resolução de problemas multiplicativos: análise de

ALINE CRISTINA CYBIS

Resolução de Problemas Multiplicativos: análise de processos

heurísticos de alunos de 5º ano do Ensino Fundamental

Mestrado em Educação Matemática

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

2014

ALINE CRISTINA CYBIS

Resolução de Problemas Multiplicativos: análise de processos

heurísticos de alunos de 5º ano do Ensino Fundamental

Dissertação apresentada como exigência

parcial para obtenção do título de MESTRE EM

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA à Universidade

Anhanguera de São Paulo, sob orientação da

Prof.ª Dr.ª Rosana Nogueira de Lima.

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

2014

BANCA EXAMINADORA

_________________________________

_________________________________

_________________________________

“A pedagogia moderna está partindo cada vez mais em direção a

visão de que a criança deveria estar ciente de seus próprios

processos de pensamento e que é essencial, tanto para o teórico da

pedagogia quanto para o professor, ajudá-la a tornar-se mais

metacognitiva – a estar tão ciente de como realiza sua

aprendizagem e pensamento quanto da matéria que está

estudando.” (Jerome Bruner. A cultura da Educação, 1996)

AGRADECIMENTOS

À professora Doutora Rosana Nogueira de Lima, pelo trabalho de orientação

desenvolvido com dedicação e amizade.

À professora Doutora Gilda Lisbôa Guimarães e à professora Doutora Maria

Elisa Esteves Lopes Galvão pelas contribuições para a elaboração e o

enriquecimento deste trabalho.

Aos professores do Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática

da Universidade Anhanguera de São Paulo, pelo incentivo e aprendizado durante o

curso.

À Direção da escola na qual fizemos a coleta de dados, por autorizar a

aplicação dos encontros.

Às famílias dos alunos da escola, por terem autorizado a participação dos

estudantes nesta pesquisa.

Aos alunos da escola por terem participado ativamente das propostas dos

encontros.

Aos Colégios Santa Marcelina e Colégio Assunção, por terem cedido as aulas

de sexta-feira para que eu pudesse cumprir as disciplinas do curso.

Aos alunos do Mestrado, pelo companheirismo, auxílio e amizade.

À Capes, pela Bolsa de Estudos, que permitiu total dedicação ao curso de

Pós- Graduação.

Aos meus familiares, pelo apoio e pela compreensão.

Ao meu cachorro Jow, pelas horas que sentou ao meu lado enquanto eu

estudava.

Ao meu marido, pela compreensão, carinho e estímulo.

E principalmente a Deus, pois sem Ele nada disso seria possível.

RESUMO

Neste trabalho temos como objetivo investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre este processo pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos. Trabalhamos com 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino Fundamental durante três encontros de 50 minutos cada. Em cada encontro foram aplicados cinco problemas multiplicativos, selecionados de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009). Esses problemas foram resolvidos pelos alunos por meio de uma ficha elaborada com base nas fases de resolução de problemas propostas por Mason, Burton e Stacey (1982). Os dados coletados foram analisados à luz do quadro teórico da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.). Analisamos a ficha de resolução de problemas e suas implicações, levamos os alunos a refletirem e interpretarem um tipo diferente de esquema, denominado diagrama de barras e analisamos se os estudantes continuaram utilizando a ficha de resolução de problemas ou o diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. Em todos os encontros, também verificamos os procedimentos heurísticos que emergiram com ou sem o uso desses recursos. Os resultados obtidos indicam que foi possível trazer à tona os invariantes operatórios desses estudantes enquanto resolviam problemas multiplicativos com o uso da ficha de resolução de problemas e de diferentes maneiras de resolver um problema, incluindo o tipo de diagrama de barras utilizado. Verificamos que a ficha proposta em nossa pesquisa colaborou com o desenvolvimento da percepção dos processos heurísticos por parte dos alunos. Também revelou conhecimentos que estavam implícitos na ação dos estudantes,e, portanto, nos ajudou a compreender as facilidades e dificuldades que os alunos podem apresentar ao resolver determinado problema multiplicativo. Com relação ao diagrama de barras utilizado, observamos que este ajudou os estudantes a organizarem as informações relevantes do problema, bem como a esclarecer o cálculo relacional exposto por ele, indicando que este recurso pictórico pode ser uma ferramenta eficaz para que o individuo reflita mais profundamente sobre o problema. Por meio desse estudo concluímos que uma metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema e que incorpora diferentes esquemas de resolução colabora com o desenvolvimento da percepção dos processos heurísticos por parte dos alunos, o que pode influenciar na compreensão do cálculo relacional de problemas multiplicativos.

Palavras-chave: Resolução de Problemas Multiplicativos. Processos Heurísticos. Teoria dos Campos Conceituais. Diagrama de Barras. Ficha de Resolução de Problemas.

ABSTRACT

The aim of this study is to investigate whether the usage of a problem solving methodology that values the reflection over the problem solving process may contribute to the perception of heuristic processes. We have worked with 19 students from a fifth grade class from elementary school for three encounters of 50 minutes each. In each encounter the students were given five multiplication problems which were selected according to Vergnaud’s Conception Fields Theory (2009). The problems were solved by the students through an elaborated form based on the phases of problem solving proposed by Mason, Burton e Stacey (1982). The collected data was analyzed in light of the theoretical Conceptual Fields Theory boards (Vergnaud, 2009). We analyzed the problem solving form and its implications, we made the students reflect and interpret a different kind of model, called bar diagram and we analyzed whether the students kept on using the solving problem form or the bar diagram in order to solve multiplication problems. In all the encounters, we also checked the heuristic procedures which were emerging with or without the usage of such resources. The results obtained indicate that it was possible to bring out the operational invariables of these students while they were solving the multiplication problems using the problem solving form as well as different ways of solving a problem, including the bar diagram used. We observed that the proposed form in our research contributed to the development of the perception of the students concerning heuristic processes. It also revealed the knowledge that was embedded in the action of the students, therefore helping us understand both promptness and difficulties the students may present while solving some multiplication problems. As for the bar diagram used, we noticed that it helped the students to organize relevant information about the problem as well as to clarify the relational calculation exposed by it, indicating that such pictorial resource may be an effective tool in order to make the student reflect more deeply over a problem. Through this study, we concluded that a solving problem methodology that values the reflection over the problem solving process and that incorporates different models of resolutions contributes to the development of heuristic processes by the students, which may influence in the understanding of the relational calculation of multiplication problems.

Key-words: Multiplication problem solving. Heuristic Processes. Conceptual Fields Theory. Bar Diagram. Problem Solving Form.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: As três classes do campo multiplicativo ................................................... 46

Figura 2: Subclasses do campo multiplicativo. ........................................................ 47

Figura 3: Primeiro Exemplo da classe multiplicativa ................................................ 47

Figura 4: Segundo Exemplo da classe multiplicativa ............................................... 48

Figura 5: Terceiro Exemplo da classe multiplicativa ................................................ 48

Figura 6: Primeiro Exemplo de Caso de um único espaço de medidas ................... 49

Figura 7: Segundo exemplo de Caso de um único espaço de medidas .................. 50

Figura 8: Terceiro Exemplo de caso de um único espaço de medidas .................... 50

Figura 9: Fases de Resolução de Problemas .......................................................... 58

Figura 10: Diagrama: Modelo Parte-Todo ............................................................... 60

Figura 11: Diagrama: Modelo de Comparação ........................................................ 60

Figura 12: Ficha de Resolução de Problemas ......................................................... 64

Figura 13: Ficha de Resolução de Problema completa do aluno Kléber ................. 82

Figura 14: Rubrica do aluno Lúcio do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 1 do

Grupo G3 para o Problema 1 do Encontro 1 ............................................................ 83

Figura 15: Estratégia da aluna Silmara do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro

1 ............................................................................................................................... 89

Figura 16: Estratégia de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1 ..... 89

Figura 17: Resposta da aluna Tatiane do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro

1 ............................................................................................................................... 90

Figura 18: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro

1 ............................................................................................................................... 91

Figura 19: Convencimento do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do

Encontro 1 ............................................................................................................... 91

Figura 20: Convencimento de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1

................................................................................................................................. 93


1 ............................................................................................................................... 95

Figura 22: Estratégia da aluna Kátia do Grupo G4 para o Problema 5 do Encontro 1

................................................................................................................................. 99

Figura 23: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Gabriele para o

Problema 5 do Encontro 1...................................................................................... 100

Figura 24: Rubrica da aluna Maria do grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 2

............................................................................................................................... 106

Figura 25: Estratégia da aluna Maria do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

............................................................................................................................... 106

Figura 26: Rubrica da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

............................................................................................................................... 107

Figura 27: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro

2 ............................................................................................................................. 107

Figura 28: Rubrica da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

............................................................................................................................... 108

Figura 29: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro

2 ............................................................................................................................. 108

Figura 30: Convencimento da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do

Encontro 2 ............................................................................................................. 108

Figura 31: Estratégia da aluna Isabel do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 2

............................................................................................................................... 112


2 ............................................................................................................................. 112

Figura 33: Primeira Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do

Encontro 2 ............................................................................................................. 113

Figura 34: Segunda Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do

Encontro 2 ............................................................................................................. 113

Figura 35: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Fátima do Grupo

G2 para o Problema 3 do Encontro 2 ..................................................................... 115


2 ............................................................................................................................. 116

Figura 37: Rubrica do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 2

............................................................................................................................... 118


2 ............................................................................................................................. 118

Figura 39: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro

2 ............................................................................................................................. 119


............................................................................................................................... 119


2 ............................................................................................................................. 120

Figura 42: Rubrica da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 2

............................................................................................................................... 121

Figura 43: Rubrica e estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 5 do

Encontro 2 ............................................................................................................. 122

Figura 44: Convencimento da aluna Silmara do Grupo G1 para o Problema 5 do

Encontro 2 ............................................................................................................. 122


............................................................................................................................... 123

Figura 46: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro

3 ............................................................................................................................. 127

Figura 47: Estratégia do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3

............................................................................................................................... 127

Figura 48: Rubrica do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3

............................................................................................................................... 128

Figura 49: Estratégia do aluno Lúcio do grupo G1 para o problema 1 do Encontro 3

............................................................................................................................... 128

Figura 50: Ficha de Resolução de Problemas completa do aluno Lúcio do Grupo G1

para o Problema 1 do Encontro 3........................................................................... 129

Figura 51: Rubrica da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3

............................................................................................................................... 131

Figura 52: Estratégia da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 2 do

Encontro 3 ............................................................................................................. 132

Figura 53: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro

3 ............................................................................................................................. 133


3 ............................................................................................................................. 133

Figura 55: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 2 do

Encontro 3 ............................................................................................................. 134

Figura 56: Estratégia da aluna Kátia do grupo G3 para o Problema 3 do Encontro 3

............................................................................................................................... 136

Figura 57: Estratégia do aluno Júnior do grupo G1 para o Problema 3 do Encontro 3

............................................................................................................................... 137


............................................................................................................................... 138


............................................................................................................................... 139

Figura 60: Estratégia do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3

............................................................................................................................... 139

Figura 61: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro

3 ............................................................................................................................. 140


3 ............................................................................................................................. 141

Figura 63: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do

Encontro 3 ............................................................................................................. 141

Figura 64: Rubrica da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3

............................................................................................................................... 142

Figura 65: Rubrica do aluno Pablo do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3

............................................................................................................................... 144


............................................................................................................................... 145


............................................................................................................................... 146

Figura 68: Rubrica da aluna Tatiane do grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3

............................................................................................................................... 146

Figura 69: Estratégia do aluno Kléber do grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3

............................................................................................................................... 147

Figura 70: Estratégia da aluna Gabriele do grupo G2 para o Problema 5 do Encontro

3 ............................................................................................................................. 148

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Primeiro exemplo da Categoria Produto de Medidas .............................. 51

Quadro 2: Segundo Exemplo: Organização Retangular .......................................... 51

Quadro 3: Enunciado do Problema 1 do Encontro 1 ............................................... 67







Quadro 10: Enunciado do Problema 3 do Encontro 2 ............................................. 72








Quadro 18: Problema 1 do Encontro 1 .................................................................... 81





Quadro 23: Problema 1 do Encontro 2 .................................................................. 105










LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Nomes fictícios e respectivas siglas ......................................................... 79

Tabela 2: Integrantes por Grupo do Encontro 1 ....................................................... 79

Tabela 3: Integrantes por Grupo dos Encontros 2 e 3 ............................................. 80

Tabela 4: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 1 ................... 82



Tabela 7: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 2 ................. 105



Tabela 10: Categorias de Estratégias para o Problema 4 do Encontro 2 ............... 117







SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................................ 16

CAPÍTULO I - RESULTADOS DE PESQUISAS EMPÍRICAS ........................ 19

1.1 Resolução de Problemas e Habilidades Heurísticas .............................. 19

1.2 Abordagens de Resolução de Problemas .............................................. 31

CAPÍTULO II - A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E AS ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS ........................................................................................ 36

2.1 Conceito ................................................................................................ 37

2.2 Situação ................................................................................................. 38

2.3 Cálculo Relacional e Cálculo Numérico ................................................. 39

2.4 Significado e Significante ....................................................................... 39

2.5 Esquema ............................................................................................... 41

2.6 Invariantes Operatórios .......................................................................... 44

2.7 Estruturas Multiplicativas ....................................................................... 45

CAPÍTULO III - METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ......... 53

CAPÍTULO IV - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .............................. 62

4.1 Sujeitos da Pesquisa ............................................................................. 63

4.2 Instrumentos de Coleta de Dados .......................................................... 63

4.3 Os Encontros ......................................................................................... 65

4.4 Encontro 1 ............................................................................................. 67

4.5 Encontro 2 ............................................................................................. 69

4.6 Encontro 3 ............................................................................................. 73

CAPÍTULO V - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ....................... 77

5.1 Sujeitos da Pesquisa ............................................................................. 78

5.2 Análise e Discussão dos Encontros ....................................................... 80

5.3 Encontro 1 ............................................................................................. 81

5.4 Discussão do Encontro 1 ......................................................................103

5.5 Encontro 2 ............................................................................................104


5.7 Encontro 3 ............................................................................................124


CONCLUSÃO ................................................................................................151

Discutindo as Questões de Pesquisa ..........................................................152

Limitações do Estudo e Sugestões para outras Pesquisas ..................... ....156

BIBLIOGRAFIA..................................................................................................155

APÊNDICE................................................................................................. ........157

ANEXOS.............................................................................................................160

16

INTRODUÇÃO

É vasta a literatura em Educação Matemática que trata de problemas que

envolvem o ensino e a aprendizagem da Resolução de Problemas, principalmente

relacionando a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 2009) às dificuldades

com as quais os alunos se deparam para resolver problemas, sejam eles aditivos ou

multiplicativos (PETRINA, 2012; JUSTO, 2009). Várias dessas pesquisas buscam

identificar erros cometidos pelos alunos ao resolverem problemas, apresentando

diferentes tipos de erros que surgem no trabalho por eles desenvolvido (RÊGO E

AZEREDO, 2006; MOLINARI, 2010). Outras buscam desenvolver processos que

desencadeiem habilidades heurísticas por parte dos alunos (CHAHON, 2006;

ALVARENGA, 2008).

Ao estudarmos essas pesquisas, vemos que vários diagnósticos dos

diferentes tipos de acertos e erros de estudantes frente a problemas matemáticos

foram realizados, mas pensamos que a aplicação de uma metodologia de resolução

de problemas cujo enfoque seja o emergir da percepção de invariantes operatórios

utilizados para desenvolver processos heurísticos poderá trazer contribuições para

essa área de pesquisa.

Encontramos o trabalho de Mason, Burton e Stacey (1982), cujo enfoque está

nas fases de resolução de problemas. Com base nesta metodologia, elaboramos o

instrumento de coleta de dados que foi utilizado nesta pesquisa; uma ficha que

auxilia o aluno a refletir sobre a resolução do problema proposto, considerada por

nós como um tipo de situação. Encontramos também um tipo diferente de esquema,

um diagrama de barras comumente utilizado em Cingapura, o qual também nos

pareceu adequado a essa pesquisa.

Assim, tendo em mente buscar entender melhor os processos heurísticos de

alunos enquanto resolvem problemas matemáticos multiplicativos, temos por

objetivo investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de problemas

que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema pode colaborar

para a percepção dos processos heurísticos envolvidos.

17

Guiados por esse objetivo, levantamos as seguintes questões norteadoras:

“Qual a influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e para a

percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de

barras utilizado auxiliou na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi

possível aos alunos tomarem consciência dos processos heurísticos usados a partir

da utilização da ficha?”.

Participaram de nossa pesquisa 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino

Fundamental de uma escola particular de São Paulo. A coleta de dados foi realizada

por meio de três encontros com duração aproximada de uma hora e meia cada. Em

cada encontro, foram aplicados cinco problemas matemáticos multiplicativos, que

foram resolvidos em grupos, com a utilização de uma ficha elaborada a partir das

ideias de Mason, Burton e Stacey (ibid.). Cada encontro teve um objetivo específico.

No Encontro 1, tivemos como objetivo analisar se a ficha de resolução de problemas

traria contribuições para que o aluno, e, no caso, a pesquisadora, pudessem

perceber os invariantes operatórios mobilizados para resolver os problemas

propostos. No Encontro 2, nosso objetivo foi levar os alunos a refletirem e

interpretarem um diagrama de barras e, assim, investigar se essa representação

pictórica permitiria que os estudantes visualizassem a estrutura do problema, a fim

de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele. No Encontro 3, analisamos se

os estudantes continuariam utilizando a ficha de resolução de problemas ou o

diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. A partir disso,

também verificamos os invariantes operatórios que emergiriam com ou sem o uso

desses recursos.

Os dados coletados foram analisados de acordo com a Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud (2009), tendo em vista as situações, os conceitos e os

invariantes operatórios apresentados nos problemas multiplicativos, e, também, com

base na revisão de literatura que mostra a importância dos processos heurísticos na

resolução de problemas.

Para apresentação de nossa pesquisa, este relatório foi dividido em alguns

capítulos. No Capítulo 1, fizemos um levantamento de pesquisas empíricas sobre

resolução de problemas que julgamos fundamentais para nosso estudo,

18

relacionadas ao desenvolvimento de processos heurísticos (POLYA, 2006). Essa

análise foi apresentada no Capítulo 1 – Resultados de Pesquisas Empíricas.

Em seguida, no Capítulo 2, apresentamos a Fundamentação Teórica utilizada

em nossa pesquisa, a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.), mais

especificamente o campo conceitual multiplicativo. Esse referencial norteou a

escolha dos instrumentos de coleta de dados, bem como a análise dos dados desta

pesquisa.

No Capítulo 3, apresentamos a proposta de Metodologia de Resolução de

Problemas (MASON, el al. 1982), a qual baseou a construção da ficha que foi usada

pelos alunos para resolver os problemas. Ainda neste capítulo tecemos algumas

considerações sobre um tipo de esquema que foi apresentado aos estudantes para

resolver alguns dos problemas.

Temos, no Capítulo 4, os Procedimentos Metodológicos da Pesquisa.

Apresentamos os sujeitos desta pesquisa, alunos do 5º ano do Ensino Fundamental

e a organização dos três encontros nos quais os problemas e a metodologia de

resolução de problemas foram aplicados. Fizemos também uma descrição dos

instrumentos de coleta de dados.

A análise dos dados propriamente dita foi feita no Capítulo 5 – Apresentação

e Análise dos Dados. Neste Capítulo, fizemos uma categorização das estratégias

apresentadas nas fichas dos estudantes e destacamos outras informações que

também foram pertinentes para a tessitura dessa pesquisa. Buscamos relacionar

esses dados com os resultados das pesquisas apresentadas no Capítulo 1 e com o

referencial teórico da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, op.cit.).

Por fim expomos nossas conclusões sobre a análise que fizemos no decorrer

deste trabalho, relacionando-as ao objetivo, ao quadro teórico e às questões de

pesquisa. Apresentamos também as limitações desta pesquisa, assim como novas

possibilidades de pesquisas para as quais essas limitações apontam.

19

CAPÍTULO I - RESULTADOS DE PESQUISAS EMPÍRICAS

Neste Capítulo, apresentamos as pesquisas realizadas com foco em

resolução de problemas, de forma a compreendermos como os autores percebem

esse tópico e que tipo de representações foram utilizadas por estudantes. Além

disso, também discorremos a respeito de diferentes abordagens sobre a resolução

de problemas e as reflexões feitas sobre processos heurísticos.

Durante a pesquisa e leitura das fontes bibliográficas, foi possível constatar

que havia muitas publicações disponíveis a respeito do tópico Resolução de

Problemas e, portanto, focamos o estudo somente naquelas que, de alguma forma,

também se relacionavam às estratégias que alunos apresentam ao resolver

problemas matemáticos, já que nosso objetivo é investigar se a utilização de uma

metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de

resolver um problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos.

1.1 Resolução de Problemas e Habilidades Heurísticas

Várias pesquisas tratam da resolução de problemas relacionada às

habilidades heurísticas, entre elas a de Chahon (2006). O autor realizou um

levantamento acerca do que se entende por metacognição. A primeira hipótese

levanta a ideia de que, caso os alunos reflitam sobre as diferentes estruturas de

problemas aditivos, por meio da oralidade, do desenho e da escrita, a

problematização desses problemas terá como objetivo colocar os processos

cognitivos em jogo, e isso poderá favorecer a aprendizagem dos sujeitos.

Concordamos com Chahon, Ibid., quando ele diz que a reflexão sobre as estruturas

dos problemas por meio da oralidade, do desenho e da escrita favorece a

aprendizagem dos sujeitos. A segunda hipótese aponta que a exploração

(metacognitiva) do conhecimento relacional prévio, no que se refere à representação

20

e à resolução de problemas de multiplicação e divisão, pode conduzir a uma melhor

aprendizagem mesmo que o indivíduo ainda não domine o conhecimento formal de

efetuar um determinado cálculo numérico. Isto quer dizer que, mesmo que o sujeito

não domine um procedimento de cálculo numérico, por exemplo de multiplicação,

poderá resolver problemas de multiplicação por meio de outros tipos de

representação, pois isso envolve o cálculo relacional.Com o objetivo de verificar

suas hipóteses de pesquisa, o pesquisador pediu que professoras de 2º ao 4º ano

do Ensino Fundamental selecionassem 30 crianças entre classes de uma escola

pública do Rio de Janeiro para participarem da pesquisa, o que ocorreu no 2º

semestre de 2000. No ano seguinte, uma turma de 27 alunos do 3º ano foi escolhida

para dar prosseguimento à pesquisa de forma mais prolongada. Já em 2002, duas

outras turmas de 3º ano, em um total de 27 alunos, participaram também de forma

prolongada na pesquisa.

A investigação preliminar, no segundo semestre de 2000, consistiu na

realização de uma prova individual realizada pelas crianças. No ano seguinte, uma

turma de 3º ano realizou novas provas, e, a partir dos resultados obtidos com elas,

foram emparelhados dois grupos considerados equivalentes, com 10 (dez) crianças

cada (as variáveis sexo e idade mantidas em certo equilíbrio entre ambos). Em

seguida, um deles (grupo experimental) participou de atividades coletivas de

intervenção, ao final das quais todas as crianças dos dois grupos voltaram a realizar

provas semelhantes às primeiras.

Um planejamento similar foi reconduzido em 2002, após revisão do

instrumental, quando a opção por trabalhar com duas turmas (e, consequentemente,

dois grupos experimentais), deveu-se à oportunidade de efetuar observações mais

expressivas do ponto de vista qualitativo, e ainda tendo em vista a possibilidade do

uso de técnicas estatísticas inferenciais (por exemplo, teste de comparação de

médias) ao final do treinamento.

No total foram realizados treze encontros, sendo oito deles voltados à

resolução de problemas aditivos e cinco para problemas multiplicativos, sendo que

os instrumentos de coleta de dados oferecidos aos alunos foram selecionados de

acordo com as diferentes ideias das quatro operações, utilizando para tal as

contribuições da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009).

21

A base teórica da pesquisa gira em torno da noção de metacognição visando

a aprendizagem matemática para os anos iniciais de escolaridade. Por isso, o autor

destaca alguns trabalhos importantes referentes à metacognição. Flavell (1970,

apud CHAHON, 2006, p.25) define “metacognição” como “qualquer conhecimento ou

atividade cognitiva que toma como seu objeto, ou regula, qualquer aspecto de

qualquer iniciativa cognitiva.” Ainda afirma que as habilidades metacognitivas

infantis, envolvendo a capacidade de uma criança de monitorar (de saber localizar-

se em relação à sua meta) e auto-regular (planejar e avaliar) o próprio

comportamento, desenvolvem-se desde os 7 anos de idade e podem ser ensinadas

dentro do currículo escolar. Davidson et al. (1996, apud CHAHON, 2006) destacam

quatro processos metacognitivos: identificar e definir o problema; representar

mentalmente o problema; planejar como proceder e, por fim, avaliar o próprio

desempenho.

Percebemos que a fase de escolaridade dos alunos dos anos iniciais do

Ensino Fundamental é bastante propícia para desenvolver atividades nas quais o

aluno possa monitorar o próprio aprendizado. Em nossa pesquisa, buscamos

desenvolver uma metodologia que aponte fases de resolução de problemas que

possam ser úteis para o desenvolvimento desses processos heurísticos, assim como

Chahon (2006) apontou para essa necessidade em sua pesquisa.

Os resultados da pesquisa de Chahon (ibid.), apontaram progressos sutis dos

grupos experimentais, que permaneceram de forma prolongada na pesquisa em

relação aos grupos de comparação, justificando que novas pesquisas precisam ser

realizadas a fim de colaborar com os dados obtidos naquele trabalho. Portanto, a

partir da limitação da pesquisa de Chahon (ibid.) entendemos que nossa pesquisa

deve enfatizar também a capacidade do aluno de tomar para si todo o processo de


Um dos pontos destacados no final da pesquisa foi que o recurso de registrar

por escrito, individualmente em uma folha de papel, a resolução do problema,

empobreceu as produções dos alunos do ponto de vista da criatividade. Em nossa

pesquisa, embora os estudantes tenham trabalhado em grupo, o registro da ficha foi

individual. Neste caso, poderíamos verificar se ocorreu em nosso trabalho o mesmo

que ocorreu na pesquisa de Chahon (ibid.), isto é, gostaríamos de saber se

22

realmente se deu esse empobrecimento dos registros dos alunos, conforme foi

citado pelo autor.

Chahon (ibid.) aborda a relação entre a metacognição e a compreensão

infantil dos conceitos de adição e subtração e reforça que esta se dá por meio do

domínio de um número cada vez maior de situações-problema, o qual deriva da

utilização de uma variedade de procedimentos, baseados em invariantes (ou

propriedades), diferentes “teoremas em ação”, e sustentados por múltiplos sistemas

de sinais (representações simbólicas). Assim como Chahon (ibid.), entendemos que

a compreensão de conceitos envolvidos em situações multiplicativas acontece por

meio de variados problemas (situações), nos quais o estudante precisa mobilizar

diferentes representações (esquemas). Sendo assim, em nossa pesquisa,

destacamos problemas variados de acordo com as categorias de problemas

multiplicativos de Vergnaud (2009), e analisamos os invariantes operatórios e as

representações apresentadas pelos alunos sujeitos dessa pesquisa.

Alvarenga (2008) apresenta como objetivo de pesquisa analisar as heurísticas

por meio das estratégias, isto é, a maneira pela qual jovens do Ensino Médio

resolvem situações-problema de Matemática. A questão de pesquisa apresentada

pela autora é: “quais são as heurísticas envolvidas no processo de resolução de

problemas matemáticos pelos alunos do Ensino Médio?” (id. Ibid., p.16).

Na pesquisa, clarifica-se a ideia de heurística como sendo, para Bruner (1968,

apud ALVARENGA, 2008, p.15), “uma abordagem feita por alguém para resolver um

problema”. Para Polya (1978), o objetivo da heurística “é o estudo dos métodos e

das regras da descoberta.” Em nossa pesquisa, tomaremos como conceito de

heurística a ideia de Polya (2006), que será mais bem explicitada no final deste

capítulo.

A pesquisa aconteceu em uma escola estadual de São Paulo, com duas

turmas de 1° ano, duas turmas de 2° ano e duas turmas de 3° ano, todas do Ensino

Médio, no período noturno. Esses alunos foram divididos em dois grupos, sendo um

deles o grupo que participou dos testes e o outro um grupo controle. O papel da

pesquisadora foi o de observadora-participante. Como fundamentação teórica, foi

23

utilizada a Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky (1988, apud ALVARENGA 2008),

aliada às ideias de Polya (1978, apud id. Ibid.).

Inicialmente, foram aplicados oito problemas para os alunos. Os problemas

que compuseram os instrumentos de coleta de dados foram retirados do Banco de

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2005,

2006 e 2007, do livro “Ler, escrever e resolver problemas”, e também foi realizada

uma entrevista aberta com os estudantes sobre afinidade com a Matemática.

Passado algum tempo do término da aplicação desses instrumentos, foi aplicado

outro teste, chamado de “Pós Pós-Teste”, a fim de verificar os conceitos

matemáticos desenvolvidos na pesquisa que permaneceram ou que foram

esquecidos pelos alunos.

De acordo com Alvarenga (2008), a análise de dados se deu pela verificação

das diferentes maneiras de pensar sobre os problemas e as respectivas justificativas

dos alunos, a fim de analisar como chegaram a determinado resultado. A autora cita

que, quando se prioriza a maneira de pensar dos estudantes, prioriza-se também o

processo heurístico em sua concepção.

A partir da análise do Pós Pós-Teste, observou-se que os alunos não

compreendem significativamente os conceitos matemáticos, isto é, os conceitos

matemáticos por vezes são apenas decorados, e não são, de fato, assimilados pelos

alunos. Por meio das observações a respeito da postura e da interação dos

estudantes durante a aplicação da pesquisa, a autora inferiu que eles são marcados

por uma visão infantilizada e resistente a respeito da Matemática. De acordo com o

trabalho da autora, entendemos que essa visão infantilizada se refere à imaturidade

apresentada por alguns estudantes frente aos conhecimentos matemáticos, ao

mesmo tempo em que também resistente, pois entendemos que não houve tanta

participação e envolvimento dos alunos durante a pesquisa.

Nas conclusões de Alvarenga, ao contrário do que foi evidenciado por

Chahon (2006), a criatividade das respostas apresentadas pelos estudantes foi

relacionada à perspectiva metodológica de resolução de problemas. Ainda afirma

que essa perspectiva favorece a formação de novos conceitos matemáticos pelos

24

alunos e ressalta a importância da análise do caminho percorrido pelo aluno durante

a resolução de problemas e não apenas os acertos e os erros.

