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DERIVAÇÕES LOCALMENTE NILPOTENTES E LINEARES EM ANÉIS POLINOMIAIS

Pedro Paulo Rocha de Castro, graduando em Engenharia Química

Marcelo Oliveira Veloso, Departamento de Física e Matemática

O estudo sobre derivações localmente nilpotentes de um anel é algo recente na matemática, dado

que os primeiros resultados surgiram por volta de 1960, em trabalhos de Dixmier, Gabriel e

Nouzé, e Rentschler. O motivo para estudar e compreender as derivações localmente nilpotentes

de um anel consiste em sua ampla aplicação em diversas áreas, tais como geometria algébrica e

equações diferenciais. Além disso, as derivações localmente nilpotentes estão relacionadas com

alguns problemas clássicos, como o Décimo quarto problema de Hilbert. Uma derivação

localmente nilpotente é uma generalização das derivadas parciais sobre um anel em n-variáveis.

Formalmente uma derivação do anel B é uma aplicação D, de B em B, que é linear com respeito à

adição, isto é, D(a+b) = D(a) + D(b), e satisfaz a regra de Leibniz, ou seja, D(ab) = D(a)b +

aD(b).Se para cada elemento f do anel existe um número natural n, tal que Dn(f)=0, então D é

dita uma derivação localmente nilpotente sobre B. Os exemplos clássicos e mais conhecidos

são as derivadas parciais. Uma referência básica para o estudo destas derivações é o livro

Algebraic theory of locally nilpotent derivations de G. Freudenburg. Uma derivação D sobre um

anel B = C[X1,...,Xn] é dita linear se 퐷(푋 ) = ∑ 푎 푋 . Uma derivação linear sobre um anel

polinomial em n-variáveis pode ser caracterizado por uma matriz de ordem n e vice-versa. Mais

especificamente, uma derivação localmente nilpotente linear está associada a uma matriz

nilpotente. Portanto, podemos estudar tanto derivações lineares como matrizes, dependendo do

assunto em foco, dando preferência sempre ao método menos trabalhoso.

Palavras-chave: Derivações Localmente Nilpotentes. Lineares. Matrizes.

Agência financiadora: UFSJ