GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

FACET – Faculdade de Ciências Exatas e

Tecnológicas – Avaliação – 30/03/2016

RESOLUÇÃO 01. A função 𝒇: ℝ ℝ satisfaz as condições: f(1) = 2 e f(x+1) = f(x) - 1 para todo número real x. a) Calcule f(2) e f(3).

𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) − 1 𝑓(1 + 1) = 𝑓(1) − 1

𝑓(2) = 𝑓(1) − 1 𝑓(2) = 2 − 1

𝑓(2) = 1

𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) − 1 𝑓(2 + 1) = 𝑓(2) − 1

𝑓(3) = 𝑓(2) − 1 𝑓(3) = 1 − 1

𝑓(3) = 0 b) Encontre a f(x).

Sendo f(1) = 2, f(2) = 1 e f(3) = 0, podemos concluir que f é uma função do tipo f(x) = ax + b, portanto:

{2𝑎 + 𝑏 = 1𝑎 + 𝑏 = 2

𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑎 = −1 𝑒 𝑏 = 3

𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3

02. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Número de bolas (x) Nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

a) Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

Analisando os dados da tabela pode-se inferir que “y” se associa a “x” por meio de uma função do tipo:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, logo:

{5𝑎 + 𝑏 = 6,35

10𝑎 + 𝑏 = 6,70

𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑎 = 0,07 𝑒 𝑏 = 6

𝑓(𝑥) = 0,07𝑥 + 6

b) Qual a taxa média de variação do nível da água para o número de bolas entre 10 e 20?

A taxa média de variação para uma função afim é o coeficiente angular “a” dessa função, portanto:

∆𝑥

∆𝑦= 0,07

03. Responda aos itens a) Fixado um sistema de coordenadas cartesianas xOy, considere as funções reais de variável real y = f(x) = x2 + b.x + c e y = g(x) = k.x + 4 em que as constantes b, c, k são números reais. Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice V = (1,1), determine todos os possíveis valores reais que k poderá assumir de maneira que a equação definida pela composição g[f(x)] = 0 tenha raiz real.

Sabendo que o vértice do gráfico de f é o ponto V = (1,1), segue que:

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎 1 =

−𝑏

2 𝑏 = −2

𝑦𝑣 =−∆

4𝑎 1 =

−(𝑏2−4.𝑎.𝑐)

4𝑎 1 =

−(𝑏2−4.𝑎.𝑐)

4𝑎

1 =−((−2)2−4.𝑐)

4 −4 + 4𝑐 = 4 𝑐 = 2; logo:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2, então:

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑘. 𝑓(𝑥) + 4 = 0

𝑘(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 4 = 0 𝑘𝑥2 − 2𝑘𝑥 + 2𝑘 + 4 = 0

Para que a equação (g f )(x) 0 possua soluções reais, devemos ter k 0 e 0,Δ ou seja,

2 2( 2k) 4 k (2k 4) 0 k 4k 0

e e

k 0 k 0

4 k 0

e

k 0

4 k 0.

b) Considere a função afim f(x) = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) =2, podemos afirmar que f(f(3)+f(5)) é igual a:

Tem-se que f(4) = 2 4a + b = 2. Além disso, como f(3) = 3a + b e f(5) = 5a + b, vem

f(3) f(5) 3a b 5a b 2(4a b) 2 2 4.

Portanto, segue que f(f(3) f(5)) f(4) 2.

04. Responda aos itens a) A figura indica os gráficos das funções f, g, h, todas de IR em IR, e algumas informações sobre elas. Indique quais são os gráficos das funções f, g, h. Em seguida, calcule p e q.

i. x 2f(x) 3 2 ; ii. 2xg(x) 2 ; iii. h(x) f(x) g(x), para qualquer x.

Cálculo de p, sendo (p, 0). Anulada ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)=0

3 − 2𝑥+2 + 22𝑥 = 0 3 − 2𝑝+2 + 22𝑝 = 0

(2𝑝)2 − 4(2𝑝) + 3 = 0 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 2𝑝, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑎2 − 4𝑎 + 3 = 0

𝑎 =1

2 𝑜𝑢 𝑎 = 3

2𝑝 =1

2 𝑜𝑢 2𝑝 = 3

𝑝 = −1 𝑜𝑢 𝑝 = log2 3 𝑝 = (log2 3 ; 0)

Cálculo de q, sendo (0, q) 𝑔(𝑥) = 22𝑥

𝑔(0) = 22(0) 𝑔(0) = 20 𝑔(0) = 1 𝑞 = (1,0)

b) Considerando as funções f(x) = 3x – 2 e g(x) = -2x+1 o valor de k, com x ℝ tal que f(g(k))-1 =1, é:

Calculando f(g(x)), tem-se: f(g(x)) 3 ( 2x 1) 2

f(g(x)) 6x 3 2 f(g(x)) 6x 1

Calculando a inversa de f(g(x)), tem-se:

11 x 1 xx 6y 1 y f(g(x))

