risco de cauda de ações brasileiras utilizando distribuições t … · 2018. 10. 26. · 2...
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Fundação Getúlio Vargas Escola Brasileira de Economia e Finanças
Guilherme Gonçalves Heringer
Risco de Cauda de Ações Brasileiras Utilizando
Distribuições T Assimétricas
Rio de janeiro
2015
2
Guilherme Gonçalves Heringer
Risco de Cauda de Ações Brasileiras Utilizando
Distribuições T Assimétricas
Dissertação para obtenção do grau de mestre
Orientador: Edson Daniel Lopes Gonçalves
Rio de janeiro
2015
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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mario Henrique Simonsen/FGV
Heringer, Guilherme Gonçalves
Comparação de ajustes de distribuições T assimétricas no mercado de ativos brasileiros / Guilherme Gonçalves Heringer. – 2015.
46 f.
Dissertação (mestrado) - Fundação Getulio Vargas, Escola de Pós-Graduação em Economia.
Orientador: Edson Daniel Lopes Gonçalves.
Inclui bibliografia.
1. Avaliação de riscos. 2. Risco (Economia). 3. Ações (Finanças). 4. Mercado financeiro. 5. Alocação de ativos. I. Gonçalves, Edson Daniel Lopes. II. Fundação
Getulio Vargas. Escola de Pós- Graduação em Economia. III. Título.
CDD – 332.041
4
5
AGRADECIMENTOS
À minha futura esposa, Milena, por estar sempre comigo.
À minha família, especialmente aos meus pais, por terem me dado toda a estrutura que
precisei para estar aqui.
Ao meu orientador Edson, pelo apoio e pela tranquilidade para realizar este trabalho.
À Gávea Investimentos, e, especialmente, ao Daniel Tonholo, por terem me tornado um
profissional de risco.
Aos meus amigos e colegas, especialmente ao Marcus Vinicius Silva e ao Marcos Muniz, por
tornarem meu dia a dia espirituoso.
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RESUMO Este trabalho tem como objetivo apresentar métodos de análise de risco de eventos raros
utilizando distribuições T assimétricas para o mercado brasileiro de ações. A análise de risco
de mercado é uma atividade essencialmente estatística, e o tratamento das séries de preços dos
fatores de risco deve levar em consideração características observadas nos dados empíricos,
como caudas grossas e assimetria. A modelagem de risco através de ferramentas estatísticas,
como o Value at Risk, utilizando distribuições que contemplam essas características enriquece
o conjunto de medidas do gestor de risco, e é capaz de sugerir cenários prospectivos de stress.
Neste trabalho, serão apresentadas distribuições candidatas a representarem bem o
comportamento das séries históricas das ações brasileiras também em eventos raros. Serão
discutidas as principais análises que devem ser feitas sobre as séries históricas à luz dos
parâmetros estimados das distribuições. Também serão discutidos os impactos dos dados nos
parâmetros que controlam assimetria e curtose das distribuições.
ABSTRACT This study’s objective is to present risk analysis methods for rare events using asymmetric T
distributions in the Brazilian stock market. The market risk analysis is essentially a statistic
activity, and the treatment of price series of risk factors must take into account features
observed in empirical data, like fat tails and asymmetry. Risk modeling through statistical
tools, like Value at Risk, using distributions that include these features refines the risk
manager framework, and is also able to suggest stress scenarios. This study will present
distributions that are candidates to well represent the behavior of Brazilian stocks historical
series also in the occurrence of infrequent events. It will discuss essential analysis that must
be performed about historical series in light of the parameters estimated for the distributions.
It will also discuss the impacts of data in estimating the parameters that control kurtosis and
asymmetry.
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Sumário
1 Introdução............................................................................................................................ 9
1.1 Estrutura da Dissertação ............................................................................................ 10
2 Risco de Mercado .............................................................................................................. 11
2.1 Métricas de risco ........................................................................................................ 12
2.1.1 Exposição e Alavancagem .................................................................................. 12
2.1.2 Beta ..................................................................................................................... 13
2.1.3 Cenários de Stress ............................................................................................... 13
2.1.4 Volatilidade, VaR e Expected shortfall .............................................................. 13
2.1.5 Simulações Históricas ........................................................................................ 14
2.1.6 Medidas posteriores ao evento ........................................................................... 14
2.1.7 Combinação de Métricas .................................................................................... 15
2.2 Value at Risk .............................................................................................................. 15
2.2.1 Severidade .......................................................................................................... 15
2.2.2 História ............................................................................................................... 16
2.2.3 Vantagens ........................................................................................................... 16
2.2.4 Críticas ................................................................................................................ 17
3 Distribuições...................................................................................................................... 18
3.1 Papel das distribuições ............................................................................................... 18
3.2 Normal ....................................................................................................................... 19
3.3 T de Student ............................................................................................................... 21
3.4 T assimétricas ............................................................................................................ 22
3.4.1 Hansen ................................................................................................................ 22
3.4.2 Jones & Faddy .................................................................................................... 23
3.5 Distribuições Não Condicionais ................................................................................ 24
3.6 Teoria dos Valores Extremos ..................................................................................... 25
4 Dados e Discussão de Resultados ..................................................................................... 25
8
4.1 Dados ......................................................................................................................... 25
4.1.1 Retornos .............................................................................................................. 26
4.1.2 Teste das Distribuições ....................................................................................... 27
4.2 Análise do ajuste do Ibovespa ................................................................................... 27
4.3 Análise das Assimetrias ............................................................................................. 32
4.4 Análise da Curtose ..................................................................................................... 34
4.5 Análise do Ajuste médio ............................................................................................ 35
5 Considerações Finais ......................................................................................................... 36
5.1 Extensões deste trabalho ............................................................................................ 37
6 Bibliografia........................................................................................................................ 38
Apêndice I. Estatísticas Básicas das Séries ........................................................................ 40
Apêndice II. Parâmetros Estimados das Séries .................................................................... 41
Apêndice III. VaR 10 anos .................................................................................................... 42
Apêndice IV. VaR 5 anos ...................................................................................................... 43
Apêndice V. VaR 2.5 anos ................................................................................................... 44
Apêndice VI. VaR 1 ano ....................................................................................................... 45
Apêndice VII. VaR 99% ..................................................................................................... 46
Apêndice VIII. VaR 98% ..................................................................................................... 47
Apêndice IX. VaR 95% ......................................................................................................... 48
9
1 Introdução
A disciplina de risco é intimamente ligada ao estudo de probabilidades. Gestão de risco
financeiro é, primeiramente, uma disciplina quantitativa. Atribuir números às incertezas e
mantê-las sob certo controle é o objetivo final de um gestor de risco. Para um gestor de risco
financeiro, este número está sempre ligado a possíveis perdas.
A disciplina de risco reuniu, ao longo dos anos em que se desenvolveu, ferramentas para
quantificar e controlar o risco. O Value at Risk, principal ferramenta estatística desenvolvida,
antes restrita apenas a alguns analistas quantitativos, difundiu-se entre todos os profissionais
de gestão financeira. Passou a integrar regras de órgãos reguladores de bancos e gestoras de
recursos. Seu conceito hoje é tão difundido que é utilizado inclusive para comunicação com
clientes mais avançados de hedge funds.
Após a crise de 2008, com o aumento da preocupação com eventos extremos, as críticas ao
Value at Risk ganharam volume. Nassim Taleb, seu principal crítico, passou a advogar de
forma mais enfática contra a ferramenta. O principal comentário era que ele funcionava
apenas como um guarda-chuva para garoas. Ou seja, não era capaz de medir riscos extremos.
Este tipo de crítica em relação ao modelo de VaR é referente à sua não adequação para
variações extremas dos retornos dos ativos. Esta crítica não invalida a possibilidade de que o
VaR seja uma boa medida também para eventos extremos, desde que sejam utilizadas as
distribuições corretas para modelar os retornos do portfolio.
Por mais que o futuro seja incerto, e não necessariamente refletirá o passado, deve ser
considerado negligência ignorar o que ocorreu. Utilizar os dados históricos para modelar a
incerteza futura é, no mínimo, uma tentativa de se precaver para não ser engolido duas vezes
pela mesma onda.
Podemos enxergar o VaR como um gerador de cenários de stress probabilísticos. Quando o
encaramos desta forma, podemos compor sua medida com cenários de stress e utilizar seus
resultados para aumentar a robustez das medidas dos cenários prospectivos discricionários e
aos cenários históricos.
Com o propósito de abranger valores extremos com mais precisão, podem ser aplicadas
modelagens de distribuições que consideram o terceiro e o quarto momentos aos retornos dos
ativos financeiros. A ideia deste trabalho é aplicar parte deste ferramental no mercado de
ações brasileiras, encontrando melhores estimativas de seus riscos.
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Durante o texto, serão apresentadas e discutidas distribuições univariadas candidatas a serem
boas representantes dos ativos também no caso de eventos mais extremos. Também serão
apresentadas análises típicas a serem feitas nos ativos a partir das distribuições, de forma a
entender seu comportamento em momentos de stress.
1.1 Estrutura da Dissertação
Este trabalho está organizado em 7 capítulos. O primeiro é uma introdução ao texto. Os
capítulos 2, 3 e 4 seguintes contextualizam o cenário atual da disciplina Risco de Mercado. Os
capítulos 5 e 6 apresentam resultados empíricos e conclusões. O sétimo apresenta a
bibliografia em que se apoiou o texto.
Capítulo 1: Introdução
Apresenta fatos e ideias que contextualizam o problema da gestão de risco e, mais
precisamente, do VaR em eventos extremos.
Capítulo 2: Risco de Mercado
Explica conceitos de Risco de Mercado sob a ótica dos principais livros sobre o assunto.
Define as métricas de risco e compara suas utilidades.
Define o Value at Risk e relata um pouco de sua história. Discute o valor que a medida agrega
em determinados contextos, e apresenta algumas críticas à ferramenta.
Capítulo 4: Distribuições
Apresenta as principais distribuições utilizadas para medir risco utilizando o Value at Risk.
Analisa o comportamento das distribuições, variando seus parâmetros, e mostra os casos em
que as distribuições são similares
Capítulo 5: Dados e Resultados Empíricos
Apresenta as fontes e tratamentos dos dados, assim como uma análise básica destes. Discute e
analisa os ajustes das distribuições às séries de preços. Comenta a interpretação dos
parâmetros estimados para Curtose e Assimetria no contexto de risco de mercado. Avalia o
impacto dos dados na estimação dos parâmetros.
Capítulo 6: Considerações Finais
Resume as principais analises feitas no texto e destaca pontos para debates futuros.
11
Capítulo 7: Bibliografia
Lista as referências bibliográficas utilizadas nesta dissertação.
2 Risco de Mercado
A palavra risco no contexto de finanças se refere a qualquer incerteza que possa acarretar em
perda financeira. O valor gerado pelas empresas pode ser interpretado como um prêmio pelo
risco que elas decidem correr, seja ele tomado de forma passiva, ou controlado para ganhar
vantagem competitiva sobre a concorrência.
Quando esse risco é dado pelas atividades do mercado financeiro, é chamado de risco
financeiro. O risco financeiro é dividido nas seguintes subcategorias (Jorion, Value at Risk):
risco de mercado, dado por variações nos preços dos ativos financeiros, como a
variação do preço de uma commodity, ou a elevação de uma taxa de juros
risco de crédito, dado pela possibilidade de uma contraparte não honrar seus
compromissos, como o não pagamento de uma dívida
risco operacional, dado pela possibilidade de falha ou de inadequação de um processo,
pessoas ou sistema.
A gestão de Risco de Mercado pode ser definida como o processo de identificação,
mensuração e gerenciamento das perdas decorrentes de variações nos preços dos ativos
financeiros. Com o desenvolvimento do mercado financeiro, a importância da gestão de risco
financeiro, e mais especificamente de mercado, aumentou.
A importância da mensuração do risco de mercado se dá para que os agentes possam
controlá-lo de forma eficaz. Inicialmente, para otimizar o risco-retorno das posições: bancos e
gestores recebem um prêmio de seus clientes em retorno aos riscos que aceitam correr,
justamente por saberem administrar esses riscos.
Nas décadas recentes, novas regulações passaram a exigir ainda mais sofisticação no controle
de riscos. Esses controles foram postos a prova mais recentemente, durante a crise imobiliária
americana, onde a falência ou quase falência de diversas instituições financeiras
demonstraram que o sistema de controle de perdas era insuficiente.
Neste cenário, investiu-se na criação de ferramentas estatísticas e discricionárias que
possibilitassem essa mensuração de forma consolidada. Algumas delas foram bastante
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difundidas, e são utilizadas em larga escala pelo mercado, como análises de sensibilidade,
Análise de Cenários de Stress e o Value at Risk.
2.1 Métricas de risco
A perda decorrente de um ativo é dada por dois fatores: a exposição a este ativo e sua
variação. Apesar de apenas a exposição poder ser controlada pelos gestores de carteiras, tanto
ela quanto a variação podem ser medidas e consideradas no momento de ajustar a exposição.
Dentre as medidas de risco desenvolvidas, podemos perceber a distinção de suas naturezas. A
exposição, por exemplo, não faz suposições estatísticas. Apenas relata números exatos da
carteira. O VaR e o Expected Shortfall, por sua vez, assumem uma distribuição para os
retornos e ponderam o potencial de retornos do ativo na medida. Os Cenários de Stress
também ponderam o potencial dos retornos. Porém, faz isso de forma discricionária.
2.1.1 Exposição e Alavancagem
Muito utilizada para comunicação, a exposição é uma medida que transmite a dimensão do
valor base (Nocional) empregado em um ativo. Ele dá a noção do valor do ganho/perda dado
um movimento qualquer no preço do ativo. A exposição de uma ação, por exemplo, é o
financeiro alocado na mesma. Caso a exposição a uma ação específica seja R$100.000, um
movimento de -10% no preço dessa ação acarretará em uma perda de R$10.000 para a
carteira.
O quociente entre a exposição e o patrimônio total da carteira é chamado de alavancagem.
