resseguroquantitativo: precificação,retençõese...
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro quantitativo: precificação, retenções etítulos de catástrofe
Florian Voigtländer
Allianz Versicherungs-AG, Munique
8CBA, Rio de Janeiro, 12 de agosto de 2010
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro
Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.
O segundo carregador de risco se chama resseguradora.A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro
Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.O segundo carregador de risco se chama resseguradora.
A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro
Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.O segundo carregador de risco se chama resseguradora.A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Divisão de risco
Seja Z = (Z1, ...,ZN) um vetor aleatório representando o sinistrooriginal da seguradora.
Uma família (rN)N∈N de funções mensuráveis rN : RN+ 7→ R+
tal que
rN(Z1, ...,ZN) ≤N∑
i=1
Zi
é chamada uma família de funções de retenção ou uma formade resseguro. Do ponto de vista da seguradora primária, adecomposição
N∑i=1
Zi = rN(Z1, ...,ZN) + tN(Z1, ...,ZN)
é uma divisão de risco,3 / 47
ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Divisão de risco
onde
tN(Z1, ...,ZN) :=N∑
i=1
Zi − rN(Z1, ...,ZN)
é o sinistro cedido (transferido) para a resseguradora e
rN(Z1, ...,ZN)
o sinistro retido na própria carteira.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Quota-parte (QS)
A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistrose prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma pro-porcional como os sinistros menos uma comissão reembolsadapela resseguradora.
A seguradora retém de cada sinistro a mesma porcentagem q,chamada quota de retenção. O sinistro retido é
rQSq (Z ) := q · Z
e o sinistro cedido
tQSq (Z ) = Z − rQS
q (Z ) = (1− q) · Z .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Quota-parte (QS)
A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistrose prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma pro-porcional como os sinistros menos uma comissão reembolsadapela resseguradora.A seguradora retém de cada sinistro a mesma porcentagem q,chamada quota de retenção. O sinistro retido é
rQSq (Z ) := q · Z
e o sinistro cedido
tQSq (Z ) = Z − rQS
q (Z ) = (1− q) · Z .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excedente de responsabilidade (SPL)
A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira.Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linhade retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (im-portância segurada, perda máxima provável) menor ou igual am permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscoscom v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradorae a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v−m
v .
A quota de retenção do sinistro Z (v) dum risco com exposiçãov é
qv ,m = 1 ∧ mv
= min{1, mv}
e a quota de cessão é
1− qv ,m =(1− m
v
)+=
v −mv
1{v>m}.
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excedente de responsabilidade (SPL)
A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira.Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linhade retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (im-portância segurada, perda máxima provável) menor ou igual am permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscoscom v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradorae a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v−m
v .A quota de retenção do sinistro Z (v) dum risco com exposiçãov é
qv ,m = 1 ∧ mv
= min{1, mv}
e a quota de cessão é
1− qv ,m =(1− m
v
)+=
v −mv
1{v>m}.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por risco (XL)
Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem quecalcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independentedo prêmio original.
A resseguradora assume uma parte de cada sinistro individual Xem excesso de um determinado limite d > 0, chamado dedutívelou prioridade, típicamente dentro de uma faixa limitada (d , d+c] com cobertura limitada c > 0 e a seguradora volta a pagarpara sinistros acima de d + c . Se c =∞, se fala de coberturailimitada. A notação para esse tipo de contrato é
c xs. d .
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por risco (XL)
Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem quecalcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independentedo prêmio original.A resseguradora assume uma parte de cada sinistro individual Xem excesso de um determinado limite d > 0, chamado dedutívelou prioridade, típicamente dentro de uma faixa limitada (d , d+c] com cobertura limitada c > 0 e a seguradora volta a pagarpara sinistros acima de d + c . Se c =∞, se fala de coberturailimitada. A notação para esse tipo de contrato é
c xs. d .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por risco (XL)
Formalmente, em caso de cobertura ilimitada, o sinistro retido é
rXLd ,∞(X ) := X ∧ d = min{X , d}
e o sinistro cedido
tXLd ,∞(X ) := X − X ∧ d = (X − d)+ = (X − d)1{X>d}.
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por risco (XL)
Em caso de cobertura ilimitada, pode decompor
X =(X ∧ d + (X − (d + c))+
)+ (X − d)+ ∧ c
de que segue a identidade de faixas limitadas para o sinistro cedido
tXLd ,c(X ) := (X − d)+ ∧ c = (X − d)+ − (X − (d + c))+.