Justo (2009) realizou uma pesquisa com o objetivo de verificar que influência

uma formação continuada para professores, com base em programa de ensino a

respeito do campo conceitual aditivo, pode ter no desempenho de alunos ao resolver

problemas matemáticos. Para isso, elaborou, em colaboração com professores, um

programa de ensino que levou em conta a construção de significados de operações

de adição e subtração, a compreensão das relações semânticas encontradas nos

problemas matemáticos aditivos, o ensino de procedimentos e de representações e

de habilidades metacognitivas, que foi aplicado aos alunos dos professores

participantes, e em cujos resultados nos deteremos.

Essa pesquisa aconteceu no ano de 2008, em uma escola pública e em uma

particular. Para cada escola e cada série, foram escolhidas uma turma experimental

e uma turma- controle. As turmas- controle não participaram do programa de ensino,

assim como seus respectivos professores não participaram da formação continuada.

A pesquisa foi dividida em algumas partes. Em todas elas foram os

professores participantes que aplicaram o programa. No Pré-Teste, procurou-se

investigar o desempenho das crianças em relação aos problemas matemáticos

aditivos antes de iniciado o programa de ensino com os professores. No Pós-Teste,

ocorrido após a implementação do programa, foram aplicados vinte problemas

aditivos às turmas experimentais e controle das duas escolas, com o objetivo de

verificar se houve melhora no desempenho dos alunos. Por fim, no Pós-Teste 2,

buscou-se verificar a permanência da aprendizagem das crianças. Esse teste foi

aplicado seis meses após o término do programa.

Justo (ibid) observou que, nas turmas em que o professor realizou

intervenções que possibilitaram atividades de metacognição, isto é, que participaram

do programa, houve avanço na aprendizagem do campo aditivo. A autora também

relacionou em sua pesquisa o avanço dos alunos em relação às atividades

metacognitivas proporcionadas pelos professores com alguns grupos durante a

resolução de problemas aditivos. Dessa forma, Justo (ibid) sugere que o uso de

representações gráficas pode auxiliar na compreensão de relações semânticas e

25

numéricas existentes nos problemas aditivos aplicados que apareceram na

explicação do professor, o que nos incentiva a buscar subsídios para levar para os

estudantes um tipo de esquema ainda não conhecido e verificar como os alunos se

saem com o uso dele.

Por meio dos dados apresentados na pesquisa, Justo (ibid.) realizou

considerações a respeito do auxílio que as representações gráficas trouxeram para

os alunos no momento de resolver problemas. Sendo assim, decidimos investigar o

que vem sendo pesquisado sobre esse tipo de recurso visual, que pode auxiliar os

alunos no momento de resolver problemas matemáticos e, sobretudo, refletir sobre

esse processo heuristicamente.

Sob esta perspectiva, encontramos a pesquisa de Petrina (2012), que teve

como objetivo utilizar diagramas do Método- Modelo usado em Cingapura, como

recurso para auxiliar alunos a resolver problemas aditivos. A pesquisa da autora foi

embasada teoricamente pelos quatro passos de resolução de problemas de Pólya

(1957): compreensão, planejamento, execução do plano e revisão da solução; e nas

ideias de cálculo numérico e relacional de Vergnaud apresentadas em Nunes e

Bryant (1996, apud PETRINA, 2012). Segundo esses autores, os números podem

significar quantidades e relações. Com o objetivo de explicitar o entendimento do

cálculo relacional, Petrina utilizou como base teórica alguns autores como Bruner

(1964; 1990, apud id.ibid.) e Greeno (1989, apud id.ibid.), que trouxeram

contribuições a respeito de representações visuais para resolver problemas, por

acreditarem que a prática com modelos pictóricos pode favorecer o cálculo

relacional e, consequentemente, a resolução de problemas.

A metodologia de pesquisa aplicada foi denominada pela autora como um

projeto de intervenção experimental. O estudo foi realizado no Reino Unido, em três

escolas primárias estaduais, com 62 participantes, na faixa etária aproximada de 10

anos. O estudo foi aplicado a quatro diferentes grupos, um grupo- controle, que não

participou de nenhuma intervenção do pesquisador; um grupo de intervenção, que

resolveu problemas sem o auxílio dos diagramas; um grupo que utilizou o Método -

Modelo de Cingapura; e o último grupo, que utilizou diagramas de setas modificados

por Vergnaud (1998) e Willis e Fuson (1988, apud id.ibid.) para representar

quantidades e relações no raciocínio de problemas aditivos.

26

De acordo com currículo de Cingapura, o Método- Modelo é uma

representação pictórica, composta de diagramas de barras, que pode auxiliar os

alunos na visualização de relações matemáticas abstratas. Esse recurso também

pode ajudar os estudantes a planejarem os passos de resolução para o problema,

assim como motivá-los a resolver problemas mais complexos e desafiadores. Tal

diagrama de barras1 é classificado como um tipo de esquema, segundo o currículo

de Cingapura. Com base nos estudos de Vergnaud (2009), é uma representação

pictórica que ajuda os estudantes a visualizarem a estrutura do problema a fim de

estabelecer sentido com a relação quantitativa envolvida nele. A pesquisa foi

dividida em três fases: Pré- Teste, intervenções e Pós- Teste, e foi realizada uma

análise quantitativa dos dados referentes aos Pré- e Pós- Testes, bem como uma

análise qualitativa dos dados recolhidos nas sessões de intervenção.

O Pré-Teste abrangeu 32 problemas matemáticos do campo aditivo, os quais

os alunos responderam segundo os próprios conhecimentos, sem o auxílio do

pesquisador. Na fase de intervenção, os problemas usados na pesquisa foram

cuidadosamente escolhidos, e as sessões foram planejadas para estimular os

alunos a pensarem nos passos de resolução de problemas e não tomarem decisões

baseadas em recursos superficiais.

No primeiro conjunto de problemas, foi enfatizada a relação inversa entre a

adição e a subtração. O segundo conjunto de problemas, focou-se mais nas

comparações entre quantidades. Foi necessária a utilização de um modelo de

diagrama ainda não usado pelos alunos, o modelo de comparação, e as questões

envolveram números maiores e mais de uma operação aritmética. O terceiro

conjunto foi elaborado somente para o caso de eventual necessidade com exemplos

variados. No quarto e último conjunto de problemas, havia uma gama maior de

informações a respeito de quantidades e relações, e os alunos foram mais expostos

a pensar antes de escolher o modelo e o cálculo aritmético a ser feito para resolver o

problema proposto. O Pós-Teste foi composto de 27 problemas matemáticos do

campo aditivo, sendo que alguns deles foram os mesmos do Pré-Teste, com o

objetivo de verificar se o Método possibilitou avanços na habilidade de resolução de

1 Nos Capítulos III e V deste trabalho o diagrama será mais bem explicitado.

27

problemas. Em todos os conjuntos de problemas propostos aos estudantes, foi

utilizado o diagrama de barras do Método- Modelo.

Os resultados da pesquisa indicaram que o uso do diagrama beneficiou os

alunos em suas habilidades de resolução de problemas aditivos. Entretanto eles não

parecem ter dominado o modelo completamente, e não o utilizaram em sua

totalidade. Poucos alunos usaram o diagrama para resolver os problemas do Pós-

Teste. Desta forma, não foi possível verificar, na pesquisa, se o Método contribuiu

para melhorar o desempenho desses estudantes na resolução de problemas.

Observou-se, ainda, que os alunos do grupo que resolveram problemas sem o

auxílio dos diagramas obtiveram benefícios iguais aos daqueles que usaram os

diagramas.

Petrina (2012) faz inferências a respeito do fato da maioria dos alunos não ter

usado o Método no Pós-Teste: falta de apreciação e falta de domínio do Método. Ela

coloca que o Método precisa ser aprendido, porém, na pesquisa dela, não houve

tempo suficiente para desenvolver esse trabalho. Por outro lado, as construções do

modelo de barras feitas pelos participantes demonstraram falta de entendimento de

relações e quantidades, e que analisar as relações de um problema pode auxiliar

alunos a usar melhor os diagramas. Concluindo, o estudo mostrou que as

intervenções da pesquisadora para resolução de problemas, independentemente do

Método- Modelo de Cingapura, possibilitaram o desenvolvimento de habilidades

heurísticas. A partir do trabalho de Petrina (ibid), observamos a necessidade de

estimular os alunos a explorarem ferramentas que possibilitem maior interação do

sujeito com os problemas propostos, possibilitando, assim, uma análise mais crítica

de suas ações.

No trabalho da autora, vimos como se deu esse processo por meio do

Método- Modelo. Já Pydah (2012), usa, nos problemas desenvolvidos para a

pesquisa, diagramas de setas, operando com o campo multiplicativo, oriundo da

Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996a). Destacamos essa pesquisa,

com o objetivo de observar se, com esse auxílio visual, os alunos conseguiriam

melhorar e explorar o raciocínio durante a resolução de problemas.

28

Pydah (op.cit.) apresentou a utilização de uma representação esquemática

(diagrama) para melhorar a compreensão de relações funcionais do raciocínio

multiplicativo de 63 crianças de 10 anos de escolas de Oxford (Reino Unido). Dentro

do amplo campo multiplicativo, a autora focou problemas de proporção simples.

A coleta de dados foi realizada por meio de Pré-Teste, três semanas de

sessões de intervenção e, por fim, um Pós-Teste. As crianças foram divididas em

três grupos: o primeiro recebeu instruções para resolver problemas de proporção

com o uso do diagrama esquemático; o segundo grupo resolveu os mesmos

problemas sem o uso do diagrama (controle), com intervenção da pesquisadora; e,

por fim, o terceiro e último grupo resolveu os mesmos problemas sem o diagrama e

sem nenhuma intervenção adicional da pesquisadora.

Orientações explícitas foram fornecidas aos alunos para aprenderem a

configurar o diagrama como um procedimento, entretanto, os passos conceituais

para encontrar as relações e aplicá-lo corretamente aos valores desconhecidos

causaram grandes dificuldades na implementação do diagrama. Durante a aplicação

da pesquisa, surgiram algumas complicações no uso do esquema, como a própria

montagem dele, o estabelecimento de uma relação escalar e a compreensão da

relação inversa entre a multiplicação e divisão.

Os resultados da pesquisa mostram que as crianças que resolveram

problemas de proporção usando o diagrama melhoraram o raciocínio proporcional. A

pesquisa sugere que o uso do diagrama parece fornecer aos alunos um auxílio para

organizar informações relevantes do problema, antes de partir para uma

representação simbólica. Gostaríamos de verificar, em nossa pesquisa, se o tipo de

diagrama que escolhemos também pode favorecer a organização de informações

relevantes do problema.

Rêgo e Azeredo (2006) também enfocam as representações gráficas

utilizadas por alunos durante a resolução de problemas. O estudo teve como

objetivo discutir as diferentes estratégias utilizadas por 242 alunos da 4ª série de

cinco escolas da rede municipal de João Pessoa ao resolverem problemas

matemáticos. Segundo os autores, a investigação fez parte de um projeto de

capacitação de professores da rede local.

29

Para a pesquisa, foi aplicado um teste com seis questões envolvendo as

quatro operações básicas, para identificar os diferentes processos de resolução

utilizados pelos alunos, bem como o domínio que possuíam dos algoritmos

tradicionais e as maiores dificuldades apresentadas. As questões foram de

multiplicação, subtração com ideia de completar, adição com números decimais,

subtração com a ideia de comparar, divisão não exata e uma subtração com a ideia

de tirar.

Rêgo e Azeredo (ibid.) verificaram que os alunos utilizavam simultaneamente

o registro gráfico (esquemas e desenhos) e o algoritmo; este último para “validar” o

resultado, obtido com o apoio do primeiro, ou o uso do registro gráfico para conferir

a resposta obtida via algoritmo. Eles ainda apontam que utilizar formas não-

convencionais de registro pode fornecer indícios do nível de compreensão dos

alunos e do modo como organizam as informações, constituindo, assim, fortes

elementos para o trabalho do educador. Em nossa pesquisa, verificamos como os

alunos costumam utilizar o registro gráfico e o algoritmo convencional em suas

estratégias, e como se dá a relação entre eles.

Assim como Rêgo e Azeredo (ibid), Molinari (2010) apresenta a necessidade

de um trabalho com a resolução de problemas, de modo que possibilite uma

variabilidade de estratégias de resolução. Entretanto, a pesquisa deles nos mostra

que essa variabilidade apresentada pelos alunos pode estar relacionada à

quantidade de modelos fornecidos pelos professores. Em nossa pesquisa, nos

preocupamos também em apresentar modelos de estratégias, que podem ser

utilizados pelos alunos para resolver problemas, como o exemplo do diagrama de

barras que foi usado no Encontro 2.

O objetivo de Molinari (ibid.) foi verificar as representações gráficas de

solução de problemas de divisão aritmética (por quotas) por estudantes de quarto e

quinto anos do Ensino Fundamental. Para isso, foi realizado um estudo de caso com

vinte crianças de uma escola particular. Por meio do método de exame clínico de

Piaget (1989, apud MOLINARI, ibid.), os experimentos subdividiram-se em quatro

fases: solução de problemas; aplicação da prova de multiplicação e de divisão

aritmética e entrevista. A análise dos dados ocorreu de forma qualitativa e

quantitativa, a fim de verificar os procedimentos de solução, as representações

30

gráficas, a psicogênese da noção de multiplicação e divisão aritméticas e a

concepção de estudantes sobre a operação de divisão.

De acordo com Molinari (ibid.), à medida que os estudantes eram solicitados a

explicar outras maneiras de resolver o problema, eles eram confrontados com novas

formas de representação; alguns alunos variaram os grafismos durante a mesma

atividade, aproximando-se até mesmo do desenho.

A análise do referido estudo aponta que a representação gráfica constitui um

processo individual, no qual entram em jogo ideias e vivências sociais da criança.

Deste modo, a pesquisa deixa como contribuição para os educadores o

encorajamento de propor aos alunos que exponham suas ideias e busquem

alternativas próprias para a resolução de problemas. Esta visão se contrapõe, por

exemplo, ao que foi trazido pela autora Petrina (2012), cujo método de resolução de

problemas se baseou no ensino de uma representação gráfica para os alunos. Em

nossa pesquisa, ambas as abordagens foram implementadas, isto é, tanto os alunos

foram encorajados a utilizar estratégias próprias de resolução como também

oferecemos um tipo de representação gráfica que eles puderam utilizar, como o

diagrama.

Magina et al. (2010) buscaram analisar estratégias de 1021 estudantes das

séries iniciais do Ensino Fundamental de 26 escolas públicas do Sul da Bahia ao

resolverem problemas de estruturas aditivas. O referencial teórico que embasou a

pesquisa foi a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996). A coleta de

dados aconteceu por meio de um teste com doze problemas de estruturas aditivas.

Na análise dos dados, constatou-se que, quanto maior a complexidade dos

problemas, maior a taxa de erros. Observou-se que a ausência de palavras-chave

nos problemas, do tipo “mais”, “menor que” e “menos”, por exemplo, pareceu

dificultar a escolha da operação a ser efetuada pelos alunos.

Após a apreciação das respostas dos alunos, verificou-se que muitos deles

colocaram apenas o valor da resposta do problema e poucos registraram os passos

que seguiram para encontrar a solução. Tampouco utilizaram representações para

apoiar a resolução de problemas.

31

Para as autoras, a análise dos erros pode ser reveladora de dificuldades que

devem ser consideradas de forma a compreender melhor o processo cognitivo dos

alunos. Elas ainda afirmam que devemos saber quais são os procedimentos mais

naturalmente utilizados por alunos, ou os mais facilmente entendidos por eles,

quando ensinados. Esses estudos podem iluminar nossa visão para o lento

processo de aquisição do conhecimento e proporcionar um melhor entendimento

sobre o comportamento dos alunos. Por meio da pesquisa de Magina et al. (op.cit.),

entendemos que nosso trabalho procura contemplar uma visão apontada por essas

autoras de que precisamos conhecer os procedimentos mais utilizados e facilmente

entendidos pelos alunos, o que justifica a maneira como analisamos os dados

coletados.

Ao descrever os trabalhos de alguns pesquisadores, constatamos que alunos

resistiram ao uso de algumas ferramentas para a resolução de problemas,

apresentaram dificuldades no uso delas ou não apresentaram uma reflexão ao

resolvê-los. Esses fatores podem nos conduzir à necessidade de investir mais no

desenvolvimento de processos heurísticos pelos alunos no momento da resolução

de problemas.

1.2 Abordagens de Resolução de Problemas

Considerando nosso desejo de trabalhar uma metodologia que refletisse

sobre diferentes maneiras de resolver problemas multiplicativos, buscamos verificar

como a resolução de problemas pode ser trabalhada.

Allevato (2005) discute que há concepções diferenciadas dentro da resolução

de problemas. Ela aponta que é possível “ensinar sobre resolução de problemas”;

“ensinar para a resolução de problemas” e “ensinar através da resolução de

problemas”. (ALLEVATO, ibid., p.21 )

No caso da primeira concepção, o professor ensina seus alunos como

resolver problemas, valorizando e comentando o processo de resolução. Neste

caso, todas as estratégias, atitudes do aluno e fases que ele passou para responder

32

o problema devem ser evidenciadas. Ao ensinar para a resolução de problemas,

todo conceito matemático é ensinado pelo professor com o objetivo de que o aluno

possa aplicá-lo diante de certos problemas e transpô-lo para outros contextos. Já na

última concepção, ensinar através da resolução de problemas, o problema é visto

pelo professor como um elemento que pode disparar um processo de construção do

conhecimento; assim, os problemas podem anunciar ou favorecer o

desenvolvimento de um conceito matemático pelo aluno antes mesmo de ter sido

apresentado textualmente. Este terceiro caso compõe a Metodologia de Resolução

de Problemas, que consiste na construção autônoma do conhecimento por meio de

situações em que o aluno seja capaz de criar e ampliar sua capacidade de resolver

problemas.

Nossa pesquisa terá enfoque maior no “ensinar sobre a resolução de

problemas”, pois daremos ênfase a todo processo e às estratégias que poderão ser

utilizadas pelos alunos. No entanto, entendemos que todas essas três concepções

estão intimamente imbricadas.

Tendo em vista esse nosso desejo de ensinar sobre a resolução de

problemas, faz-se necessária uma reflexão a respeito do processo que a envolve.

Observamos, em grande parte das pesquisas que envolvem resolução de

problemas, referências aos estudos de Polya (1945, 2006) no que se refere aos

passos descritos pelo autor para se resolver um problema matemático. Procuramos

apresentar, neste trabalho, nosso entendimento sobre a concepção do autor a

respeito dos processos heurísticos envolvidos na resolução de problemas, além dos

passos por ele apresentados para resolvê-los. Já que a Metodologia de Resolução

de Problemas que usamos nesta pesquisa foi baseada nos passos de Polya (2006)

sobre como resolver um problema, julgamos pertinente que essas concepções

fossem apresentadas.

Para Polya (ibid., p.100), “heurístico” (adjetivo) significa “que serve para

descobrir”, enquanto a “heurística trata do comportamento humano em face de

problemas”. Polya (ibid.) destaca o estudo prático da heurística: conhecer melhor as

operações mentais típicas que se aplicam à resolução de problemas pode exercer

influência favorável sobre o ensino, particularmente sobre o ensino da Matemática.

O autor destaca que as bases da heurística devem ser as experiências com

33

resolução de problemas, e que o professor deve estar atento às atitudes tomadas

pelos alunos enquanto resolvem esses problemas.

O autor aponta que a Heurística, intitulada como Moderna, procura

“compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as operações

mentais, típicas desse processo que tenham utilidade” (Polya, ibid., p. 99). Para ele,

todos os tipos de problemas, especialmente os práticos, incluindo os enigmas,

situam-se no campo da heurística.

Polya (ibid.) apresenta uma síntese dos passos sobre como resolver um

problema: compreensão do problema; plano para resolver o problema; execução do

plano e, por fim, exame da solução obtida. Para o autor, esses passos são de

grande importância, pois o professor deve ajudar o aluno em suas atividades, nem

demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela

razoável do trabalho.

Destacamos as fases propostas por Polya para se resolver um problema

matemático. Na fase correspondente à compreensão do problema, o autor levanta a

preocupação com a qualidade do enunciado verbal, bem como com a escolha

adequada do problema, sendo este nem tão fácil, nem tão difícil, e, principalmente,

prazeroso, afinal, se faz necessário que o estudante possa mobilizar conhecimentos

prévios, ao mesmo tempo em que é desafiado o bastante para seguir adiante.

Ele ainda destaca que o aluno deve estar apto a identificar as partes

principais do problema. Polya (ibid.) discute que, se houver uma figura relacionada

ao problema, o estudante deverá traçá-la e nela indicar a incógnita e os dados. Se

for necessário designar estes elementos, deverá adotar uma notação adequada,

pois, dedicando alguma atenção à escolha dos signos apropriados, o aluno será

obrigado a considerar os elementos para os quais estes signos devem ser

escolhidos. Percebemos a preocupação do autor com a representação gráfica a ser

feita pelo aluno, relacionada a processos heurísticos.

No que concerne ao estabelecimento de um plano para a resolução de

problemas, Polya (ibid.) considera que temos um plano quando conhecemos, pelo

menos de um modo geral, quais as contas, os cálculos ou os desenhos que

precisamos executar para obter a solução. Para o autor, o caminho que vai desde a

compreensão do problema até o estabelecimento de um plano pode ser longo e

tortuoso.

34

Para explicar a importância do exame da resposta dada a um problema, Polya

(ibid.) explica que, se o estudante fizer um retrospecto da resolução completa,

reconsiderando e reexaminado o resultado final e o caminho que levou até este,

poderá consolidar o próprio conhecimento e aperfeiçoar a capacidade de resolver

problemas. A partir das considerações feitas por Polya (ibid.) sobre as etapas de

resolução de problemas, verificamos a importância de ensinar procedimentos e

analisar aqueles que são próprios dos alunos.

Nesta pesquisa, trabalhamos a resolução de problemas, buscando os

processos heurísticos utilizados pelos alunos. Sendo assim, julgamos necessário

buscar algumas definições de Problema e Heurística. Se recorrermos ao dicionário

Aurélio (FERREIRA, 1986, p.150), verificamos que a palavra problema está

relacionada à dificuldade, pois ela significa “uma questão a ser resolvida por um

processo científico: problema de geometria. Tudo que é difícil de explicar, resolver,

tratar, lidar, etc.” Já na literatura, encontramos algumas definições diferentes para

“problema”. Para Hiebert et al. (1997, apud VAN DE WALLE, 2009 ), “um problema é

definido como qualquer tarefa ou atividade na qual os estudantes não tenham

nenhum método ou regra já receitados ou memorizados”. Na visão de Onuchic

(1999, p.215) “problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está

interessado em resolver”. Já para Dante (2005, p.10), “problema matemático é

qualquer situação que exija a maneira de pensar e conhecimentos matemáticos para

solucioná-la.” Percebemos, na definição do autor, que ele se refere à mobilização de

conhecimentos matemáticos prévios dos alunos a fim de resolver um problema. Para

Vergnaud (2009), problema é toda situação na qual é preciso desenvolver atividades

de exploração, de hipótese e de verificação para produzir uma solução. Nossa

pesquisa tem como referência o conceito de “problema” a partir das ideias de

Vergnaud (ibid.), por se tratar do referencial teórico dessa pesquisa.

Para esta pesquisa, tomaremos o conceito de heurística proposto por Polya

(2006), de que a “heurística trata do comportamento humano em face de problemas”

(id. Ibid. 2006, p.100), pois, se temos como objetivo investigar se a utilização de uma

metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de

resolver um problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos

envolvidos, estamos tratando dos comportamentos desses sujeitos frente a


35

Neste capítulo, apresentamos resultados de pesquisas empíricas.

Percebemos, nesta revisão de literatura, que muitas pesquisas tratam da resolução

de problemas e algumas discutem como Polya (2006) apresenta as etapas de

resolução. Vimos que grande parte dessas pesquisas estão relacionadas ao campo

aditivo, no entanto, estes trabalhos foram importantes para que pudéssemos

perceber a necessidade de desenvolver uma proposta na qual os estudantes

pudessem tomar consciência dos próprios processos heurísticos.

Nossa revisão aponta a necessidade de mais pesquisas sobre o campo

multiplicativo, que, aparentemente, possui menos pesquisas do que o campo aditivo,

e que apresenta dificuldades a serem estudadas. Por isso, em nossa pesquisa,

buscamos relacionar o campo multiplicativo ao desenvolvimento de processos

heurísticos, podendo contribuir para compreender as dificuldades e facilidades que

os alunos levantam ao resolver problemas.

No próximo capítulo, apresentaremos a fundamentação teórica que norteia

esta pesquisa, desde a elaboração dos instrumentos de coleta, até a análise dos

dados.

36

CAPÍTULO II - A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS

E AS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Neste Capítulo, tecemos algumas considerações a respeito da Teoria dos

Campos Conceituais, dando ênfase às estruturas multiplicativas. Esta teoria foi

desenvolvida pelo professor, psicólogo e pesquisador Gérard Vergnaud,

considerado um dos pilares do movimento francês conhecido como movimento da

Didática da Matemática.

Justificamos a escolha deste referencial teórico pelo fato de, nesta teoria,

pretender-se que o sujeito seja o construtor do próprio conhecimento. Neste ponto,

encontramos consonância entre nosso objetivo de pesquisa que é investigar se a

utilização de uma metodologia de resolução de problemas multiplicativos que

valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema pode colaborar para a

percepção dos processos heurísticos e a Teoria dos Campos Conceituais, pois, com

ela, podemos verificar como os estudantes mobilizam invariantes operatórios para

resolver cada tipo de situação multiplicativa. Como discutiremos adiante, esta é uma

teoria que nos permite identificar as situações e os invariantes operatórios

apresentados pelos alunos.

Vergnaud (1993) organiza o conhecimento por meio de campos conceituais.

O autor considera um campo conceitual como um conjunto de situações, problemas,

relações, estruturas, conceitos e teoremas inter-relacionados. Portanto, o domínio

que o sujeito terá de um conhecimento ocorre ao longo de um largo período de

tempo, por meio de sua experiência, maturidade e aprendizagem.

A Teoria dos Campos Conceituais parte do pressuposto de que a

conceituação é a essência do desenvolvimento cognitivo, isto é, a noção de

“conceito” adquire papel fundamental nesta teoria. Um “conceito” só fará sentido

para a criança por meio de “situações” e de problemas a serem resolvidos. Na

próxima seção, destacamos o papel do conceito dentro da Teoria dos Campos

Conceituais.

37

2.1 Conceito

Vergnaud (1996a) aponta que um conceito não se forma dentro de um só tipo

de situação, assim como uma situação não se analisa com um só conceito. Esse

processo é longo e repleto de mal-entendidos entre as situações, ou seja, a

conceituação é um processo extenso, que requer diversificação de situações.

Para estudar e entender como conceitos matemáticos se desenvolvem nas

mentes de crianças por meio de experiências na escola e fora dela, Vergnaud (ibid.)

considera que um conceito é formado pela seguinte tríade:

(S) conjunto das situações que dão significado ao conceito (referência); (I) conjunto dos invariantes nos quais se assenta a operacionalidade dos esquemas (o significado); (R) conjunto das formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante). (id.ibid. 1996a, p.166)

Logo, um conceito (C) é formado por um conjunto de situações (S), os

invariantes (I) e as representações (R). Para que os conceitos sejam aprendidos

pelos estudantes, o processo de aprendizagem deve considerar as diversas

situações que dão sentido a esses conceitos, bem como os invariantes e as

representações relacionados a eles.

Essa teoria considera que o desenvolvimento dos conceitos deve surgir

dentro de situações-problemas, isto é, deve-se ensinar por meio da resolução de

problemas. De acordo com Vergnaud (2009), um conceito só faz sentido para o

aluno por meio da linguagem e dos símbolos envolvidos. Portanto, um aluno pode

até saber a definição de um conceito, mas isso é muito diferente de saber transferir

esse conhecimento para uma situação distinta daquela em que o aprendeu.

Quando as situações-problema são contextualizadas de acordo com a

realidade do aluno, a construção do conhecimento se dá em uma relação direta com

as operações que o estudante faz sobre essa realidade, bem como com relações em

que é capaz de discernir, de compor e de transformar, através os conceitos que ele

aos poucos constrói.

38

De acordo com Vergnaud (1997, p. 6) “é na matemática que se encontra a

maior lacuna entre o conhecimento expresso pelos cientistas e o conhecimento

subjacente às competências comuns das crianças e dos adultos.” Ele ainda ressalta

que é dever da escola fazer essa conexão entre a teoria e a prática.

Nesse ponto, fica evidente a necessidade de trazer o contexto de fora da

escola para dentro das salas de aula, assim como levar conhecimentos e conceitos

adquiridos na escola para fora da vida escolar do estudante, fazendo-o mobilizar o

mesmo conceito para solucionar situações variadas.

2.2 Situação

Para Vergnaud (2009), o processo de desenvolvimento cognitivo ocorre por

meio das situações a serem enfrentadas pelo sujeito, e, como dito, tem como cerne

a construção dos conceitos. Dentro da Teoria dos Campos Conceituais, “situação”

possui o mesmo sentido de tarefa, e, sendo assim, toda situação complexa pode ser

analisada como uma combinação de tarefas.

Vergnaud (1990) coloca que a “situação” é qualquer tarefa teórica ou empírica

que será realizada pelo sujeito. O autor toma o conceito de “situação” como

comumente lhe atribuem os psicólogos, isto é, os processos cognitivos e as

respostas do sujeito são função das situações com que ele se confronta.

Situações diferentes para um mesmo conceito podem surgir por meio de

problemas. Sendo assim, “problema”, para Vergnaud, é toda situação na qual é

preciso desenvolver atividades de exploração, de hipótese e de verificação para se

produzir uma solução.

39

2.3 Cálculo Relacional e Cálculo Numérico

Desde muito pequenas, as crianças são confrontadas com situações e vão

aprendendo como responder a cada uma delas. Vergnaud (2009) aponta que as

primeiras dificuldades que crianças apresentam se referem a objetos e a relações

não-numéricas.

Partindo desse pressuposto, o autor foi levado a desenvolver uma visão das

estruturas aditivas e das estruturas multiplicativas que vai além das quatro

operações da aritmética, isto é, Vergnaud (ibid.) dedicou, em seus estudos, atenção

não só ao cálculo numérico, como também ao cálculo relacional.

Há uma distinção entre cálculo numérico e cálculo relacional. O cálculo numérico

se refere às operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão, isto é,

à conta, ao cálculo a ser efetuado. Já o cálculo relacional se refere ao pensamento

envolvendo as relações das situações, isto é, à lógica do problema.

