fixodenominado fulcro ou ponto de apoio.

~~ fulcro~~.

'.~~-~

~-.

.

O ' ."... ~,

~~ n - . ~--Pode-se realizar um trabalho com menor esforço quando se uti-

liza uma alavanca. Considerando-se o peso da barra desprezível emrelação às demais forças, as forças agentes na alavanca são:-+

. força resistente (R): força que se deseja vencer;-+

. força potente (F): força que .,0operador exerce na barra;-+

. força normal (N): força aplicada pelo apoio (fulcro).

a

@7~;.--, ..,/

R

b

\F

36 ~~ 37

Na situação de equilíbrio da alavanca, temos:Inter-resistente - A resistência situa-se entre o fulcro e a po-

tência. Exemplos: carrinho de mão e quebra-nozes.-+ -+1) 1:F = O=>N= R+ F

2) 1:Mp(o) = O=> +Ra - Fb = O=>Ra = Fb

Abaixo. vemos uma aplicação do equilíbrio deCOl'lstrução civil. fCi'.-r:

luma alavanca na

L ~-- -,I~

o esqueleto humano é um conjunto de alavancas de todos os tipos, comopodemos observar na ilustracão:

- Classificação das alavancas - De acordo com a posição dofulcro, em relação às forças potente e resistente, as alavancas seclassificam em:

Interfixa - O fulcro aitua-se entre a potência e a resistência.EX4!mplos:tesoura, monjolo, balança de travessão e gangorra.

"\toÁ' \

. ,,\)\/

1.

.

)'

( . .\

F

, -,. ( fitL j j ,

~~~ - ;!jresistência apoio

t' 'I ),.

!~~~~

1r~~ - ,,.)\

fulcro

alavanca Interpotente

. Tombamento de um sólido - Suponha um plano inclinado dE>inclinação variável <1>,onde repousa um sólido, conforme mostra oesquema seguinte.

\/ \

:c

B

Interpotente - A potência é aplicada entre otêl1cia. Exemplos: pinça e pedal de acelerador.

r-- '\- ( ,

\~ ~

fui".~ 1

fulcro e a resis-

1

..) R

...."'>-"..::;,o-;:o;

O'J

II

j

figura 1 figura 2

Vamos supor também que <>coeficiente de atrito estático entreas superfícies de contato seja elevado, de modo que não haja escor-regamento do bloco sobre o plano.

A medida que formos variando a inclinação no sentido indi-cado, vamos aumentando as possibilidades de o sólido tombar.

/~

38

Agora, vamos estudar esse fenômeno. Quando o sólido estáapoiado sobre o plano, as forças N e P estão dispostas conformefigura 1.

A medida que a inclinação do plano for aumentando, a com-pressão do apoio tende a mudar sua linha de ação para a aresta ABdo sólido. Enquanto a linha de ação do peso P passar pela base dosólido (segmento AD), não haverá tombamento.

Quando a linha de ação de P passar pelo ponto A, o sólido estaráno limite de tombamento (figura 2). Um mínimo acréscimo ao ângulode inclinação do plano será suficiente para o sólido tombar. No limitede tombamento, podemos escrever:

AD btg <{I= - =>tg <{I= - (1 )

DC hc

B

limite de tombamento

Conclusão:

-7G Haverá

tombamento

~ ~ .tl~

1. Baseado no que foi exposto, podemos entender o funcionamento dobrinquedo conhecido como. João-teimoso.. Esta teoria também éfundamental na construção de Inclinações de acostamentos em trechosretillneos de rodovias.

k,.:."X '1,

~"!í~f/ I

--2.Quando se tem um conjunto deblocos homogêneos dispostosem uma pilha. o limite dedesmoronamento da mesmaocorrerá quando a 'linha deação do peso dos blocos qu~estiverem acima de outro passarpela aresta deste. Observe osesquemas abaixo. Nessesesquemas. estudamos o equilíbriopara uma pilha de três blocos.

. :lInha de açao

. r-- I '-/1 de:-:'1<.- P1,,"'" I ..........

~~."'J?>~~~

aresta

Se os blocos são homogêneos, a linha de ação dos pesospassará pelo centro geométrico dos blocos.

p;"equllibrlo,,< //

.,

de uma pilhade blocos / "'t} .homogêneos "" :íf/"'" :;,/,. .

'i-1) "- .

g:; .tl~40

Q Complementos1) Máquinas simples - Vimos que a alavanca é uma máquina

simples. Assim como ela, existem outras máquinas simples cujafunção é transmitir ou modificar forças: o plano inclinado e as polias.

Em nossa análise, consideraremos tais máquinas como sendoideais (os atritos das polias serão desprezíveis e não consideraremosas inércias dos fios e das polias).

Denomina-sevantagem mecânica de uma máquinasimples a ra-zão entre as intensidades da força resistente e da força potente noequilíbrio.

Sendo 'tF o trabalho realizado pela força potente e 'tR o trabalhorealizado pela força resistente, o rendimento de uma máquina simples

será obtido mediante o quociente I'YJ 'tR I'tp

2) Associação de polias - Na prática, é de grande interesseassociarmos polias fixas e móveis, a fim de conseguirmos moverpesadas cargas com um mínimo de esforço. Apresentaremos, aindaque superficialmente, algumas dessas associações:

I. ' ( .

Ou seja: IVM=+I

F

' ",...;...,... ~- ..;.' ~ ~ ~-

i .L.:...1'.-~--~-~---

O plano inclinado tem grande aplicação no transporte de cargas pesadas (vagõesdI? mineração. caminhões de mudança), bem como em parques de diversões.

f~.~

/

~

./ R

L_-

I I

--~I L- J

~/

.t*-'

~J./~J- ~

IJ. I

..~ .:..' "A,'''-

A polia ideal simplesmente modifica a direção da força de tração transmitidapelo fio que a envolve.

--

- .. ~. "- - 1

"'\

J

42

- Moitão

r;=TI~R

VM= - =>F

~ 43

- Talha diferencial

I F = a 2a b R I

I VM= a2\ I

onde n é o número total de polias móveis.

I VM= 2nI

R6

F

!F=/3=~1I VM=2 . 3 =61

- Sarilho - O sarilho é uma associação de máquinas simples. degrande utilidade na exploração de poços de água em zonas rurais.

.~~-J'''.,,;~:-. L , . !líDillJilr~IL.ú.. . . -.of.;;..~.;

- Talha expo encial

E:ERF = - . onde n é o número total de polias móveis.2"

VM =~=> I VM = 2°1F

~~..

RT

I F=+=~ I.I VM= 28= 8 I

-;/0,.

,'?

44 ..... ~ 45

Três forças atuam neste sistema: a força potente F aplicada namanivela. a força resistente R agente na corda e a reação dovinculo N.

Na situação de equiJíbrio. temos:MR(o) + MN(O)+ MF(o)= O. ~ Rr + O- Fb=O ~ Fb =Rr

I F ~ R I

RSendo VM= -, então

F IVM ~ I

- Corpo suspenso - Dizemos que um corpo suspenso por um deseus pontos está:

. em equilíbrio estável, se o ponto de suspensão 5 se localizaacima do centro de gravidade G do corpo (figuras 7 e 10).

. em equilíbrio instável, se o ponto de suspensão 5 se localizaabaixo do centro de gravidade G do corpo (figuras 8 e 11).

. em equilíbrio indiferente. se o ponto de suspensão 5 coincidecom o centro de gravidade G do corpo (figuras 9 e 12).

11,

JlS ..

~Note que o sarilho funciona como uma alavanca interflxa de braçosdesiguais.

GI

G

~ S~w.

G=S

1

.figo 7 {I

fig.8

flg. 9 .'

3) Equilíbrio dos sólidos

- Corpo apoiado - Dizemos que um corpo apoiado sobre umasuperfície está:

. em equilíbrio estável quando. levemente afastado de sua posiçãode equilíbrio. volta a recuperá-Ia (figuras 1 e 4).

. em equilíbrio instável quando. levemente afastado de sua posiçãode equilíbrio. não mais volta a recuperá-Ia (figuras 2 e 5).

. em equilíbrio indiferente quando, afastado de sua posição deequilíbrio, ele retoma o equilíbrio em situação análoga à anterior(mesmas forças e mesmo estado em relação ao apoio) (figuras 3 e 6).

s

Glpflg. 10

Outros exemplos

G

!pS. 5 G

p

flg. 11de corpos em equilíbrio?

flg. 12

A\\

)\

1IE~-9

~J;" . ~

,,(j,)

flg. 1

\

.\jflg.2

--- :\-~/. flg.3

equllfbrloestável" -"'. L~

equilíbrio InstávelL' )

&., ,.,/

I,.

Y~,

...

.(j

\( ';... .

fig.4

~.~

{. .. '~~ ~) 'J l2.k /' ..~

...~-

- -- -Jflg.5 fig.6 equilíbrio Indiferente

--

~46

e

Como percebemos, a posição do centro de gravidade de umcorpo rígido, em relação ao seu ponto de apoio ou de sustentação,desempenha papel fundamental no estudo do seu equilíbrio.

Verifica-se que um corpo será tanto mais estável em seu equi-líbrio quanto mais baixo estiver situado seu centro de gravidade, demodo que a vertical baixada deste centro caia dentro de sua basede apoio.

Compare a estabilidade dos móveis abaixo, quando ambos sofrema mesma inclinação:

~~

f/~.~.~J...

'

.

;~ ~.~I - - - ~",,",- ..J ".,//., r.~ -,~' -,.- 1

G mais baixo:maior estabilidade

G mais alto:menor estabilidade

4) Tensão normal e tensão de cisalhamento - Imaginemos uma-. força'F aplicada à secção transversal de área 8 de um sólido pris-

mático. ~F

s

Façamos a decomposição desta força nas direções tangencialnormal à superfície de área 8, onde o esforço é exercido.- -

FN .- --/1- I FI II II I

IJ-

FTs

-O vetor-componente-normal FNpode realizar um esforço de tração

ou de compress~o.

Ao quociente entre a intensidade do vetor-componente-normal(FN) e a área da superfície (8) denominamos tensão normal (aN).

o ~Em slm~olos: ~

NA unidade de aN no SI é -.

m2 -O vetor-componente-tangencial FT realiza um esforço de cisalha.

mento.

Ao quociente entre a intensidade do vetor-componente-tangencial(FT) e a área da superffcie (8) denominamos tensão de cisalha-mento (C1T).

Em slmbolos: I GT ~ I

NA unidade de C1Tno SI é -.

, m2

É comum se fazer confusão entretensão (grandeza escalar).

5) Deformação normal específica - Se o sólido prismático men-cIonado no item anterior for uma barra de comprimento original L,-" supondo que, sob a ação da força F, ela tenha se alongado ou encur-

tração (grandeza vetoria!) e

48~ 49

tado de um comprimento ge intensidade ill, definimos como defor-

mação normal específica (e] a grandeza escalar le dLL I

A grandeza E é adimensional.

~r4.

p,- 1--.

-",'" ",. I FT.<: 1" II /'" 1ilL

E vem:

C1N= EE =>

FN ilL=> - = E- =::::)

S LSE

=> FN= -ilLL

SEonde - = K é denominada

Lconstante elástica do sólido.

L

Assim, I FN = KilL I,que é a expressão mais conhecida da leide Hooke (a intensidade da força normal é diretamente proporcionalà intensidade da deformação). Entretanto. é bom ter em vista que, apartir de um valor de intensidade da força normal. deixa de haverproporcional idade entre FN e ill, ou seja, entre C1Ne E. A partir deentão. as deformações passam a ser plásticas (ramo ABdo gráfico).

6) lei de Hooke" - Hooke verificou experimentalmente que.dentro de certos limites (regime elástico], havia uma proporciona-lidade entre tensões normais (C1N)e deformações específicas (E).

Em símbolos:

I C1N = EE I

onde E é o coeficiente de proporcional idade. conhecido como módulode. Voung. E depende da natureza do material que constitui o sólidoprismático. .

Graficamente: . Tensãonormal(C1N).regime plástico

-#1. CESGRANRIO- Querendo arrancar um prego com um martelo,

conforme mostra a figura. qual das forças indicadas (todas elasde mesma intensidade) será mais eficiente?

A ~c~

r.~ ~. .<.,~- "1

d) De) E

-

regime elástico C1N= EE

Deformaçãoespecífica (E)

o.. Robert Hooke (1635-1703)- Físico, astrónomo e matemático .inglês. Estudou osgases, o movimento planetário. descobriu a lei da elasticidade e a difraçãq da luz.Estudou também fósseis .microscópicos e propôs teorias sobre a evolução dasespécies.

a) Ab) Bc) C

50

Resolução: Evidentemente, só as forças representadas por C, D e Etêm condições de arrancar o prego de maneira normal.

Aquela que apresentar o maior momento escalar em relação ao pontoO (cabeça do prego) será a mais eficiente das três.

Como as intensidades das. forças são iguais, o maior momento seráaquele que possuir maior braço.

Observando. a ilustração abaixo, concluímos que o maior braço (dis-tância do pólo à linha de ação da força) refere-se à força representadapor D (distância OP). B

A

Conclusão: A força mais eficiente, a que apresenta maiorescalar em relação ao pólo O, é representada pela letra D.

Resposta: alternativa d.

momento

2. CESCEA- A figura abaixo mostra duas massas M e 2M presasaos extremos de uma barra rígida de comprimento d. Deseja-seequilibrar o conjunto. apoiando-oem um ponto da barra, situadoa uma distância x da massa M. Qual deve ser o valor de x?

(M) (2M)

i -i~~ ~'411 di.:I II II. x ~

a) x = 2d/3b) x = 3d/5

c) x = d/3d) x = d/5

Resolução: Admitindo o peso da barra desprezívele estando o sistemaem equilíbrio, podemos escrever que a soma dos momentos das forçasagentes é nula em relação ao ponto de apoio O.

~ .tl~N

d-x

x

G o~I"..

Pd

2P

Ou seja:~MF(ol = O

Do esquema acima, podemos escrever:Mpw1 = +Px (sentido anti-horário)M2PCO) = -2P(d - x) (sentido horário)MNW) = O (momento tem braço nulo)

Assim, ~MF(o) = O implica em:Px - 2P(d - x)+ O = O=>Px = 2P(d- x) =>

~=> x=2d-2x=>3x=2d=> ~Resposta: alternativa a.

3. UNIVERSIDADEDO PARANA- Na estrutura abaixo, o peso dabarra horizontal é 120 N. e o peso do bloco é 60 N. Sendo a = 2 me a' = 0.50 m, as reações dos apoios A e B são:

-

I ~ iI II I: t: II I

': I" I" ,' aO .1 ,,. .,I aII

I..

a) NA= 100 Nb) NA= 105 Nc) NA= 120 N

e NB= ao N.e NB= 75 N.e NB= 60 N.

d) NA= 130 N e NB= 50 N.e) NA= 140 N e NB= 40 N.

52 gj .rJ~ResoluçãO:

a) Estando o sistema em equilíbrio, a soma dos momentos das forçasserá nula em relação a qualquer ponto no plano das forças. To-memos, por exemplo, o ponto A.Portanto, ~MF(A) = O.

NA

0A

E temos:

NA=120+60-75:::> INA=105N!

Resposta' alternativa b.

No 4. ENGENHARIA DE SÃO JOSÉDOS CAMPOS - Um I:;iocode massa igual a 240 kg estásuspenso, conforme é apre-sentado na figura ao lado.Considerando desprezível amassa da barra AB, a forçade tração no cabo BC é 'de:(,Admitir g = 10 m/s2 )

B

I ,P: ':' a : IPI .1 tI a/2: :! ' '" ., '

I

a I

II

ti. .Do esquema anterior, podemos escrever:

MNA (A) = O (braço do momento é nulo)Mp(A) = -pa' (sentido horário)

aMp(A) = -P - (sentido horário)

2

MN 1\(A) = +Noa (sentido anti-horário)

Portanto, ~MF(A)= O implica em:a a

0- pa' - P-+ Noa = O:::>Noa= P-+ pa'=>2 2

P = 120NP = 60N1 a'

=>No = - P + p -, onde2 a

Logo:1/2

120+ 60 . - =>2

1No=-.

2

=> I No =75 N !

a) 3 000 N.b) 3 200 N.c) 1 800 N.d) 4000 N.e) Nenhuma das anteriores

1a' = 0,50m=-m

2

Resolução:

a) Aplicando Pitágoras ao triângulo(AB)2 + (AC)2 = (BC)2

Logo:(BC)2 = 162 + 122 == 256 + 144=>

=> (BC)2= 400 => 12m

=>IBC= 20 m IAssim, no triângulo CAB:

ACsen IX=-=> sen IX=

BC

a=2m

- -b) Como o sistema está em equilíbrio, temos ~F =O.

= ~=>lsenIX 3120 5

{

p = 120NLogo, NA+ No'= P + p=> NA =,p + p - No, onde p = 60N

No=75N

-- - - -

2'm

vI

,I

/dI

I,,,

A-:1

c

B

16m

240 kg

retângulo CAB, temos:

HB

T'16m

T'

o

P

54 ~ .tl~

T sen IX

AD 3 d I 48 I

No triângulo ADR, senlX=-~-=-~ d=-mAB 5 16 5 H T cos IX

b) Para facilitar o estudo das forças agentes no ponto A da barra,decompomos a força de contato exercida pela parede em:-.V: vetor-componente-vertical;-.H: vetor-componente-horizontal.Na situação de equilíbrio, ~MF(A)= O.

Observando o esquema das forças, podemos escrever:MV(A) = OMH(A) = OMT(A) = + Td (sentido anti-horário)MT'(A) = -T'(AB) (sentidohorário)

Então, ~MF(A) = O implica em:T'(AB)

Td-T'(AB)=O~T'(AB) =Td ~ T=d

J'I

Portanto, a força de contatode 3 200 N, horizontal.


p

total exercida pela parede na barra será

5. ITA- Uma escada AB. de peso desprezível. apóia-se no chão enuma parede vertical. como mostra a figura. O ângulo da escadacom a parede vertical vale cI>e o coeficiente de atrito. nos dois

. apoios, é 1.1.= 0.5. Qual deve ser o ângulo cI>p~ra que um homemde peso 80kgf possa subir até á metade da escada. sem que elaescorregue?

P(AB )Logo, T = , onde

d

P = Mg = 240 . 10 = 2400 NAB = 16 m

48d=-m

5

Como o bloco está em equilíbrio, T' =P.

Assim: T = 2400. 1648

5

IT_4000N I

~

~Resolução: Quando uma barra está apoiada contra uma parede, tendoa sua outra extremidade apoiada no solo, devemos decompor as reaçõesdos apoios (parede e solo) horiz~ntal e verticalmente.

. -. -+Observação: Na situação de equilfbrio da barra, temos ~ F = O. Decompondoas forças agentes nas direções horizontal e vertical, temos:

-. -+ -+Assim, a ação C1 da parede na barra será decomposta em H1 e VI,-+obedecendo às tendências de escorregamento da barra. A ação 4 do

-+ -+solo sobre a barra será decomposta em H2 e V2, observadas, também,as tendências de movimento da barra junto ao solo.

Ao tomarmos o momento das forças agentes na barra, estando o sistemaem equilíbrio, devemos procurar fazê-Io em relação ao ponto ondeesteja concentrada a maioria das forças, pois, assim, os momentoscorrespondentes se anulam (braço zero).

horizontal: H = T cos IX = 4 000 .~ = 3200=> IH = 3 200N I20

3vertical: V + T sen IX= P =>V = P - T sen IX= 240 . 10- 4000. - =>

5

=>IV=ol

~

IJI ~ .rJ~56

N

(. +'\

\~

dJ ~C1 I: I: I

~d:~--1I I

I II d..!

pSubstituindp ~ e VI pelas igualdades correspondentes, encon-

H1tradas nas expressões (3) e (5), vem:

:: =~ ~~ + ~) - ~ = ~ . ~ - ~ ~ = ~

dI 2~ 2 . 0,5 1Logo:-= = =d~ 1 - ~2 1 - (0,5)~ 1 - 0,25

1 100 4 ~0,75 = 75 =3=> ~

(1 ~ ~2 )

Na situação de equilíbrio da escada, temos:d

c) Observando a figura seguinte, podemos escrever tg =~.d2~ ~

a) ~F = ONa direção horizontal, HI = H2 (1).

Na diteção vertical, V\ + V~ = N = P => VI + V~ = P (2).

Na iminência do deslizamento, sabemos que Adesl= tJ.N.. H2

AssIm, VI = tJ.H\ (3) e H~ = [tV2 => V2 = - (4).[lH

Substituindo (3) e (4) em (2), teremos tJ.HI+ :: = P.tJ.

HI f. 1 )Substituindoél), vem tJ.HI+ --;- = P => HI \~ +-; = P =>

"" I ~= ~+~ I (5).H\ [l

~) ~MF(o) = OMy\ (O) + MHI (P) + My2(0) + MH2(01 + Mp(o) = O=>=> -VI dI - H1d2 + O+ O+ Pda = O=>VIdt + HId2 = Pds (6)

Nas condições do problema, o homem atingiria o meio da escada noinstante em que as forças de atrito estático se tornassem máximas.

dComo da = ~, podemos substituir, em (6):

2dI

VIdI+H1d2=P -2

4Logo: tg <l>= - =>

3

=> I = arc tg ~ I

Resposta: O ângulo formado entre a escada e a parede vertical, para4

que o observador consiga atingir o meio da escada, será = arc tg -.3

6. ENGENHAfUADE SÃO C~RLOS (USP) - Tem-se uma caixa defósforos de dimensões a, b e c, cujo centro de gravidade coincidecom o de simetria. Coloca-se um palito de fósforo (considerandoseu peso desprezível) entre uma das laterais da gaveta e a tampada caixa, como mostra a figura. Qual o maior comprimento Ldo palito para que a caixa fique em equilíbrio?

=> HId2 = (: - VI) dI =>

d2 -=>--dI

P--VI2

HI I d, 1 P V, I=> ~_~2' ~-~

a) a2/bb) 2a/Vbc) 2b/2

d) a/b2e) Nenhuma das respostas anteriores.

58

Resolução: A situação-limitede equilíbrio ocorrerá quando a linha deação da força-peso passar pela aresta A.

b aNeste caso, teremos tg (X=- (1) e tg (X=- (2).

a L

JIb I

/ i --/ J I -.....

I rp

/ . .'L a (XI

b aDe (1) e (2), vem: - =-~

a L

:;r.--4I'

~CTI


7. ITA- Uma barra delgada e homogênea está simplesmente apoiadana parede, sem atrito, como mostra a figura. Para que o sistemafique em equilíbrio, o fio deve ser ligado no ponto:

.

14 1

12 ~I,

3LI4 .1

-Ld) a.e) R.

-I

a) p, a ou R.b) a ou R.c) P ou R.

Resolução:As forças agentesna barra são:-+

peso (P), aplicada pela Terra, no centro de gravidade da barra, ponto Q;-+

normal (N), aplicada pela parede, na extremidadeda barra e na direçãodo seu eixo longitudinal;

-+tração (T), aplicadapelo fio.

~r

As forças peso e normal podem ser esquematizadas:

,..------ ------+

-+p

Na situação de equilíbrio, a soma dos momentos escalares das forçasagentes na barra deve ser nula em relação a qualquer ponto no planodas forças. .

Portanto, em relação ao ponto Q, devemos ter ~MF(Q)= O.

O momento das forças peso e normal em relação a Q vale:-+

MN1Q) = O (força N tem linha de ação que passa por Q)-+

Mp,Q, = O (força P tem linha de ação que passa por Q)

Logo:

~MF1Q1 = O~

~ MN(QI + Mp(Q) + MT(QI = O ~~O+O+MT(o) = O

E vem:MT(QI = O -+Isto significa que a linha de ação da força T passa pelo ponto Q.

Logo, o fio deve estar ligado ao ponto Q.

8 Q-+

-+p

Se o fio fosse ligado ao ponto P ou R, o sistema não ficaria em equi--+ -+líbrio, pois os momentos das forças N e T seriam nulos em relaçãoa eles (linha de ação passando pelo pólo), mas o momento da forçu

60

-+P não o seria. A barra tenderia, então, a sair da posição horizontal,desequilibrando-se, conforme vemos a seguir:

I)

~MF(p) =1=O, pois:

MTlP1 = O

MN(p) = O

~ ---.-------I

I

I,I +-+~ L/4 I P

~ ':'I '

L--p-Mp(PI - 4

11),~

( ~MF(R) =1=O, pois:

MT(RI = OMN(RI = O

-+P

II{

LMp<R1= +p -

4L/4 "


Observação: O exercício anterior nos permite, então, concluir que: quandoum corpo rígido está em equilíb,'io sob a ação de três forças coplanaresnão-paralelas, elas devem. necessariamente. ter suas linhas de açãoconcorrendo num único ponto.

8. ENGENHARIADE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS - Utilizando umatalha exponencial. é necessária a aplicação de uma força de1 000 N para equilibrar um peso de 512000 N. O número de rol.danas móveis da talha será de:a) 4. d) 15.b) 7. e) Nenhumadas respostas anteriores.c) 11.

,~ 61

Resolução: A relação entre aintensidade da força potente(F) e a in~ensidade da forçaresistente (R) é dada por F =

R= -, onde n é o número de2n

roldanas móveis.Como F = 1 000 N e

R = 512 000 N, temos:R

F=-~2n

roldanafixa

\ . F=1000N

~~~

J

~ I~', J)~ movels~ 1000= 512000 ~

2n

=> 2n= 512

Como 512 = 29,decorre 2n= 2°.

Logo: In =91R =512 000 N


-+1. EPUSP - No esquema abaixo, o módulo do momento da força F, em rela-

ção ao ponto O, é. M. Gira-se, no plano da figura, o segmento representa--+

tivo da força F de 60° em sentido anti-horário, em torno de seu ponto deaplicação; inverte-se seu sentido; quadruplica-se seu módulo e seu ponto

de aplicação é levado ao ponto médio do segmento

~m ~o. ~d,m~:~~~~~U~' JFO P

OP por translação.

62

a) o momento muda de sinal, mas não de módulo.b) o momento muda de sinal e seu módulo passa a VJM.c) o momento muda de sinal e seu módulo passa a 2M.d) somente com estes dados não se pode determinar oe) Nenhuma das respostas anteriores.

2. MEDICINA DE SANTO AMARa - A respeito de um binário ou con-jugado, podemos afirmar que:a) tem resultante nula.

.b) sua resultante produz uma rotação no corpo sobre o qual atua.c) não tem resultante:d) há uma força que, atuando sozinha sobre um corpo livre, produz o mesmo

efeito que um binário.e) não se pode dizer nada a seu respeito.

3. MEDICINA DE SANTO AMARa - A figura abaixo indica um binárioe um ponto O.

~

IF: I

1 d PI P] -- o)

orm--I~J--Li -I II II II d2 I,- ",1, :

novo momento.

Temos, então, que o momento do binário em relação ao ponto O será:a) zero. -+ -4b) Mbin= IFI I . di + IF2 I . d2.

~-4 -~ -4c) Mbin= \1FI I + I F2 IJdl/\ FI I.-4d) Mbin= IF2\ . d.e) Nenhuma das respostas anteriores.

4. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) - A figura abaixo mostra umquadro pendurado em uma parede. Admitindo que o fio é ideal e que oquadro é retangular e tem o centro de gravidade coincidente com o centrogeométrico, podemos afirmar que a força exercida sobre a parede, no pontoP, é representada pelo vetor:

a) 1

'lb!

e) 1

c) ..

l tl?tj~. .O enunciado que segue refere-se às duas questões seguintes:

l A figura abaixo representa uma barra AB de massa desprezível, apoiada

I sem atrito em C. F:

I

5

que a barra não sofra translação na sua direçãoS. MACKENZIE - Para5, devemos ter:a) FI cos = F2..b) FI = F2 cos <1>.

c) FI cos = F2 sen <1>.

6. MACKt::NZIE- Para que a barra não sofra rotaçãoem torno de C, deve-mos ter:a) FI =F2.b) FI sen . AC - F2 COS. CB = O.

c) FI COS = F2 sen <1>.d) AC . sen = CB . cos <1>.e) Nenhuma das anteriores.

d) FI = Ficos <1>.

e) FI sen =F2 COS <1>.

7. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Dois meninos A e B estão equi-librados numa tábua de peso desprezível, apoiada em C, conforme a figura.

\. 2m ~. 3 m -I

!>: ~~'fI',7,

~ :: ,C-i--;:'~r;' /'~:.;::. :::-,..:r~"""L..;;:,~ "-;":-J~ .,;;.;~ "?:'~~"":"0':b'7 ;;':':.:: :.,;"../y~~~1

Se o menino A pesa 30 kgf, para que haja equilíbrio o menino B deverá pesar:a) 10 kgf. d) 40 kgf.b) 20 kgf. e) 60 kgf.c) 30 kgf.

64 gj .fl~8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Uma vassoura é suspensa pelo seu

centro de gravidade, como indica a figura, permanecendo na posição hori-zontal. Cortando o cabo no ponto de suspensão e medindo o peso das duaspartes obtidas, observa-se que:

10. UNESP - O sistema da figura abaixo é leve e suporta a carga Q, emequilíbrio. Com base nessa afirmação. assinale a alternativa correta.

A c

~ .

.

~

.

'-

l~ ~.

l

rl - " - ~,..

a) as duas partes têm mesmo peso.b) a parte que contém a vassoura é a mais pesada.c) a parte que contém somente o cabo é mais pesada do que a que contém

a vassoura.

d) a parte que contém a vassoura pode pesar mais ou menos que a parteque só contém o cabo.

e) o fato de a vassoura conservar-se na horizontal indica que a gravidade épraticamente nula no local da experiência.

'!:','0

9. MACKENZIE - Uma pessoa de peso P desloca-se ao longo de umaprancha rígida, apoiada em duas paredes verticais paralelas, separadas poruma distância d, como mostra a figura.

a) A barra BC sofre e exerce forças maiores do que Q.b) A barra AC é comprimida.c) A barra BC é tracionada.

d) Em caso algum as forças suportadas por uma barra podem superara carga Q.


11. FEl - A figura mostra uma viga homogênea, prismática, disposta hori-zontalmente, apoiada num cutelo em C. e suspensa em A por um fio ver-tical. Sendo o peso da viga igual a 150 N, determinar a tração no fio AB.

,_.~:

"1.- -,~- - 17. .. x !

A I I 18

;4 d '1

Ao passar de um extremo ao outro, o esforço E sobre a parede A, des-prezando-se o peso da prancha, varia de acordo com o diagrama:

E iE

8

I- L/4 I, I

A

a) b)

! (\ L i

I. .1

12. MEDICINA DE POUSO ALEGRE - Para sustentarmos, em equilíbrio,uma carga de 20 kgf, suspensa no ponto médio de uma alavanca homo-gênea horizontal com 10 kgf de peso, articulada em A, conforme mostraa figura. devemos fazer uma força F de:

o......., x

01

\ IF

dI X

I

C)h

-H

d IIi

d)

A

II II I

01I I

01/I I xI '"

d d . .- I x a) 10 kgf.d d

.-

2 2b) 15 kgf.

d) 30 kgf.


c) 20 kgf.e) 60 kgf.

66

A barra AB apresentada na figura abaixo tem peso desprezível e está presaa uma parede vertical. mediante um fio inextensível CD. e a um pinocolocado na extremidade A. A barra sustenta um corpo de peso P = 100 N.preso à extremidade B. São dados AB = 6 m e BC = 2 m. Este enunciadorefere-se às três questões seguintes:

D

A

intensidade da força de tração no fio CD vale:

d) 150 V2N.e) Nenhuma das alternativas anteriores.

13. FEl - A

a) 100 N.b) 50 Y6N.c) 150 N.

14. FEl - A reação em A tem a direção indicada na figura:

O

(11)

D

(IV)

a) I.b) 11.

c) m.d) IV.

15. FEl - Para que a reação em A tenha a direção da barra, o fio de sus-pensão do corpo deve ser preso no ponto:a) A. d) médio da barra.b) B. e) Nenhuma das alternativas anteriores.c) C.

.I

~ .tI~67

16. MEDICINA DA SANTA CASA - Duas polias concêntricas, presas aum mesmo eixo, têm raios de 20 em e 40 em. Quatro cordas, A, B, Ce D, estão enroladas nas polias, de modo que A e B, quando traciona..das, giram as polias no sentido anti-horário, enquanto que C e D as giramno sentido horário. Uma pessoa de 60 kgf quer levantar uma carga de100 kgf. A melhor maneira de satisfazer o seu desejo é'

IIIIII

I I :I I I" I

I I I

I I . I

A B C Da) puxar pela corda A, o corpo preso na corda C.b) puxar pela corda B, o corpo preso na corda D.c) puxar pela corda A, o corpo preso na corda D.d) puxar pela corda C, o corpo preso na corda B.e) O homem não é capaz de levantar o corpo de forma

que seja a combinação acima utilizada.alguma, qualquer

17. MACKENZIE - Um tubo homogêneo é transportado na posição hori.zontal por três homens A, B e C. O homem A segura o tubo em umaextremidade e os outros suportam-no através de uma viga transversal,muito delgada, de modo que a carga seja igualmente dividida entre os trêshomens. Desprezando o peso da viga, a distância X, em. função dos com-primentos indicados na figura vista na planta, vale:

r -1-

x

ao .~~.

...L.,cI ;. I

: " ,L1- - - :. __I

V ! . V

- .1.- - -.- - - --a) Y.b) 2Y.c) L/4

d) LI2.e) LI3.

A

D

(I)

A

O

(111)

A

68 ~ 69

18. MEDICINA DA SANTA CASA - A barra da figura pode girar livre-mente em torno do eixo fixo S. Um corpo de massa M = 100 kg é pendu-rado na extremidade R da barra, que é mantida na 'posição horizontal atravésde um dinamômetro preso no ponto O. O ponto O é tal que OS = 10 eme OR = 40 em.

Desprezando o peso da barra e considerando a aceleração da gravidadeg = 10 m/s~, o d;namômetro, na vertical, deverá marcar, aproximadamente:

22. PUC (SÃO PAULO) - A tesoura é uma combinação de duas alavancas:a) interfixas. d) uma interfixa c outra inter-resistente.b) inter-resistentes. c) uma interfixa c outra interpotente.c) interpotentes.

a) 20 N.b) 25 N.c) 80 N.d) 500 N.e) 5000N.

Uma barra rígida, com peso desprezível, articulada em A e apoiada em O,sustenta. na extremidade B, um peso P = 100V3N. As distânciasAO e OBvalem, respectivamente,60cm e 40cm. O ângulo cI>mede 30°.Este enunciado refere-se às questões de 19 a 21.

R

23. MEDICINA DA SANTA CASA - Normalmente, os objetos esquemati-zados abaixo funcionam, respectivamente, como alavancas de que tipo?

X. . /~ -!) 7~_A

". ~~. (tp/~tesoura carriola quebra-nozes pinças .

10cm:0I, 40cm

a) Interfixa, interpotente, inter-resistente e inter-resistente.b) Interpotente, interpotente, interpotente e interpotente.c) Inter-resistente, interpotente, interfixa e interfixa.d) Interfixa, inter-resistente, inter-resistente e interpotente.'e) Nenhuma das respostas anteriores.

d) 250 N.e) 500 N:

a) Ib) II

~IIId) IVe) V

25. ITA - Três blocos cúbicos iguais, de arestas a, estão empilhados, con-o forme sugere a figura. Nessas condições, a máxima distância x para que

ainda se tenha equilíbrio é: a

24. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) - A barra rígida e homo-gênea MN da figura abaixo pode girar, sem atrito, em torno do pino M,apoiando-se no degrau, em O. Qual das cinco setas desenhadas pode repre-sentar a força exercida pelo pino M sobre a barra?

\~t~IV

yB

A

!..-,- f . ~x19. PUC (SÃO PAULO) - Nestas condições, a reação desenvolvida no ponto

de apoio Q tem intensidade:a) 100 N.

, b) 125 N.. c) 100 V'J"N.

20. PUC (SÃO PAULO) - Aa) 100 N.b) 125 N.c) 100 V'J"N.

21. PUC (SÃO PAULO) - A reação vertical em A. tem intensidade e sen-tido dados por:a) 25 V'J"N, para cima.b) 25 V'J"N, para baixo.c) 100 VTN, para cima.

~v

reação horizontal em A tem intensidade:d) 250 N.e) 500 N.

a

d) 100 V1"N, para baixo.e) 250 N, para cima.

a) a/2.b) (7a/8).c) a.

d) (11a/12).c) (3a/4).

IIIi

x --.iI

70 ~ 71

26. UNIVERSIDADE DO CEARÁ - Um cilindro de raio R apóia-se, poruma de suas bases, num plano inclinado de 45° em relação ao planohorizontal. Despreze a força de atrito. Para que o cilindro possa deslizar,sem tombar, sua altura máxima H deverá ser igual a:~2~ ~3V~b) R. d) R/2.

28. CESCEA - Qual a condiçãoderrape na curva descrita?

a) V:!/r> I-Lgb) V:!/r:!> I-Lg/h

29. CESCEA - Qual a condiçãocapote na curva descrita?a) V:!/r > gb) V:!/r:!> g/h

necessária para que o carro em questão

c) V:!/r> I-LgLl2hd) Nenhuma das respostas anteriores.

necessária para que o carro em questão

27. CESGRANRIO - A figura representa uma escada apoiada em uma paredee duas das forçasque atuam sobre ela: o peso P e a força F exercidapelaparede. F

c) V21r> gLl2hd) Nenhuma das respostas anteriores.

k ~'", ',',1 '" BCDi '

r"": '", " ,

I "I ,I A - ,'---

30. CESCEA - Sabendo-se que o carro não conseguiu completar a curva, éverdade que:

a) se I-L< L/2h, o carro capotou.b) se I-L> Ll2h, o carro capotou.c) se I-L> Ll2h, o carro derrapou.d) Nenhuma das respostas anteriores.

31. FAAP - Na figura, o bloco A está em equilíbrio estático. pesa 173 Ne o coeficiente de atrito entre ele e o plano inclinado é 0,5. A barra Betem sua extremidade B presa à corda que está atada em e. Um peso Dde 15N pode se movimentar sobre a barra, que tem 20 cm de compri-mento. Desprezando os pesos da barra e da corda, bem como o atrito napolia, determinar a posição do peso D em relação à extremidade B dabarra para que o bloco A fique na iminência de descida.

Entre os cinco segmentos propostos a seguir, qual representa a força exer-cida pelo chão sobre a escada, para que ela permaneça em equilíbrio?

l_- x .-.1

d) De) E

c~

~20 em-- ..r

B D

a) Ab) Bc) e

~

'.'

A figura abaixo representa um carro de massa M em movimento sobreuma pista perfeitamente horizontal. O centro de gravidade (G) do carro,eqüidistante das quatro rodas, encontra-se a uma altura h acima dapista. e a distância entre as rodas de cada eixo é L. Numa curva de raior, o carro entrou com velocidade V, considerada excessiva. O coeficientede atrito entre os pneus e o asfalto é I-Le a aceleração da gravidadelocal é g.

1 y'jDados: y'j =1,73; sen 30° =- ecos 30° =-.

2 2

32. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS - A magnitude da forçamínima Fmín, aplicada ao ponto e do cilindro de peso G = 1 000 N e raior = 15cm, mostrado na figura abaixo, capaz de fazê-Io passar sobre oobstáculo D, de altura h = 3 cm, ~erá, em newtons:

hh

LEsteenunciadose refereàs questões de 28 a 30.

11'a) 2 000.b) 1667.c) I 250.

d) 600.


.....G

72

33. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS - Uma barra prismáticadelgada AD, de peso Q e comprimento 2a, está apoiada, sem atrito, sobreum pequeno cilindro em D e encostada a uma parede vertical lisa, comoilustrado na figura. O ângulo que a barra fará com a horizontal, quandoem equilíbrio, será dado pela expressão: .

.. B

A"

d) =arc sen [(a/ Võ)].e) Nenhuma das respostas anteriores.

a) =arc sen [(b/ a)2].b) =arc cos [(a/b)!!a].c) =arc tg (b/ a).

34. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS - Desprezando o pesopróprio da viga horizontal AB da figura, resultam forças n~s barras arti-.-.culadas AD, AE e DC, quando atua na viga uma carga vertical P. Asmagnitudes das forças que atuarão em cada barra, AD e DC, respectiva-mente, serão:

.. - a .-.p

B

.~ . 'i!:J.t!~35. MACKENZIE - No dispositivo indicado na figura, a barra e os fios têm

pesos desprezíveis. No instante t = Os, o registro é aberto e começa oescoamento de água para o balde, com vazão constante de 5 litros porminuto. O balde está, inicialmente, vazio e pesa 5 kgf. A tração de rup-tura do fio horizontal é de 20 kgf, e o peso específico da água é de 1 kgfpor litro. O tempo gasto para a ruptura do fio horizontal é:

articulaçãoa) 6 minutos.b) 5 minutos.c) 4 minutos.

d) 3 minutos.e) 2 minutos.

36. FEl - Um portão homogêneo de espessura constante e peso P = 600 Nestá montado conforme indica a figura, sendo desprezíveis os atritos emseus apoios. Determinar a intensidade das reações nos apoios.

O,1m O,am1"-'1-- --"'I

~.J..~IN. - -ti

37. FEl - Uma prancha AD encontra-se em equilíbrio na posição horizontal,suportando as massas ml e m~ = 0,5 kg. na posição indicada na figura.Num determinado instante, a massa mI começa a se deslocar em direçãoà extremidade A, com velocidade constante V I = 12 cm/s.

j.o 0,5 m--f.o 1,5 m -f.

ml

B

,M

AI -

a) Determinar o valor da massa mI.b) Determinar a velocidade da massa ~ e o sentido em que ela deve se

deslocar, de modo que a prancha AD permaneça na posição horizontal.