A fragilidade dessa medida para risco pode ser vista claramente no caso de a carteira possuir
também títulos, apesar de acontecer também para as outras classes de ativos. A medida para
títulos envolve seu nocional, muitas vezes multiplicado pela sua duration, para levar em conta
o impacto maior de movimentos de yields em títulos com maturidade mais distante. Porém,
uma carteira com alavancagem de dez vezes em um título provavelmente incorrerá em perdas
muito menores que uma carteira com alavancagem de apenas uma vez em uma ação, já que
preços de ações variam muito mais que yields de títulos. Até mesmo a comparação entre a
alavancagem de dois títulos pode ser ilusória. Yields de títulos emergentes variam muito mais
que as yields dos títulos de países desenvolvidos, e por consequência, podem trazer perdas
maiores para medidas de exposições menores.
13
2.1.2 Beta
O Beta tem sua origem na ideia de diversificação da fronteira de Markowitz. Proposto depois
por Treynor, Sharpe, Lintner e Mossin, no Capital Asset Pricing Model (CAPM), é a medida
de risco sistemático de um ativo. De acordo com o CAPM, todo ativo tem um risco sitemático
e um risco idiossincrático. O risco sistemático é dado pela exposição aos movimentos do
mercado. O risco idiossincrático é aquele que é próprio do ativo, e descorrelacionado com o
mercado e os riscos idiossincráticos dos outros ativos. Pelo CAPM, todo prêmio de risco de
um ativo deve vir de seu risco sistemático.
𝐸(𝑅𝑖) = 𝑅𝑓 + 𝛽𝑖(𝐸(𝑅𝑚) − 𝑅𝑓)
Apesar da importância do modelo para a gestão de carteiras, este foi criticado e provado
errado por diversos estudos. O mais famoso, que propôs inclusive um novo modelo
incorporando outras fontes de risco, foi o de Fama & French. Eles mostraram que pelo menos
dois outros fatores também impactavam o retorno esperado de um ativo: o tamanho da
empresa, e sua razão book-to-market.
2.1.3 Cenários de Stress
Os cenários de stress medem a resposta da carteira a situações definidas de forma
discricionária (apesar da possibilidade de terem bases estatísticas). Definem-se situações
hipotéticas onde os ativos sofrem variações severas determinadas (ex: todas as ações
brasileiras caem 10%), de acordo com uma história possível para o futuro. Avalia-se então
qual seria a perda da carteira nessas condições.
Cenários de stress normalmente têm uma região ou classe de ativos onde a crise tem origem,
chamados de epicentro. Avaliam-se então os contágios possíveis para as outras classes e
regiões.
2.1.4 Volatilidade, VaR e Expected shortfall
A volatilidade, o VaR e o Expected Shortfall são medidas baseadas na suposição de uma
distribuição para o ativo. Ou seja, além de considerarem a exposição que a carteira tem ao
ativo, atribuem estatisticamente uma variação a esse ativo, e consequentemente, à carteira.
Desta forma, ponderam a exposição com a capacidade de perda do ativo.
A volatilidade é definida como a variação diária esperada de uma série histórica. Pode ser
estimada pelo desvio padrão da amostra, ou com técnicas mais avançadas, como modelos
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GARCH, que consideram pesos diferentes para os retornos recentes na hora de estimar a
volatilidade.
A volatilidade é um conceito muito difundido para se tratar do risco padrão de um ativo.
Quando as volatilidades do mercado sobem, os gestores tendem a tratar o momento com
cautela. Ativos com volatilidades mais altas são tratados como ativos mais arriscados.
O VaR é a perda máxima que um ativo (ou carteira) pode incorrer com um certo nível de
confiança. É comum a comparação da magnitude da variação de um ativo em um dia com sua
volatilidade para analisar se dado retorno foi relativamente grande ou não. O VaR quantifica
essa magnitude relativa. O VaR 99% de um ativo é uma perda que só acontece uma vez a
cada cem dias. Quando o retorno de um ativo supera esse número, sabemos que aquela
variação foi uma variação severa.
O Expected Shortfall, também chamado de VaR Condicional, é a perda esperada dado que o
VaR foi superado. Diferente do VaR, o Expected Shortfall provê uma informação que engloba
todas as perdas severas possíveis. O VaR, por sua vez, diz apenas a frequência que a perda
excederá um certo valor.
2.1.5 Simulações Históricas
O VaR Histórico e o Expected Shortfall Históricos são similares aos seus pares paramétricos.
Porém, utilizam a distribuição empírica como base. Ou seja, não assumem forma funcional
para a distribuição dos dados. Ao invés disto, se apoiam nos retornos que realmente
aconteceram. Desta forma, capturam assimetrias, curtoses e quaisquer outras características
observadas nos retornos realizados.
2.1.6 Medidas posteriores ao evento
Todas as medidas citadas anteriormente tratam o risco de forma preditiva: se antecipam aos
acontecimentos. Esta não necessariamente é a única forma de controlar risco.
Existem técnicas que permitem que o risco seja controlado à medida que o evento de risco vá
se concretizando. Um exemplo de ferramenta com essa característica é o Stop Loss.
O Stop Loss é uma regra de redução de exposição relacionada a resultados negativos
realizados. Ele é um limitador de perdas, desfazendo posições à medida que elas se
concretizam.
Um exemplo de regra de Stop Loss seria: O fundo deve zerar suas posições por 5 dias caso as
perdas ultrapassem 10% do patrimônio total da carteira no mês.
15
O maior risco do Stop Loss é que a perda aconteça de forma muito intensa, não havendo
tempo hábil ao gestor para desfazer suas posições antes que a carteira perca mais que os 10%
objetivados.
2.1.7 Combinação de Métricas
O gestor de risco deve ser capaz de encontrar uma combinação de métricas de risco que sejam
complementares. Como todas as métricas tem seus pontos a favor e contra, apoiar-se em um
conjunto de técnicas pode tornar o controle do risco bastante eficaz.
Podemos imaginar o VaR como um gerador probabilístico de cenários de stress. Ao fazermos
simulações de Monte Carlo, por exemplo, estamos justamente gerando milhares de cenários
de stress sugeridos pelo nosso gerador probabilístico.
Neste contexto, cenários de stress podem complementar esse trabalho do VaR, auxiliando a
medida probabilística com situações que ela, baseada em dados passados, não consegue
produzir. Por outro lado, as simulações históricas blindam o gestor com cenários que já
tenham ocorrido, mas não foram previstos nem pelo VaR nem pelo teste de stress.
2.2 Value at Risk
O Value at Risk é uma medida do risco de perda financeira resumido em um número. Ele
significa o máximo valor da perda esperada que uma determinada carteira pode sofrer em
determinado horizonte de tempo, dado certo nível de confiança (1-p). Ou seja, a probabilidade
da carteira perder mais que seu VaR é dada por p, que é chamado nível de significância.
P(L > VaR) ≤ p
Existem duas formas básicas de calcular o VaR de um ativo. Na forma paramétrica, supõe-se
uma distribuição para o ativo e calcula-se a função de distribuição inversa para o nível de
confiança pretendido.
Na forma não paramétrica (ou histórica), não é feita nenhuma suposição em relação à
distribuição do ativo. O VaR será dado pela distribuição empírica do ativo. Ou seja, em uma
amostra de 100 dados, o VaR com 99% de confiança será dado pela pior observação da
amostra.
2.2.1 Severidade
Usualmente, quando estamos nos referindo ao VaR, usamos o nível de confiança para
determinar a probabilidade da carteira não sofrer uma perda maior que a medida. Porém,
16
quando a análise é feita sobre níveis de confiança muito altos, a comunicação passa a ficar
difícil através do nível de confiança. O mesmo acontece para o seu complemento, o nível de
significância. Nesses momentos extremos, um conceito mais didático se aplica: a severidade.
Ela define o tempo esperado para que a perda aconteça uma vez. Com isso, ao invés de
tratarmos o VaR com 99,96% de confiança, ou 0,04% de significância, dizemos que sua
severidade é 10 anos. Ou seja, é esperado que ocorra uma vez a cada dez anos.
2.2.2 História
O VaR tem origem na teoria de otimização de carteiras, conforme compilação de
Holton(2002). Desde o início dos anos 1920, autores como Hardy(1923) e Hicks(1935) já
discutiam os conceitos de diversificação, base da medida do VaR. Em 1945, Leavens
publicou o que pode ser o primeiro VaR documentado da história. Apesar de não ser muito
explícito em relação ao conceito, mencionava repetidamente o termo “spread entre ganhos e
perdas prováveis”, onde indicava parecer ter uma medida de desvio padrão em mente.
Nos anos 50, Markowitz(1952) e Roy(1952), publicaram dois diferentes estudos em que
utilizavam medidas de VaR bastante similares para otimizar o risco-retorno de carteiras.
Ambos incorporavam matrizes de covariância, capazes de refletir efeitos de hedge e
diversificação.
Nos anos seguintes, com o aperto das pressões regulatórias sobre as instituições financeiras,
esses conceitos foram sendo desenvolvidos. Porém, o conhecimento sobre a medida do VaR
era restrito somente aos analistas quantitativos das instituições. No fim dos anos 80, o banco
JP Morgan passou a calcular uma medida de VaR para toda a instituição. Em 1990 a medida
passou a integrar um relatório diário de ganhos e perdas do banco, que era discutido na
reunião diária do tesouro e encaminhado ao CEO do banco.
Em 1994, o banco lançou um serviço chamado RiskMetrics, que continha o passo a passo e as
informações necessárias, como a matriz de covariância atualizada diariamente, para que
outras empresas também implementassem o VaR de suas carteiras.
2.2.3 Vantagens
O VaR apresenta diversas vantagens. Entre elas, podemos destacar que o VaR incorpora tanto
o risco de cada ativo quanto a sensibilidade da carteira aos ativos. Essa composição permite
que o VaR seja utilizado e comparado em diferentes mercados. Medidas de exposição, por
exemplo, não são facilmente comparadas entre mercados de juros e de câmbio. O VaR de um
título, por sua vez, é comparável ao VaR de uma moeda.
17
Medidas de exposição puras, como delta, duration ou notional, e de alavancagem, têm
dificuldade de compor resultados para diferentes tipos de ativos. É difícil dizer se um fundo
de investimentos está mais exposto que outro baseado em medidas que não levem em conta a
potencial variação dos ativos a que cada fundo está exposto.
2.2.4 Críticas
2.2.4.1 Crítica ao uso da estatística para mensurar risco
O maior crítico do VaR, ou pelo menos o mais famoso e importante, é Nassim Nicholas Taleb.
Taleb promoveu diversas discussões criticando o VaR, chegando a testemunhar no congresso
americano a favor do banimento da medida.
Seu principal argumento é que o VaR é uma ferramenta cujo erro padrão é maior que a
própria medida. E que não é correto atribuir probabilidade a eventos de risco futuros. Ele
afirma que atribuir probabilidades a perdas, particularmente àquelas infrequentes, é um
método falho, que serve mais para ser utilizado como justificativa por parte de gestores para
tomar riscos excessivamente altos, e culpar por eventuais perdas a “má sorte” de um evento
com probabilidade baixa.
Na sua visão, o paradigma da média-variância foi desenvolvido para entendermos melhor o
mundo, mas não para quantificar risco.
Ele considera ainda que utilizar distribuições com caudas pesadas para adaptar a medida a
eventos extremos que aconteceram recentemente é uma ingenuidade perigosa.
2.2.4.2 O VaR Não é uma Medida Coerente de Risco
Uma crítica comum ao VaR é que ele não é uma medida coerente de risco. Medidas coerentes
de risco devem apresentar quatro propriedades (Artzner et al 1999):
Invariância à translação. Se adicionarmos um ativo a com retorno fixo u à carteira X, a
medida da carteira composta deve ser igual à medida sem esse ativo subtraída do retorno
desse ativo.
𝜌(𝑋 + 𝑎) = 𝜌(𝑋) − 𝑢
Monotonicidade. Se os retornos de X1 são maiores ou iguais aos retornos de X2 em todos os
cenários possíveis, o risco de X1 deve ser menor ou igual ao risco de X2.
𝑠𝑒 X1 ≥ X2 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜌(X1) ≤ 𝜌(X2)
18
Homogeneidade positiva. Multiplicar o portfolio por um fator fixo 𝛼, seu risco deve ser
multiplicado por 𝛼 também.
𝜌(𝛼X) ≤ 𝛼𝜌(X)
Sub-aditividade. O risco da soma de duas carteiras não pode ser maior que a soma do risco
das carteiras individuais.
𝜌(X1 + X2) ≤ 𝜌(X1) + 𝜌(X2)
Esta última permite que a gestão de risco seja descentralizada. Se existem limites individuais
para subcarteiras, e o limite de risco total da carteira é maior ou igual à soma desses limites,
ele sempre será satisfeito se os limites das subcarteiras estiverem satisfeitos.
Porém, é justamente nessa propriedade que o VaR falha. Existem carteiras em que a soma do
VaR das posições é menor que o VaR total. Um exemplo é a carteira formada por dois ativos
com o seguinte payoff igual, porém descorrelacionado:
{𝒘𝒓 com probabilidade π
−𝒘 com probabilidade 1 − π
O ativo acima é semelhante a um bond, onde existe a probabilidade de não pagamento por
parte do emissor. Se a probabilidade π for igual a 4.5%, o VaR5% do ativo é –wr, onde o
valor negativo denota ganho.
Já o VaR5% da carteira de dois ativos iguais a este é w(r-1), dado que as probabilidades dos
eventos são: 91.2% de os dois pagarem wr, 8.6% de um pagar wr e o outro perder w, e 0.2%
de ambos perderem w.
A soma dos VaR dos ativos individuais seria -2wr , que é menor que o VaR da carteira,
w(r-1).
3 Distribuições
3.1 Papel das distribuições
Na perspectiva de risco, a modelagem do comportamento dos retornos dos ativos tem papel
fundamental para possibilitar a mensuração e controle de perdas futuras. Sabendo a
distribuição teórica dos retornos dos fatores de uma carteira, temos todas as informações
necessárias para determinar suas possíveis trajetórias, e por consequência, as possíveis
19
trajetórias da carteira. Podemos então associar probabilidades a essas trajetórias e utilizar essa
combinação para diversos fins.
O modelo dos retornos de uma série de preços deve abarcar as seguintes características das
distribuições, observadas por diversos trabalhos empíricos ao longo dos últimos 60 anos:
Clusters de Volatilidade - o dia após um movimento maior nos preços tende a
apresentar um movimento grande também. Dias após movimentos menores tendem a
apresentar movimentos pequenos.