Para Vergnaud (ibid.), o estudante precisa dominar ambos os cálculos, numérico

e relacional. Ele ainda aponta que é o cálculo relacional que fornece as

combinações e transformações das relações para o cálculo numérico.

2.4 Significado e Significante

De acordo com Vergnaud (2009), para compreender uma realidade e agir

sobre ela, a criança constrói representações mentais dessa realidade. Ao se

estabelecer relação entre conceito e significado, na perspectiva do autor, temos (S)

as situações referindo-se à realidade ou referente e (I,R) referindo-se à

representação.

A representação pode ser analisada como a interação entre significado (I) e

significante (R), isto é, segundo Vergnaud (ibid.), os significantes (símbolos ou

40

signos) representam os significados que são eles próprios de ordem cognitiva e

psicológica.

O autor exemplifica que, se perguntarmos a duas crianças quantos anos elas

têm, uma poderá mostrar os dez dedos da mão, enquanto outra pode desenhar o

numeral dez em uma folha. Neste caso, temos dois significantes, dez dedos da mão

e o registro por escrito do numeral 10, para representar o mesmo significado, a

mesma ideia do número dez.

O modo como uma criança resolverá um problema da tarefa escolar e os

meios pela qual ela passará para atingir o propósito dessa tarefa estão fortemente

relacionados à percepção que ela tem ou não das relações, das transformações e

das noções em jogo, com todas as suas propriedades. Nem sempre o aluno

conseguirá representar graficamente, por meio de esquemas, desenhos, tabelas

entre outros, o que entendeu ou o que pensa, pois a interação entre o significado e o

significante requer muito esforço.

Vergnaud (1996b) aponta como uma dificuldade da psicologia cognitiva

reconstruir conhecimentos implícitos na ação, afinal algumas crianças encontram

problemas para enunciar a compreensão deles e os conceitos envolvidos. Além

disso, um dos problemas do ensino é “desenvolver ao mesmo tempo a forma

operatória de conhecimento, isto é, o saber-fazer, e a forma predicativa do

conhecimento, isto é, saber explicitar os objetos e suas propriedades” (id. Ibid.,

1996b, p.13). Em nossa pesquisa, procuramos estabelecer meios para reconhecer

esses conhecimentos que estão implícitos na ação do estudante, e, ainda, levá-los a

refletir sobre a importância disso para eles próprios.

Com base nas ideias colocadas pelo autor, verificamos que se faz necessário

desenvolver com alunos atividades em que possam refletir sobre o próprio processo

de aprendizado, a fim de compreenderem quais foram os passos que os conduziram

às respostas obtidas, isto é, aos conhecimentos implícitos na ação.

41

2.5 Esquema

De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, dada uma situação, o

aluno reage segundo as representações que dela faz (significados e significantes);

no entanto, o que liga essas representações e o procedimento é o esquema.

Vergnaud (1997, p.12) define esquema como “uma organização invariante do

comportamento para uma certa classe de situações”. Entendemos que isto quer

dizer que, para que a criança relacione representações que ela tem de uma situação

e o procedimento de resolução que adotará, ela precisará de um esquema.

Para Vergnaud (ibid.), a organização do comportamento deve ser considerada

como um todo e um esquema é uma combinação de diferentes tipos de elementos,

como objetivos e expectativas, regras para selecionar a informação relevante,

invariantes operatórios e, por fim, possibilidades de inferência, o que significa

deduzir por raciocínio:

1) Objetivos e expectativas; 2) Regras para gerar ações segundo a evolução de diferentes variáveis da situação e, portanto, regras para selecionar informações e checá-la; 3) Invariantes operatórios: para compreender e selecionar a informação relevante (conceitos-em-ação) e tratar esta informação (teoremas-em-ação); 4) Possibilidades de inferência (Sempre há inferências hic et nunc quando o sujeito enfrenta uma tarefa; um esquema não é um esteriótipo, mas uma organização universal; isto é relevante para uma classe de situações e não apenas para uma situação). (id. Ibid., p. 12-13, Tradução livre do autor

2)

Então, um esquema será composto das expectativas e dos objetivos do

sujeito, mas é com base nas informações e na forma como o indivíduo as mobiliza

que ele poderá selecionar conceitos-em-ação ou teoremas-em-ação relevantes para

determinada situação. Ao final, o sujeito poderá ser capaz de inferir que determinado

esquema pode ser relevante não só para aquela situação, mas também para uma

classe de situações.

2 1. Goals and expectations;

2. Rules to generate actions according to the evolution of the different variables of the situation and therefore rules to pick up information and check; 3. Operational invariants: to grasp and select the relevant information (concepts-in-action) and treat this information (theorems-in action); 4. Inferences possibilities (there are always hic et nunc inferences when the subjects is facing a task; a scheme is not a stereotype but a universal organization; it is relevant for a class of situations and not for one situation only).

42

Vergnaud (1993) apresenta duas classes de situações para os esquemas. Na

primeira classe de situações, o sujeito dispõe, no seu repertório, de competências

necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação, isto é, o aluno

consegue resolver determinado problema somente com seus conhecimentos

prévios.

Já na segunda classe de situações, o sujeito não dispõe de todas as

competências necessárias, e, por isso, será necessário que reflita, explore, realize

tentativas frustradas, que podem conduzi-lo tanto ao sucesso quanto ao fracasso.

Neste segundo caso, o aluno tentará mobilizar seus conhecimentos prévios, mas

estes poderão não ser suficientes para resolver o problema.

Verificamos na primeira classe de situações, “comportamentos amplamente

automatizados, organizados por um só esquema” (id. Ibid., p.2), nos quais não é

gerado desequilíbrio para o aluno, enquanto na segunda classe de situações,

“observa-se a sucessiva utilização de vários esquemas, que podem entrar em

competição e que, para atingir a solução desejada, devem ser acomodados,

descombinados e recombinados.” (id. Ibid., p.2). Este é um processo acompanhado

por descobertas.

Entendemos que o conhecimento a respeito de esquemas pode auxiliar a

escolha de problemas matemáticos a serem levados para a sala de aula por parte

do professor, pois, assim, é possível pensar em problemas que proponham

situações que mobilizem vários esquemas, a fim de desafiar e motivar os alunos.

A partir do que destacamos sobre as duas classes de situações, podemos

observar que o sujeito se ampara no conhecimento que possui, implícito ou explícito

diante das situações, e, por fim, podemos perceber que há uma interação entre

esquema-situação, ou seja, o esquema é o referente do sujeito do conhecimento e a

situação é a circunstância e o contexto em que o objeto a ele se apresenta.

Vergnaud (ibid, p.3) aponta que “quando uma criança utiliza um esquema

ineficaz para determinada situação, a experiência a leva, seja a mudar de esquema,

seja a modificar o esquema”, e muitos esquemas podem ser sucessivamente

evocados, ou mesmo simultaneamente, em uma situação nova para o sujeito (ou por

ele considerada nova).

43

Os esquemas podem ser algoritmos ou um processo heurístico. Os algoritmos

são casos especiais de esquemas. Para Vergnaud (1998):

Um algoritmo é uma regra efetiva ou um conjunto de regras efetivas para resolver uma certa classe de problemas. Este conjunto de regras faz com que seja possível encontrar uma solução para qualquer problema da classe em um número finito de passos, se tal solução existir, ou para mostrar que não há solução. (id. ibid, p.171, Tradução livre do autor

3)

Como esquema, os algoritmos também são compostos de objetivos,

expectativas, regras, invariantes operatórios e possibilidades de inferência. Os

algoritmos são funcionais e efetivos, apontando se há ou não solução em um

número finito de passos.

Para Vergnaud (1996a), é difícil e mesmo quase impossível as crianças

explicitarem o conjunto de regras que compõem o algoritmo da adição, por exemplo,

mas são capazes de executar a sequência dessa operação, havendo, assim, muito

de implícito nos esquemas.

Existem diversos tipos de exemplos de esquemas como sociais, verbais e

perceptivo-gestual; no entanto, neste trabalho, fixaremo-nos nos esquemas mais

intrinsecamente relacionados à Matemática, como os algoritmos de adição,

subtração, divisão e multiplicação. Vergnaud (1998, p. 172) aponta que4 “há muitos

esquemas perceptivos-gestuais na Matemática”, como “contar um conjunto de

objetos, desenhar um gráfico ou um diagrama e desenhar uma imagem simétrica de

qualquer figura plana apenas com régua e o compasso.”

Uma das maneiras de se verificar quais são os esquemas utilizados pelos

estudantes é pelo acompanhamento dos momentos em que eles são chamados a

dar respostas a problemas. É possível investigar, nas estratégias usadas em

resoluções de problemas, os esquemas utilizados pelos estudantes, e, assim, tentar

compreender melhor os avanços e as dificuldades dos alunos.

3 An algorithm is an effective rule or an effective set of rules to solve a certain class of problems. This

set of rules makes it possible to find a solution to any problem of the class in a finite number of steps, if such a solution exists, or to show that there is no solution. 4 “…There are many perceptive-gestural schemes in mathematics…” “counting a set of objects;

drawing a graph, or a diagram; drawing the symmetric image of any plane figure with the ruler and the compass only.”

44

É nos esquemas que devemos pesquisar os conhecimentos em ação do

sujeito, isto é, os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação (invariantes

operatórios), que permitem que a ação do sujeito seja operatória. Esses dois

conceitos se constroem em estreita relação. Em nossa pesquisa, pretendemos

evidenciar as respostas dadas pelos alunos aos problemas matemáticos com o

intuito de investigar nos esquemas os invariantes operatórios apresentados pelos

estudantes. É justamente o enfoque de nossa pesquisa propiciar diferentes

maneiras de resolver problemas, a fim de pesquisar conhecimentos implícitos dos

estudantes.

2.6 Invariantes Operatórios

Os invariantes operatórios são componentes essenciais dos esquemas, e são

designados pelas expressões “conceito-em-ação” e “teorema-em-ação”. Para

Vergnaud (1996a), “teorema-em-ação” é uma proposição tida como verdadeira

sobre o real, enquanto “conceito-em-ação” é um objeto, um predicado, ou uma

categoria de pensamento tida como pertinente, relevante.

São os invariantes operatórios que representam atitudes, escolhas

estratégicas que o sujeito utiliza diante de uma situação e variam de acordo com os

conhecimentos prévios que o sujeito possui.

O conhecimento prévio do estudante pode ser impeditivo, e, em certos casos,

será necessário romper com ele. Um exemplo que clarifica essa questão é a

transição da aritmética para a álgebra, na qual o aluno é colocado diante de uma

situação de desconstrução para reconstruir.

Um modelo sobre essa situação oferecido por Vergnaud (ibid.) é: dado um

problema de álgebra, a prática comum entre muitos estudantes é construir um

desenho para resolver este problema, o que acaba sendo equivalente a uma

equação algébrica. Depois, revertem para métodos aritméticos para avaliar a

incógnita, e, por isso, acabam dispensando a necessidade de transformar o

problema em equações para resolvê-lo.

45

Em geral, os estudantes possuem certa dificuldade em verbalizar teoremas-

em-ação e conceitos-em-ação que possuem e que são tidos como verdadeiros para

eles. Contudo, é de extrema importância que esse conhecimento seja explicitado,

pois progressivamente podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas

científicos. Em nossa pesquisa, pretendemos verificar se os alunos terão também

dificuldade para expor teoremas-em-ação e conceitos-em-ação no momento de

resolver os problemas. Pretendemos investigar se a metodologia de resolução de

problemas que utilizaremos implicará na percepção dos alunos sobre os processos

heurísticos.

Verificamos a importância do papel mediador do professor frente à Teoria dos

Campos Conceituais, a fim de ajudar o aluno a construir conceitos e teoremas

explícitos e cientificamente aceitos, a partir do conhecimento implícito. Muitas vezes,

o que alunos apresentam são apenas regras de ação, e não teoremas, e sua

respectiva função é ser eficiente apenas para aquela situação. No entanto, essas

regras de ação poderão evocar teoremas-em-ação.

Deste modo, os teoremas-em-ação se manifestam durante a resolução de um

problema quando um aluno escolhe uma operação ou uma sequência de operações.

Cabe ao professor perceber as relações que estão por trás de cada ação do aluno, a

fim de propor novas situações-problema que ampliem o conhecimento do aluno.

Vergnaud (1997, p.27) ainda reforça que “a relevância dos conceitos-em-ação

e a verdade dos teoremas-em-ação são condições essenciais para a eficiência dos

esquemas”. Sendo assim, os conceitos-em-ação não são verdadeiros ou falsos, mas

apenas relevantes ou irrelevantes, e é função dos conceitos estarem envolvidos com

os teoremas.

2.7 Estruturas Multiplicativas

Dentro da Teoria dos Campos Conceituais, destacamos as estruturas

multiplicativas, que constituem duas grandes categorias: o Isomorfismo de Medidas

46

e o Produto de Medidas, podendo estas serem divididas em subclasses. Essas

relações podem comportar tanto uma multiplicação quanto uma divisão.

Isomorfismo de Medidas

A primeira grande forma de relação multiplicativa é uma relação quaternária,

isto é, envolve quatro quantidades, sendo que duas delas são de certo tipo e as

outras duas de outro. Neste caso, consiste em uma proporção direta entre duas

grandezas (quantidade e custo, pessoas e produtos, por exemplo).

Dentro do Isomorfismo de Medidas, há três grandes classes de problemas de

acordo com a incógnita, caso ela seja uma ou outras das três outras quantidades.

Na Figura 1, apresentamos uma ilustração feita por Vergnaud (2009) para elucidar

as três classes por meio de esquemas análogos de fácil compreensão (x representa

a incógnita).

Figura 1: As três classes do campo multiplicativo

Fonte: Vergnaud, 2009, p. 261

Cada uma dessas três classes subdivide-se em numerosas subclasses,

evidenciando, assim, dificuldades muito desiguais.

47

Figura 2: Subclasses do campo multiplicativo.

Fonte: id. Ibid., p. 261

Por exemplo, no caso dos números inteiros pequenos, pode-se pensar num

problema em que a cada 1 pulo que a mamãe canguru dá, o seu filhote precisa dar 3

pulos para acompanhá-la. Então, a cada 2 pulos da mamãe canguru, busca-se

saber quantos pulos o filhote terá que dar. Nesse primeiro caso, estamos lidando

com números inteiros e pequenos, diferente do segundo caso apresentado na Figura

3, do valor unitário decimal em que se acrescentaria o uso do cálculo com números

decimais, o que talvez possa dificultar a resolução do problema por parte do aluno.

Outros exemplos são apresentados por Vergnaud (ibid.) para diferenciar

problemas multiplicativos. É o caso dos dois exemplos a seguir:

Paguei R$ 12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa?

Figura 3: Primeiro Exemplo da classe multiplicativa

Fonte: id. ibid, p. 240

48

Pedro tem R$ 12,00 e quer comprar pacotes de bala a R$ 4,00 o pacote.

Quantos pacotes ele pode comprar?

Figura 4: Segundo Exemplo da classe multiplicativa

Fonte: id. ibid., p. 240

Para Vergnaud (ibid), entre estes exemplos a diferença é de outra natureza:

no Exemplo da Figura 3, é preciso encontrar o valor unitário, conhecendo-se o elo

de correspondência entre duas grandezas de naturezas diferentes, enquanto no

Exemplo da Figura 4, o valor unitário é fornecido e é preciso encontrar o número de

unidades da primeira espécie correspondente a uma grandeza dada de outra

espécie. Já o exemplo a seguir envolve outras dificuldades:

Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$ 12,50 por três garrafas. Quanto vou

gastar?

Figura 5: Terceiro Exemplo da classe multiplicativa

Fonte: id., ibid., p. 240

Entendemos que todos os exemplos de problemas multiplicativos da categoria

de Isomorfismo de Medidas apresentam dificuldades diferentes. Mesmo que, para

resolver os problemas, o estudante necessite somente de divisões, esse fato não

coloca em jogo as mesmas noções, como vimos nos exemplos anteriores. Nos

Exemplos das Figuras 5 e 6, o procedimento empregável é uma multiplicação, nos

Exemplos das Figuras 3 e 4, é uma divisão.

49

Vejamos um novo exemplo que indica uma forma de relação multiplicativa

que ainda não foi examinada neste relato, que traz um único espaço de medida.

São necessários 2 metros de tecido para se fazer uma saia. São necessários

três vezes mais para fazer um conjunto. Quantos metros são necessários para se

fazer um conjunto?

Figura 6: Primeiro Exemplo de Caso de um único espaço de medidas

Fonte: id. ibid., p. 262

Este esquema apresenta uma correspondência estabelecida entre duas

quantidades de um lado e dois objetos (saia e conjunto) do outro. O número 2

representa uma medida em metros, assim como o número 6; já o número 3

representa o que o autor chama de operador-escalar, verbalmente indicado pela

palavra “vezes”.

Vergnaud (ibid.) diz que as expressões linguísticas “três vezes mais”, “três

vezes menos”, por exemplo, estão inevitavelmente presentes no enunciado dessa

forma de relação, o que permite a distinção em três classes de problemas: a

multiplicação, a divisão como busca de uma medida e a divisão como busca de um

escalar. A multiplicação já está exemplificada no caso das saias e conjuntos

apresentado na Figura 6.

A divisão como busca de uma medida pode ser exemplificada no caso da

Figura 7, enquanto um exemplo de divisão como busca de um escalar é

apresentado na Figura 8.

50

É necessário três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia.

São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário para se

fazer uma saia?

Figura 7: Segundo exemplo de Caso de um único espaço de medidas


São necessários 2 metros de tecido para fazer uma saia, 6 metros para um

conjunto. Quantas vezes mais é necessário para se fazer um conjunto (em relação a

uma saia)?

Figura 8: Terceiro Exemplo de caso de um único espaço de medidas


Produto de Medidas

Essa forma de relação multiplicativa consiste em uma relação ternária entre

três quantidades. Essa segunda forma de relação multiplicativa permite distinguir

duas classes de problemas: a multiplicação e a divisão.

51

Multiplicação: encontrar a medida-produto, conhecendo-se as medidas

elementares.

Divisão: encontrar as medidas elementares, conhecendo-se a outra e a

medida do produto.

Seguem dois exemplos extraídos de Vergnaud (ibid.) a respeito dessa

categoria:

Quadro 1: Primeiro exemplo da Categoria Produto de Medidas Fonte: id. Ibid., p. 252

Quadro 2: Segundo Exemplo: Organização Retangular


Esse tipo de problema também é comumente conhecido como de combinação

ou organização retangular. Se o retângulo é composto por linhas e colunas de um

metro de comprimento, a medida da superfície é fruto do produto da medida do

Exemplo 1:

3 rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada

moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?

Exemplo 3:

Uma sala retangular tem 4 metros de comprimento e 3 metros de largura.

Qual é a sua área?

52

comprimento pela medida da largura, tanto no plano das dimensões como no plano

numérico. Segundo Vergnaud (2009), a noção de metro quadrado tem, assim, dois

sentidos que se complementam, um de quadrado de um metro de lado e outro de

produto de duas medidas de comprimento, isto é, metro X metro.

Neste capítulo, buscamos esclarecer os principais pontos da Teoria dos

Campos Conceituais de Vergnaud, como situações, esquemas, invariantes

operatórios, significados e significantes, cálculo relacional e cálculo numérico.

Para pensar em resolução de problemas, no sentido de que pretendemos

evidenciar diferentes situações, de acordo com Vergnaud (ibid.), pensamos em

trabalhar com uma metodologia de resolução de problemas que permita que o aluno

reflita sobre cada passo dado para resolver problemas, envolvendo conceitos e

representações dentro de uma situação. Então, para isso, utilizamos as ideias de

Mason, Burton e Stacey (1982) que são apresentadas no próximo Capítulo. O

diagrama de barras citado no Capítulo I também é discutido no Capítulo III.

53

CAPÍTULO III - METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

Nos capítulos anteriores, discorremos sobre a Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud (2009), abrangendo os conceitos de situação, esquema e

invariantes operatórios, e vimos que Polya (2006) reconhece a importância de o

aluno perceber a necessidade de passar por diferentes fases para resolver

problemas.

Darsie e Leite (2011) apontam que as atividades de metacognição propostas

por professores de Matemática devem levar os alunos a refletirem sobre o modo

pelo qual executam algum procedimento ou resolvem determinado problema,

garantindo a interação entre o aluno e a situação, e, consequentemente, entre o

aluno e os seus próprios processos mentais. Além disso, professores devem

estimular a prática de registrar o que foi realizado durante a resolução de uma

atividade, para que, assim, esse aluno possa descrever todo o processo, e não só

os resultados obtidos. Entende-se que, desta maneira, outros possam percorrer os

caminhos que levaram à solução do problema em questão.Conforme apontado no

trabalho de Darsie e Leite (ibid.) sobre a importância de se “ensinar sobre a

resolução de problemas”, buscamos referências na proposta de fases de trabalho

para se resolver um problema, dos autores Mason, Stacey e Burton (1982).

Mason, Burton e Stacey (1982), inspirados pelos estudos de George Polya,

expõem sobre os processos matemáticos, visando o início da resolução de um

problema, como atacá-lo efetivamente e ainda como aprender com a experiência.

Diferentemente de Polya, esses autores colocam o estudante/sujeito no cerne dos

estudos, sendo a figura do professor não ressaltada nesse processo. Os autores,

por meio da própria experiência no trabalho com estudantes de várias idades,

apontam que o pensamento matemático pode ser desenvolvido com base em:

Combater as questões conscientemente; Refletir sobre essa experiência; Relacionar sentimentos com ação; Estudar o processo de resolver

54

problemas; Perceber como o que você aprendeu se encaixa com sua

própria experiência. (id. Ibid., p.ix, tradução nossa)5

A ideia central do trabalho dos autores é a de que todas as pessoas são

capazes de resolver problemas autonomamente, desde que sigam alguns passos e

procurem desenvolver o pensamento matemático. Ainda ressaltam que, desde os

primeiros anos, crianças podem desenvolver confiança durante a resolução de uma

questão, desafio e reflexão, mas elas precisam ser encorajadas e estimuladas a

isso.

Os autores apontam que há processos específicos que ajudam o pensamento

matemático, como, por exemplo, a especialização e a generalização. A

especialização significa voltar-se para exemplos anteriores para aprender sobre a

questão atual, e, neste caso, os exemplos que os estudantes escolhem são

especiais no sentido de que eles serão exemplos particulares de uma situação mais

geral no problema em questão. Alguns questionamentos que podem auxiliar os

alunos nesse processo são: “Você já tentou um exemplo?” “O que acontece neste

caso particular?”

Ao contrário do processo de especialização, no qual os estudantes podem se

mover em direção a alguns exemplos para fazer suposições a respeito do problema,

no processo de generalização, o movimento é o de articular uma noção de alguns

padrões subjacentes e transformá-la em uma conjectura, cuja validade deverá ser

investigada. Para Mason, Burton e Stacey (ibid.) generalizar significa detectar um

padrão levando em consideração:

O que parece provável de ser verdadeiro (uma conjectura); Por que isso é provável de ser verdadeiro (uma justificativa); Onde isso é provável de ser verdadeiro, isto é, uma definição mais geral da

questão (outra questão!). (id. Ibid., p.24, Tradução livre do autor)6

Para Mason, Burton e Stacey (ibid.) para resolver um problema, são

necessários três passos, chamados “Entrada”, “Ataque” e “Revisão”, e a passagem

entre essas fases corresponde a uma reflexão sobre o progresso do que foi ou não 5 Tackling questions conscientiously; reflecting on this experience; linking feelings with action;

studying the process of resolving problems; noticing how what you learn fits in with your own experience. 6 What seems likely to be true (a conjecture); Why it is likely to be true (a justification); Where it is

likely to be true, that is, a more general setting of the question (another question!)

55

realizado. Entendemos que o estudante precisa estar o tempo todo no comando da

situação de resolver um problema.

Em nossa pesquisa, daremos relevância a alguns pontos do trabalho de

Mason, Burton e Stacey (ibid.), como por exemplo, a proposta de que o aluno

precisa escrever suas próprias anotações enquanto procura por uma resolução para

determinada questão, pois acreditamos que esse aluno poderá se utilizar desses

registros em futuras resoluções de problemas.

Os autores apontam que os alunos deverão fazer anotações considerando os

seguintes comandos: registrar todas as ideias significantes que ocorrerem enquanto

estiverem procurando por uma resolução para a questão, anotar suas tentativas e os

seus sentimentos sobre isso. Realizando estes dois comandos, os estudantes

poderão registrar as suas primeiras impressões acerca do problema, e, se

necessário, consultar essas informações em outras circunstâncias.

Segundo os autores, essas anotações, chamadas por eles também de

rubricas, servem de ponto de partida para a resolução de um problema, que

inicialmente parecia sem solução, portanto, “escrever os sentimentos que você tem e

as ideias matemáticas que lhe ocorrem destruirá a brancura gritante do pedaço de

papel que você enfrenta quando você começa a responder uma pergunta” (id.

Ibid.,p. 11, tradução nossa7). Afinal, Mason, Burton e Stacey (ibid.) relatam que

algumas pessoas são tão ansiosas para resolver o problema que procuram resolver

logo na primeira ideia que tiveram, e, por isso, acabam errando.

A seguir, discutimos, de uma maneira mais detalhada, como esses autores

apontam as fases de trabalho com um problema matemático.

Entrada

Na fase denominada de Entrada, Mason, Burton e Stacey (1982) apontam

que a familiarização com o problema se dá por meio de dois caminhos: pela

absorção da informação dada, e encontrando qual a questão do problema. Com o

7 Writing down the fellings you have and the mathematical ideas that occur to you will destroy the stark

whiteness of the piece of paper that confronts you as you begin a question.

56

objetivo de auxiliar nessa etapa, é válido fazer a si próprio três questionamentos e

incorporá-los na rubrica.

O que eu sei? O que eu preciso?

O que eu posso introduzir? (id. Ibid., p.29, Tradução livre do autor)8

As ideias dos autores a respeito da rubrica nos mostram que é importante, assim

que ler algum problema, anotar o que já se entendeu e que já se sabe que pode ser

válido para a resolução do problema. Em seguida, tentar verificar o que não se sabe

ou não entendeu, observando, assim, a dificuldade da questão. Por fim, pensar em

uma maneira de encontrar aquilo que não se sabe e que precisa ser resolvido, e isso

pode ser feito com o uso de estratégias anteriores que deram certo, inclusive em

problemas anteriores.

Ataque

Na fase de ataque, o aluno passa a conjecturar, isto é, ele passa a

desenvolver ideias ainda não provadas como verdadeiras, baseadas em suposições

com fundamentos não verificados com o objetivo de resolver um problema.

Os autores apontam que uma conjectura é um palpite informal sobre um

possível padrão ou regularidade que pode explicar “o que” é intrigante na questão

particular. Uma vez formulada, a conjectura é investigada para ver se a mesma deve

ser modificada ou se pode ser convincentemente justificada. Isto é feito procurando

o “por quê”.

Deste modo, o aluno levanta conjecturas e as coloca em prática a fim de obter

sucesso na resolução do problema, o que nem sempre acontece, pois, no momento

em que o estudante aplica sua conjectura, ele pode perceber que ela não responde

o problema em questão. Assim, surgem algumas conjecturas por parte dos

estudantes que podem parecer razoáveis afirmações, mas cujas verdades não

foram estabelecidas. Nem todas as conjecturas tem importância; na verdade, muitas

podem ser falsas, e elas são modificadas tão logo passam a existir. Neste caso,

8 What do I know?; What do I want?; What can I introduce?

57

parte da arte de conjecturar é estar aberto para novas interpretações que surgem

inesperadamente de outro modo, e que podem parecer um contexto familiar.

Os autores apontam que explicar o “por quê” de suas conjecturas envolve

convencer-se a si próprio e, mais importante, convencer os outros que você pode

justificar seus argumentos, pois ser capaz de convencer outras pessoas é

geralmente ainda mais difícil. Explicar o “por quê” é largamente baseado na ideia da

estrutura matemática, uma importante noção do que está por detrás de tentativas

para explicar porque alguma coisa pode ser verdadeira, e o desenvolvimento de

conjectura.

Do ponto de vista de Mason, Burton e Stacey (1982), o estudante necessita

desenvolver um monitor interno, isto é, ele mesmo precisa ser capaz de se fazer

perguntas suficientemente adequadas que o conduzam a resolver o problema.

Quando isso não for suficiente, se faz necessário então o papel de um tutor que

realize questionamentos úteis que o façam seguir adiante.

Nesta fase, os autores destacam o papel do professor como mediador

intervindo com questionamentos pertinentes, de modo a conduzir os alunos à

reflexão de suas conjecturas. Entendemos que essa postura do professor pode ser

decisiva para desenvolver a capacidade no aluno de refletir sobre o próprio

pensamento enquanto resolve problemas matemáticos.

Revisão

Esta fase é bastante enfatizada pelos autores como sendo a mais educativa

de todas. Esse é o momento de verificar o que foi feito e se estruturar a partir das

três seguintes atividades: checar a resolução, refletir sobre as ideias e momentos

principais e estender esse conhecimento para um contexto maior, recorrendo, se

possível, às rubricas.

Com o objetivo de elucidar um pouco mais as ideias expostas pelos autores

sobre os processos, fases e rubricas destacamos o diagrama da Figura 9.

58

Figura 9: Fases de Resolução de Problemas Fonte: Adaptada e Traduzida de Mason, Burton e Stacey, 1982, p.47.

Na Figura 9, entendemos que o processo específico que ajuda a desenvolver

o pensamento matemático se inicia com a especialização, na qual o aluno passa

pelas fases de Entrada e Ataque. Em seguida, ele percorre o processo de

generalização, no qual o sujeito passa da fase do Ataque para a da Revisão.

Entendemos que os processos de especialização e generalização estão

amplamente conectados e um dá suporte ao outro. Na fase de Entrada,

encontramos um destaque para o uso da rubrica, seguida de questionamentos que

os estudantes podem se fazer, do tipo: “o que sei?”, “o que quero?” e “o que preciso

introduzir para que eu consiga resolver o problema?”. Para cada um desses

59

questionamentos há uma sugestão do procedimento que deve ser seguido. Na fase

de ataque, surgem as expressões “Bloqueio!” e “Aha!”, que na verdade se referem,

respectivamente, ao momento em que o estudante encontra-se sem saber como

resolver o problema, e, após levantar uma conjectura, dá início à resolução.

Entendemos essa situação como um bloqueio e uma possível solução para o

bloqueio. Por último, na fase de revisão, o aluno deverá checar se sua conjectura

respondeu ao problema, refletir sobre todo o processo que o conduziu à resposta do

problema e, se possível, estender esse resultado para um contexto maior ou

encontrar um novo caminho para a resolução do mesmo problema.