.L-_

. b I

P(b - a) Pb P(b - a) Paa) ; - d) ; -

2b cos a 2b cos b

b)P(b - a) Pa

; -e) Nenhuma das respostas anteriores.

b sen b

c)P(b - a) P(a - b)

;-b cos b

Ti ..:a.L......

TI

I

elIC'!. I

74 ~38. FAAP - O sistemaesquematizadoestá no plano vertical e em equilíbrio

na posição indicada. A barra AD é homogênea e uniforme e o seu extre-mo A está apoiado no plano horizontal liso. A mola presa ao ponto Bda barra está disposta de modo que o seu eixo se mantém na direção daperpendicular à barra. O fio que passa pela polia ideal e que tem umadas extremidades presa à barra em C e a outra presa à partícula de peso200 v'T N é ideal, e no trecho CE se mantém horizontal.

Sabendo-se que a constante elástica da mola é 2 000 N/ m e que AB == BC = CD, determinar:

D

1

42. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS. CRUZES - Uma pessoa pode erguerum corpo de massa 50 kg. Se ela quiser suspender um Scania Vabis(caminhão) carregado, de 51,2 toneladas, com uma talha exponencial, estadeverá ter, no mínimo: (Admita a massa da talha desprezível.)

a) 100 polias móveis. d) 10 polias móveis.b) 50 polias móveis. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 20 polias móveis.

43. MEDICINA DE SANTO A~ARO - Empregando-se uma talha expo-nencial para levantar uma carga de 192 kgf, devemos empregar uma po-tência de 6 kgf. O número de polias móveis da referida talha é:a) 5. d) 8.b) 6. e) Nenhuma das anteriores.c) 3.

'1;'.(,;) I{

E

44. CESCEA - Estão esquematizadas, nos desenhos abaixo, diversas máqui-nas simples. Indique aquelas em que a força (F) aplicada é menor do queo peso a ser levantado (P), nas condições especificadas nos desenhos (figu-ras I. 11. m. IV, V, VI, VII).

r2 ~

p~/.1Fpr~

(I)

A

f. ., I~ ~,

a) o c0!11primento correspondente ao alongamento da mola.b) o peso da barra.

39. MEDICINA DE SANTOS -a) energia.b) potência.c) força.

Máquina simples serve para multiplicar:d) trabalho.e) Nenhuma das respostas anteriores.

r2 > r1

;4'"/~...(IV)

40. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Em uma máquina, a razãoentre a força resistente e a força motriz recebe o nome de:

a) rendimento. d) vantagem mecânica.b) trabalho passivo. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) trabalho resistente.

41. UNESP - Mediante certa máquina simples, alça-se lentamente uma cargaQ, exercendo força de acionamento F. Os correspondentes percursos sãoq e f.a) Vantagem mecânica ideal é a razão Q/F.b) Vantagem mecânica real é a razão f/q.c) No arriamento da carga, é concebível que a força de acionamento seja

F (a mesma).d) Havendo atrito, não há conservação de energia.e) Nenhuma das respostas anteriores.

a) n. v. VII.b) I, 11. V,

(11) (111)'

F

F

r2 = rJp ~~

~ilt' rJ = r2

F

p

. ,~~. --(VI)T~;f

;; "r~'1 " ~ "

~ '>

p ~~~ r1

">" p~F-<.. -. . J. "'~ 7'('",'

r1 > r2 " ~(VII)

c) I, IV, VI.d) m. VI. VII.

76 ~ .tI~45. MEDICINA DE SANTO AMARO - Na figura, a potência aplicada vale:

~

a) O equilíbrio é instável.-+ -+ ~

b) ~ preciso ser Q + F = O.c) Em relação ao eixo do sarilho, o

momento de F é bF horário.d) O equilíbrio requer F = Q.e) Nenhuma das respostas anteriores.

momento de Q é rQ anti-horário, e o

49. FMU - Um corpo ocupa as posições A, B e C sucessivamente. Nestecaso:

a) P =R/2n.b) P =R.c) P = R"/2.

I Rd) p=-.-.

2 2"- 1

R

~e\ P = -2"+ 1

n =número de

A

(,( ,~

(-)polias móveis. B

\. $)

46. MEDICINA DE SANTO AMARO - Na questão anterior, a vantagemmecânica será:

a) l.b) 2 cos <1>.

c) 2.

47. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Para' levantar um peso de200 kgf, faz-se uso de um moitão ou cadernal; a força motriz necessáriaé igual a: (O moitão tem 2 polias móveis.)a) 100 kgf. d) 200 kgf.b) 150 kgf. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 50 kgf.

d) 2n.e) 2".

C

a) o corpo está em equilíbrio em A, B e C. 'b) afastado ligeiramente da posição A e depois largado, não volta ao equi-

líbrio.

c) afastado ligeirameqte da posição B e depois largado, volta ao equilíbrio.d) afastado ligeiramente da posição C e depois largado, rola continuamente.e) afastado ligeiramente da posição representada e depois largado, em cada,

uma das situações, se comporta de modo igual.

50. CESCEA - Em duas barras metálicas de comprimentos LI e L2 (L2 > LI),-fixas em uma das extremidades, aplicam-se forças iguais às extremidadeslivres. Supondo essas barras de mesma secção e constituídas de mesmomaterial, podemos afirmar que:

48. ENGENHARIA DE SANTOS - O sarilho 'esquematizado é leve; o atritoé desprezível; b = 2r. A carga Q é equilibrada pela força de acionamentoF, sendo = 30°.

A')~

~ :.r< ."

LI

1 ~F

o

L,!

fi ---J ...,.F

a) o aumento de comprimento da barra LI é maior do que o aumento decomprimento da barra ~.

b) o aumento de comprimento da barra LI é menor do que o aumento decomprimento da barra ~.

c) os aumentos de comprimento são iguais.d) Nenhuma das alternativas anteriores.

78

51. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Np esquema anexo, representam-sedois cubos maciços de ferro, Cl e ~, com arestas a e 3a; eles estão sus-pensos eql repouso por fios de náilon cujos diâmetros são d e 2d e cujoscomprimentos são L e 2L. A relação R2/Rl das reações nos apoios A2e Al é:

AI A2

L, d 2L, 2d

a n , CI

d) 6,8.e) 27.

a) 3.b) 9.c) 18.

52. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Retomar o enunciado anterior. Deacordo com a lei de Hooke, a relação x2/ XI entre os alongamentos dosfios 2L e L respectivamente, deve ser da ordem de:

a) 3. d) 27.b) 7. e) 54.c) 14.

~1. a 2. a 3. d 4. b 5. c 6.b 7. b 8. b

9. a 10. a 11. T=50 N, vertical, dirigida para baixo. 12. b 13. b 14. d 15. c 16. a

17. c 18. e 19. d 20. b 21. b 22. a 23. d 24. c

25. e 26. a 27. b 28. a 29. c 30. b 31. x ~4,4 em 32. d

33. + =areco. (+):)34. d 35. d 36. dobradiça superior: FI = 250 N (horizontal);

dobradiça inferior: F2 = 250 N (horizontal), Fa = 600 N (vertical).

37. a) 1,5 kg; b) 36 cm/s no sentido de M para B.800 .

38. a) X = 0,20m; b) P = - N. 39. c 40. d 41. a 42. d 43. a 44. c 45. d3

46. e 47. c 48. e (NO equillbrio, ar = F+.) 49.a 50. b 51. e 52. c

PARTE11 .

tt

HIDROSTATICA

t

, «' ir~ij~P r . ~.. 81

()) )~) )- - .. ---

rre55ãoexercido

por umLiquido

---.

~-

- ---1f--

~ ":~

I

I

II.II

I

Conceitos iniciais

Fluidostática é a parte da Mecânica que estuda o comportamentode um líquido ideal ou gás ideal em equilíbrio, bem como o com-portamento de corpos que estejam em contato com ele.

A Hidrostática constitui um caso particular da Fluidostática eestuda o comportamento de uma porção de líquido ideal em equi-líbrio e dos corpos nele imersos.

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82

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_0 _.~~ ....

,.-~~\~~~~8~-~~-";~~:- ~ ", .:, ?Um líquido ideal se caracteriza por ter .volume definido, ser

incompres'sível e não apresentar viscosidade. Devido a sua estru-tura molecular, adapta-se aos contornos dos recipientes que o con-têm, não apresentando, assim, forma determinada.

. Densidade - Densidade absoluta (ou massa específica) (tJ.) deuma substância homogênea é o quociente entre a massa (m) de umaporção qualquer desta substância e <>seu correspondente volume(V), a uma dada temperatura.

I tJ. ~ I

Em símbolos:

o conceito de densidade pode ser estendido para um corpo.Diremos que a densidade (d) de um corpo é o quociente entre suamassa (m) e o correspondente volume externo (Vext).

, ~Em slmbolos: d =-V.xt

- Unidadesde densidade- No Sistema Internacional de Unidades,temos:

para m = 1 kg e V= 1 m" -+ tJ.(ou d) = 1 ~.m3No Sistema CGS, temos:

para m = 1 g e V= 1 cm" -+ tJ. (ou d) = 1g

cm3.1" No Sistema Técnico, temos:

para m = 1 utm e V= 1 m3 -+ tJ. (ou d) = 1 m3

utm

Noteque: l' g. =10'~1cm3 m3

I ~~lLiúéa-'" 83

- Densidades aproximadas de sólidos. e líquidos

~/J

A densidade absoluta de uma substância nem sempre coincidecom a densidade de um corpo formado por aquela substância. Umexell'lplo: pela tabela anterior. vemos que a densidade absoluta do ferro a20° C é de 7,800g/cm3; entretanto. uma esfera oca de ferro, com massade 1 kg e raio externo de 10 em, possui uma densidade da ordem de0.25 g/cm3, e flutua em água.Essa diferença é devida às partes ocas do corpo. não ocupadas pelasubstância. O mesmo ocorre com um navio feito de ferro.

A densidade de um corpo só coincide com a densidade da substância,da qual ele é feito quando o corpo é maciço.

. Peso específico de uma substância - Define-se peso específico(p) de uma substância como sendo o produto da densidade absoluta(tJ.)pela aceleração da gravidade local (g).

Em símbolos: I p = tJ.gI. Pressão exercida por uma força- Pressão média - Define-se pressão média (pm) exerci da por uma

força normal sobre uma superfície como sendo o quociente entre aintensidade da força normal (F) e a área da superfície (5).

Sólidos Densidades (g/cm3)

alumínio (200 C) 2,65

cortiça (200 C) 0,24

ouro (200 C) 19,32

gelo (00 C) 0,917

ferro (200 C) 7,80

madeira (200 C) 0,50

cobre (200 C) 8,93

Líquidos Densidades (g/ cm3)

álcool (200 C) 0,789

glicerina (200 C) 1,26

mercúrio (200 C) 13,600

querosene (200 C) 0,820

gasolina (200 C) 0,790

água pura (40 C) 1,000

água do mar (200 C) 1,030

84

-lã

~~~ 85

Em símbolos:I pm : I

t.~\\

~ .

.-';

)~

. <j!<'J r4'

~/

:~r.. ,~. ~~-

')~ "~

Se fizermos esta área S ao redor do ponto A tão pequena quantopossível, isto é. .tendendo a zero (S ~ O), teremos o que se conven-ciona chamar de "pressão no ponto A" (PA).

Em símbolos: PA= lim Pm= lim i.s~o s~o S

v/(ir

#

- Pres~ão uniforme - Quando todos os pontos de uma superfícieestão submetidos à mesma pressão, dizemos que a superfície estáa uma" pressão uniforme". Neste caso, a pressão em cada ponto(p) coincide com a pressão média na superfície (Pm).

Em símbolos, pressão uniforme ~ Ip = pmI. Unidades de pressão - No Sistema Internacional de Unidades.

temos:N

para F = 1 N e S = 1 m2 ~ p = 1- = 1 pascal (Pa).m2

No Sistema CGS, temos:

A força normal exercida pela

solo é a normal N. Assim,

Ji.s

bailarina na região definida por parte do seu pé noN

PIII= - Estando a bailarina em equilíbrio, temosS

dynpara F = 1 dyn e S = 1 cm2 ~ p = 1-

cm2= 1 bária.

No Sistema Técnico, temos:

para F= 1 kgf e S= 1 m2 ~ p=.1kgf

m2

Note que: 11 Pa = 10 báriaslP

N=P. Logo, Pm=-'S

Note que pressão é uma grandeza escalar que não assume va-lores negativos. .

- Pressão no ponto - Tomemos um ponto A de um elemento desuperfície de área S, sobre a qual agem forças normais cuja resul-tante tem intensidade F.

F

- Outras unidades usuais de pressão - A tradição tem mantido,ao longo do tempo, outras unidades de pressão. que passamos amencionar: .

1 bar = 1Or. Pa = 10" bárias

1 milibar = 103 bar = 102 PaA unidade "milibar" é muito usada

kgf1 atmosfera técnica = 1

até hoje em meteorologia.

cm2

~1.Para uma mesma força normal, quanto menor for a área da sÚperfíciede apoio, maior será a pressão correspondente. Assim, uma moça calçandosapatos de salto alto exercerá, no solo, uma pressão maior do que aexercida por um rapaz, de peso igual ao dela, mas que esteja calçandosapatos de salto baixo.

88~~tWéa-- 89

\ \.!'t" 'f~NI

~ ''.I///

I t/ . I Ift/"'/./'"

Mas não é apenas o fundo do recipiente que o líquido pressiona.Também as paredes laterais são pressionadas. pelo mesmo processode compressão molécula a molécula. Se fizermos um furo na paredelateral do recipiente, surgirá um jato de líquido perpendicular àparede. Este fato confirma que o líquido pressiona as paredes laterais

do reCr~~ ~ r [: \I

. ...4. Se a força F não for normal à superfície, devemos decompô-Ia nasdireções tangencial e normal.

~E decorre:~.

I

#

J'

'~- .~.~:,.;:.1.,

Portanto, um líquido exerce pressão nos pontos do seu interior,no fundo do recipiente e nas paredes laterais.

Conclui-se, então, que a força exercida por um líquido ideal emequilíbrio é sempre perpendicular às paredes do recipiente que ocontém e a qualquer superfície nele imersa.

Assim, se uma porção de líquido exerce uma força de intensi.dade F numa superfície de área S, podemos escrever:

Pressão exercida por um líquidoAs moléculas de um gás exercem pressão nas paredes do reci-

piente que as contém através das forças que elas aplicam nestasparedes, durante as colisões.

I p ; I

e I F=psl

~ ti 'I)

'-- ..",-,

i~ -.~.- ." ,- I

' . - - , I .

~ Ji'~ : L f\--=-- -~.?;..~I --

'- .~\.

As moléculas de um líquido. entretanto. não apresentam tantamobilidade quanto as moléculas de um gás; por isso. a pressão queelas exercem não é do mesmo tipo.

Devido à sua disposição característica, as moléculas no interiorde um líquido não apresentam grande mobilidade relativa e se "em-pilham" umas sobre as outras. A ação da gravidade faz com queelas se comprimam.

Deste modo, uma molécula exerce pressão sobre as que seencontram logo abaixo, e estas, por sua vez, comprimem as moléculasvizinhas, gerando uma cadeia de compressões que atinge o fundodo recipiente, exercendo nele uma pressão.

Iit

\

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~~-)- \.:~ ~~~ ,1111

r===

, Q

Cít.,

90

8 lei de Stevin* - A lei de Ste- Q.vin estuda o comportamento dapressão no interior de um líqui-do ideal e homogêneo em equi-líbrio.- 1.' parte - Imaginemosumaporção cilíndrica do líquido emposição horizontal, cuja espessu-ra seja comparável à do fio decabelo.

As forças exercidas pelorestante do líquido nas bases docilindro são perpendiculares aelas e. de intensidades FAe Fu,conforme mostra o esquema aolado. \.. ..)

Como o líquido está em equilíbrio, a porção cilíndrica do líquidotambém está. Assim, na direção horizontal podemos escreverFA=Fu (1).

Dividindo os membros da expressão (1) pela área S das bases,

temos ~ =~ (2). Logo: IPA= pu 1 (3).S S. Donde concluímos que:Os pontos situados na mesma horizontal de um líquido ideal

e homogêneo em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão.

- 2.' parte - Imaginemos, agora, uma porção cilíndrica do líquidoem posição vertical. de esp~ssura qualquer e altura h.

?

J,",

II ..:..C'" . I~F:FA S S

..1

..1 1",- --=~

As forças exercidas pelo restante do líquido nas bases do cilindrosão perpendiculares a elas e de intensidades FAe Fu, conforme mostrao esquema anterior. Na direção vertical, além destas forças exer.cidas pelo próprio líquido, há a força-peso da porção cilíndrica, cujaintensidade é P.

. Simon Stevin (1548-1620)- Físico e matemático holandês. Estudou o movi-mento dos projéteis e contribuiu decisivamente para o desenvolvimentoda Estáticae da Hidrostática.

-

.~~tWéa~ 91

j

Como o líquido está em equilíbrio,- a porção cilíndrica tambémestá. Assim, na direção vertical podemos escrever Fu= FA+ P (4).

Chamando de fl.a densidade do líquido, de m a massa da porçãocilíndrica e de V,o seu volume, decorre:

P = mg = fl.Vg = fl.Shg (5)

Substituindo (5) em (4), decorre FB= FA+ fl.Shg (6).

Dividindo os membros da expressão (6) pela área S das bases,

FB FA fl.~hgtemos -=-+S S ~

Logo: I PB = PA + fl.gh I

As expressões [7) e (8)ciado é o seguinte:

A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido ideal ehomogêneo em equilíbrio é igual ao produto do peso específico dolíquido pela diferença de nível entre os. pontos.

Esboçando o gráfico p X h da pressão em função da profundidade,obteremos uma reta, como mostra o diagrama a séguir:

(7) => I PB - PA= ph I (8)

constituem a lei de Stevin, cujo enun-

1A.. - - I- -

<40~ ~lp

h

B8- - - - ~ -I

Pé--- P = PA+ ph-- --- - I

I

'y 1

tt ~..,. '\ 'I.~

. ~~

~ ~

ki ?I-~ '."- "ll ~.'-"~", ~r./ V'l'- c

PA

ho h

92

Resumindo, para um líquido ideal e homogêneo em equilíbrio:a) a pressão cresce linearmente com a profundidade;b) a pressão não varia para pontos situados no mesmo nível

horizontal.

~Devido à lei de Stevin, ao construir um dique, deve-se dotá-Ia de umaespessura suficiente para suportar a pressão exercida pelolíquido no fundo.

I ~~- ~

~ ~'"

q/q~ -. ,~

~

. Pressão atmosférica (experiência de Torricelli) - O ar existentesobre a superfície da Terra exerce sobre ela uma determinada pres-são, denominada" pressão atmosférica". Algumas experiências muitosimples permitem constatar sua existência:

1) Eliminando o ar do interior de uma lata (por meio de umabomba pneumática, por exemplo), verificamos que ela irá se defor-mando devido às forças de compressão que as moléculas do arexterno exercem sobre ela.

rII

~~,

'~ !t\ ' ~1

b \7 ., ~-~ "-lata amassad a

'" .r; - .- ~.J c....=/lata

- '~~bomba pneumáticr L

-~~!tiúéa-... 93

2) Unindo duas placas de vidro liso. bem limpas, eliminamos oar existente entre elas. Se tentarmos separá-Ias, sentiremos muitadificuldade. devido às forças de compressão exercidas sobre asplacas pelas moléculas do ar externo.

iG<- L,.~ ....

3) Colocando uma folha de papel liso sobre um copo com água,firmando-a com a palma da mão e virando o copo para baixo, verifi-caremos que, ao remover a mão que segurava o papel. a força externaexercida pelo ar sobre o papel impedirá que a água caia.

~r\..

.. ---1;-

?-~ (f!~.

r--

...!...~

. - ~..-'I' oi o. ..,

'"li

.L~Uma engenhosaexperiência realizadapor EvangelistaTorricelli *

permitiu determinar o valor da pressão atmosférica ao nível do mar.Torricelli tomou um tubo. encheu-o de mercúrio até a boca. tampou-a

. EvangelistaTorricelli(1608-1647) - Físico e matemático italiano, discípulo deGalileo. Estudou o movimento dos fluidos e dos projétejs e inventou o barômetro.

I . - {M ,e emborcou-o numa cuba que continha o mesmo Irquido. O mercúriodentro do tubo desceu e parou a 76 cm do nível do mercúrio na cuba.

r. ~~ & . /\

-~

~lMéa-M 95

Este desequilíbrio de pressões causa o seguinte: as forças que o ar exercesobre a água externa ao cano empurram-na cano acima, até que elaatinja a altura máximah = 10,3m.

r

,.

II

76 em

Os pontos A e B estão na mesma horizontal, no mesmo líquidoem equilíbrio. Logo, pela lei de Stevin, estão à mesma pressão. Apressão em A é a pressão atmosférica ao nível do mar e a pressãoem B é a pressão exercida pelo líquido na base da coluna. isto signi-fica que o ar externo ao tubo exerce forças na superfície do líquidona cuba e impede que o líquido interno desça.

Aplicando a lei de Stevin ao mercúrio no interior do tubo, temos:

po ~ O ("vácuo")f.I.= 13,6g/cm3= 13600kg/m39 = 9,8 N/kgh = 76 cm = 0,76 m

L

-- -

""-

É importante deixar claro que a bomba nãoaspira a água, mas sim o ar.A coluna líquida é empurrada cano acima pelas forças externas, que oar do interior do poço exerce sobre a superfície livre do líquido.Na prática utilizam-sebombas aspirantes para alturas aproximadamenteiguais a 8 m, pelo fato de não se conseguir aspirar todo o ar nointerior do cano devido a vedações imperfeitas na bomba. Para alturasmaiores. utiliza-se bomba premente, que ajuda o ar externo a empurrar acoluna líquida.

3. O mesmo ocorre quando tomamos um refrigerante com canudinho. Aochupar o ar do Interior do canudinho, levando-opara os pulmões,geramos uma região de baixa pressão no interior do canudinho e naboca. O ar externo ao canudinhopressiona a superficie livre do liquido eforça-o a subir 'canudinho acima.

patm = PB = po + f.l.gh, onde

patm= O+ 13600 . 9,8 . 0,76

patm= 101300N/m2,~ I patm= 1,013 . 1O~N/m2 IResumindo, a pressão atmosférica ao nível do mar é equivalente

à pressão exercida em sua base por uma coluna de mercúrio de76 cm de altura. Esta pressão é, no SI, igual a 1,013 . 10~N/m2. Estevalor é conhecido como" 1 atmosfera". '

~1. Admite-se como nula a pressão no ponto O, pois se consideroudesprezivel a pressão do vapor de mercúrio que ali se formou por ocasiãoda descida da coluna. Devemos lembrar que o mercúrio é um liquido debaixa volatilidade à temperatura ambiente.

2. Se substituirmos o mercúrio por água, de densidade ao redor de 1 g/cm3e, portanto, 13,6 vezes menor que a do mercúrio, a altura do líquido queequilibrará a pressão atmosférica será da ordem de 13,6 vezes maior quea do mercúrio, isto é, 13,6. 0,76 = 10,3 m. É o que acontece quando

pretendemos tirar água de ÍJm poço usando uma bomba aspirante. O ardo interior do cano é eliminado pela ação da bomba, criando-se uma regiãode baixa pressão ("região de vácuo"). Na parte externa ao cano temosar que exerce pressão atmosférica sobre a superfície livre do líquido.

I tJJ'

-j

111 .

l'

, 1- '.\- ., i#.r" 0.0-,;, .,

I -

f

, . , I

.<,1 I

I

96

----4. O sifão é outro exemplo interessante de aplicação dos efeitos da pressãoatmosférica. Tomemos o esquema a seguir: - - --

p.tm

U-JA

o ...

B ,-h

" 'rC.f.

fi,

\ ',. ,- -'3'Eliminando o ar do tubo por meio de uma escorvada e mantendo suaextremidade livre (C) abaixo do nível AB do líquido no recipiente, apressão na extremidade C será maior que a pressão atmosférica e olíquido descerá. Vejamos:

PB == PA == Patm (pontos A e B na mesma horizontal)

Pc == PB + I~gh (lei de Stevln aplicada à porção BC do líquido)

Logo: Pc ==Patm + j.l.gh=> Pc > Patm

Graças à pressão atmosférica, é possível retirar gasolina do tanque de umcarro com uma mangueira. Trata.se de sifão Improvisado.

...,''''!t

f -

r---I

.J(~\--I

- J

('1:'1.'( ;j" -J/ , ~

..~\ . .J' ~ .' .;&-' '"~r~,~,

~

5. A pressão atmosférica ao nível do mar (Patm==1,013 . 105N/m2) éaproximadamente equivalente a 1 kgf/cm:!. Uma mão aberta tem umaárea aproximada de 150cm:! em cada um dos lados. Logo, o ar aplica-lheuma força de intensidade de 150kgf em cada um dos lados da mão,equivalente à intensidade do peso de dois homens médios.

="'

~~tWéa~

---

97

- ~

Por um raciocínio semelhante, concluímos que o ar exerce, sobre a cabeçado homem, uma força equivalente ao peso de muitos sacos de areia.Ele s6 não é esmagado por esta pressão externa porque no organismoh~ pressões internas que causam a compensação.6. A pressão do ar diminui com a altitude, pois o ar torna-se maisrarefeito. Esta queda de pressão é perigosa para os seres humanosacostumados com a pressão da superfície. Daí serem os aviões modernospressurlzados.

. Pressãoabsolutae pressão efetiva- Aplicando a lei de Stevinaos pontos A e B do esquema abaixo, temos: ar

- - A~=-=--=-=

J'

,t'

--~

.

',," "." -, . .T

. ' , .,;, )J \ , ..;;fi;-

...0~ jt\~.

'

...r--~~' 7 '--- B-- - - --

PB = PA+ J-tgh

Mas. PA= patm;logo. PB= patm+ J-tgh.

A parcela J-tghé a pressão devida somente ao líquido e recebeo nome de pressão efetiva.

A pressão total do ponto B é denominada pressão absoluta.

Assim, podemos escrever:

I pressão absoluta = pressão atmosférica + pressão efetiva I

~ "

98

. Vasos comunicantes - Quando um mesmo líquido é dispostonum vaso em formato de U, ele alcançará o mesmo nível nos doisramos. Palro

Isto é facilmente confirmado pela lei de Stevin. Tomemos doispontos, A e 8, no fundo do recipiente, em cada um dos seus ramos.Como tais pontos estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquidoem equilíbrio, eles estão à mesma pressão. Logo, PA= PB.

PA= palro-i- !1ghA

PB= palm+ !1ghB

E decorre: palm+ !1ghA= palm+ !1ghB=> I hA = hB I

Em resumo:Quando dois vasos são ligados pela base e expostos ao ar livre,

o líquido que eles contêm, quando em equilíbrio, atinge o mesmonível nos dois ramos.

Mas:

~o mesmo aconteceria com diversos vasos, nas mais diferentes posiçõese com os maís diversos formatos.

."o

, ,

J

~~úittáz~ 99

Os poços artesianos são exemplos ilustrativos do princípio querege o comportamento dos vasos comunicantes.

O lençol de água se apresenta, em geral, entre camadas imper-meáveis do terreno. É um reservatório subterrâneo que sofre a pres-são de todo o líquido que se encontra em níveis mais elevados. Sena superfície for feita uma perfuração que atinja o lençol, a águajorrará violentamente, tendendo a atingir o mesmo nível das partesmais altas do lençol.

rocha impermeável-"- -1\-

Uma comprovação experimental bem simples pode ser feita comum funil e uma mangueira ajustada ao seu bico. Coloca-se água no....sistema e mantém-se o funil em nível superior ao da outra extremI-dade.da mangueira. Como a água está num sistema de vasos comu-nicantes, tende a ficar no mesmo nível nos dois ramos. Estando umdeles mais baixo, a água jorra.

-~'\ /

----

/

~.......

~':w_~

O mesmo não acontece quando dois líquidos, não-miscíveis sãodispostos, em equilíbrio, num sistema de vasos comunicantes. Ha.verá um desnível entre suas superfícies livres. Podemos relacionar

1 '

'.

r' .'1

. . I h.

A B

100

-

~~!ti&a~ 101

estes líquidos observando que a pressão, ao nível da superfície deseparação dos líquidos, é a mesma.

Pl = paiOl+ !llgh1P2 = paiOl+ !l2gh2

Como Pl = P2 (mesma horizontal dentro do mesmo

então paiOl+ !llghl = pallU+ !l~gh~=> l!llhl = !l2h~ I

líquido) ,

Flembrando que p = - decorre F = pS. onde S é a área das

. ssuperfícies no fundo dos vasos.

Observando o esquema anterior, concluímos que:S4 > S3 > S2 > SI

Portanto: I F4> F3> F2> FI IIsto significa que, embora as pressões sejam iguais no fundo

dos vasos, as intensidades das forças que as causam são diferentes.

Em resumo, a pressão depende da profundidadedo líquido e nãoda forma do vaso.

. Lei de Pascal"- Se um ponto qualquer de um líquido ideal emequilíbrio sofrer uma variação de pressão, todos os demais pontosdeste líquido sofrerão a mesma variação. ~p

PaiOlPaiOl

! ! !1ttU

h.,mesma-pressão

.'

..("..

h1l I '...~.

líquido 1!lI

(-.- -I

(2)- - -- ~4~

(1) ,superfíciede separação

c',-

líquido 2!l2

Assim:

Para que o sistema de líquidos diferentes seja real, torna-se necessárioque o líquido de maior densidade seja colocado sob o líquido de menor. densidade. No esquema anterior, devemos ter !lI < !l2'

_1

---1 A

Ih'

I

A

~ ..~

,-I

Ih~~.-I_L-

B__1-1- --B

- -1

l

i

' -:- -i-- j

Ih I

-'.- ---! j - I

(4)

líquido é dada pela lei de

!l

Pela lei de Stevin, podemos escrever:

po = PA + !lgh (1)

Se o pontc! A sofrer uma variação de pressão ~p, sua pressãopassará a ser:

IP'A = PA + ~p I (2)

Como o líquido ideal é incompressível. o seu volume permaneceinvariável e. conseqüentemente, o desnível entre A e B (h) e a suadensidade (!l) nao mudam. Pela lei de Stevin, podemos escrever:

p'o = P'A+ !lgh

Como P'A= PA+~p, temos p'o= PA+~p +!lgh.Logo: p'o= (PA+ !lgh) + ~p

De (1), vem: Ip/o = po f ~p I (3)Observando (2) e (3) concluímos que o ponto genérico B do inte-

rior do líquido sofreu a mesmavariaçãode pressão ~p experimentadapelo ponto A.

. Par~doxohidrostático - Observe a montagemabaixo. Todos osvasos estão em contato com a atmosfera e o líquido é o mesmoem todos eles.,--

(1) (2) (3)

A pressão num 'ponto do interior doStevin:

p = paiOl+ !lgh .

Logo, a pressão no fundo de cada vaso é a mesma,

I Pl = P2 = P3:= P41 independente do seu formato..Blaise Pascal (1623-1662) - Matemático, físico. filósofo e escritor francês.Estudou a dinâmica e a estática dos fluidos, inventou a calculadora. a seringa ea prensa hidráulica. Foi o fundador da moderna teoria das probabilidades.

102

-.::..

~tWéa4& 103

~

\ y:\ ~~

\ "~'., '-:,

~

dicularmente ao êmbolo de área 82, transmitida pelo líquido, de talmodo que os acréscimos de pressão correspondentes sejam iguais:

~Pl = ~P2 (lei de Pasca!}

I~=~ISI S2

Como S:l > SI => F2> FI.

Assim, dependendo da relação entre as áreas 81 e 82, podemosobter no êmbolo de área 82 forças de intensidade F2 muitas vezesmaior que a intensidade FI.

A prensa hidráulica pode ser utilizada como elevador de veículosnos postos de gasolina.

logo:

. Aplicações práticas da lei de Pascal

1) Funcionamentode uma seringa

2) Freio hidráulico - O sistema de freio hidráulico dos veículosestá basicamente ebquematizado a seguir:"

fluido de freio válvula

- - - -- -

pistãon-1$" i

~

~II~

--tambor da roda

O motorista aciona o pedal do freio, exercendo uma força F, e,conseqüentemente, um acréscimo de pressão sobre o êmbolo docilindro. Esse acréscimo de pressão é transmitido através do fluidode freio ao cilindro interno de cada roda.' O pistão de cada cilindrocomprime a lona de freio contra o tambor da roda.

~PI

Para elevar o carro, abre-se uma válvula que admite ar compri-mido no reservatório A, que contém óleo. I O ar comprimido causaum acréscimo de pressão na superfície do óleo. Este acréscimo depressão é transmitido ao reservatório 8, até um pistão, que eleva ocarro.

Voltemos à prensa hidráulica:

3) Prensa hidráulica - A prensa hidráulica é uma espécie demáquina simples que multiplica a intensidade de forças.

Sejam 81 e 82 as áreas das superfícies dos êmbolos da prensa.admitida com o mesmo líquido nos dois vasos e em equilíbrio.

Ó.P2

ó.Vl1

I Ó.V2

\/Aplicando uma força de intensidade FI perpendicularmente ao

êmbolo de área 81, obteremos uma força de intensidade F2 perpen.

FIS2

"'. ..,........

tF,

5,

-

SI ó.h2L

lhI 52....

104

Como o líquido é incompressível (ideal), quando, o êmbolo deárea SI se desloca de Ahl' o outro êmjJolo de área ~ se deslocade A~. de modo que o volume de líquido movimentado seja igual nosdois ramos. Ou seja:

SI Ah2AVI = AV2 ~ S1Ah1 = S2Ah2 ~ -=-

S2 Ahl

4) Explosões submarinas - As bombas de profundidade lan-çadas por navios provocam danos nos submarinos devido à trans-missão do aumento de pressão por ocasião das explosões.

j'

-

-/f 1 \ ~ r~~~~~~ . -'?' - -.-

- ,J ~-r-

I

~~

1. MEDICINA DE SANTO AMARO - Misturam-se dois líquidos Ae B. O volume do líquido A é de 120cm3 e sua densidade é de0,78 gjcm3. O volume do líquido B é de 200 cm3 e sua densidadeé de 0.56 gjcm3. A densidade da mistura, em gjcm3, é de:a) 0,64. d) 1,34.b) 0,67. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 0,70.

'tI

~

I"

~

~Kiâéa48 105

Resolução: A densidade d da mistura é obtida dividindo a sua massam

m pelo seu volume V. Em símbolos, d = - (I).V

A massa m da mistura é igual à soma das massas mA e ma dos líquidosmisturados. Em símbolos, m = mA + ma (11).

O volume V da mistura é igual à soma dos volumes VA e Va doslíquidos misturados. Em símbolos, V =VA + Va (111).

Mas mA = !tAVA, onde !tA= densidade do líquido A = 0,78 gjem3e VA= volume do líquido A = 120em:!.Logo, mA =0,78 . 120 ~ mA=93,6g.

E mB= !tBVB,onde !tB= densidade do líquido B = 0,56 g/etn3e VB= volume do líquido B = 200 em:!.Logo, IT~B= 0,56 . 200 ~ mB= 112g.

Decorre, então:m mA+ mBd=-= -V VA+ VB

~ I d = 0,64 g/emul

93,6 + 112 205,6~d=-

120 + 200 320~


2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Sobre um plano horizontal ABapóiam-se 2 cubos de alumínio com 1 dm de aresta. A densidadedesses cubos é de 2.7 gjcm3. Sobre eles apóia-se um terceirocubo, idêntico aos dois primeiros, conforme indica a figura.

~.I

I

/; /. '

/

A B~'

A pressão média2

a) - .2,7.3

b) 3 . 2,7.3

c) - . 2,7.2

exercida sobre o plano AB vale, em kgf/dm2:d) 2,7.e) 2 . 2.7.

106 I~

Resolução: Como o sistema está em equilíbrio, a força total trocadaentre os blocos e o plano de apoio terá intensidade F tal que F = 3P (1),onde P é a intensidade do peso de cada bloco.

, , ,,

//

, /, /

.

/' 1'/ '

//

, , ,, /

/

/

" /, /

/, , ",,

//

/, , a

"p

A B

"

Adotando a convenção: m = massa de cada bloco; g = intensidade daaceleração da gravidade local; d = densidade de' cada cubo; V = vo-lume de cada cubo, podemos escrever:P=mg

me d=-~m=dV

V

Logo:P = dVg (2)

Substituindo P da expressãoexpressão (2), vem:F = 3dVg (3)

Como os blocos são cubos de aresta a, podemos escrever V =a3 (4).

Substituindo V da expressão (3) pelo correspondente da expressão (4),vem F =3da3g (5).

(1) pelo termo equivalente dado pela

intensidade da força normalMas, lembrando que pressão média =

área da superfície comprimidatemos:

FPm= -, onde S é a área de cada face dos cubos, ou seja, S =a2.

2S

,-

~~laâéa-M 107

Decorre, então:

- F 3da3gpm--=-2S 2a23

prn= - dag (6)2

Na expressão (6), fazendo d = 2,7 ~ = 2,7 ~ = 2,7 utmcm3 dm3 9,8 dm3

a = 1 dm; g = 9,8 m/s2, vem:3 2,7 utm

prn=-. -2 9,8 dm33 utm . m/s2

pm=- . 2,72 dm2

I pm=!.. . 2,7 kgf I2 dm2

m1 dm . 9,8-

S2

Resposta: alternativa c.

3. UNESP - A pressão absoluta em um ponto de um líquido homo.gêneo em equilíbrio. sujeito a gravidade uniforme, em função daprofundidade h do ponto considerado. é mais corretamenterepresentada por:

p p

a) b)

h ho o

"" p

dJrc)

hoh o


108

I

~~~tWéa~ 109

P

I'

L

P

Resolução: Admitindo que a situação do líquido mencionadoesquematizada abaixo, podemos escrever, tendo em vista aStevin:

11

PB = PA + {.Lgh, onde

{

PB =PPA= patro{.Lg=p

c)

2 4L

+-8053

P P

d) e)

..----B

- -- - -

h

1 2 3 4 5- 1 2 3 4 5Resolução: A expressão "pressão hidrostática" é sinônima de "pressãoefetiva", que é a pressão exercida exclusivamente pelo líquido. Ouseja:p = {.Lgh= ph

Na posição 1, a pressão efetiva é nula e, a partir daí, até a posição2, ela aumenta linearmente com a profundidade. O ângulo que ográfico retilíneo forma com o eixo das posições é designado por IX.No trecho que vai da posição 2 à posição 3, a pressão efetiva continuaaumentando com a profundidade. Neste trecho" entretanto, estamosanalisando a coluna de mercúrio cujo peso específico é maior que oda água. Assim sendo, a variação de pressão ocorre com mais inten-sidade a cada unidade de profundidade e o ângulo que o gráfico reti-líneo forma com o eixo das posições é designado por ~.Teremos, então,que ~> IX, pois PHg> PÓg"..

No trecho que vai da posição 3 à posição 4, a pressão efetiva perma-nece constante, pois neste trecho a profundidade é a mesma para todasas posições. No trecho que vai da posição 4 à posição 5, a pressãoefetiva diminui, pois a profundidade também diminui com as posições.Ao chegar na posição 5, a pressão efetiva é nula.

Deste modo, o gráfico p X L que melhor representa o fenômenoexposto é o seguinte: 1 (

-P pressao

efetiva)

Decorre, então:

p = Patro+ ph

Esta expressão revela que a pressão absoluta p em um ponto qualquerde um líquido homogêneo em equilíbrio varia com a profundidade h,de acordo com uma função do 1.0 grau. Assim, a relação entre p eh é melhor expressa através de um gráfico retilíneo do tipo:

P

Palro

onde tg IX= dec (p X h) ~ p.


4. CESGRANRIO- O tubo emU contém mercúrio e água.como mostra a figura. Am-bos os ramos estão abertospara a atmosfera. Qual dosgráficos propostos a seguirmostra a variação da pres-são hidrostática p em funçãoda posição L. ao longo docaminho 1-2-3-4-51

1

,,~

I ~> IX.pois PHg > PalguaI

L (posição)

II

:-u :

I II II I

3' I.,.. _. ~ ;-" 4

\r~

1


4 52 3

,.

seja a!p

lei de a)

110

5. FUVEST- Uma pessoa.' quando enche os pulmões ao nível domar. inspira um volume de 1 litro de ar. com massa de aproxi-madamÊmte 1.2 g. Esta mesma pessoa se instala em uma câmaraa 10m de profundidade, abaixo do nível do mar, conforme mostraa figura. nível do mar

~~ ~~ --'"'- ~.....

,ar 10m

,I ,O

!y. ",~-s-\~ .- -Avalie a massa de ar inspirada por esta pessoa, no interior dacâmara. quando enche os pulmões. Suponha que a massa espe-cífica da água do mar é de aproximadamente 1.0 gJcm3.

Resolução: Ao nível do mar, a pressão do ar é praticamente igual a1 atm. Isto é, par = 1 atm (nível do mar).

A cada 10m de coluna de água corresponde um aumento de pressãode aproximadamente 1 atm. Assim, a pressão do ar (p' ur) no interior dacâmara. a 10m de profundidade, iguala 2 atm. Isto é:

p' ar =par + pcoluna de água =>

=> p' ar = 1 atm + 1 atm =>

=> p'ar= 2 atm (a 10 m de profundidade)

Aplicando a equação de Clapeyron ao ar dos pulmões (admitido comogás perfeito) ao nível do mar e à profundidade de 10 m, temos:

, mao mvel do mar, parV=- RT (1).