A seguradora volta a pagar para sinistros acima de d+c e seu sinistroretido vira
rXLd ,c(X ) := X − tXL
d ,c(X ) =(X ∧ d + (X − (d + c))+
).
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por ocorrência (CatXL)
Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradoraretém uma prioridade de > 0 por evento 1 ≤ e ≤ n (terremoto,tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original doevento e é
ZCate =
Ne∑i=1
Xi ,e
onde Xi ,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e Ne seunúmero de sinistros.
O sinistro cedido de todos eventos com o vetor de prioridadesd = (d1, ..., dn) e coberturas c = (c1, ..., cn) é
ZCatXLd,c =
n∑e=1
tXLde ,ce
(ZCate ) =
n∑e=1
(ZCate − de)
+ ∧ ce .
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos por ocorrência (CatXL)
Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradoraretém uma prioridade de > 0 por evento 1 ≤ e ≤ n (terremoto,tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original doevento e é
ZCate =
Ne∑i=1
Xi ,e
onde Xi ,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e Ne seunúmero de sinistros.O sinistro cedido de todos eventos com o vetor de prioridadesd = (d1, ..., dn) e coberturas c = (c1, ..., cn) é
ZCatXLd,c =
n∑e=1
tXLde ,ce
(ZCate ) =
n∑e=1
(ZCate − de)
+ ∧ ce .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Excesso de danos agregado (SL)
Se trata de um contrato XL coletivo aplicado ao sinistro agregadoanual Z =
∑Ni=1 Xi da seguradora onde Xi é o i-ésimo sinistro in-
dividual e N o número de sinistros num determinado período. Osinistro cedido é
tSLD,C (Z ) =
(N∑
i=1
Xi − D
)+
∧ C
com prioridade agregada anual D > 0 e cobertura agregadaanual C > 0.
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Resseguro misto
Se trata de uma composição de várias funções de retenção, i.e. essascombinações são da forma
r(Z ) = (r (k) ◦ r (k−1) ◦ ... ◦ r (1))(Z )
para funções de retenção r (i) : RNi+ → R+, 1 ≤ i ≤ k . Existem com-
binações com funções proporcionais, com não-proporcionais ou umamistura de funções proporcionais com funções não-proporcionais:
Quota-parte com excedente de responsabilidade (SPL-QS)Por-quota com excesso de danos agregado (SL-QS)Quota-parte com excesso de danos (XL-QS)Excesso de danos após excedente de responsabilidade (SPL-XL)Excesso de danos agregado após excesso de danos por risco(SL-XL)
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Zero coupon bond com recuperação parcial
O tempo de parada τD é o instante quando o processo quedescreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resultanum sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e.
τD := inf{t > 0 :
N(t)∑i=1
Xi > D}.
Pode considerar também o processo indicador (MD(t))t∈R+ comvalores em {0, 1} definido por
MD(t) := 1{∑N(t)i=1 Xi>D} = 1{τD≤t}
com E[MD(t)] = F∑N(t)i=1 Xi
(D) = P(τD ≤ t) e vale
1{τD>t} = 1−MD(t).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Zero coupon bond com recuperação parcial
O tempo de parada τD é o instante quando o processo quedescreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resultanum sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e.
τD := inf{t > 0 :
N(t)∑i=1
Xi > D}.
Pode considerar também o processo indicador (MD(t))t∈R+ comvalores em {0, 1} definido por
MD(t) := 1{∑N(t)i=1 Xi>D} = 1{τD≤t}
com E[MD(t)] = F∑N(t)i=1 Xi
(D) = P(τD ≤ t) e vale
1{τD>t} = 1−MD(t).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Zero coupon bond com recuperação parcial
O comprador do título recebe no final do contrato em t = To valor nominal completo, se até a maturidade nenhum eventocatastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e atéT a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenasrecebe o valor parcial q ·V0 do valor nominal com q ∈ [0, 1] e aseguradora pode usar o valor (1 − q) · V0 retido para pagar ossinistros que resultam do evento catastrófico.
O fluxo de caixa em t = T com recuperação q · V é dado por
VD(T ) = V01{τD>T} + q · V01{τD≤T} = V0(1+ (q − 1)MD(T ))
onde V0 é o valor nominal.