Assimetria dos Retornos – Diversos ativos apresentam distribuições de probabilidade
diferentes de retornos positivos e negativos.
A assimetria não é uma tendência de a distribuição apresentar mais retornos positivos
que negativos, por exemplo. Essa tendência seria dada pela média.
A assimetria é uma característica que diz respeito ao formato da distribuição ser
diferente em seus lados positivo e negativo, acarretando em que perdas e ganhos se
tornem mais (ou menos) desiguais à medida que ficam mais intensos.
Caudas Grossas – A probabilidade de ocorrência de eventos mais extremos é maior
que a estimada pela distribuição normal.
Como a distribuição normal tem apenas dois parâmetros, sua média e seu desvio
padrão, ela apresenta dificuldade em modelar séries que possuem desvio padrão
relativamente baixo, porém, apresentam retornos agudos com uma frequência maior
que a esperada. Outras distribuições dependem de parâmetros adicionais que permitem
esse comportamento dos dados extremos.
O modelo ideal para uma série de preços é aquele que consegue capturar estes fatos
estilizados, mas que também seja o mais simples possível.
3.2 Normal
A normal é, talvez, a distribuição contínua mais importante. Sua função de distribuição de
probabilidade tem o formato de sino. A função depende de apenas dois parâmetros, a média
(𝜇) e o desvio padrão (𝜎), e sua função de densidade é definida pela seguinte fórmula:
𝑓(𝑥, 𝜇, 𝜎) =
1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 (1)
Alguns motivos para a sua popularidade são (Güner, 2011):
20
Sua tratabilidade, ou seja, derivar resultados teóricos dela e empregá-la em medidas é
relativamente simples.
Ela é o cerne de alguns resultados centrais da estatística, como o Teorema do Limite
Central e a Lei dos Grandes Números.
Ela é bastante intuitiva. Variáveis aleatórias com distribuição normal tendem a
assumir valores próximos à média, e a chance de desviarem dela diminui
exponencialmente com a distância desse desvio.
Figura 1 : PDF da Normal
Usualmente, a normal padrão é utilizada. Nela, a média é igual a zero, e o desvio padrão,
igual a um. A fórmula da pdf é simplificada no caso da normal padrão para:
𝑓(𝑥) = 𝑒−
12𝑥2
√2𝜋
(2)
Em finanças, especificamente, a distribuição mais comum para a modelagem de ativos é a
normal. Vários dos mais proeminentes frameworks de finanças foram construídos ao redor da
distribuição normal: A fronteira de Markowitz, o CAPM e a fórmula de Black&Scholes são
alguns ilustres exemplos.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5PDF da Normal
x
P(x
)
21
Propriedades da Normal
Invariancia à escala e ao centro da distribuição
A normal é invariante à escala e ao centro da distribuição. Isto significa que ao
multiplicar a variável aleatória normalmente distribuída por uma constante, o resultado
também será normalmente distribuído.
Estabilidade à soma
A variável aleatória resultante da soma de outras variáveis aleatórias normalmente
distribuídas também é normalmente distribuída.
Define-se que o ativo pode variar, durante certo período de tempo, 𝜀 ∗ 𝜎 + 𝜇, onde 𝜀 é a
normal padrão, 𝜎 e 𝜇 são o desvio padrão e a média estimados para o próximo período. A
partir dessa estimação, pode-se estimar o valor máximo de perda, dado um nível de confiança:
o VaR.
Sua adequação para eventos mais frequentes é bastante razoável: O comportamento observado
de séries de preço em períodos comuns é bem próximo de uma normal. Isto significa que,
para eventos com confiança de até 99%, a normal prevê bem a perda máxima.
Porém, ao aproximarmo-nos da cauda da distribuição, percebemos que eventos mais agudos
são subestimados. Isto sugere que as distribuições dos ativos sejam platicúrticas, ou seja, que
suas caudas sejam mais grossas que as sugeridas pela normal. Além disso, em diversas séries,
observamos falta de simetria entre os retornos positivos e os retornos negativos, característica
que também não é capturada pela distribuição normal.
3.3 T de Student
Dada a importância da distribuição normal, e, em contrapartida, sua não adequação aos dados,
destaca-se a importância de utilizar distribuições que tenham como caso particular a normal.
Este é o caso da distribuição T de Student e das suas variantes assimétricas.
Proposta por William Sealy Gosset em 1906, a distribuição t de student tem sua função de
densidade definida pela fórmula:
𝑓(𝑧) =Γ (𝜈 + 12 )
√𝜈𝜋 Γ (𝜈2)(1 +
𝑧2
𝜈)
−𝜈+12
(3)
22
Onde Γ é a função Gamma e 𝜈 é o número de “graus de liberdade”. Este último parametriza
justamente o grau de decaimento da cauda da distribuição. Para valores pequenos de 𝜈, a
curtose da distribuição aumenta. Para valores grandes de 𝜈, a distribuição tende à normal. A
distribuição T de Student é igual à normal quando 𝜈 tende a infinito.
Figura 2 : PDF da T de Student
3.4 T assimétricas
3.4.1 Hansen
Hansen(1994) propôs em seu paper a seguinte distribuição. Apesar da distribuição em si não
ser o principal objetivo do paper, ela é uma extensão bem simples da t de Student. Sua
densidade é dada por:
𝒈(𝒛|𝜼, 𝝀) =
{
𝒃𝒄(𝟏 +
𝟏
𝜼 − 𝟐(𝒃𝒛 + 𝒂
𝟏 − 𝝀)𝟐
)
−𝜼+𝟏𝟐
, 𝒛 < −𝒂/𝒃
𝒃𝒄(𝟏 +𝟏
𝜼 − 𝟐(𝒃𝒛 + 𝒂
𝟏 + 𝝀)𝟐
)
−𝜼+𝟏𝟐
, 𝒛 < −𝒂/𝒃
(4)
Onde 2 < 𝜂 < ∞, e −1 < 𝜆 < 1. As constantes a, b e c são dadas por:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5PDF da T de Student variando os graus de liberdade
x
P(x
)
nu = 3
nu = 8
nu = 200 (normal)
23
𝒂 = 𝟒𝝀𝒄 (
𝜼 − 𝟐
𝜼 + 𝟏), (5)
𝒃𝟐 = 𝟏 + 𝟑𝝀𝟐 − 𝒂𝟐, (6)
𝒄 =𝚪(𝜼 + 𝟏𝟐 )
√𝝅(𝜼 − 𝟐)𝚪 (𝜼𝟐) (7)
O parâmetro 𝜆 controla a assimetria da distribuição. Quando esse parâmetro adicional é
diferente de zero, a distribuição apresenta assimetria negativa ou positiva, dada por um 𝜆
positivo ou negativo, respectivamente. A distribuição de Hansen tem a t de Student como caso
particular, obtida quando o parâmetro 𝜆 é igual a zero.
Figura 3 : PDF da Hansen
3.4.2 Jones & Faddy
O artigode Jones e Faddy (2003) tem o propósito de apresentar uma extensão diferente da
distribuição t, que permite comportamento assimétrico. Sua densidade é dada por:
𝑓(𝑧|𝑎, 𝑏) = 𝐶𝑎,𝑏−1 {1 +
z
√(𝑎 + 𝑏 + 𝑧2) }
𝑎+12
{1 −z
√(𝑎 + 𝑏 + 𝑧2) }
𝑏+12
(8)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7PDF da Hansen variando o lambda
x
P(x
)
lambda = 0 (T de Student)
lambda = -0.5
lambda = -0.9
24
Onde
𝐶𝑎,𝑏 = 2
𝑎+𝑏−1𝐵(𝑎, 𝑏)(𝑎 + 𝑏)12 (9)
Para valores de a maiores que b, a distribuição apresenta assimetria negativa. Por outro
lado, quando b é maior que a, a assimetria apresentada é positiva. Assim como na
proposta por Hansen, a distribuição de Jones e Faddy tem a t de Student como caso
particular, observado quando os parâmetros a e b são iguais. Neste caso, a distribuição
se iguala a uma t de Student com (a+b) graus de liberdade.
Figura 4 : PDF da Jones & Faddy
3.5 Distribuições Não Condicionais
Uma característica observada nas séries de retornos de ativos financeiros é a
heterocedasticidade: a volatilidade dos retornos não é constante ao longo do tempo. Para
contemplar esta propriedade, a literatura costuma utilizar modelos condicionais
autoregressivos da família ARCH, como, por exemplo, o proposto por Hansen(1994).
A mensuração de risco de uma carteira, no entanto, pode balizar diversas decisões dos
gestores de carteiras. Especialmente em hedge funds, onde a medida do risco é um ótimo
limitador de posições, a estabilidade da medida apresentada é um fator importante a ser
perseguido. Neste caso, é mais interessante haver um número que represente o risco em uma
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4PDF da Jones & Faddy variando os parâmetros a e b
x
P(x
)
a = b = 2.5 (T de Student)
a = 2 ; b = 3
a = 1 ; b = 4
25
perspectiva de longo prazo. Com isto, modelos que utilizam distribuições não condicionais
tendem a interagir melhor com as métricas de risco históricas e prospectivas.
3.6 Teoria dos Valores Extremos
A Teoria dos Valores Extremos pode ser resumida como a estimação de uma distribuição a
partir dos máximos e mínimos de uma série histórica. Esta estimação pode ser baseada nos
maiores valores em uma janela fixa, ou em uma análise dos picos de retornos dos dados.
A Teoria dos Valores Extremos parte do princípio que o comportamento da cauda de uma
distribuição, isto é, dos seus retornos mais raros, tem pouco a ver com o seu comportamento
na normalidade. Portanto, a estimativa é realizada apenas sobre os dados extremos. Desta
forma, as distribuições tendem a se ajustar de forma bastante próxima aos dados das caudas.
Porém, ter uma distribuição que não adiciona informações em relação aos dados não deveria
ser o objetivo da modelagem. Como discutido na sessão anterior, as medidas probabilísticas
de risco podem ser encaradas como grandes geradoras de cenários. Neste contexto, uma
medida que replica exatamente os dados perde sua capacidade de adicionar situações
hipotéticas relevantes diferentes das que já são dadas pelo histórico. É importante que a
distribuição possa “opinar” sobre a severidade de um dado, por exemplo.
Se a distribuição utilizada não é capaz de fazê-lo, ela dará uma informação que medidas
históricas, como a distribuição empírica, já seriam capazes de contemplar.
Em outras palavras, quando estamos estimando uma distribuição para uma série cuja amostra
tem dez anos, não sabemos se esses dados disponíveis possuem uma variação que acontece
uma vez a cada dez anos. Pode ser que a amostra não possua nenhuma observação com essa
severidade. Pode ser que possua duas observações com essa severidade. Esperamos que a
distribuição seja capaz, dentro de algum limite, de classificar se essa observação foi mais ou
menos severa que a ordenação empírica apresenta.
4 Dados e Discussão de Resultados
4.1 Dados
Foram obtidos preços de mais de duzentas ações da Bovespa, além do índice Bovespa para os
últimos dez anos. Aquelas que apresentavam baixa liquidez ou histórico incompleto foram
cortadas, restando 47 ações. A falta de liquidez pode ser observada quando o preço de uma
26
ação fica estagnado em um nível durante mais de um dia. Quando essa falta de liquidez
passava a influenciar de forma expressiva o histórico de preços, a série era cortada da base de
dados deste trabalho. Estatísticas básicas das séries finais podem ser encontradas no Apêndice
I.
Os dados das séries históricas utilizadas foram extraídos na bloomberg, através da função
BDH. Foram utilizados os preços de fechamento diários. A partir dos preços, foram
calculados os retornos de cada série.
Para cada uma das séries de retornos das ações, foram estimados os parâmetros de quatro
distribuições: Normal, T de Student, proposta por Hansen(1994) e proposta por
Jones&Faddy(2003). O Apêndice II apresenta os parâmetros estimados para cada série. Com
os parâmetros estimados, pude calcular o VaR de cada distribuição em diferentes severidades.
Calculei também o VaR da distribuição empírica.
Todas as análises foram feitas em Matlab, inclusive as estimações de parâmetros das
distribuições. Para as distribuições T assimétricas, foram utilizados os toolboxes
disponibilizados em http://www.spatial-econometrics.com/.
4.1.1 Retornos
Os retornos foram computados na forma logarítmica:
𝒓(𝑨)𝒕 = 𝐥𝐧(𝒑(𝑨)𝒕) − 𝐥𝐧(𝒑(𝑨)𝒕−𝟏), (10)
onde r(A)t é o retorno do ativo A no tempo t em relação ao tempo t-1, e p(A)t é o preço de
fechamento de A no tempo t.
Outra forma possível de computar os retornos é a aritmética:
𝒓(𝑨)𝒕 =
𝒑(𝑨)𝒕𝒑(𝑨)𝒕−𝟏
− 𝟏 (11)
Os retornos logarítmicos apresentam algumas vantagens em relação aos aritméticos. Primeiro,
sua composição é bastante simples, bastando somar o retorno de cada dia para encontrar o
retorno acumulado no período. No caso do aritmético, é preciso compor os retornos em um
produtório de (1 + 𝒓(𝑨)𝒕).
Além disso, o retorno logarítmico de uma série que vai de um nível x em t-1 para y tem o
mesmo módulo do movimento contrário: saindo de y em t-1 para x em t. No caso do retorno
aritmético, caso o nível caia do atual, mas volte em seguida para o primeiro nível, o retorno de
27
queda será maior em módulo que o retorno de subida. Esta diferença aumenta à medida que o
tamanho do deslocamento aumenta.
4.1.2 Teste das Distribuições
O teste utilizado para verificar se as distribuições se ajustaram bem aos dados foi o de
Kolmogorov-Smirnov. Este teste independe da distribuição utilizada, apenas de sua função de
distribuição acumulada. A CDF de uma distribuição é dada por F(x). Isto quer dizer que a
proporção de retornos na população menores ou iguais a x é igual a F(x). Para uma amostra
qualquer, a proporção empírica deve ser parecida com a sugerida pela distribuição. Se não for,
esta é uma evidência de que o modelo não representa os dados.
A figura 5 apresenta o resultado do teste para as séries de preços das ações. Os blocos
coloridos apontam as distribuições que passaram no teste de Kolmogorov-Smirnov, com 5%
de significância. A tabela 1 mostra quantas ações, do total de quarenta e oito, apresentaram
um bom ajuste de cada distribuição.