Mm'

à profundidade de 10 m,.p'arY' =- RT' (2).M

Admitindo que o volume dos pulmões cheios de ar seja constante eque a transformação ocorrida seja isotérmica, temos V = V' e T = T'.Portanto, dividindo membro a membro as expressões (1) e (2), vem:

ParY

p' arV' -

~ytf~m'- JYf'~

j

par = 1 atmonde . =>

p'ar= 2 atm

, ~~~-- 111:,

'...

t,

1 m=>-=-=>

2 m'=>m' = 2m, onde ri1= 1,2g.Logo, m' ==2 . 1,2 =>

=> I m' = 2,4 g I

Resposta: A massa de ar inspirada pela pessoa no interior da câmara,ao encher os pulmões, é igual a 2,4 g.

6. CESGRANRIO- Um rapaz aspira ao mesmo tempo água e óleo,por meio de dois canudos de refrigerante, como mostra a figura.Ele consegue equilibrar os líquidos nos canudos com uma alturade 8,0 cm de água e de 10,0cm de óleo.

8.0emt j ._~í-

~7J

---~~}~cm./ ..:

água

. :-~:>';~

óleo

massa específica do óleo e a da água é:d) 1.2.e) 4,0.

A razão entre aa) 0.80.b) 0.20.c) 0.25.

Resolução: Ao aspirar o ar do interior dos canudos, o rapaz cria umaregião de baixa pressão na parte superior dos canudos. Assim, o arexterno situado sobre a superfície livre dos líquidos força a subidados líquidos canudinhos acima, formando as colunas.

ha = 8,0eml- '-.-:~,ti.,. "

-- - ~ lho = 10,0 em

'4 . ~ -7JII J

~U:t;.

D<r.

água

112

Observando a figura, podemos escrever:Px = py = patro(1)

Por outro lado, aplicando a lei de Stevin às colunas de líquido, temos:

px = Pboca+ !-tagha (2)

Py =pboca + !-togho (3)onde Pbocacorresponde à pressão do ar da parte superior dos canudos,que se encontram na boca do rapaz.

Levando em conta as expressões (1), (2) e (3), vem:

~ + !-tagha ~ + !-togho ~

~ !-ta*ha= !-to*ho~~ !-taha= !-toho~

!-to . ha~ -=- ~

!-ta ho

!-to 8,0 cm~-=

!-ta 10,0 cm

~ 1~=0,801Resposta:alterpativaa.

~

7. MAPOFEI- Um tubo em U contém dois líquidos não-miscíveis.conforme a figura. As massas específicas dos líquidos são a == 5.0 gjcm3 e b = 10,0gjcm3. Dá-se h = 1.0 em. Adotar 9 = 10m/s2. A pressão atmosférica é p = 10Njcm2, Qual é a pressãono ponto A?

a

. I J h

b

Resolução:

T-h

---

~- x..:~.

b

-

~~tZiáéa~ 113

,..

\'1\1

,;1

Os pontos X e Y estão na mesma horizontal dentro do mesmo líquidoem equilíbrio. Logo, Px = py (1).

Pela lei de Stevin, aplicada aos dois ramos do tubo em U, temos:px = Palro+ bgh (2)py =PA + agh (3)

Tendo em conta (1), (2) e (3), decorre:

PA+ agh = Patro+ bgh ~

a = 5,0 g/cm3 = 5,0 . 103kg/m3b = 10,0 g/cm3 = 10,0 . 103kg/m3g= 10m/s2h= 1,0cm= 1,0. 1O-2m

N N= 105-

m2

~ PA = patro+ (b - a)gh, onde

Patro= 10cm2

Logo: PA= 105+ (10- 5) . 103. 10 . 10-2 ~

~ PA= 105+ 5,. 102~

~ I PA= 100500N/m2 I

Resposta: A pressão no ponto A é de 100500 N/m2.

8. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - Os êmbolos decerta prensa hidráulica têm respectivamente 5 cm e 25 cm deraio. Sobre o menor está aplicada uma força de 100 kgf, perpen-dicular ao êmbolo. Sabendo-se que a prensa está em equilíbrio.pode-se afirmar que a força que deve estar aplicada ao outroêmbolo, perpendicular a ele, é de:a) 2,5 . 103kgf. d) 7,3 . 103kgf.b) 3,8. 103kgf. e) Nada disso.c) 5,5 . 103kgf.

Resolução:

(1) (2)

F2

FI

v" ( ,."

Si S..- ,.r

,:

. .

114

Para uma prensa hidráulica em equibõrio, tendo em vista a lei dePascal, podemos escrever:

FI F2---SI S2

Para o ~xcrcício em questão, vem:

FI = 100 kgf

SI = 1tr~= 1t . 52 = 251t cm2

S2 = 1tr~= 1t . 252 = 6251t cm2

100 kgf F2Logo: =

251t cm2 6251t cm2

F2 = 2 500 kgf

I F2 =2,5 . 103kgf I


9. UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO DE JANEIRO- Ainda com rela-ção ao enunciado anterior, se o êmbolo menor sofrer um desloca-mento de 50 em, o maior sofrerá um deslocamento de:a) 1,0em. d) 4,0 em.b) 2,0 em. e) Nada disso.c) 3,0 em.Resolução:

O líquido contido no interior da prensa é admitido incompressível.Logo, o volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo menor (VI)será igual ao volume de líquido deslocado no vaso do êmbolo maior(V2). Deste modo, temos:VI = V2

Sldl = S2d2SIdI

d2=-S2

J

d2 = 251t. 50

-

à~ltiáéa~ 115

=} Id2=2,OcmJ6251t


10. PUC (CAMPINAS)- O sistema esquematizado compreende doispistões cilíndricos, móveis, sem atrito, e uma alavanca. Ospistões têm diâmetros de 5,0 cm e 20,0 em; a alavanca tem braços-de 10 cm e 20 cm. A força F necessária para manter o sistemaem equilíbrio tem intensidade de:

250 N~

20 em ,",

10em '.

a) 2 000 N.b) 8 000 N.c) 250 N.

Resolução:

10,

".,~,

t

'1

\~,

".água

.....F

~

-

d) 1 250 N.e) 1 230 N.

FI

a

17

F2 B F

F2

rB

)o

Na situação de equilíbrio, teremos, para a alavanca:

MF1(O) + MF2(O),= O=} + ~la - F2b= O=}a

=} FIa = F2b=} F2 = F1- (1)b

Pela lei de Pascal, temos, em relação ao líquido:~PA = ~PB

4. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um recipiente cilíndrico de secçãotransversal igual a 10 cm2 e de 5 em de altura está completamente cheio deum líquido cuja massa específica é 2 g/cm3. Qual é, em gramas, a massa dolíquido contido no recipiente?a) 4b) 10c) 25

116

Logo: 3. UNIVERSIDADE DE SERGI-PE - Uma placa de metal mede5,0 cm de espessura e sua super-fície está desenhada na figura aolado. Sua massa é de 500,0 g.Qual é, aproximadamente, suadensidade?

2rF2 F F2 F a-=-=>-=-=>F=-F2SA Sa 1tf~ 1tf~ r~

Substituindo F2 pela expressão (1), decorre:2

F - ra a F-T'b 1A

ra = 10 emrA= 2,5 ema = 20emb = 10emFl = 250N

102

a) 2,7 g/cm3b) 3,6 g/cm3c) 5,4 gl cm3d) 6,8 g/ cm3e) 7,2 g/cm3

onde

Logo: F = 2,52~ . 250 =>

. 10

=> I F=8000N I


-

~~tMéa~ 117

L.tt t t 1-Wt'-,\lE~ f

"

J~l . + I T ~~ I til

'1r

I . I

:

I

I .~

~ ; t i I

d) 50e) 100

5. PUC (SÃO PAULO) - Um frasco vazio tem massa igual a 30 g;- cheiode água, 110 g e, cheio de outro líquido, 150 g. A densidade deste líquidoem relação à água contida no frasco é de:

a) 0,66. d) 1,50.b) 4,00. e) 5,00.c) 3,67.

6. EMESCAM (ESPIRITO SANTO) - A relação correta entre o peso especí-fico (p) e a massa específica (!t) de uma substância é:a) p = !to d) P = g/!t.b) P = !tg. e) P = It/V.c) P = !t/g.

{g =aceleração da gravidade;Onde

I b A .V = vo ume da su stancJa.

7. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA - Qual o peso especí-fico da água no sistema MKS?

a) 103 kgUm3b) 9,81 . 103 N/m3c) 9,81 . 103 kg/m3

d) 103 kgl m3e) 1 g/cm3

1. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTAabaixo não mede massa específica?

a) gl cm:!b) kg/m:lc) utm/m:!

- Qual das unidades

d) gl Pe) gUcm3

2. FAFABES (ESPíRITO SANTO) - A massa específica do mercúrio em dadoproblema tinha o valor determinado de 13,6 g/cm3. Em outro problema, aunidade de massa específica era kgl m3. O valor numérico da massa espe-cífica do mercúrio nesta nova unidade era:

a) 0,0136.b) 13 600.c) 136.

d) 136 000.e) 1,36.

118

o peso específico8. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA -da água no Sistema Técnico é:a) 981 N/cm3.b) 10:\kgf/m3.c) 9,81 . 103 N/m3.

9. UNIVERSIDADE DE SERGIPE - Pressão é uma grandeza que pode sermedida em:

a) newtons.b) newtons por metro quadrado.c) newtons por metro.

d) 981 dyn/m3.e) Nenhuma das respostas anteriores.

d) quilogramas por metro cúbico.e) quilogramas por metro.

~o. FUN DAÇÃO CARLOS CHAGAS - O tijolo da figura apóia-se sobre osolo, sobre a base ABEF. Se estivesse apoiado sobre a base ARCD de áreaigual a 1/3 da anterior, a pressão exercida pelo tijolo seria:

D. G

A

B

FH

Ed) 3% maior que a anterior.e) 30% maior que a anterior.

a) a mesma.b) 3 vezes maior.c) 1/3 do valor anterior.

11. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Uma pessoa de 80 kgf de peso apóia--se sobre uma chapa de 20 cm X 20 cm, que repousa sobre uma bolsa deágua. A aceleração da gravidade é g = 9.8 m/s2. A pressão média trans-mitida é da ordem de:

.r---a) 80 kgf.

,b) 0,2 kgf/cm2.c) 0,2 N/cm2.d) 200 dyn/cm2.e) Um valor diferente dos

~

"'\

~I '

. --' ---~k9f" ,\ 4,-

l..

' 'I I I I ~ '1 I _..J.- - -, -

í I '" ). , J. ..'~",-- ....-

anteriores.

1

1

-

a~~~ 119

12. UNESP - A sapata de uma coluna mede 0,60 X 0,40 m2 e suporta cargaQ = 4.8 tf (toneladas-força).

Q

a) A pressão média da sapata no solo é de 4,8 tf.b), A pressão média do solo na sapata é de 4,8 tf.c) A base da sapata tem área A = 24 cm:!.d) A pressão na base da sapata é de 2,0 kgf/cm2.e) n. d. a.

13. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Afirmação: A pressão exer-cida, no chão, por uma moça calçada com sapato de saItos finos é maiordo que a pressão que ela exerce quando' está calçada com t,ênis.

porque

Razão: A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é direta-mente proporcional à in~ensidade da força e inversamente proporcional àárea da superfície.a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação.b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmação.c) Afirmação correta; razão errada.d) Afirmação errada; razão correta.e) Afirmação e razão erradas.

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Uma placa retangular de vidro, me-dindo I m de largura por 2,5 m de comprimento, está imersa em um líquido,numa região onde a pressão é de 10 newtonsfm2 em todos os pontos daface da placa. Qual é, em newtons, a intensidade da força que atua sobreesta face da placa?

a) 0,25b) 2,5c) 4,0

d) 10e) 25

15. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO - A pressão atmos-férica é de lOã N/m:! ao nível do mar. A força que ela exerce sobre umaárea de 100 m:! na superfície da água é de:

a) 107 N.' d) 106 N.b) 104 N. e) zero.c) 103 N.

120

16. FUVEST - Uma bailarina, cujo peso é de 500 N, apóia-se na ponta de seupé, de modo que a área -de contato com o solo é somente de 2,0 cm2.Tomando-se a pressão atmosférica como sendo equivalente a 10 N/cm2, dequantas atmosferas é o acréscimo de pressão devido à bailarina, nos pontosde contato com o solo?

r

,

""

1t: ~~

~ ~-:r> f--~ :-«. ./

)

a) 25b) 100c) 50

17. ARQUITETURA DE SANTOS

a) 1 kgUcm2.b) 10 kgUcm2.c) 1 kgf/m2.

- A pressão atmosférica é da

d) 1 gf/cm2.e) 103 kgf/m2.

ordem de:

18. FEl - A lei de Stevin diz que a diferença de pressões entre dois pontosde um líquido em equilíbrio é:

a) igual ao peso do líquido entre os dois pontos.b) igual ao volume do líquido entre os dois pontos.c) igual ao peso específico do líquido vezes a diferença de cotas entre os

dois pontos.d) igual à massa específica do líquido vezes a diferença de cotas entre os

dois pontos.e) Nada disso.

19. POLITÉCNICA (USP) - A lei de Stevin - "A pressão num fluido emequilíbrio sob a ação da gravidade varia linearmente com a profundidade"--' vale, para:

a) gases perfeitos.b) líquidos compressíveis.c) fluidos homogêneos e incompressíveis.d) qualquer líquido real.e) Nenhum dos anteriores.

~~~ : 121

20. UNIVERSIDADE DE ALAGOAS - Na figura abaixo está representadoum recipiente que contém um líquido. X, Y, Z e W são pontos deste líquido.Em que pontos a pressão do líquido é a mesma?

'I'

IJ

X.II

-1~ - ~ -I

Wf

'<111I

~

a) X e Y.b) Y e W.

c) Y e Z.d) W e Z.

21. ITA - Emborca-se um tubo de ensaio numa vasilha com água, conformemostra a figura abaixo. Com respeito à pressão nos pontos A, B, C, D. Ee F, qual das opções abaixo é válida?

i

f: -

ii

.E

.F

l !l

a) PA=PD'

b) PA =PF'

c) Pc = PD'

d) PE =PB'

e) Nenhuma das opções anteriores é correta.

~22. POLITÉCNICA (USP) - Dois pontos situados em um líquido de densidade1,0 . 103 kg/ m3 apresentam uma diferença de nível de 10m. A diferença depressão entre esses pontos é aproximadamente de:a) 1,0 . 105 N . m-2.b) 1,0. 105 kgf . m-2.c) 1,0. 102 atm.d) 1,0. 102 em Hg.e) Nada disso.

122

-

~~kláéa-..a 123

23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A pressão total, num ponto de umlíquido em repouso, em função da profundidade h do ponto considera-do, é mais corretamente representada por:

pp p

26. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A figura abaixo representa um reci-piente cilíndrico~ cujo diâmetro da base é D, contendo um líquido de den-sidade d até uma altura h. Variando-se apenas a medida de uma destasgrandezas de cada vez, como podemos aumentar a pressão hidrostática em P?

~.~ .

a) Aumentando D.b) Diminuindo D.c) Aumentando h.d) Diminuindo h.e) Diminuindo d.

!~:

illl':'11111

'0o

h

p . '. '.;.

24. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO - Um recipientecom a forma mostrada na figura abaixo conté!J1 um líquido d~ massa espe-

cífica 1-1.Se' po é a pressão atmosférica, a. pressão no ponto P no fundo dorecipiente é:

D

27. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Num lago, a 10 m de profundidade,a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosférica é de aproxima-damente 2 atmosferas. No mesmo lago, a 20 m de profundidade, a somada pressão hidrostática com a pressão atmosférica será de, aproximadamente,em atmosferas:

a) 12.b) 4.c) 3.

d) 2,33.e) 2,50.

-- ---

h

'I,II

I

28. FACULDADES FRANCISCANAS - Um corpo situado num lago à pro-fundidade de 62.5 m suporta uma pressão de, aproximadamente:a) 6 atm. d) 9 atm.b) 7 atm. e) 10 atm.c) 8 atm.

29. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - O excesso de pressão sobrea pressão atmosférica no ponto A do interior do líquido ideal de massaespecífica 1,5 . 103 kg/ m3, contido no recipiente da figura, é:(Dado: g =9,8 m/s2.)

. .fi~c; .

(.

(c

pI~

I

. 'I,

Aa) Po + I-1ga.b) Po + I-1g(h+ a).c) Po + I-1g(h- a)..

d) Po - I-1ga.e) Po - '1.gh.

Ir.

25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual a pressão, em N/m2, no fundode um lago com 10m de profundidade? Tomar a pressão atmosférica iguala 105 N/m:!, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e a densidade daágua igual a 103 kg/ m3.a) 105b) 1,5 . 105c) 2,0 . 105

!11i' .1Ii,

4an 111'" .Ilu',

'"

. . 3CQ1

Ir.-

d) 106e) 1010

a) 5,9 . 102 N/m2.b) 1,470. 102 N/m2.'c) 4,410 . 102 N/m2.

d) 4,4 . 102N/m2.e) 1,5 . 102N/m2.

a) I b)l c)

h I h I h.

dJLL

&Pe)

I h

.1

-~~@âéa--125124

3Q. CESGRANRIO - Um copo de vidro é mergulhado em um tanque comágua, de forma tal que esta encha completamente o copo (fig. 1). Aindatotalmente imerso, o copo é então emborcado (fig. 2).

Fig. 1 J li . Fig. 2

32. MEDICINA DA SANTA CASA - Um tubo contendo ar à temperatura. ambiente é emborcado em mercúrio e permite as duas situações represen-

tadas abaixo, encerrando, em ambas, a mesma massa de ar. A pressãoatmosférica no local é, em em de Hg, um valor mais próximo de:

Em seguida, emerge-se parcialmente o copo, mantendo-se sua borda sem.pre submersa. Nesta situação, qual das figuras abaixo melhor ilustra aposição do nível d~ água no interior do copo?

a) n - -b)

a) 76.b) 75.c) 72.d) 70.e) 68.

~

T30cm

L

'-LJ.

~!,arI

- r '-r:14 cm .

'n .

33.FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - O tubo AR contém água. A extre-midade R é aberta e a A é fechada. A pressão exercida só pela água nabase do tubo é da ordem de:

II

I .I ,. . ....

',..~, '. R=GOm

h = 30 m ' ~

d) 6 atmosferas.e) algumas bárias.

a) 1 atmosfera.b) 2 atmosferas.c) 3 atmosferas.

34. CESGRANRIO - Julgue as afirmações abaixo:

1.a afirmação

No ponto P da parede deum copo contendo água, ecolocado sobre a sua mesade almoço, a força exercidapela água pode ser represen-

,11/ . .I

I'U'

.o

...Q

31. FUVEST - Quando você toma um refrigerante em um copo com um",anudó, o líquido sobe pelo canudo porque:

a) a pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo,b) a pressão no interior da sua boca é menor que a atmosférica.c) a densidade do refrigerante é menor que a densidade do ar.d) a pressão em um fluido se transmite integralmente a todos os pontos do

fluido.

e) a pressão hidrostática no copo é a mesma em todos os pontos de umplano horizontal.

-+tada pelo segmentoF da fj-gura.

porque

2.a afirmação

A pressão total em P é per-pendicular à parede.

I~""'L'-

"

F

Q e .

ao

Iii

ar

...,.,.. ---T-- --. . .

o

1. mercúrio

i/I . .

(co?t.. 1 I I' '. (\i11>,....

J ...

-'

. ol)iíll

e)

t

i

a~álúéa~ 127126

1-

35. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo, está representadoo perfil de um recipiente cheio de água. A pressão hidrostática na basedo recipiente é igual a H. Qual é a pressão hidrostática no ponto P, eqüidis-tante dos pontos Y e X? (IXé ângulo de inclinação da parede do recipiente.)

38. UNIVERSIDADE DE SAL VADOR - A figura abaixo representa 3 fras-cos, X, Y e Z, cilíndricos e contendo o mesmo tipo de líquido.

~

..

If:'. ~.-

~

bI )

' 0 !~~".~.

li'I~"'11I1

C/0 .,. .... j ~., /1

~'111

....

x v zv

d) 2He) H/2 cos IX

Px, Pv e pz são, respectivamente, as pressões no fundo de cada frasco. Qualdas seguintes relações entre Px, Pv e pz é correta?a)px> py > pz d)py > pz >Px~~>~>~ ~~>~>~c) py > Px > pz

O esquema abaixo representa três recipientes A, B e C completamentecheios de água. A tem secção transversal 8 e altura H; B é formado deduas partes cilíndricas de secções 8 e 8/2 e alturas iguais a H/2; C éformado de três partes cilíndricas de secções 8. 8/2 e 8/3 e alturas iguais

. H/3. -J n'.: (A) J~ 13 ~- --

1,"

,

': ~ ~ ~ H/.3~ 2

f"' .~:. ]

F8 ~ -=;j

a) H cos IXb) H sen IXc) H/2

36. UNIVERSIDADE FEDERAL DE BRASILIA - Três recipientes cilíndri-cos A, 8 e C, cujos raios são r, 2r e 3r, respectivamente, contêm águaaté a altura h. As pressões nas bases dos cilindros obedecem à relação:

a) PA = Po = Pc. d) 9PA = 4po = Pc.b) PA = 2po = 3pc. e) 9pc =4Po =p".c) Pc =2po = 3PA'

37. MEDICINA DA SANTA CASA - Na figura a seguir, um tubo e o barrilse intercomunicam e estão cheios de água, cuja densidade é de 1 g/cm3. Aaceleração da gravidade é igual a 10 m/s2 e a pressão atmosférica é igualaIO. 104 N/m2. A força total no fundo do barril é, em newtons, maisaproximadamente igual a:

." tubo aberto

r--

j

1 litro

(volume do tubo) I \ 18 m

,1.~\-t -1 200 cm2 '. . .

\( do tom.. do fundo) .- . 'ma) 2,4 . 104. ~ p---b) 3,6 . 104.c) 3,6 . 105.d) 2,4 . 106;e) 2,4 . 109.

Este enunciado refere-se às próximas duas questões.

.4.39. PUC (SÃO PAULO) - Nestas condições, as pressões PA'

bases dos recipientes A, 8 e C, respectivamente, são tais que:a) PA= PB =Pc. 3 4

d) PA= -PB =-Pc'b) PA= 2PB =3pc. 2 3

c) PA= 3po =4pc. e) PA=4po =9pc.

40. PUC (SÃO PAULO) - As forças totais FA' FB e Fc exercidas pela águanas bases de A, 8 e C, respectivamente, são tais que:

a) FA= FB =Fc. d) F A=4FB = 9Fc.

b) FA=2FB=3Fc.) F - ~F - ~Fe A - B - C.

c) FA::: 3FB = 4Fc. 2 3

PB e Pc nas

128\

I

41. PUC (SÃO PAULO) - Os dois recipientes indicados no esquema abaixoestão cheios de água. Em ambos, o raio da secção mais larga é r e o damais estreita, r/2. Chamando de FAUe FCD as forças exercidas pela águarespectivamente em AO e CD, bases dos recipientes, podemos afirmar que:

a) FAB = FCD'

b) FAB =2FcD.1

c) FAB=-FCD'3

1d) FAB = -FCD'

4

e) F AB = 4FcD.

2 r~ ro--- ....' I L--- tI r - ,-/' " s-I li -t-I1 3H

II

I1

J"

-1- - ' I

t ~- ,~

1:

-~

.- _':ri' I )

!f. -- H '

A . I . . B - " - - C" H1 JDI. ,I mI r I 2"

.......

11

42. CESGRANRIO - Dois reservatórios idênticos, inicialmente vazios, sãoligados a mei~ altura por um cano de diâmetro muito menor que as di-mensões lineares dos reservatórios. A um dado momento, uma bica situadaacima de um dos reservatórios começa a jorrar água com uma vazão cons-tante e suficientemente pequena para que possamos desprezar os efeitos daresistência oferecida à passagem de água pelo cano que interliga os doisreservatórios.

T~1t-

Qual dos gráficos abaixo melhor representa a evolução com o tempo donível de água no reservatório acima do qual se encontra a bica?

a)L

h

L/2 ~-

d) ! hL

b)L L

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I I I II I --+

II t

h

I1

-1---1 L/2I II I t

e) &hL

~-

J

~~tMéa"" 129

43. CESGRANRIO - Dois líquidos imiscíveis (água e ólt:o, por exemplo)estão em equilíbrioem um copo, conformemostra a figura abaixo:

h Patm

"': ,líquido 2 ' .

líquido 1< '

p

~L L\Qual dos gráficos abaixo melhorcom a altura h, medida a partir

P

ilustra a variação da pressão hidrostáticado fundo do copo?

Pa) b)

. ',2'i<r'~

c)

hh

Patm

P

e)

h

Patm

44. UNIVERSIDADE DE TAUBATf: - A figura indica três pontosC de um líquido em equilíbrio. As pressões PAI Pu e Pc, nessesestão relacionadas por:

. .

B.... -/,

a) PA> Pu > Pc.b) pA< Pu < Pc.

A, O epontos,

c) PA< PB= Pc.d) PA= PB= Pc.

hI " . L.Patm Patm

P

---I ,

d) I I I

I II I

IIIII h

I I .Patm

130

J

~~tWCa~ 131

45. FUVEST - Um vaso cilíndrico I contém água até a altura de 1,0 m eestá ligado, por um tubo fino, a outro vaso cilíndrico 11, inicialmente vazio,com diâmetro duas vezes maior que o de I. O tubo de comunicação estáa 0,5 m de altura e fechado, no início, por uma torneira, como mostraa figura.Pressão atmosférica: Pa = 105 N/m:!.

49. MACKENZIE - Suponhamos um sistema como mostra a figura, ondedI = densidade do mercúrio (13,6 g/cm3) e d2 = densidade da água(1,0 g/ cm:i). Então'

T!~.:.k:'!

.l1. }

1,Om :

11":

\

1f ~ 0,5 mti "fi!' ,

.I,

11

/..

a) h1 =d1h:!.b) h~ = h1d1.

c) h1 = vn;:

50. MEDICINA DA SANTA CASA - Dois líquidos (1) e (2), de densidades

dI e d.~ respectivamente, ocupam um recipiente em U e ficam em equilíbriohidrostático, conforme os desníveis indicados na figura abaixo. A razão

dI / d2 é igual a:

d) h1 = h:!.e) o sistema é impraticável na realidade.

a) Abrindo-se a torneira, que altura atingirá a água no vaso lI?b) Antes de abrir a torneira, qual era o valor da pressão no fundo do vaso 11

46. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Se a pressão atmosférica local Po é igual a1,02 . 105 N/m~ e y é igual a 2,00 m, podemos afirmar que, na montagemabaixo, a pressão no ponto A é de:

d) 1,00 . 105 N/m~.e) 0,82 . 105 N/m:!.

a) ~3 .

b)~5 .

c)~15 .

d)~13'

:11 líquido (2)I

'I

~--

A . . .n :~w rI . J-

~ .

12cm- - -I.w,..

líquido (1)

I~" .,40cm

a) 1,62 . 105 N/m:!.bj .1,42. 105N/m:!,c) 1,22 . 105N/m:!.

47. UNIVERSIDADE DO PARANÁ - Dois tubos comunieantes, com sec-ções respectivamente iguais a 8 cm~ e 2 cm~, contêm mercúrio. Colocan-do.se 272 g de água no tubo estreito e sabendo que as massas específicasdo mercúrio e da água são respectivamente 13,6 g/cm:i e 1,0 g/cm3, pode-mos dizer que o nível do mercúrio no tubo mais largo subirá.a) 10,0 cm. d) 2,0 cm.b) 0,5 cm. e) 0,1 cm.c) 5,0 cm.

e)~. 5 .

51. MEDICINA DE ITAJUBÁ - De acordo com a figura abaixo, calcule apressão atmosférica local, sabendo-se que o gás dentro do recipiente estáa uma pressão de 136 cm Hg.

48. MAPOFEI - Um tubo em U, de secção transversal constante, contémmercúrio até a altura de 15cm em cada ramo. Num dos ramos coloca-seuma coluna de água com 7,2 cm de altura e, sobre esta, uma de óleo(Póleo= 0,8 g/ cm3) com 8,0 cm de altura. pe quanto se eleva, no outroramo, o nível de mercúrio? (Pmercúrio= 13,6g/cm3.)

~..a) 55 cm Hgb) 60 cm Hgc) 76 cm Hg

55cmr[:.

~--

1131cm

. . '1~g

d) 131 em Hge) Nenhum dos valores anteriores.

"-

r-" ,( ,.. mercúrio. .

->. .r- .. - - -- -

... . .. t. .. '

águ":

132

52. UNIVERSIDADE DO CEARÁ - A figura mostra um tubo em U deextremidades abertas, contendo dois líquidos não-miscíveis de densidadesdi e ~, respectivamente. As alturas das duas colunas de líquido são asindicadas. A relação entre as densidades dos dois líquidos é:

a) dI = d2.b) dI = 2d2.

c) dI =4d2.d) dI = 8d2.

{Ir...di

o.

53. CESCEA - A figura mostra um tubo em U, de extremidades abertas,contendo três líquidos não-miscÍveis, de densidades do, di e eLo!.Se a situa-ção de equilíbrio for a da figura, as densidades estarão relacionadas pelaexpressão:

a) do = 8(0,75d2 - dI),

b) do = 8(0,75d2 + dI),

c) do = (d2 - 0,75dI)/8.d) Nenhuma das anteriores.

h. di

]~/,h/8

54. MEDICINA DE SANTOS .- Tem-se um reservatório A contendo um gás.a 27° C. O reservatório está ligado a um tubo em U, de área 'de secçãoreta unitária, que contém água e mercúrio, conforme mostra a figura.

A

- - Ihlágua

. .' '. c>. ~. Imercúrio~.

Determine a pressão do gás. Dados: aceleração da gravidade = 10 m/s2;hI = 75 mm; h2 = 105 mm; densidade da água = 1gl cm3; densida'de domercÚrio = 13.5 g/cm3; pressão atmosférica = 760 mm Hg.

~~tWéa~ 133

\

.55. FUVEST - Um tubo de vidro em forma de V, fechado em uma dasextremidades, contém mercúrio à temperatura ambiente em seu interior,encerrando uma certa massa gasosa G, num lugar onde a pressão atmos-férica é normal. Os níveis do líquido em ambos os braços do tubo estãoindicados na figura. Considere que a pressão atmosférica normal (l atmos-fera) suporta uma coluna de 760 milímetros de mercúrio. Determinar apressão PB, no espaço tomado pela massa gasosa G, em atmosferas.

PB

. .

d

j'

56. FESP - Dois líquidos não-miscÍveis de densidades di e d2 (dI < d2) sãocolocados num tubo em V, sendo ~h a diferença de nível entre as super-fícies livres dos dois líquidos. A coluna h do líquido menos denso será:

d2 d2~ha) ~h. d) -

d2 - dI dI

b) dI ~h. e) n. d. a.d2 - dI

dI~hc)-

d2

57. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo está representadoo perfil de um recipiente formado por três segmentos de cilindro. As áreasdas secções retas dos segmentos A; B e C são, respectivamente, 100 cm2,50 cm:! e 25 cm2. No recipiente há água sob pressão. Os pontos 1, 2 e3 estão nivelados horizontalmente. Qual é a relação entre as pressõeshidrostáticas Pl> P2 e Pa nos pontos 1, 2 e 3?

ALB 1-

c---,1

.2

3 1

J.s-

a) PI =2P2 =4P3b) PI = V2P2 = 2Pac) PI =P2 =Pa

d) 4PI = 2P2 =Pae) 2PI = Y2P2= Pa

134

-

a~úiId:a~ 135

58. PUC (CAMPINAS) - Dois vasos comunicantes contêm, em equilíbrio,mercúrio e óleo. A superfície livre do mercúrio está 2 cm acima da super-fície de separação dos dois líquidos e a do óleo se encontra 34 cm acimado mesmo nível de referência. Determinar a massa específica do óleo,sabendo-se que a do mercúrio é de 13,6 g/ cm3.

a) 0,88 g/ cm3 d) 0,92 g/ cm3b) 0,80 g/cm:\ e) n. d. a.c) 0,65 g/ cm3

.

}

}

61. MAPOFEI - Uma coluna d'água de 10 m de altura exerce pressão quese pode considerar igual a 1,0 atm. A 10m de profundidade, em um lago,observa-se uma bolha de gás tendo volume de 0,10 cm3. Desprezar tensão.superficial A pressão atmosférica é de 1,0 atm. A temperatura da águaé constante. Quando a bolha chegar à superfície livre da água, qual é oseu volume?

59. CESGRANRIO - Mesmo para alguém em boa forma física, é impossívelrespirar (por expansão da caixa torácica) se a diferença de pressão entre omeio externo e o ar dentro dos pulmões for maior que um vigésimo (1/20)de atmosfera. Qual é, então, aproximadamente, a profundidade máxima(h), dentro d'água, em que um mergulhador pode respirar por meio de um.tubo de ar, cuja extremidade superior é mantida fora da água?

62. MACKENZIE - A prensa hidráulica é uma aplicação:a) do princípio de Pascal.b) do princípio de Arquimedes.c) do teorema de Bernoulli relativo à dinâmicà dos fluidos.d) da lei de Stevin.e) da lei de J. T. Hidráulicus.

ar - - ~-

63. ITA - Na prensa hidráulica esquematizada, DI e D2 são os diâmetros-+

dos tubos verticais. Aplicando-se uma força FI ao cilindro CI, transmite-se-+

a C2, através do líquido de compressibilidade desprezível, uma força F2.Se DI. = 50 cm e D2 = 5 cm, temos:

----

.1': CI

) ,

água 'h FI

(

DI D2

,

a) Cinqüenta centímetros..b) Dois metros. .c) Dez metros.

d) Vinte centímetros.e) Um metro.

F2 1a) -=-.

FilO

F2b) -= 10.

FI

F2c) - = 5.FI

F2 1d) -=-.

FI 100

F2e) -= 100.FI

60. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Uma bolha de ar desprende-sedo fundo de um lago. Ao atingir a superfície livre do líquido, o volumeda bolha está quadruplicado. Admita que a temperatura é constante aolongo da camada do líquido. Se designarmos por K o peso específico daágua do lago e por p a pressão atmosférica local, a profundidade do lagoserá igual a:

a) 2p/ K.b) 4p/K.c) 3p/ K.

d) 2p/3K.e) p/2K.

136

,

~~ 137

64. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA - O freio hidráulico deum automóvel é uma ilustração:a) da lei de Hooke.b) da segunda lei de Newton.c) do princípio de Arquimedes.d) do princípio de Pascal.e) da lei de Boyle.

Este enunciado se refere às questões 65 e 66.Na figura, o pistão A tem área SA= 10cm2 e comunica-se hidraulicam.entecom o pistão B, que tem área SB=100cm2. A mola tem constanteelástica k = 105N/m. O pistão A, sob a ação de 'Jma força constante-+F, realiza um trabalho 't = 20 J, comprimindo a mola numa distância Llx.

AB

F

k:.(

~I

65. FEl - Calcular a distância Llx que a mola se comprime.-+

66. FEl - Calcular a intensidade da força F e a distância percorrida pelopistão A.

67. PUC (RIO DE JANEIRO) - Um elevador de automóvel funciona comoesquematizado na figura abaixo. em que dois pistões cilíndricos (diâmetros0,1 m e 1,0 m) fecham dois reservatórios interligados por um tubo;. todo osistema é cheio com óleo. Levando-se em conta que os pesos do óleo edos pistões são desprezíveis em relação ao peso do automóvel 0,0 .104 N),

-+qual a força mínima F 'que deve ser aplicada ao pistão menor e que sejacapaz de levantar o automóvel?

/I JD~-=---~~

F

a) 1,0 . 103 Nb) 1,0 . 102Nc) 1,0. 104Nd) 0,50 . 103Ne) 0,50 . 104N

68. MAPOFEI - Uma bomba injeta óleo num cilindro e empurra um pilltnoque levanta um peso de 100 toneladas-força. O pistão tem área igual 1\0,25 metros quadrados. Qual a pressão do óleo? (Exprimir em unidadesdo Sistema Internacional de Unidades.)

69. MAPOFEI - Na questão anterior, o pistão é levantado com uma velo.

cidade de I cm/min. Qual a vazão fornecida pela bomba, em litroslsegundo?

70. MAPOFEI - Com os dados fornecidos nas duas questões anteriores. cal.cule a potência da bomba de óleo, em watts.

71. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - Um recipiente possui o for-mato de um tronco de cone, sobre cujas bases se apóiam dois cilindros pro-vidos de êmbolos A e B. O espaço entre os êmbolos é preenchido por umlíquido ideal. Ambos os êmbolos são comprimidos contra o líquido. Se ar~zão entre os diâmetros da/dA vale 5, a razão entre as pressões PB/PA valerá:

B

PA PB

T

._;-~

, ,

dBI (

. I

a) 1/25.b) 5.c) 25.

d) 1.e) 1/5.

72. UNIVERSIDADE DE PELOTAS - O macaco hidráulico representadona figura a seguir está em equilíbrio. Os êmbolos possuem áreas iguais a

a e 5a. Quai a intensidade da força F? 200 kgf

~Oem Semr- . +-+

jF-"A~

a) 10 kgfb) 40 kgfc) 160 kgf

d) 5 kgfe) 20 kgf

138

73. ENGENHARIA DE SÃO JOS~ DOS CAMPOS - Dois pistões de umaprensa hidráulica têm áreas na razão 2 para 15. Por meio de uma alavancainter-resistente é aplicada uma força de 100 N no pistão de menor área.conforme a ilustração abaixo. A força transmitida ao êmbolo maior. emnewtons, será de:

;.,.""

,..

. a) 50.b) 10 700.c) 6 000.

d) 930.e) Nenhuma das respostas anteriores.'"

~.9. b 10.b18. c 19. c27. c 28. b 29. b

1. e 2. b 3. c 4. e 5. d 6. b 7. b 8. b11. b 12. d 13. a 14. e 15. a 16. a 17. a20. c 21. c 22. 'a 23. e 24. b 25. c 26. c30. a. 31. b 32. d 33. c34. 1.' afirmação: correta; 2.' afirmação: falsa.35. c 36. a37. b (Entendendo-se por "força tota'" a "força exercida pela água".)38. e 39. a 40. a 41. e 42. a 43. c 44. d 45. a) 0,125 m;b) 1.1 .10' N/m". 46. e 47. d 48. x ~ 0,5 em49. e (O líquido de maior densidade, mercúrio. deve ficar sob o líquido de menordensidade. água.)50. b 51. b 52. c 53. a 54. Pgás= 787,8mm Hg55. PB= 507mm Hg~ 0.67atm 56. a~7. c (Admitindo o líquido em equilíbrio.)58. b 59. a 60. c 61. V = 0,20 em" 62. a 63. d 64. d 65. Ilx = 2 em66. F = 200 N; d = 0.2 m. 67. b 68. P = 3.92.10. Pa 69. vazão ~ 0.042P/s

70. potência ~ 1,6. 10' W71. d (Admitindo o líquido em equilíbrio.)72. a 73. c

--- \\.~'"- ......

~t

..~ ........ 11

~

(L .

')Ç"1"

~

11

11 81

1i 11 11I 11 111,I

cIJitU.,

I

I ...

a

I il '.' .

11l:1li

11

'I

111 1111

a 11 aa

'i.r-t:mpuxo exero -,"

por umLiquido - I11

140

J

~~tWéa~ 141

Este corpo está ocupando um volume que antes era ocupado poruma porção do líquido. Logo, as forças que o líquido exerce sobreo corpo são as mesmas que ele exercia sobre a porção do líquidoque ali se encontrava antes que o o corpo ocupasse seu lugar.

II

- "'

{(o .

-[~~Jt

. - .-c- --o

+-I

fl~~d:it~I~~d~

~.

EmpuxoQuando um corpo é total ou parcialmente mergulhado num fluido.

ele é pressionado em todas as direções.I

ji.I

A porção do líquido deslocada pelo corpo estava em equilíbrio.Logo, a resultante das forças aplicadas pelo restante do líquido(empuxo) equilibrava o peso desta porção de líquido deslocada pelocorpo.

Conseqüentemente, como o peso desta porção de líquido deslo---. --.

cada pelo corpo (PUqd..t) e o empuxo (E) exercido pelo restante dolíquido se equilibram, estas duas forças devem ter mesma direção,mesma intensidade, sentidos contrários e mesma linha de ação.

A resultante de todas as forças aplicadas pelo fluido no corponele mergulhado é denominada empuxo.

Para analisar o empuxo, vamos lançar mão da lei de Arquimedes. r0,

Lei de Arquimedes *Imaginemos um corpo inteiramente mergulhado no interior de

um líquido em equilíbrio. Admite-se que o líQuidoseja ideal. :11

idesl tado:I,J..- ..l.,.J

E = Pllq delt

--.

Pu, "" I1

D . Característicasdo empuxo- A resultante das forças que um..

fluido exerce sobre um corpo nele mergulhado recebe o nome de--.

empuxo (E) e tem as seguintes características:. intensidade (E): igual à intensidade do peso do fluido deslocado;

o. direção: vertical;. sentido: orientada de baixo para cima;. ponto de aplicação: centro de gravidade do fluido deslocado.

.Arqulmedes de Slracusa (287 a.C. - 212 a.C.) - Cientista e matemático grego.Foi autor de importantes trabalhos em Geometria. Inventou interessantes artefatosmilitares durante o cerco. romano à cidade de Siracusa. Desenvolveu tratados sobrecentros de gravidade e corpos flutuantes pelos quais é considerado o fundadorda Mecânica teórica.. o

142

/' """...~ <; 1'/ -, :-~---A~ -

..\ 1,., ,

[\

.., '... '-', -".".

~r;.i1"-.- -""-

volume do

fluido (líquido)deslocado

~ <1

,."..."'..", "...,'\\\,,," .."..-.-+E

Gllq desl

/'~

~

Sre O líquido representado nas ilustrações tem densidade abso.luta !-t, podemos escrever:

PlIqdesl= mllqdesl. 9PlIq desl= !-tVI(qdesl . 9

Como E= PHq desl, então I E= !-tVI(q desl . g I.

~O empuxo é basicamente devido ao fato de que a pressão na parte Inferiordo corpo é maior que a pressão na sua parte superior.

. Conseqüências da lei de Arquimedes:I. Quandoum corpo é abandonado no interior de um líquido. total-

mente mergulhado nele, teremos:VI(q des\ =Vcorpo

Pcorpo

!-t

c

d

J

I t

.,

-~

~ltitff:a~ 143

,.

Primeira hipótese: se Pcorpo> E, então o corpo

Neste caso, temos Pcorpo= mcorpo. g = dVcorpo. g.Se E= !-tVUq11051 . g, logo:

d~~>!-t~.~ ~I d>!-tl

afunda.

Assim sendo, quando a densidade de um corpo é maior do quea densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo afunda.

Segunda hipótese: se Pcorpo < E, então o corpo flutua.

Neste caso, por um raciocínio análogo, temos Iri< IL IAssim sendo, quando a densidade de um corpo é menor do que

a densidade do líquido no qual é mergulhado, o corpo vai à tona eflutua.

Terceira hipótese: se Pcorro= E, então o corpo permanece emrepouso.

Neste caso, por um raciocínio análogo, temos Id = !-t ,

Assim sendo, quando 8 densidade de um corpo é igual à densi.dade do líquido no qual é mergulhado, o corpo permanece em repousona posição em que é abandonado.

Resumindo:ri - -IPl'

tp:

!~ o, ~ i

II.U \"- 1i

E Pcorpo

..11:-.. )

~.

1

1

~"'.,. r

.I

'~', , I ;

'.'-~." . IPcorpo> E ~ d>!-tcorpo afunda

Pcorpo< E ~ d < f.Icorpo flutua

..()'i

Pcorpo= E ~ d = !1

corpo permaneceem repouso

o0

<tJ

0 ó '("!ti " 'fl6"::J "

g,~:'-.

' .QI ., ~..

Pcorpo i

J/

00o'.- ~

..

144

~1. A densidade média do homem é aproximadamente igual à densidade daágua nas condições ambientais. Assim, há condições para flutuar.

Todavia, tal fato seria impraticável caso o homem tentasse nadar numapiscina de óleo. pois a densidade do óleo é bem menor que a densidademédia do homem.

2. O empuxo de um fluido sobre um corpo colocado em seu interiorindepende do material de que o corpo é constituído, bem como do fatode o corpo ser oco ou maciço. Lembremos que E = ILVI(q desl . g.Assim, uma esfera oca de ferro de raio r e uma esfera maciça de alumínio.também de raio r, mergulhadas em água, estarão sujeitas ao mesmoempuxo.

~., n

,

, tE C~~

..

":'

8~'jJ.."I~

tEI~

'\

esfera oca de ralo r esfera maciça de ralo r-mesmo empuxo E

-a

~áiúéa~ 145

3. A lei de Arquimedes aplica-se Igualmente aos líquidos e aos gases.Assim, o empuxo tanto é responsável pela sustentação de um nadadornuma piscina, como pela elevação de um balão-sonda a partir do solo.

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....

.'~

~t "~

i'

~~"-

'..".jt'"

( ~

1

Quando a densidade do corpo é muito maior que a do ar, o empuxopossui Intensidade desprezível em comparação com a Intensidade daforça-peso e, em geral, não é levado em conta na análise dos fenômenosde ascensão e queda na atmosfera.

146

4. A lei de Arquimedessó é válida quando a superfície inferior do corpoé banhadapelo fluido que o cerca. Observe as ilustrações abaixo:

~._. - --IIli ft. ,.

11111," '

I /I.ii1I

/,

I

1)'I t)."

IIII I

lei de Arqulmedesé válida

lei de Arquimedesé válida

D

~. I

I

-~-,- ..-=.- 4)

,0. I

I

II

°d '-.)°0" .J

;.1"1

i':I' "I, , , 1'!11 ~

'j ~11'. I' . ,

i I

lei de Arquimedesnão é válida

lei de Arqulmedesnão é válida

Quando não é possível aplicar a lei de Arquimedes, então devemosanalisar separadamente as forças agentes no corpo.

Exemplo:

-' ~- ~~f----ç~h~ ,~o

h

I~corpo em equilíbriono fundo do recipiente

Forças agentes no corpo:-'corpo' exercida pela Terra;-N., exerci da pelo fundo do recipiente;-F. exercida pelo líquido na superfície superior do corpo;- -FI e F2' exerci das pelo líquido nas superfícies laterais do corpo.

-lã

~tWCa~ 147Observe que:

a) F = pS = (Patm+ !t9h)S, onde S é a área da superfície superior do corpo.b) FI = F2 (equilíbrio horizontal).

c) N = F + Pcorpo (equilíbrio vertical).

5. J: mais fácil elevar um corpo mergulhado em um líquido do que elevá-Iaquando ele se encontra fora dele. É fácil explicar: uma parte do peso docorpo é neutralizada pelo empuxo e temos a impressão de que o corpo é.mais leve" quando se encontra mergulhado no líquido.

-E

Isto significa que. quando mergulhado em um líquido. o corpo "aparenta"ter um peso de intensidade menor. (: o peso aparente do corpo.Em intensidade, podemos escrever:

I Paparente= Pcorpo- E I

11. Fração imersa

Imaginemos um corpo mergulhado no interior de um líquido.Admitamos que sua densidade seja menor que a densidade do líquido.O corpo subirá à tona e flutuará, com parte do seu volume imersa.

Id < !t I V1/q de.1 < Vcorpo

-

].vcorpo

GL

Pcorpo

No esquema anterior, as forças agentes no corpo são:-. empuxo (E): exercida pelo líquido e aplicada no ponto GL,centrode gravidade do líquido deslocado. Sua intensidade é determinadapela expressão E= !tVlíqdesl . g.

148 t-. peso do corpo(Pcorpo):exercida pela Terra e 'aplicada no ponto G,

centro de gravidade do corpo. Sua intensidade é determinada pelaexpressão Pcorpo = mcorpo . g = dVcorpo . g.' ,

Como o corpo está em equilíbrio na posição em que se encontra,podemos escrever:

E = Pcorpo

Logo:

fJ.Vlrq desl . rj'= dVcorpo . rj' =>

VHqdesl d=> --

Vcorpo fJ.

A fraçãoVHq desl

é denominada fração imersa do volume doVcorpo

corpo. E escrevemos:

dfração imersa =-

fJ.

A fração imersa é um conceito muito útil na determinação dadensidade de um corpo. Tomemos um exemplo prático.

Desejamos conhecer a densidade d de um bloco de madeira.Para tanto, colocamos este bloco de madeira num recipiente contendoágua, cuja densidade fJ. é igual a 1 gjcm3. Medimos o volume dolíquido deslocado pela madeira e constatamos que ele correspondea 60% do volume do bloco de madeira. Ou seja, a fração imersaé 0,6. Logo, a densidade d do bloco pode ser determinada:

dfração imersa = - =>

fJ.

=> 0,6 =d

1 gjcm3

vcorpo

bloco de madeirade densidade ddesconhecida

bloco colocadonum recipientecontendo' um líquido

de densidade fJ.conhecidafração Imersa = ...!..-

fJ.

A~ltittéa~ 149

Outro exemplo interessante de aplicação da fração iinersa dizrespeito ao gelo. A densidade do gelo é da ordem de 90% da densi-

ddade da água do mar. Isto significa que fração imersa = - = 90%.

fJ.Em outras palavras, quando nos deparamos com um iceberg

(blocos de gelo flutuantes no mar), estamos vendo apenas 10% doseu volume; os restantes 90% do seu volume estão imersos. Daíoa enormes cuidados tomados pelos navios que v.iajam por oceanossituados em altas latitudes, onde existem muitos icebergs: a parteImersa do iceberg é muito maior que a parte à vista, fora da água..

..-

- <........

- -.. . -"~ ~--

/"

~,"" '~

I ]

-- -111.Corpos flutuantes - análise da massaPara um corpo flutuante num líquido, decorre, no equilíbrio:

r:t

E I

Pcorpo'= E l

I

~Mas: Pcorpo= m"orpo. g => .r \ J

=> E= PUq desl = mHq des( .g ~ G ... \

Logo:

mcorpo .1 mUq desl .jPortanto:

/GL p =--

Pcorpo

I. .mco;o=, mIlqdesl I

150

Em outras palavras: a massa de u~ corpo flutuante é igual àmassa do líquido que ele desloca.

r-I

-l

navio",., '--'- '

J ~ "".... ~.:;".. .;.'.. ..:1

'~:' \," água deSlocad

.

a

-- - \ . ç. pelo navio

,"\'- ~L

massa do navio = massa da água deslocada

IV. Equilíbrio dos corpos flutuantes

Quando um corpo está flutuando num líquido, temos:. VI(q desl<.:Vcurpu

. d <!J. t

. Pcorpo= E

. G = centro de gravidadedo corpo' (invariável).

. GL= centro de empuxo, coincidente com o centro de gravidade dolíquido deslocado (variável de acordo com a posição do corpo nointerior do líquido).

Primeira hipótese: G abaixo de GL.

E

I I.J Pcorpo

Q,~)o.

,)

.J

'li

Quando um corpo é deslocado levemente de sua posição deequilíbrio, a força peso do corpo e a força empuxo apresentam ummomento resultante que procura girar o corpo, trazendo-o à posiçãoanterior de equilíbrio. O equilíbrio é estável.

I

a7d:ú0taúéa~ 151

com GL.

IJ

~

Pcorpo I'

Quando um corpo é deslocado levemente de sua posição de equi-líbrio, a força peso do corpo e a força empuxo apresentam um mo-mento resultante que procura girar o corpo no sentido de trazê-Ioà posição anterior de equilíbrio. O equilíbrio é estável.

Terceira hipótese: G acima de GI-Neste caso, o equilíbrio pode ser estável, instável ou indiferente.

A análise fica facilitada com a introdução do conceito de metacentro.

Metacentro (M) é o ponto de cruzamento da linha de ação doempuxo, numa dada posição do corpo (õ), com a linha de ação doempuxo inicial na situação de equilíbrio (À).

Exemplos:

1) M acima de Gequilíbrio estável

2) M abaixo de Gequilíbrio instável

linha de açãodo empuxo

InicialÀ:

E

~

Pcorpoi

Pcorpo

À: ,õ,,. E

G

IPcorpo.I

152

3) M coincide com Gequilíbrio indiferente

:15

Nesta terceira hipótese (G acima de Gd estão incluídos os casosde flutuação de barcos e navios.

No exemplo 1 - equilíbrio estável -, quanto mais baixo estivero centro de gravidade G do sistema, mais rápida será a restituiçãodo sistema à situação de equilíbrio anterior. Ou seja, quanto maisbaixo estiver G, melhor será a estabilidade do sistema. Daí o usode lastro nos navios.

Complementação: HidrodinâmicaA Hidrodinâmica estuda os líquidos ideais em movimento. Não

serão levados em conta os rodamoinhos e as turbulências que oslíquidos reais normalmente apresentam quando fluem em alta velo-cidade ou contornam obstáculos

1) Escoamento em regime permanente ou estacionário :.-. Quandoum líquido escoa no interior de um conduto. de tal modo que emqualquer ponto a velocidade, a densidade e a pressão não se alteramcom o decurso do tempo, dizemos que o escoamento está se dandoem regime permanente ou estacionário. Neste caso, podemos repre-sentar o escoamento do líquido através de linhas inalteradas, deno-minadas linhas de corrente, tangentes à velocidade em cada ponto.

~--

~~

..

..:-

.

~.,~

=-: -- ~ ----- - .e:J'~

. -!! ....-- -.->r --.y-

.. . ~ - ".~"'.' 1:>a..-- . ~ -- v, - " ~J

Se a velocidade. a densidade e a pressão. além de serem inva.riáveis em cada ponto. forem também iguais em todos os pontos

~