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)
Zero coupon bond com recuperação parcial
O comprador do título recebe no final do contrato em t = To valor nominal completo, se até a maturidade nenhum eventocatastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e atéT a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenasrecebe o valor parcial q ·V0 do valor nominal com q ∈ [0, 1] e aseguradora pode usar o valor (1 − q) · V0 retido para pagar ossinistros que resultam do evento catastrófico.O fluxo de caixa em t = T com recuperação q · V é dado por
VD(T ) = V01{τD>T} + q · V01{τD≤T} = V0(1+ (q − 1)MD(T ))
onde V0 é o valor nominal.
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição induzida
Seja {N(t)t∈R+ , (Xn)n∈N} um modelo coletivo da seguradora. Onúmero do sinistro cedido é dado por
Nd =N∑
i=1
1{Xi>d}.
A distribuição de Nd é
pNd (n) =∑k∈N
(nk
)F k
X (d)Fn−kX (d)pN(k)
onde pN(k) = P(N = k).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição induzida
Seja {N(t)t∈R+ , (Xn)n∈N} um modelo coletivo da seguradora. Onúmero do sinistro cedido é dado por
Nd =N∑
i=1
1{Xi>d}.
A distribuição de Nd é
pNd (n) =∑k∈N
(nk
)F k
X (d)Fn−kX (d)pN(k)
onde pN(k) = P(N = k).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição induzida
A função geratriz de probabilidade de Nd é
gNd (ξ) = E[ξNd ] = gN(FX (d)ξ + FX (d)).
O valor esperado de Nd
λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].
é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição induzida
A função geratriz de probabilidade de Nd é
gNd (ξ) = E[ξNd ] = gN(FX (d)ξ + FX (d)).
O valor esperado de Nd
λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].
é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].
Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição induzida
A função geratriz de probabilidade de Nd é
gNd (ξ) = E[ξNd ] = gN(FX (d)ξ + FX (d)).
O valor esperado de Nd
λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].
é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Estabilidade distribucional
1. Se N ∼ Poisλ com λ > 0, então
Nd ∼ Poisλd
onde λd = FX (d)λ.3. Se N = NegBinα,β com α > 0 e β > 0, então
Nd ∼ NegBinα,βd
onde βd = βFX (d)1−β+βFX (d)
.
3. Se N ∼ Binn,φ com n ≥ 1 e φ ∈ (0, 1), então
Nd ∼ Binn,φd
onde φd = FX (d)φ.17 / 47
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuições induzidas
A distribuição do sinistro retido sob resseguro excesso de danos
L(0,d ][Z ] := Z ∧ d = min{Z , d}
é dada pela mistura
FL(0,d ][Z ](z) = FZ (z)1{Z<d} + 1{z≥d}.
Em particular, L(0,d ][Z ] não é contínuo, independente do sin-istro original Z , com átomo em d > 0 tal que P(L(0,d ][Z ] =
d) = FZ (d). Seu valor esperado
LEVZ (d) := E[L(0,d ][Z ]] =
∫ d
0FZ (z)dz
é chamado valor esperado limitado.18 / 47
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuições induzidas
A distribuição do sinistro cedido sob resseguro excesso de danos
L(d ,∞)[Z ] := (Z − d)+ = (Z − d)1{Z>d}
é a mistura
FL(d,∞)[Z](z) = FZ(d)1{z=0} + FZ(z+ d)1{z>0}.
Em particular, L(d ,∞)[Z ] não é contínuo, independente do sin-istro original Z , com átomo em zero tal que P(L(d ,∞)[Z ] =0) = FZ (d). Seu valor esperado
SLTZ (d) := E[L(d ,∞)[Z ]] =
∫ ∞d
FZ (z)dz
é chamado transformada stop-loss.19 / 47
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Distribuição de excessos
Omodelo coletivo {(N(t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} tem a desvantagempara a resseguradora que ela típicamente não pode observar o pro-cesso original N. Por isso é melhor considerar o sinistro observávelpela resseguradora, o excesso da prioridade d > 0 dado por
E(d ,∞)[Z ] := Z − d |Z > d
que é o indenização na faixa ilimitada (d ,∞). Vale
E(d ,∞)[Z ] = L(d ,∞)[Z ]|(L(d ,∞)[Z ] > 0)
e sua distribuição é
Fd (z) := FE(d,∞)[Z ](z) =FZ (d + z)− FZ (d)
FZ (d).
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Excesso médio
O par {(Nd (t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} é um modelo coletivo talque
N(t)∑i=1
L(d ,∞)[Zi ] =
Nd (t)∑j=1
E(d ,∞)[Zj ].