Das quarenta e oito séries analisadas, nenhuma é bem ajustada pela normal. Trinta e seis
foram bem ajustadas a pelo menos uma das distribuições T, segundo o teste de
Kolmogorov-Smirnov. Treze delas não apresentaram bons ajustes a nenhuma das
distribuições utilizadas.
Figura 5 : Ajustes que passaram no teste de Kolmogorov-Smirnov
Tabela 1 : Quantidade de séries bem ajustadas a cada distribuição
4.2 Análise do ajuste do Ibovespa
Normal
T 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
Hansen 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Jones&Faddy 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0
AB
EV3
B
BA
S3
BB
DC
3B
BD
C4
BR
AP
4B
RFS
3
BR
KM
5
CC
RO
3C
ESP
3
CG
AS5
CM
IG3
CM
IG4
CP
FE3
C
PLE
3
CP
LE6
C
RU
Z3
CSN
A3
D
ASA
3
ELET
3
ELET
6
FIB
R3
G
ETI3
G
ETI4
G
GB
R4
G
OA
U4
G
OLL
4
GR
ND
3
ITSA
4
ITU
B4
K
LBN
4
LAM
E4
LEV
E3N
ATU
3
OIB
R4
P
CA
R4
P
ETR
3
PET
R4
PSS
A3
SB
SP3
TB
LE3
TI
MP
3
TRP
L4
UG
PA
3
USI
M5
V
ALE
3
VA
LE5
V
IVT4
IB
OV
In
de
x
Ajustes que passaram no teste de Kolmogorov-Smirnov (5%)
Total
Normal
T
Hansen
Jones&Faddy
0
28
25
13
48
Número de Séries que passaram no teste KS
28
O primeiro passo para analisar uma série histórica é conhecer o comportamento de seu retorno
ao longo do tempo. A verificação do gráfico de retornos (figura 6) pode auxiliar na busca por
períodos de crises, mudanças de regimes, períodos de baixa volatilidade, ou baixa liquidez.
Na série do Ibovespa, conseguimos observar facilmente o período da crise americana em 2008.
Já a crise europeia, em 2011, não observamos um aumento de volatilidade tão expressivo,
apesar de alguns retornos individualmente grandes.
Figura 6 : Retornos diários do Ibovespa
Após realizarmos o ajuste em uma distribuição, um gráfico que analisamos para verificar se a
distribuição modela a série realizada de forma correta é o plot de comparação dos quantis,
chamado QQ plot (quantil x quantil).
Ele compara os valores acumulados das distribuições, variando os percentis. Na figura 7, por
exemplo, o ponto mais à esquerda e abaixo tem o valor de -12.1% no eixo x e -6.1% no eixo y.
Isto significa que a distribuição normal aferiu o valor de -6.1% para este quantil, enquanto que
o quantil empírico é -12.1%. O desejado, portanto é que todos os pontos fiquem sobre a linha
vermelha, onde x=y. Estar em cima dessa linha significa que a distribuição aferiu um valor
igual ao que aconteceu realmente e a modelagem foi bem sucedida.
No QQ Plot da normal (figura 7), vemos que, a medida que nos afastamos do centro da
distribuição, ela passa a não se ajustar bem aos dados. O QQ Plot das distribuições T (figuras
8, 9 e 10) se adequam muito mais à série dos dados nas caudas.
29
Figura 7 : QQ Plot Normal do Ibovespa
Figura 8 : QQ Plot da T de Student do Ibovespa
30
Figura 9 : QQ Plot da Hansen do Ibovespa
Figura 10 : QQ Plot da Jones e Faddy do Ibovespa
31
A figura 11 mostra o VaR para várias severidades das diferentes distribuições. Nela, também
vemos que a normal não se adequa bem a dados. Os valores de VaR obtidos da distribuição
normal começam a distanciar bastante dos observados à medida que se aumenta a severidade.
Por outro lado, a T de Student e suas variantes assimétricas aproximam muito mais os valores
realizados (distribuição empírica).
Figura 11 : Análise do VaR do Ibovespa por severidade
A tabela 2 apresenta a severidade dos dados observados na ótica de cada distribuição obtida.
Ou seja, para a primeira linha, vemos a frequência de ocorrência de um retorno pelo menos
tão baixo quanto -12.1% em cada uma das distribuições. Como ele é o pior retorno da série do
Ibovespa, e a série tem dez anos de dados, a distribuição histórica apresenta o valor 10: ocorre
uma vez a cada dez anos. Na linha seguinte, para o retorno de -10.7%, a severidade empírica é
de uma vez a cada cinco anos. Isto porque, nesta amostra do Ibovespa, dois retornos foram
pelo menos tão ruins quanto -10.7%: o próprio -10.7%, e o pior retorno, de -12.1%.
Pelo mesmo quadro, vemos a severidade atribuída pelas distribuições a cada um desses dados.
Para os dados mais extremos, onde sabemos que a normal não representa bem os dados,
vemos aqui mais uma evidência desse ajuste ruim. A normal considera que um retorno da
magnitude de -12.1% do Ibovespa só ocorreria uma vez a cada 352 mil anos. Já as
distribuições T, Hansen e J.Faddy apresentam um número muito mais alinhado à frequência
observada.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
Severidade
VaR
Análise da cauda Negativa :
IBOV Index
Hansen
JonesFaddy
T
Empirico
Normal
32
Valor Extremo
Confiança Empírica
Severidade (anos)
Empírica Normal T student Hansen Jones & Faddy
-12.1% 0.04% 10 352 milhões 12.8 10.7 8.8
-10.7% 0.08% 5 2,7 milhões 8.0 6.7 5.5
-9.8% 0.12% 3.3 146 mil 5.6 4.8 4.0
-8.4% 0.16% 2.50 2,542 3.1 2.6 2.2
-8.1% 0.2% 2.0 976 2.6 2.2 1.9
-4.6% 1.0% 0.38 0.79 0.36 0.32 0.28
-3.7% 2.0% 0.20 0.21 0.18 0.17 0.15 Tabela 2 : Severidades das observações segundo as distribuições
4.3 Análise das Assimetrias
Nesta sessão, será analisado o impacto da assimetria dos dados nas distribuições assimétricas
consideradas. Para cada uma das séries de retornos das ações, foi calculada a razão entre
observações extremas (os VaR empíricos, ou EVaR) positivos e negativos para diversas
severidades.
A figura 12 mostra a relação entre a medida de assimetria dada pelo terceiro momento
empírico da distribuição e o VaR empírico com severidade de 10 anos. Podemos ver que o
terceiro momento é muito influenciado pelos dados mais raros (e, por consequência, com
módulos maiores).
Figura 12 : Comparação entre o VaR Empírico de 10 anos e o terceiro momento
Para resumir as relações entre os VaR empíricos (EVaR) e as medidas de assimetria das
distribuições, podemos lançar mão de uma matriz de correlação entre elas. A tabela 3 mostra
justamente essa comparação. A primeira célula da última coluna, por exemplo, mostra a
correlação dos dados da Figura 12.
33
Na tabela 3, podemos perceber que de fato o 3º momento é muito mais influenciado por dados
mais severos (mais na cauda) que por dados menos severos. A correlação dele com a
assimetria do EVaR de 10 anos é de 84%, enquanto que com o EVaR de 99% é de apenas
31%.
Já os parâmetros das distribuições T assimétricas parecem ser mais influenciados pelos dados
mais distantes da cauda. A correlação do Lambda de Hansen e da razão dos parâmetros de
Jones e Faddy é maior com os dados menos severos.
Tabela 3 : Correlação dos dados com as medidas de assimetria
Uma forma de interpretar este resultado é o fato de que os VaR empíricos menos severos são
mais estáveis. Isto acontece por conta da quantidade de dados que baseia a medida. O VaR
empírico de 10 anos, por exemplo, é baseado em apenas uma observação: a maior de todas. O
VaR 95%, por outro lado tem 125 dados para balizar a medida. As assimetrias das
distribuições paramétricas refletiriam melhor a assimetria teórica real, enquanto que as
assimetrias apresentadas pelos VaR empíricos de maiores severidades seriam dadas por um
componente mais aleatório.
É importante destacar também a correlação entre as medidas de assimetria das distribuições T
assimétricas. A classificação da assimetria ficou muito próxima de acordo com as duas
distribuições.
EVaR
10Y EVaR 5Y
EVaR
2.5Y EVaR 1Y
EVaR
99%
EVaR
98%
EVaR
95%
Lambda
Hansen a/b JF
3°
momento
EVaR 10Y 100%
EVaR 5Y 57% 100%
EVaR 2.5Y 23% 46% 100%
EVaR 1Y 9% 17% 47% 100%
EVaR 99% 9% 11% 45% 51% 100%
EVaR 98% 31% 11% 20% 30% 62% 100%
EVaR 95% 23% 4% 11% 15% 34% 61% 100%
Lambda Hansen 18% 5% 17% 40% 53% 67% 82% 100%
a/b JF 26% 16% 30% 54% 62% 72% 77% 97% 100%
3° momento 84% 61% 58% 41% 31% 41% 36% 41% 52% 100%
34
Figura 13 : Comparação entre os parâmetros de assimetria da Hansen e Jones & Faddy
4.4 Análise da Curtose
Esta sessão faz uma análise semelhante à da anterior. Porém, com foco na curtose das
distribuições. Para cada uma das séries, foi calculada a quantidade de desvios padrão
associados ao VaR empírico de cada severidade. Ou seja, dividiu-se o a média dos VaR
empíricos positivo e negativo em cada severidade pela volatilidade da série de retornos.
Figura 14 : Comparação entre o VaR Empírico de 10 anos e o quarto momento
Observa-se que a medida de peso da cauda da distribuição através da curtose é bastante
influenciada pelos dados mais extremos, enquanto que a medida das distribuições T
dependem muito mais dos dados mais estáveis, de severidade menor. No entanto, ao diminuir
ainda mais a severidade do VaR empírico, vê-se que os dados menos severos têm impacto
menor nos parâmetros de cauda das distribuições T.
35
Tabela 4 : Correlação dos dados com as medidas de curtose
Mais uma vez, pode-se atribuir este resultado à maior estabilidade da medida dos VaR de
severidade menores, já que estes têm mais dados para apoiá-los.
As medidas dos parâmetros de cauda para as três distribuições T são praticamente iguais,
implicando em correlações de 100%.
4.5 Análise do Ajuste médio
A tabela 5 resume o ajuste de cada distribuição às séries de retornos das ações. Cada célula
representa a média da comparação do VaR da distribuição e o VaR empírico para uma
distribuição específica em uma severidade específica.
Para esta comparação utilizei a fórmula VaRdist / VaRemp - 1. Ou seja, caso a comparação
apresente um valor positivo, os VaR estimados pela distribuição paramétrica em questão
foram maiores na média que os VaR calculados a partir da distribuição empírica. Sinalizaria
que a distribuição paramétrica é mais rigorosa do que deveria. Se, por outro lado, o valor lido
é negativo, a distribuição paramétrica apresentou na média valores baixos de VaR, que serão
superados mais vezes que o esperado.
Esta análise tem o seguinte sentido: dentro de uma amostra de dez anos, esperamos que
exatamente uma observações supere o VaR10y. Porém, pode ser que dentro da nossa amostra
não haja um dado cuja severidade seja maior que dez anos. Por outro lado, pode ser que haja
mais de um dado que supere esse VaR. Na média, porém, em uma amostra de dez anos
esperamos que os dados empíricos apresentem variações máximas com severidade igual a dez
anos.
A tabela 5 permite que algumas séries superem seus 10 anos, e outras não. Porém, espera que
esses desvios sejam proporcionais (ajustados à cauda), e quando tirada a média, tendam a
zero.
EVaR
10Y EVaR 5Y
EVaR
2.5Y EVaR 1Y
EVaR
99%
EVaR
98%
EVaR
95%
nu T
Student nu Hansen a+b JF
4°
momento
EVaR 10Y 100%
EVaR 5Y 61% 100%
EVaR 2.5Y 49% 73% 100%
EVaR 1Y 14% 42% 62% 100%
EVaR 99% 5% 22% 33% 69% 100%
EVaR 98% -3% 3% 4% 27% 66% 100%
EVaR 95% -56% -61% -70% -70% -60% -26% 100%
nu T Student -50% -59% -68% -74% -70% -45% 76% 100%
nu Hansen -50% -59% -68% -74% -70% -45% 76% 100% 100%
a+b JF -50% -59% -68% -74% -70% -45% 76% 100% 100% 100%
4° momento 90% 60% 55% 27% 18% 3% -65% -57% -57% -57% 100%
36
Severidade (anos)
Nível de Confiança
Normal T Hansen JF
- + - + - + - +
10 99.96% -47% -50% -5% -11% -7% -10% -7% -9%
5 99.92% -41% -43% -5% -8% -6% -6% -7% -6%
2.5 99.84% -32% -36% -1% -6% -3% -4% -3% -4%
1 99.6% -21% -23% 2% -1% 0% 1% 0% 1%
0.4 99% -11% -13% 3% 0% 1% 1% 1% 2%
0.2 98% -2% -6% 3% 0% 2% 1% 2% 1%
0.08 95% 8% 4% 3% -1% 1% 1% 1% 1% Tabela 5 : Média dos erros dos VaR paramétricos em relação aos empíricos
Na tabela 5, observamos que as distribuições T e T assimétricas apresentam valores de VaR
muito mais compatíveis com os valores médios observados. Além disso, não observamos uma
performance tão superior das distribuições T assimétricas em relação à T de Student. Por
outro lado, como vimos no teste de Kolmogorov-Smirnov, apenas 5 séries são modeladas com
sucesso pelas três distribuições ao mesmo tempo. A distribuição mais adequada deve ser
decidida caso a caso.
5 Considerações Finais
O trabalho objetivou contextualizar a análise de risco de mercado de ativos utilizando uma
análise empírica das séries históricas de diversas ações.
O início do texto apresentou o contexto de medidas de risco, principalmente o VaR.
Promoveu uma discussão sobre a conjunção de medidas de risco, onde o VaR aparece como
um gerador de cenários prospectivo, e é capaz de sugerir variações para os ativos, e contribui
para os cenários de stress prospectivos e históricos.
Em seguida, apresentou as distribuições Normal, T de Student, Hansen e Jones & Faddy.