Entendemos que as fases de resolução de problemas de Mason, Burton e

Stacey (1982) podem ser úteis para nossa pesquisa por acreditarmos que alunos

precisam desenvolver processos heurísticos, mas, para que isso aconteça, eles

precisam ser ensinados, por meio de questionamentos do professor e colegas e

atividades selecionadas pelo educador que os conduzam a essa reflexão.

Entendemos que as fases de resolução de problemas de Mason, Burton e

Stacey (ibid.) são importantes para o nosso trabalho porque colocam o aluno no

centro do processo de resolução de problemas, de modo que ele tome consciência

dos próprios processos heurísticos. Além disso, entendemos que ela é adequada ao

uso da Teoria dos Campos Conceituais, pois compreendemos que o uso dessa

proposta nos remete a um tipo de situação no sentido exposto por Vergnaud

(1996a), sendo uma tarefa a ser realizada pelo sujeito, numa tentativa de que se

explicitem alguns dados de seus processos cognitivos. Além de introduzirmos um

tipo de situação diferente, que engloba reflexão sobre processos heurísticos

relacionados à resolução de problemas, achamos interessante introduzir também

outro tipo de esquema, diferente daquele de flechas apresentado por Vergnaud

(2009), a fim de provocar a explicitação de esquemas.

No primeiro capítulo, vimos, na pesquisa de Petrina (2012), o uso de um

diagrama de barras, que faz parte do currículo de Cingapura, e que é usado como

ferramenta para a resolução de problemas. A partir da nossa fundamentação teórica,

entendemos que esse diagrama é um tipo de esquema e queremos investigar se

esse recurso pode auxiliar estudantes a perceberem invariantes operatórios

utilizados para resolver problemas.

60

Esse diagrama depende de cinco componentes interligados: conceitos,

habilidades, processos, atitudes e metacognição, e foi baseado nos estudos de

Vergnaud (op. cit.) e Polya (2006).

De acordo com o currículo de Matemática de Cingapura, entende-se que o

uso do diagrama é uma estratégia efetiva para resolver problemas. Em nossa

pesquisa, estamos considerando apenas o diagrama de barras, e não todo o método

que o envolve, portanto não utilizamos as classificações apresentadas nele para

problemas matemáticos multiplicativos, tampouco a proposta metodológica que o

cerca. Este esquema é uma representação pictórica composta de diagramas de

barras que podem auxiliar alunos na visualização de relações matemáticas

abstratas. Nos exemplos a seguir, podemos verificar dois tipos de diagramas para

resolver problemas multiplicativos, denominados Modelo Parte-Todo e Modelo de

Comparação, ambos utilizados nessa pesquisa.

Figura 10: Diagrama: Modelo Parte-Todo

Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p.21

Este diagrama envolve um todo que é dividido em um número de partes

iguais. Há uma relação quantitativa entre as três quantidades: o todo, uma parte e o

número de partes.

Figura 11: Diagrama: Modelo de Comparação Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p.23

Neste segundo diagrama, duas quantidades são comparadas de tal modo que

uma quantidade é múltipla da outra. Há uma relação quantitativa entre as três

parte

todo

61

quantidades: quantidade maior, quantidade menor e o múltiplo. O múltiplo é obtido

pela divisão da quantidade maior pela quantidade menor. Apesar do diagrama ser

uma barra, e este tipo de “barra” geralmente representar grandezas contínuas, este

diagrama é usado para trabalhar com grandezas discretas. Em nossa pesquisa,

vemos se esta característica é um dificultador da utilização desse esquema.

Os autores afirmam que o Método- Modelo também pode ajudar os

estudantes a planejarem os passos de resolução para o problema, assim como

motivá-los a resolver problemas mais complexos e desafiadores.

Neste capítulo apresentamos a Metodologia de Resolução de Problemas

empregada nesta pesquisa, elaborada a partir do estudo das fases de Mason,

Burton e Stacey (1982), como sendo um tipo de situação. Também mostramos o

diagrama de barras como um tipo diferente de esquema, e esperamos que este

possa auxiliar os alunos a refletirem sobre as ideias multiplicativas.

No Capítulo IV, apresentamos os Procedimentos Metodológicos desta

pesquisa, bem como os instrumentos de coleta de dados selecionados para esse

estudo.

62

CAPÍTULO IV - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste Capítulo, apresentamos os procedimentos e instrumentos elaborados

para a coleta de dados de nossa pesquisa, bem como a caracterização dos

participantes deste estudo.

A fim de encontrar respostas para nossas questões de pesquisa: “Qual a

influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e para a percepção dos

processos heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de barras utilizado

auxiliou na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos

tomarem consciência dos processos heurísticos usados a partir da utilização da

ficha?”, utilizamos as fases de resolução de problemas proposta por Mason, Burton

e Stacey (1982) para elaborar o instrumento de coleta de dados.

A coleta de dados aconteceu durante o final do segundo semestre do ano

letivo de 2013, em um colégio particular no município de São Paulo. A escolha do

Colégio se justifica pelo fácil acesso da pesquisadora à instituição e conhecimento

do Projeto Político- Pedagógico lá empregado.

A fim de obtermos a aprovação e o acesso à instituição escolhida para

aplicação da pesquisa, nos reunimos com a direção do colégio, e apresentamos

nosso projeto. Nesta mesma reunião, ficaram combinados dias e horários dos

encontros a serem realizados com os alunos.

No decorrer de toda pesquisa, procuramos esclarecer, para a equipe diretiva

e para os alunos, que o foco do trabalho não foi dado aos erros e acertos aos

problemas, mas aos processos heurísticos que os alunos apresentariam ao resolver

os problemas propostos. A pesquisa foi aplicada pela própria pesquisadora, que já

conhecia os estudantes, por ser também a professora da classe.

63

4.1 Sujeitos da Pesquisa

Participaram deste estudo todos os 19 alunos de uma turma de 5º ano do

Ensino Fundamental de um colégio particular da cidade de São Paulo, com idade

média de 10 anos. A escolha dos candidatos para participarem da pesquisa ocorreu

mediante um convite feito aos alunos da turma do 5º ano que o colégio possui no

período matutino.

Por se tratar de sujeitos menores de idade, convocamos uma reunião com os

familiares dos estudantes. Durante a reunião, pedimos aos pais ou responsáveis que

assinassem o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido. Nessa data, foram

esclarecidos o objetivo da pesquisa, os procedimentos de coleta de dados e as

possíveis contribuições e implicações da pesquisa para a comunidade educativa.

4.2 Instrumentos de Coleta de Dados

A partir da revisão de literatura e dos textos referentes à fundamentação

teórica, foi possível encontrar referências e exemplos de situações-problema que

compõem os instrumentos de coleta de dados desta pesquisa. Desta forma, os

problemas matemáticos aplicados nesta foram selecionados por nós com base em

exemplos de outros pesquisadores e em livros didáticos, e seguindo as categorias

de base multiplicativa expostas na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud

(2009).

A principal referência sobre Metodologia de Resolução de Problemas foi de

Mason, Burton e Stacey (1982), como apresentado anteriormente. Então, a partir do

estudo mais aprofundado das fases de trabalho propostas por esses autores para se

resolver um problema matemático, concebemos a ficha apresentada na Figura 12,

utilizada pelos alunos para resolverem os problemas multiplicativos propostos nesta

pesquisa.

64

Figura 12: Ficha de Resolução de Problemas Fonte: Acervo Pessoal

Na primeira parte desta ficha, colocamos, já impresso, o problema a ser

resolvido pelos estudantes. Em seguida, na parte correspondente às rubricas, os

estudantes deveriam realizar as primeiras anotações sobre suas impressões

matemáticas a respeito do problema. Na estratégia, os alunos deveriam registrar, da

maneira que achassem mais conveniente, suas representações, isto é, os esquemas

que mobilizariam para resolver o problema. Na parte da resposta, pretendíamos que

eles escrevessem uma resposta condizente com a pergunta do problema. Por fim, a

65

etapa do convencimento sugere que o aluno escrevesse argumentos que

convencessem a si próprio e aos demais colegas de que a resolução dele seria

eficaz para resolver aquele determinado problema. Esperava-se que os alunos

pudessem compreender e aplicar as fases de resolução de problemas proposta na

ficha, seguindo as etapas. Também esperávamos, que, por meio dessa ficha, os

estudantes pudessem explicar com mais clareza esquemas e invariantes operatórios

enquanto resolvessem os problemas matemáticos propostos.

A ideia foi a de que todas as fichas pudessem ficar disponíveis para a

consulta dos alunos durante todos os encontros, assim, se achassem conveniente,

poderiam consultar registros anteriores em busca de auxílio para resolver o

problema atual. Cada aluno teria um saquinho para guardar suas atividades durante

os encontros.

4.3 Os Encontros

A turma de 5º ano escolhida já vinha desenvolvendo um trabalho de

Resolução de Problemas há um semestre, no qual se reunia para discutir problemas

matemáticos diversos em duas aulas por semana, cada uma com 50 minutos de

duração. Nessas aulas, o enfoque dado era o trabalho em grupo, envolvendo a troca

de diferentes estratégias para se resolver um dado problema e o sentido de

cooperação entre os alunos. No entanto, os alunos não estavam habituados a

pensar sobre a maneira como resolviam os problemas. Percebíamos que eles

precisavam desenvolver hábitos autônomos de resolução de problemas e que o

campo multiplicativo ainda era um desafio para a turma, isto é, eles apresentavam

dificuldades com diversas das categorias de problemas desse campo. Desta forma,

aproveitamos estes horários já estabelecidos pelo grupo para dar início à coleta de

dados.

A coleta de dados foi realizada por meio de três encontros no horário regular

das aulas. Cada encontro teve aproximadamente uma hora e meia de duração, com

a participação da pesquisadora. Tais encontros foram distribuídos em três semanas,

66

Vale dizer que, inicialmente, prevíamos a coleta de dados por meio de quatro

encontros, no entanto, dado o período de final de semestre letivo dos alunos e a

quantidade de dados obtidos dos encontros anteriores serem suficientes para

realizar a análise proposta, o último encontro não foi realizado.

Durante os três encontros, os alunos trabalharam em grupos para o

favorecimento da troca de ideias. Foi feito um sorteio dos alunos para a composição

de cada grupo de trabalho no início do Encontro 1. Os grupos de alunos foram

organizados em sala de aula em um semicírculo para que a pesquisadora pudesse

circular e observar com facilidade o andamento dos trabalhos nos diferentes grupos.

Quando pareceu necessário, a pesquisadora questionou os alunos a fim de

compreender melhor seus relatos ou reflexões.

Durante todos os encontros, os problemas foram entregues aos alunos

diretamente na ficha da Figura 12, que serviu para a resolução dos problemas pelos

alunos, exceto no Encontro 3, no qual a escolha de usar a ficha ou não foi feita pelos

alunos. Com isso, pretendíamos verificar se a ficha se tornaria um instrumento útil

para esses alunos durante o processo de resolução de problemas.

Caso em alguma das sessões, algum grupo ou a própria pesquisadora não

conseguisse concluir o que fosse proposto para aquele dia, na sessão seguinte,

retomaríamos o trabalho tendo como ponto de partida a situação não finalizada. Isso

foi esclarecido para os estudantes desde o início da pesquisa. O encontro foi sempre

iniciado com um retorno para os estudantes sobre os resultados obtidos na sessão

anterior.

Ao longo das intervenções, sugerimos aos alunos que refletissem sobre

diferentes esquemas de resolução dos problemas, bem como sobre a organização e

a aplicação de passos que poderiam levá-los a determinado resultado, por meio de

momentos de partilha de acertos e erros cometidos pelos alunos.

67

4.4 Encontro 1

No Encontro 1, apresentamos aos alunos cinco problemas. Eles foram escolhidos

com base nos tipos de problemas multiplicativos de Vergnaud (2009). Tivemos como

objetivo geral dessa sessão analisar se a ficha de resolução de problemas,

apresentada na Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no caso, a

pesquisadora, pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados para

resolver os problemas.

Quadro 3: Enunciado do Problema 1 do Encontro 1

(Extraído de Smole, 2008)

Este problema foi selecionado, pois traz uma situação bastante comum ao dia

a dia escolar dos alunos, como a organização dos livros da biblioteca em prateleiras.

Verificamos, também, que este problema contempla a categoria de Isomorfismo de

Medidas, na classe de multiplicação Vergnaud (2009). Ele ainda se enquadra na

subclasse de números inteiros grandes.

Destacamos como objetivos específicos verificar a distinção feita pelos

estudantes sobre cálculo numérico e relacional, identificar significantes diferentes

para um mesmo significado e perceber os conhecimentos implícitos na ação dos

alunos.


(Extraído de Vergnaud, 2009)

1) Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar alguns livros em 12

prateleiras, colocando em cada uma 108 livros. Quantos livros Josué

organizou?

2) Três rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada

moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?

68

O Problema 2 se enquadra na categoria de Produto de Medidas (id. Ibid.). Para o

autor, um casal consiste na associação de um elemento do primeiro conjunto com

um elemento do segundo, desta maneira, o número de casais é o mesmo que o

produto do número de rapazes pelo número de moças.

Justificamos a escolha deste problema por acreditarmos que ele poderia

favorecer a mobilização de diferentes estratégias de resolução por parte dos alunos,

bem como, por sua resolução não resultar em um simples algoritmo da multiplicação

ou divisão, e sim em uma análise das relações entre o produto do número de

rapazes pelo número de moças.



Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida

(VERGNAUD, 2009), envolve as ideias de multiplicação e divisão, e está de acordo

com a subclasse em que são colocados em evidência números inteiros pequenos. O

fator que nos chamou a atenção neste problema foi a necessidade de realizar duas

operações seguidas, primeiro uma multiplicação e depois uma divisão, para resolvê-

lo, além de que o aluno precisaria se atentar ao fato de que nenhuma das figurinhas

é repetida. Também verificamos uma situação recorrente no dia a dia das crianças.

3) Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em

cada um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que nenhuma delas era repetida e

colou as figurinhas em seu álbum colocando o mesmo número de figurinhas em cada

uma das 15 páginas. Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do álbum?

4) Luís é um bom vendedor. De manhã cedo, armou a barraca na praça.

- Tenho 200 lenços para vender e vou acabar com eles já, já.

- Vamos lá, minha gente, que o lenço é bom e barato. O pacote com 6 custa 10

reais!

- Tá mal! Só vendi 12 pacotes!

a) Quantos lenços Luís vendeu pela manhã?

b) Quanto ele arrecadou nessa venda?

69

Quadro 6: Enunciado do Problema 4 do Encontro 1 (Fonte: Imenes, 2009)

Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida, na classe da

multiplicação. Escolhemos esse problema pelo fato de apresentar a informação de

que há 200 lenços para vender, e esta ser desnecessária para a resolução do

problema. Vergnaud aponta que também é necessário “habituar a criança a receber

enunciados onde constam informações inúteis, as quais, consequentemente, ela

deverá deixar de lado” (id. Ibid. p.213).

Esse mesmo problema foi aplicado pela professora da classe no mês de

setembro, gerando desconforto entre os alunos. Somente três estudantes acertaram

o problema.

Quadro 7: Enunciado do Problema 5 do Encontro 1 (Extraído de Vergnaud, 2009)

Esse problema coloca em jogo uma correspondência, sem ser, no entanto,

um isomorfismo de medidas. Ele se enquadra na categoria de “caso de um único

espaço de medida” (id. Ibid. p. 262) e na classe da divisão em busca de uma

medida. Vergnaud mostra que há somente uma categoria de medidas, que são os

metros de tecidos, que se correspondem aos dois objetos, saia e conjunto.

Nessa categoria de problema, as expressões “vezes mais”, “vezes menos”

estão presentes nos enunciados. Pretendemos investigar se os alunos

apresentariam dificuldade para compreender a relação existente na expressão “três

vezes mais” do problema.

4.5 Encontro 2

5) São necessárias três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma

saia. São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário

para se fazer uma saia?

70

De acordo com Petrina (2012), o Método- Modelo de Cingapura utiliza uma

representação gráfica que pode ser ensinada aos alunos com o objetivo de levá-los

a refletir sobre a resolução de problemas. Considerando nosso desejo de que os

alunos possam se engajar nessa reflexão, utilizamos esse mesmo diagrama no

Encontro 2 como uma das maneiras de desenvolver habilidades heurísticas dos

alunos.

Os cinco problemas selecionados para esse encontro foram extraídos do

documento do Ministério da Educação de Cingapura. É importante salientar que

estamos dando ênfase ao diagrama como um dos variados tipos de representação

gráfica que podem ser utilizados em sala de aula para resolver problemas

matemáticos. Também destacamos que não estamos utilizando a classificação de

problemas multiplicativos proposta por esse documento, e, neste caso, classificamos

e analisamos os problemas e suas respectivas resoluções por parte dos estudantes

deste encontro a partir da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009).

Neste Encontro 2, optamos por levar para os alunos as cinco fichas contendo

problemas multiplicativos, no entanto com uma proposta diferente. Em cada ficha foi

colocado um problema multiplicativo, seguido de uma estratégia supostamente

registrada por outra criança baseada no diagrama de barras proposto pelo Método

Modelo de Cingapura. Neste caso, os alunos deveriam, primeiramente, interpretar o

esquema apresentado, e, se possível, terminar de resolver o problema a partir dessa

estratégia. Caso não conseguissem ou não quisessem, poderiam resolver o

problema à maneira deles.

Acreditamos que esse diagrama pode favorecer a percepção dos estudantes

acerca das relações multiplicativas presentes no problema. Os cinco problemas a

serem aplicados são:

1) Cinco crianças dividiram o custo de um presente igualmente. Cada uma delas pagou R$ 36,00. Qual foi o custo do presente?

Esquema correspondente:

R$ 36

71


Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 85. (Problema adaptado para a moeda local.)

Entendemos que esse problema pode ser classificado como sendo

Isomorfismo de Medidas na classe de multiplicação de Vergnaud (2009), igualmente

ao Problema 1 do Encontro 1, com a única diferença de se enquadrar na subclasse

de números inteiros pequenos.

Os alunos precisariam perceber que os cinco quadradinhos correspondem às

crianças do problema e que, portanto, cada quadradinho (criança) pagou R$36,00. O

ponto de interrogação é a incógnita que representa o custo total do presente.

Pretendíamos, com este problema, verificar se os alunos realizariam alguma relação

com o primeiro problema do encontro anterior, já que fazem parte da mesma

categoria de problemas e trazem uma ideia multiplicativa muito semelhante.

2) Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que

patos. Quantas galinhas ele tem?



Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 86.

O problema se encaixa também na categoria do Isomorfismo de Medidas, na

classe da multiplicação. Vemos que são explicitados os papéis dos operadores

escalares, isto é, fica claro que são cinco vezes mais galinhas do que patos, e, neste

caso, podemos perceber as relações entre essas duas quantidades. Se retornarmos

ao Problema 5 do Encontro 1 a fim de comparamos, veremos que nele são “três

vezes mais tecido do que conjunto”, dificultando para o aluno ter que encontrar uma

Galinhas

Patos

72

medida por meio de uma divisão. A partir disso, podemos dizer que esses dois

problemas não são da mesma categoria.

Os estudantes precisarão perceber que para cada pato há cinco vezes mais

galinhas, e que a incógnita é o valor de galinhas. Observamos se o esquema

facilitaria ou complicaria a resolução desse tipo de problema.

3) Um grupo de crianças comprou um presente por R$ 30,00. Elas pagaram

R$ 6,00 cada. Quantas crianças estavam presentes nesse grupo?



Fonte: Ministério da Educação de Cingapura, 2009, p. 86. (Problema adaptado para a moeda local)

O problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medidas, na classe

da divisão por uma busca da quantidade de unidades. Esse tipo de problema foi

escolhido por entendermos que o esquema proposto pode gerar certo desequilíbrio

para os alunos, uma vez que há uma ruptura na parte que corresponde à quantidade

de crianças presentes no grupo, que no caso é a incógnita.

4) Um fazendeiro tem 35 galinhas. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que

patos. Quantas galinhas e patos ele tem ao todo?


R$30

R$6

Galinhas

Patos

73



Com base em Vergnaud (2009), entendemos que esse problema se trata de

um problema misto (multiplicativo e aditivo), pois coloca em evidência relações do

tipo multiplicativo e do tipo aditivo. Pretendíamos perceber se os alunos

compreenderiam a posição da incógnita, que engloba galinhas e patos.

5) Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.

Quantas galinhas a mais do que patos ele tem?




Assim como o Problema 4 deste Encontro 2, o problema em questão pode ser

chamado de misto, de acordo com Vergnaud (ibid.), sendo a única diferença o fatp

de que, neste outro problema, temos uma multiplicação e uma subtração, a fim de

calcular a diferença entre galinhas e patos.

4.6 Encontro 3

No Encontro 3, os alunos receberam mais cinco problemas multiplicativos, e

foram encorajados a continuar usando as fases de trabalho de Mason, Burton e

Stacey (1982) para resolver os problemas por meio da ficha. Também comentamos

Galinhas

Patos

74

sobre a possibilidade de usarem, se achassem necessário, o esquema do Método-

Modelo apresentado no encontro anterior para resolver algum dos problemas.

Temos os seguintes problemas selecionados:

Quadro 13: Enunciado do Problema 1 do Encontro 3 (Extraído das atividades do Projeto “Children’s Understanding of Probability and Risk”,

desenvolvido em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com autorização dos membros brasileiros do projeto)

Este problema apresenta a ideia de proporcionalidade da multiplicação, e, de

acordo com a minha experiência como professora, verifico que alguns alunos

possuem certa dificuldade em lidar com esse tipo de questão. Pretendemos verificar

se algum dos alunos utilizaria o diagrama de barras para resolvê-lo.

2) A tartaruga Mirtes e o coelho Afonso estão se preparando para uma corrida.

O percurso é de 15 quilômetros e deve ser feito em, no máximo, 5 dias.

- Vou andar 1 Km no 1º dia. A cada dia que passar andarei o dobro do dia

anterior e descansarei até o dia seguinte. (Plano da Mirtes)

- Dividirei o percurso em 5 etapas iguais, uma por dia. (Plano do Afonso)

Observe o desenho feito por uma aluna de 5º ano para representar o plano de

corrida da tartaruga.

1) Diana e a Sra. Elástico estão participando de uma corrida ao redor do

mundo. Diana precisa dar 10 passos para percorrer uma certa distância, a Sra.

Elástico precisa dar apenas 6 passos para percorrer a mesma distância. Se a Sra.

Elástico der 15 passos, quantos passos Diana tem que dar para alcançá-la?

75


(Fonte: Reame et al. 2012, p.143)

Continue resolvendo o problema. Faça um esquema que represente o plano do

coelho Afonso. Quem vencerá a corrida?

Com este problema, objetivávamos apresentar novas ferramentas heurísticas

para os estudantes interpretarem, validando o uso de diferentes representações

durante a resolução de problemas. Também escolhemos esse problema por trazer

uma situação envolvendo as unidades de medida quilômetro e centímetro.


(Extraído das atividades do Projeto “Children’s Understanding of Probability and Risk”, desenvolvido

em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com autorização dos membros brasileiros do projeto)

Assim como o Problema 1 desse encontro, esse problema lida com a ideia

multiplicativa de proporcionalidade. Pretendíamos investigar quais facilidades e

dificuldades esse tipo de problema poderia trazer para os alunos e comparar com o

Problema 1, já citado.



Esse problema se enquadra na categoria de Produto de Medidas e ilustra o fato

de que existe uma forma de divisão específica a essa forma de relação

multiplicativa. Os estudantes costumam variar suas estratégias de resolução, já que

4) Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes

diferentes. Ela tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?

3) Um ladrão de banco tem que fugir da polícia e chegar à fronteira do México.

Por este motivo, ele tem que planejar quantos litros de gasolina ele tem que ter no

seu carro. Seu carro utiliza 12 litros de gasolina para percorrer 54 km. Quantos litros

ele tem que abastecer para percorrer 72 km?

76

esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias possibilidades de uma dada

situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação a situações combinatórias.

Quadro 17: Enunciado do Problema 5 do Encontro 3 (Extraído de Arquivo Pessoal)

Assim como o Problema 5 do Encontro 1, esse problema coloca em jogo uma

correspondência, sem ser, no entanto, um isomorfismo de medidas. Ele se enquadra

na categoria de “caso de um único espaço de medida” (VERGNAUD, 2009, p. 262) e

na classe da divisão em busca de uma medida.

Entendemos que esse tipo de problema seria bastante difícil para os estudantes,

então selecionamos esse que é semelhante ao Problema 5 do Encontro 1, com o

intuito de perceber se os alunos recorrerão às fichas anteriores no caso de dúvida

sobre como resolver esse problema.

Tendo apresentado nossos instrumentos de coleta de dados, passamos à

descrição e à análise dos dados coletados no próximo capítulo.

5) É necessário cinco vezes mais açúcar para fazer um bolo de casamento do

que um bolo de aniversário. São necessários 5 quilos de açúcar para fazer um bolo de

casamento. Quanto de açúcar é necessário para fazer um bolo de aniversário?

77

CAPÍTULO V - APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS

DADOS

No capítulo anterior, apresentamos nossos instrumentos de coleta de dados,

que foram inspirados nas estratégias de Mason, Burton e Stacey (1982) para

resolver problemas, na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009), e

também em pesquisas referentes ao campo multiplicativo. Tendo como objetivo

nesta pesquisa investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de

problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um

problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos, neste

capítulo, apresentamos a descrição e a análise dos dados coletados durante os três

encontros que fizemos com os 19 alunos de uma turma de 5º ano de uma escola

particular da cidade de São Paulo. Com esta análise, buscamos respostas para

nossas questões de pesquisa “Qual a influência da ficha elaborada para a resolução

de problemas e para a percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa

resolução?”; “O diagrama de barras utilizado auxiliou na compreensão e na

resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos tomarem consciência dos

processos heurísticos usados a partir da utilização da ficha?”

Elencamos objetivos específicos para cada um dos encontros. No Encontro 1,

temos como foco analisar se a ficha de resolução de problemas, apresentada na

Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no caso, a pesquisadora,

pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados para resolver os

problemas. No Encontro 2, temos como objetivo específico levar os alunos a

refletirem e interpretarem o diagrama de barras do Método- Modelo de Cingapura, e,

assim, investigar se essa representação pictórica torna os estudantes capazes de

visualizarem a estrutura do problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa

envolvida nele. Finalmente, no Encontro 3, temos como objetivo específico analisar

se os estudantes continuaram utilizando a ficha de resolução de problemas ou o

diagrama de barras para resolver os problemas multiplicativos. A partir disso,

também pretendemos verificar os invariantes operatórios que emergiram com ou

sem o uso desses recursos.

78

Os alunos trabalharam em grupos. Os integrantes de cada grupo foram

escolhidos por meio de um sorteio, que aconteceu no início do primeiro encontro.

Um novo sorteio de grupos precisou ser realizado no começo do segundo encontro,

dada à ausência de alguns estudantes à aula. Justificamos essas ausências devido

ao término do período letivo de 2013. Isso quer dizer que no primeiro encontro

tivemos grupos diferentes do segundo e terceiro encontros.

Durante o trabalho nos grupos inicialmente, um integrante lia o problema em

voz alta para todos. Em seguida, todos os estudantes tinham um tempo para que,

individualmente, escrevessem suas rubricas. Depois, os estudantes liam suas

primeiras ideias sobre o problema e discutiam as possíveis estratégias de resolução.

Percebemos que, embora os estudantes estivessem trabalhando em parceria, as

estratégias variaram dentro dos próprios grupos. Na etapa do convencimento, os

estudantes procuraram justificativas e argumentos que validassem suas estratégias

e respostas ao problema.

Verificamos que, em geral, poucos foram os erros para as respostas aos

problemas. Atribuímos isso ao fato de os estudantes terem trabalhado em grupos, e,

assim, podido refletir sobre o próprio pensamento matemático com o auxílio de

colegas.

5.1 Sujeitos da Pesquisa

A fim de garantirmos a confidencialidade dos sujeitos participantes desta

pesquisa, estabelecemos nomes e siglas fictícios, os quais mostraremos a seguir.

79

Tabela 1: Nomes fictícios e respectivas siglas

NOMES FICTÍCIOS SIGLAS

Angela Na

Danilo Da

Fátima Fa

Gabriele Ga

Gisele Gi

Isabel Isa

Janice Já

Júnior Jú

Jomar Jo

Silmara Si

Kátia Ká

Kléber Kle

Lúcio Lu

Maria Ma

Pablo Pa

Selma Se

Solange So

Tatiane Ta

Vinicius Vi

No Encontro 1, os vinte alunos foram sorteados e organizados nos seguintes

grupos de resolução de problemas:

Tabela 2: Integrantes por Grupo do Encontro 1

Grupo Integrantes

G1 Maria, Júnior, Angela, Gisele e Jomar (Este aluno

não participou da resolução de todos os problemas,

pois chegou atrasado)

G2 Isabel, Selma, Danilo e Lúcio

G3 Kleber, Janice, Tatiane, Fátima e Silmara

G4 Pablo, Gabriele, Kátia, Solange e Vinicius

80

Nos Encontros 2 e 3, os grupos de trabalho se configuraram em apenas três,

que são os seguintes:

Tabela 3: Integrantes por Grupo dos Encontros 2 e 3

Grupos Integrantes

G1 Kléber, Júnior, Maria, Lúcio

G2 Gisele, Gabriele, Janice, Fátima

G3 Isabel, Tatiane, Pablo, Kátia, Vinicius e Solange

5.2 Análise e Discussão dos Encontros

Entendemos que a estratégia do estudante é o cerne da resolução de

problemas, e, por isso, damos início à análise de dados por meio da categorização

das estratégias apresentadas pelos alunos. Apresentamos os protocolos das

estratégias, rubricas e convencimentos quando trouxerem elementos essenciais

para a discussão da estratégia. A elaboração das respostas pouco interferiu no

processo de resolução de problemas. Para escrevê-las, os estudantes reliam o

enunciado, e em alguns momentos, verificamos que essa postura os beneficiou,

como vemos mais adiante, no Problema 2 do Encontro 1.

Sendo assim, trazemos exemplos de respostas dos estudantes, seguidos de

uma análise à luz do referencial teórico e da revisão bibliográfica expostos nesta

pesquisa. Selecionamos os exemplos de protocolos e trechos de áudio

apresentados na análise desta pesquisa com base nas questões de pesquisa, e

pretendendo contemplar uma análise das discussões e registros dos grupos

enquanto resolvem os problemas.