O valor esperado
MEZ (d) := E[E(d ,∞)[Z ]] =SLTZ (d)FZ (d)
=1
FZ (d)
∫ ∞d
FZ (z)dz
é chamado excesso médio.
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Excesso médio
O par {(Nd (t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} é um modelo coletivo talque
N(t)∑i=1
L(d ,∞)[Zi ] =
Nd (t)∑j=1
E(d ,∞)[Zj ].
O valor esperado
MEZ (d) := E[E(d ,∞)[Z ]] =SLTZ (d)FZ (d)
=1
FZ (d)
∫ ∞d
FZ (z)dz
é chamado excesso médio.
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Excesso médio
Vale a relação
SLTZ (d) = FZ (d)MEZ (d).
Se FZ (0) = 1 e FZ é contínua, vale
FZ (d) =MEZ (0)MEZ (d)
exp
(−∫ d
0
dzMEZ (z)
).
Se FZ é contínua e
limd→∞
MEZ (d) =∞
segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Excesso médio
Vale a relação
SLTZ (d) = FZ (d)MEZ (d).
Se FZ (0) = 1 e FZ é contínua, vale
FZ (d) =MEZ (0)MEZ (d)
exp
(−∫ d
0
dzMEZ (z)
).
Se FZ é contínua e
limd→∞
MEZ (d) =∞
segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Excesso médio
Vale a relação
SLTZ (d) = FZ (d)MEZ (d).
Se FZ (0) = 1 e FZ é contínua, vale
FZ (d) =MEZ (0)MEZ (d)
exp
(−∫ d
0
dzMEZ (z)
).
Se FZ é contínua e
limd→∞
MEZ (d) =∞
segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".22 / 47
ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Modelo de Pareto
Teorema de Pickands-Balkema-deHaan: Se FZ é de suporteinfinito, existe um ξ ∈ R e uma função β : R+ → R+ tal que
limd→∞
supz≥0|Fd (z)− GPξ,β(d)(z)| = 0
sse FZ pertence ao domínio de atração de uma distribuição devalor extremo onde
GPξ,β(z) :=
{1− (1+ ξ
β z)−1ξ se ξ 6= 0
1− exp(− zβ ) se ξ = 0
é a distribuição de Pareto generalizada.
Sob as condições acima é justificado de supor que para uma pri-oridade suficientemente alta, a distribuição de excessos é aprox-imadamente Pareto generalizada.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Modelo de Pareto
Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo dePareto (generalizado) se para cada z ≥ 0
Fz0(z) = GPξ,β(z)
para um ponto de observação z0 > 0 suficientemente alto.
Estabilidade distribucional: Sob o modelo de Pareto componto de observação z0 > 0, a distribuição de excessos sobretoda prioridade d > z0 é Pareto generalizada, i.e. para todoz ≥ 0,
Fd (z) = GPξ,βd (z)
com
βd := β + (d − z0)ξ > 0.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Modelo de Pareto
Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo dePareto (generalizado) se para cada z ≥ 0
Fz0(z) = GPξ,β(z)
para um ponto de observação z0 > 0 suficientemente alto.Estabilidade distribucional: Sob o modelo de Pareto componto de observação z0 > 0, a distribuição de excessos sobretoda prioridade d > z0 é Pareto generalizada, i.e. para todoz ≥ 0,
Fd (z) = GPξ,βd (z)
com
βd := β + (d − z0)ξ > 0.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Extrapolação de frequência
Seja d > x0 > 0 onde x0 é o ponto de observação com experiênciasuficiente. Então
Nx0 =N∑
i=1
1{Xi>x0}
é o número de excessos de x0. O número de excessos de d > x0 é
Nd =N∑
i=1
1{Xi>d} =
Nx0∑i=1
1{Xi>d |X>x0}
com valor esperado
E[Nd ] = E[Nx0 ]P(X > d |X > x0).
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Extrapolação de frequência
Para o fator
ϕx0(d) :=E[Nd ]
E[Nx0 ]
vale
ϕx0(d) = P(X > d |X > x0) =FX (d)FX (x0)
= F x0(d − x0)
onde Fx0 é a distribuição de excessos. Disso segue a fórmula deextrapolação de frequência
E[Nd ] = ϕx0(d) · E[Nx0 ] = F x0(d − x0) · E[Nx0 ].