~~~@tCa~ 153

do líquido, o escoamento será permanente e uniforme. Neste caso,as linhas de corrente serão todas paralelas.

--.. .. v

Q o",,'f-

7..... ~v°c.° .

~Q 0° '. ;v .

..' "o ..... -+

. ~ V<... <'"

--

2) Vazão em volume - Admitamos um conduto prismático regulare estudemos o que acontece num volume t:J.V,delimitado pelas sec-ções' transversais 1 e 2. de área S e de comprimento t:J.L.

t:J.t

11

v

2

...--------

,....-

t:J.L

Vamos supor, ainda, que 8 velocidade v do líquido no interiordo conduto seja constante e que todo o volume t:J.Vdo líquido passepela secção 2 no tempo t:J.t.

Definimos vazão em volume (O) como sendo o quociente:

BJvQ=-t:J.t

No Sistema Internacional e no Sistema Técnico. temos:

{

t:J.V = 1 m:{ m3para => Q = 1-

!:J.t= 1 s s

No CGS. temos:

{

t:J.V = 1'~m3para

t:J.t= 1 s=> Q = 1 cm3

s

A expressão da vazão em volumeSendo o volume t:J.V = t:J.LS,temos:

t:J.V t:J.LSQ=-=-

t:J.t t:J.t

poderá assumir outra forma.

/I

154

~LMas - = v; logo:

~t

I Q=Sv I3) Escoamento em regime permanente - equação da continui-

dade - A expressão da vazão em volume, Q = Sv, foi desenvolvidaadmitindo que a velocidade do líquido fosse constante. em todos ospontos, ou seja, que o líquido tivesse escoamento uniforme. Entre-tanto, esta expressão continua váliéla mesmo que o escoamento nãoseja uniforme, desde que tomemos um conputo percorrido. por umlíquido em regime permanente e de dimensões tais que, numa dadasecção transversal, possamos considerar sua velocidade constanteem todos os pontos da secção.

Como os líquidos ideais são incompressíveis, o volume de líquiaoque passa por uma secção num determinado intervalo de tempodeverá ser o mesmo que está passando pelas demais secções doconduto no mesmo intervalo, de modo a não haver acúmulo delíqtlido ao longo do conduto.

Logo, ao longo de um conduto de secções transversais de áreasSI, ~, 5a, ..., 5n e velocidades VI, V2,Va, ..., Vn podemos escreverQ = ,SlVl = S2V2 = Ssvs = . . . = SnVn = constante, ou seja:

I Q= Sv= constante I (equação da continuidade)

S2

SIir,t

Sa /"' 'f;r--c ~ ft., + vs\f

~

--..VI

o fato de o produto 5v permanecer constante ao longo do con-duto permite interpretar o aspecto das linhas de corrente. Numaregião estreita, as linhas devem ser mais próximas umas das outrasdo que numa região larga. Assim, quando o conduto se afunila, adistância entre as linhas diminui e a velocidade do. líquido deveaumentar; quando o conduto se alarga, a distância entre as linhasaumenta e a velocidade do líquido deve diminuir. A área da secção

-.-=---=~Iêítff:a - 155

transversal e a intensidade da velocidade são inversamente propor-cionais.

SI

"0.....- V

.1"\

~ s~ 'l", o" .. , ,

~ ...

J

\L__~.,-SI> SI!=:::}VI < Vil

4) Lei de Bernoulli* - Consideremos um líquido ideal (não-vis-coso, incompressível) escoando em regime permanente pelo condutoindicado na figura a seguir.

VI

SI ..FI=PI ITI...

. .

..

.. -~

~~. - '. ~f. " " '"I-_ifl., (1). """"" ~- . ~V2 ~ .

h, "~-~~f - -~-f.~'h1~ - - -91(2). Af",

nível de referência (plano horizontal)

O trecho à esquerda tem uma secção transversal de área SIuniforme. É horizontal e está a uma altura hl acima do plano hori-zontal de referência. O trecho à direita tem uma secção transversalde área S2 uniforme. É horizontal e está a uma altura h2 do nívelde referência.

Analisemos o volume de líquido hachurado que, no mesmo inter-valo de tempo, pássa pelas sec;ções (1) e (2) de áreas SI e 52.

Como o líquido é incompressível, podemos escrever:m

V = SI~Rl = S2~R:!=-IJ.

onde V é o volume da porção de líquido de densidade IJ.e massa mque passa no mesmo intervalo de tempo pelas secções transversais(1) e (2) do conduto..Daniel Bernoulll (1700-1782) - Matemático e físico suiço. Fez contribuições subs.tanciais para a teoria da probabilidade e estabeleceu as bases para a teoria cinéticados gases. Realizou relevantes trabalhos sobre astronomia, gravitação. marés ecorrentes oceânicas e desenvolveu importantes estudos sobre mecânica dos fluidos.

156

Nos pontos da parte estreita (à esquerda), a pressão do líquidoé Pl e a velocidade, VI, e o líquido avança uma distância I1fl paralelaà força de intensidade FI = P1S1exercida pelo restante do líquido.O trabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:

'tFl = FII1RI = PISII1RI

Nos pontos da parte larga (à direita), a pressão do líquido é P2e a velocidade. V2, e o líquido avança uma distância I1R2 contra umaforça de intensidade F2 = P2S2 exercida pelo restante do líquido. Otrabalho realizado sobre o volume de líquido analisado vale:

't F = -F~I1R.,= - p..S~t:.R~2 - - - -. -

Como se supõe que o líquido é não-viscoso, o trabalho total-+ -+

realizado pelas forças de pressão FI e F2, exercidas pelo restantedo fluido sobre o volume de líquido analisado, será igual à variaçãototal de energia entre as secções (1) e (2). E é bom notar que apenasas porções hachuradas contribuem para a variação de energia. Aporção intermediária é idêntica no transcorrer do tempo.

Assim:trabalho total = variação total de energia

'tF. +'t~2= ~Ecill+ ~Epll1 81'a" .

P1S1I1R1 - P2S2t:.R2= (: mv~- + mv~) + (mgh2- mghd

p.j - pl = + ~jv~- + rlv~ + ry!gh2 - ~9hl

1 ., 1 2p. - P2= - ~v: - - ~v 1+ ~gh2 - ~ghl

2 - 2

Decorre, então:

1 q h . 1 q hp. +- r.w-.+ ~g I = P2 +- ~v: + ~g 2

2 . 2 -(equação deBernoulli)

~1. Como os índices 1 e 2 se referem a quaisquer pares ,de pontos doliquido ao longo do conduto, podemos escrever:

I p + + ~V2 + ~~h= constante I

2. A equação de Bernoulli se aplica. a rigor. apenas ao regime permanentee as grandezas envolvidas devem ser consideradas ao longo de umamesma linha de corrente. A constante mencionada na observação anteriornão é igual para todas as linhas de corrente de um' conduto.

..=

-

~~tMéa~ 157

3. A equação de Bernoulli acima refere-se a processos isotérmicos(temperatura constante).

4. Num fluido compressível e viscoso surgirão forças de atrito e partedo trabalho, calculado para o fluido incompressível. se transformará emenergia térmica, e teremos:trabalho - variação de . . .

total - energia mecânica + Q(energla termlca)

5. A Hidrostátlca é um caso particular da Hldrodlnâmica. Para um liquido

em repouso, teremos VI = V2 = O e decorre:

1 2 1 2Pl + 2~VI + ~ghl = P2 + 2~V2 + ~gh2 =>

=> PI + ~ghl = P2+ ~gh2 =>=> P2= PI + ~g(hl - h2)Fazendohl - h2= h, obtemos:

I P2= PI + ~gh I (lei de Stevin)

5) Aplicações da equação de Bernoulli

a) Tubo de Venturi

É um medidor que se coloca nos condutos para determinar avelocidade dos líquidos.

Consideremos um conduto cuja área de suas secções trans-versais seja variável. Ou seja, o conduto sofre contrações emalgumas de suas regiões relativamente a outras.

-1;1 '~ H ~-. .....

". '.(2) Z(V ' ,. . f -:-"

.

' o. r v I - . .

"1 ./-., ': ,.fe_~

Tomemos um ponto (1) numa secção mais larga e um ponto (2)numa secção mais estreita e admitamos que eles estejam à mesmaaltura do nível de referência, isto é, hl = h2.

Assim sendo, aplical;1do a equação de Bernoulli a estes doispontos do -líquido, temos:

Pl +.!...~v~ + ~gh1 = P2 + ~ ~v; + ~gh2,22

158

Como hl = h~, decorre:

1" 1 2PI +-ttv~=p~+-ttV2 (I)

2 2

Sendo o líquido incompressível por hipótese, ele não pode seacumular ao longo do conduto e sua densidade tt permanece cons-tante. Pela equação da continuidade, a vazão do líquido é constanteao longo das diversas secções, isto é, SIVI = S2V2.

Como SI > S2, decorre VI < V2.

Logo, tendo em vista a expressão (1), Pl > P2.

É exatamente isto que indica a coluna de líquido situado acimadas secções onde se encontram os pontos (1) e (2).

Determinando, pela lei de Stevin, as pressões em (1) e (2) elevando em conta a equação da continuidade, é possível, através daexpressão (1), determinar as velocidades VI e V2.

Resumindo:

Num conduto onde escoa um líquido incompressível e não--viscoso, nas regiões mais estreitas a pressão é menor e a velocidadeé mais intensa.

--~

(. \ p] > P2 v"

V (2) -~(1) 1.. ..

:. /~V~ <v~- _..J~

b) Sustentação de avião

A ~quação de Bernoulli se aplica também aos gases e atravésdela se pode explicar, por exemplo, a sustentação de um avião emmovimento no ar.

A secção transversal de uma asa de avião é vista no esquemaa seguir. Devido ao formato da asa, a velocidade do ar na facesuperior é maior que na face inferior,' isto é, V2> VI. A maior con-centração de linhas de corrente na face superior indica que ali avelocidade é maior.

Portanto, com raciocínio análogo ao do exemplo anterior, con-cluímos que a pressão do ar na face superior da asa é menor que apressão do ar na face inferior. isto é. P2.< PI.

-4at

~-=~121&a - ..159

A diferença de pressões do ar entre as faces superior e inferiordá origem ao surgimento de uma força resultante vertical na asa,orientada para cima.

~

J'2

- .....

-~ ~i ~~,

--VI FI

Esta força vertical na asa é denominada" força de sustentação".É a responsável pela sustentação do avião no ar durante o seu movi.mento.

c) Bola num jato de ar

Uma bola leve pode ser mantida ..flutuando" no ar, como mostrao esquema abaixo. Para isto basta fazer passar entre as superfíciesda bola e do funil uma corrente de ar em alta velocidade. Haverá,então, uma diferença de pressão entre a parte superior (pressãobaixa) e a parte inferior da bola (pressão atmosférica, mais alta).

.....

que dará origem a uma força vertical F para cima. que equilibrará.....

o peso P da bola, suportando-a enquanto" flutua".entrada do ar

~

I V' v

-,.-=-

160 C/fi / - '~~-'161

, ~ '

d) Spray A O esquema (I) mostra a trajetória do centro de gravidade da

~ B' nB bola, quando ela descreve um movimento de translação pura, através" , '" &1J. ,, '-" - .

w

- d .d do ar que a circunda. Devido ao atrito, uma fina "lâmina" de ar épressao re UZI a '

_.ar -- arrastada pela bola em seu movimentode rotação. Na região B doesquema (11),esta ~'Iâmina" se move no mesmo sentido do ar circun-'dante e, portanto, a velocidade resultante é igual à soma das velo-cidades do ar devidas à rotação e à translação (ambas orientadas,para a esquerda). Na região A do esquema (11).a velocidade do ardevida à rotação (orientada para a direita) tem sentido contrário aoda velocidade de translação (orientada para' a esquerda) e. portanto.a velocidade resultante tem intensidade menor que na região B.

Deste modo. a pressão do ar é maior em A (onde a velocidadedo ar é menor) e a trajetória do centro de gravidade da bola assumea forma curvilínea indicada no esquema (11).

Os jogadores de futebol se utilizam muito deste efeito do arsobre bolas em translação com rotação. Surgem. então, os ,chamadoschutes" com efeito'" ("folha seca ").

f) Experiência simples

Seguremos uma folha de papel horizontalmente por uma extre-midade, deixando livre a outra extremidade, e sopremos pela partesuperior. A extremidade livre da folha se levanta.

Ao soprar, pusemos ar em movimento, reduzindo a pressão sobrea superfície superior e tornando-a menor que a pressão exercida peloar sobre a superfície inferior. A folha de papel é" então, empurradapara cima pelo ar.

O pistão A do spray cria uma corrente de ar que passa pelaextremidade superior do tubo D (ponto B). O tubo D, por sua vez,encontra-se imerso no líquido a ser atomizado. A corrente de arque passa por B reduz a pressão sobre o líquido naquele ponto. Oar existente sobre a superfície livre do líquido em C força o líquidopara cima no tubo. Forma-se, então. em B, uma mistura de ar comas partículas do líquido que vão subindo: é o spray que, carregadopela corrente, precipita-se no ambiente.

e) Bola em translação com rotação

É do conhecimento geral que uma bola segue uma trajetóriacurvilínea. quando atirada no ar com alta velocidade de translação,aliada a uma certa rotação ao redor do eixo que passa pelo seu centrode gravidade.

A equação de Bernoulli explica facilmente este acontecimento.(I) - -: .-'--- --~~---~~ - ,

- ~"

,

.

,

~ ~'

,

' ", - - trajetória dar:~ ' , bola em: ",. ." , movimento de

, , ". translação pura

: ~ -- - através do ar

/~

'~,

trajetória da bolaem movimento detranslaçãocom rotaçãoatravés do ar

I~

I.

t~.

-

162

g) Constatações práticas

Num fluido, onde a velocidade 'é maior a

Esta conseqüência da equação de Bernoullifatos:

1) Dois barcos movendo-se paralelamente no mesmo sentido sãoimpelidos um contra o outro.

2) Dois automóveis que se deslocam paralelamente são empurradosum contra o outro.

3) 'Nas estações de trem e metrô, Q passageiro deve evitar aproxi.mar-se da borda da plataforma junto à linha, pois o trem, ao passarem alta velocidade, provoca uma diferença de pressão do ar,fazendo com que o passageiro seja empurrado contra o trem.

4) Nas estradas de rodagem ou nas vias expressas, o transeuntedeve evitar ficar próximo. dos veículos que passam. A diferençade pressão que surge entre o ar às suas costas e o ar à sua frentepode fazer com que a pessoa seja empurrada contra o veículo.

h) Lei de Torricelli

A lei de Torricelli permite calcular a velocidade de escoamentode um líquido através de um orifício num grande reservatório, a umaprofundidade h abaixo do nível d~ líquido.

r fI) l:;\~\ - 'r;:-r - r -

pressão é menor.

explica QSseguintes

.,

~1...:iIII

h

vnivel de. referência

(3)

. o ~Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que passa

pelos pontos (1)-(2)-(3), temos:1.. ' h 12 hPl +- (.I.V~l + (.I.g 1 = pa + - (.I.V,! +. (.I.g:I (I)22'

Tomando como nível de referência o plano horizontal que passapelo ponto (3) - orifício -, observando que a' pressão nos pontos(1) e (3) é a própria pressão atmosférica e admitindo que a velo-

.&.a~ltfâéa~ 163

f IlInde de descida do nível do líquido seja desprezível quando com.pl1llldfl com a velocidade em (3), pois o reservatório é de grandesdln",nsóes, temos:

p. p:l = patm

v. ~ O

VII v

h.

h:1

h

O

Substituindo estes valores na expressão

- 1 2P.I'" t- O + (.I.gh - palm + - IJ,.V+ O

2-" '-

(1), temos:

[ decorre:

v' 2gh ~ I v =~ I

~~ " i

IlJVCST - Um cofre, de massa 1 800 kg e volume 1,5 ma, herme.tlcamente fechado, caiu no fundo do mar, num local onde aprofundidad,eda águaé de 15m. Pararesgatá-Io,empregou-seum-lIulndaste que, exercendo uma força vertical constante 'F, elevouli cofre até a superfície, com movimento uniforme. Densidadetln lIgua do mar: 1 050 kgJm3.-li) Qual a intensidade de F? -11)Qual o valor do trabalho realizado por F nessa operação?

1t1,/iOIIlÇÕO:

11) As forças agentes nol' força do guindaste.

cofre durante a elevação são: empuxo, peso

164p

~-o.-

o ..c.-'.

.. ,

pc. .

A elevação do cofre se realiza em movimento retilíneo e uniforme(equilíbrio dinâmico). Logo, 11 resultante das forças agentes nocofre é nula. E, observando o esquema acima, podemos escreverF + E = P (I).

Sendo E = fJ.&gua. V&guade.1 . g => E = I 050 . 1,5 . 10 =>=> E = 15 750 N e P = mcufre. g => P = I 800 . 10 =>=> P = 18000 N, substituindo as intensidades do empuxo e do pesona expressão (I), temos:F + 15 750 = 18000 =>=> F = 18000 - 15 750 =>

=> IF = 2 250 N I

-+ -+b) Como a força F é constante e o deslocamento ~r do cofre é reti-

-+líneo, na mesma direção e sentido da força F, o seu trabalho podeser calculado através da expressão 'tF= F~r, onde F = 2250 N eâr = 15 m.

Logo: 'tF = 2 250 . 15 =>

=> I 'tF =33 750 J I

Respostas: a) 2250 N; b) 33750 J.

2. MEDICINADE.SANTO AMARa - Um pedaço de metal de 50 ge densidade 7.8 g/cm:1 é largado num lago de 10,0 m de profun-didade. A velocidade do metal, ao atingir o fundo do lago. é de:a) 8.7 m/s. d) 18.1 m/s.b) 10,5 m/s. e) Nenhuma das respostasc) 13,2 m/s. anteriores.

Resolução: Na análise do exercício consideraremos desprezível a forçade resistência da água ao movimento do corpo e admitiremos que omóvel tenha sido largado na superfície do lago com velocidade inicialnula.

-

a~«méa~ 165

Ali forças que agem no corpo durante o movimento são: peso el'rnpuxo. ---,

superfície do lagor -.

~s ~E.~

t " -{ I

<. fundo do lagj-.. r fJ..~~ --

I

U '.Áo-

I'dll lei de Arquimedes, temos:

p ItVliq desl . g =>

> E = iLVcorpo. g

{

fJ.= I g/ cms (água)

onde Vcorpo=m/d = 50/7,8 R: 6,4 cmsg = 1 000 cm/s2

I.ogo:I1 I. 6,4 . I 000 =>

>E -=6 400 dyn

1'111'1111força-peso, temos.:

I' mg =>) I' = 50 . 1 000 =>

) I) -50000 dyn

I'do Princípio Fundamental da Dinâmica, aplicado ao corpo, temos:I( ma =>

>1' E = ma=>P-E

) 1\ =>m

50 000 - 6 400

50

I li 872 cm/'/;'4 I (constánte)Aphl'lIndo a equação de Torricelli durante""lll'rtkie até o fundo do lago, decorre:

'li =>

o deslocamento, desde a

~VIIII

~

VIII+ 2a~S

166 I

{

Vin =Oonde a = 872 cm/s2

~S = 10,0 m = 1000 cm

Logo:2

Vfjn= 02 + 2 . 872 . 1 000 => Vfjn= V 1 744 000 =>=> Vfin::::::1 321 cm/s =>

=>1 Vfjn::::::13,2 m/s I


3. FUVEST- Um barco de massa igual a 200 kg está flutuando naágua. Espalham-se moedas de 10 gramas no fundo do barco. atéque o volume da parte submersa passe a ser de 0,25 ma. Sabe-seque o barco continua flutuando. O número de moedas espa-lhadas é:a) 500.b) 5000.c) 50000.

Resolução:

d) 500000.e) 5 000 000.

;

u. .

p . .

As forças agentes no conjunto (barco-moedas) são:

Na situação de equilíbrio, temos E = P.Sabemosque: E = Plíq desl = mlíq desl . g

P = mconjunto. g

peso e empuxo.

Logo:=> mHq des) . t = mconjunlo. :i=>

=> mlíq desl = mconjunlo=>=> !1V líq desl = mbarco+ nmmoeda ~

onde

{

!1= densidade da águ1l.= 1 000 kg/ maV1íq desl =0,25 m:!mbarco = 200 kgmmoeda= 19 gramas = 0,01 kgn = númerode moedas

-a~~~ 167

E vem:1000 . 0,25 = 200 + n . 0,01=>

=>250 = 200 + n . 0,01 =>

=>50 = n . 0,01 =>50

=>n= In=5000\=>'0,01


4. MEDICINADA SANTA CASA - Um corpo de massa 50.0 kg evolume de 12,5 litros é mergulhado na água. O dinamômetro,calibrado em kgf. deve indicar, mais aproximadamente:

r.- "'?;Z"~.d'" '?".;:tr'

o'

;.....--_.. .:;

a) 37.5.b) 50.c) 62,5.

d) 37,5 . 9.8.e) 50. 9.8.

Resolução: Admitindo que a aceleração da gravidade seja normal, istoé, g = 9,80665 m/s2, e levando em conta. a definição de kgf, o pesodo corpo é de intensidade P = 50,0 kgf.O dinamômetro, entretanto, não indica o peso do corpo mas' a intensi-dade da força de tração no fio que deforma sua mola. Ou seja, odinamômetro indica T.

dinamõmetroindica T

p

]

I

1

. I.: o;' I

'. II

() corpo em questão está submetido à ação de 3 forças: peso, empuxor tração.

168

Na situação de equilíbrio, temos T + E = P ~ T = P - E (I).

Mas E = PI(q desl = ml(q desl ' g = ,~V1rq desl . g.

Para r~= loa ~ e Vlrqdesl= 12,5 e= 12,5 . 10-:1ma, vem:m3

E = 103. 12,5 . 10-3 . g = 12,5g ~ E = 12,5 kgf

Como P = 50,0 kgf, substituindo em (I), temos:

T = 50,0 - 12,5 ~

~I T = 37,5 kgf'!

Resposta: alternativa a.Observação: Esta indicáção do dinamômetro (T) é denominada pesoaparente do corpo.

5. FEl - Uma haste cilíndrica. de secção 5 e altura h. flutua verti-calmente na água. Sabendo-se que a parte emersa da hastecorresponde a 3hj8, determine a sua densidade.

Resolução:Na situação de equilíbrio, podemos escrever E = P (I).

,

2.If,8

- -- -Para o empuxo, temos E = 11V Irq desl . g (2), onde V Ilq de.. corres-ponde ao volume da parte imersa da haste.