Mostrou o comportamento das distribuições quando seus parâmetros variam.
Foram apresentadas análises dos ajustes de quatro distribuições aos dados de retornos de um
grupo de 47 ações brasileiras, além do Ibovespa. Mostrou-se a dificuldade da distribuição
normal em estimar e classificar eventos de cauda.
A análise do comportamento do Ibovespa utilizando quatro distribuições que é possível fazer
uma análise mais crítica em relação à severidade dos dados empíricos utilizando as
distribuições que consideram caudas pesadas. As ferramentas visuais auxiliam bastante neste
processo.
37
Foram analisados os impactos dos dados das amostras nas estimativas dos parâmetros de
curtose e assimetria das distribuições T apresentadas. Nesta análise, observou-se que as
distribuições não têm seus parâmetros viesados por dados de magnitude superior, dando muito
mais importância para o comportamento em geral da distribuição. E talvez sejam medidas
mais precisas de caudas grossas e assimetria. Isto porque as medidas do terceiro e quarto
momento para assimetria e curtose são bastante influenciadas por dados grandes.
Por fim, em uma análise mais ampla dos fits, considerando a média dos erros dos VaR das
distribuições paramétricas em relação às distribuições empíricas, mostrou-se a dificuldade da
normal em adequar-se aos eventos mais extremos. Por outro lado, não foi possível colher
evidências de que, na média, as distribuições assimétricas modelaram melhor as séries. No
teste de Kolmogorov-Smirnov, apenas 5 séries foram modeladas com sucesso pelas três
distribuições ao mesmo tempo. A utilização de uma distribuição específica deve ser uma
decisão apoiada na estatística, e também na discricionariedade do gestor de risco, que deve
entender o comportamento de cada distribuição e decidir a que se adequa melhor à situação
em questão.
5.1 Extensões deste trabalho
Neste texto, foram analisadas apenas séries de ações brasileiras. Uma extensão interessante
seria aplicar as mesmas análises a outras classes de ativos, como moedas, commodities e juros.
Essas classes de ativos apresentam outras tendências de curtose e assimetria, devido a fatores
específicos desses mercados, como seus custos de carrego.
Outra direção de continuação deste esforço seria na direção do risco de carteiras utilizando
cópulas para modelar o risco de co-movimento dos ativos modelados com distribuições T
assimétricas.
38
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40
Apêndice I. Estatísticas Básicas das Séries
Série Média Máximo Mínimo Desvio Padrão
ABEV3 0.09% 10.92% -11.94% 1.76% BBAS3 0.05% 18.83% -16.68% 2.63% BBDC3 0.08% 15.46% -10.10% 2.16% BBDC4 0.07% 19.98% -12.21% 2.22% BRAP4 0.02% 14.06% -21.08% 2.58% BRFS3 0.08% 16.91% -10.68% 2.39%
BRKM5 -0.03% 19.25% -12.60% 2.59% CCRO3 0.08% 17.95% -12.91% 2.28% CESP3 0.04% 23.60% -32.22% 2.79% CGAS5 0.04% 10.41% -10.73% 1.69% CMIG3 0.05% 11.66% -21.71% 2.19% CMIG4 0.04% 10.94% -21.96% 2.19% CPFE3 0.05% 11.60% -12.65% 1.90% CPLE3 0.05% 18.76% -20.55% 2.36% CPLE6 0.05% 15.56% -18.22% 2.23% CRUZ3 0.07% 12.40% -10.44% 2.11% CSNA3 0.01% 19.63% -18.77% 2.91% DASA3 0.03% 18.99% -11.22% 2.38% ELET3 -0.02% 15.52% -17.13% 2.73% ELET6 -0.02% 21.16% -22.42% 2.63% FIBR3 0.00% 17.06% -14.68% 2.76% GETI3 0.05% 15.53% -16.32% 1.81% GETI4 0.06% 12.22% -17.09% 1.88%
GGBR4 0.01% 16.89% -16.14% 2.64% GOAU4 0.00% 17.67% -15.96% 2.67% GOLL4 -0.05% 21.77% -24.36% 3.39% GRND3 0.04% 13.73% -11.50% 2.00% ITSA4 0.07% 22.44% -12.27% 2.30% ITUB4 0.06% 21.00% -12.94% 2.34% KLBN4 0.06% 16.85% -13.07% 2.47% LAME4 0.08% 24.75% -17.38% 2.61% LEVE3 0.04% 15.45% -15.09% 2.00% NATU3 0.04% 13.29% -14.78% 2.25% OIBR4 -0.10% 20.95% -18.23% 3.16% PCAR4 0.04% 26.58% -18.91% 4.08% PETR3 0.00% 14.11% -14.91% 2.62% PETR4 0.01% 14.39% -14.80% 2.54% PSSA3 0.07% 9.87% -12.02% 1.90% SBSP3 0.04% 15.57% -16.15% 2.44% TBLE3 0.07% 15.01% -12.09% 2.10% TIMP3 0.05% 26.19% -25.75% 2.98% TRPL4 0.06% 15.76% -27.52% 2.28% UGPA3 0.08% 27.10% -9.36% 1.92% USIM5 -0.03% 16.63% -15.97% 3.03% VALE3 0.02% 13.56% -20.55% 2.45% VALE5 0.02% 12.57% -16.44% 2.33% VIVT4 0.04% 8.77% -8.35% 1.81% IBOV 0.03% 13.68% -12.10% 1.81%
41
Apêndice II. Parâmetros Estimados das Séries
Série D. Padrão T nu T sigma H. nu H. Lambda H. Sigma JF a JF b JF sigma
ABEV3 1.76% 5.07 1.39% 5.07 0.02 1.78% 2.59 2.50 1.39%
BBAS3 2.63% 4.66 2.01% 4.67 0.02 2.67% 2.40 2.28 2.01%
BBDC3 2.16% 4.52 1.65% 4.55 0.03 2.21% 2.36 2.20 1.65%
BBDC4 2.22% 4.93 1.72% 4.95 0.04 2.23% 2.58 2.40 1.72%
BRAP4 2.58% 4.17 1.92% 4.17 -0.01 2.66% 2.08 2.09 1.92%
BRFS3 2.39% 4.75 1.86% 4.75 0.01 2.44% 2.38 2.36 1.86%
BRKM5 2.59% 5.70 2.11% 5.74 0.01 2.62% 3.00 2.80 2.12%
CCRO3 2.28% 5.39 1.82% 5.37 0.03 2.29% 2.74 2.64 1.82%
CESP3 2.79% 3.09 1.90% 3.09 -0.01 3.19% 1.53 1.56 1.90%
CGAS5 1.69% 4.39 1.29% 4.38 -0.01 1.75% 2.18 2.21 1.29%
CMIG3 2.19% 4.82 1.68% 4.82 0.00 2.20% 2.39 2.45 1.68%
CMIG4 2.19% 5.84 1.77% 5.85 -0.01 2.18% 2.88 2.99 1.77%
CPFE3 1.90% 5.64 1.56% 5.64 0.01 1.94% 2.83 2.80 1.56%
CPLE3 2.36% 3.96 1.77% 3.97 -0.03 2.51% 1.93 2.05 1.77%
CPLE6 2.23% 5.65 1.81% 5.60 0.05 2.25% 2.89 2.74 1.80%
CRUZ3 2.11% 7.31 1.83% 7.31 0.07 2.14% 3.91 3.46 1.82%
CSNA3 2.91% 4.89 2.25% 4.90 0.04 2.93% 2.54 2.37 2.25%
DASA3 2.38% 4.79 1.86% 4.82 0.06 2.44% 2.56 2.30 1.86%
ELET3 2.73% 4.92 2.13% 4.96 0.07 2.76% 2.63 2.34 2.12%
ELET6 2.63% 4.74 2.00% 4.75 0.01 2.63% 2.40 2.34 2.00%
FIBR3 2.76% 4.74 2.12% 4.75 0.04 2.78% 2.45 2.30 2.12%
GETI3 1.81% 4.30 1.37% 4.26 0.05 1.87% 2.20 2.08 1.36%
GETI4 1.88% 4.44 1.45% 4.44 0.02 1.95% 2.27 2.18 1.45%
GGBR4 2.64% 6.05 2.16% 6.03 0.03 2.65% 3.08 2.96 2.16%
GOAU4 2.67% 5.71 2.16% 5.71 0.03 2.68% 2.92 2.79 2.16%
GOLL4 3.39% 5.41 2.69% 5.39 0.10 3.39% 2.93 2.51 2.67%
GRND3 2.00% 5.04 1.61% 5.04 0.00 2.08% 2.51 2.54 1.62%
ITSA4 2.30% 4.36 1.72% 4.37 0.03 2.34% 2.26 2.13 1.72%
ITUB4 2.34% 4.27 1.72% 4.30 0.04 2.35% 2.25 2.07 1.72%
KLBN4 2.47% 5.64 2.04% 5.64 0.01 2.54% 2.85 2.79 2.04%
LAME4 2.61% 4.85 2.00% 4.86 0.02 2.61% 2.48 2.39 2.00%
LEVE3 2.00% 3.16 1.38% 3.16 0.02 2.28% 1.59 1.57 1.38%
NATU3 2.25% 6.82 1.91% 6.87 0.03 2.27% 3.59 3.32 1.91%
OIBR4 3.16% 3.98 2.28% 3.98 0.00 3.24% 1.99 1.99 2.28%
PCAR4 4.08% 5.03 3.22% 5.02 -0.02 4.15% 2.49 2.54 3.22%
PETR3 2.62% 4.03 1.90% 4.02 -0.03 2.68% 1.97 2.05 1.90%
PETR4 2.54% 4.01 1.84% 3.99 -0.06 2.60% 1.93 2.08 1.83%
PSSA3 1.90% 5.03 1.52% 5.02 0.07 1.96% 2.66 2.39 1.51%
SBSP3 2.44% 4.58 1.85% 4.58 0.00 2.47% 2.28 2.30 1.85%
TBLE3 2.10% 4.31 1.60% 4.32 0.00 2.18% 2.17 2.14 1.60%
TIMP3 2.98% 3.77 2.08% 3.78 0.04 3.04% 1.95 1.84 2.08%
TRPL4 2.28% 3.98 1.62% 3.98 0.02 2.30% 2.00 1.98 1.62%
UGPA3 1.92% 4.90 1.46% 4.89 0.03 1.90% 2.50 2.39 1.46%
USIM5 3.03% 5.78 2.47% 5.80 0.03 3.05% 3.01 2.82 2.47%
VALE3 2.45% 4.56 1.85% 4.56 -0.02 2.47% 2.26 2.30 1.85%
VALE5 2.33% 4.30 1.73% 4.28 -0.04 2.37% 2.10 2.20 1.73%
VIVT4 1.81% 6.50 1.52% 6.48 -0.01 1.83% 3.25 3.25 1.52%
IBOV 1.81% 4.17 1.31% 4.19 -0.05 1.81% 2.01 2.18 1.31%
42
Apêndice III. VaR 10 anos
VaR 10 Y
Série Empírico + Empírico
- Normal
+ Normal
- T + T -
Hansen +
Hansen -
JF + JF -
ABEV3 10.9% -11.9% 5.9% -5.9% 9.9% -9.9% 10.1% -9.6% 10.3% -9.5% BBAS3 18.8% -16.7% 8.8% -8.8% 15.5% -15.5% 15.9% -15.1% 16.3% -14.7% BBDC3 15.5% -10.1% 7.2% -7.2% 13.1% -13.1% 13.5% -12.6% 14.0% -12.1% BBDC4 20.0% -12.2% 7.4% -7.4% 12.5% -12.5% 13.0% -12.0% 13.4% -11.6% BRAP4 14.1% -21.1% 8.7% -8.7% 16.6% -16.6% 16.5% -16.8% 16.5% -16.7% BRFS3 16.9% -10.7% 8.0% -8.0% 14.1% -14.1% 14.2% -13.9% 14.3% -13.9%