Sob o modelo de Pareto generalizado com ξ > 0,
ϕx0(d) = GPξ,β(d − x0) =
(1+ (d − x0)
ξ
β
) 1ξ
.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Extrapolação de frequência
O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador donúmero de excessos de d , basta conhecer o número de excessosde x0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E(x0,∞)[X ] e não deE(d ,∞)[X ] onde possívelmente não existe um número suficientede observações ou até experiência nenhuma.
Se existe um estimador λ̂x0 da frequéncia dos sinistros de x0 eestimadores ξ̂ e β̂ baseados nas observações dos sinistros acimade x0, a fórmula sugere um estimador empírico λ̂d para a fre-quência de sinistros acima de d
λ̂d =
(1+ (d − x0)
ξ̂
β̂
) 1ξ̂
λ̂x0 .
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Extrapolação de frequência
O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador donúmero de excessos de d , basta conhecer o número de excessosde x0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E(x0,∞)[X ] e não deE(d ,∞)[X ] onde possívelmente não existe um número suficientede observações ou até experiência nenhuma.Se existe um estimador λ̂x0 da frequéncia dos sinistros de x0 eestimadores ξ̂ e β̂ baseados nas observações dos sinistros acimade x0, a fórmula sugere um estimador empírico λ̂d para a fre-quência de sinistros acima de d
λ̂d =
(1+ (d − x0)
ξ̂
β̂
) 1ξ̂
λ̂x0 .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Curva de exposição
A função
EZ (d) :=LEVZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ d
0FZ (z)dz
é chamada curva de exposição.
EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.EZ (d) é uma função de distribuição com cauda
EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ ∞d
FZ (z)dz .
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Curva de exposição
A função
EZ (d) :=LEVZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ d
0FZ (z)dz
é chamada curva de exposição.EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.
EZ (d) é uma função de distribuição com cauda
EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ ∞d
FZ (z)dz .
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Curva de exposição
A função
EZ (d) :=LEVZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ d
0FZ (z)dz
é chamada curva de exposição.EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.EZ (d) é uma função de distribuição com cauda
EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]
=1
E[Z ]
∫ ∞d
FZ (z)dz .
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Curva de exposição
Vale a relação
FZ (d) =E ′Z (d)E ′Z (0)
.
Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponen-cialidade de FZ em geral não são herdadas por EZ sem condiçõesadicionais.
Em caso de cobertura ilimitada vale
E[L(d ,∞)(Z )] = SLTZ (d) = EZ (d)E[Z ]
e em caso de cobertura limitado por c > 0,
E[L(d ,d+c](Z )] = (EZ (d + c)− EZ (d))E[Z ].
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição
Curva de exposição
Vale a relação
FZ (d) =E ′Z (d)E ′Z (0)
.
Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponen-cialidade de FZ em geral não são herdadas por EZ sem condiçõesadicionais.Em caso de cobertura ilimitada vale
E[L(d ,∞)(Z )] = SLTZ (d) = EZ (d)E[Z ]
e em caso de cobertura limitado por c > 0,
E[L(d ,d+c](Z )] = (EZ (d + c)− EZ (d))E[Z ].
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Precificação por exposição
A história de várias companhias é agregada em segmentos diferentes:
1. Os segmentos deveriam ser suficientemente homogênios tal quea companhia individual não seja muito diferente do seu seg-mento industrial. Por outro lado, os segmentos deveriam sersuficientemente grandes para garantir estabilidade.
2. Para determinar o prêmio dum contrato de uma companhia par-ticular o segmento integral da indústria ao qual a companhiapertence é considerado. Na base dessa exposição, o prêmio écalculado.
3. A vantagem é que fornecemos de mais informação do passado eassim a incerteza em faixas altas é menor do que na precificaçãopor experiência.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Precificação por exposição
4. A desvantagem é que não descrevemos a companhia específicapara a qual queremos calcular o prêmio, mas o segmento com-pleto da indústria. Possívelmente existem fatores individuais dacompanhia que não são refletidos no resto dos membros do seg-mento. Assim temos incerteza constante em cada faixa. Istoimplica que em faixas baixas, a incerteza na precificação porexposição é maior do que na precificação por experiência.