5 5Logo, Vllq desl = S . - h =- Sh que, substituído em (2), resulta

,885

E = 11. - Shg (3).8

Por outro lado, para o peso da haste temos P =mg=dVg = dShg (4),onde d é a densidade da haste.

-

~~~~ 169

Voltando com os valores de E e P, dados pelas expressões (3) e (4),na expressão (1), decorre:

IL ~ ~~~= d~~t ~

~ Id ~ 1~1(5)

Na expressão (5), admitindo que a densidade da água seja 11= 1 g/cm3,temos:

5d=-. I ~

8

~ I d ~ O,62~/cm:1 I

Resposta: A densidade da haste será de aproximadamente 0,62 g/cm3.Observação: Podemos resolver esta questão aplicando diretamente a teoriada fração imersa. Ou seja:

- dfraçao imersa = - ~

I~

~volume imerso

volume da haste

d=-~

I~

5-hS8 d

~ -=-~hS I~

~ I d = : I~ I

6. INATEL- Um cubo de ma-I

.~

deira de 10cm de aresta ;1

e massa específica de 0,5gjcma flutua num vaso com (

7i-

água. Derrama-se na água óleo (110)

óleo de massa específica0.8 gjcm3 até que a face su-perior da camada de óleofique 4 cm abaixo da face

~

Isuperior do cubo. Qual a Iprofundidade da camada de ~ água (l1a)óleo?

,... aI 7" ...;

"d

bloco de, madeira

(11m) ~~]r,

" o~oo

\ 'Jo

170

. Resolução: As forças agentes no cubo na direção vertical são: empuxoc peso.

I

I I- -. "d 1

'~.'.

.,:';":--

lh

~I

a 01I~ ,

I -E

;0 0°.4g~a(!-ta)

!-to. I

li:

fJ<... o

~

p

Na situação de equilíbrio, temos E = P.

Mas: E = Eó1eo + Ea'gua (o empuxo recebido pel\o corpo é devido aoóleo ~ à água)

Como E = !-toVó1eo desl . g + !-taVa'gua desl . g ~

~ E = !-toa2hg+ !-taa~(a- d - h)ge P = mmg= !-tmVmg= !-tma:lg,

temos: !-tolhi + !-tal(a- d - h~= !-tmt1E vem:!-toh+ !-ta(a- d - h) = !-tma~~ !-toh + !-taa- !-tad- !-tah = !-tma~~ (!-to- !-ta)h= !-tma- !-taa+ !-tad~

~ (!-to- !-ta)h= (!-tm- !-ta)a+ !-tad~

~ h = (!-tm- !-ta)a+ !-tad(!-to- !-ta)

!-tm= 0,5 g/ cm3

!-ta= I g/cm:{

!-to= 0,8 g/ cm:1a = 10cmd=4cm

Finalmente:

onde

(0,5 - I) . 10 + I . 4h= ~

(0,8 - 1)

~1.h=5cm IResposta: A profundidade da camada de óleo é de 5 cm.

~

~~lêlâéa~ 171

7. MACKENZIE- Uma grande caixa-d'água sobre uma torre é esgo-tada por um tubo de secção constante. Seja d a densidade abso-luta da água e v a velocidade de escoamento no ponto A do tubo.Fechando-se o registro R, a pressão no ponto A:

t

. .. .'

h

'" 0/ .}, ~~'~I!lt

--.... '

R

,A

"---

d) diminui de dv~/2.e) aumenta de dv2/2.

a) permanece a mesma.b) aumenta de dgh.c) diminui de dgh.

Resolução: A equação de Bernoullinos permite concluir que a expressãoI

p + - dv2 + dgh é constante para qualquer ponto do líquido, em2

particular para o ponto A.

Adotando como nível de referência o plano horizontal que passa peloponto A, chamando de p a pressão no ponto A antes de fechar oregistro R e de p' a pressão no mesmo ponto no instante em que oregistro R é fechado, temos:

I 1.P + -dv2 + dgh = p' + -dv'~ + dgh'

2 2

, h = h' = O (ponto A situado no nível de referência)onde ~t v' = O (velocidadedo líquido se anula no ponto A quando

se fecha o registro R) .

E decorre:

P+ + dv' = p' => I p' - p = + dv' I

A expressão enquadrada nos leva a concluir que no instante em quese fecha o registro R a pressão no ponto A sofre uma variação positiva

I 1igual a - dv2. Ou seja, a pressão no ponto A aumenta de - dv2.

2 2

172

-

~~âiúéa~ 173

8. UNIVERSIDADEDE lORENA - Um grande recipiente cilíndrico,aberto, está cheio de água até uma altura de 1,25 m. Se fizermosum pequeno orifício, de área 1,0 cm2, circular, no fundo do reci-piente, qual será a vazão da água? Use g = 10 m/s2.

Resolução: Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos (1) e (2)do líquido, situados numa mesma linha de corrente, temos:

E vem:1 "

'_tm + O + !J.gh = f.tm+ 2"ILV;+ O~

~ V~= y2gi1 =>=> V~= '/ 2 . 10 . 1,25 =>

~ Iv~ = 5 m/ s I

E a vazão da água,52 = 1,0 cm2 = 1,0 .Então:

Q = 1,0 . 10-4 . 5 =>

=> I Q = 5 . 10-4 ma/ s I

Adotando a relação I m3 = 103 litros, podemos escrever:

I Q = 0,5 e;s I

Resposta: A vazão da. água será de 0,5 litro/segundo.

I 2 1 2PI + - !J.VI + !J.ghl = p~ + - !J.V~ + !J.gh2

2 2

{

PI = P~ = palmVI ~O

onde hl = hh2= O

. 1Ir-~-I

(1) iI

,

h = 1,25m.0 . I""',.o I. ,../ '

!J. . (2)

52 = 1,0 cm2~~I~

1. UNIVERSIDADEDO CEARÁ- Um cubo está totalmente imerso em umlíquido. As forças devidas exclusivamente à pressão exercida pelo líquidosão melhor representadas por:

b)

!U!!-0-- -- -- -- -

tttttd)

rUi!-0

-'- -- -- -'- -ttttt

2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo, mostra-se um blocode metal maciço e homogêneo, suspenso por um fio e mergulhado na água.A densidade do metal é maior do que a densidade da água. Qual das forçasrepresentadas na figura melhor indica o empuxo exercido sobre o metal? .

através do orifício, é dada por Q = 52v2, onde

10-4 m2 e V2 = 5 m/s.

v-+

n) a-+

d) d-+

b) b-+

e) e-+

c) C

a)U!!!-0-- -)oI - -- -- -

9 = 10mil ftttfc)

o. I HH-0-- -nível - -- -.C;..Jj - ----.

de referência

fftff

-...,

fii

,-+ -+

ic I 'e !

-+b

174

3. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Um corpo totalmente imersoem um líquido em equilíbrio recebe deste um empuxo igual:

a) ao volume da porção líquida deslocada.b) a seu próprio peso.c) à massa da porção líquida deslocada.d) a seu peso aparente.e) ao peso da porção líquida deslocada.

4. UNIVERSIDADE DE SERGIPE - Um corpo de densidade D e massa Mestá totalmente imerso em um líquido de densidade d. Qual é o empuxo queatua sobre este corpo? (Nas fórmulas seguintes, g é a aceleração da gravi-dade.)

Ma)-

D

Mb) -g

D

c) dg

Dd) d-g

M

Me) d-g

D

5. UNESP - Um cilindro graduado contém água. Ao nívei da superfície livre,a leitura é L =42 cm3. Um sólido maciço (sem porosidade) tem massam = 30 g. Mergulhando-o totalmente na água, a superfície livre se elevaaté o nível de leitura L' = 54 cm:!.

~

-

a) A massa (verdadeira) do sólido diminui.b) O peso (verdadeiro) do sólido diminui.c) A densidade absoluta do sólido é menor que a da água.d) O volume do sólido é V = 12 em3.e) n. d. a.

6. UNIVERSIDADE DE SALVADOR - Um ovo cozido pode ficar emequilíbrio indiferente no interior de água salgada. Se o volume do ovo é80,0 cm3 e sua massa é 90,0 g, qual a c;iensidade da água salgada?

a) 0,64 g/cm3 d)I,12 g/cm3b) 0,38 g/cm3 e) 1,72 g/cm3c) 1,00 g/cm3

.

~

À~eWéa~ 175

7. FMU - O fato de uma rolha de cortiça boiarágua significa que:a) a cortiça possui maior densidade que a água.b) a cortiça possui menor densidade que a água.c) a densidade da cortiça e a da água são iguais.d) a densidade da cortiça é desprezível.

parcialmente imersa na

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A figura abaixo mostra a posição deum cubo de gelo (G) e de um ovo, em três líquidos (1, 2 e 3). Em qualdas seguintes alternativas os líquidos estão ordenados de acordo com a ordemcrescente de suas densidades?

~~.

-:.,.~'ci~~1

C"(> .e. "

.. . . o .'"'. " . .. ".

b.1

a) 1, 2 e 3.b) 1, 3 e 2.c) 2, 1 e 3.

9. ENGENHARIA DE UNS - Mergulhando-se um mesmo sólido sucessiva-mente em dois líquidos diferentes, o empuxo sobre o sólido:a) é maior no líquido menos denso.b) é maior no líquido mais denso.c) é o mesmo em ambos os líquidos, pois o volume do líquido deslocado

é o mesmo 110Sdois casos.d) é sempre igual ao peso do sólido.e) não goza de nenhuma das propriedades enunciadas.

i !,2 3

d) 2, 3 e 1.e) 3, 2 e 1.

10. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - Certa esfera rí-gida tem 6,0 g de massa e sua massa específica é 0,80 g/ cm:!. Sabendo-seque a aceleração local da gravidade é de 9,8 m/s2 e que a referida esferaestá totalmente imersa num líquido de massa específica 0,90 g/ cm3, calcular,em newtons, o empuxo exercido sobre ela.

11. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPIRITO SANTO - Têm-seduas es-feras com massas iguais, sendo uma de chumbo e outra de ferro. Sabe-seque a densidade do chumbo é maior que a do ferro. Se as duas esferas sãomergulhadas em um mesmo líquido:a) o empuxo será maior no ferro do que no chumbo.b) o empuxo será maior no chumbo do que no -ferro.c) é preciso conhecer a densidade do líquido para se afirmar qualquer coisad) o empuxo é o mesmo para as duas esferas.e) n. r. a. .

176

--==-

~..177

12. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - Afirmação: Uma

pessoa não conseguiria flutuar em uma piscina cheia de azeite.porque

Razão: A densidade média do corpo humano, quando uma pessoa está com

os pulmões cheios de ar, é de cerca de I g/cm3.

a) Afirmação e razão corretas; a razão justifica a afirmação.b) Afirmação e razão corretas; a razão não justifica a afirmaçãoc) Afirmação correta; razão errada.d) Afirmação errada; razão correta.e) Afirmação e razão' erradas.

13. FACULDADES REUNIDAS NUNO DE LISBOA - Uma bola maciça de

massa específica maior que a da água é abandonada no ponto P do fundode uma piscina cheia, como ilustra a figura. Dentre as afirmativas, qual acorreta?

._--o ~

~

~A

L

~

.,0I1

, i6" -

~~ ,.. ~ .L!J

. ,Q ~ .' ~-~

' :d~~I

.~

4':".3Ó51

a) A esfera subirá verticalmente.

b) A esfera ficará parada.c) A esfera rolará para a parte mais funda da piscina.d) A esfera rolará para a parte mais rasa da piscina.e) Nenhuma das afirmativas anteriores.

14. MEDICINA DE TAUBATÉ - Dois líquidos 1 e 2, não-miscíveis, de den-

sidades dI e d2, e uma bolinha de densidade d são despejados num recipiente.Dad'o que dI < d2 < d, descreva como ficarão as coisas no equilíbrio.

a) Líquido 1 por cima e a bolinha imersa à altura da superfície de separaçãodos dois líquidos.

b) Líquido 2 por cima e a bolinha flutuando sobre ele.c) Líquido 1 por cima e a bolinha flutuando sobre ele.d) Líquido 2 por cima e a bolinha no fundo do recipiente.e) Líquido 1 por cima e a bolinha no fundo do recipiente.

15. FUVEST - Um cubo maciço de metal com 1,0 cm de aresta e densidadeigual a 8,0 g/ cm:1 está a 1,0 m de profundidade, no interior de um recipientecontendo água. Suspende-se lentamente o cubo, com o auxílio de um fiomuito fino, até uma profundidade de 20 cm. Pede-se: .a) o empuxo da água sobre o cubo.b) o gráfico da pressão exercida pela água em função da profundidade, entre

1,0 m e 20 cm.Dados: densidade da água = 1,0 g/cm3; aceleração da gravidade = 10 m/s2.

16. FEl - Um submarino viaja com velocidade constante em relação à água,em linha reta e em posição horizontal. Em dado instante são desligados osmotores e ele perde velocidade até parar. Faça um esquema de todas asforças externas que agem no submarino:

a) depois de desligar os motores e antes de parar.b) depois de parar.

17. MEDICINA DA SANTA CASA - O balão A, de 1 m3, está mergulhadoem mercúrio, de densidade 13,6 g/ cm:\ no qual permanece suspenso, presoao fundo por um fio. A massa do balão é igual a 103 kg. A aceleração dagravidade local é de 10 m/s2. A força de tração exercida no fio é igual. emnewtons, a:

(1). j

d) 1,36 . 100.e) 1,26 . 1010

a) 104.b) 13,6 . 104.c) 1,26. 105,

18. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - Um bloco deferro pesa 140 N. Que força devemos fazer para segurá-I o quando estivermergulhado em água? (Peso específico do ferro = 0,07 N/cm:\ peso especí-fico da água = 0,01 N/cm3; aceleração da gravidade = 10 m/s2.)

19. MACKENZIE - Um bloco de madeira de densidade relativa 0,8 está total-mente imerso em água (densidade relativa = 1,0). Adotar g = 10 m . S-2 e

desprezar os atritos. Abandonando-se o bloco, a sua aceleração será:a) 2,5 m . S-2 para cima.b) 2,5 m . S-2 para baixo.c) nula, pois o bloco está em repousod) 0,8 m . S-2 para cima.e) 1,0 m . S-2 para baixo.

178

'::;L

~!tlúéa~ 17CJ

23. CESCEA - eonsidere, um recipi~nte com, um, líquido, submetido 11 umnaceh;ração vertical a, dirigida para cima. Sendo h a profundidade do líquidoe fJ. sua massa específica, a variação da pressão com a profundidad~' (dada por:

a) p ='fJ.h(g- a).b) p = .fJ.h(g+ a).

c) p = fJ.hg~+ ;: j. .24. FEl - Uma esfera maciça de raio R = 15 cm e densidade absolutll

d = 0,5 g/ cm3 está imersa em um tanque contendo água. A densidade daágua é da= 1,0g/cm3. A esfera é mantida em repóusopor meio de umllmola, de constante elástica k = 103 N/m, presa ao fundo do tanque. 0(',terminar a deformação sofrida pela mola na posição de equilíbrio. Suporg = 10 m/s2.

25. ITA - Na figura abaixo, temos uma pia com um dreno D. M é um pedaçode madeira, de forma cilíndrica: que se apóia no fundo da pia em perfeitocontato, de modo a tapar o dreno.

Nestas condições. M vedará o dreno:. .a) somente se a densidade do líquido for menor do que a da madeira.b) somente se' a densidade do líquido for maior do que a da madeira.c) se a altura h for uma altura determinada.d) somente se o diâmetro de M for muito maior do que o de D.c) em qualquer caso.

.&6. MACKENZIE - Um recipientecontendo água é colocado sobreo prato de uma balança de mola,mostrada na figura ao lado. Estaindica, então, a carga P. Umcorpo de peso p é introduzidono seio do líquido, de maneira a111\0tocar o fundo do recipiente.Supondo que o citado corpo~ofrc um empuxo E por partedo líquido, a nova indicação dahlllança será:11)P + p.

20. FEl - Um sólido de volume V = 10-4 m3 e densidade absoluta 2 700kg/m3 é mergulhado na água (densidade absoluta: 103kg/m3). Calcular oempuxo. Adotar g = 10 m/s2.Supondo a experiência realizada num elevador descendo com aceleraçãoconstante de 2 m/s2, calcular o empuxo.

21. CESGRANRIO - Considere as fases sucessivas de uma experiência reali.zada com uma balança de braços iguais, um recipiente contendo água eum sólido. 'Na fase I, equilibra-se tão-somente o recipiente éom água. Nafase lI, a balança está equilibrada com o sólido suspenso e mergulhado naágua. Na fase lU, a balança está equilibrada' com o sólido no fundo dorecipiente (o fio de suspensão foi rompido).

'.v4""~~.'h"i"'~

f

500g500g

~fi': //./.,..., , noy.,..,

1\

A densidade do corpoa) 1,3.b) 4,0.c) 6,0.

22. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ViÇOSA - Um cubo de metal de10,0 cm de aresta pesa 49 N. Se o mergulharmos em um líquido de massaespecífica 2,0 . 103 kg/ m3, que não ofereça resistência viscosa, e o abando-narmos, sua aceleração, enquanto estiver totalmente imerso, será de:

. (Dado: g = 9,8 m/s2.)a) 58 m/s2.b) 5,8 m/s2.c) 9,8 m/s2.

igual a:...

d) 3,9 m/s2.e) 0,6 m/s2.

b) P - E.

d) P = fJ.hY:ãg.e) Não sei.

c) P - p. d) P + E. e) n. d. fi.

180

27. UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA - O bloco visto na"figura pesa, no ar, 5 N. Na situação da figura, a leitura no dinamômetro D "

é 3 N. Ao retirar-se o bloco do interior do' líquido, a leitura na balança:

I.

a) diminuirá de 2 N.b) aumentará de 2 N.c) aumentará de 5 N.

diminuirá de 3 N.aumentará de 3 N.

28. UNIVERSIDADE DE SERGIPE - Uma esfera de chumbo afunda verti-calmente na água. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a inten-sidade do em puxo (E) exercido sobre a esfera, em função de sua profun-didade (h)?

E E E

a) b) c)

O O-

29. FEl - Um cilindro de altura h = 10,0 cm flutua em água, com suabase superior a I cm da linha d'água. Qual a menor espessura de umacamada de óleo que deve ser sobreposta à água, a fim de o cilindro ficartotalmente submerso? Supor a secção S do cilindro bem menor que a super-fície livre do líquido. Dado: densidade do óleo relativa à água d = 0,8.

-.~

-=~1O&a - 181

.\0. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um cubo de madeira de 10 cm de

aresta está imerso num recipiente que contém óleo e ágwa (ver figura), tendoa face inferior situada 2,0 cm abaixo da superfície" de separação dos doislíquidos. A densidade do óleo é 0,6 g/cm3 e a da água, 1,0 g/cm3. A massado cubo é de:

I ~

óleo-- :.::..--='"--

/

/

//

água

a) 236 g.b) 460 g.c) 540 g.

d) 680 g.e) n. r. a.

.\1. ITA - Um recipiente contém, em equilíbrio, dois líquidos não-miscíveis dedensidades dI e~. Um objeto sólido S inteiramente maciço e homogê~eo,de densidade d, está em equilíbrio, c~mo indica a figura. O volume da partede S imersa" no líquido de densidade dI é uma fração r do volume total de S.A fração r é':

dI

\

~-

.

d2

d) r =dI - d2

dI - d

d - d2

dI - d2e) r =

..

h. I

-----h.V

hI -O O O

E !E

d) Ie) I /

h , hd

11)rdI + d2

d - dIh) r

dI - d2

dI - d2,) r

d - d2

182a

~~~ 183

32. MACKENZIE - Um corpo metálico pesa 500 N no ar e 450 N quandosubmerso em água com densidade !.I.= 103 kg/m3. Sendo g = 10 m/s2,o volume do corpo e a densidade relativa do metal são, respectivamente:.a) 5,0 R elO. d) 10,0 R e 5.b) 4,5 R e 5. e) 4,0 R e 5.c) 4,0 R e 10.

- - - -- ,...------

37. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Um cubo de madeira de massaespecífica 0,8 g/cm3 flutua em um líquido de massa específica 1,2 g/cm3.A relação entre as alturas emersa e imersa é:a) 2/3. d) 0,5.b) 2. e) 3/2.c) 1,5.

38. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - Uma esfera sólida flutua em

água, de modo que o volume emerso é igual ao imerso. Pode-se prever que:a) o peso da esfera é de 0,5 N.b) o diâmetro da esfera é de 1 cm.c) o peso da esfera é de 1N.d) a massa específica da esfera é igual à da água.e) a massa específica da esfera é igual a 0,5 g/cm3.

33. MACKENZIE - Um bloco, com as dimensões indicadas na figura e feitode um material cuja densidade é. 0,2 g/cm:\ flutua em água pura, servindocomo ponte. Quando um caminhão passa sobre ele, o volume da partesubmersa é 25 % do volume do bloco. Desse modo, podemos afirmar quea massa do caminhão é de:

.a....

-39. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARIN/.. - Para retirar

facilmente as sementes do suco de um limão espremido, adiciona-se umacolher de açúcar ao suco, fazendo as sementes flutuarem. Assinale o autordo princípio ou lei física envolvido no fenômeno mencionado.a) Von-Guerick. d) Newton.b) Torricelli. e) Arquimedes.c) Pascal.

40. PUC (RIO DE JANEIRO) - Calcule a relação entre o volume imerso e ovolume total de um (,)bjetomaciço de densidade igual a 0,5 gl cm3, queflutua na água (densidade 1,0 g/cm3).

"-,,,=

v"

.:;:--.6

-- ..~

a) 2 000 kg.b) 4000 kg.c) 16 OOOkg.

d) 20 000 kg.e) 36 000 kg.

41. PUC (SÃO PAULO) - Um iceberg de densidade 0,92 g/cm3 tem a formade um paralelepípedo retângulo de 50 cm de altura e flutua na água, cujadensidade é de 1 g/cm3. Para que o iceberg fique totalmente submerso ecom a superfície superior ao nível da superfície livre da água, quando umacarga de 50 kg é colocada sobre ele, a área da base do iceberg deve ser de:a) 12500 cm2. d) 62500 cm2.b) 1 000 cm2. e) 8 000 cm2.c) 1 250 cm2.

42. FUVEST - Um objeto cilíndrico é formado por um cilindro de madeiracom massa de I kg e um cilindro de ferro com massa de 1 kg de mesmodiâmetro, colados pela base. O objeto é. colocado num tanque com água.Em relação à água, a densidade relativa da madeira é 0,5 e a do ferro é7.5. A situação final de equilíbrio é mais bem representada por:

c) Efa) t:f. b) 1=f

34. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um bloco de alumínio pesa, no ar,67,5 gf e, quando mergulhado em água, 37,5 gf. Sabendo que a densidadedo alumínio é 2,7 g/cm3, o volume da parte oca do bloco é de:a) 5,0 cma. d) 41 cm3.b) 25 cma. e) Nenhuma das respostas anteriores.c) 30 cm3.

35. MAPOFEI - Uma pequena esfera de vidro penetra verticalmente com velo-cidade v =0,5 ml s, numa cuba de mercúrio. Quanto tempo. (eva para a es-.fera ser devolvida ao ar? Com que velocidade é devolvida? Despreze o atritoda bola com o mercúrio e adote, para os cálculos, I1mercúrio= 14 g/cm3,!.I.v;dro= 4 g/cm3 e g = 10,0m/s2.

36. MEDICINA DA SANTA CASA - Um corpo maciço pesa, no vácuo, 15 Ne, mergulhado na água, tem peso aparente de 10 N. Sendo g = 103 cm/s2ê a densidade da água 1 gl cm3, a densidade média do corpo, em gl cm3.é de:

a) 1,5.b) 2,0.c) 2,5.

d) 3,0.e) 5,0. d) lEJ

e)~

-~ --- ....-

184

43. FUVEST - Um cilindro de 200 g é pendurado em uma mola e produznesta 'uma distensão de 10,0 cm. A seguir, o cilindro é totalmente mergu-lhado em um frasco com água e observa-se que a distensão da mola diminuipara 5,0 cm. Qual o volume do cilindro?Dados: g = 10,0 m/s2; massa específica da água = 1,00 g/cm3.

44. PUC (SÃO PAULO) ~ Um bloco de madeira flutua na água com metadede seu volume submerso e, no óleo, com 314 de seu volume submerso.A relação entre as densidades da água e do óleo (dai do) vale:a) 3/4. d) 3/2.b) 1. e) 2/3.c) 1/2.

45. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - Um recipiente, contendo algumas esfe-ras de aço, flutua na água que enche um segundo recipiente até uma cota H,medida a partir do fundo deste último. Retirando as esferas do recipienteflutuante e imergindo-as diretamente na água, teremos um valor maior oumenor para H?

46. PUC (SÃO PAULO) - O esquema abaixo representa uma lata'que flutuaem água, de densidade 1 g/cm3. A altura da parte emersa é de 15 cm e ocorpo pendurado ao seu fundo é um bloco de forma cúbica de 10 cm dearesta. Sabendo que a base da lata é um quadrado de 20 cm de lado, se obloco for introduzido dentro da lata a altura da parte emersa:

'\... "

15m

J. .- .'

o

a) não é alterada.b) passa a ser de 17,5 cm.c) passa a ser de 14,5 cm.

d) passa a ser de 12,5 cm.e) O sistema afunda.

47. MEDICINA DA SANTA CASA - Um submarino tem peso P e volume V'.Para ele submergir, um grande compartimento de lastro, de volume V, écheio com água, de densidade [t. Seja g a aceleração da gravidade. Aaceleração y com que o submarino afunda é:

~~ltiltéa~ 185

a)(P + [tVg - [tV'g)

(P/g + [tV)

(P - [tV'g)

(P/g + [tV)

(P + [tVg - [tV'g)

(PI g)

anteriores.

(P - [tV'g)d)

(P/g + [tV)

e) Nenhuma das respostasb)

c)

48. ENGENHARIA MAUÁ - Um recipiente contém dois líquidos imiscíveis,de densidades dA e dB. Uma esfera oca, de raios interno RI e externo ~,quando vazia, flutua na superfície do líquido A com metade de seu volumeimerso. Ao ser preenchida com um terceiro líquido C, a e~fera passa aflutuar na superfície de separação de A e D, com metade de seu volumeem cada um do& líquidos. Determine:

AI.r ". o

B

a) a densidade do material da esfera.b) a densidade do líquido C que preencheu a esfera. Desprezar o empuxo

do ar.

4Dado: V.sE= --'1tR3.

3

49. PUC (RIO DE JANEIRO) - Um recipiente fechado contém água, naqual está imersa uma rolha de cortiça ligada ao fundo do recipiente porum fio. Se o recipiente estiver no interior de uma nave espacial emmovimento circular e uniforme em torno da Terra, qual das afirmativasIIbaixo é correta?

11)O empuxo sobre a rolha é igual a seu peso; o fio ficará tensionado.b) O pe~o da rolha é maior que o empuxo que ela sofre; o fio ficará ten-

sionado.c) O peso da rolha é menor que o empuxo que ela sofre; o fio não ficará

tensionado.li) O empuxo sobre a rolha é nulo; o fio não ficará tensionado.c) O empuxo sobre a rolha é maior que seu peso; o fio ficará tensionado.

II,Ik

. . ,.oJ

A!,f

I<

J

186

50. MEDICINA DE POUSO ALEGRE - Um pequeno frasco. contendobolinhas de chumbo, flutua na água contida em um frasco maior (situa...ção I). Jogando as bolinhas de chumbo dentro da água e colocando opequeno frasco ainda a flutuar (situação 2), teremos que h2 < h1 porque aágua deslocada pelo pequeno' frasco e as bolinhas é maior na situação 1do que na situação 2.

a) As duas afirmativas são corretas e a segunda é a causa da primeira.b) As duas afirmativas são corretas mas a segunda não é a causa da primeira.c) A primeira afirmativa é correta e a segunda é errada.d) A primeira afirmativa é errada e a segunda é correta.e) As duàs afirmativas são erradas.

51. MEDICINA DE ITAJUBÁ - O empuxo E -exercido por um líquido variacom o volume submerso V, de acordo com qual dos seguintes gráficos?

E " 'EE

a) b) c)

v v vo o

I; E

d)

v

e)

o ov

-

~~taúéa~ 187

~2. MEDICINA DE SANTO AMARO - Um cilindro de madtira de densi-

dade 0,60 . 10akg/ma flutua em óleo de densidade 0,80 . lOa kg/ma. Afração do volume do cilindro que fica submerso no óleo é:a) 0,52. d) 0,81.b) 0,63. e) Nenhuma das respostas anteriores.ej' 0,75.

53. ARQUITETURA DE SANTOS - Dois blocos, um de madeira e outrode ferro, ambos de mesmo volume, encontram-se completamente submersosem água. Qual está sofrendo maior empuxo? Por quê?a) O de madeira. Porque é mais leve.b) O de ferro. Porque é mais pesado.c) O de madeira. Porque madeira é menos densa que ferro.d) Ambos estão sofrendo o mesmo empuxo. Porque têm o mejlmo volume.e) Nada se pode afirmar. Faltam informações a respeito das profundidades

relativas dos blocos.

54. PUC (SÃO PAULO) - Umaesfera de densidade dI flutuaentre dois líquidos de densida-des respectivamente iguais a d2e da. A linha de separação doslíquidos passa pelo centro daesfera. Com relação às densi-dades dI, ~ e da pode-se afir-mar que:

a) d1 =d2 + da.

b) d1 =d2 - da.c) d1 =2(d2 + da).

~

iII..1

.v..J1

.d) d1 = -(d2 + da).2

e) Nenhuma das anteriores.

55. ENGENHARIA MACKENZIE - No sistema esquematizado, as poliase os fios são ideais; desprezam-se as forças de atrito. Os corpos A e Btêm massas respectivamente iguais a 1,5 g e 4,8 g. O corpo A permaneceem repouso totalmente imerso na água, cuja massa específica é 1 g . cm-3,Assim, a massa específica do corpo A é;

a) 1/5 g , cm-a.

b) 5111 g . cm-3,e) 513 g . em-3d) 3 g . cm-s.e) 5 g . cm-a

188

56. MAPOFEI - A figurà a segúir mostra dois corpos A e B de 10 kg demassa cada um, presos a um fio flexível, inextensível, identificado pelonúmero 2, que passa por uma polia de eixo fixo e de massa desprezível.O corpo A tem volume de 10 000 cma e está imerso num líquido de massaespecífica 1 000 kg/m3. O fio I que mantém inicialmente o sistema emequilíbrio é cortado num determinado instante. Desprezando a massa dosfios e adotando nos cálculos a aceleração da gravidade de 10 m/s2. de-terminar: ~~~,.A.-:;'-'

fio 1

a) as intensidades das forças de tração nos fios 1 e 2 antes de cortar o fio 1.b) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema, logo

após o corte do fio 1.c) a intensidade da força de tração no fio 2 e a aceleração do sistema após

o corpo A sair completamente do líquido.

57;. PUC (SÃO PAULO) - O sistema representado na figura encontra-se em. equilíbrio. Os fios são inextensíveis e sem peso, os atritos nulos, e cada

polia pesa 2 newtons. O corpo A tem massa m2 = 1 kg e o corpo B, devolume VI = 10-a ma, apóia-se sobre quatro molas idênticas, de constanteelástica k = 1,5 N/em, e de volumes desprezíveis. Estas molas estãoapoiadas no fundo de um tanque T. A aceleração da gravidade valeg = 10 m/s2. Cada mola sofre uma deformação ~L1 = 2 em. A massa m]do corpo B vale:

~

m2T

a) 3 kg.b) 5 kg.c) 8 kg.

d) 10kg.e) 12 kg.

-

~~tWáz~ 189

58. PUC (SÃO PAULO) - Na questão anterior, o corpo B é totalmenteimerso em um líquido que foi introduzido no tanque, e cuja densidade é!LI' Verifica-se que A desce 2 cm. Neste caso, a densidade do líquidovale, em kg/ m3:

a) 300. b) 400. c) 500. d) 600. e) 700.

59. PUC (SÃO PAULO) - Ainda na questão 57, se o fio que liga o corpo B(totalmente imerso) à polia RI se romper, cada mola sofrerá uma defor-mação ~L, em cm, igual a:a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

60. PUC (SÃO PAULO) - Um depósito de massa 10 kg flutua num líquido,contendo 90 kg do mesmo líquido. Supondo desprezível a espessura das

pared" do depó~to. d'1m,.., a ';'açã{Y" l- -.. y

... . x ..;: . ~ '

61. PUC (SÃO PAULO) - Um corpo flutua na água, ficando 1/4 de suamassa emersa. A massa específica do corpo é cerca de:

a) 0,25 g/cm3. d) 1,00 g/cm3.b) 0,50 g/cm3. e) Nenhuma das anteriores.c) 0,75 g/cm3.

62. PUC '(SÃO PAULO) - Um fioflexível e de peso desprezívelpassa, sem atrito, por duas poliasA e B fixas, e sustenta, em umade suas extremidades, um corpode peso 40 N e, na outra, umcorpo de peso 30 N. Um ter-ceiro corpo, de peso P, é sus-penso num ponto C do fio, entreas polias, de sorte que o ânguloformado pelos trechos AC e CBdo fio é de 90°, na situação deequilíbrio. O corpo de peso Pestá imerso em água e tem oformato de um paralelepípedo,de base quadrada, cuja área da

~.-

30N

2base vale 10-2 m2. A altura tem 0,15 m. Cerca de ,- desta altura estão

3

imersos na água. Sendo a densidade da água igual a 10a kg/ ma e g (acele-ração da gravidade) igual a 10 m/s2, então o valor do peso P, em newtons, é:a) 50. b) 70. c) 60. d) 80. e) 100.

190

63. MAUÁ - Uma esfera maciça homogênea, de raio R = 0,15 m, flu-tua com metade de seu volume submersa num líquido de densidade d == 1,15 . 103kg/ m3. Retirada desse recipiente e colocada num outro, quecontém outro líquido, a esfera flutua com 1/3 de seu volume submerso.Calcule:

a) a densidade do segundo líquido.b) a massa da esfera.

64. FEl - Dois recipientes prismáticos, cujas bases têm áreas SI = 1,0 m2 eS2 = 3,0 m2, respectivamente, comunicam-se entre si por meio de um tuboe contêm água até um certo nível. Coloca-se dentro do recipiente debase SI um sólido de volume V = 0,5 m3 e densidade d = 0,8 g/ cm3.Calcular a elevação do nível de água em cada um dos recipientes. Adotara densidade da água igual a 1,0 g/cm3.

65. MEDICINA DA SANTA CASA - Um barqueiro dispõe de uma chataque permite o transporte fluvial de cargas até 10 000 N. Ele aceitou umtrabalho de traslado de um lote de 50 barras maciças de ferro (10 g/cm3)de 200 N cada. Por um erro de contagem, a firma enviou 51 barras. Nãoquerendo perder o freguês, mas também procurando não ter prejuízo comduas viagens, o barqueiro resolveu amarrar um certo número n de barrasembaixo do barco, completamente submersas. Qual o número n mínimopara que a travessia das 51 barras pudesse ser feita numa só viagem?(g = 10 m/s2.)

a) 1b) 5c) 10d) 50e) Nenhuma das respostas anteriores.

66. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA - Para que o equi-líbrio de um navio seja estável, é preciso que:

a) o centro de empuxo coincida com o centro de gravidade do navio.b) o centro de gravidade coincida com o metacentro do navio.c) o centro de gravidade e o centro de empuxo sejam coaxiais.d) o metacentro esteja acima do centro de gravidade do navio.e) Nenhuma das respostas anteriores.