Vale salientar que os processos heurísticos a que nos referimos na questão

de pesquisa serão identificados dentro dos esquemas apresentados pelos

estudantes e, portanto, correspondem às escolhas estratégicas que os alunos farão

diante de uma situação, isto é, de cada problema.

81

5.3 Encontro 1

No Encontro 1, apresentamos aos alunos cinco problemas. Eles foram

escolhidos com base nos tipos de problemas multiplicativos de Vergnaud (2009).

Tivemos como objetivo geral dessa sessão analisar se a ficha de resolução de

problemas, apresentada na Figura 12, trouxe contribuições para que o aluno, e, no

caso, a pesquisadora, pudessem perceber os invariantes operatórios mobilizados

para resolver os problemas.

Problema 1

Este problema foi selecionado, por trazer uma situação bastante comum ao

dia a dia escolar dos alunos, como a organização dos livros da biblioteca em

prateleiras. Verificamos, também, que este problema contempla a categoria de

Isomorfismo de Medidas, na classe de multiplicação Vergnaud (2009). Ele ainda se

enquadra na subclasse de números inteiros grandes.

Destacamos como objetivos específicos verificar a distinção feita pelos

estudantes sobre cálculo numérico e relacional, identificar significantes diferentes

para um mesmo significado e perceber os conhecimentos implícitos na ação dos

alunos.

Quadro 18: Problema 1 do Encontro 1

(Fonte: Smole, 2008)

As estratégias foram organizadas em cinco categorias conforme a Tabela 4.

Josué trabalha em uma livraria e precisou organizar alguns livros em 12

prateleiras, colocando em cada uma 108 livros. Quantos livros Josué organizou?

82

Tabela 4: Categorias de Estratégias para o Problema 1 do Encontro 1

Categoria Grupo

Algoritmo da multiplicação com operação inversa G4

Algoritmo da multiplicação G2 e G3

Algoritmo da multiplicação e desenho G1

Desenho que apresenta a multiplicação como

uma sucessão de parcelas aditivas

Kléber (G3)

Estratégia incompreensível Júnior (G1)

Considerando que com este encontro tínhamos o objetivo de analisar a

utilização da ficha, apresentamos a ficha completa do aluno Kléber na Figura 13, a

fim de ilustrar a utilização dela durante o trabalho com este problema.

Figura 13: Ficha de Resolução de Problema completa do aluno Kléber.

83

Percebemos que a maioria dos estudantes resolveu este problema por meio

do algoritmo da multiplicação. No entanto, a primeira hipótese de grande parte dos

alunos, ao lerem o problema, foi efetuar uma divisão, o que pudemos perceber

consultando as rubricas.

Por exemplo, na Figura 14, mostramos um exemplo de rubrica produzida pelo

estudante Lúcio, na qual ele menciona a divisão: “Vamos fazer um divisão que eu

acho que vai ser fácil.”

Figura 14: Rubrica do aluno Lúcio do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 1 do Grupo G3 para

o Problema 1 do Encontro 1

Os alunos, assim como Lúcio, que anteriormente na rubrica tinham pensado

em realizar o algoritmo da divisão, apresentaram, no momento da estratégia, uma

multiplicação. Entendemos que a redação do problema pode ter influenciado os

estudantes a cogitarem, inicialmente, efetuar uma divisão, pois esse enunciado

inicia-se com a ideia de “organizar alguns livros em 12 prateleiras”, o que pode ter

sido entendido por esses alunos como uma distribuição em partes iguais, o que é

associado a uma divisão. Uma leitura mais cuidadosa do problema ou a discussão

em grupo podem ter influenciado a mudança de estratégia de resolução por esses

alunos.

Esse dado vai ao encontro da ideia de Vergnaud (1996b) de que reconstruir

conhecimentos implícitos na ação é muito difícil, afinal algumas crianças encontram

problemas para manifestar a compreensão delas sobre os conceitos envolvidos. Por

isso, evidenciamos que, por meio da ficha e gravação de áudio, foi possível explicitar

os conhecimentos que poderiam ter ficado implícitos na ação de Lúcio. Fazer esses

invariantes operatórios virem à tona permitiu que entendêssemos a maneira como

esse aluno (e também outros) pensa sobre determinada categoria de problema.

84

Pensando no exposto por Vergnaud (ibid.), verificamos a gravação de áudio e

percebemos como o estudante Lúcio muda de estratégia de resolução do problema,

passando da ideia de realizar uma divisão para uma de multiplicação. Ele expõe

para o grupo suas ideias de utilizar uma divisão e logo é confrontado pela colega

Isabel, que destaca as palavras “já” (passado) e “vai” (futuro) como determinantes

para o entendimento do problema.

A colega Isabel explica que ele “já” organizou os 108 livros, ele não “vai”

organizar. Ao falar que ele “já” organizou 108 livros, nos parece que Isabel pretende

destacar que os livros já estão dispostos nas 12 prateleiras, colocando a incógnita

na quantidade total dos livros, isto é, de todas as prateleiras. Quando ela diz que ele

“vai” organizar os 108 livros nas 12 prateleiras, fica para ela a impressão de que ele

ainda vai distribuir essa quantidade em 12 prateleiras, isto é, a incógnita passa a ser

a quantidade de livros de cada prateleira.

Entendemos que destacar as palavras “já” e “vai” foi uma maneira de Isabel

explicitar para Lúcio as diferentes relações multiplicativas, cujo cálculo numérico

poderia ser uma multiplicação ou divisão, dependendo da compreensão relacional

que o indivíduo teria dessa situação.

Isabel precisou argumentar para que Lúcio compreendesse que o cálculo

numérico estava incorreto, mas precisou esclarecer as relações que estavam por

trás da situação multiplicativa. Neste caso, podemos dizer que o estudante Lúcio

chegou à compreensão do cálculo relacional para resolver o problema, e não

apenas alterou o cálculo numérico sem compreendê-lo de verdade.

Ainda em relação ao que entendemos sobre cálculo relacional e cálculo

numérico, verificamos, no diálogo a seguir, que os próprios estudantes chegam a

realizar uma distinção entre realizar com eficácia o algoritmo da multiplicação e

compreender com eficiência o cálculo relacional (relações existentes na

multiplicação) no momento de redigir o convencimento:

Lu: “Convencimento: todas as contas deram o mesmo resultado.” Da: “Ah para, sem zoeira, vai.” [...] Isa: “É para concluir sobre o problema e não se todos os cálculos deram respostas iguais.” Lu: “Vamos fazer a operação inversa.” Isa: “Não, eu não vou fazer isso. [...] Não é preciso. [...] A conta inversa só prova que o cálculo está certo e não que o problema está certo.”

85

Lu: “É verdade.”

(Trecho de áudio do Grupo G2)

Para convencer sobre a resolução do problema, Lúcio diz que é só escrever

que todas as contas deram o mesmo resultado ou que basta fazer uma operação

inversa. Isabel desconsidera as ideias de Lúcio, com a justificativa de que o cálculo

efetuado pode estar correto, mas não assegura que o problema tenha sido resolvido

corretamente. A aluna Isabel destaca que precisam revisar o problema, isto é, o

cálculo relacional, e não se todos os cálculos deram respostas iguais, isto é, o

cálculo numérico.

Podemos ainda dizer que a etapa do convencimento suscitou discussão entre

os integrantes do grupo, na qual eles puderam esclarecer a diferença entre revisar o

problema (cálculo relacional) e revisar somente o cálculo (cálculo numérico),

percebendo a importância do cálculo relacional para a resolução de um problema.

Nas fases de Mason, Burton e Stacey (1982), fica claro que o estudante

precisa ser capaz de se fazer perguntas suficientemente boas para resolver um

problema. Podemos dizer que a fase do convencimento, de fato, propiciou a

elaboração de perguntas entre os alunos e discussão sobre o problema, sem que

houvesse a intervenção da pesquisadora.

No Grupo G3, vemos também a discussão que motivou a escolha do

algoritmo para resolver o problema. Na Figura 13, apresentamos a estratégia

realizada pelo estudante Kléber desse grupo. Kléber usou estratégias próprias para

resolver o problema. Observando a estratégia, vemos que ele utilizou desenhos e

resolveu o cálculo por meio da adição de parcelas sucessivas.

Buscando compreender as relações por trás da estratégia apresentada por

Kléber, isto é, os invariantes operatórios mobilizados pelo aluno, apresentamos o

trecho de gravação do áudio a seguir. Durante a discussão sobre a possibilidade do

problema ser resolvido por meio da multiplicação ou não, entre os estudantes

Tatiane, Kléber e Janice, encontramos a explicação que Kléber faz sobre o seu

próprio esquema:

Kle: “Olha eu fiz em desenho né, então na minha cabeça o que eu queria fazer com estes desenhos era primeiro eu fiz na minha cabeça, e

86

demonstrando com os desenhos 12 X 8 e depois o 12 X 100, que deu 1296.”

(Trecho de áudio do estudante Kle, do Grupo G3)

Observando a fala de Kléber, ficam claros os invariantes operatórios que ele

mobilizou para resolver o problema. Ele utilizou a decomposição do número 108 =

100 + 8, antes de multiplicá-los por 12 e efetuou todo o procedimento por meio de

cálculo mental.

Podemos dizer que, por meio do esquema apresentado por Kléber na Figura

13, não tinha sido possível perceber os invariantes operatórios que estavam por trás

do desenho. No entanto, quando o estudante explicita aos colegas seu esquema,

conseguimos perceber quais processos heurísticos o conduziram àquela resolução.

Vimos na pesquisa de Magina et al. (2010), que os estudantes geralmente

colocavam apenas as respostas dos problemas e não era possível identificar os

procedimentos mais naturalmente utilizados por eles. O exemplo de Kléber mostra

que o uso da ficha de resolução de problemas e das fases de Mason, Burton e

Stacey (op. cit.) possibilitaram a exploração, por parte do pesquisador, dos

processos heurísticos dos estudantes.

Verificamos neste estudante uma preocupação em representar por meio de

um “desenho” (esquema) suas ideias, a fim de que outros a compreendessem.

De acordo com Vergnaud (2009), para uma mesma situação é possível

utilizar representações distintas, que são compostas pela interação entre significado

e significante. No Problema 1, o significado do problema para Lúcio e para Kléber

era 1296, pois era o resultado oriundo de 12 X 108. A fim de representar o

significado 1296, Kléber apresenta o significante exposto na Figura 13, no qual ele

mostra um esquema de adição de parcelas sucessivas. Já para Lúcio, o significante

apresentado foi o algoritmo da multiplicação.

Entendemos, por meio deste exemplo, que o significado do problema era o

mesmo para todos os alunos, mas o significante que cada estudante apresentou foi

diferente, e a etapa do convencimento colaborou para que essa troca entre os

alunos acontecesse.

87

Assim como Lúcio, as estudantes Tatiane e Janice também haviam

conjecturado, na rubrica, sobre resolver esse problema por meio de uma divisão.

Durante a estratégia, perceberam a incoerência entre o resultado obtido na divisão e

a pergunta do problema. Nesse caso, as estudantes modificam sua estratégia e

realizam uma multiplicação.

Ja: Se dividíssemos 108 por 12 iria dar 9, mas no enunciado estava falando que ele precisou organizar alguns livros em 12 prateleiras cada uma com 108 livros, então nós devíamos multiplicar 108 por 12. Fa: Se em cada prateleira há 108 livros se forem 12 prateleiras seria 12

vezes mais a quantidade que há em uma prateleira, ou seja, 12 X 108 = 1296 livros. Ta: Se a gente dividisse não ia dar quantos livros Josué organizou.


Tatiane relata que efetuar uma divisão não responderia à pergunta do

problema, que queria saber quantos livros Josué organizou. Neste caso, a aluna

teve que abandonar a conjectura inicial e encontrar um novo caminho para resolver

o problema. Conforme mencionado por Mason, Burton e Stacey (1982), o aluno

checa sua conjectura e reflete sobre todo o processo que o conduziu a resposta do

problema, e se necessário, encontra um novo caminho para solucioná-lo.

Entendemos que o registro da rubrica facilitou esse processo heurístico, que

culminou na revisão do problema, pelo fato de os alunos terem conseguido perceber

a incoerência dos resultados.

No exemplo de Kléber, na Figura 13, pudemos verificar que, embora seja

difícil, é possível reconstruir conhecimentos implícitos na ação dos alunos.

Acreditamos que isso foi possível com o auxílio da ficha de resolução de problemas

e do trabalho em grupo.

Percebemos, com este primeiro problema do Encontro 1, que a ficha de

resolução de problemas e a discussão dentro do grupo se complementaram para a

análise dos invariantes operatórios que são colocados em ação pelos alunos para

resolver problemas multiplicativos, bem como para identificar e detalhar esquemas.

88

Problema 2

Justificamos a escolha deste problema por acreditarmos que ele poderia

favorecer a mobilização de diferentes estratégias de resolução por parte dos alunos,

bem como por sua resolução não resultar em um simples algoritmo da multiplicação

ou divisão, e sim em uma análise das relações entre o produto do número de

rapazes pelo número de moças.


(Fonte: Vergnaud, 2009)

As estratégias foram organizadas em cinco categorias conforme a tabela a

seguir.


Categoria Grupo

Algoritmo da multiplicação e desenho G1; Fátima e Janice (G3) ;

Pablo (G4),

Tabela G2

Tabela e algoritmo Kátia (G4)

Desenho G3

Estratégia incompreensível Júnior e Jomar (G1)

Os alunos do Grupo 4 apresentaram estratégias distintas, e, portanto, se

dividiram entre as categorias do quadro acima.

Na Figura 15, encontramos a estratégia de Silmara, de acordo com a

categoria Algoritmo da Multiplicação e desenho.

Três rapazes e quatro moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com

cada moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?

89

Figura 15: Estratégia da aluna Silmara do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1

Neste esquema, Silmara distribui os três rapazes, intitulados como R1, R2 e

R3. Em seguida, distribui para cada um deles as quatro moças, intituladas por ela

como G1, G2, G3 e G4. Por último, efetua a multiplicação.

Na Figura 16, observamos a estratégia da aluna Isabel.

Figura 16: Estratégia de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1

Percebemos que Isabel dá nomes para as moças e os rapazes. Na tabela, ela

usa siglas para esses nomes. Primeiro, Isabel coloca os três rapazes e distribui as

moças entre eles. Diferentemente de Silmara, ela ainda coloca as quatro moças e

começa a distribuir os rapazes, só que colocando um traço nos casais que já

dançaram. Pareceu-nos que esse movimento foi uma espécie de conferência.

Na pesquisa de Chahon (2006) foi apresentado que o registro por escrito,

individual, em uma folha de papel, empobreceu as produções dos alunos do ponto

de vista da criatividade. Em nossa pesquisa, os estudantes trabalharam em grupo,

mas também foram incentivados a registrar, individualmente, por escrito, suas

estratégias. Neste problema, os alunos foram bastante criativos em suas resoluções,

como vimos nas Figuras 15 e 16. Ressaltamos que, em nossa pesquisa, o registro

por escrito colaborou para que os alunos pensassem sobre suas próprias ações.

Verificamos na Figura 17 a resposta da estudante Tatiane, que não

corresponde à pergunta do problema, embora, na estratégia, a aluna tenha

apresentado o resultado correto.

90

Figura 17: Resposta da aluna Tatiane do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1

No problema, pergunta-se quantos seriam os casais possíveis, no entanto,

Tatiane responde que cada pessoa dançará 12 vezes.

Na etapa do convencimento, a resposta da estudante Tatiane chamou a

atenção do Grupo G3. Então, os estudantes expuseram as suas ideias para o

convencimento, que vieram acompanhadas do seguinte questionamento:

Ta: Então são 12 casais Janice? Ja: Sim, 12 casais! Kle: Ele quer saber os casais. Ta: Ah tá, entendi.


Nesse diálogo, entendemos que Kléber e Janice tentam mostrar para Tatiane

que perguntar pela quantidade de casais possíveis é diferente de perguntar pela

quantidade que cada um vai dançar. Apesar da estudante Tatiane ter dito que

entendeu, isso não foi apresentado na Figura 17.

O diálogo se segue, agora com uma pequena intervenção da pesquisadora,

que, percebendo a discussão anterior do grupo, decide lançar uma pergunta:

Pesquisadora: Todo mundo releu a pergunta do problema? Quantos seriam os casais possíveis?

(Trecho de áudio da pesquisadora no Grupo G3)

Todos os alunos do grupo disseram ter relido o problema, mas é a estudante

Janice que explica melhor:

Ja: Assim, no início, depois que a gente tinha feito a estratégia, a gente tinha esquecido que eram casais possíveis, que a Tatiane tinha falado que era vezes que cada um ia dançar. E ai depois eu lembrei não, são casais possíveis. E dai esse é um problema de possibilidades.

(Trecho de áudio da estudante Ja do Grupo G3)

91

Verificamos, na etapa de registrar a resposta do problema, que os estudantes

puderam retomar a pergunta, perceber a incoerência de suas respostas e alterá-las,

restando apenas a estudante Tatiane com a mesma resposta anterior, apesar de ter

dito ao grupo que entendeu a diferença entre casais possíveis e quantas vezes cada

um vai dançar.

De acordo com Mason, Burton e Stacey (1982), é na fase correspondente à

revisão que o estudante pode retomar e refletir sobre os procedimentos que o levou

à resolução do problema. Vimos que, para o Grupo G3, essa atitude possibilitou

retomar a questão do problema e verificar as estratégias realizadas.

Nas Figuras 18 e 19, são apresentadas, respectivamente, a estratégia e o

convencimento do estudante Kléber, que relata que, embora tenha feito um

desenho, registrará no convencimento sobre o algoritmo 3X4, que foi o que ele

resolveu primeiro. A estudante Tatiane concorda com ele.

Figura 18: Estratégia do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1

Figura 19: Convencimento do aluno Kléber do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 1

Se olhássemos somente sua estratégia, e não tivéssemos a etapa do

convencimento, não teríamos descoberto que o aluno resolveu, de fato, o problema

92

por meio de uma multiplicação e não por meio de desenho. Esse exemplo nos revela

o quanto há de implícito nas representações escolhidas pelos estudantes. Neste

caso, o aluno teve necessidade de relacionar um desenho com o algoritmo.

Vergnaud (2009) nos indica que uma das maneiras de se verificar quais são

os esquemas utilizados pelos estudantes é pelo acompanhamento dos momentos

em que eles são chamados a dar respostas a problemas. Neste exemplo,

percebemos que só conseguimos verificar, de fato, os invariantes operatórios

mobilizados pelo aluno Kléber, quando este foi motivado a explicitar seu

convencimento na ficha de resolução de problemas.

Muitos alunos verbalizaram que nem sempre nos problemas de

“possiblidades”, basta uma multiplicação e que por isso decidiram confirmar por meio

de um desenho suas hipóteses. Notamos que diferentes invariantes operatórios

foram mobilizados a fim de obter garantias quanto à resposta correta, como, apesar

de efetuar o algoritmo da multiplicação, precisou do desenho para confirmar sua

conjectura.

Vergnaud (1996b) comenta que o conhecimento prévio do estudante pode ser

impeditivo em certos casos. Nesta situação, os alunos recorreram a experiências

anteriores, nas quais tinham aprendido que esse tipo de problema só se resolve por

meio de desenhos. Vemos que, nessa situação, os estudantes tiveram que romper

com o conhecimento prévio de que uma multiplicação apenas não bastava neste tipo

de problema, o qual segundo eles, era de “possibilidades”.

Nos trechos a seguir, veremos as heurísticas dos alunos Kléber e Isabel:

Kle: Vou falar que eu fiz três, que é o número de rapazes possíveis vezes

quatro que é o número de meninas, que no caso moças que querem dançar com os rapazes. Cada uma quer dançar com os três rapazes, então era só fazer as quatro moças vezes os três rapazes.

(Trecho de áudio do estudante Kle do Grupo G3)

Em oposição ao estudante Kléber, a estudante Isabel apresenta sua

heurística:

Isa: Sabe o que é mais fácil? Eu prefiro resolver por desenho este

problema. Eu acho mais fácil dar nome para as pessoas. (Trecho de áudio da estudante Isa do Grupo G2)

93

Na Figura 16, vimos a estratégia da estudante Isabel, cuja resolução foi por

meio de uma tabela. No momento de convencer os demais quanto à estratégia

realizada, teceu as considerações expostas na Figura 20 a seguir.

Figura 20: Convencimento de Isabel do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 1

Os dados apresentados pelos estudantes neste segundo problema se

relacionam com os resultados apresentados na pesquisa de Rêgo e Azeredo (2006)

sob o aspecto de que o registro gráfico (desenho e tabela) complementou o

algoritmo, ou vice-versa. Na fala de Isabel, notamos a preferência pelo registro

gráfico (desenho e tabela), no entanto, no registro do convencimento, percebemos

que ela recorre ao algoritmo, após a compreensão geral do problema. Supomos que,

para a aluna chegar a uma afirmação consistente sobre a resposta do problema, ela

teve que testar suas conjecturas, que passavam pelo registro gráfico e algoritmo.

No momento do convencimento do problema, surge a nova discussão abaixo,

e nos faz pensar na importância dos dois tipos de registros (oral e escrito) que se

complementam. Percebemos ainda, que a escrita demanda muito investimento e

esforço do aluno, mas possibilita pensar sobre o seu próprio pensamento.

Da: Que assim que, se você já contou esse “aqui”, tipo Sofia com Luís... Isa: Luís não, Daniel. Mas como é que eu vou explicar...você está falando pra eu começar a explicar “porque, não dá, não conta com os meninos” (impaciente) Como é que eu vou explicar assim? Não tem! Não dá pra fazer isso! Se: Tem aqui três meninas, é só você ir colocando cada menina em cada parte dos meninos e ai é só você contar as meninas porque aqui elas já vão ter dançado. Isa: É difícil escrever isso. [...] A gente está tentando escrever isso com palavras e não só dizendo, é mais difícil.


94

Neste trecho, podemos perceber a diferença entre a fala e o registro escrito.

Isabel aponta a dificuldade de transpor para a escrita sua compreensão e

justificativa sobre o problema.

No trecho a seguir, o aluno Júnior demonstrou insatisfação diante do fato de

ter realizado um desenho para descobrir a resposta do problema quando se deparou

com o resultado e percebeu que poderia ter realizado uma simples multiplicação.

Ju: Eu não acredito que eu cai nessa. Eu não acredito que eu fiz desenho

para descobrir isso. (Trecho de áudio do estudante Ju do Grupo G1)

Entendemos que Júnior dominava o conceito multiplicativo exposto no

problema, mas, naquela circunstância, não soube transferir esse conhecimento para

uma situação provavelmente distinta daquela em que a aprendeu, isto é, diante de

nova situação não foi capaz de aplicar os seus conceitos-em-ação.

Entendemos que o Problema 2 favoreceu a mobilização de diferentes

estratégias de resolução por parte dos alunos. Dadas as diferentes soluções

apresentadas, diferentemente do que ocorreu no trabalho do autor Chahon (2006),

verificamos que o registro por escrito das estratégias dos estudantes favoreceu o

desenvolvimento de processos heurísticos por esses estudantes. Atribuímos esse

fator ao trabalho com a ficha de resolução de problemas.

No exemplo exposto pela aluna Tatiane, ficou clara a importância da fase de

revisão do problema proposta por Mason, Burton e Stacey (1982), tendo em vista

que o Grupo 3 precisou retomar a pergunta do problema, para perceber a

incoerência das respostas e poder modificá-las.

Problema 3

Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida

(VERGNAUD, 2009), envolve as ideias de multiplicação e divisão e o fato de que

nenhuma das figurinhas é repetida.

95



Para resolver este problema, todas as crianças de todos grupos efetuaram um

cálculo de multiplicação e divisão. Somente o estudante Júnior apresentou uma

estratégia incompreensível e não explicou seu raciocínio aos colegas.

De modo geral, esse problema pareceu bastante simples para os estudantes,

o que, acreditamos, se deve em parte pelo fato de o problema trazer uma situação

bem próxima ao cotidiano das crianças.

No trecho a seguir, vemos o exemplo do estudante Kléber na etapa do

convencimento, que relata que sua estratégia já está mostrando o tipo de cálculo

mental que ele realizou para descobrir o resultado da divisão.

Kle: Você explicar por escrito é muito mais difícil do que explicar oralmente,

mas eu acho legal o convencimento. A gente já descobriu que 12 X 5 é 60, e todo mundo sabe que 4 X 15 é 60, então a gente já saberia que 4 figurinhas ficariam em 15 páginas, em cada página do álbum, mas eu acho que a gente já mostrou isso na estratégia.

(Trecho do áudio do aluno Kle, do Grupo G3)

Na verdade, este estudante não mostra isso explicitamente, pois, no

protocolo, o aluno apresentou apenas o algoritmo da divisão, como podemos ver na

Figura 21, que não traduz o cálculo mental relatado por ele na gravação.


Renato coleciona figurinhas e comprou 12 envelopes com 5 figurinhas em cada

um. Ao abrir os envelopes, ele descobriu que nenhuma delas era repetida e colou as

figurinhas em seu álbum colocando o mesmo número de figurinhas em cada uma das

15 páginas. Quantas figurinhas ele pode colar em cada página do álbum?

96

Conseguimos verificar os conceitos-em-ação mobilizados pelo estudante para

a resolução da divisão somente por meio da gravação. O processo heurístico estava

subentendido pelo estudante como algo já expressado em seu esquema. Em geral,

os estudantes possuem certa dificuldade em verbalizar teoremas-em-ação e

conceitos-em-ação que são tidos como verdadeiros para eles. Contudo, entendemos

que é muito importante que esse conhecimento seja explicitado, pois

progressivamente podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas científicos.

Lúcio apresentou a mesma estratégia de Kléber, que explicitamos na Figura

21. No trecho de diálogo a seguir, ele apresenta a resposta do problema, sem

efetuar o algoritmo, por meio de cálculo mental, apoiando-se na relação inversa

entre divisão e multiplicação.

Da: “Vamos dividir 60 por 15.” Lu: “É 4.” Da: “Por que 4?” Lu: “Porque 4 X 15 dá 60.” Da: “Nada a ver.” Lu: “É sim, pode ver.” Isa: “Ah, peraí eu já entendi o que ele está falando. Gente ele está falando da divisão que para chegar no 60 é 4, 15 X 4 dá 60.”

(Trecho do áudio do Grupo G2)

Por meio deste exemplo queremos mostrar que o esquema de cálculo mental

também pode ser efetivo e usado pelos estudantes, sem a necessidade de efetuar

um algoritmo, pois se o aluno, de fato, resolveu o problema mentalmente, não há

necessidade que se efetue o algoritmo. O registro do algoritmo não deve ser uma

obrigação e sim um meio essencial à resolução do problema.

Ao final do Problema 3, destacamos que é importante saber realizar boas

perguntas a si próprio que o conduzam à resolução do problema, e enquanto o

estudante não é capaz de realizar esse processo heurístico, o papel do professor é o

de apresentar bons modelos.

Vimos que o Problema 3 foi bastante fácil para a maioria dos alunos, no

entanto, nem sempre os registros escritos revelaram os conceitos-em-ação

mobilizados por eles. Pudemos observar isso na Figura 21 e na fala do aluno Kléber:

a dificuldade em verbalizar os teoremas-em-ação e a não- percepção do que

realmente a sua estratégia expressou para quem a vê.

97

Problema 4

Este problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medida, na

classe da multiplicação. Escolhemos esse problema pelo fato de apresentar uma

informação desnecessária para a resolução do problema.

Quadro 21: Problema 4 do Encontro 1 (Extraído de Imenes, 2009)

Todos os alunos utilizaram nas estratégias o algoritmo da multiplicação para

ambos os itens a) e b). Lúcio, além disso, também deixou o registro de uma tentativa

anterior.

Verificamos, por meio da categorização a seguir, que, diferente do ocorrido

em classe, os estudantes conseguiram compreender e responder o problema sem

dificuldades. Acreditamos que isso se deve ao fato do problema já ter sido utilizado

em sala de aula pela professora de classe, com um número elevado de erros.

Podemos dizer que os estudantes aprenderam com as falhas anteriores e a

explicação da professora.

Apresentamos um diálogo do Grupo G2 para este problema.

Isa: Vamos começar por 200 dividido por 6. Vai dar 33 e vai sobrar 2. Da: Mas não era para fazer 12 vezes “alguma coisa” antes? Isa: Tá então pera, ele vai ter 33 pacotes com 6 lenços e vão sobrar 2

lenços fora dos pacotes. Da: Não gente espera, a gente tem que fazer outra coisa. Por minha conta

eu vou fazer 12 vezes 6. Lu: Tá bem, faz o 12 vezes 6. Vamos ver quanto dá. Da: Deu 72. Agora eu vou fazer 12 vezes 10, que é óbvio que dá 120. Isa: Ai gente eu tô começando a achar que o 200 dividido por 6 num tá

pegando nada. Não vai resolver nada. Da: Então justamente.” [...] Gente, eu fiz 12 vezes 6 porque ele só vendeu

12 pacotes e cada uma vem com 6 lenços, ai quantos lenços Luís vendeu

Luís é um bom vendedor. De manhã cedo, armou a barraca na praça.

- Tenho 200 lenços para vender e vou acabar com eles já, já.

- Vamos lá, minha gente, que o lenço é bom e barato. O pacote com 6 custa 10

reais!

- Tá mal! Só vendi 12 pacotes!

a) Quantos lenços Luís vendeu pela manhã?

b) Quanto ele arrecadou nessa venda?

98

pela manhã? Então ele vendeu 72 lenços de manhã. Ai agora na B está perguntando quanto ele arrecadou na venda? Eu fiz 12 vezes 10 porque ele só vendeu 12 pacotes vezes 10 porque custa 10 reais cada um. Ele arrecadou 120. Isa: Ah, faz sentido.


Esse trecho mostra uma tentativa de resolver o problema que foi realizada

anteriormente à descoberta do resultado correto. Esses procedimentos não

apareceram nos protocolos dos alunos, no entanto, sabemos que esse processo

heurístico foi importante, e poderia ter sido determinante para que os estudantes

encontrassem o resultado correto de seus problemas. Vislumbramos então, por

parte dos estudantes, o levantamento de conjecturas para tentar resolver o

problema, seguido de uma revisão na qual estas hipóteses não foram validadas, de

modo que foi necessário elaborar novos esquemas de resolução para o mesmo

problema.

Mesmo não tendo registrado todos esses passos na ficha, a nós parece que

eles percebem a importância de passar por aqueles passos para resolver o

problema.

Problema 5

Esse problema coloca em jogo uma correspondência, sem ser, no entanto,

um isomorfismo de medidas, mas um “caso de um único espaço de medida”

(VERGNAUD, 2009, p. 262). Nele, estão presentes algumas “palavras-chave”, e

gostaríamos de ver a reação dos alunos frente a elas.