5. Dependendo do ramo de seguro, existem métodos diferentes:
Danos materiais e incêndio: curvas de exposição (analíticas(MBBEFD) ou empíricas)Responsabilidade civil: curvas ILF (fator de limite aumentado)Riscos naturais: modelos geofísicos
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Precificação por exposição
Se
LR[Z ] :=Z
P[Z ]
é a sinistralidade de Z segue a relação
E[L(d ,d+c][Z ]] = (EZ (d + c)− EZ (d)) · E[LR[Z ]] · P[Z ].
O prêmio original P[Z ] é determinado prospectivamente no iní-cio do período segurado, enquanto o sinistro Z é realizado futu-ramente. Se LR0[Z ] é a realização de LR[Z ] no fim do períodoanterior (ou uma outra estimativa melhor), o prêmio de ex-posição com cobertura limitada é
P[L(d ,d+c][Z ]] := (EZ (d + c)− EZ (d)) · LR0[Z ] · P[Z ].
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Precificação por exposição
Se
LR[Z ] :=Z
P[Z ]
é a sinistralidade de Z segue a relação
E[L(d ,d+c][Z ]] = (EZ (d + c)− EZ (d)) · E[LR[Z ]] · P[Z ].
O prêmio original P[Z ] é determinado prospectivamente no iní-cio do período segurado, enquanto o sinistro Z é realizado futu-ramente. Se LR0[Z ] é a realização de LR[Z ] no fim do períodoanterior (ou uma outra estimativa melhor), o prêmio de ex-posição com cobertura limitada é
P[L(d ,d+c][Z ]] := (EZ (d + c)− EZ (d)) · LR0[Z ] · P[Z ].
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Carregamento de segurança
Suponha que não exista risco de modelo e apenas risco de processoe de parâmetros. Para incorporar esses tipos de risco, é naturalconsiderar o carregamento de segurança
SL[Z ] := P[Z ]− E[Z ] > 0
o que representa a diferença entre o prêmio pago P[Z ] e o valoresperado (princípio de equivalência), assim,
P[Z ] = E[Z ] + SL[Z ].
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Princípios de prêmios
O prêmio puro é
Pθ[Z ] := E[Z ] + θ · E[Z ]
com fator de carregamento de segurança θ > 0.
O princípio de desvio-padrão
Pα[Z ] := E[Z ] + α√Var [Z ]
com fator de carregamento de segurança α > 0.
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Princípios de prêmios
O prêmio puro é
Pθ[Z ] := E[Z ] + θ · E[Z ]
com fator de carregamento de segurança θ > 0.O princípio de desvio-padrão
Pα[Z ] := E[Z ] + α√Var [Z ]
com fator de carregamento de segurança α > 0.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
O princípio de Esscher define o prêmio como
Pκ[Z ] := EQκ [Z ] =E[ZeκZ ]mZ (κ)
com κ > 0 tal que os valores esperados sejam finitas. Se Zé contínuo com densidade fZ , isto é o valor esperado sob umamedida equivalente Qκ com distribuição
FQκZ (z) :=1
mZ (κ)
∫ z
0eκx fZ (x)dx
chamada transformada de Esscher da distribuição FZ .
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
O carregamento de segurança é explícitamente dado por
SLκ[Z ] = EQκ [Z ]− E[Z ] =Cov [Z , eκZ ]E[eκZ ]
.
Para a função geratriz de momentos vale a relação
mQκZ (ξ) =mZ (ξ + κ)
mZ (κ).
Em particular, para o modelo coletivo (Poisson-composto) comZ =
∑Ni=1 Xi com N ∼ Poisλ e X ∼ FX tal que mX (ξ) < ∞
segue
mQκZ (ξ) = exp(λ ·mX (κ)
(mX (ξ + κ)
mX (κ)− 1))
.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
O carregamento de segurança é explícitamente dado por
SLκ[Z ] = EQκ [Z ]− E[Z ] =Cov [Z , eκZ ]E[eκZ ]
.
Para a função geratriz de momentos vale a relação
mQκZ (ξ) =mZ (ξ + κ)
mZ (κ).
Em particular, para o modelo coletivo (Poisson-composto) comZ =
∑Ni=1 Xi com N ∼ Poisλ e X ∼ FX tal que mX (ξ) < ∞
segue
mQκZ (ξ) = exp(λ ·mX (κ)
(mX (ξ + κ)
mX (κ)− 1))
.
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Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada deEsscher, N ∼Qκ PoisλQκ e X ∼Qκ FQκX com frequência
λQκ = λ ·mX (κ) > λ
e sinistro individual médio
EQκ [X ] =E[XeκX ]mX (κ)
> E[X ].
