COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULO38o 29 51 + 15o 45 241) OPERAO COM NGULOS38o 29 51+ 15o 45 2453 74 7554 15 15

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOngulo agudo:ngulo obtuso:

ngulo raso:ngulo reto:2) CLASSIFICAO DOS NGULOS 90 = 90 > 90 = 180

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOngulo nulo:ngulos adjacentes:

ngulos consecutivos:ngulo de 1 volta:2) CLASSIFICAO DOS NGULOS = 0o = 360o Mesmo vrtice e um lado comum entre os lados no comunsMesmo vrtice e, dois a dois, um lado comum.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOngulos complementares:ngulos replementares:

ngulos suplementares:2) CLASSIFICAO DOS NGULOS + = 90 + = 180 + = 360

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULO3) NGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.Opostos pelo vrtice: a e c; b e d; e e g; f e h.Alternos internos: d e f; c e e.Alternos externos: a e g; b e h.Colaterais internos: d e e; c e f.Colaterais externos: a e h; b e g.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 3:(UFES) O triplo do complemento de um ngulo igual tera parte do suplemento deste ngulo. Este ngulo mede:a) 45ob) 48o 30c) 56o 15d) 60o e) 78o 45

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 3:O triplo do complemento de um ngulo igual tera parte do suplemento deste ngulo. Soluo:630 8 6 78 x 60

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 13:(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo so paralelas ento 3 + vale:225o195o 215o 1750 1850

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 13:Soluo:60 30 30 = 60 = 45

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 16:(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ngulo x mede:50o 60o 70o 75o 80o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 1. NGULOQuesto 16:AC = CB = BDSoluo:25 130 50 50 80 75

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOS1) POLGONOS CONVEXOS E NO-CONVEXOS

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOS2) SOMA DOS NGULOSSi = (n 2).180on = 4 1 x 180 Si = 180 n = 32 x 180 Si = 360 n = 5 3 x 180 Si = 540

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOS2) SOMA DOS NGULOSSe = 360o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOS3) NMERO DE DIAGONAISno de diagonais de um polgono c/ n lados: no de diagonais determinadas a partir de 1 vrtice: (n 3)

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 2:(CESCEM-adaptada) Se ABCDE um polgono regular, ento a soma dos ngulos assinalados na figura : 90o 120o 144o 154o 180o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 2:Soluo:180 A C + 180 B D + 180 C E + 180 A D + 180 B E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 4:(ESAF/2006) Em um polgono de n lados, o nmero de diagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Desse modo, n igual a:1112101518

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 4:O nmero de diagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Soluo:Diagonais a partir de um dos vrtices: (n 3) Diagonais de um hexgono: Ento:n 3 = 9n = 12

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 6:No hexgono ABCDEF abaixo, a medida do ngulo ABC o qudruplo da medida do ngulo EFA. Calcule a medida de um ngulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.100o110o 120o 130o 140o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 6:A medida do ngulo ABC o qudruplo da medida do ngulo EFA. Calcule a medida de um ngulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40Soluo:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 6:A medida do ngulo ABC o qudruplo da medida do ngulo EFA. Calcule a medida de um ngulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40 + 20 + 160 + 80 = 360 = 100

Soluo:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 8:Na figura seguinte, o valor de :a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 2. POLGONOSQuesto 8:Soluo:75 110

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS1) CONDIO DE EXISTNCIAEm todo tringulo, qualquer lado menor que a soma e maior que a diferena entre os outros dois.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSAltura: o segmento de reta que liga um vrtice ao lado oposto, perpendicularmente.Bissetriz interna: a semi-reta que divide o ngulo em dois ngulos de medidas iguais.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSObservao: Teorema da Bissetriz Interna.