É necessário três vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia.

São necessários 6 metros para um conjunto. Quanto de tecido é necessário para se

fazer uma saia?

99


Categoria Grupo

Cálculo mental Fátima (G3)

Algoritmo da divisão G1, G2, G4

Algoritmo da divisão com operação inversa Isabel (G2) e Gabriele (G4)

Algoritmo da divisão e desenho Kátia (G4)

Resposta incorreta por meio de cálculo mental

ou subtração

G3

Na Tabela 6 vemos que os estudantes apresentaram estratégias variadas e

tivemos um grupo que não conseguiu resolver corretamente o problema. Mostramos

alguns exemplos de estratégias. Para este problema não foi possível analisar o

áudio do grupo G4, pois este ficou inaudível.

Na Figura 22, apresentamos um exemplo de estratégia de algoritmo da

divisão e desenho.


Na Figura 23, temos um exemplo da estratégia de algoritmo da divisão com

operação inversa. Ainda nesta figura, percebemos que os alunos apresentaram em

suas rubricas a ideia de multiplicação para resolver o problema.

Observando as rubricas dos alunos em relação ao Problema 5, podemos

perceber que alguns apresentaram ideias arraigadas à expressão três vezes mais,

supondo assim que se tratava de uma multiplicação. Também se prenderam

demasiadamente ao algoritmo que registrariam no protocolo, o que ficará mais bem

100

explicitado adiante com os trechos extraídos da gravação, e com a apresentação, na

Figura 23 da ficha completa de um aluno que se comportou dessa maneira.

Figura 23: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Gabriele para o Problema 5 do Encontro 1

Na escrita da estudante Gabriele, podemos perceber o destaque que ela dá à

expressão “três vezes mais”, que aparece no enunciado do problema.

Fini (2001, apud Chahon, 2006) faz uma crítica ao uso excessivo de cálculo

numérico e “palavras-chave”, em detrimento da compreensão das relações entre os

dados e da análise do problema. Encontramos, desta maneira, concordâncias entre

101

nossa pesquisa e os dados expostos por Chahon (2006) e ressaltamos a

necessidade de trabalhar com problemas matemáticos multiplicativos que

apresentem esses tipos de palavras-chave, mas em diferentes contextos, para que

os estudantes percebam que não há uma ação mecanizada a ser realizada.

Assim como na pesquisa de Rêgo e Azeredo (2006), alguns alunos em nossa

pesquisa utilizavam simultaneamente o registro gráfico (esquemas e desenhos) e o

algoritmo; este último para validar o resultado obtido com o apoio do primeiro, ou

ainda, o uso do registro gráfico para conferir a resposta obtida pelo algoritmo.

Parte dos alunos começou a demonstrar domínio do cálculo relacional desse

problema ao longo das discussões, mas estavam com dificuldade de registrar o

cálculo numérico referente à resolução. Vergnaud (2009) aponta que o estudante

precisa dominar ambos os tipos de cálculos:

Ju: Gente, vocês entenderam essa primeira frase? São necessários 3

vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia. [...] Eu não estou conseguindo entender isso. Gi: Eu já sei, me passou pela cabeça agora, mas eu não posso apagar minha rubrica. São 3 vezes mais, então eu tenho que fazer 3 mais 3 que dá 6, certo? Então eu tenho que fazer 3 vezes 2. Acho que é isso. Ju: Acho que é pra fazer 3 vezes 3. Ma: Então o 3 com 6 já são 3 vezes mais do que quanto é a saia. [...] 2 metros porque ó 2, 4, 6, dão 3 vezes. Ju: Gente, mas calma ai. Gi: O quê? Ma: São necessário 3 vezes mais tecido para fazer um conjunto do que uma saia. São necessários 6 metros para o conjunto. Então se o conjunto são 3 vezes mais, seria 6 dividido por 3 que daria...quanto...2. Ju: Eu só não entendi essa confusão: conjunto do que uma saia. Gi: Nossa, a minha rubrica está totalmente diferente. Ju: Agora eu entendi [...] Metade de um conjunto... na verdade um terço de

um conjunto é o que precisa de tecido para fazer uma saia e aqui está falando que são 6 metros que são necessários para um conjunto. Ma: Viu, eu falei. Ju: O convencimento vai ser difícil. Ma: Não vai não. Gi: Você (Ma) tinha falado um convencimento muito bom e eu completei. Depois o Ju também falou coisas muito boas.


No diálogo que se seguiu pudemos verificar que a estudante Gisele constata

que sua rubrica está totalmente diferente após todo procedimento de resolução do

problema. Esse movimento que a aluna fez é fundamental para que ela “tome

consciência e controle de seus próprios processos cognitivos”, conforme Dreher

(2009) conceitua metacognição.

102

Encontramos no trabalho de Molinari (2010), a preocupação em propiciar um

espaço para os alunos explicarem a maneira como pensaram e até discutirem sobre

outros jeitos de se resolver um mesmo problema. Ela aponta que os alunos

precisam ter contato com diferentes procedimentos de resolução de problemas.

Vemos, neste Problema 5, e também durante todo o primeiro encontro, que

conseguimos propiciar espaços e meios para os alunos pensarem sobre seus

próprios pensamentos.

Em todo momento em que os estudantes explicam seus processos

heurísticos para os demais do grupo, na verdade eles já estavam convencendo-os

sobre seus esquemas. No entanto, quando alguns estudantes registram por escrito

seus convencimentos, esta tarefa se torna difícil. Vemos na fala da aluna Gisele a

percepção de que durante a conversa do grupo já aconteceu a etapa do

convencimento, e que basta transpor o que foi discutido oralmente para a linguagem

escrita.

Conforme previmos na escolha dos problemas, a expressão três vezes mais,

ao invés de 3 vezes menos foi geradora de dificuldade para os estudantes, pois eles

se apegaram à expressão “três vezes mais” como sendo um problema de

multiplicação. Talvez eles tenham percebido que as “palavras-chave” podem levá-los

a uma interpretação errônea do problema. Percebemos que o uso inadequado de

palavras-chave pode induzir ou prejudicar o estudante durante a resolução de

problemas.

Dentro de todo o primeiro encontro, verificamos que este Problema 5 foi o que

mais gerou dificuldade para os alunos, seja pela compreensão do cálculo relacional,

dificultado pela expressão “três vezes mais”, seja pela escolha do cálculo numérico

ou de outro esquema para representá-lo.

Entendemos que os alunos precisam dominar tanto o cálculo numérico quanto

o cálculo relacional, mas vimos, neste problema, que a compreensão do primeiro

não resultou na realização do segundo, isto é, muitos alunos entenderam o

problema e chegaram ao resultado, mas não conseguiam expressá-lo por meio de

um cálculo numérico ou por meio de outro esquema.

103

5.4 Discussão do Encontro 1

Neste primeiro encontro, aplicamos cinco problemas do campo multiplicativo,

cujas categorias variaram de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais de

Vergnaud (2009). Para que os estudantes pudessem resolver esses problemas, nos

centramos nas fases de resolução de problemas propostas por Mason, Burton e

Stacey (1982). Utilizando a ficha de resolução de problemas destacando as fases da

rubrica, estratégia, resposta e convencimento, evidenciamos uma proposta

metodológica para e sobre a resolução de problemas, pois os alunos puderam

aprender e utilizar etapas de resolução de problemas.

Para Alvarenga (2008), a perspectiva metodológica de resolução de

problemas ressalta a importância de análise do caminho percorrido pelo aluno

durante a resolução de problemas e não apenas os acertos e erros. Concordamos

com o que foi levantado pela autora, pois com a valorização da exposição dos

esquemas e dos invariantes operatórios, o foco dos encontros definitivamente não

foi para os acertos e erros dos alunos, o que foi confirmado pelas gravações de

áudio que nos mostrou o prazer e interesse dos estudantes pela resolução dos

problemas.

Os estudantes demonstraram bastante facilidade para utilizar a ficha de

resolução de problemas proposta pela pesquisadora. Evidentemente, salientaram

certa dificuldade em redigir a etapa do convencimento, mas percebemos que

souberam valorizá-la.

Discutimos algumas estratégias próprias dos alunos para resolver problemas

que nos ajudaram a identificar os processos heurísticos mobilizados por eles. Dentro

de cada problema, isto é, de uma nova situação, os alunos apresentaram seus

esquemas, repletos de invariantes operatórios.

Percebemos que a ficha de resolução de problemas e a discussão em grupo

a qual tivemos acesso pela gravação de áudio se complementaram para a análise

dos invariantes operatórios que são colocados em ação pelos alunos para resolver

104

problemas multiplicativos, bem como para observar o uso de esquemas. Na ficha,

vimos que a etapa da rubrica pode mostrar algo que a estratégia não mostrou e,

portanto, por meio dela, podemos reconstruir os conhecimentos implícitos na ação.

Verificamos a importância de compreender o cálculo relacional e não só o

cálculo numérico para responder um problema, mostrando que todas as relações

que estão por trás da resolução de um problema podem ser explicitadas de

diferentes maneiras.

O registro por escrito das estratégias dos estudantes favoreceu o

desenvolvimento de processos heurísticos por parte dos alunos, assim como os

motivou. Verificamos também que o registro gráfico (desenho e tabela) apareceu

para validar as respostas obtidas via algoritmo, ou vice-versa.

Os alunos descobriram que, ao explicarem sua resolução do problema para

os demais colegas do grupo, na verdade estão convencendo os outros sobre seus

esquemas, mas ressaltam a dificuldade de transpor este diálogo para o registro

escrito.

5.5 Encontro 2

No Encontro 2, aplicamos cinco problemas matemáticos nos quais

apresentamos aos estudantes um diagrama composto por barras. Esse diagrama de

barras é apontado pelo Ministério da Educação de Cingapura como um tipo de

esquema. Estes problemas também foram selecionados com base na ideia de Polya

(2006) de que alunos devem ser encorajados a utilizar um mesmo resultado ou

procedimento em diferentes problemas, isto é, situações.

Nosso objetivo neste encontro foi levar os alunos a refletirem e interpretarem

o diagrama de barras do Método- Modelo de Cingapura, e, assim, investigar se essa

representação pictórica torna os estudantes capazes de visualizarem a estrutura do

problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele.

105

Durante o Encontro 2, os alunos poderiam terminar de resolver o problema a

partir do diagrama apresentado como resolução parcial, somente interpretá-lo ou

poderiam resolver o problema da maneira que achassem mais conveniente sem o

uso do diagrama.

Problema 1

Entendemos que esse problema pode ser classificado como sendo

Isomorfismo de Medidas, na classe de multiplicação de Vergnaud (2009).

Pretendemos, com este problema, verificar se os alunos realizariam alguma

relação com o Problema 1 do Encontro 1, já que fazem parte da mesma categoria de

problemas e trazem uma ideia multiplicativa muito semelhante.


(Extraído de Ministério da Educação de Cingapura, 2009)

Na Tabela 7, apresentaremos a categorização das estratégias de resolução

do Problema 1.


Categoria Grupo

Algoritmo da multiplicação G1, Tatiane, Kátia e Pablo

Interpretou o método- modelo e realizou o

algoritmo da multiplicação

Isabel

Se apoiou no método- modelo para calcular e

efetuou algoritmo da multiplicação

Vinícius

Se apoiou no método- modelo para calcular e Solange

Cinco crianças dividiram o custo de um presente igualmente. Cada uma delas

pagou R$ 36,00. Qual foi o custo do presente?

R$ 36

106

efetuou algoritmo da adição

Interpretou o método- modelo, efetuou o

algoritmo da multiplicação e adição

Selma

Interpretou o método- modelo, efetuou o

algoritmo da multiplicação e efetuou

multiplicação por decomposição.

Gisele, Gabriele e Fátima

Algoritmo da multiplicação e multiplicação por

decomposição.

Angela e Janice

Estratégia incompreensível Júnior

Como exposto na Tabela 7, os alunos apresentaram esquemas diversificados

e resolveram o problema com certa facilidade. De acordo com o objetivo do

problema, procuramos fazer uma distinção entre os estudantes que somente

interpretaram o diagrama e aqueles que realmente se apoiaram no método- modelo

para resolver o problema.

Todos os alunos do Grupo 1 efetuaram o algoritmo da multiplicação para

resolver o problema. Logo que leu o problema, Maria (G1) registrou a rubrica a

respeito do diagrama:

Figura 24: Rubrica da aluna Maria do grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 2

Em seguida, ela efetua o algoritmo da multiplicação.

Figura 25: Estratégia da aluna Maria do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

107

Na escrita da aluna, verificamos que a compreensão a respeito do problema

foi indiferente ao diagrama exposto, o que resultou na estratégia de efetuar o

algoritmo da multiplicação.

Em sua rubrica, a estudante aponta que o problema não apresenta dificuldade

na Figura 25. Diferentemente de Maria, Fátima apresenta estratégia em que

interpretou o diagrama, efetuou o algoritmo da multiplicação e ainda efetuou

multiplicação por decomposição na Figura 26.


Figura 27: Estratégia da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

Destacamos na interpretação do diagrama feita por Fátima, que ela

compreendeu que a “chave grande” queria representar o preço do presente, cada

“retângulo” mostrava uma criança e a “chave pequena” representava o preço que

cada criança ia pagar.

Desde o início, a estudante relatou que o problema era fácil, em seguida,

efetuou o algoritmo da multiplicação e a multiplicação por decomposição junto à

interpretação do diagrama. Entendemos que a aluna não precisou do diagrama para

resolver o problema, mas aproveitou para interpretar mais uma maneira diferente de

explorá-lo.

108

Assim como Fátima, Selma também interpretou o diagrama de barras. Selma

apresenta, na rubrica, a ideia de efetuar uma multiplicação para resolver o problema,

demonstrando que compreendeu o enunciado do problema.

Figura 28: Rubrica da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

Na estratégia, deixa explícito que efetuou primeiro a multiplicação indicada

anteriormente, e, em seguida, utilizou o diagrama para apresentar a adição do preço

pago pelo presente por cada criança, isto é, foi somando 36 (valor pago por cada

criança) à soma do preço pago pelas crianças anteriores.

Figura 29: Estratégia da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

Quando chegamos à etapa do convencimento, nos deparamos com a

explicação que apresenta a resolução do problema por meio da adição de parcelas

sucessivas. Apesar de ter efetuado, primeiramente, o algoritmo da multiplicação, no

momento de explicar seu entendimento sobre o problema, recorreu ao diagrama e

aos processos aditivos.

Figura 30: Convencimento da aluna Selma do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 2

109

Verificamos que o diagrama pode ser uma ferramenta visual para os

estudantes interpretarem e descreverem a compreensão sobre o problema. No

diálogo que se segue, entre as alunas Angela e Gabriele, destacamos mais um

exemplo sobre como esse diagrama pode favorecer o entendimento das relações

existentes no problema multiplicativo.

Ga: Eu já sei qual é o esquema do problema, peraí. Pra mim gente o esquema é mais ou menos assim... gente para mim dá 180, e pra vocês também? O esquema, que é um retângulo dividido em cinco partes, essas cinco partes são as crianças, e uma parte que está com a chave, uma parte corresponde a 36 reais, ou seja, uma criança vai pagar 36 reais e a chave que cobre tudo significa o preço do presente inteiro. [...] Angela, por que você não entendeu? An: Teria que fazer 36 dividido por 5? Ga: Não Angela, olha o esquema. Isso aqui não é um retângulo? Ele não está dividido em 5 partes iguais? Uma parte corresponde a uma criança, uma, uma, uma, uma, uma. Se somarmos todas dão cinco crianças. Essa parte está falando que as crianças dividiram o preço do presente, só que você não sabe. Cada uma pagou 36 reais, isso você já sabe. Essa chave significa o quê? Que uma criança vai pagar 36 reais, agora essa chave que você não sabe, você tem que descobrir do presente, quanto foi o custo do presente, porque... Na: Inaudível Ga: Então, cada criança pagou 36 reais, só que você quer saber quanto

todas elas juntas pagaram, então você faz 36 vezes 5, entendeu? Na: Depois que a Gabriele me explicou com o desenho, ficou mais fácil.


Percebemos, neste trecho de áudio do Grupo 2, que Angela apresentava

dificuldades para compreender e resolver o problema. Gabriele explicou-lhe o

problema por meio do diagrama apresentado. No final da explicação, Angela afirma

ter compreendido o problema com o auxílio do diagrama. Neste caso, podemos dizer

que o diagrama (do Método- Modelo) serviu como ferramenta visual para que Angela

pudesse entender o problema e como resolvê-lo. Além disso, percebemos que,

mesmo tendo a representação uma ideia de grandeza contínua, ela foi vista por

esses alunos como representação de variáveis discretas.

Para Gabriele, o diagrama não foi apenas simples de ser interpretado, mas

também foi utilizado para dar explicações sobre o problema à colega Angela. No

entanto, não observamos essa facilidade em todos os grupos. No diálogo do Grupo

3 a seguir, Tatiane, Isabel e Pablo discutem sobre a disposição das “chaves” no

diagrama.

Ta: Eu acho que eu descobri porque tem essa chave grandona. É que assim, eu acho que essa chave grandona representa todo mundo que está junto com o grupo.

110

Pa: E a chave pequena seria como cada pessoa. Isa: É cada pessoa que pagou 36 reais.


Na fala de Tatiane, percebemos que a aluna deu uma interpretação própria

para o significado da chave grande do diagrama, pois esta representa o valor total

do presente e não a quantidade de pessoas do grupo. Já no complemento da

estudante Isabel ao que havia sido dito por Pablo, verificamos que ela compreendeu,

de fato, o significado da chave pequena, isto é, o valor pago por cada pessoa, e não

só cada pessoa como havia sido interpretado por Pablo.

Com base neste exemplo, podemos dizer que o diagrama pode auxiliar os

alunos a compreenderem as relações que estão por trás de uma situação

multiplicativa. O uso de esquemas como esse pode favorecer o desenvolvimento de

processos heurísticos nos alunos.

De acordo com o objetivo deste Encontro 2, bem como com os expostos no

início deste Problema, percebemos que poucos alunos apresentaram dificuldade ou

não interpretaram o esquema de barras proposto pela pesquisadora. Entretanto,

somente dois alunos se apoiaram nesse diagrama para resolver o problema, apesar

de acreditarmos que o diagrama favoreceu a compreensão do problema,

principalmente das relações multiplicativas por trás do cálculo numérico.

Além disso, os estudantes não apresentaram nenhum dado baseado no qual

pudéssemos afirmar que eles perceberam a correlação existente entre o Problema 1

do Encontro 2 e o Problema 1 do Encontro 1.

Problema 2

O problema se encaixa também na categoria do Isomorfismo de Medidas, na

classe da multiplicação. Os estudantes precisariam perceber que, para cada pato,

há cinco vezes mais galinhas e que a incógnita é o valor de galinhas. Observamos

se o esquema facilitaria ou complicaria a resolução desse tipo de problema.

111


(Extraído do Ministério da Educação de Cingapura, 2009)

Na Tabela 8, apresentamos os tipos de estratégias utilizadas pelos alunos.


Categoria Grupo

Algoritmo da multiplicação Tatiane, Pablo, Vinicius,

Jomar, Lúcio, Silmara,

Angela

Interpretou o diagrama e realizou o algoritmo da

multiplicação

Kátia, Solange, Maria,

Fátima, Gisele, Gabriele

Desenvolveu seu esquema a partir do diagrama Isabel e Selma

Interpretou o diagrama e relatou ter feito cálculo

mental

Kléber

Interpretou o diagrama, realizou algoritmo da

multiplicação e adição de parcelas sucessivas

Janice


Os Grupos G2 e G3 relatam, desde o início, a facilidade de resolver o

problema por meio do algoritmo 7X5, sem a necessidade de recorrer ao diagrama.

No entanto, verificamos, em ambos os grupos, discussões sobre o entendimento a

respeito do diagrama, como vemos na fala da aluna Isabel no Grupo G3:

Ta: [...] Eu achei que o esquema estava meio confuso. Pesquisadora: O que você achou confuso, Tatiane? Ta: É que eu não entendi. [...]

Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.

Quantas galinhas ele tem?

galinhas

patos

112

Pesquisadora: Quem é que pode ajudar a Tatiane a entender esse

diagrama? Isa: Bem, é como eu fiz aqui, tá vendo? Eu fiz a mesma coisa que o

problema, só que em cada quadradinho que tem cinco eu pus sete, porque como ele tem cinco vezes mais galinhas do que patos, então são sete em cada quadradinho. Ai sete vezes cinco, porque são cinco quadradinhos, sete galinhas em cada um, que dá trinta e cinco. Isso que eu entendi do problema, ops! Do esquema.


Sobre a categoria em que as estudantes desenvolveram esquemas a partir do

diagrama, apresentamos nas Figuras 31 e 32 as estratégias de Isabel, do Grupo G3,

cuja descrição do diagrama já foi mostrada acima e de Selma do Grupo G2,

respectivamente.



Ambas as alunas interpretaram o esquema e elaboraram as próprias

estratégias a partir do diagrama. Diferentemente de Isabel, Selma já efetua, no

próprio diagrama, a soma do sete a cada novo quadradinho, a fim de obter o total de

galinhas.

113

Na estratégia exposta por Maria, na Figura 333, ao mesmo tempo em que a

aluna diz que o “desenho” não auxiliou muito, ela também diz que o diagrama a

ajudou a esclarecer a conta apontando para a maneira como completou o diagrama.

Figura 33: Primeira Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 2

Figura 34: Segunda Estratégia da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 2

Entendemos que Maria utilizou o diagrama para se certificar quanto ao seu

entendimento das relações multiplicativas do problema. De acordo com o enfoque

do Encontro 2 e os objetivos referentes a esse Problema, destacamos que o

diagrama em certos casos facilitou a resolução do problema, como no caso das

estudantes Isabel e Selma. Em contrapartida, como vimos no exemplo da aluna

Tatiane, o diagrama trouxe complicações. Como vimos na tabela de categorização

das estratégias, para muitos o diagrama não interferiu na resolução do problema,

pois efetuaram diretamente o algoritmo da multiplicação.

Problema 3

O problema se enquadra na categoria de Isomorfismo de Medidas, na classe

da divisão por uma busca da quantidade de unidades. Pretendíamos ver o que a

figura acarretará para estes alunos.

114


Percebemos, na categorização disposta na Tabela 9 a seguir, que a maioria

dos alunos resolveu o problema por meio do algoritmo da divisão. Dois estudantes

resolveram o problema utilizando o diagrama do Método- Modelo.


Categoria Grupo

Algoritmo da divisão com operação inversa

Angela

Resolveu o problema por meio do diagrama e

algoritmo da multiplicação

Fátima

Resolveu o problema por meio do diagrama

Gisele e Selma

Interpretou o diagrama, algoritmo da divisão e

operação inversa

Janice, Gabriele

Algoritmo da divisão

G1, G3 (exceto Júnior)


Na estratégia da estudante Fátima, na Figura 35, entendemos que ela viu que

“faltava” um retângulo no modelo de diagrama entregue na ficha e o acrescentou,

mas, mesmo assim, manteve a ruptura. Podemos perceber isso pela marca de

apagado da estratégia.

Um grupo de crianças comprou um presente por R$ 30,00. Elas pagaram R$

6,00 cada. Quantas crianças estavam presentes nesse grupo?

R$30

R$6

115

Figura 35: Ficha de Resolução de Problemas completa da aluna Fátima do Grupo G2 para o Problema 3 do Encontro 2

Diferentemente de Fátima, porém no mesmo Grupo G2, Selma e Gisele

refizeram o diagrama de modo a acrescentar mais um quadradinho à figura sem

deixar ruptura, isto é, cinco quadradinhos. Ela ainda conta cada quadradinho como

sendo uma criança, demonstrando ter solucionado o problema por meio do esquema

proposto.

116


Os alunos que usaram o diagrama como esquema para resolver o problema

apresentaram uma multiplicação, em oposição aos alunos que não utilizaram o

diagrama e tentaram resolver o problema fazendo uma divisão.

Durante a leitura das rubricas, no Grupo G2, encontramos a seguinte

discussão:

Se: Eu acho que são quatro crianças, porque tem meio que uma fração aqui

e tá meio que quebrada. A Gisele mostrou que se a gente pintar o quadradinho inteiro vai ficar “consertado”...ai...acho que são quatro crianças. Ga: Pra mim não, eu discordo. Gi: Se juntar eu acho que forma um quadrado inteiro. Ga: Eu discordo. Porque pra mim é assim, se fossem quatro crianças, se

você fizer... tão falando que ao todo vai dar trinta reais, cada um vai pagar 6 reais, mas chegando aqui no meio, se você ver que “forem” (sic) quatro crianças, trinta dividido por quatro...não...falei tudo errado...trinta dividido por seis daria cinco, e se fossem quatro, 6,6,6,6 daria 24 e não trinta, então pra mim dão cinco.


Percebemos que o diagrama deste problema gerou dificuldade para o Grupo

G2, no entanto, observamos que esse “desequilíbrio” que o esquema criou serviu de

base para uma discussão muito rica e proveitosa a respeito da compreensão do

problema.

A parte “quebrada” do diagrama representa a incógnita do problema, isto é,

aquilo que se pretende descobrir, no caso a quantidade de crianças no grupo.

Verificamos que a maioria dos alunos não entendeu o porquê desse tracejado

rompido.

De acordo com a proposta deste Encontro 2 e o objetivo específico do

Problema 3, verificamos que foram poucos os alunos que identificaram a ruptura do

diagrama como sendo a incógnita do problema. Neste sentido, essa ruptura causou

desconforto entre os estudantes que cogitaram a resposta ser 4 crianças, em virtude

da quantidade de quadradinhos. Percebemos que toda essa discussão favoreceu

que os alunos pensassem a respeito do cálculo relacional presente no problema.

117

Problema 4

Com base em Vergnaud (2009), entendemos que esse problema se trata de

um problema misto (multiplicativo e aditivo), pois esse problema, relativamente

simples, coloca em evidência relações do tipo multiplicativo e do tipo aditivo.



Categoria Grupo

Resolveu por meio do diagrama Selma

Interpretou o diagrama, realizou uma divisão e

uma adição

Fátima, Pablo, Isabel,

Kátia, Solange, Gisele

Algoritmo da divisão e operação inversa Janice, Gabriele

Algoritmos da divisão e da adição G1, Tatiane (exceto Kléber

e Silmara)

Interpretou o diagrama e realizou adição de

parcelas sucessivas

Silmara

Interpretou o esquema e fez cálculo mental Kléber

Interpretou incorretamente o diagrama e realizou

algoritmos da divisão e adição

Lúcio

Vimos, na categorização deste problema, que a maioria dos estudantes

efetuou uma divisão para resolver o problema.

Neste problema, os alunos podiam se apoiar na resposta do Problema 2

deste mesmo encontro, que apresentava a ideia sobre ter 5 vezes mais galinhas do

Um fazendeiro tem 35 galinhas. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.

Quantas galinhas e patos ele tem ao todo?

galinhas

patos

118

que patos. Os estudantes não precisavam efetuar o cálculo 35 dividido por 5 para

obter a quantidade de patos, pois esta resposta já era conhecida por eles do

Problema 2, se eles tivessem lembrado disso. Bastava somar o total de galinhas ao

total de patos, isto é 35 + 7. Assim como podemos perceber na rubrica e estratégia

do estudante Kléber, nas Figuras 39 e 40.

Figura 37: Rubrica do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 2


Nas Figuras 37 e 38, vemos que Kléber primeiro considerou a hipótese desse

problema ser o mesmo que o Problema 2, mas podemos dizer que ele percebeu que

a ideia não se confirmava e então efetuou mentalmente a adição que “faltava”, já

que do resultado da divisão ele já dispunha.

No entanto, a maioria dos estudantes registrou o algoritmo 35 : 5, ao invés de

partir do conhecimento que já tinham obtido no Problema 2 para concluir a resolução

deste problema. Alguns estudantes do Grupo G2, como Gisele e Janice, chegaram a

comentar sobre a relação deste Problema com o Problema 2, mas, mesmo assim,

efetuam o algoritmo da divisão:

Gi: Acho que tem que fazer 35 : 5, porque a gente teve um problema ao contrário. Ja: No problema 2 foi esse mesmo problema, só que dessa vez é a operação inversa. Eu penso que eu devo fazer uma divisão 35: 5...


119

Figura 39: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 2

Então, Fátima se opõe ao que o Grupo G2 vinha argumentando lendo sua

rubrica:


Na rubrica de Fátima, fica evidente que ela partiu do conhecimento que já

possuía, isto é, a quantidade de galinhas e a quantidade de patos, mas não

demonstra ter percebido que seria necessário efetuar uma adição entre a

quantidade de patos e a quantidade de galinhas.

De fato, na gravação, evidenciamos que, durante a rubrica e a estratégia, o

Grupo G2 não havia se atentando à pergunta do problema, que é relacionada ao

número total de patos e de galinhas, e não só à quantidade de patos. Quando Gisele

relê a pergunta do problema, o Grupo retoma:

Gi: Quantas galinhas e patos ele tem ao todo? Já sei qual vai ser a

resposta. Ga: Ele tem 35 galinhas e 7 patos. Gi: E ao todo dá 42. Se: Que aqui pergunta quantas galinhas e patos ele tem ao todo. Ga: Ah, é verdade. A Selma está certa. A gente tem que somar 35 mais 7,

que dá 42. Ja: 42 animais.


Verificando a estratégia de Selma, entendemos que ela resolveu o problema

por meio do diagrama, pois partiu do que já estava exposto no Problema 2 e no

diagrama, para realizar a soma do 35 com o 7, isto é, das galinhas com os patos já

apresentados no esquema.

120


Com base nos objetivos do Encontro 2 e do Problema 4, constatamos, no Grupo

G2, que somente quando os alunos foram redigir a resposta e releram o enunciado

do problema é que se depararam com a situação aditiva e puderam retomar e

concluir a resolução.

Problema 5

Nosso objetivo foi apresentar um problema cuja resolução se dá por meio de

uma multiplicação e uma subtração, para calcular a diferença entre galinhas e patos.

Também foi observar o uso ou não do diagrama como apoio para resolver o

problema e perceber se os estudantes se apoiaram nos problemas anteriores para

resolvê-lo.


Um fazendeiro tem 7 patos. Ele tem 5 vezes mais galinhas do que patos.

Quantas galinhas a mais do que patos ele tem?

galinhas

patos

121


Categoria Grupo

Interpretou o diagrama e realizou uma subtração Maria, Isabel,

Algoritmo da subtração Júnior, Jomar, Pablo

Interpretou em partes o diagrama e realizou uma

subtração

Silmara, Solange, Kátia

Interpretou em partes o diagrama e cálculo

mental

Kléber

Algoritmos da multiplicação e subtração Lúcio, Tatiane, G2

Por meio da categorização do Problema 5, percebemos que metade dos

alunos decidiu efetuar uma subtração, sem necessariamente efetuar uma

multiplicação. Como veremos nas discussões adiante, os alunos perceberam que

não havia necessidade de efetuar uma multiplicação, tendo em vista que já tinham

obtido essa informação nos problemas passados.