Princípio de equivalência sob Qκ: O processo
M(t) := Z (t)− P[Z (t)]
é um Qκ-martingal se
EQκ [Z (t)] = P[Z (t)] = E[Z (t)] + SL[Z (t)].
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada deEsscher, N ∼Qκ PoisλQκ e X ∼Qκ FQκX com frequência
λQκ = λ ·mX (κ) > λ
e sinistro individual médio
EQκ [X ] =E[XeκX ]mX (κ)
> E[X ].
Princípio de equivalência sob Qκ: O processo
M(t) := Z (t)− P[Z (t)]
é um Qκ-martingal se
EQκ [Z (t)] = P[Z (t)] = E[Z (t)] + SL[Z (t)].
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial soba transformada de Esscher como medida de precificação nummercado incompleto com taxa de juros determinística em tempot = 0 com maturidade T é
PCaT0,T := e−rTEQκ [VD(T )] = e−rTV0
(1+ (q − 1)FQκZ(T )
).
A transformada de Esscher minimiza a entropia a respeito damedida física P.
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Transformada de Esscher
O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial soba transformada de Esscher como medida de precificação nummercado incompleto com taxa de juros determinística em tempot = 0 com maturidade T é
PCaT0,T := e−rTEQκ [VD(T )] = e−rTV0
(1+ (q − 1)FQκZ(T )
).
A transformada de Esscher minimiza a entropia a respeito damedida física P.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Medidas de risco
Valor em rsico:
ρα[Z ] := VaRα[Z ] := F←Z (α)
Valor em rsico da cauda:
ρα[Z ] := E[Z |Z > VaRα[Z ]] = VaRα[Z ] + MEZ (VaRα[Z ])
Se Z é contínuo,
ρα[Z ] = Eα[Z ] :=1
1− α
∫ 1
αVaRx [Z ]dx
e vale a subaditividade (diversificação positiva)
Dρα [Z1, ...,Zn] :=n∑
i=1
Eα[Zi ]− Eα[n∑
i=1
Zi ] ≥ 0.
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Medidas de risco
Valor em rsico:
ρα[Z ] := VaRα[Z ] := F←Z (α)
Valor em rsico da cauda:
ρα[Z ] := E[Z |Z > VaRα[Z ]] = VaRα[Z ] + MEZ (VaRα[Z ])
Se Z é contínuo,
ρα[Z ] = Eα[Z ] :=1
1− α
∫ 1
αVaRx [Z ]dx
e vale a subaditividade (diversificação positiva)
Dρα [Z1, ...,Zn] :=n∑
i=1
Eα[Zi ]− Eα[n∑
i=1
Zi ] ≥ 0.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Alocação de capital de risco
Sejam Z1, ...,Zn sub-coletivos de sinistros e Z =∑n
i=1 Zi o sinistroagregado com diversificação Dρ[Z1, ...,Zn] ≥ 0.
Covariança proporcional:
ρ[Zi |Z ] :=Cov [Zi ,Z ]
Var [Z ]· ρ[Z ]
Co-TVaR:
ρα[Zi |Z ] := E[Zi |Z > VaRα[Z ]]
Esscher:
ρκ[Zi |Z ] :=Cov [Zi , eκZ ]E[eκZ ]
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ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Alocação de capital de risco
Sejam Z1, ...,Zn sub-coletivos de sinistros e Z =∑n
i=1 Zi o sinistroagregado com diversificação Dρ[Z1, ...,Zn] ≥ 0.
Covariança proporcional:
ρ[Zi |Z ] :=Cov [Zi ,Z ]
Var [Z ]· ρ[Z ]
Co-TVaR:
ρα[Zi |Z ] := E[Zi |Z > VaRα[Z ]]
Esscher:
ρκ[Zi |Z ] :=Cov [Zi , eκZ ]E[eκZ ]
40 / 47
ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Alocação de capital de risco
Sejam Z1, ...,Zn sub-coletivos de sinistros e Z =∑n
i=1 Zi o sinistroagregado com diversificação Dρ[Z1, ...,Zn] ≥ 0.
Covariança proporcional:
ρ[Zi |Z ] :=Cov [Zi ,Z ]
Var [Z ]· ρ[Z ]
Co-TVaR:
ρα[Zi |Z ] := E[Zi |Z > VaRα[Z ]]
Esscher:
ρκ[Zi |Z ] :=Cov [Zi , eκZ ]E[eκZ ]
40 / 47
ResseguroDivisão de risco
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
Alocação de capital de risco
Sejam Z1, ...,Zn sub-coletivos de sinistros e Z =∑n
i=1 Zi o sinistroagregado com diversificação Dρ[Z1, ...,Zn] ≥ 0.