A bissetriz interna de um tringulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSMediana: o segmento de reta que liga um vrtice ao ponto mdio do lado oposto.Mediatriz: a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSBaricentro: o ponto de interseo das medianas. OBSERVAO: O baricentro divide cada mediana na razo 2/3 a partir do vrtice.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSIncentro: o ponto de interseo das bissetrizes. OBSERVAO: O incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo. Assim, o incentro eqidistante dos lados do tringulo.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSCircuncentro: o ponto de interseo das mediatrizes. OBSERVAO: O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo. Assim o circuncentro eqidistante dos vrtices do tringulo.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSOrtocentro: o ponto de interseo das alturas.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOSOBSERVAO: Os trs pontos de intersees, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral so pontos distintos. Mas em qualquer tringulo, eles esto alinhados (Reta de Euller).Se o tringulo for eqiltero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) so coincidentes.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS2) ELEMENTOS

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS3) SEMELHANA DE TRINGULOSDois tringulos so semelhantes quando possuem lados homlogos* proporcionais e ngulos respectivamente de mesmas medidas.* lados homlogos: so lados opostos a ngulos iguais.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS3) SEMELHANA DE TRINGULOS

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS4) RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULOb2 = a.mc2 = a.nh2 = m.na.h = b.ca2 = b2 + c2

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS5) RELAES MTRICAS NUM TRINGULO QUALQUERa2 = b2 + c2 - 2c.m Tringulo Acutngulo: Num tringulo acutngulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ngulo agudo igual soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeo do outro sobre ele.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS5) RELAES MTRICAS NUM TRINGULO QUALQUERTringulo Obtusngulo: Num tringulo obtusngulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ngulo agudo igual soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeo do outro sobre ele.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS6) RAZES TRIGONOMTRICAS

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS6) RAZES TRIGONOMTRICAS

sencostg30o 45o60o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS7) LEI DOS SENOSNum tringulo qualquer, as medidas dos lados so proporcionais aos senos dos ngulos opostos.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS8) LEI DOS COSSENOSNum tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.a2 = b2 + c2 2.b.c.cosA

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 3(COVEST 2003) Um tringulo com lados medindo 2.1050, 10100 1 e 10100 + 1:a) isscelesb) retnguloc) tem rea 10150 1d) tem permetro 4.10150e) acutngulo

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSSoluo:O tringulo retngulo.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 4(COVEST 2006) A ilustrao a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada est a uma distncia de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cbica que pode ser transportada pela regio limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado at os centsimos)

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 42,5m0,70mxx2,4 x

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 8(COVEST 2001 2 fase) Na ilustrao a seguir, CD um dimetro da circunferncia com centro em O e raio 8. AC e BD so perpendiculares a AB, e AB tangente circunferncia em T. Se AB = 12, calcule AO.88866Soluo:x

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 12(Vunesp-adaptada) No tringulo ABC da figura, BD bissetriz do ngulo interno B, e CD bissetriz do ngulo externo relativo ao vrtice C. Determine a medida do ngulo interno .60o 70o 800 90o 100o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSOBSERVAO:xx + = + = + x + = + + x = 2.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 12(Vunesp-adaptada) No tringulo ABC da figura, BD bissetriz do ngulo interno B, e CD bissetriz do ngulo externo relativo ao vrtice C. Determine a medida do ngulo interno .60o 70o 800 90o 100o X

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 13(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC so bissetrizes dos ngulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ngulo ACB mede 21o 30, qual a medida, em graus, do ngulo ADB?4341404442X

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 17(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo tm-se o tringulo ABC, cujo permetro 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do tringulo ABC medem:5 e 136 e 127 e 118 e 109 e 9

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSSoluo:44448xyx + y = 10x = 8 e y = 2Os lados valem 6cm e 12cm

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 18(Vunesp) Do quadriltero ABCD de figura, sabe-se que os ngulos internos de vrtices A e C so retos; os ngulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30; o lado CD mede 2dm. Ento, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS OBSERVAO:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOS OBSERVAO:30o4830o51030o61230o714

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSSoluo: 45o30o2. 2=

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 19(UFBA/93-adaptada) Considere o tringulo eqiltero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto mdio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a rea de um quadrado de lado MP, determine x.

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSSoluo:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSQuesto 20(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ngulo AMD, sabendo que M o ponto mdio de BC. 15o 20o 30o 40o 50o

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSOBSERVAO:

COLGIO MARISTA SO LUS GEOMETRIA PLANA 3. TRINGULOSSoluo: 20o20o50o80o60o60o40o