Quando observamos as rubricas dos estudantes, a de Solange nos chamou

mais a atenção, pois se referia a uma adição.


Entendemos que a aluna possa ter tido esse pensamento em virtude da

expressão “a mais” aparente no enunciado do problema, que pode ter dado a

conotação de adicionar e somar. No entanto, no momento de elaborar a estratégia,

percebe o engano e realiza o procedimento pela subtração.

Na Figura 43, o estudante Kléber parte diretamente para a subtração 35 – 7 e

faz questão de demonstrar que resolveu esse cálculo mentalmente.

122

Figura 43: Rubrica e estratégia do aluno Kléber do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 2

Vemos a mesma relação estabelecida entre o problema anterior no

convencimento redigido pela estudante Silmara:

Figura 44: Convencimento da aluna Silmara do Grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 2

Ao contrário do que foi apresentado por Kléber, vemos na estratégia de Isabel

uma multiplicação, subtração e ainda a representação pictórica disso tudo por meio

do diagrama de barras, incluindo a parte correspondente à incógnita, isto é, a

quantidade de galinhas a mais do que patos.

123


A partir dos objetivos do Encontro 2 e do Problema 5, podemos dizer que

todos os estudantes compreenderam de imediato a necessidade de efetuar a

subtração, inclusive utilizando a expressão “calcular a diferença” entre patos e

galinhas.

A situação que o Problema 5 traz é bastante semelhante a do Problema 4, no

sentido de que os alunos já tinham uma informação e não precisavam efetuar uma

multiplicação, somente uma adição ou subtração. Percebemos que, diferentemente

do que ocorreu no Problema 4, os alunos, se atentaram mais a esse fato. Mas ainda

tivemos quatro estudantes que não recorreram às informações obtidas nos

problemas anteriores e realizaram novamente a multiplicação 5 X 7= 35.

Não houve estudante que utilizou o diagrama diretamente para resolver esse

problema. Atribuímos esse dado ao nível baixo de complexidade do problema e a

relação existente entre ele e os anteriores.


A fim de analisar os dados apresentados neste Encontro 2, retomamos

nossas questões de pesquisa. No Encontro 2, especificamente, tínhamos o objetivo

de levar os alunos a refletirem e interpretarem o diagrama de barras do Método-

Modelo de Cingapura, e, assim, investigar se essa representação pictórica colabora

com a visualização da estrutura do problema, a fim de dar sentido à relação

quantitativa envolvida nele.

Durante a resolução dos cinco problemas matemáticos, os estudantes se

interessaram por pensar e interpretar o diagrama, independente de o terem usado

para resolver o problema ou não.

Os dados coletados parecem evidenciar que o diagrama de barras

apresentado auxiliou os alunos a visualizarem a estrutura do problema, de forma a

estabelecer uma relação de quantidade. Como vimos, houve situação em que, para

124

o aluno explicar (convencer) seu entendimento sobre o problema, se apoiou no

diagrama. Também apresentamos um exemplo em que uma estudante realiza a

explicação do problema para outra que não o havia compreendido por meio do

diagrama.

Por isso, acreditamos que o diagrama do Método- Modelo colaborou para o

entendimento não só do cálculo numérico a ser efetuado, como também fez os

alunos discutirem a respeito do cálculo relacional dos problemas.

Neste sentido, queremos destacar que, diferentemente de Petrina (2012),

neste Encontro 2 não esperávamos que os alunos utilizassem o diagrama

autonomamente, e sim apresentamos o diagrama para que interpretassem e, se

possível, dessem continuidade ao mesmo. Em contraponto, também pudemos

observar que o uso desse diagrama gerou certas dificuldades para os alunos,

principalmente aquele que apresentava uma ruptura.

Com relação à percepção dos problemas similares anteriores para resolver

um determinado problema, acreditamos que a atitude de recorrer a processos

heurísticos desenvolvidos em outras circunstâncias para ajudar na resolução de

problemas atuais pode ser desenvolvida por meio da aplicação das fases de

resolução de problemas pelos alunos e pelo uso da ficha expostos nesta pesquisa.

De um encontro para outro percebemos que os alunos foram ficando mais atentos

aos próprios procedimentos de resolução.

Entendemos que o diagrama propiciou, em alguns casos, a compreensão dos

invariantes operatórios mobilizados pelos alunos, e mais, fez os alunos perceberem

outras maneiras de pensar a respeito de um mesmo problema. Os estudantes

recorreram pouco aos problemas anteriores para resolver um problema em questão,

mas não conseguimos, nesta pesquisa, compreender por quê.

5.7 Encontro 3

125

No Encontro 3, tivemos como objetivo específico analisar os procedimentos

que os alunos adotariam depois de trabalhar com a ficha e também com um

diagrama anteriormente desconhecido para resolver problemas multiplicativos. A

partir disso, também pretendíamos verificar os invariantes operatórios que

emergiriam com ou sem o uso desses recursos.

Problema 1

Este problema apresenta a ideia de proporcionalidade da multiplicação, que

nos parece difícil para os alunos nesse nível de escolaridade.


(Extraído das atividade do Projeto ”Children’s Understanding of Probability and Risk”, desenvolvido em parceria entre Universidade de Oxford e Universidade Bandeirante de São Paulo, com

autorização dos membros brasileiros)


Categoria Grupo

Algoritmos da adição e divisão Júnior (G1)

Algoritmo da adição e esquema Lúcio (G1)

Respostas incorretas por meio do campo aditivo Grupos G1,G2 e G3

Percebemos que este problema foi bastante difícil para a maioria dos alunos.

O Grupo G1 discutiu bastante a respeito desse problema. No trecho a seguir,

vemos como a aluna Maria explica para os demais suas hipóteses:

Ma: Eu estou pensando assim...tipo...a mulher Elástico, ela dá seis passos,

a outra dá dez, se ela dá doze, a outra dá vinte, e de doze para quinze faltam três...a gente tem que saber isso...e mais cinco.


Diana e a Sra. Elástico estão participando de uma corrida ao redor do mundo.

Diana precisa dar 10 passos para percorrer uma certa distância, a Sra. Elástico

precisa dar apenas 6 passos para percorrer a mesma distância. Se a Sra. Elástico der

15 passos, quantos passos Diana tem que dar para alcançá-la?

126

Na fala de Maria, verificamos que ela compreendeu a necessidade de

comparar as quantidades de passos, a cada 6 de Diana, 10 da Sra. Elástico. Em

seguida, ela aponta que, para 12 passos da Sra. Elástico, a Diana teria que dar 20,

pensando que ela “dobrou” a quantidade de passos. Maria ainda mostra que de 12

passos da Sra. Elástico faltam 3 para chegar a 15. No entanto, a aluna não explica a

que valor chegou para os passos de Diana. Nessa explicação da aluna ainda não

fica claro o que ela quis dizer com o “mais cinco”.

Apesar da explicação de Maria, o grupo parece ainda bastante confuso

acerca dessa conjectura. No diálogo a seguir, Gisele começa a acompanhar e

compreender o raciocínio de Maria:

Gi: Tipo, se quando a Diana dá dez passos, a Sra. Elástico dá seis, certo? Seis é equivalente a dez. Seis mais seis, doze, certo? Ma: Dez mais dez, vinte, pois são dez duas vezes. Gi: Tem que dobrar, porque seis mais seis dão doze, entendeu? Ma: De doze para quinze faltam três. O três seriam cinco passos. (Trecho de áudio do Grupo G1)

Nesta continuação do diálogo do Grupo 1, Maria diz que o 3 que falta dos 12

passos para chegar nos 15 da Sra. Elástico, são cinco passos que faltam para a

Diana. Mas, ainda não apresenta como chegou à compreensão disso, e tampouco

revela o total de passos de Diana. Entendemos que quando Maria se refere a “três

seriam cinco passos”, ela está indicando a proporcionalidade de passos entre Diana

e Sra. Elástico com base na ideia de metade, isto é, se a metade de seis é três, a

metade de dez é cinco.

Apesar de todas as discussões voltadas para a compreensão do Problema, o

Grupo G1, respondeu incorretamente, exceto Júnior e Lúcio. Nas estratégias

registradas nos protocolos, não aparecem estratégias similares com o que foi

discutido pelo grupo. Podemos verificar um exemplo de como os estudantes

resolveram esse problema na Figura 46.

127

Figura 46: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 1 do Encontro 3

Janice calculou a diferença de passos entre Sra. Elástico e Diana e obteve 4.

Em seguida, somou a quantidade de passos da Sra. Elástico a esse resultado,

obtendo 19 passos para Diana. Sendo assim, Janice tentou resolver o problema por

meio do campo aditivo. Todos os alunos que responderam incorretamente o

problema realizaram um procedimento semelhante ao de Janice. Atribuímos a esse

dado o fato de que essa categoria de problema, que envolve proporcionalidade, é

realmente bastante complexa para os alunos e indica que essa relação multiplicativa

precisa ser mais explorada ao longo da escolaridade.

No mesmo Grupo G1 de Janice, encontramos a estratégia de Júnior que

consegue apresentar ideias coerentes à resolução do problema nas Figuras 47 e 48,

respectivamente.


Júnior divide os seis passos da Sra. Elástico e os dez passos de Diana por 2.

Em seguida, vemos que ele dobra a quantidade de passos da Sra. Elástico e de

Diana, fazendo 6 + 6, obtendo 12 passos e 10 + 10, obtendo 20 passos

respectivamente. Para os 12 passos de Sra. Elástico, ele adiciona os 3 passos

restantes, e para o 20, ele adiciona os 5 passos restantes, fruto da divisão realizada

no início.

Em sua rubrica, o estudante Júnior já conseguiu realizar uma estimativa

quanto ao possível resultado do problema.

128


Outro aluno que conseguiu apresentar uma estratégia correta em relação ao

problema foi Lúcio. Vejamos nas Figuras 49 e 50, a estratégia e convencimento do

aluno.

Figura 49: Estratégia do aluno Lúcio do grupo G1 para o problema 1 do Encontro 3

Primeiramente, o aluno dobra a quantidade de passos da Sra. Elástico,

fazendo 6 + 6 = 12. Ele já marca ao lado que esse número 12 equivale a 20 passos

de Diana, utilizando o sinal de igualdade para mostrar essa relação. Em seguida,

adiciona 3 ao 12, obtendo 15, ao mesmo tempo que determina que 3 passos da

Sra. Elástico equivalem a 5 passos de Diana, e, portanto, aos 15 passos da Sra.

Elástico, Diana dará 25 para alcançá-la.

Queremos destacar que Lúcio utiliza o sinal de igualdade no esquema não

como igualdade de passos, mas como igualdade entre as distâncias percorridas com

tais quantidades de passos. Percebemos que o uso indevido do sinal de igualdade

se refere ao que Vergnaud (2009) chama de “regras de ação”, pois, para conseguir

expressar o modo como pensou o problema, o aluno utiliza um conhecimento que

não é adequado na matemática, mas que foi apropriado e eficiente para resolver

essa determinada situação.

Na etapa do convencimento, Lúcio aponta, a proporcionalidade de passos

entre Sra. Elástico e Diana: “Que se a Diana der 20 passos, a Sra. Elástico vai dar

129

12, então se a Sra. Elástico tiver 15, Diana vai dar 25, pois a metade de 6 é 3 e a de

10 é 5 (12 + 3 = 15; 12 = 20; 3 = 5; 20 + 5 = 25).

Figura 50: Ficha de Resolução de Problemas completa do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 1 do Encontro 3

Vergnaud (ibid.) aponta que a noção de proporção está no limite da

capacidade dos melhores alunos ao final da escola elementar9. Ele ainda afirma que

essa noção permite esclarecer completamente as relações presentes em uma

multiplicação e mostrar que qualquer uma delas coloca em jogo um cálculo

relacional que envolve quatro quantidades e vários tipos de operações.

9 “Escola elementar” no sistema de ensino francês corresponde, aproximadamente, às cinco séries

iniciais do ensino fundamental brasileiro.

130

Com base no objetivo deste problema, verificamos que os estudantes

realmente apresentaram dificuldades para lidar com essa categoria, embora tenham

realizado discussões pertinentes.

Na tentativa de responder ao problema dos alunos, vimos o uso frequente de

diagramas, no entanto, os dois alunos que responderam corretamente, não

apresentaram esse tipo de esquema.

Todos os estudantes continuaram usando a ficha de resolução de problemas,

mesmo sabendo que poderiam utilizá-la ou não neste terceiro encontro. Também

observamos que os alunos mantiveram a aplicação das etapas de resolução de

problemas baseadas em Mason, Burton e Stacey (1982) e proposta por nós.

Problema 2

Com este problema, objetivamos apresentar novas ferramentas heurísticas

para os estudantes interpretarem, validando o uso de esquemas durante a resolução

de problemas. Também escolhemos esse problema por trazer uma situação

envolvendo as unidades de medida quilômetro e centímetro.

2) A tartaruga Mirtes e o coelho Afonso estão se preparando para uma corrida. O percurso é

de 15 quilômetros e deve ser feito em, no máximo, 5 dias.

- Vou andar 1 Km no 1º dia. A cada dia que passar andarei o dobro do dia anterior e

descansarei até o dia seguinte. (Plano da Mirtes)

- Dividirei o percurso em 5 etapas iguais, uma por dia. (Plano do Afonso)

Observe o desenho feito por uma aluna de 5º ano para representar o plano de corrida da

tartaruga.

131



Categoria Grupo

Apresentou o esquema e efetuou o algoritmo da

divisão

Kléber, Maria (G1);

Gabriele, Gisele (G2);

Isabel, Kátia (G3)

Apresentou um esquema Júnior (G1); Solange,

Tatiane, Pablo (G3);

Resolveu o problema, mas não apresentou o

esquema proposto

Lúcio (G1); Janice, Fátima

(G2); Vinícius (G3)

Neste problema, além de responder a questão proposta no enunciado, os

alunos deveriam elaborar um esquema de resolução para o plano do coelho Afonso.

Ao ler o problema, de imediato os estudantes, levantaram uma conjectura

semelhante a da aluna Janice:

Figura 51: Rubrica da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3

Assim como Janice, os demais estudantes não tiveram dúvidas quanto ao

cálculo a ser efetuado.

No exemplo da Figura 52, temos o esquema apresentado pela estudante

Solange, no qual, com o uso da régua, ela divide o percurso total de 15 Km

igualmente, usando o centímetro como unidade de medida, e já vai somando a

quantidade de quilômetros percorridos a cada dia.

132

Figura 52: Estratégia da aluna Solange do Grupo G3 para o Problema 2 do Encontro 3

Para apresentar o seu esquema, Solange precisou mobilizar diferentes

invariantes operatórios, tais como: uso adequado da régua, compondo um segmento

de reta de 15 centímetros, representar a unidade de medida quilômetro por meio da

unidade de medida centímetro, efetuar o procedimento de dividir os 15 Km em

partes iguais de 3 Km e ainda somar gradativamente a quantidade de quilômetros a

cada dia de corrida.

Podemos também dizer que Solange apresentou uma estratégia própria se

apoiando na estratégia do problema, pois se compararmos seu esquema com o do

enunciado do problema, veremos que a aluna trouxe elementos diferentes do

modelo proposto.

Assim como vimos na rubrica de Janice, o Grupo G2 também já havia definido

que teriam que dividir 15 por 5 para resolver o problema, no entanto, Gisele mostrou

dificuldade para representar isso por meio do esquema solicitado.

Gi: Rapidinho...como é que eu vou dividir isso? [...] Meu Deus...como é que

eu vou fazer isso? (Trecho de áudio do Grupo G2)

Nessa situação, percebemos que, por mais que Gisele já saiba como resolver

o problema, sente dificuldade em representar graficamente o esquema indicado. A

elaboração de invariantes é instrumento decisivo na construção da representação:

“são os invariantes que asseguram à representação sua eficácia, permitindo-lhe

preencher sua dupla função: de refletir a realidade; de prestar-se a um cálculo

relacional” (VERGNAUD, 2009, p. 308). Podemos dizer, então, que, para que Gisele

possa representar a resolução do problema graficamente, ela precisa recorrer aos

invariantes operatórios de que dispõe a fim de desenvolver um cálculo relacional e

refletir sobre isso. Além disso, podemos inferir que é possível apresentarmos mais

dificuldades para mobilizar alguns tipos de invariantes operatórios do que outros.

Vemos na Figura 53, que Gisele consegue resolver seu impasse. Ela

distribuiu 15 pequenos pontos, de acordo com o total de quilômetros a serem

percorridos, em seguida, os agrupou de três em três quilômetros, com base na

133

quantidade de quilômetros a serem percorridos por dia. Ela ainda reconhece que a

unidade de medida utilizada no desenho é centímetro, que representa quilômetros.

Figura 53: Estratégia da aluna Gisele do Grupo G2 para o Problema 2 do Encontro 3

Para Gisele, a dificuldade estava em representar graficamente a parte

correspondente ao traçado da reta de 15 centímetros, e na divisão desta em partes

iguais. No próximo exemplo, vemos que Fátima apresentou ainda mais dificuldades

no momento de compor o esquema.

Na Figura 54, verificamos que Fátima começou a desenhar a partir do final do

primeiro dia, dando a impressão de que são quatro dias. A estudante também

utilizou a unidade de medida quilograma, ao invés de quilômetro, e o segmento de

reta que desenha não apresenta 15 centímetros. No entanto, Fátima garante na

representação dela a divisão em partes iguais considerando três em cada uma.


No trecho a seguir, podemos ver como o Grupo G1 foi comparando os

percursos de Mirtes e Afonso.

Lu: Posso explicar o que o Pedro está tentando? Então, o Pedro está

dizendo que o Afonso, cada dia ele vai percorrer três, então... a tartaruga vai percorrer um quilômetro. Ele vai percorrer três, ele vai estar na frente. Aí ele vai percorrer mais três quilômetros, vai ser seis, ela vai percorrer três.

134

Só que daí ela vai percorrer quatro quilômetros e ele vai percorrer três e vai ficar empatado. Ela vai percorrer oito e ele vai percorrer mais três. Então ela vai ganhar... a tartaruga Mirtes, entenderam?


Os esquemas dos percursos de Mirtes e Afonso permitiram que Lúcio

pudesse comparar até que momento da corrida Afonso esteve na frente ou

empatado com Mirtes, isto é, observar até que ponto determinada estratégia de

corrida foi eficaz. Essa análise de Lúcio pode ser entendida como uma relação

multiplicativa percebida por ele, e, de acordo com Vergnaud (ibid., p.32), “as

relações são, às vezes, simples constatações que podemos fazer sobre a realidade.”

Para que Lúcio pudesse constatar as relações existentes entre o esquema de Mirtes

e Afonso, ele teve que desenvolver uma atividade material e intelectual dentro de

suas possibilidades, e que se refere ao cálculo relacional.

Para explicitar ainda mais a heurística dos estudantes a respeito desse

problema, encontramos, na etapa do convencimento de Júnior, uma análise de que

o coelho Afonso perdeu a corrida, apesar de sua vantagem inicial.

Figura 55: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 2 do Encontro 3

O problema foi bastante interessante, pois, para os alunos cuja leitura do

enunciado e a análise do esquema da tartaruga Mirtes foi eficaz, foi tranquilo

perceber rapidamente que o coelho Afonso levaria um dia a mais para concluir a

corrida, portanto Mirtes seria a vencedora. Na verdade, quando Júnior escreve sobre

a vantagem do coelho no início da corrida, isso mostra, mais uma vez, a vantagem

do uso de representações como esquemas.

Assim como na pesquisa de Justo (2009), também o uso de representações

foi vantajoso para esses estudantes, principalmente para que pensem mais a fundo

sobre o problema. Com o Problema 2, pudemos discutir sobre os diferentes

135

invariantes operatórios que são mobilizados para resolver um único problema, isto é,

uma única situação. Vimos também que alguns invariantes operatórios são mais

difíceis de serem apresentados pelos estudantes.

Alguns alunos desenvolveram estratégias próprias de elaboração do

esquema, no entanto, o fizeram com base no modelo de esquema proposto no

enunciado do problema. Assim como no trabalho de Pydah (2012), entendemos que

o uso de representações, como o esquema proposto neste problema, permitiu que

os alunos realizassem comparações, identificassem relações e mobilizassem mais

invariantes operatórios.

Problema 3

Esse problema se enquadra na categoria de Produto de Medidas e ilustra o

fato de que existe uma forma de divisão específica a essa forma de relação

multiplicativa. Os estudantes costumam variar suas estratégias de resolução, já que

esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias possibilidades de uma dada

situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação à situações combinatórias.



Categoria Grupo

Algoritmos da adição, subtração e divisão Kátia (G3) e Lúcio (G1)

Algoritmos da multiplicação e divisão Júnior (G1) e Pablo (G3)

Estratégias incompletas G1, G2, G3

Um ladrão de banco tem que fugir da polícia e chegar à fronteira do México.

Por este motivo, ele tem que planejar quantos litros de gasolina ele tem que ter no

seu carro. Seu carro utiliza 12 litros de gasolina para percorrer 54 km. Quantos litros

ele tem que abastecer para percorrer 72 km?

136

Esse problema foi de grande complexidade para os alunos, o que podemos

ver pela grande quantidade de alunos que apresentaram respostas incorretas para o

problema.

Na Figura 56, vemos a estratégia de Kátia.

Figura 56: Estratégia da aluna Kátia do grupo G3 para o Problema 3 do Encontro 3

Entendemos que a estudante efetuou a subtração 72 – 54, a fim de descobrir

quantos quilômetros estavam faltando para serem percorridos. A resposta foi 18.

Vimos que ela efetuou 54 dividido por 6, cuja resposta foi 9, o que ela mostra que é

igual a dois. Entendemos que o 54 foi dividido por 6, e não por 12, para não ter que

lidar com um cálculo envolvendo números decimais. Quando ela coloca que 9 é

igual a 2, acreditamos que ela quis mostrar que é o mesmo que dividir esse 9 por 2,

cuja resposta seria 4,5 litros. Ela optou por esse cálculo, ao invés de efetuar 54 por

12, no qual ela deveria lidar com números decimais. Inferimos que, para essa aluna,

o cálculo com decimais poderia ter trazido dificuldades, então ela preferiu dividir o 54

pela metade do 12, isto é, 6. Ela então mostra que os 18 km se referem aos 4 litros.

Por último, ela soma os 12 litros aos 4 litros referentes aos 18 km que estavam

faltando, obtendo a resposta 16 litros.

Na Figura 57, temos a estratégia de Júnior.

137

Figura 57: Estratégia do aluno Júnior do grupo G1 para o Problema 3 do Encontro 3

Entendemos que o aluno Júnior dividiu o número 12 por 2, obtendo a sua

metade, isto é 6. Ele divide o 54 por 6, obtendo o número 9, também optando por

não dividir por 12, talvez porque resultaria em cálculo com números decimais.

Acreditamos que ele mostra que entendeu que são 18 km, pois ele calcula 54

dividido por 6, isto é, a metade de 12 litros, obtendo a resposta 9, que, se “dobrada”

representa os 18 Km que estão faltando. Para 9 km são 2,25 litros necessários, e

como são 18 km, logo serão 4,5 litros necessários. Ao invés de dividir os 72

quilômetros por 4,5 litros, o que também resultaria em um cálculo com números

decimais, Júnior efetua a multiplicação 9 X 8, cujo resultado é 72, apontando que

são necessários 16 litros de gasolina.

Por meio das duas estratégias apresentadas nos parece que ambos os

estudantes encontraram meios de obter a informação que necessitavam sem lidar

diretamente com números em notação decimal. Nesse caso, entendemos que eles

apresentaram domínio do cálculo relacional e o solucionaram da maneira que

conheciam.

Problema 4

De acordo com a minha experiência em sala de aula, entendemos que esse

problema é um dos prediletos dos alunos. Eles costumam variar suas estratégias de

resolução, já que esse tipo de problema multiplicativo apresenta várias

possibilidades de uma dada situação. Nosso objetivo é associar a multiplicação às

situações combinatórias.


Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes

diferentes. Ela tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?

138


Categoria Grupo

Algoritmo da multiplicação e desenho Júnior (G1)

Algoritmo da multiplicação Pablo (G3)

Algoritmo da multiplicação com tabela Gabriele (G2)

Algoritmo da multiplicação com tentativa anterior Kléber (G1)

Algoritmo da divisão e multiplicação Tatiane e Kátia (G3)

Desenho Lúcio (G1)

Tabela, algoritmo da multiplicação e tentativa

anterior

Maria (G1); Fátima, Gisele,

Janice (G2); Solange e

Isabel (G3)

Por meio dessa categorização, podemos perceber que todos os estudantes

efetuaram uma multiplicação para resolver o problema. Vergnaud (2009) aponta

que, para encontrar o número de cachecóis, é necessário dividir o número de trajes

possíveis pelo número de pulôveres, isto é, 15 dividido por 3. Sendo assim, 15 trajes

são iguais a 3 pulôveres vezes a quantidade de cachecóis, que é a incógnita do

problema.

Observando a Figura 58, da estudante Kátia, identificamos que ela efetuou o

algoritmo da divisão para resolver o problema, restando à multiplicação o papel de

validação do cálculo anterior.


Se pegarmos novamente a definição de classes de situações de Vergnaud

(ibid.), veremos que existem dois tipos de classes de situações. O primeiro se refere

a uma dada situação em que o aluno consegue resolver um determinado problema

139

utilizando somente os próprios conhecimentos prévios. Podemos dizer que o

esquema de Kátia se encontra nessa primeira classe, pois, a aluna dispunha em seu

repertório de competências necessárias ao tratamento imediato da situação.

Na Figura 59, o aluno Júnior explora a ideia da divisão por meio de um

desenho, no qual, para cada pulôver, ele distribui cinco cachecóis. Acreditamos que,

a partir do desenho, ele registra o algoritmo da multiplicação.


Júnior precisou mobilizar procedimentos heurísticos de reflexão e exploração

para descobrir a resposta do problema.

Lúcio descobre a solução do problema utilizando somente o desenho

mostrado na Figura 60.

Figura 60: Estratégia do aluno Lúcio do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3

Constatamos que dada uma situação sobre a qual Lúcio não dispunha de

conhecimentos prévios suficientes para resolver, ele teve que recorrer a uma

representação em forma de desenho. O aluno explica que cada “círculo”

corresponde a um pulôver e cada “retângulo” corresponde a um cachecol.

140

Se recorrermos às classes de situações de Vergnaud (ibid.), veremos que o

exemplo de Lúcio se enquadra na segunda classe. Esta se refere a quando o

estudante não dispõe de todas as competências necessárias para resolver o

problema, isto é, ele vai precisar refletir, explorar e realizar tentativas. Vemos no

esquema produzido por Lúcio que ele foi “desequilibrado”, e, por isso, recorreu à

representação gráfica como forma de resolver o problema.

Como mostramos na Tabela 15, seis estudantes apresentaram a estratégia

de fazer uma tabela, efetuar o algoritmo da multiplicação e apresentar uma tentativa

anterior de resolução para o problema. Podemos verificar na Figura 61, no canto

esquerdo superior, qual foi a conjectura não confirmada realizada por um desses

alunos. Foram efetuados os cálculos de subtração e multiplicação.

Figura 61: Estratégia da aluna Janice do Grupo G2 para o Problema 4 do Encontro 3

Na primeira tentativa de solucionar o problema, a aluna efetua a subtração 15

– 3, cujo resultado é 12. Entendemos que dos 15 trajes possíveis, a estudante

retirou a quantidade de pulôveres, a fim de descobrir a quantidade de cachecóis. Na

estratégia de Janice, vemos ainda o algoritmo da multiplicação, seguido de uma

tabela, na qual a aluna coloca cinco cores diferentes para os cachecóis e três cores

distintas para os pulôveres, a fim de distribui-los nas possíveis composições de

trajes.

Para Mason, Burton e Stacey (1982), toda conjectura, uma vez estabelecida,

precisa ser investigada para ver se a mesma deve ser modificada ou se pode ser

convincentemente justificada. No exemplo de Janice vemos que ela levantou uma

conjectura e a colocou em prática a fim de obter sucesso na resolução do problema,

porém isso não aconteceu, pois no momento em que a estudante aplicou sua

141

conjectura, ela percebeu que esta não respondia o problema em questão. Assim,

surgiu outra conjectura.

Fátima também se enquadra na mesma categoria de Janice, no entanto,

gostaríamos de destacar a maneira como a estudante organizou o problema. A

aluna colocou a sigla “P” para pulôver e “C” para cachecol. Em seguida, para cada

“P”, ela distribuiu cinco letras “C”.


Nesta Figura 62, podemos ver que Fátima precisou dos conhecimentos sobre

como organizar uma tabela, utilização de siglas e perceber que o problema já trazia

a quantidade de trajes e por isso, era uma ideia inversa.

No exemplo da Figura 63, vemos o convencimento do aluno Júnior.

Figura 63: Convencimento do aluno Júnior do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3

Podemos inferir que, como o cálculo numérico a ser efetuado era bastante

simples para as crianças dessa faixa etária, foi possível partir da ideia de uma

multiplicação, pois a incógnita representa um número “baixo”, isto é, 3. Inferimos

também, que, talvez, se os números propostos no problema fossem mais “altos”, os

alunos tivessem que recorrer à divisão.

142

Na Figura 64, de Maria, observamos que ela diz que o problema é de

possibilidades. No primeiro encontro, já discutimos quanto ao conhecimento que os

estudantes possuem acerca dessa categoria de problemas multiplicativos. No

entanto, o que nos chamou a atenção foi o fato ela dizer que tem que saber quantas

possibilidades há de se vestir diferente.

Figura 64: Rubrica da aluna Maria do Grupo G1 para o Problema 4 do Encontro 3

Na Figura 62 de Fátima, vemos que a aluna conjecturou subtrair três

pulôveres dos quinze trajes. Esta hipótese está “circulada” na imagem. Na Figura 64,

verificamos na rubrica de Maria que ela não conseguiu perceber que não se tratava

de descobrir a quantidade de possibilidades e sim a quantidade de cachecóis.

Ambas as alunas não perceberam que o problema trazia uma ideia inversa do

Problema 2 do Encontro 1, isto é, a posição da incógnita do problema gerou

desequilíbrio nessas estudantes.

Entendemos que a estudante possa ter ficado presa a um conhecimento

prévio, de certa forma, impeditivo à resolução do problema. Podemos inferir que o

trabalho com essa categoria de problemas que envolve a relação de diferentes

possibilidades precisa trazer situações diferenciadas, nas quais a posição da

incógnita varie.