BRKM5 19.3% -12.6% 8.7% -8.7% 13.6% -13.6% 13.7% -13.5% 14.2% -12.9% CCRO3 17.9% -12.9% 7.6% -7.6% 12.3% -12.3% 12.7% -11.9% 12.8% -11.8% CESP3 23.6% -32.2% 9.4% -9.4% 25.1% -25.1% 24.9% -25.4% 24.4% -25.9% CGAS5 10.4% -10.7% 5.7% -5.7% 10.6% -10.6% 10.5% -10.7% 10.5% -10.7% CMIG3 11.7% -21.7% 7.3% -7.3% 12.6% -12.6% 12.6% -12.5% 12.3% -12.8% CMIG4 10.9% -22.0% 7.3% -7.3% 11.2% -11.2% 11.1% -11.2% 10.9% -11.5% CPFE3 11.6% -12.6% 6.4% -6.4% 10.1% -10.1% 10.3% -10.0% 10.3% -10.0% CPLE3 18.8% -20.6% 7.9% -7.9% 16.3% -16.3% 15.8% -16.8% 15.3% -17.3% CPLE6 15.6% -18.2% 7.5% -7.5% 11.7% -11.7% 12.4% -11.2% 12.4% -11.2% CRUZ3 12.4% -10.4% 7.1% -7.1% 10.0% -10.0% 10.6% -9.4% 10.9% -9.1% CSNA3 19.6% -18.8% 9.8% -9.8% 16.6% -16.6% 17.2% -15.9% 17.6% -15.5% DASA3 19.0% -11.2% 8.0% -8.0% 14.0% -14.0% 14.7% -13.1% 15.3% -12.5% ELET3 15.5% -17.1% 9.1% -9.1% 15.6% -15.6% 16.5% -14.5% 17.2% -13.9% ELET6 21.2% -22.4% 8.8% -8.8% 15.2% -15.2% 15.3% -15.0% 15.5% -14.8% FIBR3 17.1% -14.7% 9.2% -9.2% 16.1% -16.1% 16.6% -15.4% 17.0% -15.1% GETI3 15.5% -16.3% 6.1% -6.1% 11.5% -11.5% 12.2% -10.9% 12.3% -10.8% GETI4 12.2% -17.1% 6.3% -6.3% 11.7% -11.7% 12.1% -11.4% 12.3% -11.2%
GGBR4 16.9% -16.1% 8.8% -8.8% 13.4% -13.4% 13.8% -13.0% 13.8% -13.0% GOAU4 17.7% -16.0% 9.0% -9.0% 13.9% -13.9% 14.3% -13.6% 14.4% -13.4% GOLL4 21.8% -24.4% 11.4% -11.4% 18.1% -18.1% 19.8% -16.4% 20.6% -15.9% GRND3 13.7% -11.5% 6.7% -6.7% 11.6% -11.6% 11.6% -11.5% 11.5% -11.6% ITSA4 22.4% -12.3% 7.7% -7.7% 14.2% -14.2% 14.7% -13.7% 15.1% -13.2% ITUB4 21.0% -12.9% 7.8% -7.8% 14.5% -14.5% 15.1% -13.8% 15.8% -13.1% KLBN4 16.9% -13.1% 8.3% -8.3% 13.3% -13.3% 13.4% -13.2% 13.6% -13.0% LAME4 24.7% -17.4% 8.8% -8.8% 14.9% -14.9% 15.1% -14.5% 15.5% -14.2% LEVE3 15.4% -15.1% 6.7% -6.7% 17.6% -17.6% 18.0% -17.2% 17.9% -17.3% NATU3 13.3% -14.8% 7.5% -7.5% 10.9% -10.9% 11.2% -10.5% 11.5% -10.2% OIBR4 21.0% -18.2% 10.6% -10.6% 21.0% -21.0% 20.9% -21.0% 20.8% -21.1% PCAR4 26.6% -18.9% 13.7% -13.7% 23.1% -23.1% 22.6% -23.7% 22.7% -23.5% PETR3 14.1% -14.9% 8.8% -8.8% 17.2% -17.2% 16.6% -17.8% 16.5% -17.9% PETR4 14.4% -14.8% 8.5% -8.5% 16.7% -16.7% 15.8% -17.8% 15.4% -18.1% PSSA3 9.9% -12.0% 6.4% -6.4% 10.9% -10.9% 11.7% -10.1% 12.1% -9.8% SBSP3 15.6% -16.2% 8.2% -8.2% 14.5% -14.5% 14.6% -14.5% 14.4% -14.6% TBLE3 15.0% -12.1% 7.0% -7.0% 13.3% -13.3% 13.5% -13.2% 13.6% -13.1% TIMP3 26.2% -25.8% 10.0% -10.0% 20.5% -20.5% 21.3% -19.6% 22.0% -18.9% TRPL4 15.8% -27.5% 7.6% -7.6% 14.9% -14.9% 15.3% -14.6% 15.2% -14.6% UGPA3 27.1% -9.4% 6.4% -6.4% 10.7% -10.7% 11.2% -10.3% 11.3% -10.2% USIM5 16.6% -16.0% 10.2% -10.2% 15.8% -15.8% 16.1% -15.4% 16.5% -15.0% VALE3 13.6% -20.6% 8.2% -8.2% 14.6% -14.6% 14.4% -14.8% 14.3% -14.9% VALE5 12.6% -16.4% 7.8% -7.8% 14.5% -14.5% 14.1% -15.1% 13.9% -15.3% VIVT4 8.8% -8.4% 6.1% -6.1% 8.9% -8.9% 8.9% -9.0% 9.0% -8.9% IBOV Index
13.7% -12.1% 6.1% -6.1% 11.4% -11.4% 10.8% -11.9% 10.4% -12.3%
43
Apêndice IV. VaR 5 anos
VaR 5 Y
Série Empírico + Empírico
- Normal
+ Normal
- T + T -
Hansen +
Hansen -
JF + JF -
ABEV3 10.1% -10.0% 5.6% -5.6% 8.5% -8.5% 8.7% -8.3% 8.8% -8.2% BBAS3 14.5% -15.5% 8.3% -8.3% 13.2% -13.2% 13.5% -12.9% 13.8% -12.6% BBDC3 12.5% -9.7% 6.8% -6.8% 11.1% -11.1% 11.5% -10.7% 11.9% -10.3% BBDC4 13.0% -10.1% 7.0% -7.0% 10.8% -10.8% 11.1% -10.3% 11.4% -10.0% BRAP4 11.8% -13.4% 8.1% -8.1% 14.0% -14.0% 13.9% -14.1% 13.9% -14.0% BRFS3 16.2% -9.8% 7.5% -7.5% 12.0% -12.0% 12.2% -11.9% 12.2% -11.8%
BRKM5 14.9% -12.4% 8.2% -8.2% 11.9% -11.9% 12.0% -11.8% 12.3% -11.3% CCRO3 14.5% -12.6% 7.2% -7.2% 10.6% -10.6% 11.0% -10.3% 11.1% -10.2% CESP3 15.7% -21.2% 8.8% -8.8% 20.0% -20.0% 19.8% -20.2% 19.5% -20.5% CGAS5 6.8% -8.3% 5.3% -5.3% 8.9% -8.9% 8.9% -9.0% 8.9% -9.0% CMIG3 11.5% -15.3% 6.9% -6.9% 10.7% -10.7% 10.8% -10.7% 10.6% -10.9% CMIG4 10.9% -15.0% 6.9% -6.9% 9.8% -9.8% 9.7% -9.8% 9.5% -10.0% CPFE3 9.4% -8.7% 6.0% -6.0% 8.8% -8.8% 8.9% -8.7% 8.9% -8.7% CPLE3 14.6% -19.0% 7.4% -7.4% 13.6% -13.6% 13.2% -14.0% 12.8% -14.3% CPLE6 13.0% -11.2% 7.0% -7.0% 10.2% -10.2% 10.8% -9.8% 10.7% -9.8% CRUZ3 11.0% -9.5% 6.7% -6.7% 8.9% -8.9% 9.4% -8.3% 9.6% -8.2% CSNA3 15.9% -14.7% 9.2% -9.2% 14.2% -14.2% 14.7% -13.7% 15.0% -13.4% DASA3 14.2% -10.9% 7.5% -7.5% 11.9% -11.9% 12.5% -11.2% 13.0% -10.8% ELET3 13.8% -16.3% 8.6% -8.6% 13.4% -13.4% 14.1% -12.5% 14.6% -12.1% ELET6 15.0% -16.8% 8.3% -8.3% 12.9% -12.9% 13.1% -12.8% 13.2% -12.7% FIBR3 14.8% -14.7% 8.7% -8.7% 13.7% -13.7% 14.2% -13.2% 14.5% -13.0% GETI3 13.1% -12.5% 5.7% -5.7% 9.7% -9.7% 10.3% -9.2% 10.3% -9.2% GETI4 9.9% -8.7% 5.9% -5.9% 9.9% -9.9% 10.2% -9.6% 10.4% -9.5%
GGBR4 13.4% -14.3% 8.3% -8.3% 11.7% -11.7% 12.1% -11.4% 12.1% -11.4% GOAU4 12.5% -14.2% 8.4% -8.4% 12.1% -12.1% 12.5% -11.8% 12.5% -11.7% GOLL4 16.4% -21.2% 10.7% -10.7% 15.7% -15.7% 17.1% -14.3% 17.6% -14.0% GRND3 11.3% -10.6% 6.3% -6.3% 9.9% -9.9% 10.0% -9.9% 9.9% -10.0% ITSA4 13.4% -11.6% 7.3% -7.3% 12.0% -12.0% 12.4% -11.6% 12.7% -11.2% ITUB4 15.1% -11.6% 7.4% -7.4% 12.2% -12.2% 12.7% -11.6% 13.2% -11.2% KLBN4 15.4% -12.7% 7.8% -7.8% 11.6% -11.6% 11.7% -11.5% 11.8% -11.3% LAME4 17.0% -14.7% 8.2% -8.2% 12.7% -12.7% 13.0% -12.4% 13.2% -12.2% LEVE3 13.2% -13.8% 6.3% -6.3% 14.1% -14.1% 14.4% -13.8% 14.3% -13.8% NATU3 12.6% -9.1% 7.1% -7.1% 9.7% -9.7% 9.9% -9.3% 10.1% -9.1% OIBR4 19.8% -18.0% 10.0% -10.0% 17.5% -17.5% 17.4% -17.5% 17.3% -17.6% PCAR4 22.5% -16.8% 12.9% -12.9% 19.9% -19.9% 19.5% -20.3% 19.6% -20.2% PETR3 13.5% -14.2% 8.3% -8.3% 14.3% -14.3% 13.9% -14.9% 13.8% -14.9% PETR4 13.2% -13.2% 8.0% -8.0% 13.9% -13.9% 13.2% -14.8% 13.0% -15.0% PSSA3 9.2% -9.6% 6.0% -6.0% 9.4% -9.4% 10.1% -8.7% 10.3% -8.5% SBSP3 13.7% -12.8% 7.7% -7.7% 12.3% -12.3% 12.4% -12.3% 12.3% -12.4% TBLE3 10.2% -10.3% 6.6% -6.6% 11.3% -11.3% 11.4% -11.1% 11.5% -11.0% TIMP3 16.9% -24.8% 9.4% -9.4% 16.9% -16.9% 17.6% -16.2% 18.1% -15.8% TRPL4 11.2% -14.0% 7.2% -7.2% 12.4% -12.4% 12.7% -12.1% 12.7% -12.2% UGPA3 10.4% -9.3% 6.0% -6.0% 9.2% -9.2% 9.6% -8.8% 9.7% -8.8% USIM5 16.5% -15.7% 9.6% -9.6% 13.8% -13.8% 14.0% -13.5% 14.3% -13.1% VALE3 13.0% -13.0% 7.7% -7.7% 12.4% -12.4% 12.2% -12.6% 12.2% -12.6% VALE5 12.2% -13.0% 7.3% -7.3% 12.3% -12.3% 11.9% -12.7% 11.8% -12.8% VIVT4 8.7% -7.6% 5.7% -5.7% 7.9% -7.9% 7.9% -7.9% 7.9% -7.8% IBOV Index
12.6% -10.7% 5.7% -5.7% 9.5% -9.5% 9.1% -9.9% 8.8% -10.3%
44
Apêndice V. VaR 2.5 anos
VaR 2.5 Y
Série Empírico
+ Empírico
- Normal
+ Normal
- T + T -
Hansen +
Hansen -
JF + JF -
ABEV3 7.9% -6.3% 5.2% -5.2% 7.3% -7.3% 7.5% -7.1% 7.6% -7.0% BBAS3 12.7% -10.6% 7.8% -7.8% 11.2% -11.2% 11.5% -10.9% 11.7% -10.7% BBDC3 9.3% -9.2% 6.4% -6.4% 9.4% -9.4% 9.7% -9.0% 10.0% -8.8% BBDC4 11.6% -8.4% 6.5% -6.5% 9.2% -9.2% 9.5% -8.8% 9.7% -8.6% BRAP4 11.6% -10.3% 7.6% -7.6% 11.7% -11.7% 11.6% -11.7% 11.6% -11.7% BRFS3 9.8% -8.7% 7.0% -7.0% 10.2% -10.2% 10.4% -10.1% 10.4% -10.1%