67. FESP - Para que um barco tenha equilíbrio estável dentro da água, énecessário que:

a) seu centro de gravidade fique abaixo do centro de empuxo.b) o volume submerso seja maior que o volume emerso.c) seu centro de gravidade fique ao nível da água.d) seu centro de gravidade fique acima do centro de empuxo.e) a massa. submersa seja maior que a massa emersa.

-

~~~~ 191

68. MAPOFEI - Num tambor cilíndrico de massa desprezível, de raio R = 0,20m e volumeV = 1,0 m3, coloca-se um corpo de massa mA = 500 kg,que pode ser considerada concentrada em A, ponto .médio de uma geratriz,como indicado na figura. J. Considere as situações representadas nas fi-guras 1, 2 e 3, em que o tambor se encontra parcialmente submerso emágua (densidadeda água = 1000 kg/m3).

--- fios flexíveis,Inextensívels

.

a) Nessas situações, o tambor estará em equilíbrio? Em caso afirmativo,ele será estável, instável ou indiferente? Justifique. (Indique as respostas810~ e 83 com referência às figuras 1, 2 e 3, respectivamente.)

b) Quais as forças FIo F2' F3 e F4 em cada um dos fios que ligam o tamborda figura 3 com vínculos fixos?

69. MACKENZIE - A figura ilustra um reservatóriocontendoágua. A 5 mabaixo da superfície livre existe um pequeno orifício de área igual a 3 cm2.Admitindo g = 10 m/s2, podemos afirmar que a vazão instantbea atravésdesse orifício é de:

'L-......

.EU)

~gágua-;-.

"'!', a ==3 cm2

,. ,~ ~..... c~ ;.~ ~-df 10 eire) 15 fls.

a) 2 e/s.b) 3 fls.e) 5 e/s.

( ~192 ,

t:70. PUC (CAMPINAS)- Um tanque de água que repousa no chão tem doispequenos furos, um em cima do outro, perfurados do mesmo lado. Os

furos e~tão a 3~ cm e 10 cm do chão. Qual a altura de água no tanquequando os jatos dos furos atingem o chão no mesmo ponto?

_.-1--_-I - -

~o

'. -1- 0-oh

. . 1;-411-

- -1--

* 71.

a) h = 8,4 cm.b) h = 13,6cm.c) h =20,0cm.

MEDICINA DE TAUBATJ:. - Ocom secção de 2 cm~ (área da basede 0,5 cm:J/s. Que velocidade deve

a) 0,25 cm/ sb) 0,5 cm/sc) 0,75 cm/s

.- --

10~-~=.]~-l\

-H.. (6';;;;;',,,,\ ,:

d) h = 10,0cm.e) n. d. a.

conteúdo de 10 cm3 de uma sering"do êmbolo) deve ser injetado à razãoser imprimida ao êmbolo?

d) 1,0 cm/se) 1.5 em/ s

72. MACKENZIE - Seja uma caixa com água, como mostra a figura abaixo.Sabendo-se que a vazão através do orifício A, de 1t cm~, é de 1O:!1tcm:!/s,o desnível h será de:

~ o

<:>

"

;~'9- .

a) 2 m.b) 1 m.c) 1t m.

0...

.. .> ... '

-'. "",.A

'':11-.-

.~ .~.'4..

d) 5 m.,e) 4m.

Il

!,~n

;t

~lft

~

~~tWéa-M 193

73. UNIVERSIDADE FEDERAL DO rARANÁ - A água contida em umreservatório se escoa à razão de 2 litros por segundo, através de umaabertura situada no fundo deste. A superfície do líquido em contato coma atmosfera mantém-se a 3,60 m do fundo do reservatório. Se a pressãona superfície for acrescida de 8 kgU cm2, a velocidade de escoamento au-mentará para:

j

I

I 1 atm~-...... "

a) 4,0 litros/ segundo.b) 7,2 litros/segundo.c) 9,2 litros/segundo.

d) 12,4 litros/ segundo.e) 16,0 litros/ segundo.

74. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORAum fluido está relacionada com:

a) o atrito entre as moléculas do fluido.b) o atrito entre o fluido e as paredes do recipiente.c) o equilíbrio do fluido.d) o peso específico do fluido.e) Nenhuma das respostas anteriores.

75. ITA - No frasco com água representado na figura abaixo, R é um tubo

- A viscosidade de

-.oco cuja parte inferior está imersa na água. A velocidade v da água quesai pelo orifício lateral do frasco é dada por:

~.

H

,v"

a) v =b) v =c) v =

V2gH.vzgy.V 2gd.

d) v = v'2gii.e) v = V 2gL.

1 atm 1 atm + 8 kgf/cm2...'" (_.= -=

"-1 3,6mTIII ( :.c -.. .

3.6ml li . (. . .o

-t 1()..

r 11k:.t:""L"",,",- WL-... ",c"""" .

194

-

~~tWéa~ 195

76. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Se um pequeno furo horizontal forfeito na parede vertical de um reservatório que contenha um líquido ideal(sem viscosidade), um filete de líquido escoará pelo furo, e sua velocidadeinicial terá intensidade v = V1gJ1.Considere o movimento do fluido como o de um projétil lançado no-vácuo, desde o furo. com velocidade v.Se desejarmos que o filete incida em um ponto G o mais afastado possívelde F, o furo deverá ser feito em uma altura tal que:

9kJflOdlád1.c 2.d 3.e 4. e 5.d 6. d 7. b 8. c 9.b

10. E ~ 6,61 . 10-2 N11. a (Admitindo que as esferas sejam maciças.)12. a 13. c 14. e

15. a) E = 1 000 dyn;

b) . p(dyn/cm2)

v

2::::~_~I I

h

-------

H-h~\.F .~I . II

L I..- ..

h(cm)20 100

16. a)

I ", Ef~1' ~y I. ..,.-' I

. . ' .

' -:;;;;J.

.. '-I ~--" ~.

2a) h = - H.

3

1b) h =-H.

4

1d) h=-H.

2

3e) h =-H.

4

F"'~ II-:t, -=-.II

L -p

1c) h = - H.

3

-+F = força de resistência da água: .-+P= peso:-+E = empuxo.

77. MACKENZIE - A tampa de um buraco de 10-4 m:! de secção na paredelateral vertical de um aquário se solta. Sendo a massa específica da água(l. = IO:!kg/m3 e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, estando o nívelda água 1,0 m acima do buraco e o aquário sobre lima superfície horizontalde atrito desprezível, a força que se deve aplicar ao aquário para impedirque o mesmo deslize é de:a) 2 N.b) 1 N.c) 1/2 N.d) 4N.e) Nenhuma das anteriores.

b) r---- ...,-'," ,:' v =0 I. I

I,~ ...

L--+ .

_P17. c18.F= 120N,vertical,para cima.19. a

20. o) Líquido em equilíbrio: E = 1N; b) Líquido com aceleração: E = 0,8 N.21. b

p..

o I

O" C'H I , .

()

<"O

196 PARTE11122. b (aproximadamente)23. b

24. x ';:::$7 cm

25. e 26. d 27. a 28. a

'\ ,

29. Espessura mínima= S'cm.o30. d 31. e 32. a 33. b 34. a

35. A esfera levará 0,04s para retornar à superfície e o fará com avelocidade de O,Sm/s.

36. d 37. d 38. e 39. e1

40. Volume imerso/volume total = -.2

41. a 42. c

43. V = 100cm344. d

45. Ao retirarmos as esferas de dentro do recipiente, imergindo-as diretamentena água, teremos um valor menor para H.

46. d 47. a

48. a) d =3

Rc

. dA;

2(R~ - R~)3

Rcb) de = -da,

2R;!

49. d 50. a 51. a 52. c 53. d 54. d 55. e

.56., a) TI = 100 N, T~ = O;b) T2=SON, a=Sm/s2;c) T2= 100N, a = O.

57. a 58. d 59. b

x 9.60.-=-

Y 10

61. c 62. c

63. a) d2 ::::::1,73., 103 kg/m3;b) m::::::B kg.

64. x = 0,1 m

65. c 66. d 67. d

68. aI ~ não há equilíbrio;a.o!~ há equilíbrio estável;a3 ~ há equilíbrio estável enquanto as ligações forem mantidas;

PAb~FI =F2=F:I=F4=-'

4

69. b 70. b 71. a 72. d 73. c 74. a 75. ,d 76. d 77. a

GRAVITACAü-

n8'~

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11 a

a

111

~5 Lei5da Gravitação

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~

HistóricoAté o século XVI. os acontecimentos relacionados com os movi-

mentos dos corpos no espaço cósmico eram explicados levando-sesempre em conta o sistema geocêntrico. O sistema geocêntrico éum modelo de visão do mundo que admite a Terra no centro douniverso e os demais planetas, a Lua e o Sol girando ao seu redor.

Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo e matemático do século11d. C., foi, sem dúvida, o mais famoso dos defensores deste sistema.

No século XVI, em 1543, o monge polonês Nicolau Copérnicoexpõe. as bases do sistema heliocêntrico. O sistema heliocêntricoé um modelo de visão do mundo que admite o Sol no centro do uni-verso e os planetas girando ao seu redor em trajetórias circulares.

Entre os adeptos do sistema heliocêntrico estava JohannesKepler, astrônomo e matemático alemão. Kepler, manipulando umrico acervo de dados astronômicos deixados por seu mestre, o dina-marquês Tycho Brahe, o mais famoso astrônomo europeu no séculoXVI, chega a notáveis leis empíricas sobre o movimento dos planetas.

Leis de Kepler

A análise de Kepler resultou em três leis empíricas, eminente-mente descritivas, do movimento dos planetas. As duas primeirasforam apresentadas em 1609, em sua obra Astronomia Nova (a leidas órbitas e a lei das áreas], e a terceira, em 1619 (a lei dos períodos).em sua obra Harmonica Mundi;

. 1."lei: Leidas Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas. emtorno do Sol, que se encontra em um dos focos.

:~ 111

. v rh -.

er pranc a matematlcana p. 211.

200

.::if~~

Concluímos, então, que o planeta é mais veloz no periélio (maispróximo do Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).

- - -()~,Esquemado Sistema Solar .- .- --- Plutã~ "-~ ....-

'" /' - -- - O ~e~no/' - -.- -

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movimento acelerado,--- -.-Vm(n

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- _.~ Esta lei é de grande importância, pois dela se conclui que osplanetas não se movem ao redor do Sol com velocidade constante,como se acreditava até então. À medida que o planeta se aproximado Sol. sua velocidade aumenta, e, à medida que ele se afasta, suavelocidade diminui. Por isso, esta segunda lei é também conhecidacomo Lei das Velocidades.

...- .-- .:>'

. 2.8lei: Lei das Áreas

o segmento imaginário, que une o Sol ao planeta...varre"/ áreas iguais em tempos iguais.

~Alguns autores preferem se referir a esta lei dizendo que. a velocidadeareolar do planeta é constante". Por velocidade areolar se entende oquociente entre a área varrida (A) e o tempo gasto em varrê-Ia (/lt).

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Conseqüência: Se as áreas assinaladas são iguais, o arco maiorAB deverá ser descrito no mesmo tempo que o arco menor CD.Logo, a velocidade em AB (próximo ao Sol) deve ser maior que avelocidade em CD (longe do Sol).

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202

. 3.' lei: lei dos Períodos

Os quadrados dos períodos de revoluçãodos planetas são propor'cionais aos cubos

de suas distâncias médias ao Sol:T2= Kd3

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II

T . , 501

r - período de revolução do planeta ao redor do Sol (mais comu-mente denominado de ano do planeta).

d - distância média do planeta ao Sol = medida do sem i-eixo maiorda elipse.

K - constante de proporcional idade que depende da massa do Sol,não dependendo do planeta em questão. .

Esta lei é válida para qualquer planeta e permite concluir que,quanto mais distante do Sol se encontrar um planeta, maior será oseu período de revolução, isto é, maior o seu ano.

Observe o -exemplo a seguir, onde analisamos o comportamentode dois planetas em seus movimentos ao redor do Sol.

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O período de revolução de um planeta (o seu. ano) depende desua órbita.

Para o planeta A (no exemplo, a Terra) temos:2 3

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2 3TB= KdB

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Para o planeta B (no exemplo, Saturno)

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T; ~d;

temos:

(~:)2 = (~:)8'

~1. As leis de Kepler só têm sentido num referencial fixo em relação aoSol, conhecido como referencial de Copérnico. Isto significa que daquida Terra não temos condições de perceber o que Kepler diz em suas leis.2. A distância média da Terra ao Sol denomina-se unidade astronômica(UA) e é usada como escala do Sistema Solar.

11UA=1,49.10Ilm I3. A tabela seguinte indica as excentricidades das órbitas elípticas dosplanetas (vide prancha matemática - Ellpse - na p. 211). Comexceção de Mercúrio e Plutão, as excentricidades são inferiores a 0,1. Istosignifica que, em primeira aproximação, podemos admitir as órbitas dosplanetas do nosso Sistema Solar como circulares, para efeito prático.

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Em primeira aproximação podemos admitir as órbitas dos planetas como circulares

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204

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oComplementos1) Dados referentes ao Sistema Solar

. Apresentamos a seguir a tabela indicativa de alguns dados refe-rentes ao Sistema Solar:

1 UA(unidade astronômica)= 1,49 . 1011m ~ 150 milhões de km1 ano terrestre =365,2 dias =3,16 . 107sMassa da Terra=5,98 . 1024kgPeríodo da Lua ao redor da Terra=27,3 dias

. Escala de tamanho dos planetas:

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. Entre Marte e Júpiter encontra-se a famosa. faixa de asteróides",onde existe UI)1grande número de planetóides. Sua descoberta foifeita pelo astrônomo siciliano Piazzi, a 1.0de janeiro de 1801, por meroacaso.

. Os planetas que possuem satélites conhecidos são: Terra (um),Marte (dois), Júpiter (doze), Saturno (dez), Urano (cinco) e Netuno(dois).

2) Dados referentes à Terra

. A Terra passa pelo periélio em fins de dezembro, a 147 milhõesde quilômetros do Sol, com a velocidade de 30,2 km/s; e passa peloafélio em fins de junho, a 152 milhões de quilômetros do Sol, coma velocidade de 29,3 km/s. Como se percebe, o periélio ocorre maisou menos na época do verão brasileiro. Por isso, o verão aqui nohemisfério sul é ligeiramente mais quente e mais curto que o verãodo hemisfério norte, que ocorre quando a Terra se encontra no afélio.

29,3 km/s ".' S,)'+~~

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Início doInverno(Junho)

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Primavera

As estações do ano para o hemisfério sul (caso do Brasil).

Planeta Excentricidade da órbita

Mercúrio 0,206Vênus 0,007Terra 0,082Marte 0,093Júpiter 0,048Saturno 0,056Urano 0,047Netuno 0,012Plutão 0,246

Período deAstros Distância média revolução em torno Massa em

ao Sol (em UA) do Sol (em anos relação à Terraterrestres)

Mercúrio 0,387 0,241 0,056Vênus 0,723 0,615 0,815Terra 1,000 1,000 1,000Marte 1,523 1,881 0,107Júpiter 5,202 11,865 317,881Saturno 9,554 29.650 95,168Urano 19,182 83,745 14,602Netuno 30,058 165,951 17,251Plutão 39,400 247,687 0,095Sol - - 332 945

1Lua - - -

81,3

I

206

Leitura complementar

Um pouco de história da Física

O século VI a. C. - século de Buda, Confúcio, dos filósofos jônicos e dePitágoras - constitui um dos marcos da história da espécie humana. Era oinício da grande aventura: a indagação das expllcaçôes naturais e causasracionais para os fenômenos físicos.

O 00disco terrestre 00, que flutuava sobre as águas, segundo os babilônios,egípcios e hebreus, passa com o jônico Anaximandro a ficar no centro domundo, suportado por nada e rodeado de ar. Com a Escola Pitagórica o discofaz-se bola esférica. Em torno dela, o Sol, a Lua e os planetas giram emcírculos concêntricos, cada um preso a uma esfera ou roda (sistemageocêntrico). Durante a revolução eles emitiriam sussurros musicais emharmonia, a 00Harmonia das Esferas 00.

Filolao, discípulo de Pitágoras, atribui, em seguida, movimento ao nossoglobo. A Terra passou a ser transportada pelo ar. Heráclldes do Pontoaceitava a rotação da Terra em torno de seu eixo, explicando assim o girodiário do céu; não explicava, porém, o movimento dos planetas.

Aristarco, o último da linhagem dos astrônomos pitagóricos, proclama,no século 111a. C., que o Sol é o centro do universo e não a Terra, e que emtorno dele giravam todos os planetas (sistema hellocêntrico). É ocoroamento da cosmologia pltagórlca.

Pelo fim do século 111a. C., ou seja, de Platão e Aristóteles para frente,a ciência natural' entra em decadência. Platão é avesso ao mundo visível,concreto, e Aristóteles reassume o geocentrlsmo. Ambos promovem a idéiado movimento circular como dogma da Astronomia.

No século 11d. C., aparece Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo ematemático, que desenvolveu a maior parte de seu trabalho em Alexandria,Egito. Em sua obra - O Almagesto (composta de 13 volumes) - Ptolomeucompleta as idéias de Apolônlo (século 111a. C.) e de Hiparco (século11a. C.) e descreve o seu modelo de sistema geocêntricO'. O Almagestocontinuou a ser a bíblla da Astronomia até o século XVI. Para se ter uma idéia,o catálogo de estrelas fixas de Hlparco e as tábuas de Ptolomeu "para ocátculo de movimentos planetários eram tão merecedores de confiança eprecisos, que serviram de gula de navegação a Colombo e Vasco da Gama.Hlparco calculou a dlstãncia da Terra à Lua e errou em apenas 0,3 por cento.

Apesar do seu gigantismo, os astrônomos alexandrlnos não viram aquiloque Heráclldes e Aristarco tinham visto antes e que Copérnico retomariamais tarde, ou seja, que os movimentos dos planetas eram governados peloSol. Não viram (ou não quiseram ver). obstinados que estavam em defenderas idéias de Platão e Aristóteles, que geravam o medo da mudança, o desejoda' estabilidade e a permanência numa cultura que ia aos poucos sedesintegrando. O círculo era a Imagem desta estabilidade.

Santo Agostinho torna-se, no século V' d. C., com suas obras Confissõese Cidade de Deus, o símbolo da fusão entre a Antiguidade Clássica e aEuropa Medieval.

A Igreja Católica passa, então, a determinar todo o clima cultural e o doensino. A idéia da esfericidade da Terra, que vinha de Pltágoras, foi postade lado. A cosmologia desse período volta diretamente aos babllônios e

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11ebreus. Dominam-na duas idéias principais: que a Terra tem o formato doSanto Tabernáculo e que o firmamento está envolvido em água. É nessaépoca que surgem os anjos, e supõe-se que estejam presos às esferas dasestrelas e dos planetas para mantê-Ios em movimento, e os demônios, parabaixo, numa repetição das esferas celestes, até chegarem a Lúcifer, nocentro da Terra. Nesta fase não há lugar para mudanças. Não há evolução dasespécies biológicas, não há progresso social. O universo é estático. O homempode aspirar a uma vida superior ou condenar-se a outra inferior. Mas sóIrá para cima ou para baixo após a morte. A Idade Média leva a extremos deobsessão a Filosofia platônica.

No século IX, João Scot adota novamente o hellocentrismo e as Idéias deHeráclldes e Arlstarco retomam.

Passam a coexistir nessa época os dois sistemas: o de inspiraçãogeocêntrlca para efeito teórico e concorde com a visão religiosa oficial(assumindo a Terra a forma de tabernáculos ou afins) e o de inspiraçãohellocêntrica para fins práticos, usado inclusive em viagens marítimas (a Terraassume a forma esférica). É uma época ambígua, Instável.

A partir do século XII, a Europa começa lentamente a recuperar a herançado passado. Os trabalhos de Arqulmedes, Euclldes, Aristóteles e Ptolomeusão redescobertos. O desenvolvimento das cidades e das comunicações comcerteza exerceram papel fundamental nesta gradatlva mudança de climaintelectual e diminuição do clima de terror apocalíptico dos séculos anteriores.A nova aliança entre a cristandade e o arlstotellsmo, concluída sobos auspícios de Tomás de Aquino, deu corpo a essa mudança de atitudecientífica, a essa nova tentativa de redescobrir a natureza.

Arlstóteles, como sabemos, se preocupou com o movimento e fez estudose análises a respeito, embora bastante falhos: tudo quanto fosse pesadotendia para o centro, que é seu lugar natural; tudo quanto fosse fluido, comoo fogo e o ar, tentava afastar-se dele; os astros, nem pesados e nem fluidos,e (le natureza inteiramente diversa, moviam-se em círculo em torno dele.Entretanto, ele sal valorizado: a primeira prova da existência de Deus, deTomás de Aquino, se fundamentava Inteiramente na Física arlstotéllca -Deus como causa primeira do movimento.

No século XVI, em 1543, com seu livro sobre as Revoluções das EsferasCelestes, o cônego polonês Nicolau Copérnico (1473-1543) retoma o sistemahellocêntrlco, admitindo que o movimento ao redor do Sol fosse circular euniforme. Como já vimos, o sistema hellocêntrico não era, então, umanovidade: já houvera outros defensores dele. O trabalho de Copérnico podeser considerado, inclusive, aristotéllco, pois em diversas passagens ele aceita81prlorl a naturalidade de determinados eventos (o movimento circular, porexemplo). Seu grande mérito está em deixar implícita a idéia do espaçoInfinito e descentralizado (pois admite que a gravidade não é inerente apenas11Terra). Conseqüentemente, os sentimentos de estabilidade, de repouso, deordem se vão. O homem passa a ocupar posição periférica e, portanto,secundária. A intimidade homem-divindade, que existia até então com aconsideração de um universo finlto, desaparece.

É bom frisar, entretanto, que somente um século pepois, no século XVII,é que o trabalho de Copérnico, não pelo que escreveu, mas pelo que deixouImplícito, começa a fazer efeito.

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Pesquisas posteriores mais aprofundadas, devidas principalmente aoastrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), revelaram que o movimentodos planetas não se ajustava bem dentro desta concepção de círculosconcêntricos. Ele chegou, inclusive, a propor um sistema" misto' entregeocentrismo e heliocentrismo.

Estando mais preocupado com as observações e medidas diretas, não chegouTycho Brahe a fazer qualquer tentativa de análise teórica desses resultados,tarefa essa que coube a seu assistente Johannes Kepler (1571-1630), que comele trabalhou durante seus últimos anos de vida.. Kepler era ardente defensordo sistema copernicano (heliocêntrico) e tornou-se um dos baluartes daFísica clássica.

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Lei da Gravitação UniversalPor volta dos meados do século XVII os conhecimentos cientí-

ficos estavam totalmente dispersos. As contribuições dos antigosgregos, de Nicolau Copérnico, Tycho Brahe, Johannes Kepler e GalileoGalilei estavam isoladas.

Coube ao inglês Isaac Newton (1642-1727) reunir as idéias cientí-ficas mais expressivas até então e apresentá-Ias ao mundo.

Foi o que aconteceu em 1687, quando Newton publica sua obraPrincípios Matemáticos da Filosofia da Natureza, um dos mais notáveisacontecimentos de toda a história da Física.

Tendo por base as leis empíricas de Kepler e os resultados dasexperiências de Ga'llJéoa respeito de objetos em queda livre, Newtonanalisou o movimento da Lua em torno da Terra e o movimento dosplanetas ao redor do Sol.

Uma grande capacidade de generalização eum conhecimentoprofundo de Matemática permitiram a Newton descobrir a Lei daGravitação Universal:

- - ---A força gravitacional é uma força de campo radial, isto é, atua

à distância ao longo da r~ta que une os centros dos corpos.

A constante G da gravitação universal vale. no Sistema Inter-nacional:

G. 6,67. 10-11N . m2/kg2e não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualqueroutro meio interposto entre os corpos.

As forças gravitacionais têm, nqrmalmente. intensidade despre-zível tendo em vista o pequeno valor de G em relação às intensidadesdas demais forças troca das entre os corpos que nos cercam. Paraque a intensidade das forças gravitacionais seja apreciável. pelomenos um dos corpos envolvidos na interação deve ter grande massae. a distância entre eles deve ser relativamente pequena. É o queacontece com o planeta Terra. por exemplo; e os corpos que seencontram ao seu redor. '

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\-- --Dois pontos materiais se atraem à

distância com forças cuja intensidade édiretamente proporcional ao produto de

suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distância que os separa.

MmEm símbolos: F = G -

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d

----As forças gravitacionais obedecem ao

Princípio da Ação e Reação. agindo uma em cadacorpo e tendo mesma direção.

sentidos opostos e mesma intensidade. aindaque as massas, sejam diferentes.{

M, m - massas dos pontos materiais.onde. d - distância entre os pontos materiais.

G - constante da gravitação universal.

11

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A. .

d d d f d t - a 'tacional entre os objetos Era defensor intransigente do sistema copernicano clássico (heliocentrismomtensl a e as. orças e ~ raçao gr VI o' com movimento circular uniforme do~ planetas) e não levou na devida conta

de pequena massa, tais como velculos, casas, arvores, etc.. e despre- o trabalho genial de Kepler, apesar de ter conhecimento dele na troca de

zível face à intensidade da força de atração gravitacional que a Terra r correspondência que estabeleceram.exerce sobre eles. A maior característica do gênio de Galileo foi combinar a visão

matemática do mundo com a visão empírica, obtida pela observação, pelaexperiência crítica e pela correta experimentação. Esse foi o seu maior legadoaos seus sucessores, principalmente Newton.

Coube a Isaac Newton realizar a síntese das idéias existentes até então.Tal foi o seu gênio que podemos dizer que ele tem desfrutado de umainfluência, de uma autoridade só comparável à de Aristóteles nos dois milêniosanteriores. Mesmo as correções feitas posteriormente por Albert Einstein(1879-1955) não tiram o grande mérito e utilidade do trabalho de Isaac Newtonaté os nossos dias.

Newton une Kepler e Galileo. A aplicação das leis de Kepler à órbitada Lua, aliada ao estudo do movimento dos projéteis de Galileo, leva Newtonà Lei da Gravitação Universal.

. Corposesféricos e homogêneos- A Lei da Gravitação Universalfoi estabelecida por Newton para pontos materiais, ou seja. corposcujas dimensões são desprezíveis em comparação com as distânciasentre seus centros.

Pode-se provar que quando um corpo é esférico e homogêneo(densidade constante em todos os seus pontos) ele se comporta,para efeito de cálculo de interações gravitacionais. como se todasua massaestivesse localizada em seu centro.

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L-Esféricohomogêneo

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~jAssim sendo, quando estivermos analisando o efeito gravitacional

de um planeta sobre um corpúsculo nas suas proximidades. se fizer-mos a hipótese de que o planeta é rigorosamente esférico e homo-gêneo. então ele se comportará como se fosse um outro corpúsculolocalizado em seu próprio centro e de mesma massa.

Leitura complementarMais um pouco de história da Física

Contemporâneo de Kepler, o italiano Galileo Galilei (1564-1642) foi oresponsável pela introdução do método científico na análise dos fenômenosfísicos. O telescópio torna-se com ele um instrumento de trabalho cotidiano noexame do céu.

Galileo descobre, entre outras coisas, os satélites de Júpiter, as manchassolares e as fases do planeta Vênus. Analisou a queda dos corpos, omovimento dos projéteis e estabeleceu o princípio da relatividade dosmovimentos. Criou a~ bases da Dinâmica clássica, principalmente no que serefere à inércia dos corpos.

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Prancha matemática. Curvascônicas - A elipse é uma das curvas pertencentesàs

.. secções cônicas", as quais podem ser definidas como a intersecçãode um cone de revolução com planos de orientação variada.

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-- - -

1*0

I

L - --..I

II -

Círculo: plano de secçãoperpendicular ao eixo do cone.

Elipse: plano de secçãoinclinado de qualquer modoem relação. ao eixo.

212

I eixo

\-1-- / /

Parábola: plano de secçãoparalelo à geratriz do cone.

Hlpérbole: plano de secçãoparalelo ao eixo do cone.

Em resumo:

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hipérbole-. -

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. Construção de uma elipse - A Geometria nos ensina que aelipse pode ainda ser definida como o lugar geométrico dos pontosde um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos)do mesmo plano é constante.

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L- PFI + PF2 = cte = 2AO

Para desenhá-Ia, você precisa de lápis e papel, dois percevejos,um pedaço de linha ou barbante e uma prancheta de desenho. Fixeos percevejos em dois pontos FI e F2, conforme a figura. Amarre ofio nos percevejos, tomando o cuidado de deixá-Io bastante frouxo.Introduza agora a ponta do lápis no fio, até que ele fique bem esticado.Depois desloque o lápis e faça a curva, mantendo o fio sempre esti-cado, até que o traço feito pelo lápis chegue novamente ao pontode partida e a curva fique fechada. Os pontos onde você localizouos percevejos (FI. F2) chamam-se focos.

Nomenclatura da elipse:AB - eixo maior.

- ABAO - semi-eixo maior = -.

2

. OF2e - excentricidade da eliDse= -.

OB

Notas:

1) Para uma elipse tem-se O< e < 1.2) A circunferência pode ser considerada um caso particular de

ellpse onde e = O,ou 'seja, os focos FI e F2coincidem em O (centro).

214

c) A razão do raio da órbita para o seu período é uma constanteuniversal.

d) A linha que liga o Sol ao planeta descreverá no mesmo tempodiferentes áreas.

Resolução: Análise das alternativas:

a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol comofoco (Lei das Órbitas). Alternativa errada, portanto, pois afirmaque o Sol é o centro da trajetória.

b) A linha que une o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos'iguais (Lei das Áreas). Portanto, alternativa correta.

c) A Lei dos Períodos nos permite escrever que T2 =Kd3, e daídecorre que:

d3 1-=-=cte

T2 K

1. MEDICINADESANTOAMARO- A segunda lei c;leKepler (Leidas Areas) permite concluir que um planeta possui:a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol.

. b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol.c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol.d) velocidade constante em toda sua trajetória.e) n.d.a.

Resolução: Pela segunda-leide Kepler (Lei das Áreas ou Lei das Velo-cidades) temos que: "O segmento imaginário, que une o Sol ao planeta,varre áreas iguais em tempos iguais".

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Isto significa que a razão do cubo do raio da órbita para o qua-drado do período é uma constante, e sabe-se que esta constantedepende da massa do Sol.

A alternativa está duplamente errada, pois além de não especificaros expoentes do raio e do período, afirma que a constante entreeles é universal.

d) A linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em temposiguais (Lei das. Áreas). Alternativa errada, pois afirma o contrário.

.----

Se ~tl = ~t2' então AI = A2.Resposta: alternativa b.

Daí decorre que, se as áreas sombreadas são iguais, a velocidade notrecho AR (arco maior) deve ser maior que a velocidade em CD (arcomenor). Em outras palavras, à medida que o planeta se aproximado Sol, sua velocidade aumenta, e à medida que ele se afasta, sua velo-cidade diminui. Logo, o planeta é mais veloz no periélio (mais próximodo Sol) e mais lento no afélio (mais afastado do Sol).


3. MAPOFEI:- No Sistema Solar, um planeta em órbita circular deraio R demora 2,0 anos terrestres para completar uma revolução.Qual o período de revolução de outro, planeta, em órbita deraio 2R?

Resolução: A Lei dos Períodos permite escrever, para qualqu~rplaneta,T2 =Kd3.

Aplicando esta lei ao 1.0 planeta, temos T~ = Kd~ (I).

2. UNIVERSIDADEDE BRASrLlA- Assinalar a afirmativa correta nosistema planetário:a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica tendo o Sol como

çentro.\b) A linha que une o Sol ao planeta descreve áreas iguais em

tempos iguais.

Aplicando esta lei ao 2.0 planeta, temos T; = Kd; (11).

Dividindo membro a membro as igualdades (I) e (11), decorre:

3

T~ - ~ (111).--T22 d32

216

Pelo enunciado do exercício sabemos que:T] =2,0 anos terrestresdI =Rd2= 2R p"

-(""

~\P'T. = 2.0 anosT2,= ?

Sol

Substituindo na expressão (lU), decorre, então:(2,0)2 R3

T;E vem:

(2R)3

4,0 y!-'-=-~

T~ 8~

~ T;= 32 ~ Tz = 'V3'L ~

~I T2 ~ 5,6 anos terrestres I

Resposta: O período de revoluçãoterrestres, aproximadamente.

do outro planeta é de 5,6 anos

4. MEDICINADO ABC - Suponha-seque a Terra e Plutão executem,movimentos circulares uniformes em torno do Sol. com distânciasexpressas em UA (unidades astronômicas) iguais a 1 e 40. respec-tivamente. O período de Plutão em torno do Sol. expresso emanos terrestres. será igual a:a) 40 Y4Q.b) 402.c) 403.

Resolução: Lembremo-nos inicialmente de que unidade(UA) é, por convenção, a distância da Terra ao Sol.

Pela terceira lei de Kepler, T2 = Kd:'.

Para a Terra, vem T~= Kdr (I).

d) 402 ~e) ~.

astronômica

.

I.

Para Plutão, temos T: = Kd: (2).

Dividindo-se (2) por (1):Q 3

T; Kdp 2 2-= ~Tp=Tr

T2 Kd3r r

Sendo Tr = 1 ano, dp = 40 DA e

Q (- 40 )3 Q

T; = 12 \1 ~ T; =403 ~


(~ ):!

dr '

~~,

dr = 1 DA teremos:

I Tp = 40 '\""40 anos I

5. FEl - A força de atração entre dois corpos de massas M e m,separados pela distância r, tem, segundo Newton. a intensidadeF = GMm/r2. O valor de G para um corpo na superfície da Terra,é 6,67 . 10-1] (MKS). Qual o valor de G para um corpo na super-fície da Lua?

Resolução: A constante G é universal, ou seja, em qualquer lugar ouem quaisquer circunstâncias seu valor será sempre o mesmo. Portanto,no SI (MKS) G valerá sempre 6,67 . 10-11 (inclusive na superfícieda Lua).

Resposta: Na superfície da Lua, G = 6,67 . 10-11(MKS).

6. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Qual dos gráficos abaixo melhor repre-senta a variação da intensidade da força de atração gravitacionalF entre duas massas puntiformes; suficientemente distantes dequalquer outra massa, separadas por uma distância d?

F iFF

a)

d

b)

d

d)

d d

c)

'F

e)

d

218

Resolução: As forças de atração gravitacional trocadas entre duas massaspuntiformes M e m, separadas pela distância d, têm direção da reta

Mmque une os corpúsculos e intensidade F dada pela expressão F = G-.

d2

~ ~ FfM, .: )JJ 41. m

1. --~Sendo G a constante universal da gravitação e admitindo que as massasM e m sejam constantes, decorre:

1F= K-, onde K = GMm= cte.

d2

Logo, F é inversamente proporcional ao quadrado da distância d.Observe que:

quando d = x, F, = K~= K~=> IF.= K~I' d- x2 x21 1

quando d = 2x, F2 = K - = Kd2 (2x)2

I Bj l

~ F~ = K ~ F2 = -4x2 4

1quando d = 3x, Fa = K - = K

d2 (3X)2I 8] '1

~F::=K ~ F3=-9x2 9

c assim por diante.

Graficamente. temos:

IIIIIIII

F:!I j---I I

Far-- i-- _L --O x 2x

Esta relação de dependência entre F e d correspondedenominada matematicamente hipérbole cúbica.


F 'LFI ---

~

1~

hipérbolecúbica

d

a uma curva

.~~~.-

I,)

7. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um rapaz de massa 70 kgencontra-se a 10m de uma jovem de massa 50 kg. Constantede atração gravitacional G= 6,7 . 10-11N . m2/kg2. A força deatração gravitacional entre ambos, é mais aproximadamenteexpressa por:a) 2.3 . 10-8 newton.b) 6.7 . 10-11newton.c) 2,3 . 10-9 newton.Resolução: Pela Lei da Gravi-tação Universal, observando afigura ao lado, podemos escre-ver que: ,t

Mm

d) 2,3 . 10-12newton.e) um valor diferente dos anteriores.

M

F=G

F".<i~m

. Ft

~t

.

."l."~.'

.

~'I

eJ.

111I1I

~ ' -;r

\;

,

LII \-+-~

d2

Assim, para

G = 6,7 . 10-11 N. m2kg2

M = 70kg, m = 50 kg e d = 10m, teremos:. 70.50

F =6,7 . 10-11 . = 6,7. 10-11. 35=102

= 234,5 . 10-11 =2,345 . 10-9

Portanto, aproximadamente I F =2,3 . 10-9 N I


8. UNIVERSIDADEDE PERNAMBUCO- Dois corpos de massas mle lTI2atraem-se mutuamente com uma força de intensidade F,quando separados por uma distância d. Quando eles estiveremseparados por uma distância 2d. a força de atração terá intensi-dade igual a: .a) 2F.b) F/4.c) F/2.Resolução:Pela Lei da Gravitação Universal de Newton, podemos

d) 4F.e) F.

escrever F=Gmlm2

(I).d2

r F~ml

\l'

.

. )lIi, " ",

1J): ., /'

~-

d

~ m2

-~'Ll'

-1-

.220 ~~~

Quando os mesmos corpos estiverem separados por uma distânciad' = 2d, temos:

d'2 (2d)2

Tendo em conta a expressão (I), vem:; ,

, I mIm:!; FF =19 1= - ::::>

2 I 4~ J

::::>1 F'=F/4 IResposta: alternativa b.

4d2(II~)

A Terra atrai o corpo com uma força gravitacional de intensidade FI.De acordo com a Lei da Gravitação Universal e considerando a figura,temos:

MTmFI =G (I)

X2I

A Lua atrai o corpo com uma força gravitacional de intensidade F2.De acordo com a Lei da ÇJravitaçãoUniversal e tendo em conta afigura, vem:

mLmF2 = G (11)

X22

O corpo é igualmente atraído pela Terra e pela Lua. Assim sendo,decorre que FI = F2 (111).Substituindo em (111)as. expressões (I) e (11), vem:

cj MT1,1Í= cf mLI}Í2 2Xl ,X2

E decorre:

MT = mL (IV)2 2

Xl X2

I>oel~enunciado, sabemos que MT = 81mL.Pela figura: Xl+ X2 = d ::::>X2= d - Xl'Voltando à expressão (IV), obtemos:

81l}ÍL - f!ÍL

X2 (d - Xt?1

Usando as propriedades das proporções:81(d - XI? = x~

('

mll,

~'

.

'." ~':-'~ F'. --- ~' "~'

~'

..

,.

.

m2

~ f., "JJf'.', , !'c~, /

- - -~' -".'

F'=GmIm:!

(lI)d'2

.Desenvolvendo a expressão (lI), decorre:

F'=GmIm:! =G mIm:! =0

mim:!

9. UNIVERSIDADEDE JUIZ DE FORA - Sendo a massa da Terra81 vezes a massa da Lua. em que ponto da reta, qlle une oscentros dos dois corpos um corpo seria igualmente atraído?a) Num ponto cuja distância da Terra é nove vezes a distância

da Lua.b) Num ponto cuja distância da Terra é oito vezes a distância da

Lua.c) Num ponto cuja distância 'da Terra é sete vezes a distância

da Lua.d) Num ponto cuja distância da Terra é seis vezes a distância

, da Lua.e) Na metade da distância entre a Terra e a Lua.Resolução:

-4f ,...

Decorre, então, extraindo-se a raiz quadrada dos dois membros:9(d - Xl) = Xl ::::>

::::> 9d - 9XI = Xl ::::> IXl = -To d I (V)Mas, como X:!= d :Xl, vem:

9X2 = d - - d ::::>

10

::::>ix:!= ~ d i (VI)

Observando as relações (V) e (VI), temos, finalmente, que I Xl = 9X2 I,ou seja, o corpo será igualmente atraído quando estiver num pontocuja distância dâ Terra seja nove vezes a distância que o separa da Lua.Resposta: alternativa a.

corpom

-~III

~Lua'\ mL, C''(, ~

Xl X2

L- _!I - - -J

. .222 r ~~

4. MEDICINA DE SANTOS - Baseados nas leis de Kepler, não podemosdizer que:

a) os planetas se movem em elipses e em um dos focos está o Sol.

b) um raio vetor do Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.c) o quadrado do período de rotação de um planeta é proporcional ao cubo

do semi-eixo maior da trajetória do planeta.d) a excentricidade das trajetórias planetárias é desprezível, podendo-se con-

siderá-Ias circulares.

e) a velocidade linear escalar de um planeta é mínima no ponto mais próximoao Sol.

I. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Copérnico contrariou o consenso geralde sua época, sustentando que os planetas giram em torno do Sol. Quandouma teoria contraria o consenso geral, deve-se:

a) admitir a teoria como falha, pois o consenso geral sempre acaba preva-.Iecendo.

b) procurar uma evidência experimental que confirme o resultado da teoria.c) alterar a hipótese, a ponto de enquadrá-Ia no consenso geral.d) descartar o consenso geral, pois ele não tem validade em ciência.e) descartar tanto a teoria quanto o consenso geral.

2. FEl - Contribuindo valiosamente para o Renascimento Científico, JohannesKepler:

a) provou que a Via Láctea é uma aglomeração de corpos independentes donosso Sistema Solar.

b) demonstrou que ó Sol gira ao redor da Terra.4\C) afirmou que os planetas se movem numa órbita elíptica ao redor do Sol.

d) descobriu os satélites de Júpiter.e) negou a teoria heliocêntrica.

S. ITA - Uma das conclusões expressas nas famosas leis de Kepler foi sobreo movimento dos planetas em órbitas elípticas, das quais o Sol ocupa umdos focos.

a) Esta conclusão foi uma conseqüência, e portanto posterior, do enunciadodas leis da Mecânica de Newton.

h) Coube a Sir Isaac Newton interpretar teoricamente estas conclusões combase na Lei da Gravitação Universal e nos princípios da Mecânica clás-sica, que ele próprio havia proposto. .

c) Esta conclusão não apresenta nenhuma relação com o movimento dosengenhos conhecidos como satélites artificiais da Terra.

d) O movimento da Lua em torno da Terra é de natureza diferente daqueledescrito por Kepler.

e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira'.

)..a) S = S'b) S = 2S'c) S = S'/2

B ,..--<.

-...........

I ~" 'f

i7' - ~

\_8-.- ~S:--- ,.. A'

\ . .c:;:).. --.-/ - - -8'A . -..J..

/- /'/'

-

6. MEDICINA DA SANTA CASA - A terceira lei de Kepler afirma que"os quadrados dos tempos de revolução dos planetas são proporcionais aoscubos de suas distâncias médias ao Sol". De acordo com esta lei, é corretodizer que:

a) planetas mais afastados do Sol são mais velozes.

b) dependendo de suas massas, planetas diferentemente afastados podem termesma velocidade.

c) todos os planetas do Sistema Solar têm a mesma velocidade angular.d) as velocidades dos planetas são inversamente proporcionais aos quadrados

das distâncias ao Sol.

e) o "ano" de Mercúrio é menor que o da Terra.

3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Na figura abaixo está representada aórbita de um planeta em torno do Sol. Os arcos AB e A'B' são percorridosem iguais intervalos de tempo. Qual é a relação entre as áreas S e S'?

d) S = (S')2e) S . S' = 1

7. MEDICINA DE SANTO AMARO - O raio da órbita da Terra é de

1,49 . 1011 m e o da órbita de Urano é de 2,87 . 1012 m. O período deUrano é de:

a) 5 anos terrestres.b) 40 anos terrestres.c) 60 anos terrestres.d) 84,5 anos terrestres.e) 102,4 anos terrestres.

224

8. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Marte está 52% mais afastado do. Sol do que 'a Terra. O ano (período do movimento de revolução .::mtorno

do Sol) de Marte, expresso em ànos terrestres, é de:a) 1,52. d) 3,7.b) 1,87. e) Um resultado diferente dos anteriores.c) 2,3.

9. PUC (SÃO PAULO) - O movimento de translação da Terra é:

a) retilíneo uniforme. d) retilíneo, mas não-uniforme.b) circular uniforme. e) circular não-uniforme.c) periódico.

13. UNIVERSIDADE DE TAUBAT~ - Na lei de atração universalmlm2

G -, a constante G:r2

F =')j

a) tem sempre o mesmo valor.b) depende do meio.c) depende de ml e ~.d) depende de r.e) depende de ml> ~ e r.

10. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - São dadas as leis:

1. Os planetas descrevem órbitas aproximadamente circulares, tendo o Solcomo centro.

2. As velocidades areolares dos planetas são constantes (o raio de giro queune cada planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais).

3. A relação entre o quadrado dos períodos dos movimentos dos planetas eos respectivos cubos dos raios de giro tem o mesmo valor para todos osplanetas.

Destas leis, podemos concluir, em relação aos planetas do Sistema Solar, que:

a) os mais afastados do Sol têm. maior velocidade escalar média.i,) o período de revolução dos planetas não depende da massa dos mesmos.