Também podemos inferir que a falta de compreensão do enunciado

influenciou a conjectura não confirmada da aluna. De acordo com Vergnaud (2009),

a ordem pela qual as informações são organizadas pode incidir no grau de

complexidade do problema. Neste caso, quando invertemos a incógnita do

problema, passando da quantidade de possibilidades de trajes para a quantidade de

cachecóis, geramos desconforto para muitos estudantes. Podemos ver mais um

exemplo de como isso afetou os alunos no diálogo a seguir:

143

Ta: Eu acho que essa parte está confusa. [...] Ana pode ter quinze trajes

diferentes. Pa: Quinze tipos de troca de roupa. Ta: Mas, sem o pulôver? Pa: Não, com o pulôver. Ta: Ah. E com o cachecol também? Pa: Sim. Todos juntos. Ta: Ah, tá. Agora entendi melhor.


O Grupo G1 efetuou a subtração, conforme vimos na Figura 64, mas Kléber

buscou uma maneira de explicitar suas ideias para os demais colegas.

Kle: São quinze trajes, são 15 possibilidades de roupas usando os três pulôveres. Mas a gente tem que ver quantas vezes esse três vai dar o quinze. Entendeu? Porque dai a gente vai descobrir a quantidade dos cachecóis. Gi: Entendi. Você está falando que a gente tem que fazer 3 vezes alguma coisa para chegar no quinze. [...] Kle: Porque aqui não é a quantidade de roupas que ela tem e sim a

quantidade de trajes. Gi: Então, ela tem cinco cachecóis? Kle: Eu acho que é, agora é só a gente fazer aqui olha: pulôver, pulôver, pulôver, cachecol, cachecol, cachecol...cinco, dez, quinze. Quinze! [...] Kle: Eu disse que era um problema de possibilidades.


Desde o primeiro momento do diálogo entre os alunos, vemos que eles fazem

menção a multiplicar 3 vezes “alguma coisa”, a fim de obter o 15. Na fala de Pablo e

sua respectiva rubrica na Figura 65, vemos que a maneira como ele pensou foi

inversa a dos demais estudantes de todos os grupos:

Pa: Tipo, em um cachecol, você pode usar três pulôveres. Eu acho que são cinco cachecóis que ela tem.


Na fala de Pablo, percebemos que ele parte dos cinco cachecóis para

distribuir três pulôveres para cada um. Diferentemente do que vimos nas Figuras 61,

62, 63 e 64 anteriores, nas quais os estudantes partiram dos três pulôveres para

distribuir os cachecóis. Entendemos que isso aconteceu, em virtude de Pablo já ter

determinado, desde a leitura do problema, a quantidade de cachecóis, conforme

podemos ver em sua rubrica:

144

Figura 65: Rubrica do aluno Pablo do Grupo G3 para o Problema 4 do Encontro 3

Com a escolha deste Problema 4, pudemos elencar alguns exemplos para

discussão. De acordo com a categoria Produto de Medidas, vimos que o problema

está na classe da divisão, embora a maioria das resoluções apresentadas tenha sido

efetuada por meio de uma multiplicação.

Discutimos a respeito das classes de situações de Vergnaud (1996b)

apresentando com o exemplo de Kátia a primeira classe, na qual o estudante

consegue resolver o problema prontamente, somente com seus conhecimentos

prévios. E também o exemplo de Lúcio, relativo à segunda classe, no qual ele não

dispunha de conhecimentos prévios suficientes para resolver o problema, então

precisou recorrer à exploração e reflexão por meio de um desenho.

Destacamos, assim, que o uso de representações diferenciadas precisam ser

cada vez mais validadas e discutidas em sala de aula, em prol do desenvolvimento

de habilidades heurísticas. Também vale ressaltar que representações não precisam

ser precisas, mas devem ser explicadas pelos alunos.

Vimos que, para cada estratégia apresentada, diferentes invariantes

operatórios foram mobilizados. Verificamos o importante papel do levantamento de

conjecturas, e sua consecutiva revisão, e, nesse quesito, entendemos que a ficha de

resolução contribuiu muito.

Evidenciamos a heurística do aluno Pablo que apresentou um raciocínio

diferente de todos os demais. Ele partiu dos 5 cachecóis para distribuir entre os três

pulôveres. Justificamos este pensamento com base na estimativa feita pelo aluno

logo ao ler o problema. Salientamos, sobretudo, a riqueza de estratégias e

procedimentos heurísticos produzidos pelos estudantes, demonstrando que é

possível pensar sobre o próprio pensamento.

Problema 5

Esse problema foi escolhido para verificarmos a relação que os estudantes

poderão ou não estabelecer entre o problema número 5 do Encontro 1. Verificamos

145

também se a palavra-chave “cinco vezes mais” poderia influenciar na resolução

correta do problema.



Categoria Grupo

Algoritmo da divisão Grupo G1

Grupo G2

Grupo G3

Algoritmo da divisão transformando Kg para

gramas

Isabel (G3) e Gabriele (G2)

Cálculo mental Kléber (G1)

Com a observação da Tabela 16, verificamos que não houve nenhum aluno

que errou o problema. A rubrica a seguir apresenta a facilidade do problema para a

maioria dos alunos.


Em contrapartida, o aluno Júnior, inicialmente, pensou em efetuar uma

multiplicação e a aluna Tatiane levantou a hipótese de efetuar um cálculo de adição

ou subtração, como vemos nas Figuras 67 e 68, respectivamente.

5) É necessário cinco vezes mais açúcar para fazer um bolo de casamento do

que um bolo de aniversário. São necessários 5 quilos de açúcar para fazer um bolo de

casamento. Quanto de açúcar é necessário para fazer um bolo de aniversário?

146


Figura 68: Rubrica da aluna Tatiane do grupo G3 para o Problema 5 do Encontro 3

O enunciado do problema apresenta as palavras-chave “vezes” e “mais”.

Podemos inferir que o uso destas palavras pode ter influenciado os estudantes a

conjecturarem as possibilidades de resolução expostas acima.

Apesar desse problema ser similar ao Problema 5 do Encontro 1, vimos, nas

rubricas desses dois estudantes, a dificuldade que o tipo de categoria “Caso de um

único espaço de medidas” pode promover. A categoria do problema foi mantida,

apenas os valores numéricos e a situação em que o problema estava inserido foram

alterados. Essa correlação foi percebida por alguns estudantes, como no caso de

Kátia:

Ka: Eu pensei já o problema anterior, que a gente tinha feito com o outro grupo, ai eu pensei em fazer a mesma coisa.


No trecho de áudio da aluna Kátia, podemos verificar que a estudante se

referiu ao fato do Problema 5 do Encontro 1 ser parecido com o problema em

questão. Essa percepção aconteceu na etapa de revisão do problema, isto é, no

registro do convencimento.

147

De acordo com Mason, Burton e Stacey (1982), é na fase da revisão que

podemos verificar o que foi feito e se estruturar a partir das três seguintes atividades:

checar a resolução, refletir sobre as ideias e momentos principais, e estender para

um contexto maior, recorrendo, se possível, às rubricas. Quando Kátia diz que “vai

fazer a mesma coisa”, ela está provavelmente estendendo o aprendizado que ela

teve anteriormente para uma nova situação.

O mesmo aconteceu com Júnior, que, após registrar sua rubrica, solicitou o

saquinho no qual havia guardado os problemas de todos os encontros. Após

verificá-lo, retirou o Problema 5, do Encontro 1. A pesquisadora então questionou o

estudante:

Pesquisadora: Júnior, serviu consultar esse problema anterior? Júnior: Sim. Pesquisadora: Por quê? Júnior: É porque aqui eu lembro que aqui são necessários três vezes mais...eu não consigo pensar muito bem nisso. Só que nesse dia eu consegui pensar, mas aqui eu não consegui, então eu consultei esse e dai eu lembrei o que eu tinha feito para resolver. É quase a mesma coisa.


Após consultar o problema anterior, Júnior conseguiu desenvolver a

estratégia corretamente, mas sua fala mostra que a situação proposta no problema

“três vezes mais” é bastante desconfortável para ele.

O valor numérico escolhido para esse problema foi “baixo”, por isso, uma

simples divisão já resolvia o problema, e foi isto que a maioria dos alunos efetuou.

Na Figura 69, o aluno Kléber mostra, por meio do algoritmo da divisão, o

procedimento que realizou, e que na verdade foi mental.

Figura 69: Estratégia do aluno Kléber do grupo G1 para o Problema 5 do Encontro 3

148

Para efetuar a divisão correspondente à resolução do Problema 5, as

estudantes Isabel e Gabriele transformaram a unidade de medida quilo para grama,

isto é, para 5 quilos, ficaram 5000 gramas, que foram divididas por 5 e resultaram

em 1000 gramas. Podemos ver essa estratégia na Figura 70.

Figura 70: Estratégia da aluna Gabriele do grupo G2 para o Problema 5 do Encontro 3

Destacamos, nessa estratégia, que as estudantes mobilizaram não só os

invariantes operatórios sobre como dividir a quantidade de açúcar entre os bolos,

como também sobre a transformação da unidade de medida de massa, de quilo para

gramas.

Como vimos, esse Problema 5 não gerou dificuldade para a maioria dos

alunos. No primeiro encontro, apresentamos um problema similar a esse, que foi

bastante complexo para os estudantes. Salientamos que a diferença entre esses

dois problemas foi apenas a situação que cada um trazia. O valor numérico foi

alterado, porém não para números mais “altos”.

Vimos que a relação entre os problemas foi percebida por alguns alunos e

serviu como uma maneira de refletirem sobre o próprio pensamento. No exemplo de

Kátia, percebemos que ela conseguiu estender o aprendizado que teve sobre essa

categoria de problema multiplicativo, no Encontro 1, para esse novo problema, do

Encontro 3. Esse movimento é parte da fase de revisão do problema apontada por

Mason, Burton e Stacey (ibid.). Já no exemplo de Júnior, o aluno conseguiu

perceber que é a expressão “três vezes mais” que o deixava com dúvidas.

Destacamos a influência que algumas palavras podem ter sobre o problema,

dando a conotação de que uma certa operação precisa ser realizada para resolvê-lo.

149

Entendemos que essas palavras não podem ser determinantes para a resolução do

problema.

Também verificamos que Isabel e Gabriele não só mobilizaram os invariantes

operatórios a respeito de dividir a quantidade de açúcar, mas apresentaram

conhecimentos sobre a unidade de medida de massa.


Verificamos que os estudantes, de modo geral, continuaram utilizando a ficha

de resolução de problemas no Encontro 3, mesmo sabendo que poderiam utilizá-la

ou não neste Encontro 3. Também observamos que os alunos mantiveram a

aplicação das etapas de resolução de problemas baseadas em Mason, Burton e

Stacey (ibid.) e proposta por nós.

Com relação ao diagrama de barras, não foi utilizado por nenhum dos alunos,

embora, no Problema 1, estudantes de todos os grupos tenham apresentado

esquemas de resolução nos quais tentaram esboçar uma ideia semelhante ao

diagrama.

Percebemos que os Problemas selecionados para este encontro envolveram

situações mais complexas para os alunos, em especial os Problemas 1 e 3, que

apresentam uma relação quaternária, e coloca em jogo diferentes relações

multiplicativas e vários tipos de operações.

Conseguimos identificar a mobilização de “regras de ação” pelo aluno Lúcio e

verificar como elas podem ser úteis e eficazes em determinado momento.

Com o Problema 2, pudemos discutir sobre os diferentes invariantes

operatórios que são mobilizados para resolver um único problema, isto é, uma única

situação. Vimos também que alguns invariantes operatórios podem ser mais difíceis

de serem apresentados pelos estudantes. Alguns alunos desenvolveram estratégias

próprias de elaboração do esquema, no entanto, o fizeram com base no modelo de

150

esquema proposto no enunciado do problema. O trabalho de Petrina (2012) também

faz uso dessa representação esquemática e reforça a ideia de que esse processo

heurístico pode auxiliar os estudantes na organização das informações relevantes

do problema e fazê-los compreender melhor a respeito do cálculo relacional.

Assim como no trabalho de Petrina (ibid.), entendemos que o uso de

representações, como o esquema proposto neste problema, favoreceu que os

alunos realizassem comparações, identificassem relações e mobilizassem mais

invariantes operatórios.

Discutimos a respeito das classes de situações de Vergnaud (1996b)

apresentando com o exemplo de Kátia, a primeira classe, na qual o estudante

consegue resolver o problema prontamente, somente com seus conhecimentos

prévios, e também o exemplo de Lúcio, relativo à segunda classe, na qual o

estudante não dispõe de conhecimentos prévios suficientes para resolver o

problema, então precisa recorrer a exploração e reflexão por meio de um desenho.

Destacamos, assim, que o uso de representações diferenciadas precisa ser

cada vez mais validado e discutido em sala de aula, em prol do desenvolvimento de

habilidades heurísticas. Também vale ressaltar novamente que representações não

precisam ser precisas, mas devem ser explicadas pelos alunos.

Para cada estratégia apresentada, diferentes invariantes operatórios foram

mobilizados. Verificamos o importante papel do levantamento de conjecturas e sua

consecutiva revisão, e, nesse quesito, entendemos que a ficha de resolução

contribuiu muito.

151

CONCLUSÃO

Nesta pesquisa, tivemos por objetivo investigar se a utilização de uma

metodologia de resolução de problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre

o processo de resolver um problema pode colaborar para a percepção dos

processos heurísticos. Para alcançar este objetivo, buscamos na literatura o que

vinha sendo estudado a respeito da resolução de problemas relacionado ao

desenvolvimento de processos heurísticos. Durante essa revisão, encontramos, nos

estudos de Mason, Burton e Stacey (1982), subsídios para delimitar a metodologia

de resolução de problemas empregada nesta pesquisa, por meio da ficha utilizada

pelos estudantes. Ainda destacamos um tipo de diagrama de barras que foi

oferecido aos alunos como uma diferente categoria de representação. Também

verificamos que a Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 2009) era

pertinente para a análise que pretendíamos desenvolver nesta pesquisa.

Participaram de nossa pesquisa 19 alunos de uma turma de 5º ano do Ensino

Fundamental de um colégio particular da cidade de São Paulo. A coleta de dados

aconteceu por meio de três encontros, com duração de uma hora e meia cada, nos

quais os estudantes resolveram em grupos cinco problemas multiplicativos,

totalizando 15 problemas apresentados nesse trabalho.

As questões de pesquisa levantadas foram: “Qual a influência da ficha

elaborada para a resolução de problemas e para a percepção dos processos

heurísticos envolvidos nessa resolução?”; “O diagrama de barras utilizado auxiliou

na compreensão e na resolução do problema?” e “Foi possível aos alunos tomarem

consciência dos processos heurísticos usados a partir da utilização da ficha?”. Estas

questões estão diretamente relacionadas aos objetivos específicos de cada encontro

aplicado.

152

Discutindo as Questões de Pesquisa

Ao analisarmos os dados coletados, obtivemos alguns resultados empíricos

que consideramos de grande relevância e que mostram os processos heurísticos

dos alunos ao resolver problemas matemáticos multiplicativos.

1. Qual a influência da ficha elaborada para a resolução de problemas e

para a percepção dos processos heurísticos envolvidos nessa

resolução?

Apresentamos, para o Encontro 1, o objetivo específico de analisar se a ficha de

resolução de problemas, elaborada para esta pesquisa, trouxe contribuições para

que pudéssemos perceber os processos heurísticos utilizados para resolver os

problemas. É importante ressaltar que a concepção dessa ficha é compatível com a

visão de Problema proposta por Vergnaud (2009), e mencionada nessa pesquisa.

Diante disso, queremos evidenciar que os alunos continuaram usando a ficha de

resolução de problemas no Encontro 3, apesar de poderem escolher se

continuariam utilizando ou não esse recurso. Acreditamos que este fato nos aponta

que os estudantes valorizaram o uso da ficha e da proposta de Metodologia de

Resolução de Problemas por nós empregada.

Nesta pesquisa, a ficha de resolução de problemas envolvia algumas etapas.

Com relação à primeira etapa, chamada de rubrica, verificamos que ela pode

apresentar elementos que a estratégia de resolução de cada problema empregada

por esses estudantes não mostrou. Isso é importante, pois assim conseguimos

reconstruir os conhecimentos dos alunos, que muitas vezes ficam implícitos na ação.

Esses conhecimentos que, antes da ficha talvez pudessem ficar implícitos na ação

dos sujeitos, podem colaborar para o entendimento, por parte dos alunos, e também

do professor, a respeito das facilidades e dificuldades que os estudantes têm em

resolver determinado problema multiplicativo, porque o uso da ficha permite refletir

sobre as conjecturas levantadas, as hipóteses não confirmadas e as validadas pelos

alunos.

153

O campo disponível para as estratégias deu margem para que os estudantes

pudessem resolver o problema à maneira deles. Percebemos que o uso dos

algoritmos convencionais foi amplamente utilizado pelos alunos, e, em alguns

momentos, ele apareceu para validar as respostas obtidas via representação gráfica,

ou vice-versa.

A etapa de redigir a resposta ao problema permitiu que o aluno relesse o

enunciado, e, consequentemente, revisse o problema. Verificamos que o registro da

etapa do convencimento foi o mais difícil para os alunos, tendo em vista que

envolvia diretamente o ato de pensar sobre o próprio pensamento. Os próprios

alunos relataram a dificuldade de transpor para o registro escrito aquilo que foi

discutido oralmente. Entendemos que essa etapa exige muito do estudante, mas foi

determinante para que eles refletissem a respeito do problema mais profundamente.

Acreditamos que o uso da ficha contemplou amplamente o objetivo de nossa

pesquisa, pois, por meio dela, conseguimos fazer com que os alunos percebessem

os próprios processos heurísticos, de uma maneira prazerosa e refletida em grupo.

Vale salientar que o trabalho realizado em grupos foi de grande importância para a

obtenção dos resultados dessa pesquisa. A discussão, reflexão e cooperação dos

alunos entre si foi fator fundamental para que eles pudessem compreender os

problemas, chegar a conclusões acertadas e refletir sobre os próprios pensamentos,

de forma a compreender maneiras de se resolver problemas.

2. O diagrama de barras utilizado auxiliou na compreensão e na resolução

do problema?

No Encontro 2, tínhamos como objetivo especifico levar os alunos a refletirem

e interpretarem o diagrama de barras do Método- Modelo, e, assim, investigar se

essa representação pictórica colaboraria com a visualização da estrutura do

problema, a fim de dar sentido à relação quantitativa envolvida nele.

Ressaltamos que os alunos mostraram interesse para entender o diagrama,

mesmo que nem todos os alunos tenham se apoiado nele para resolver os

problemas. De acordo com os dados obtidos nessa pesquisa, podemos afirmar que

o diagrama de barras auxiliou esses estudantes a pensarem a respeito do problema

154

em alguns sentidos. Primeiramente, verificamos que essa representação favoreceu

o entendimento de alunos acerca do problema, principalmente na organização das

informações relevantes. Entendemos, desse modo, que o diagrama pode contribuir

para o entendimento do cálculo relacional do problema. Esse diagrama foi usado

como recurso na explicação de uma colega para outra que não havia entendido

determinado problema, nos mostrando que a visualização das informações por meio

dele pode favorecer o entendimento sobre o problema.

Outra relevância do diagrama, que destacamos nessa pesquisa, se refere a

uma melhor percepção dos invariantes operatórios mobilizados pelos alunos para

resolver problemas, isto é, entendemos que essa ferramenta favorece a reflexão

mais profunda do indivíduo sobre o problema. Entretanto, também encontramos

limitações no uso dessa representação.

Petrina (2012) diz que o Método tem que ser ensinado, mas em nossa

pesquisa apenas introduzimos o diagrama como se fosse o início da resolução de

um problema. Deste modo, os alunos utilizaram ou se fundamentaram nele para

resolver os problemas, mas quando foi dada a chance de eles escolherem como

resolveriam os problemas no Encontro 3, os alunos quase não trabalharam com

esse diagrama. É claro que em nossa pesquisa não enfatizamos esse método e nem

o discutimos extensivamente, mas também percebemos que o diagrama não foi tão

interessante para os alunos a ponto de eles tomarem para si esse procedimento e

continuarem utilizando-o.

O diagrama que apresentava uma ruptura gerou dificuldade e discussão entre

os alunos. Talvez o problema dos alunos com a ruptura do diagrama seja o de que

cada parte em que o todo foi dividido representa uma “personalidade”, isto é, uma

galinha, ou um aluno, etc. Dessa forma, a ruptura do diagrama pode ter sido

interpretada como se essa “personalidade” estivesse “quebrada”, “dividida”, e esse

pode ter sido um fator de dificuldade para esses alunos. Talvez, por o problema

tratar de uma grandeza discreta, e o diagrama usado usualmente representar

grandezas contínuas, isso tenha causado estranheza nos alunos. Mesmo assim, nos

outros casos de uso do diagrama, esses alunos visualizaram cada “personalidade”

no esquema, não tendo dificuldades de usá-lo mesmo com grandezas discretas.

155

Embora os estudantes não tenham continuado a usar o diagrama de barras no

Encontro 3, verificamos a utilização de um esquema muito próximo, porém sem a

composição de “quadradinhos”. A nosso ver, a proposta do uso do diagrama

mobilizou nos estudantes uma vontade de apresentar uma representação pictórica

para resolver os problemas, mesmo que não idêntica ao original.

3. Foi possível aos alunos tomarem consciência dos processos heurísticos

usados a partir da utilização da ficha?

Especificamente no Encontro 3, analisamos os procedimentos que os alunos

adotariam depois de trabalhar com a ficha e também com o diagrama de barras.

Também verificamos se os alunos, de fato, tomaram consciência dos próprios

processos heurísticos.

Entendemos que os alunos tomaram consciência dos processos heurísticos

usados por eles à medida que tiveram que convencer os outros sobre os

procedimentos próprios de resolução. No Encontro 3, vimos ainda que alguns alunos

apresentaram representações diferenciadas para resolver os problemas, talvez

motivados pelo uso do diagrama no encontro anterior. Quando os alunos recorreram

a problemas anteriores para resolver problemas similares, podemos também

perceber que tomaram consciência dos próprios processos heurísticos, pois

precisaram reconhecer aquilo que não sabiam para então buscar a informação

necessária à resolução do problema.

Consideramos que o uso de representações e problemas multiplicativos

diferenciados favoreceram o desenvolvimento de habilidades heurísticas por parte

dos alunos. Deste modo, concluímos que a utilização de uma metodologia de

resolução de problemas multiplicativos que valoriza a reflexão sobre o processo de

resolver um problema pode, de fato, colaborar para a percepção dos processos

heurísticos, conforme o objetivo de nossa pesquisa.

156

Limitações do Estudo e Sugestões para outras Pesquisas

Toda pesquisa tem características próprias e, por isso, podem gerar

limitações ao estudo, no entanto, essas restrições podem favorecer o surgimento de

novas pesquisas. Nossa pesquisa tem aspectos que a restringem sugerindo, deste

modo, novos estudos que a ampliem.

Em nosso estudo, constatamos situações em que os estudantes, apesar de

efetuarem o cálculo mentalmente e já saberem a resposta do problema “de cabeça”,

registraram o algoritmo. Acreditamos que esse registro nem sempre se refere à

técnica de cálculo mental realizado pelo aluno. Vimos exemplos sobre isso, no

entanto, entendemos que novas pesquisas podem ser feitas a respeito da relação

entre o cálculo mental e o algoritmo.

Apesar dos estudantes registrarem individualmente as respostas na ficha de

resolução de problemas, eles trabalharam em grupos e puderam discutir os

problemas antes de registrar as conclusões (Somente a etapa da rubrica foi

registrada sem a interferência de um colega). Apesar de percebermos extrema

importância no trabalho em grupo ao utilizarmos esta ficha, sugerimos para novas

pesquisas a aplicação da ficha de resolução de problemas de maneira individual, a

fim de verificar se a proposta de metodologia de resolução de problemas empregada

também é eficaz com este diferencial.

O diagrama de barras do Método- Modelo foi explorado nesta pesquisa como

um tipo diferente de esquema que auxiliou esses estudantes a pensarem sobre o

cálculo relacional proposto nos problemas. Nosso enfoque não esteve no ensino,

propriamente dito desta representação e sim na análise que poderia ser feita do

problema a partir dele. Sugerimos que novas pesquisas possam ser desenvolvidas

com o intuito de ensinar o diagrama de barras aos estudantes, ou seja, toda

concepção do método que o circunda, e assim verificar se esse procedimento pode

colaborar para a resolução de problemas de crianças brasileiras, assim como ocorre

com os alunos de Cingapura, que já utilizam esse método e apresentam ótimo

desempenho ao resolver problemas, talvez pelas condições de ensino do próprio

país, já que ele é utilizado sistematicamente como parte do currículo de Matemática

desde os primeiros anos de escolaridade, o que não acontece em outros países.

157

Uma pesquisa que nos parece interessante seria verificar se os mesmos resultados

da Cingapura seriam encontrados no Brasil caso o método fosse empregado

também de maneira mais sistemática e em longo prazo.

Entendemos que as informações apresentadas nessa pesquisa são fruto de

uma localidade, tempo e sujeitos específicos, e, portanto, as conclusões obtidas não

devem ser generalizadas. Esperamos que este trabalho possa contribuir com novos

estudos a respeito do tópico de resolução de problemas. Também almejamos que

esse estudo possa contribuir para o entendimento sobre os diferentes processos

heurísticos apresentados pelos alunos ao resolver problemas, para que, a partir

dessa compreensão, os pesquisadores, e também os professores possam realizar

intervenções mais pontuais em auxílio aos estudantes.

Essa pesquisa também repercutiu em minha prática pedagógica, como

professora de classe da turma pesquisada, uma vez que, para esses estudantes, foi

muito importante terem participado da pesquisa. O trabalho com diferentes

categorias de problemas multiplicativos reverberou por toda a escola, desde as

famílias dos envolvidos até a coordenação pedagógica e a direção, que se

interessaram em conhecer mais a proposta. Posso dizer que o tema dessa pesquisa

sempre ressoou em minha cabeça, assim como nas ideias de colegas professores e,

por isso, espero ter colaborado para fazer crescer a vontade de pesquisar e colocar

em prática as ideias de desenvolvimento da heurística e a preocupação de

selecionar e trabalhar com diferenciadas categorias de problemas, sejam eles

aditivos ou multiplicativos.

158

BIBLIOGRAFIA

ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas

fechados: análise de uma experiência. Rio Claro: UNESP, 2005.

AZEREDO, M. A.; RÊGO, R. G. Estratégias gráficas na resolução de problemas

aritméticos. Anais do III Simpósio internacional de Pesquisas em Educação

Matemática, Recife, 2006.

CHAHON, M. Metacognição e resolução de problemas aritméticos verbais: teoria e

implicações pedagógicas. Revista do Departamento de Psicologia - UFF, v. 18, nº

2, p. 163-176, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Formulação e resolução de problemas de matemática:

teoria e prática. 1ª ed. São Paulo: Ática,2009.

EDUCATION, C. P. &. D. D. M. O. The Singapore Model Method for learning

Mathematics. [S.l.]: [s.n.], 2011.

FERREIRA, A. B. H. Aurélio século XXI: o dicionário da Língua Portuguesa. 3ª. ed.

Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1999.

IMENES, L. M.; MILANI, E.; LELLIS, M. Conviver: Matemática: Guia de recursos

didáticos para professores: ensino fundamental de 9 anos. 1ª. ed. São Paulo:

Moderna, 2009.

JUSTO, J. C. R. Resolução de problemas matemáticos aditivos: possibilidades

da ação docente. Porto Alegre: UFRGS, 2009.

LEITE, E. A. P.; DARSIE, M. M. P. Implicações da Metacognição no processo de

aprendizagem da matemática. Revista Eletrônica de Educação, São Carlos, v. 5,

nº 2, 2011.

MAGINA, S. et al. Repensando a adição, subtração: contribuições da teoria dos

campos conceituais. 3ª. ed. São Paulo: PROEM, 2008.

MAGINA, S. M. P. et al. As estratégias de Resolução de Problemas das Estruturas

Aditivas nas Quatro Primeiras Séries do Ensino Fundamental. Zetetikè, v. 18, n. 34,

jul/dez 2010.

MASON, J.; BURTON, L.; STACEY, K. Thinking Mathematically. London: Addison-

Wesley, 115 p.

MOLINARI, A. M. C. Representação e solução de problemas aritmeticos de

divisão: um estudo dos procedimentos empregados por alunos do ensino

fundamental I. Campinas: UNICAMP, 2010.

159

MOREIRA, M. A. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de

ciências e a pesquisa nesta área. Porto Alegre: UFRGS, v. 7, nº 1, 2013.

ONUCHIC, L. D. L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de

problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo:

UNESP, 1999. p. 199-220.

PETRINA, L. C. Y. Investigating the effects of the Singapore Model Method in

solving mathematical word problems. Oxford: Oxford University, 2012.

POLYA, G. How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton:

Priceton University Press, 1945.

POLYA, G. A Arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo.

Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

PYDAH, A. Use of schematic representations in improving children’s

understanding. Oxford: Oxford University, 2012.

REAME, E.; MONTENEGRO, P. Coleção Plural: Matemática, 5º ano. 2ª. ed. São

Paulo: Saraiva, 2012.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MARIM, V. Saber Matemática - 5º ano. São Paulo:

FTD, 2013.

VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental. Artmed, 2099.

VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches em Didactique

des Mathématiques, 10, nº 23, 1990. 133-170.

VERGNAUD, G. Teoria dos campos conceituais. Anais do 1º Seminário

Internacional de Educação Matemática, Rio de Janeiro, 1993.

VERGNAUD, G. A Teoria dos Campos Conceituais. In: BRUN, J. Didática das

Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996a. p. 155-191.

VERGNAUD, G. A trama dos campos conceituais na construção dos conhecimentos.

Revista do Geempa, v. 4, p. 9-19, 1996b.

VERGNAUD, G. Education: the best part of Piaget's heritage, 55 (2/3), 1996c. 112-

118.

VERGNAUD, G. The nature of mathematical concepts. In: NUNES, T.; BRYANT, P.

Learning and teaching mathematics, an international perspective. Hove:

Psychology Press Ltd, 1997.

VERGNAUD, G. A comprehensive Theory of Representation for Mathematics

Education. Journal of Mathematical Behavior, 17, nº2, 1998. 167-181.

160

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da

matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lúcia Faria Moro. 3ª. ed.

Curitiba: UFPR, 2009.

161

APÊNDICE – FICHA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

resolução de problemas multiplicativos: análise de

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