BRKM5 13.7% -9.5% 7.6% -7.6% 10.3% -10.3% 10.4% -10.2% 10.7% -9.8% CCRO3 11.1% -11.5% 6.7% -6.7% 9.2% -9.2% 9.5% -8.9% 9.5% -8.8% CESP3 12.4% -18.2% 8.2% -8.2% 15.9% -15.9% 15.8% -16.0% 15.5% -16.2% CGAS5 6.8% -6.8% 5.0% -5.0% 7.5% -7.5% 7.5% -7.6% 7.5% -7.6% CMIG3 10.4% -10.7% 6.5% -6.5% 9.2% -9.2% 9.2% -9.1% 9.0% -9.3% CMIG4 7.7% -10.8% 6.5% -6.5% 8.5% -8.5% 8.5% -8.5% 8.3% -8.6% CPFE3 8.6% -7.6% 5.6% -5.6% 7.6% -7.6% 7.7% -7.5% 7.7% -7.5% CPLE3 10.6% -14.8% 6.9% -6.9% 11.3% -11.3% 10.9% -11.6% 10.7% -11.8% CPLE6 9.3% -8.5% 6.6% -6.6% 8.8% -8.8% 9.3% -8.4% 9.3% -8.5% CRUZ3 8.9% -8.4% 6.2% -6.2% 7.9% -7.9% 8.3% -7.4% 8.5% -7.3% CSNA3 15.0% -13.1% 8.6% -8.6% 12.1% -12.1% 12.5% -11.7% 12.8% -11.5% DASA3 11.0% -10.2% 7.0% -7.0% 10.2% -10.2% 10.7% -9.6% 11.0% -9.3% ELET3 12.8% -12.4% 8.0% -8.0% 11.4% -11.4% 12.0% -10.7% 12.4% -10.4% ELET6 12.4% -13.4% 7.7% -7.7% 11.0% -11.0% 11.1% -10.9% 11.2% -10.8% FIBR3 12.2% -11.9% 8.1% -8.1% 11.6% -11.6% 12.0% -11.2% 12.2% -11.1% GETI3 7.5% -9.5% 5.3% -5.3% 8.1% -8.1% 8.6% -7.7% 8.6% -7.7% GETI4 9.2% -7.3% 5.5% -5.5% 8.4% -8.4% 8.6% -8.1% 8.7% -8.0%
GGBR4 11.4% -11.0% 7.8% -7.8% 10.2% -10.2% 10.5% -9.9% 10.5% -10.0% GOAU4 11.2% -10.0% 7.9% -7.9% 10.5% -10.5% 10.8% -10.3% 10.8% -10.2% GOLL4 15.4% -16.5% 10.0% -10.0% 13.5% -13.5% 14.7% -12.4% 15.0% -12.2% GRND3 7.4% -9.3% 5.9% -5.9% 8.5% -8.5% 8.5% -8.5% 8.5% -8.5% ITSA4 11.3% -10.6% 6.8% -6.8% 10.1% -10.1% 10.4% -9.7% 10.6% -9.5% ITUB4 12.4% -10.2% 6.9% -6.9% 10.2% -10.2% 10.7% -9.8% 11.0% -9.4% KLBN4 11.6% -9.4% 7.3% -7.3% 10.0% -10.0% 10.1% -9.9% 10.2% -9.8% LAME4 15.9% -12.0% 7.7% -7.7% 10.8% -10.8% 11.1% -10.6% 11.2% -10.4% LEVE3 9.7% -11.7% 5.9% -5.9% 11.2% -11.2% 11.5% -11.0% 11.4% -11.1% NATU3 8.4% -7.5% 6.6% -6.6% 8.5% -8.5% 8.7% -8.2% 8.9% -8.0% OIBR4 16.1% -15.6% 9.3% -9.3% 14.5% -14.5% 14.5% -14.6% 14.4% -14.6% PCAR4 17.9% -15.8% 12.0% -12.0% 17.0% -17.0% 16.7% -17.4% 16.8% -17.2% PETR3 12.9% -11.1% 7.7% -7.7% 11.9% -11.9% 11.5% -12.3% 11.5% -12.4% PETR4 11.4% -11.9% 7.5% -7.5% 11.6% -11.6% 11.0% -12.2% 10.9% -12.4% PSSA3 9.0% -8.1% 5.6% -5.6% 8.0% -8.0% 8.6% -7.4% 8.8% -7.3% SBSP3 13.5% -10.9% 7.2% -7.2% 10.4% -10.4% 10.5% -10.4% 10.4% -10.5% TBLE3 9.5% -8.0% 6.2% -6.2% 9.5% -9.5% 9.6% -9.3% 9.6% -9.3% TIMP3 14.3% -13.5% 8.8% -8.8% 13.9% -13.9% 14.4% -13.4% 14.8% -13.1% TRPL4 9.7% -10.4% 6.7% -6.7% 10.3% -10.3% 10.6% -10.1% 10.5% -10.1% UGPA3 8.3% -8.5% 5.7% -5.7% 7.8% -7.8% 8.2% -7.5% 8.2% -7.5% USIM5 14.3% -11.7% 8.9% -8.9% 12.0% -12.0% 12.1% -11.7% 12.4% -11.5% VALE3 12.3% -11.0% 7.2% -7.2% 10.5% -10.5% 10.4% -10.6% 10.3% -10.6% VALE5 12.0% -10.6% 6.9% -6.9% 10.3% -10.3% 10.0% -10.6% 9.9% -10.7% VIVT4 7.8% -7.1% 5.3% -5.3% 6.9% -6.9% 6.9% -6.9% 6.9% -6.9% IBOV Index
9.0% -8.4% 5.3% -5.3% 8.0% -8.0% 7.6% -8.3% 7.4% -8.5%
45
Apêndice VI. VaR 1 ano
VaR 1 Y
Série Empírico
+ Empírico
- Normal
+ Normal
- T + T -
Hansen +
Hansen -
JF + JF -
ABEV3 6.2% -5.1% 4.7% -4.7% 5.9% -5.9% 6.0% -5.7% 6.1% -5.7% BBAS3 9.5% -8.6% 7.0% -7.0% 8.9% -8.9% 9.1% -8.7% 9.3% -8.6% BBDC3 7.8% -7.4% 5.7% -5.7% 7.4% -7.4% 7.7% -7.2% 7.9% -7.0% BBDC4 7.5% -7.3% 5.9% -5.9% 7.4% -7.4% 7.6% -7.1% 7.8% -6.9% BRAP4 8.9% -8.9% 6.8% -6.8% 9.1% -9.1% 9.1% -9.2% 9.1% -9.2% BRFS3 7.5% -7.5% 6.3% -6.3% 8.2% -8.2% 8.3% -8.0% 8.3% -8.0%
BRKM5 9.3% -7.7% 6.9% -6.9% 8.4% -8.4% 8.5% -8.4% 8.7% -8.1% CCRO3 7.2% -7.4% 6.0% -6.0% 7.4% -7.4% 7.7% -7.2% 7.7% -7.2% CESP3 10.2% -11.4% 7.4% -7.4% 11.6% -11.6% 11.6% -11.7% 11.4% -11.8% CGAS5 5.7% -6.2% 4.5% -4.5% 5.9% -5.9% 5.9% -6.0% 5.9% -6.0% CMIG3 6.8% -7.9% 5.8% -5.8% 7.3% -7.3% 7.4% -7.3% 7.3% -7.4% CMIG4 6.5% -6.7% 5.8% -5.8% 7.0% -7.0% 7.0% -7.0% 6.9% -7.1% CPFE3 6.3% -6.2% 5.1% -5.1% 6.2% -6.2% 6.3% -6.1% 6.3% -6.1% CPLE3 8.8% -8.5% 6.3% -6.3% 8.7% -8.7% 8.5% -8.9% 8.4% -9.1% CPLE6 7.3% -7.2% 5.9% -5.9% 7.2% -7.2% 7.6% -6.9% 7.5% -7.0% CRUZ3 7.2% -6.1% 5.6% -5.6% 6.6% -6.6% 7.0% -6.2% 7.0% -6.2% CSNA3 10.1% -9.6% 7.7% -7.7% 9.7% -9.7% 10.0% -9.4% 10.1% -9.3% DASA3 8.0% -7.4% 6.3% -6.3% 8.1% -8.1% 8.5% -7.7% 8.7% -7.5% ELET3 9.5% -8.8% 7.2% -7.2% 9.2% -9.2% 9.6% -8.6% 9.8% -8.5% ELET6 9.1% -8.2% 7.0% -7.0% 8.8% -8.8% 8.8% -8.7% 8.9% -8.7% FIBR3 10.2% -9.8% 7.3% -7.3% 9.3% -9.3% 9.6% -9.0% 9.7% -8.9% GETI3 5.7% -6.4% 4.8% -4.8% 6.4% -6.4% 6.8% -6.1% 6.7% -6.1% GETI4 6.9% -6.4% 5.0% -5.0% 6.6% -6.6% 6.8% -6.4% 6.9% -6.4%
GGBR4 9.6% -9.0% 7.0% -7.0% 8.4% -8.4% 8.6% -8.2% 8.6% -8.2% GOAU4 9.7% -9.1% 7.1% -7.1% 8.6% -8.6% 8.8% -8.4% 8.8% -8.4% GOLL4 11.8% -10.9% 9.0% -9.0% 11.0% -11.0% 11.9% -10.1% 12.0% -10.1% GRND3 6.4% -6.5% 5.3% -5.3% 6.9% -6.9% 6.9% -6.8% 6.8% -6.9% ITSA4 8.9% -7.4% 6.1% -6.1% 8.0% -8.0% 8.2% -7.7% 8.3% -7.5% ITUB4 8.8% -7.8% 6.2% -6.2% 8.0% -8.0% 8.4% -7.7% 8.6% -7.5% KLBN4 8.4% -7.8% 6.6% -6.6% 8.2% -8.2% 8.3% -8.1% 8.3% -8.0% LAME4 8.4% -9.0% 6.9% -6.9% 8.7% -8.7% 8.9% -8.5% 9.0% -8.4% LEVE3 7.3% -8.9% 5.3% -5.3% 8.3% -8.3% 8.5% -8.1% 8.4% -8.1% NATU3 7.2% -6.2% 6.0% -6.0% 7.1% -7.1% 7.3% -6.9% 7.4% -6.8% OIBR4 12.4% -11.8% 8.4% -8.4% 11.2% -11.2% 11.2% -11.3% 11.1% -11.4% PCAR4 14.5% -13.5% 10.8% -10.8% 13.7% -13.7% 13.5% -13.9% 13.6% -13.8% PETR3 9.7% -9.8% 6.9% -6.9% 9.3% -9.3% 9.0% -9.6% 9.0% -9.5% PETR4 9.9% -9.6% 6.7% -6.7% 9.0% -9.0% 8.6% -9.5% 8.5% -9.5% PSSA3 6.7% -6.2% 5.0% -5.0% 6.5% -6.5% 6.9% -6.0% 7.0% -6.0% SBSP3 8.1% -8.7% 6.5% -6.5% 8.3% -8.3% 8.3% -8.3% 8.3% -8.3% TBLE3 6.9% -6.7% 5.6% -5.6% 7.4% -7.4% 7.5% -7.3% 7.6% -7.3% TIMP3 11.2% -9.3% 7.9% -7.9% 10.7% -10.7% 11.1% -10.3% 11.3% -10.1% TRPL4 7.4% -8.3% 6.0% -6.0% 8.0% -8.0% 8.2% -7.8% 8.2% -7.8% UGPA3 5.6% -6.3% 5.1% -5.1% 6.3% -6.3% 6.6% -6.0% 6.6% -6.0% USIM5 12.2% -9.2% 8.0% -8.0% 9.8% -9.8% 9.9% -9.6% 10.1% -9.5% VALE3 8.5% -8.7% 6.5% -6.5% 8.3% -8.3% 8.2% -8.4% 8.2% -8.4% VALE5 8.0% -8.1% 6.2% -6.2% 8.1% -8.1% 7.9% -8.3% 7.9% -8.3% VIVT4 5.8% -5.8% 4.8% -4.8% 5.7% -5.7% 5.7% -5.7% 5.8% -5.7% IBOV Index
6.4% -6.9% 4.8% -4.8% 6.2% -6.2% 6.0% -6.5% 5.9% -6.6%
46
Apêndice VII. VaR 99%
VaR 99%
Série Empírico + Empírico
- Normal
+ Normal
- T + T -
Hansen +
Hansen -
JF + JF -
ABEV3 4.8% -4.4% 4.1% -4.1% 4.6% -4.6% 4.8% -4.5% 4.8% -4.5% BBAS3 6.9% -6.9% 6.1% -6.1% 7.0% -7.0% 7.1% -6.8% 7.2% -6.8% BBDC3 6.0% -5.7% 5.0% -5.0% 5.8% -5.8% 6.0% -5.6% 6.1% -5.5% BBDC4 6.6% -5.4% 5.2% -5.2% 5.8% -5.8% 6.0% -5.6% 6.1% -5.5% BRAP4 7.5% -7.0% 6.0% -6.0% 7.0% -7.0% 7.0% -7.0% 7.0% -7.0% BRFS3 6.2% -6.6% 5.6% -5.6% 6.4% -6.4% 6.5% -6.3% 6.5% -6.3%
BRKM5 7.1% -6.6% 6.0% -6.0% 6.8% -6.8% 6.8% -6.7% 6.9% -6.6% CCRO3 5.7% -5.5% 5.3% -5.3% 5.9% -5.9% 6.1% -5.7% 6.1% -5.7% CESP3 8.0% -7.5% 6.5% -6.5% 8.4% -8.4% 8.4% -8.4% 8.3% -8.5% CGAS5 4.7% -4.7% 3.9% -3.9% 4.6% -4.6% 4.6% -4.6% 4.6% -4.6% CMIG3 5.5% -5.6% 5.1% -5.1% 5.8% -5.8% 5.8% -5.7% 5.7% -5.8% CMIG4 5.4% -5.3% 5.1% -5.1% 5.6% -5.6% 5.6% -5.6% 5.6% -5.6% CPFE3 4.9% -4.9% 4.4% -4.4% 5.0% -5.0% 5.1% -4.9% 5.1% -4.9% CPLE3 6.1% -6.6% 5.5% -5.5% 6.7% -6.7% 6.5% -6.8% 6.5% -6.8% CPLE6 5.8% -5.9% 5.2% -5.2% 5.8% -5.8% 6.1% -5.5% 6.0% -5.6% CRUZ3 5.4% -5.0% 4.9% -4.9% 5.4% -5.4% 5.7% -5.1% 5.7% -5.1% CSNA3 7.9% -7.8% 6.8% -6.8% 7.7% -7.7% 7.9% -7.4% 7.9% -7.4% DASA3 6.5% -5.7% 5.5% -5.5% 6.4% -6.4% 6.6% -6.1% 6.7% -6.0% ELET3 7.3% -6.9% 6.3% -6.3% 7.2% -7.2% 7.5% -6.9% 7.6% -6.8% ELET6 6.7% -6.9% 6.1% -6.1% 6.9% -6.9% 6.9% -6.9% 7.0% -6.8% FIBR3 7.5% -7.3% 6.4% -6.4% 7.3% -7.3% 7.5% -7.1% 7.5% -7.1% GETI3 4.7% -4.8% 4.2% -4.2% 4.9% -4.9% 5.2% -4.7% 5.2% -4.7% GETI4 5.1% -4.9% 4.4% -4.4% 5.1% -5.1% 5.3% -5.0% 5.3% -5.0%