Covariança proporcional:
ρ[Zi |Z ] :=Cov [Zi ,Z ]
Var [Z ]· ρ[Z ]
Co-TVaR:
ρα[Zi |Z ] := E[Zi |Z > VaRα[Z ]]
Esscher:
ρκ[Zi |Z ] :=Cov [Zi , eκZ ]E[eκZ ]
40 / 47
ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
RAC, RoRAC, EVA e CoC
O capital de risco ajustado de Z é definido por
RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]
onde ρ é uma medida de risco.
Seja
RoRAC [Z ] :=P[Z ]− ZRAC [Z ]
=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]
o renda do capital de risco ajustado.O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)
EVA[Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ] = (P[Z ]− Z )− CoC [Z ]
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
RAC, RoRAC, EVA e CoC
O capital de risco ajustado de Z é definido por
RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]
onde ρ é uma medida de risco.Seja
RoRAC [Z ] :=P[Z ]− ZRAC [Z ]
=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]
o renda do capital de risco ajustado.
O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)
EVA[Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ] = (P[Z ]− Z )− CoC [Z ]
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
RAC, RoRAC, EVA e CoC
O capital de risco ajustado de Z é definido por
RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]
onde ρ é uma medida de risco.Seja
RoRAC [Z ] :=P[Z ]− ZRAC [Z ]
=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]
o renda do capital de risco ajustado.O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)
EVA[Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ] = (P[Z ]− Z )− CoC [Z ]
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PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
RAC, RoRAC, EVA e CoC
onde
CoC [Z ] := λ · RAC [Z ]
é o custo de capital e
λ = r + s
é a renda exigida sobre o capital de risco com r > 0 a taxa de jurossem risco e s > 0 a sobretaxa (compensação) para a possível perdado capital. Assim
E[RoRAC [Z ]] =P[Z ]− E[Z ]
ρ[Z ]− P[Z ]=E[EVA[Z ]]
RAC [Z ]+ λ.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico
RAC, RoRAC, EVA e CoC
Da condição
E[RoRAC [Z ]] ≥ λ resp. E[EVA[Z ]] ≥ 0
segue a equação implícita para o prêmio mínimo
P[Z ] = E[Z ] + λ · RAC [Z ] = E[Z ] + λ · (ρ[Z ]− P[Z ]).
Disso segue o prêmio econômico
P[Z ] = E[Z ] +λ
λ+ 1(ρ[Z ]− E[Z ])
o que corresponde a um princípio de prêmios com carregamento es-pecificado em termos econômicos. Esse princípio pode ser general-izado para o caso de diversificação.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
RIEVA
RIEVA
Se
EVABrut [Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ]
é o valor econômico adicionado antes de resseguro e
EVALiq[Z ] := ((P[Z ]− P[t(Z )])− r(Z ))− λ · RAC [r(Z )]
o valor econômico adicionado após resseguro,
RIEVA[Z ] := EVALiq[Z ]− EVABrut [Z ]
é o valor econômico adicionado por resseguro.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
RIEVA
RIEVA
Vale
E[RIEVA[Z ]] = λ · (RAC [Z ]− RAC [r(Z )])− SL[t(Z )]
onde
SL[t(Z )] = P[t(Z )]− E[t(Z )] > 0
é o carregamento de segurança do prêmio de resseguro, dado pelomercado, representando o custo de resseguro para a seguradora.Pela preservação de ordem de riscos de ρ vale RAC [Z ] > RAC [r(Z )]e assim
λ · (RAC [Z ]− RAC [r(Z )]) > 0
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
RIEVA
RIEVA
que é o custo marginal do capital de risco, i.e. a redução docapital de risco por resseguro multiplicado pela renda exigida sobre ocapital de risco. Se o custo de resseguro é menor que o custo marginaldo capital de risco, resseguro cria um valor econômico adicionadopositivo, ou seja, o contrato de resseguro tem que cumprir a condição
E[RIEVA[Z ]] > 0
para gerar valor econômico para a seguradora.
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ResseguroDivisão de risco
Formas de resseguroEfeito de resseguro
PrecificaçãoAvaliação de resseguro
OBRIGADO PELA ATENÇÃO!
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