c) quanto maior a massa, maior deve ser a distância do planeta para quea órbita seja estacionária.

d) os planetas situados à mesma distância do Sol devem ter a mesma massa.e) todos os planetas se deslocam com mesma velocidade escalar média.

11. MEDICINA DA SANTA CASA - A força gravitacional com que a Terraatrai a Lua:

a) é menor do que a força com que a Lua atrai a Terra.b) é a mesma para todos os planetas.c) é pouco maior do que a força com que a Lua atrai a Terra.

ld) é de mesma nature2;a da força que faz uma fruta cair de uma árvore.e) é uma força nuclear.

14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A lei de Newton da gravitação univer-M'M" Fd2

sal estabelece que F =G -. Pode-se, então, escrever que G =-.d2 M'M"

~ correto afirmar que G é:I - diretamente proporcional a F.

11 - inversamente proporcional às massas M' eM".111- diretamente proporcional ao produto Fd2.

Responda de acordo com o seguinte código:a) Só I é correta: d) Todas são corretas.b) Só 11 é correta. e) Todas' são incorretas.c) Só III é correta.

15. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - .No sistemade gravitação universal tem as unidades:

a) m-2kg3s-1.'b) m3kg-1s.: 2.c) m-1kg-2s3.

MKS, a constante

d) m3kg-2s-1.e) m-1kg3s-2.

12. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - A Lei da Gravitação de Newtondiz que:a) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta

do .quadrado de suas distâncias.b) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa

do quadrado de suas distâncias. 'c) os corpos se atraem na razão direta de suas massas e na razão inversa

de suas distâncias.d) os corpos se atraem na razão inversa de suas massas e na razão direta

de suas distâncias.

~) os corpos se atraem na razão direta do quadrado de suas massas e narazão inversa de suas distâncias.

16. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - A força gravitacional quea Terra exerce sobre você é maior que a que você exerce sobre a Terra,porque a massa da Terra é muito maior que a de um homem.Assinale:

a) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justifica-tiva da primeira.

b) Se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justi-ficativa da primeira.

c) Se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.,d) ~e a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.e) Se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.

17. FUNDAÇÃO CARLOS .CHAGAS - Qual é a forçacional entre duas. massas de 100 kg cada uma, distantes(Considere G igual a 6,7 . 10-11 N . m2/kg2;)a) 104N. d) 6,7 . 10-9 N.b) 102N. e) 6,7 . 1O-7.N.c) 6,7N.

de atração gravita-1 m uma da outra?

226

18. UNIVERSIDADE DO PARANÁ - As forças gravitacionais variando pre-porçionalmente às massas, a atração que a Terra exerce sobre a Lua é me-nos intensa que a atração que a Lua exerce sob ré a Terra? Justificar.

23. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Para corpos que estão à mesma dis-tância do centro da Terra, a intensidade da força de atração gravitacional(F) entre a Terra e estes corpos é diretamente proporcional às suas massas(m). Qual dos seguintes gráficos melhor representa a relação entre F e m?

F H iF19. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - A força de atração gravita-cional entre dois corpos celestes é proporcional ao inverso do quadrado dadistância entre os dois corpos. Assim â que, quando a distância entre umcometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Solsobre o cometa:a) diminui da metade.b) é multiplicada por 2'.c) é dividida por 4.

20. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A intensidade da força de atração

gravitacional entre 2 esferas de massas (M) é (F)' quando a distância entre,elas é (D). Qual é a intensidade da força de atração entre 2 esferas demassas M/2 quando a distância entre elas for 2D?

F ~ Fa) - . c) -

4 16

b) ~ d) 2F8 e) 16F

a)

om

b)

d) é multiplicada por 4.e) permanece consfante. m m

oF F

d) ~o

m m

c),

d

24. UNIVERSIDADE DE BRASlLIA - Segundo a teoria da gravitação uni-versal de Newton, matéria atrai matéria na razão direta de suas massas ena inversa do quadrado da distância que as separa. Ora, se eu coloco pró-ximas duas massas sobre uma mesa horizontal, não se nota nenhum desloca-mento mensurável. Daí devo concluir que:

a) a lei é incorreta, pois necessariamente deveria haver um deslocamento.b) a lei é correta, mas a força é bastante pequena em comparação com a

força de atrito.c) a lei é correta, mas não se aplica à experiência em questão e sim somente

a corpos no espaço interstelar.d) a lei é incorreta, pois não leva em consideração a força de atrito.e) a lei é correta sotnente para grandes massas.

25. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Suponha que a .Terra tivesse sidooriginada com o dobro de sua massa e que seu volume fosse o mesmo quehoje apresenta. Com base nisso, julgue as afirmações abaixo: -

I - As árvores seriam menos altas e com troncos mais grossos.11 - As pernas dos animais seriam mais musculosas e os ossos mais

espessos.111 - O ar seria menos denso.

26.. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A intensidade da força de atração

gravitacional entre dois corpos de massas M e M' é F. A distância entreos centros de gravidade dos dois corpos é D. Que massas dois outros corpospoderiam ter e qual deveria ser a distância entre seus centros de gravidadepara se atraírem com força de mesma intensidade (F)?a) 2M, M' e 2D. d) 2M, 2M' e 2D.b) 2M, 2M' e D. e) M/2, M' e 2D.c) 2M, 2M' e D/2.

21. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO - Uma das conseqüências daLei da Gravitação Universal é que a força exercida pela Terra sobre um'corpo na sua superfície: ,

a) deixa de existir se o corpo está no interior de um recipiente a vácuo.b) pode ser calculada, muito aproximadamente, como se toda a massa da

Terra estivesse concentrada no centro da TeI:ra.c) depende somente da massa do corpo e do seu volume.d) é inversamente proporcional ao raio da Terra.e) não depende da massa da Terra.

22. UNIVERSIDADE DA BAHIA - Qual dos seguintes gráficos melhor re-presenta a intensidade da força (F) de atração gravitacional entre dois cor-pos em função .da distância (d), entre eles?

J--J/~d ~dO O

F

dJl~

F

OF

e)

ddO

228

27. FILOSOFIA-USP - Duas esferas homogêneas A e B têm massas queestão entre si como I e 4. Seus centros distam d. Em que posição deveráser colocada uma terceira esfera homogênea C sobre a reta que passapelos centros de A e B, para que a resultante das ações gravitacionais,exercidas pelas duas primeiras sobre C, seja nula? Exprimir o resultadoem função da distância d.

-r-- -- d

B

-- ---

~ ~c- ,I

I ..L.-... 1...L

r2

~1. b 2. c 3. a

4. e; d (Baseados unicamente nas leis de Keplera excentricidade das elipses seja desprezível.)

5. b 6. e 7. d 8. b 9. ciO. b 11. d 12. b

não podemos inferir que

13. a (G é constante universal.)

14. e 15. b 16. d 17. e

18. Não. Tendo em vista o Princípio da Ação e Reação, as forças que surgemna interação gravitacional de duas massas devem ter mesma di~eção,sentidos contrários e mesma intensidade.

19. d 20. c 21. b 22. d 23. a

24. b (A intensidade da força gravitacional é bastante pequena em comparaçãocom a intensidade da força de atrito de destaque.)

25. I - C; 11- C; 111- E.

26. d

~. {

1rI =-d

3

2f2 =-d

3

,I

íIIaI8

Campo Gravitacional

.'

11"0.....-'

',~,nt.--

.

232 ~~,. Variaçãode g* com a altitude - Podemos perceber pela expres-

GMsão da intensidade do vetor-campo-gravitacional, g* = -, que, à

d2medida que nos aproximamos da Terra, d diminui e 9 aumenta até

atingir o valor I g; =~ I, que é o valor da intensidade do vetor--campo-gravitacional em todos os pontos da superfície da Terra.Observar que nestes pontos d = R. Nestas condições, para G ==6,67 . 10-11N . m2/kg~ (constante universal da gravitação), M== 5,98 , 1024 kg (massa da Terra) e R= 6,37 . 10° m (raio médio daTerra) temos:

I g;:=:: 9,83 N/kg I

-+

Aceleração da gravidade (g)

Todos os resultados obtidos anteriormente no estudo do campogravitacional junto à superfície terrestre não levam em conta a rotaçãoda Terra ao redor do seu eixo.

Quando um corpúsculo junto à Terra acompanha o movimentode rotação ao redor do seu eixo, ele tem uma aceleração centrípeta

-+Descontando-se vetorialmente este efeito de rotação (ad do vetor-

-+

-campo-gravitacional da Terra em sua superfície (g;), obtemos o que-+

se convenciona chamar de vetor-campo-da-gravidade 9 ou aceleraçãoda gravidade, ou seja:

I ~=;; -;c I

-+(ad em relação a este eixo.

lelxo

~ -..::-..

~1::' - ->-;

.

c. . ... ....

(r. ~

\~ ,f \1 ~ ) )1'~~. /

I

Esboçando graficamente esta variação de g* em função de d, parapontos externos à Terra, temos:

g'eixo

J -+

< r~~_':~,...~ ~' l -,

k ~~ - ~J\ "---~r~ -- I.J;

i

d

-'

~

Ao produto do vetor 9 pela massa do corpúsculo m denominamos~

peso (P),

Ir; == m~ .1-. -+

A linha de ação do peso P é a linha de ação de 9 (que, em geral,não passa pelo centro da Terra, como indica a figura acima).

eixo,....

e- l!lc:.

. -

~lC-~~

(:::_~.~-~ -- ~~.

\~. 1

, I IJ. /1/

I

234

Aliás, quando utilizamos um fio de prumo encontramos a linhade ação do peso, que é denominada vertical do lugar.

Normalmente despreza-se o efeito da rotação da Terra ao redordo seu eixo, isto é, despreza-se a aceleração centrípeta do corpúsculo-+ -+(ac = O).

Nos pólos isto é sempre verdade, pois ali não há rotação. Quando,. -+ -+-+

ac = O, teremos g = g;, ou seja, o vetor-campo-gravitacional na-+ -+

superfície (g;) coincide com o vetor-campo-da-gravidade (g).

Decorre, então, que I p=~= m~ I (quando desprezamos oefeito de rotação) e, neste caso, a linha de ação do peso passa pelocentro da Terra.

Isto significa que o peso de um corpo é diferente nos diversospontos da Terra. Nos pólos o peso tem intensidade máxima, poisali não há rotação. No Equador o peso tem intensidade' mínima, poisali é onde o efeito da rotação se faz sentir mais.

l' 'mh!~ ~ , ,...,--,

, -cT-~-~Pmln

~

\...

P~áx tI

./

Admitamos um corpúsculo de massa m nas proximidades daTerra e desprezemos os efeitos do ar (resistência do ar, empuxo,viscosidade).

-+Neste caso, a úl)ica fbrçfl que age sobre ele é a força-peso P.

Vem, então: \-+ -+P = mg (teoria do campo da gravidade);-+ -+P = my (Princípio Fundamental da Dinâmica).

Identificando as duas expressÕes anteriores, temos:

-+ -+ ~~y = IJ1'g=> ~

-~~~

I~

Daí concluímos que, quando a única força que age sobre o corpo-+

é a força-peso P, independentemente de sua massa, ele adquire uma-+ -+

aceleração y que coincide com a aceleração da gravidade 9 que, comojá sabemos, é função apenas do local e da Terra.

Isto é importante, pois explica, por exemplo, o fato de corposde massas diferentes, abandonados do repouso e da mesma posiçãono vácuo, caírem igualmente, pois ambos têm a mesma aceleração.

bola de chumbo pena

<SII.\')Co

chegam ao solono mesmo instante

A figura só tem sentido no vácuo, pois, se os efeitos do ar fossemsentidos, os corpos chegariam ao solo em instantes diferentes.

~-+

1. Note que a unidade de 9 pode ser dada em m/s2 no SI.-+

2. O vetor-campo-da-gravidade (g) varia com a posição do ponto da-+

superfície terrestre. Chama-se vetor-campo-normal-da-gravidade (gnormal)ovetor-campo-da-gravidade obtido ao nível do mar, latitude de 45., cujaintensidade vale 9 = 9,80665m/s2.

-+3. A tabela abaixo mostra valores de 9 ao nível do mar em latitudesdiferentes:

I

I .l'"/~ À

~ :;"".1 --f""""""'-,."/ I / .........

,. '. .c L .. "

'-- ..: t ~ --:-'~

, l

J./

NIVEL DO MAR

Latitude À g(m/s2}

O. (Equador) 9,780

10. 9,782

20. 9,78630. 9,79340. 9,80250. 9,81160. 9,81970. 9,82680. 9,831

90. (pólos) 9,832

236 ~~~ 4. Variaçãode -;. em pontos internos à Terra.

5. Outros dados relativos ao Sistema Solar:

\

Â..L, aIM.?'''C /,I f

~\ g~,\. .\r , V\ I

supei'flcie da Terra

Admitamosa Terra como uma esfera homogênea de centro C e densidadep. Para um ponto a situado no seu Interior a uma distância r do-+centro, verifica-se que o vetor-campo-gravitacional naquele ponto (g;)

é devido apenas à massa MI da Terra localizada na esfera de centro C eraio r, cujo volume é VI,Aplicando a expressão da intensidade do vetor-campo-gravitacional ao

M1 4ponto a, temos g~ =G - 2 ' onde M1=pVi = P . -'!tr3.

1 r 3

r2

Corpos em órbita

Quando um corpo é mantido em órbita ao redor de um planetasob a ação exclusiva da força gravitacional, ele é denominado satélitedo planeta.

Em geral. o corpo é colocado em órbita através de um lançamentohorizontal a partir de um ponto conveniente situado a uma distânciad do centro do planeta.

"' - ~~

:' ~, \

I \d/.~

" "

~.. '" .....

~'"'I /

, I ;

-<-~,>

.~~

~'" Terra/

Logo:

g~ = G

4P . -'1tr3

3

e vem: . 4gl = Gp . -'!tr

34

Como na expressão anterior Gp . - '1t = K = cte, decorre:3

I g~ = Kr I

Isto significa que a intensidade do vetor-campo-gravitacional g: nos pontosdo interior da Terra varia linearmente com a distância r destes pontos aocentro da Terra.Graficamente teríamos:

Rr Qualquer que seja a. intensidade da velocidade V de lançamento,

é possível demonstrar-se que a órbita descrita pelo corpo é umacurva cõnica, isto é, elipse, circunferência, parábola ou hipérbole. Ocentro do planeta se encontra sempre num dos focos (ou no foco)da curva cônica.

1./

Ralo médio Massa Intensidade do campo(m) (kg) gravitacional na

superfície (N/kg)

Sol 6.96 . 1011 1,98 . 1030 274.40Mercúrio 2.34.10(\ 3.28 . 1O:i 3,92Vênus 6.26 . 10(\ 4,83 . 1024 8.82Terra 6,37 . 106 5.98 . 1024 9.80Marte 3.32 . 1'06 6.40 . 1023 3.92

Júpiter 6.98 . 107 1,90 . 1027 26.46Saturno 5,82 . 107 5,68 . 1026 11.76Urano 2,37 . 107 8,67 . 1025 9,80Netuno 2,24 . 107 1,05 . 1026 9.80Lua 1,74. 106 7,34 . 1022 1,67

238

.:if~~J

v - - -- Igualando as duas expressões anteriores, temos:

-+ -+ 1'-+ -+ I9"'ac = ?,g*~ ac= g*Isto significa que, quando um corpo gira ao redor de um planeta

em órbita circular, a aceleração centrípeta coincide em cada pontocom o vetor-campo-gravitacional no local da ó'rbita.

Em intensidade, podemos escrever:. *al::=g ~

V~~-=g* =>

d

~ I V = VQ*cf I Velocidade do satélite para se manter em9 órbita circular ao redor do planeta.

É importante deixar claro que g*, na expressão anterior, é o valorda intensidade do campo gravitacional do planeta no local da órbitae que a distância d é a distância que vai do centro do planeta ao saté-lite, ou seja, d = R + h, isto é, raio do planeta mais altitude.

Sabemos, também, que pela teoria do campo gravitacional g* =GM

= -. Substituindo este valor de g* na expressão da velocidade,d~

decorre:

v=~=JGM l=jGMdi d

Logo: I V=VQ'ã=jT-=~ I

Observe que á velocidade do satélite em órbita circular nãodepende' de sua massa m.

{ " "'...,.

Infinito

ellpse

. Órbitacircular- Sem dúvida, o caso que mais nos interessa éo da órbita circular.

Para que a órbita circular seja estável, se faz necessário que aforça gravitacional se mantenha perpendicular à velocidade em cadainstante do movimento. Assim sendo, a força gravitacional desem-penha o papel de resultante centrípeta e o movimento decorrente écircular e uniforme.

m,<.vJI, \M'\C F\1\' ., m

l ' V

~F 'mI- d .:

~ '

1. Perfodo de revolução

* 2dGM 21Ç

Sendo ac = g , então w = -, onde w = -.d2 T

4'11:2 GM 4'Jt2,,Logo: -d=-~T2=-d3 =>

T2 d2 GM

I I 4'Jt2~ 12 = Kds ,onde K = - = cte,GM

Observemos que esta expressão nada mais é do que a .Lei dos Períodos'de Kepler estendida ,a satélites, Atente para o detalhe de que a constanteK = 4'lt2/GM depende exclusivamente da massa ~o corpo central M,sendo comum para todos os satélites que giram ao redor do planeta.Note que o período do satélite não depende de sua massa m.

-+ -+

Pela teoria do campo gravitacional, temos F = mg*.-+ -+ -+

Pelo Princípio Fundamental da Dinâmica, F = Ré = mac.

240 :§~2. A Lua não gira em torno da Terra Em (2) temos:

Mg=G- onde

R2 {

G = 6,7 . 10-11 N . m2/kg2

M = 6,4 . 1023kg

R = 3,2 . 106 m

-----

Lua

~)f!::;;;'.

.-

..J<3"~

""@. ,,'~~ ,ir>'

Logo:

Na realidade. o sistema "Terra.Lua" gira em torno do centro de massacomum que se localiza dentro dos limites da superfície terrestre. jáque a massa da Terra é 81 vezes maior que a massa da Lua.Aproximadamente temos x = 4600 km (o raio da Terra é deaproximadamente 6400 km).

6,4 . 102:1g = 6,7 . 10-11 .

. (3,2 . 106)2

Substituindo este valor em (1),

{

g = 4,2 N/kgP = rng onde .

rn = 70,Okg

Assim: )P = 70,0 .4,2 => P =194 N

Ou, levandoem conta os algarismossignificativos:

I P =2,9 . 102N I

=> g = 4,2 N/kg

decorre:


2. UNIVERSIDADEDE ALAGOAS- Próximo à superfície da Terra, aaceleração da gravidade tem um valor aproximado de 10 m/s2.Qual será o seu valor a uma altura igual a um' raio terrestre, emrelação à superfície da Terra?a) 20 m/s2b) 10m/s2Resolução:

c) 5 m/s2d) 2,5 m/s2

# .."f

1. UNIVERSIDADE DE ViÇOSA - O peso de um homem de 70,0 kg,na superfície de um planeta cuja massa é de 6.4 . 1023kg e cujoraio é de 3,2 . 106 m, vale: (Dado: G = 6,7 . 10-11N . m2/kg2.)

) a) 2,9 . 102N. d) 9,3 . 108N.b) 6,86 . 102N. e) 4,29 . 1012N.c) 7,0. 10N.

Resolução: A intensidade do peso P de um corpo de massa m na super-fície de um planeta, onde a intensidade de aceleração da gravidade ég, pode ser expressa por P.= rng (1).

Desprezando-se os efeitos da rotação da Terra e admitindo-a esférica,M ,

podemos escrever g= G - (2), onde M e a massa do planeta TerraR2

M

.Considerando a Terra perfeitamentezando os efeitos da rotação, temos:

Mg*= G-'= 10m/s2 (1)o R2

A uma altura h = R decorre

esférica e homogênea e despre-

e R é o seu raio.g*=G

M

(R + h)2

que:M

=>g* = G (2R)2 => g* = G 4R2

M(2)

242 ~~j'

Levando (1) em (2), temos:

g* 10g*= ~=> g*= -=>Ig* = 2,5m/s21

4 . 4 .

Como Rx = 2RT e Mx = 6MT, temos:

gx~~

R~ =>~-gT

MxR~

MTR~=>~-

gT

6MTR~

MT(2RT)2=>--

gT si~R~Observação: A expressão aceleração da gravidade para pontos externos

ao planeta é imprópria. A expressão adequada é vetor-campo-gravitacional.

Resposta: alternativa d. gx 6~T~ ~=>~= ~4r; =>~Resposta: alternativa b.

3. UNIVERSIDADEDE SÃO CARLOS- O diâmetro dê um planetaé o dobro do terrestre e sua massa é seis vezes maior que a daTerra. A razão entre a aceleração da gravidade na sua superfíciee a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:

1 1a) -. d) -.

U 33 . 3

b) -. e) -.2 4

c) 3.Resolução:

J

M~\C

MT

O~,

4. FUVEST - Um homem na Terra pesa 100 quilogramas-força(1000 N). ~a) Qual a massa desse homem?b) Qual seu peso em Júpiter, sabendo que, comparado com a

Terra. esse planeta tem massa 320 vezes maior e raio 11 vezesmaior? (Adotar gT = 10 mjs~ na superfície da Terra.)

Resolução:a) A iRtensidadedo peso do homem na Terra (PT) pode ser expressa

~~=~ .

Então:

PTm=- onde

gT {

PT= 1 000 N

gT= 10 mjs21 000

Logo: m =10

=> I m= 100kg I

b) Admitindo os planetas Terra e Júpiter esféricosdesprezando os efeitos de rotàção, temos:peso do homem na Terra (PT)

MTlTIPT=G (I)

R2 ..r

=>

Planeta X

.'"

/ ...'~.1"I?

I1I

T

/,;I

I Planeta Terra

e homogêneos eRx = 2RT

Se o diâmetro do planeta é o dobro do terrestre, isto significa que oseu raio também é o dobro.

Admitindo 01>planetas esféricos e homogêneos e desprezando os efeitosda rotação:

Mxpara o planeta X: gx = G ---=-

R~MT

para o planeta Terra: gT=G -R~

'~.

-

.

'

~-

.

t. m- -;.-'" ,.c- '7 t"'f . ,.l' M P;-

. T $t.. ,,~ RT

.r~

244

peso do homem em Júpiter (PJ)MJm

PJ = G (2)R2J

Dividindo membro a membro as expressões (2) e (1), decorre:

~ MJrpR~PJ--

PT ~ MT?'R~

~ ~m

~MJ

J ./B.,; R J

~~ J

'I

~~..

PJ -=>--PT {

MJ = 320MT

MJR: onde RJ = 11RTMTRJ PT = 1000N

Logo:2

PJ 320MTRT 320 320 . 1 000 I I-= =-=>PJ= => PJ~2645N1 000 MT(11RT)2 121 121

Respostas: a) 100kg; b) 2645 N.

5. AGRONOMIA LUIZ MENEGHEL - Um satélite artificial gira emórbita circular em torno da Terra a 9,0 . 103km do seu centro.Sendo a massa da Terra 6,0 . 1024kg e G =6,7 . 10-11 N . m2fkg2,a velocidade orbital do satélite será de aproximadamente: .

a) 7,0 . 103 m/s. d) 6,7 . 105m/s.b) 7,0 . 102m/s. e) 7,0 . 104m/s.c) 6,7 . 103 m/s.

Re'Solução:

/ / ' :\// - -- '~,

I ~

I d "'. -,I r ~ //~..! l~' - "'\v\ ~ J; :.f.~ ,\ I '"M ;;' /, /" /

" ~/"---"

.~~~

Como já vimos na teoria, .a intensidade da velocidade de um satéliteem órbita circular ao redor de um planeta é dada pela expressão

V = jG M, onde G = 6,7 . 10-11N . m2jkg2, M = 6,0 . 1024kgd .

e d = 9~ . 103km = 9,0 . 106m.Logo!

V=

6. MEBICINADA SANTA CASA - Considere o sistema Sol-Terra.. Admita que o movimentoda Terra em torno do Sol seja circulare uniforme. Despreze os efeitos de outros corpos do SistemaSolar. Suponha conRécidos os valores de:r = raio da Terra;R=distância entre os centros da Terra e do Sol;p = densidade da Terra;T= período de revolução da Terra em torno do Sol.

Podemos afirmar que a força de atração média, exercida pelo Solsobre a Terra, é:

a) 21c Rpr.5 T

b) ~1t3~3 T2r3

c) ~ 1t:~Rpr3 .3 T2

Resolução: A força de atração gravitacional tem intensidade F expressaGMm.

por F = , onde m = massa da Terra e M = massa do Sol. Sa-R2

16d) -1tRpT-1.

3

e) nenhuma das anteriores.

4bemos que m = pV = P . -,ma (I).

3 . m--

! (T.

)",-' F ~,1/

0'.

I , R" C&1/ ..I f ,t. (8) :: M \11 "" "\ ,\ /\ ,\

" "---..

246 :§~

F= GMm ~ F =R2

3. UNIVERSIDADEDO RIODEJANEIRO- No interior de um satéliteque gira em torno da Terra,em órbita circular, a aproximadamente200 km de altitude, um astronauta tem a ..sensação" de não terpeso. Qual das explicações abaixo é correta?a) A atração da Terra é ..desprezível" para objetos a esta altitude.b)' Uma força de interação oposta em sentido e igual em módulo

à força de atração terrestre a esta se adiciona, dando resultantenula sobre o astronauta. . .

c) Tanto o astronauta quanto o satélite têm a mesma aceleraçãoem relação a um sistema inercial fixo no centro da órbita.

d) A atração da Luasobre o astronauta anula a força da atraçãoterrestre.

e) A atração conjunta do Sol e da Lua sobre o astronauta anula aforça de ay:ação terrestre.'

Resolução: Não havendo necessidadede trocar forças entre si pl,ira se-conservarem em órbita e possuindo ambos a mesma velocidade V e a- -mesma aceleração y = g*, o astronauta não toca o satélite e "flutua"na nave. Daí a "sensação" de não ter peso. Este e'stado é chamado

Por outro lado, a força de atração coincide com a resultante centrípetae temos:

Logo:41t2R3

- (11) (Esta expressão permite calcular a massa da Terra.TZG

Substituindo as expressões (I) e (11) na expressão de F, temos:41t2R3 4

G p . -1tr3T2G 3

7. CESCEA- Admitindo-se que a Lua gira em torno da Terra, emtrajetória circular, cuja única causa é a atração terrestré, comvelocidade constante v, sendo a massa M, o que você pode dizersobre o trabalho 't executado nesse deslocamento?

a) 't = Mv. d) 't = zero.1

b) 't=-Mv2.2

c) 't = infinito.

Resolução: A força gravitacio--nal F que a Terra exerce sobrea Lua, mantendo-a em órbita,é perpendicular ao seu deslo-camento f1S em todos os tre-chos da trajetória. Logo, emcada trecho elementar temos:

GMI}'1F=Rc ~ -=.Jw2R

R2 .,.

Decorre que:w2R3

M= , onde w= 21tTG

M=

R2

E resulta:

I F=~n' R;' I


'tF = Ff1S cos 90o~ I'tF = O I


- -de "imponderabilidade" (y = g* para passageiro e veículo).

"/

~.~

~~,. .

/

e) Nãq sei.

/I'A situação' física aci~a discutida é semeJhante à de um elevador (compassagéiros em seu interior) sob a ação exclusiva da gravidade quandoocorre o rompimento do cabo de sustentação.

,-.,',0"0" ,1".

,/ ~'"

/ F . f1S/ :,," ,...e; .: ,,j'~ .

'/ \I ~~ / \1V'~ ~

~ ~, \\ ~~.; I\ ~~ I

\ . < ,/

1~~E-1l

~ <~ I,

I~ I

/=:dI

I/

;;

/

248 :§~9. IME - Determinar a relação entre os pesos de um corpo, obtidos

em uma balança de mola, no Equador e no Pólo Norte, ambos aonível do mar. Considerar a Terra esférica com raio R e massa M.

Resolução: Quando um corpo de ma'ssa m se encontra apoiado sobreuma "balança de mola" na superfície da Terra, sobre ele atuam duas

-+ -+forças: força de atração gravitacional (F) e força normal de contato (N).

N

No Pólo Norte:N

w = velocidade angular

~ ~.da Terra em tornodo seu eixo. .

paralelo ~ - . - -'oI

I

C-i - - ~

w

M0

MI

1

No Pólo Norte não há rotação. Logo, ac = O.

Neste caso, r ~ = p'on"= F= G* I (I), ou seja, no Pólo Nortea força-peso coincide com a força gravitacional.

No Equador:

N N

-+Decompondo a força F na direção da força normal e na direção doraio do paralelo que passa pelo lugar, temos:

C0w

C-- ~-Rc-,t A mI /

cV--T);

~--M'--

No Equador a aceleração centrípeta do corpo tem intensidade dadapor ac = w2R.

Aplicando o Princípio Fundamental em relação a um referencialfixoao centro da Terra, temos:Rc = mac =>

=> F - N = mac

Logo: N = F - mac.

Como N = P, decorre:P Equador= F - mac =>

=> "PEqUadOr= G ~~ - mw2R I (2)

Na direção da força normal temos N = P, pois o corpo está em equi-líbrio nesta direção. Isto significa dizer que a indicação da "balançade mola" (N) coincide com a intensidade da força-peso quando'o corpose encontra em equilíbrio relativamente à superfície da Terra.

Na direção do raio do paralelo, aplicando oPrindpio Fundamental emrelação a um referencial fixo ao eixo da Terra, temos Rc =mac== mw2r, onde r é o raio do paralelo.

250

Assim sendo, substituindo (1) em (2), temos:

I PEquador= PNorte--.:. mw2R IResposta:

'I PEquador= PNorte- mw2R I

{

m é a massa do corpo;

onde w a velocidade angular de rotação

R o raio da Terra (6400 km). '

da Terra(~ rad) .

12 h '

--

M1. ITA - A relação g =G- entre o valor da aceleração da gravidade na

R2

superfície da Terra e os valores da constante da gravitação universal, damassa e do raio da Terra:

a) é resultado de uma fórmula empírica elaborada pelos astrônomos e válidapara qualquer planeta de forma esférica.

b) dá o valor correto da aceleração da gravidade em qualquer ponto daTerra desde o pólo até o Equador.

c) pode ser obtida teoricamente, tanto no caso da Terra, como no caso deum planeta qualquer de forma esférica, homogêneo, e que não esteja emrotação em torno de um eixo relativamente a um sistema de referênciainercial.

d) dá o valor correto de g mesmo para pontos internos à superfície daTerra, desde que R seja interpretado como a distância entre este pontoe o centro da Terra.

e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

2. ITA - A aceleração da gravidade, 3,600. 104 km acima, da superfícieda Terra (o raio da Terra é igual a 6,40 . 103 km), vale aproximadamente:

a) 2,23 . 10-1 m/s2.b) 1,48 m/s2.c) 9,82 m/s2.d) 1,00 m/s2.e) Nenhuma das respostas acima é válida.

(

3. ENGENHARIA DE SÃO JOSf: DOS CAMPOS - Se g é a aceleraçãoda gravidade ao nível do mar, a aceleração a uma altura h acima destenível,

(SUPO~dOR2 o raio da Terra, será: (h + 2R )

2

a) g d) gR+h R

R + h 2

2h + RR+h

)2

c) g2R

4. FESP - O valor da aceleração da gravidade a uma altitude igual a noveraios terrestres vale aproximadamente:

10a) -m/s:!.

9

1b) - m/s2.

10

9 .c) - m/s2.

10

9d) -m/s2.

100

e) Nenhuma das alternativas.

5. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - A

corpo é dada por P =k Mm , onde:d2

de gravitação;

intensidade da força-peso de um

k = constante universalM = massa da Terra;m =massa do corpo;d =distância entre os centros de gravidade da Terra e do corpo.

Qual é a intensidade do campo gravitacio'nal da Terra no centro de gravi-dade do corpo?a) kmb) kMc) Mml d2

d) kml d2e) kMI d2

6. PUC (SÃO PAULO) - O campo gravitacional da Lua, na superfície damesma, é aproximadamente 1/6 do da superfície da Terra; uma pessoa demassa 70 kg ,deve pesar aproximadamente, na Lua:a) 70 N. d) 115 N.b) 180 N. e) 70 kgf.c) 700 N.

7. PUC (SÃO PAULO) - Aa) 700 kg.

b) ~ kg.6

c) 700 N.

massa dessa pessoa na Lua será:d) 115 N.

e) 70 kg.

252

8. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO - Um corpoaltitude igual ao raio da Terra. Podemos afirmar que:

a) seu peso não varia.b) seu peso reduz-se à metade.c) seu peso reduz-se a 1/4 do valor ao nível do mar.d) sua massa reduz-se à metade.e) nenhuma das respostas satisfaz.

9. MACKENZIE- Que alteração sofreria a intensidade da aceleração dagravidade se a massa da Terra fosse reduzida' à metade e o seu raio di-minuído de 1/4 de seu valor real?

é levado a uma

10. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Duplicando-se o raio de um planeta, man-tendo a sua densidade constante, a aceleração gravitacional na sua super-fície se tornará:a) oito vezes maior.b) oito vezes menor.c) duas vezes maior.

d) duas vezes menor.e) quatro vezes menor.

11. MACKENZIE - Qual é o valor da aceleração da gravidade do Sol se oseu raio é li O vezes maior do que o da Terra e sua massa específica médiaé 1/4 da massa específica média da Terra? A aceleração da gravidade nasuperfície da Terra é de 9,8 m . S-2.

12. IME - Um astronauta equipado, utilizando o esforço máximo, salta 0,60 mde altura na superfície terrestre. Calcular o quanto saltaria na superfícielunar nas mesmas condições. Considerar o diâmetro e a densidade da Lua

I 2d

.como sendo - e -. os da Terra, respectivamente.

4 3

13. FUVEST - Considere as seguintes informações: 1) Um corpo de massa3 kg é atraído por uma força de 4,8 N na s\lperfície da Lua. 2) Aceleraçãoda gravidade na Terra é de 10 m/s2. 3) A massa da Lua é de aproximada-mente 1/100 da massa da Terra. 4) O raio da Lua é aproximadamente1/4 do raio da Terra.

Utilizando algumas destas informações, pode-se afirmar que, se um objetofor abandonado próximo à superfície da Lua, sua aceleração será de:a) 10 m/s2. d) 1,6 m/s2.b) 0,10 m/s2. e) 2,S m/s2.c) 0,16 m/s2.

14. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO - Se a aceleração da gravidadena superfície da Terra é g, o seu valor na superfície de um planeta quetenha o dobro da massa e o dobro do raio da Terra será:

a) g. d) g/2.b) 2g. e) g/4.c) g2.

I

..

~~15. MEDICINA DE LONDRINA - Se a Terra tivesse seu raio reduzido à

metade, sem que houvesse alteração em sua massa, o que ocorreria como peso dos objetos que estavam e permanecem sobre sua superfície .depoisdesta redução?

a) Permaneceria inalterado.

b) Ficaria multiplicado por 2.c) Ficaria dividido por 2.

d) Ficaria--multiplicado por 4.e) Ficaria dividido por 4.

'" 16. MACKENZIE - Um foguete elevou-se a uma altura h = O,IR da super-fície terrestre. O raio da Terra é R. Em que proporção variou o peso docorpo do foguete -em comparação com o seu peso na superfície terrestre?

117. UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ - O raio da Lua é - do raio da Terra

4

c a massa da Lua é ~ da massa da Terra. Quando Armstrong pisou80

na Lua, o seu 'peso naquele satélite era:

I, a)-

20

1b) -

80.

do seu ~eso na Terra.1

c) - do seu peso na Terra.S

do seu peso na Terra. d) S vezes o seu peso na Terra.

18. CESGRANRIO - Júpiter, o maior planeta do Sistema Solar, tem diâmetroli vezes maior do que.o da Terr~ e ~assa 320 vezes maior que a terrestre.Qual será, na superfície de Júpiter, o peso de um astronauta e seu equipa-mento, cujo peso total na Terra é 120 N?

a) 120N d) 320Nb) 180 N e) 3 SOO'Nc) 240 N

19. UNIVERSIDADE DE BRASIL1A - Para um corpo na superfície de umplaneta que tivesse o dobro do volume da Terra e massa igual à da Terrateríamos:

a) o peso do corpo no planeta igual ao peso do corpo na Terra.b) o peso do corpo no planeta igual ao dobro do peso do corpo na Terra.c) o peso do corpo no planeta igual à metade do peso do corpo na Terra.d) Nenhuma dessas.

20. MACKENZIE - Se um planeta tem massa igual' ao dobro da massa daTerra e tem raio igual ao triplo do da Terra, então na sua superfície umcorpo de massã 10kg terá peso aproximadamente igual a:a) 2,2 N.b) 4,4 N.c) 6,7 N.

d) 13,3 N.e) n.d.a.

254

21. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - O planeta Mercúrio apresenta um raiocorrespondente a aproximadamente 40% do da Terra, e sua massa atingea 4% d!i terrestre. Qual será o peso, na superfície de Mercúrio, de umcorpo que, na Terra! pesa 196 N?

22. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - A seguinte experiência é feita na Terracom o corpo descrito na questão anterior: sobre uma superfície plana, hori-zontal, sem atrito, aplica-se ao corpo uma força constante de 490 N, efe-tuando-se a medida da aceleração resultante a. Qual o valor de a?Casp esta experiência seja repetida nas mesmas condições, porém na super-fície do planeta Mercúrio, mediremos uma aceleração maiQr, menor ouigual? Explique.f: dado o valor da constante gravitacional de campo terrestre: g = 9,80 N/kg.

23. MEDICINA DA SANTA CASA - Considerando a constante de gravitaçãouniversal com valor G = 6,67 . 10-11 N . m2 . kg-2, a aceleraçãoda gravi-dade ao nível do mar g = 9,8 m . S~2. e o raio da Terra r =6400 km, es-colha, dentre os valores fornecidos a seguir, o que melhor representa a massada Terra, em kg.a) 5,2 . 1022b) 5,5 . 1022c) 5,8 . 1022

d) 6,0 . 1028e) 6,0 . 1024

24. MAPOFEI - A massa da Terra é 81 vezes a da Lua. A distância da Terraà Lua mede 380 000 km. A que distância do centro da Terra se situa o pontoonde o campo gravitacional é nulo?

25. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Indique a afirmativa correta:

a) O campo gravitacional terrestre é uniforme em toda a região situadaentre a Terra e a Lua.

b) A constante gravitacional G tem o mesmo valor para todos os pares depontos materiais.

c) As forças gravitacionais, assim como as ektrostáticas, podem ser tantode atração como de repulsão.

d) A resultante das forças gravitacionais exercidas pelo sistema Terra-Luasobre um çorpo situado a meia distância entre os dois planetas é nula.

e) A força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional àdistância que os separa.

26. MEDICINA DA SANTA CASA - Na Lua, para uma pedra cair em queda'livre, a partir do repouso, da altura de 20 m e atingir a superfície lunar,necessita de 5,0 s. A aceleração da gravidade na Lua, com base nessa medida.expressa em ml S2, é um valor mais próximo de:a) 9,8. d) 1,6.b) 4,9. e) 1,2.c) 2,5.

:§~27. FUVEST - A figura representa o gráfico posição - tempo do movimento

de um corpo lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial Vo,na superfície de um planeta.

o 2 3

Tempo (s)

4 5 6

a) Qual o valor da aceleração da gravidade na superfície do planeta?b) Qual o valor da velocidade inicial Vo?

28. PUC (SÃO PAULO) - O peso de um corpo: .

a) medido ao longo de um meridiano e ao nível do mar permanece cons-tante.

b) medido ao longo de um paralelo e ao nível do mar varia sensivelmente.c) não varia com a altitude.

d) é maior no Equador que nos pólos.e) varia com a latitude.

29. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual das opções abaixo representauma afirmação correta?

a) Uma astronave que gira em torno de um planeta é atraída por ele.b) Na Lua, a aceleração gravitacional é nula.c) Na Lua, o peso de um astronauta é o mesmo que na Terra.d) A massa do primeiro jipe lunar era menor na Lua do que na Terra.e) A aceleração da gravidade tem a mesma intensidade em qualquer lugar

da Terra.

30. UNIVERSIDADE DE BRASfLIA - Devido à rotação da Terra em tornode seu próprio eixo, um corpo de massa M sobre a superfície da Terra, loca-lizado a uma latitude <1>,experimenta uma aceleração centrípeta que é:a) maior do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.b) igual à de um corpo de mesma massa localizado no Equador.c) difícil de ser calculada sem os dados numéricos.d) menor do que a de um corpo de mesma massa localizado no Equador.

31. MAPOFEI - Admitir que a Terra seja uma esfera homogênea de raio R,girando com velocidade angular {t). Exprimir a diferença (gs - gE) entre asacelerações da gravidade no Pólo Sul e no Equador.

J

10

8

j",Posição (m)

6

4

2

.......... r----.../' .........

./ "-

/ '\./ '\.

/ \.\-

256

32. INATEL - Supondo que a Terra seja uma esfera perfeita de raio igual a6 400 km, quanto pesará no Equador um homem que, no Pólo Norte, pesou80 kgf? Dados: I dia = 8,6 ; 104s;

gpõlo=9,832m/s2.

33. MEDICINA DA SANTA CASA - A constante de gravitação universal éG. O período de rotação de um planeta X é T. Sabe-se que no equador deX, mesmo um dinamômetro de alta sensibilidade mantém suspenso na verti-cal qualquer corpo de massa 1 t, acusando força zero. A densidade médiado planeta X é:

1ta)-.

GT41t

b)-.GT

41tc)-.

3GT2

d)~GT2'

31te)-.

GT

34. GESCEA - Quantas vezes mais rápido, aproximadamente, teria de girar aTerra em seu movimento de rotação, para que uma pessoa, situada ao longoda linha do Equador, tivesse seu peso reduzido a zero? São dados:g = 10 m/s2, WT=velocidade angular de rotação da Terra = 7 . 10-5 rad/s,e RT= raio da Terra ~ 6 400 km.

a) 2 vezes. d) 1 000 vezes.b) 18 vezes. e) Depende da massa do corpo.c) 100 vezes.

35. ENGENHARIA DE SANTOS - Instalam-se fios de prumo em diversoslocais na superfície da Terra e aguarda-se. o equilíbrio. Julgar as afirmativas:1) Cada fio de prumo aponta aproximadamente para. o centro da Terra.2) Os fios de prumo são todos verticais, portanto paralelos entre si.3) Exceto nos pólos e no Equador, a rotação da Terra influi na direção da

vertical do lugar.

36. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Qual dos seguintes gráficos melhorrepresenta o módulo da aceleração da gravidade no interior da Terra?(Considere que a distância zero é o centro da Terra, que a distância R é igualao raio da Terra e que a Terra é homogênea.)

E=L'

DL1

~I

I I . ,

a) i db) j d ,) : d

O t' R l O R r O j R

d)L-Ld ')~do R o R

~

;§~

)

~

Um satélite artificial da Terra tem órbita circular. Os testes 37 e 38referem-se às seguintes opções:

-=-- --...r(

""\_-

~II

T'".,~ . ~~ ~, ,',

a) rlJt;~

.

'-" b) /" "', c),, ". \ , " \, I \,. \I, ,(, .

)/ \ I

(Q \'~) J\ \ ~.J\ '

~ \ I

\ I / \ ,I '- ,,'

"' / - '-, /' ~ "... "",", " ..III.(W'..., "' ...~ti'w~ ,---..

('~) ") e) ( -.) ')" / " J'," ,..'" ~Em relação a um referencial inercial:

d)

37. CESGRANRIO - qual das opções anteriores melhor representa a resultantedas forças que atuam sobre o satélite?

38. CESGRANRIO - qual das opções representa melhor a aceleração do sa-télite?

39. FUVEST - Um planeta de massa m gira numa órbita circular ao redor deuma estrela de massa M, com velocidade de translação constante. Esbocegraficamente esta situação, identificando as direções e sentidos das forçasque agem sobre o planeta e sobre a estrela, 'indicando a relação entre osmódulos dessas forças. (Considerar m < < M.)

40. FUVEST - Podemos admitir, numa primeira aproximação, que a Terradescreve um movimento circular uniforme em torno do Sol.

a) Faça uma figura da trajetória da Terra em torno do Sol, mõstrando,num determinado ponto da trajetória, os vetores velocidade e aceleraçãocentrípeta da Terra. .

b) Indicando com FG o módulo da força gravitacional que o Sol exercesobre a Terra e com F'C o módulo da força centrípeta que' atua sobrea Terra, quanto vale FG/Fc?

41. PUC (CAMPINAS) - Em relação a um referencial com origem no centroda Terra e eixos dirigidos para estrelas fixas, um satélite S descreve em tornoda Terra uma órbita circular de raio RI, Julgar:

1. A força gravitacional que atua no satélite é inversamente proporcionala R~'.

2. A força resultante sobre o satélite é nula.3. O satélite possui aceleração.

258

~

""

'\ I-\ v

sRI--.-,',

/

//d) Só a 2 ée) n.d.a.

a) I, 2 e 3 são falsas.b) Só a 1 é correta.c) Só a 3 é correta.

correta. ,

42. CESCEA - Considere-se um satélite artificial em órbita circular ao redorda Terra. Qual das seguintes afirmações é correta:

a) Sobre o satélite age uma força de origem gravitacional que modificaseu movimento inercial, mantendo-o em órbita.

b) Sobre o satélite age uma força de origem gravitacional que se opõe àforça centrífuga, impedindo que ele se afaste da 1;'erra.

c) A inércia que o satélite possui gera uma força centrífuga que impedeque ele caia em direção à Terra.

d) Se não existisse uma força de origem gravitacional agindo sobre o satélite,este afastar-se-ia radialmente da Terra.

e) Não sei.

43. CESCEA - Para um satélite permanecer em uma órbita circular a, umaaltura h da terra (h << R, sendo R o raio da Terra) é necessário que:a) a aceleração centrípeta do satélite ~eja igual à aceleração da gravi-

dade na altura h.b) a força centrífuga seja equilibrada pela força da gravidade na altura h.c) a força de atração da Terra sobre o satélite seja equilibrada pela

atração do Sol sobre o satélite.d) a velocidade angular do satélite seja proporcional à altura h.e) Não sei.

44. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Um satélite está em órbita circular emtorno da Terra.' Desta situaçãoafirma-se: .

I ---:... O vetor-velocidadeé constante.11 - O período é constante.

111- O vetor-aceleração é constante.

Destas afirmações está(ão) correta(s):a) apenas 11.b) apénas m.c) apenas I e 11.

d) apenas I e IIIe) I, 11 e m.

~~

~)

45. ITA - Os satélites de cQmunicação (chamados síncronos) permanecem pra-ticamente estacionários sobre determinados pontos do Equador terrestre~ Comreferência a este fato, ignorando o movimento de translação da Terra:a) um observador terrestre que esteja sob o satélite diz que ele não cai.

porque está fora da átração da gravidade.b) outro dirá que ele não cai devido ao campo magnético que envolve

a Terra.

c) um terceiro invoca a terceira lei de Ne,wton e explica que existe umareação igual e oposta à atração da gravidade.

d) um observador que estivesse no Sol explicaria o, fenôQ;leno como ummovimento circular uniforme sob a ação de uma força única, centrípeta.

e) Nenhuma das afirmações acima é correta.

46. ENGENHARIA DE SANTOS - Um satélite de massa m descreve umaórbita Circular de raio R em torno de um planeta de massa M. Sendo G aconstante de gravitação universal, podemos afirmar que a velocidade escalardo satélite será dada por:

a) V = MGR2 . d) V -= I mOR .

e) V =~R2 .

b) V = MG, R .

c) V =I MG, R .

47. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Deseja-se colocar um satélite emórbita circular ao redor da Terra. Pode-se afirmar que a velocidade do saté-lite será: '

a) diretamente proporcional à. mãs~a do Joguéte. 'b) independente da massa do foguete.c) inversamente proporcional à massa do foguete.d) diretamente proporcional à 'distância do s'atélite ao centro da Terra.e) proporcional ao inverso do quadrado da distância Terra-satélite.

48. UNIVERSIDADE DO PARÁ - Considerando que a Têrra tenha massa Me raio R, a velocidade com que se deve lançar um satélite, para que entreem órbita circular logo acima da superfície terrestre é:

a) MgR. d) ~.b) 2gR. e) v"'g'R".,c) 2 vgm.

49. FUVEST --.:...Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em tornoda Terra,.o seu período seria T. Sendo ,G a constante de gravitação univer-sal, expresse a massa específica média (densidade média) da Terra em funçãode'T e G.' ,

260 ~~50. MEDICINA DE ITAJUBÁ - Um satélite de massa m descreve uma órbita

circular de raio RI em torno. fie um planeta de massa M. A constante degravitação universal vale G. Se este satélite passar a girar em outra órbitacircular de raio R2 = RI/3 em torno do mesmo planeta, a relação V1/V2,entrê os módulos de suas velocidades tangenciais ao longo das órbitas deraios RI e ~, respectivamente,. será:

a) 1/9.b) 1/3.c) V3"/3.d) 3.e) um vafor

55. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Um. satélite move-se numa órbitacujo raio é 2 vezes maior que o raio terrestre. A aceleração centrípeta destesatélite em' torno da Terra será, sendo g a aceleração da gravidade na super-fície terrestre, de:

a) O.b) g.c) 2g.

-<I) g/2.

e) g/4.

diferente d9s anteriores.

56. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS -. Um satélite artificial terrestre, cujamassa é 200 kg, descreve uma trajetória perfeitamente circular com veloci-dade constante, em módulo. A aceleração centrípeta, sobre o satélite é de8 m/s:!. Qual é. em newtons, a intensidade da força de atração gravitacionalda Terra sobre o sat~lite?

51. FEI"MAUÁ - Pretende-se lançar um satélite artificiai que irá descrever umaórbita circular a 1 040 km de altura. Sabendo-se que G (cpnstante gravita-cional) =6,7 . 10-11 uSI e que o raio e a massa da Terra são RT = 6400 kme MT = 6 . 1024kg, determine a velocidade tangencial que deve ser impri-mida ao satélite, naquela altura, para obter-se a órbita desejada.r .Determine também a freqüência do movimento do satélite e o número devoltas que ele dará por dia em torno da Terra.

a) 12800b) 1 960c) 1 600

d) 0,04e) zero

52. ARQUITETURA DE SANTOS - Um satélite gira em torno da Terra comvelocidade V, mantendo-se à distância d de sua superfície. Se R é o raioda Terra, "a aceleração da gravidade terrestre nos pontos da trajetória dosátélite é:

57. UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS - Um satélite artificial Circula emtorno da Terra numa órbita circular. O período de rotação do satélite:

a) independe de sua massa.b) será tanto maior quanto maior a sua massa.c) será tanto maior quanto menor a sua massa.d) é diretamente proporcional à sua massa.e) Nenhuma das respostas anteriores.

a) zero.b) 9,8 m/s2.c) V2/R.

d)"V2/(R + d).e) V2/d. 58. ENGENHARIA DE UBERLÁNDIA - Dois satélites estão em órbita, a

uma mesma distância da superfície da Terra. Os dois satélites possuem mas-sas diferentes. Assim sendo, poderemos afirmar:

a) O de maior massa possui maior período.b) O de menor massa tem maior velocidade.c) Os dois possuem a mesma àceleração.d) Os dois possuem a mesma energia cinética.e) O de maiot massa possui maior freqüência.

53. UNIVERSIDADE DE SÃ9 CARLOS - A distância da Terra à Lua é de384 000 km. A Lua gasta aproximadamente 2,4 . 106 s para completar umavolta em torno da Terra. Considerando o movimento. circular uniforme, aaceleração centrípeta dl;l Lua será de:

, a) 0,54. 10-2 m/s2.b) 2,71 . 10-2 m/s2.c) 5,4 . 10-2 m/s2.

d) 2,63 . 10-3 m/s2.e) 2,71 . 10-8 m/ S2.

a) 8.b) 32.c) 2.

d) 1.e) 4.

59. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA - Três satélites artificiais A, Is, Cencontram-se em órbita circular em torno do centro da Terra. A e B estãoem órbitas de raios iguais, enquanto C encontra-se mais afastado da Terra.Supondo-se mA > ma > me" o período de. C é maior, menor ou igual ao pe-ríodo de A?

a) Menor.b) Maior.c) Igual.d) Impossível calcular,e) Impossível calcular,

centro da Terra.

pois não se conhece o valor das massas.pois não se conhecem as distâncias dos satélites ao

54. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Em. determinado ponto do es-paço, um corpo de massa 1kg é atraído para a Terra com uma aceleraçãode 8 m/s2. A aceleração a que estara sujeito um corpo de 4 kg, se colocadono mesmo ponto do espaço, será, em m/ S2,de: .

262 :§~,60. IME - Um corpo esférico de massa ml = 10 kg percorre, no espaço

sideral, uma órbita circular de raio 107 m em torno de outro também es-

férico, cuja massa é m2 = 2 . 1022/6,67 kg. A constante de gravitação

é G = 6,67 . 10-11 N . m2/kg2. O período de revolução é de:

a) 200 000 s. d) 360 000 s.

b) 100000 s. e) Nenhuma das anteriores.

c) 300000 s.

61. PUC (CAMPINAS) - A distânciamédia entre Marte e seu satéliteFobos

é de 9 500 km. O diâmetro de Marte é de 6 800 km e sua densidade média

é de 4 120 kg/ m3. O período de Fobos é:

a) T =5,6 h. d) T =3,6 h.

b) T =7,7 h. e) n. d. a.

c) T= 7,6h.

66.UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Considerando o movimento da

Terra em torno do Sol como circular, desprezando o efeito dos outros corpos

celestes e dispondo das seguintes grandezas: t - período de rotação da

Terra em torno de seu eixo, T - período de translação da Terra em torno

do Sol, R - distâQcia da Terra ao Sol, M - massa da Terra, G - cons-

tante universal de atração gravitacional, podemos afirmar que a massa do

Sol é:

41t2R3a) d) 41t2R 2M

.62. IME - Um planeta esférico,sem atmosfera e com 3 115 km de raio,tem

aceleração da gravidade de 8 m/s2, independente da altitude.Uma astronave

gira em órbita circularconcêntrica com o planeta a uma altitudede 10 km.

Um objeto, com massa de 10 kg, 'solta-seda nave. Qual o seu tempo de

queda?

63.UNIVERSIDADE DO CEARÁ - Um satélite estacionário, utilizado emcomunicações, é colocado em órbita circular acima da linha do Equador,com velocidade tangencial V. e angular W... Sendo VT a velocidade tangen-

. cial de um ponto do Equador e WTa velocidade angular da Terra, podemosafirmar que:.

a) Vs > VT e Ws=WT'

b) Vs = VT e Ws= WT'c) Vs < VT e ws> WT'd) Vs = VT e IDs< WT'

67. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Galileu observou o satélite 10 de Jú-pitere determinou seu período em 1,77 dias ou 1,53 . 1011S. Sua distânciaa Júpiter foi também determinada: 4,22 . 1010 cm. A constante da gravita-ção universal é 6,7 . 10-8 unidades CGS. A massa de Júpiter é da ordem de:a) 1021 g.b) 1033 g.c) t030 g.d) 1028g. .

e) Um valor diferente dos anteriores e expresso em potências de 10.

64. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Suponha um satélite artificial'que gire numa órbita circular ao redor da Terra, a uma altura h acima dasuperfície do nosso planeta. Sendo M a massa 'da Terra, R o seu raio e Ga constante de gravitação universal, podemos concluir que a velocidade an-. ,guiar que o satélite deve ter para permanecer em órbita será dada por:a) [GM/(R + h)]l/2. d) GM/(R + h)1/2.b) GM/(R + h). e) [GM/(R + h)3]1/2.c) GM/ (R + h)2.

68. FUVEST - Dentro de um satélite em órbita em torno da Terra, a tãofalada "ausência de peso", responsável pela flutuação de um objeto dentrodo satélite, é devida ao fato de que:

a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a gravidade não se propagano vácuo.

b) a órbita do satélite se encontra fora da atmosfera, não sofrendo assim osefeitos da pressão atmosférica.

c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, conseqüentemente, o pesode qualquer objeto é nulo.

d) a força de atração terrestre, centrípeta, é muito menor que a força centrí-fuga dentro do satélite.

e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma aceleração produzida unica-mente por forças gravitacionais.

65. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - Em relação ao problemaante-rior, se m é a massa do satélite, podemos concluir que sua energia cinéticaserá dada por:

a) GMm/(R + h)2.b) GMm/(R + h)l/2.c) GMm/ (R + h).

d) GMm/2(R + h).e) GMm/3(R + h).

69. CESCEA - Use o código abaixo para. responder à questão:a) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, e a razão é uma justifi-

cativa correta da asserção.b) A asserção e a razão são proposições verdadeiras, mas a razão não é uma

justificativa correta da asserção.c) A asserção é uma proposição verdadeira e a razão é uma proposição in-

correta.

GT2

b)41t2R2

GTt

GTSe)

41t2R3

41t2R3

GT2t2

c)-GT

264

d) A asserção é uma proposição incorreta e a razão é uma proposição ver-dadeira. '

e) Não sei.

Um astronauta pode flutuar livremente dentro de um satélite em órbita ter-restre porque o campo gravitacional diminui à medida que aumenta adistância ao centro da Terra.

70. UNIVERSIDADE DE SÃO CARLOS - Sabe-se que no interior de umanave em órbita da Terra os corpos flutuam. Podemos afirmar que, para oastronauta, este fenômeno é devido à:

a) ausência do campo gravitacional da Terra.b) ação do campo gravitacional da Lua.c) ausência de atmosfera.d) ausência de suas massas no espaço.e) força centrífuga.

71. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - Esta questão apresenta duasafirmações, podendo a segunda ser uma razão para a primeira. Assinale:

a) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda for uma justificativada primeira.

b) se as duas afirmações forem verdadeiras e a segunda não for uma justi-ficativa da primeira.

c) se a primeira afirmação for verdadeira e a segunda afirmação for falsa.d) se a primeira afirmação for falsa e a segunda afirmação for verdadeira.e) se a primeira e a segunda afirmações forem falsas.Vamos supor que a órbita do laboratório espacial Skylab é uma circunferênciacujo centro coincide com o centro da Terra. Inúmeras reportagens transmi-tidas pela televisão mostram ocupantes do Skylab flutuando dentro da nave.Em conseqüência, podemos afirmar que:

1.a afirmação

A força resultante que atuasobre o astronauta que flu-tua é nula, quando medidaem um referencial inercial,

porque

z.a afirmação

a aceleração deste astronau-ta em relação à nave (Sky-lab) é nula.

72. ITA - Um satélite artificial, depois de desligados todos os seus propulsores,gira numa órbita circular estável em torno da Terra. Abandonando-se umobjeto no centro do satélite, observa-se que ele permanece indefinidamente"flutuando" nesse local. Isto ocorre porque:a) dentro do satélite não existe atmosfera.b) no local onde se encontra o satélite o campo gravitacional devido à Terra

é nulo.

c) no local onde se encontra o satélite a soma dos campos gravitacionaisdevidos à Terra e a todos os outros corpos celestes é nula.

. d) a carcaça do satélit,e funciona como blindagem para os campos gravita-cionais.

e) Por uma razão que não é nenhuma das anteriores.

.~~~

73. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - Dentro de uma cápsula em órbitacircular em torno da Terra e cerca de 300 km acima do nível do mar, umcorpo, abandonado com velocidade nula em relação à cápsula, no meio damesma, não cai em relação à cápsula porque:a) está fora do campo gravitacional da Terra.b) a cápsula está caindo livremente no campo gravitacional e sua velocidade

tangencial é suficiente para que ela siga trajetória circular.c) a força da gravidade da Terra é igual e de sentido oposto à força de

gravidade da Lua.

d) a pressão da atmosfera nessa altura é suficiente para que ela siga traje-tória circular.

e) Nenhuma das razões é válida.

74. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - No interior de um satéliteartificial, que está girando em volta da Terra descrevendo uma órbita fec~a-da, um astronauta deixa cair duas esferas de massas: 50 g e 200 g. Pode--se constatar que:

a) a esfera maior cai mais depressa.b) a esfera menor cai mais depressa, pois encontra menor resistência.c) ambas caem e o fazem com a mesma velocidade, pois, já que não há 'ar,

não existe atrito, e são válidas as leis de queda no vácuo.d) as velocidades de queda serão maiores que as observadas em um satélite

que descreve órbitas em torno de' Marte.e) todas as respostas acima estão erradas.

75. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO - Um satélite artificial em órbitacircular dista R do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélitetambém em órbita circular tem período igual a 8T. O raio da sua órbita é:

a) 2R. d) 16R.b) 4R. e) Nenhum desses.c) 8R.

76. FESP - Um satélite artificial gira ao redor da Terra em trajetória circularde raio Ro e período To. Se em virtude de uma perturbação o raio quadru- '

plicasse, o novo período T:a) não seria afetado.b) seria 'T ==4To.c) seria T = To/4.

d) seria T = 8To.e) Nenhuma das alternativas.

77. PUC (SÃO PAULO) - Supondo as trajetórias descritas pelos planetas emtorno do Sol praticamente circulares, o trabalho realizado 'pela força de atra-ção do Sol numa revolução em torno do astro é:

a) proporcional ao raio de suas trajetórias.b) proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.c) inver:samente proporcional aó raio de suas trajetórias.d) nulo. .

e) inversamente proporcional ao quadrado do raio de suas trajetórias.

266

~1. c 2. a 3. a 4. b 5. e 6. d 7. e 8. c

89. O novovalorda .aceleraçãoda gravidade.seria - da aceleração normal

9da gravidade.

10. c 11. gs = 269,5m/s2 12. hL= 3,6 m 13. d 14. d 15. d16. O peso do corpo será 1,21 vezes menor do que na superfície da Terra.17. c 18. d 19. d (Peso no planeta = V'O,25 .peso na Terra.)20. e (P ~ 22,2 N)21. PM=49N22. aTerra= 24,5 m/s2; aMercúrio= 24,Sm/s2. Como a massa inercial é a mesma,

para a mesma resultante teremos a mesma aceleração.23. e 24. d = 342 000 km 25. b 26. d27. a) 9 = 2 m/s2; b) Vo= 6m/s.28. e 29. a 30. d31. gs - gE = (J):!R

32. PE = 79,72 kgf33. d 34. b35. 1) E; 2) E; 3) C.36. c 37. c 38. c39. As forças de atração gravitacional obedecem ao Princípio da Ação e Reação,

tendo mesma direção, sentidos opostos e intensidades iguais.

... -+k/ F mp -+

/ )<FI! V\ 1

E '- / .M

-+

~=1-+IFI! I

40. a) FGb) - = 1

Fc~. T

.

erra1)1 ..

,. -:, .-i/'C -+,,1 V-

\Sol

31t41. c 42. a 43. a 44. a 45. d 46. c 47. b 48. e 49. dm=-

GT250. c 51. VT ~ 7,9 " 10a m/s; f ~ 2,0 " 10-4 Hz ~ 17voltas/dia.52. d 53. d 54. a 55. e 56. c 57. a 58. c 59. b 60. e 61. c62. O objeto permanece em órbita em torno do planeta. ~63. a 64. e 65. d 66. a 67. c 68. e 69. b 70. e 71. d 72. e 73. b74. e (Ambas as esferas permanecem no ponto em que foram abandonadas em

relação à nave em estado de imponderabilidade.)75. b 76. d 77. d

€nergia Gravitacional

".

.' ():t~:

111

,a

a

: fI-~ -~

111

--.'. :')JÍ111

~~

.."(", -1..

..:;'~\.

111

I

.,..

li'

a

111

aa

G

"

.,~'~

1:1,

111

I

d 111

a a 11;1

.. a

268

Energia potencial gravitacional

Já vimos anteriormente a expressão que nos permite" calcular aenergia potencial do sistema formado por um ponto material e aTerra, numa determinada posição.

.1 r ~~

JJl ~ .,.-';' "/J~."

plano de referênciaTrata-se de Epotgrav= mg.*h.

Nesta expressão, m é a massa do ponto material e h é a ordenadado ponto em relação a um plano de referência horizontal qualquerdentro de um campo gravitacional uniforme. Isto significa que g*,intensidade do campo gravitacional, deve ser obrigatoriamente cons-tante, o, que só ocorre nas proximidades imediatas da Terra.

À medida que passemos a trabalhar com grandes distâncias rela-tivamente ao raio da Terra, a intensidade do campo gravitacional (g*)passa a variar sensivelmente, conforme pudemos deduzir pela Lei

GMda Gravitação Universal, ou seja, g* = -.

d2

Isto significa que a expressão Epotgrav= mg*h não pode mais serapl1cada, pois o campo gravitacional não é uniforme.

Para determinar uma nova expressão para a energia potencialgravitacional do sistema corpúsculo-Terra numa posição qualquer doespaço, adota-se um ponto de referência no infinito (região do espaçoonde as ações gravitacionais do planeta são praticamente despre-zíveis) em relação ao planeta. Aparentemente, esta escolha parececomplicar o assunto, mas veremos que tal não ocorre.

:§~JI

Isto pode ser feito, pois o ponto de referência é sempre arbi-trário. É bom lembrar que.. no ponto de referência, a energia potencialgravitacional do corpúsculo ali colocado é nula por convenção.

Pode-se demonstrar matematicamente que, adotando-se o refe.rencial no infinito relativamente ao planeta, a expressão da energiapotencial gravitacional do sistema corpúsculo-Terra (Epot)é:

I EOM=- G~m I

onde d é a distância do corpúscuJ"oao centro do planeta.

tt\ -- -- ~finlto

-~-- lEpot= o I.- \

-\-- \--

, -~ I

~'&, \ ~

MI<" . ... d" ."

A expressão indica que a energia potencial gravitacional dosistema é sempre negativa ou nula. Nula unicamente quando o cor-púsculo estiver no ponto de referência, ou seja, no infinito.

~

Energia mecânica de um sistemaComo já sabemos, energia mecânica de um sistema 'é a soma

algébrica de suas energias potencial e cinética.Em símbolos:

I Emçc = Epot+ Ecin I

Admitamos, por exemplo, um foguete que se afasta da Terra comvelocidade de intensidade V, a Uma distância d do centro do planeta. ...

/.,,(~~..

\J, í M~ C í

~

;t

' --+'{ h ' "\~ ~~ ~~~~~" .

/~4: ".,r'~~.". ..-

'~

~v~I

d/

270

As energias cinética e potencial.foguete são dadas por:

Ecin = mV2/2GMm

gravitacional do sistema Terra-

Epo'= -d

A energia mec~,nica do sistema vale (naquela posição):

mV2Erncc=--

2 d .A expressão anterior também é válida para um satélite ao redor

de um corpo central.

. Energia mecânica do sistema planeta-satélite: órbita circular

GMm

/~.

m ',' , d

'" "v ' '" ~

I t C. I'~;~,: ,l

Em capítulo anterior. já vimos que, para se manter em órbitacircular ao redor de um planeta, o satélite deve possuir a velocidadecuja intensidade é dada por:

PfMV= -d

Conseqüentemente, sua energiamV2 , GMm

Ecin = - -~ Ecln =2 2d

.A energia potencial gravitacional do sistema no local da órbitavale:

cinética é:

GMmEpo,= -

d

Portanto, a energia mecânica,do sistema com o satélite em órbitacircular é:

Ernec= Ecin+ E""" ~ Ernec =GMm

2d

GMm

d'"

--

! .I; ~~~ logo:

[ I E- - G~m I

1I A última expressão nos indica que a energia mecânica do sistemaI planeta-satélite, em órbita circular, é negativa. Gostaríamos de enfa-, tizar que esta conclusão, ou seja, energia mecânica negativa, sempre

ocorre quando as órbitas são fechadas (elipses, por exemplo). Obser-va-se que, quando as órbitas são abertas (parábolas e hipérboles), aenergia mecânica do sistema é positiva ou nula.

. Sistema'conservativo- Quando um sistema é conservativo, aenergia mecânica se mantém constante em qualquer estado dosistema.

Isto ocorre freqüentemente no espaço cósmico, nos sistemasformados por corpos materiais que se atraem gravitacionalmente.

Primeiramente, porque as forças gravitacionais de atração entreas partes do sistema são conservativas e, em segundo lugar, pela,inexistência de atrito, pois o sistema está no vácuo.

I Emec = Ecin + Epo,= cte I sistema conservativo

Velocidade de fuga ou de escape

't c\

L,'

,

-)-, J

I d~

m V- .~:.-- (;

"I

~~..... - - -.-

-- ,,

~v

--AI -- ,-4-- --~,

mC '_-

J.-.)- d ~- //"

/"

/

/\

'"

~

-......... --;--- -Normalmente, quando lançamos um corpo para longe da Terra,

ele retorna ou entra em órbita. É sinal de que a velocidade impri-mida ao corpo não foi suficiente para vencer a atração da Terra.

272

Se o lançamento for vertical, as forças gravitacionais vão freandoo corpo. Num determinado momento ele pára e volta.

Se o lançamento for horizontal, as forças gravitacionais vão des-viando o corpo até que ele se choca com a Terra ou se torna satélite,entrando em órbita elíptica (órbita fechada).

Estamos, obviamente, desprezando a ação da atmosfera parafacilitar a análise do problema.

Há, entretanto, uma velocidade mínima a partir da qual o corponem entra em órbita fechada (tornando-se satélite) nem retoma: elese afasta indefinidamente do planeta. ~ a velocidade de fuga ou de

escap10 corpo em relação ao planeta (Vr).m vf, C I ~ ,..

M~! I "\~ i<" d

} .~

Infinito , ,~,

ponto de lançamento

,.tY

'(

~ Infinito

,I;, C

M ~ T"..

d

Partindo com Vf, o movimento do corpo será retardado à medidaque se distancia do planeta, devido à ação das forças gravitacionais.Entretanto, só conseguirá parar num 'po'nto muito afastado (infinito).Lá as forças gravitacionais serão praticamente nulas e ele não terácondições de retomar.

Vamos determinar essa velocidade de fuga (sem levar em contao atrito com a atmosfera).

Lancemos o corpo com exatamente a velocidade de fuga (Vr) apartir do ponto A, situado à distância d do centro do planeta.

M

Vinf= o

infinito

)- - . m,~- -d AI Vf

~C

--~

~~energias cinética e potencial do

r

I

No momento da partida. assistema corpo-planeta valem:

E~n = mV: /2A GMm

Epot = -d

Portanto, a energia mecânica do sistema na partida vale:2

A - mVf GMm (I)Emec---2 d

Ao chegar num ponto muito afastado do planeta (infinito), o corpopára (mas não retoma). Logo, nesta posição, temos:

E~7~= O (corpo pára)

E~~= O (corpo chega ao ponto de referência)

Logo. a energia mecânica do sistema no infinito vale:Inf Inf Inf Inf

Emec = Ecin + Epot= O+ O=> Emec= O (11)

Mas, o sistema corpo-Terra é conservativo; daí, concluímos:A Inf

Emec = Emec = O

Esta conclusão é importante. Para o corpo se afastar do planetae não mais retornar, a energia mecânicamínima do sistema deve serzero.

Mas, igualando as expressões (I) e (11),vem:A inf

Emec = Emec

rjav;

2GM~ = O

d

E, finalmente:

I V,=t~M I

Lembrando que g* = GM , temos GM = g*d2 que, substituídad2

na expressão acima de V" traz:

J 2GM ~Vf= d = y--;r = ~=>

=>\Vf=~ I-

274 ;§~

')

onde g* é a intensidade do campo gravitacional no ponto de lança-mento e d é a distância deste ponto ao centro do planeta.

Se o lançamento for horizontal, pode-se demonstrar matematica-mente (o que foge ao escopo do curso) que a trajetória descrita pelocorpo, ao ser lançado exatamente com a velocidade de fuga (Vf), seráuma parábola (curva aberta) com foco no centro do planeta.

Vf~./

/

IÍ~'~~(»I

infinito /Se o corpo for lançado horizontalmente com uma velocidade maior

que a de fuga (V > Vr), ele não pára nem no infinito. Isto significa

Resumindo:

1) Se o corpo for lançado com velocidade inferior à velocidadede fuga, sua.trajetória será fechada (elipse ou circunferência).

I O< Vo< ~ ~ trajetória fechada I2) Se o corpo for lançado com velocidade igualou superior à

velocidade de fuga, sua trajetória será aberta e sem retorno (pará-bOla ou hipérbole).

I V() ~ Y29*Cf ~ trajetória aberta I~(J

Em qualquer das hipóteses de lançamento. o centro do corpo que cria ocampo gravltaclonal estará num dos focos da curva cônica e, no caso dacircunferência, estará no seu centro.

. -. d . ,. . . Einf

Einf + E

infque a energia mecamca o sistema, e positiva, pOIS mec= cin paI

(energia mecânica no infinito), onde:w -

Epot= O (corpo chega ao ponto de referencia)

Einf

O (-,

)cin > o corpo nao para

Neste caso, pode-se provar matematicamente que a trajetóriadescrita pelo corpo é uma hipérbole (curva aberta) com foco no centrodo planeta (melhor seria dizer ramo de uma hipérbole).

(parábola)

m

~ ~\:..71

~ "-

I '\.Ic

)M

;(fO~o~

\

I Vg'iI <~V"'IEis as velocidades de fuga (a partir da superfície) de alguns

planetas e da Lua:

Infinito

Mercúrio Vf = 4,2 km/s

Terra Vf=11,3km/s

Marte Vf = 5,02 km/s

Júpiter Vf = 61 km/s

Saturno Vf = 35,4 km/s

Lua Vf= 2,4 km/s

276 :§~

/....

B.€{I .

\ "

, - - --~."

onde V é a intensidade da velocidade do satélite e onde admitiu-se aTerra estacionária e' sem rotação.

. energia'mecânicado sistemaTerra-satélite:Emec= Epot+ Ecin

Mm mV2Emec= -G +

d 2 m

~/' . <~,

~d:B .

'---,. MB~-\

....

1. UNIVERSIDADEDO PARANÁ- Um satélite artificial está percor-rendo uma órbita elíptica em, torno da Terra. Na figura abaixo,temos dois pontos A e B representando duas posições do satélite.

!I'

)T

.........."\J

/

...

'"....

~.

Podemos afirmar que:

a) a energia mecânicaque em A.

b) a energia cinética do satélite permanece constante.c) a energia cinética do satélite em A é menor que em B e a

energia potencial deste em A é maior que em B.d) a energia cinética do satélite em A é maior que em B e a

energia potencial deste em A é menor que em B.e) a energia potencial é constante, mas a errergia cinética cresce

de A para B.

. Resolução: Adotando como referência um ponto muito afastado daTerra (infinito), representando por M a massa da Terra, por m a massado satélite e por d a distância entre seus centros, temos:

. energiapotencialgravitacionaldo si.stemaTerra-satélite:. GMm

Epot= -

./~-A

total do satélite em B é muito maior do

o sistema Terra-satélite pode ser considerado conservativo,' pois asforças trocadas entre os corpos são 'conservativas (forças gravitacionais)e o sistemase encontrano vácuo,onde não há atrito. .

Logo, a energia mecânica do sistema se conserva ao longo da órbita- A" . B . .e podemos, entao, escrever Emec=Emec.

A medida que o satélite se aproxima .da Terra, a. distância d diminuie a energia potencial gravitacional também diminui. Neste caso, comoa soma das energias potencial e cihética (energia mecânica) deve per-manecer constante, a energia cinética do satélite aumenta. .Assim sendo:

A B A BdA < dB=> Epot < Epot => Ecin > Ecin

Isto significa que no percurso de B para A a energia potencial. diminuie a energia cinética aumenta.

Em resumo, no percurso de B para A:GMm

Epot = - diminui, pois d diminni;d

GMm mV2Emec=- +

dmV2

Ecin =

d

. energia cinética do sistema Terra-satélite:mV2

Ecin=2

permanece constante;

aumenta.2 2

278 ~~

EApol

.. d

Em..

Admitindo o sistema Terra-foguete conservativo e adotando referencialnum ponto muito afastado da Terra (infinito), decorre que a energiamecânica do sistema permanece constante ao longo do percurso dofoguete. A massa do foguete é m e supõe-se a Terra estacionária.Assim:

Graficamente temos:E

..

o EinE fin

mec= mecin in fin fio fin

Epo1 + Ecin = Epo1+ Ecim onde Ecin= O

GMr/J. rPV~n- + =-R 2

Logo:

GMJ/1 + O4R

Observe que, como a órbita do satélite em torno da Terra é fechada,a energia mecânica do sistema Terra-satélite em relação a um referencialno infinito é negativa.


2GM Vin GM

--+-=--R 2 4R

2. ITA- Um foguete lançado verticalmente da superfície da Terraatinge uma altitude máxima igual a três vezes o raio R da Terra.Calcular a velocidade Inicial do foguete.

~GMa) V= , onde M é a massa da Terra e G a constante

2Rgravitacional.

~GMb) V= .

3R

~GMc) V= .

3R

Resolução:

2Vin GM GM

-=--+-2 4R R

Vi: GM 4GM-=--+-2 4R 4R

d) V= ~V~.

e) V = ~V~.

V~n GM-=3-2 4R2 GM

Vin= 3-2R

IV,"=~ I

Resposta: alternativa a.Vfln= O

._~ .

~-~

/;;ifP \

3. ITA- A energia potencial de um corpo de massa m na superfícieda Terra é -GMrm/Rr. No infinito, essa energia potencial é nula.Considerando-se o Princípio de Conservação da Energia (ciné-tica + potencial), que velocidade deve ser dada a esse corpo demassa m (velocidade de escape) para que ele se livre da atraçãoda Terra,. isto é, chegue ao infinito com V= O?G= 6,67 . 10-11N . m2 . kg-2; Mr = 6,0 . 1024kg; Rr = 6,4 . 106m.Despreze o atrito com a atmosfera.a) 13,1 m/s d) 113 km/sb) 1,13 . 103m/s e) Depende do ângulo de lançamento.c) 11,3 km/s

---

280

Resolução:

E~T

.

~"'~RT

.

-.Jt! m

. \., -{~. <rMT , \'.

~~ ,;#,I~H/,

Vflo= oVlo ~

infinito

- -

o sistema Terra-corpo é conservativo. Admite-se a Terra estacionári.a.

Assim, Emec= Epot+ Eelo =constante.

Logo:10 fio

Emee= Emec

Elo io fio fiopot + Eeio= E;;ot+ Eeln

mV~+ IR =0+0

2

GMTm

RTPortanto:

I V. =F~ I (velocidadeDecorre, então:

,67 ,

de escape ou de fuga)

10-11 , 6,0-,-1024

. 6,4 , 106

I Vln R: 11,3 km/s I

Observe que a velocidadede escape (ou de fuga) a partir da superfíciedo planeta não depende da massa do corpo lançado.Este conceito (velocidadede escape) também é útil no estudo dos gasesda atmosfera terrestre. Embora as velocidades quadráticas médias dogás hidrogênio, do gás hélio, do gás nitrogênio, do gás oxigênio sejaminferiores à velocidadede escape da Terra, um certo número de molé-culas destes gases terá velocidade igualou superior a ela, e escaparãoda Terra. Principalmentese estiveremnas camQ.dassuperioresda atmos-fera. Por esta razão, alguns gases (como o hidrogênio e o hélio, porexemplo) são relativamente escassos na atmosfera.Em outros planetas de velocidade de escape menor que a da Terra(Mercúrio, por exemplo, tem velocidadede escape de 4,3 km/s, aproxi-madamente), este efeito é sentido com muito maior intensidade.Resposta: alternativa c.

Vln=

...~~~

4. MAPOFEI- Num dado local e em dada época do ano, qual amaré de maior altura, a da Lua Nova ou a da Lua Cheia? Explique.

Resolução: A mudança de nível das águas dos oceanos é devida à açãoconjunta da Lua e do Sol sobre a Terra. Principalmente devido à açãoda Lua. A água dos oceanos no lado mais próximo da Lua sofre umaatração mais intensa do que a água no lado oposto. Assim, as inten-sidades das forças de atração sobre uma massa unitária de água em Ae C são diferentes. A intensidade de atração em A é maior que em C.A Terra como um todo, imaginada concentrada em B, sofre uma forçade atração de intensidade intermediária por massa unitária.

",,"/' t J/'i"

[.: ~. B" li A

A ~~ t'I~r.

l1'

y? .' '

/~ ..

,~~( Terra

-VL~a

Portanto, em A a superfície da água se afasta da Terra na direção daLua. Esta é a região da maré alta.

Mas, devido à rigidez da Terra como um todo, ela experimenta umaforça atrativa de intensidade maior que a água, em C. Assim, a Terrase afasta da água em C, propiciando o surgimento de uma maré, altaem C, do mesmo modo que em A.

Como o volume da água dos oceanos é praticamente constante, osurgimento de marés altas em A e C faz o nível das águas baixarem D e E: são as marés baixas.

A força gravitacional'exercida pelo Sol sobre a Terra é mais intensaque aquela exercida pela Lua. Por que, então, a Lua tem maiorinfluência no fenômeno das marés?

A razão é simples:as marés são devidas basicamenteà diferença relativanas intensidades das forças gravitacionais nos lados opostos A e C, enão às forças em si. Pelo fato do Sol estar muito distante da Terra,a diferença relativa entre as intensidades das forças que ele faz surgirem um lado da Terra e no lado oposto é muito pequena. A Lua,entretanto, está muito próxima da Terra e a diferença relativa das forçasque ela cria é suficiente para dominar a formação das marés.

282

~ Lua

I

,/<~~ ,' '. ,

(J -Ú:Z~.

~e~ .. ~u&vaLuaCheia ~. W

"Ç, ~

"'~~~<,1~...,.

.1

~ Lua

Obviamente, a ação do Sol complementa a ação predominante da Luae altera as marés.

Duas vezes, durante o mês lunar, o Sol, a Lua e a Terra ficam aproxima-damente em linha reta (Lua Nova e Lua Cheia). Nestas situações, asmarés atingem valores até 20% maiores que os normais. Quando aTerra, a Lua e o Sol formam ângulo reto, as marés atingem valoresaté 20% abaixo dos normais.

Resposta: As marés na Lua Nova e na Lua Cheia têm praticamentea mesma altura.

~

....

li

Sol

"." -".~,,---

1. FUNDAÇÃOCARLOSCHAGAS- Um satélite artificial move-se em tornoda Terra T, numa órbita elíptica estacionária, como mostra a figura abaixo.

------

)0P, ~T" /

,-- /

. .", ~~~

~

Qual das alternativas apresenta uma opção correta, sendo as grandezas veto-riais envolvidas consideradas em módulo?

a) O peso do satélite em P é o mesmo dô que em Q e diferente de zero.b) O peso do satélite em P e em Q é z.ero.c) A aceleração do satélite em P é maior do que em Q.d) A aceleração do satélite em P é menor do que em Q.e) A energia cinética do satélite em P é a mesma do que em Q.

2. CESCEA- Um satélite, S, da Terra, T, suposta parada, descreve umaórbita elíptica, como mostra a figura abaixo:

5~"Th-,-

~ -~

B. A

---Com respeito às afirmações abaixo sobre o satélite S:

I - A energia cinética em A é maior que em B.11 - A energia potencial, em módulo, é maior em A do que em B.

111- A energia total é maior em A do que em B.podemos afirmar que:a) somente I e U são verdadeiras.b) somente I e lU são verdadeiras.c) todas são verdadeiras.

d) todas são falsas.e) apenas lU é verdadeira.

3. MEDICINA DE POUSO ALEGRE - Analise as afirmações abaixo, emrelação à seguinte questão: um meteoro de massa m cai sobre a Terra, prove-niente de um ponto muito afastado, onde estava em repouso inicialmente.Despreze os efeitos do Sol e dos planetas. M = massa da Terra; R = raioda Terra; G = constante gravitacional. Julgar as afirmativas:

I,. A velocidade do meteoro, ao atingir a superfície da Terra, seráV 2GM/R.

11. A energia cinética do meteoro será GMm/R.111. A energia total do meteoro, na superfície da Terra, é nula..

4. PUC (CAMPINAS) - Um satélite artificial da Terra move-se fora daatmosfera, em órbita estável. Portanto:

a) a órbita precisa ser circular.b) é necessário fornecer. continuamente energia ao satélite.c) a órbita é elíptica.d) é necessário dar impulsos intermitentes e periódicos ao satélite.e) n.d.a.

284

5. ITA - Um astronauta, ao voltar da Lua, pode escolher diversas trajetóriaspara atingir a Terra. Supondo que ele não usará os retrofoguetes dentro dostrechos de trajetória mostrados no .desenho, em qual das trajetórias será míni-mo o acréscimo de energia cinética da nav~ entre as altitudes H =2,0 . 104km e h = 1,0 . 104 km acima da superfície da Terra?

'\ \

IB/

a) Ab) Bc) Cd) De) Todas as trajetórias dão a mesma variação de energia cinética.

6. lTA - Duas estrelas de massas m e 2m, respectivamente, separadas poruma distância d e bastante afastadas de qualquer outra massa considerável,executam movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nes-tas condições, a mínima quantidade de energia necessária para separar com-pletamente as duas estrelas, em função da constante universal de gravitaçãoG. será dada por:a) -Gm2/d.b) +Gm2/d.c) +2Gm2/d.

7. ITA- O trabalho necessário para levar a partícula de massa M/3 do pontoA até o ponto B, em função da constante universal de gravitação G, quandoessa partícula se encontra sob a ação d~ 2 massas, M e 2M, conforme figura

, abaixo, será dado por: '

d) -2Gm2/d.e) Nenhum dos valores acima.

t. D

B

~' D"-j

3-1.MI

a) +9GM2I2D.b) -9GM2I2D.c) +GM2/2D.

d) -GM2I2D.e) ~enhum dos valores acima.

.::-" ~~~

8. FEl - Uma espaçonave está em órbita circular de raio RI, No seu interior,um astronauta larga um objeto de massa m. Pergunta-se:a) Qual o trabalho realizado pela força de atração da Terra?b) Qual a variação da energia cinética em duas posições distintas na órbita?

9. ,FEl - Se a espaçonave da questão anterior passa a outra órbita, tambémcircular, de raio ~ 20% maior que RIo qual a variação relativa percentual

d " ,. . , EI - E2 IOO?a energIa cmetlca, Isto e, ..E2

10. ENGENHARIA DE ITAJUBÁ - Um satélite é colocado em uma órbitacircular a D acima da superfície da Terra e sua massa é m. Sendo R o raio

médio da Terra, G a constante de gravitação e M a massa da ~ra, pede-se,em funçãodessesdados: f

a) a velocidade tangencial do satélite nessa órbita.b) o período de cada revolução em torno da Terra.c) a energia total do satélite em função da distância ao centro da Terra.

11. MAPOFEI - A fi,gura mostra a órbita prevista do cometa Kohoutek noSistema Solar. A' posição do cometa é indicada com a respectiva data.

/

/ X/

JÓrblta~" Mercúrl/ X

8. ik'IJ..,L31. XII \1. fé1'1í.111J' 28, XII

2 ~8~' 2110 ~,. '

~27 .~XII lórb'le de Vênus

28. ... Só " I7 11 3 ". S. XII 1

1

\11.' 4 \ \ / 12 22T.XII

015 / ...-'

,

'

f órbita da Terra

~27.11 1119.XII/8 '"

111 26 A 1 14 ..~ /18. 111 27 '9 9 .)(11

28.111,.. 8 / ""'- 8 .'XII ". /28 / 2II x....

/"'-.. ~rblta de Marte

/ "'- /'

/ .4.30 . X3'.20 , X

2.10. X

~30.IX ,

a) Em que situação deveria estar um observador para ver a trajetória comona figura?

b) Em quais intervalos a velocidade do cometa é máxima e mínima respecti-vamente?

c) Em que trecho da trajetória a aceleração tem maior intensidade? Por quê?d) Como varia a energia potencial gravitacional do cometa ao longo da

órbita? Onde é mínima?

e) Em uma só noite, que trajetória o cometa descreve no céu para umobservador' postado na superfície da Terra?

286

12. FACULDADE FARIAS BRITO - A cauda de qualquer cometa aumentaà medida que o mesmo se aproxima do Sol e é orientada no sentido opostoao Sol, como mostra a figura abaixo (este fato pôde ser observado com ocometa Kohoutek, em dezembro de 1974).

....

.. 1-~"""cometa I

\, I\ J

\.-}j

- .., -3SolY..

~ -- .!1tI \

I \/ \

" . \f ,

...

."....... "

...

.,,;

o fato da cauda do cometa estar dirigida no sentido oposto ao Sol se deve:a) à força centrípeta sobre a poeira e gases que escapam do cometa.b) ao fato de ser o cometa formado por' matéria, onde a lei de gravitação

de Newton é repulsiva.c) à pressão da radiação solar sobre a poeira e gases que escapam do

cometa.

13. ENGENHARIA DE MOGI DAS CRUZES - Assinale a proposição errada:

a) O peso de um corpo varia não só com a altitude, mas também cOm alatitude.

b) As variações na aceleração da gravidade em diversos pontdS da super-fície da Terra são pequenas o suficiente para serem desprezadas.

c) A formação das marés é um importante fenômeno explicado pela atraçãogravitacional.

d) O valor da constante gravitacional foi determinado experimentalmentepor Newton.

e) Ptolomeu desenvolveu a teoria em que as estrelas, o Sol, a Lua e todosos planetas giravam ao redor da Terra.

14. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES - A velocidade de escape deum foguete em relação a um dado planeta:a) só depende da massa do foguete.b) só depende da massa do planeta.c) depende da massa do foguete e de outros fatores, como a gravidade do

planeta.d) depende do raio do planeta, suposto esférico e com densidade constante.e) é diretamente proporcional à aceleração da gravidade do planeta e inver-

samente proporcional ao cubo de seu raio.~...

r

-............

~15. UNICAMP - As veloCidadesdas partículas gasosas na temperatura ambiente

são da ordem de 2 400 m/ s; as moléculas mais leves, como as de hidrogênioe hélio, podem atingir velocidades da ordem de 11,2km/ s. Qual das afirma-ções abaixo é correta?

a) A atmosfera da Terra é uma anomalia que resulta do equilíbrio dinâmicoentre as partículas que escapam e as que emanam da superfície terrestre.

b) Há fuga de hidrogênio e hélio da atmosfera terrestre para o espaço.c) Existe atmosfera na Lua.d) Não existe hidrogênio e hélio na atmosfera terrestre.c) A atmosfera da Lua é constituída por elétrons livres que não obedecem

às leis da gravitação.

Os objetos que circundam a Terra são atraidos por ela com uma forçaproporcional à própria massa, e inversamente proporcional ao quadrado dadistância entre eles e a Terra (centro). A não ser que o objeto supereesta força. ele acaba'rá retornando à Terra, se lan'çado para cima. Define-seentão uma energia de ligação, e uma velocidade de escape como sendoa velocidade que o corpo deve ter para que, uma vez lançado para o alto,não mais retorne à Terra. Considere-se para as questões 16 e 17 osseguintes dados: massa da Terra ~ 6 . 1024 kg: ralo da Terra ~ 6 . 106m:

N. m2constante de gravitação universal ~ 7. 10-11

kg2

J6. FMU - Se um corpo de 10kg se encontrar em um dos pólos da Terra efor lançado para o alto, para que não retome à Terra a velocidade de lan-çamento deve ser (aproximadamente) de:a) 1 000 m/s. d) 18000 m/s.b) 1 200 m/s. e) 12000 m/s.c) 40000 m/s.

17. FMU - A correspondente energiaTerra será (aproximadamente) de:a) 700 megajoules.b) 18000 joules.c) 42 000 joules.

de ligação deste objeto em relação à

d) 4 megajoules.e) 1,2 megajoules.

~1.c 2..a 3. I) C; 11)C; 111)C.

4. e (O plano da,órbita deve conter o centro da Terra.)5. e 6. c 7. c -8.,a) Nulo; b) Zero.9.20%

.-...........

288 . '''- ....'.

"1-- .01..

~ '",. !(D+R)810. a) VT= ; b) T=21t ;

D + R . GMGMm

c) Emec= - -- (adotando referencial no infinito).2(D + R)

11. a) O observador deveria se situar num sistema de referência em repousoem relação ao Sol.

b) Considerando o movimento no trecho indicado na figura, a velocidadeé máxima no instante (e não no intervalo) em que o cometa está mais próximodo Sol (periélio - 29 . XII) e é mínima no Instante em que o cometa temafastamento máximo do Sol (28 . 111e 30 . IX).

c) A aceleração (vetoria!) tem maior intensidade no ponto (e não no trecho)em que a distância ao Sol é mínima (29 . XII), pois é neste ponto que aresultante das forças que agem no cometa é máxima. .

Esta resultante é praticamente igual à força de àtração gravitacional que o Solexerce no cometa, força esta que é inversamente proporcional ao quadrado dadistância entre seus centros,

d) Adotando-se, para o cometa, energia potencial nula para um a,fastamentoMM

infinito do Sol, ela variará obedecendo à equação Epot=.-G s c. onded

G = constante de gravltação universal;Ms = massa do Sol;Me = massa do cometa;d = distância entre os centros do Sol e. do cometa.Pela equação nota-se que ela será mínima no ponto 15, ou seja, onde adistância for mínima (periélio).

e) O cometa .descreverá um arco de circunferência devido ao movimentode rotação da Terra sobre seu eixo. A este movimento superpor-se-á umpequeno movimento adicional, devido ao movimento de translação do cometaem relação ao Sol. Portanto, em relação à Terra, a trajetória éaproximadamente um arco de circunferência.

12. c 13. d (O valor da constante gravitacional foi determinado experimentalmentepelo inglês' HenryCavendish, em 1798.)14. d 15. b 16. e 17. a

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robortella, avelino e edson (mecanica)

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