GGBR4 6.8% -6.9% 6.1% -6.1% 6.8% -6.8% 7.0% -6.6% 6.9% -6.7% GOAU4 7.0% -7.3% 6.2% -6.2% 6.9% -6.9% 7.1% -6.8% 7.0% -6.8% GOLL4 9.2% -8.1% 7.9% -7.9% 8.8% -8.8% 9.4% -8.2% 9.4% -8.2% GRND3 5.3% -5.6% 4.7% -4.7% 5.4% -5.4% 5.4% -5.4% 5.4% -5.4% ITSA4 6.4% -5.7% 5.4% -5.4% 6.2% -6.2% 6.4% -6.0% 6.4% -5.9% ITUB4 6.6% -6.1% 5.4% -5.4% 6.2% -6.2% 6.4% -6.0% 6.5% -5.9% KLBN4 6.5% -6.2% 5.8% -5.8% 6.6% -6.6% 6.6% -6.5% 6.7% -6.4% LAME4 7.0% -6.4% 6.1% -6.1% 6.8% -6.8% 7.0% -6.7% 7.0% -6.6% LEVE3 5.5% -6.1% 4.6% -4.6% 6.0% -6.0% 6.2% -5.9% 6.1% -5.9% NATU3 6.0% -5.4% 5.2% -5.2% 5.8% -5.8% 5.9% -5.6% 6.0% -5.5% OIBR4 8.5% -8.3% 7.4% -7.4% 8.6% -8.6% 8.5% -8.7% 8.5% -8.7% PCAR4 10.9% -10.6% 9.5% -9.5% 10.8% -10.8% 10.7% -11.0% 10.7% -10.9% PETR3 7.4% -7.3% 6.1% -6.1% 7.1% -7.1% 6.9% -7.3% 6.9% -7.3% PETR4 6.8% -7.5% 5.9% -5.9% 6.9% -6.9% 6.6% -7.2% 6.6% -7.2% PSSA3 5.3% -4.7% 4.4% -4.4% 5.1% -5.1% 5.4% -4.8% 5.5% -4.8% SBSP3 6.4% -6.6% 5.7% -5.7% 6.5% -6.5% 6.5% -6.4% 6.5% -6.5% TBLE3 5.9% -5.6% 4.9% -4.9% 5.7% -5.7% 5.8% -5.7% 5.9% -5.6% TIMP3 8.4% -7.5% 6.9% -6.9% 8.1% -8.1% 8.3% -7.8% 8.4% -7.7% TRPL4 6.0% -5.6% 5.3% -5.3% 6.1% -6.1% 6.3% -5.9% 6.2% -6.0% UGPA3 4.8% -5.1% 4.5% -4.5% 5.0% -5.0% 5.2% -4.8% 5.2% -4.8% USIM5 7.8% -7.3% 7.1% -7.1% 7.9% -7.9% 8.0% -7.8% 8.0% -7.7% VALE3 6.4% -6.4% 5.7% -5.7% 6.5% -6.5% 6.4% -6.5% 6.4% -6.5% VALE5 6.3% -6.1% 5.4% -5.4% 6.3% -6.3% 6.1% -6.4% 6.1% -6.4% VIVT4 4.8% -4.8% 4.2% -4.2% 4.7% -4.7% 4.7% -4.7% 4.7% -4.6% IBOV Index
4.7% -4.8% 4.2% -4.2% 4.8% -4.8% 4.6% -4.9% 4.6% -5.0%
47
Apêndice VIII. VaR 98%
VaR 98% Série Empírico + Empírico - Normal + Normal - T + T - Hansen + Hansen - JF + JF -
ABEV3 3.9% -3.6% 3.6% -3.6% 3.8% -3.8% 3.9% -3.7% 4.0% -3.7% BBAS3 5.9% -5.4% 5.4% -5.4% 5.7% -5.7% 5.8% -5.6% 5.9% -5.5% BBDC3 5.1% -4.4% 4.4% -4.4% 4.7% -4.7% 4.9% -4.5% 4.9% -4.5% BBDC4 5.0% -4.5% 4.6% -4.6% 4.8% -4.8% 4.9% -4.6% 5.0% -4.5% BRAP4 5.9% -5.7% 5.3% -5.3% 5.6% -5.6% 5.6% -5.7% 5.7% -5.6% BRFS3 5.2% -5.1% 4.9% -4.9% 5.2% -5.2% 5.3% -5.1% 5.3% -5.1%
BRKM5 5.7% -5.4% 5.3% -5.3% 5.6% -5.6% 5.6% -5.6% 5.7% -5.5% CCRO3 4.9% -4.7% 4.7% -4.7% 4.9% -4.9% 5.1% -4.7% 5.0% -4.7% CESP3 6.4% -6.0% 5.7% -5.7% 6.5% -6.5% 6.5% -6.5% 6.5% -6.5% CGAS5 3.8% -3.7% 3.5% -3.5% 3.7% -3.7% 3.7% -3.7% 3.7% -3.7% CMIG3 4.6% -4.5% 4.5% -4.5% 4.7% -4.7% 4.8% -4.6% 4.7% -4.7% CMIG4 4.6% -4.6% 4.5% -4.5% 4.6% -4.6% 4.7% -4.6% 4.6% -4.7% CPFE3 4.1% -4.0% 3.9% -3.9% 4.1% -4.1% 4.2% -4.1% 4.2% -4.1% CPLE3 4.9% -5.1% 4.8% -4.8% 5.3% -5.3% 5.3% -5.4% 5.2% -5.4% CPLE6 4.8% -4.9% 4.6% -4.6% 4.8% -4.8% 5.0% -4.6% 4.9% -4.6% CRUZ3 4.6% -4.3% 4.3% -4.3% 4.6% -4.6% 4.8% -4.3% 4.8% -4.3% CSNA3 6.3% -6.0% 6.0% -6.0% 6.3% -6.3% 6.4% -6.1% 6.4% -6.1% DASA3 5.4% -4.8% 4.9% -4.9% 5.2% -5.2% 5.4% -5.0% 5.4% -5.0% ELET3 6.1% -5.6% 5.6% -5.6% 5.9% -5.9% 6.1% -5.7% 6.2% -5.7% ELET6 5.5% -5.3% 5.4% -5.4% 5.6% -5.6% 5.6% -5.6% 5.7% -5.6% FIBR3 6.3% -5.6% 5.7% -5.7% 5.9% -5.9% 6.1% -5.8% 6.1% -5.8% GETI3 4.1% -3.7% 3.7% -3.7% 4.0% -4.0% 4.2% -3.8% 4.1% -3.8% GETI4 4.2% -3.9% 3.9% -3.9% 4.2% -4.2% 4.3% -4.0% 4.3% -4.0%
GGBR4 5.4% -5.3% 5.4% -5.4% 5.6% -5.6% 5.8% -5.5% 5.7% -5.6% GOAU4 5.7% -5.4% 5.5% -5.5% 5.7% -5.7% 5.8% -5.6% 5.8% -5.6% GOLL4 7.3% -6.7% 7.0% -7.0% 7.2% -7.2% 7.6% -6.8% 7.6% -6.9% GRND3 4.5% -4.6% 4.1% -4.1% 4.4% -4.4% 4.5% -4.4% 4.5% -4.4% ITSA4 5.0% -4.6% 4.7% -4.7% 5.0% -5.0% 5.1% -4.8% 5.2% -4.8% ITUB4 5.2% -4.8% 4.8% -4.8% 5.0% -5.0% 5.2% -4.8% 5.2% -4.8% KLBN4 5.6% -5.3% 5.1% -5.1% 5.4% -5.4% 5.5% -5.4% 5.5% -5.3% LAME4 5.7% -5.2% 5.4% -5.4% 5.6% -5.6% 5.7% -5.5% 5.7% -5.4% LEVE3 4.4% -4.5% 4.1% -4.1% 4.7% -4.7% 4.8% -4.5% 4.7% -4.6% NATU3 5.0% -4.7% 4.6% -4.6% 4.8% -4.8% 5.0% -4.7% 5.0% -4.7% OIBR4 6.4% -7.0% 6.5% -6.5% 6.9% -6.9% 6.8% -6.9% 6.7% -7.0% PCAR4 9.1% -8.8% 8.4% -8.4% 8.9% -8.9% 8.8% -9.0% 8.8% -8.9% PETR3 5.5% -5.8% 5.4% -5.4% 5.7% -5.7% 5.5% -5.8% 5.6% -5.8% PETR4 5.2% -5.7% 5.2% -5.2% 5.5% -5.5% 5.3% -5.7% 5.3% -5.7% PSSA3 4.3% -4.1% 3.9% -3.9% 4.2% -4.2% 4.4% -3.9% 4.4% -3.9% SBSP3 5.2% -5.6% 5.0% -5.0% 5.3% -5.3% 5.3% -5.2% 5.3% -5.2% TBLE3 4.7% -4.6% 4.3% -4.3% 4.6% -4.6% 4.7% -4.6% 4.7% -4.5% TIMP3 6.7% -6.1% 6.1% -6.1% 6.4% -6.4% 6.6% -6.2% 6.7% -6.2% TRPL4 5.0% -4.8% 4.7% -4.7% 4.9% -4.9% 5.0% -4.7% 5.0% -4.8% UGPA3 4.2% -3.8% 3.9% -3.9% 4.1% -4.1% 4.2% -3.9% 4.2% -3.9% USIM5 6.3% -6.3% 6.2% -6.2% 6.5% -6.5% 6.6% -6.5% 6.6% -6.4% VALE3 5.3% -5.2% 5.0% -5.0% 5.3% -5.3% 5.2% -5.3% 5.2% -5.3% VALE5 4.9% -5.0% 4.8% -4.8% 5.0% -5.0% 4.9% -5.2% 5.0% -5.1% VIVT4 3.9% -3.7% 3.7% -3.7% 3.9% -3.9% 3.9% -3.9% 3.9% -3.9% IBOV Index
3.7% -3.8% 3.7% -3.7% 3.9% -3.9% 3.8% -4.0% 3.7% -4.0%
48
Apêndice IX. VaR 95%
VaR 95% Série Empírico + Empírico - Normal + Normal - T + T - Hansen + Hansen - JF + JF -
ABEV3 2.9% -2.7% 2.9% -2.9% 2.8% -2.8% 2.9% -2.7% 2.9% -2.7% BBAS3 4.2% -4.0% 4.3% -4.3% 4.1% -4.1% 4.2% -4.0% 4.2% -4.0% BBDC3 3.5% -3.2% 3.6% -3.6% 3.4% -3.4% 3.5% -3.3% 3.5% -3.3% BBDC4 3.5% -3.3% 3.6% -3.6% 3.5% -3.5% 3.6% -3.4% 3.6% -3.3% BRAP4 4.0% -4.0% 4.2% -4.2% 4.0% -4.0% 4.0% -4.0% 4.1% -4.0% BRFS3 4.0% -3.8% 3.9% -3.9% 3.8% -3.8% 3.9% -3.7% 3.9% -3.7%
BRKM5 4.1% -4.0% 4.3% -4.3% 4.1% -4.1% 4.1% -4.2% 4.2% -4.1% CCRO3 3.8% -3.5% 3.7% -3.7% 3.6% -3.6% 3.7% -3.5% 3.7% -3.5% CESP3 4.1% -4.0% 4.6% -4.6% 4.4% -4.4% 4.4% -4.4% 4.4% -4.4% CGAS5 2.7% -2.6% 2.8% -2.8% 2.7% -2.7% 2.7% -2.7% 2.7% -2.6% CMIG3 3.5% -3.4% 3.6% -3.6% 3.4% -3.4% 3.5% -3.4% 3.5% -3.4% CMIG4 3.5% -3.4% 3.6% -3.6% 3.5% -3.5% 3.5% -3.4% 3.5% -3.4% CPFE3 3.1% -3.0% 3.1% -3.1% 3.1% -3.1% 3.1% -3.0% 3.1% -3.0% CPLE3 3.6% -3.6% 3.9% -3.9% 3.8% -3.8% 3.8% -3.8% 3.8% -3.8% CPLE6 3.6% -3.2% 3.7% -3.7% 3.5% -3.5% 3.7% -3.4% 3.6% -3.4% CRUZ3 3.6% -3.3% 3.5% -3.5% 3.4% -3.4% 3.6% -3.3% 3.6% -3.3% CSNA3 4.7% -4.4% 4.8% -4.8% 4.6% -4.6% 4.6% -4.5% 4.6% -4.5% DASA3 3.9% -3.6% 3.9% -3.9% 3.8% -3.8% 3.9% -3.7% 3.9% -3.7% ELET3 4.5% -4.2% 4.5% -4.5% 4.3% -4.3% 4.4% -4.2% 4.4% -4.2% ELET6 4.2% -4.1% 4.3% -4.3% 4.1% -4.1% 4.1% -4.1% 4.1% -4.1% FIBR3 4.4% -4.1% 4.5% -4.5% 4.3% -4.3% 4.4% -4.2% 4.4% -4.3% GETI3 2.9% -2.7% 3.0% -3.0% 2.9% -2.9% 3.0% -2.7% 3.0% -2.8% GETI4 3.1% -2.9% 3.1% -3.1% 3.0% -3.0% 3.1% -2.9% 3.1% -2.9%
GGBR4 4.1% -4.1% 4.3% -4.3% 4.2% -4.2% 4.3% -4.1% 4.2% -4.2% GOAU4 4.3% -4.2% 4.4% -4.4% 4.2% -4.2% 4.3% -4.2% 4.3% -4.2% GOLL4 5.5% -5.0% 5.6% -5.6% 5.3% -5.3% 5.5% -5.1% 5.5% -5.2% GRND3 3.2% -3.0% 3.3% -3.3% 3.2% -3.2% 3.3% -3.2% 3.3% -3.2% ITSA4 3.6% -3.5% 3.8% -3.8% 3.6% -3.6% 3.7% -3.5% 3.7% -3.5% ITUB4 3.7% -3.4% 3.8% -3.8% 3.6% -3.6% 3.7% -3.5% 3.7% -3.5% KLBN4 4.1% -4.0% 4.1% -4.1% 4.0% -4.0% 4.1% -3.9% 4.1% -3.9% LAME4 4.1% -3.9% 4.3% -4.3% 4.1% -4.1% 4.2% -4.0% 4.2% -4.0% LEVE3 3.1% -2.8% 3.3% -3.3% 3.2% -3.2% 3.3% -3.1% 3.3% -3.1% NATU3 3.7% -3.6% 3.7% -3.7% 3.6% -3.6% 3.7% -3.5% 3.7% -3.5% OIBR4 4.6% -5.0% 5.2% -5.2% 4.9% -4.9% 4.8% -5.0% 4.8% -5.0% PCAR4 6.4% -6.7% 6.7% -6.7% 6.5% -6.5% 6.4% -6.5% 6.5% -6.5% PETR3 3.8% -4.1% 4.3% -4.3% 4.0% -4.0% 4.0% -4.1% 4.0% -4.1% PETR4 3.8% -4.0% 4.2% -4.2% 3.9% -3.9% 3.8% -4.0% 3.8% -4.0% PSSA3 3.3% -2.8% 3.1% -3.1% 3.1% -3.1% 3.2% -2.9% 3.2% -2.9% SBSP3 3.8% -3.6% 4.0% -4.0% 3.8% -3.8% 3.9% -3.8% 3.8% -3.8% TBLE3 3.4% -3.3% 3.5% -3.5% 3.3% -3.3% 3.4% -3.3% 3.4% -3.3% TIMP3 4.6% -4.2% 4.9% -4.9% 4.5% -4.5% 4.7% -4.4% 4.7% -4.4% TRPL4 3.6% -3.4% 3.7% -3.7% 3.5% -3.5% 3.6% -3.4% 3.6% -3.4% UGPA3 3.1% -2.7% 3.2% -3.2% 3.0% -3.0% 3.1% -2.8% 3.1% -2.8% USIM5 4.9% -4.8% 5.0% -5.0% 4.8% -4.8% 4.8% -4.8% 4.9% -4.8% VALE3 3.8% -3.7% 4.0% -4.0% 3.8% -3.8% 3.8% -3.8% 3.8% -3.8% VALE5 3.7% -3.7% 3.8% -3.8% 3.6% -3.6% 3.6% -3.7% 3.6% -3.6% VIVT4 3.0% -2.9% 3.0% -3.0% 2.9% -2.9% 2.9% -2.9% 3.0% -2.9% IBOV Index
2.6% -2.9% 3.0% -3.0% 2.8% -2.8% 2.7% -2.8% 2.7% -2.8%