6 6

Por fim, substituindo k e resolvendo a equação proposta no enunciado, tem-se:

1 1 kf(g(k)) 1 1 1 k 6 k 5

6

g h

f

05. Considere as funções f e g definidas por: 𝑓(𝑥) = 2 log2(𝑥 − 1) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 1

𝑔(𝑥) = 2 log2(1 −𝑥

4) , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 4

a) Calcule f(3/2), f(2), f(3), g(-4), g(0) e g(2)

2 2

2 2

2 2

3 3 1 3f 2log 1 2log 2 1 f 2

2 2 2 2

f(2) 2log (2 1) 2log (1) 2 0 f(2) 0

f(3) 2log (3 1) 2log (2) 2 1 f(3) 2

2 2

2 2

2 2

4g( 4) log 1 log (2) g( 4) 1

4

0g(0) log 1 log (1) g(0) 0

4

2 1g(2) log 1 log g(2) 1

4 2

b) Esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaixo.

06. Considere a função f(x) = 2x - 4 + x -5 definida para todo número real x

a) Esboce o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano para -4 x 4

𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 + 5 ↔ {3𝑥 − 9 ↔ 𝑥 ≥ 2−𝑥 − 1 ↔ 𝑥 < 2

b) Determine os valores dos números reais a e b para os quais a equação 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙 + 𝒃) = 𝒇(𝒙), admite como soluções 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒆 𝒙𝟐 = 𝟔.

Substituindo uma das raízes dadas e desenvolvendo a equação:

a

0a a

log (x b) | 2x 4 | x 5

log ( 1 b) | 2 1 4 | 1 5 log ( 1 b) 0 a 1 b 1 b 1 b 2

Substituindo a segunda raiz dada e desenvolvendo a equação:

a

99 3 39a a

log (x b) | 2x 4 | x 5

log (6 2) | 2 6 4 | 6 5 log (8) 9 a 8 a 8 2 a 2

Assim, os valores dos números reais a e b são 3 2 e 2, respectivamente. 07. Uma das curvas radicais de uma montanha russa será construída de modo que, quando observada, perceba-se a forma de uma parábola como mostra a figura. Será possível alcançar a maior altura, 280 m do solo, em dois pontos dessa curva, distantes 900 m um do outro, e a descida atingirá o ponto mais baixo da curva a 30 m do solo, como se vê na figura. A distância horizontal entre o centro da roda dianteira do carrinho 1 e o centro da roda traseira do carrinho 3 quando esses centros estiverem a 70 m do solo, são:

Sabendo que uma parábola é a representação gráfica de uma função do segundo grau e considerando o eixo das ordenadas como eixo de simetria da parábola, logo:

2f(x) ax bx c

mas b 0, logo:

2f(x) ax c

Ainda, sabendo que V = (0;30) e (450;280) pode-se escrever:

2

2

f(0) 30

f(0) a 0 c 30 c 30

f(450) 280

250 1f(450) a 450 30 280 a a

202500 810

Logo, a função da parábola será:

21f(x) x 30

810

E a distância entre o centro da roda dianteira do carrinho 1 e o centro da roda traseira do carrinho 3 quando esses centros estiverem a 70 metros do solo é igual a 2x, quando f(x) = 70 ou seja:

2 21f(x) 70 x 30 x 32400 x 180

810

Como trata-se de distância, pode-se descartar a raiz negativa da equação e a distância entre as rodas dos carrinhos 1 e 3 será igual a 2x 2 18 360 m.

(450,280) (-450,280)

(0,30)

08. Responda aos itens. a) Uma loja está fazendo uma promoção na venda de bolas: “Compre x bolas e ganhe x% de desconto”. A promoção é válida para compras de até 60 bolas, caso em que é concedido o desconto máximo de 60%. Julia comprou 41 bolas e poderia ter comprado mais bolas e gasto a mesma quantia. Quantas bolas a mais Julia poderia ter comprado?

2x pv(x) x p 1 xp x

100 100

Pode-se observar que v(x) é uma função do segundo grau onde o x = 50 é o vértice da parábola com concavidade voltada para baixo, ou seja, o ponto de máximo. Esse ponto está sobre o eixo de simetria da parábola, dessa forma o ponto simétrico de x1 = 41 é x2 = 59. Logo, ala poderia ter comprado 59 – 41 = 18 bolas a mais.

b) O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova?

Considerando x o número de moedas douradas coletadas, a pontuação seria dada por:

Logo, o valor máximo de P(x) será dado por:

máximo1

P 25.14 a

4100

Δ

Portanto, o limite de pontos que um competidor poderá alcançar nesta prova é 25.

09. Considere o gráfico da função real g: A A abaixo responda aos itens.

a) Quais as raízes dessa função? X = 0 e x = 6 b) Calcule a g(g(6)). g(6) = 0 g(0) = 0 (g(g(6)) = 0

c) Qual conjunto domínio da g(x)? Dom: - x 5 e x = 6

d) Qual o conjunto imagem da g(x)? Im: g(x) = -3 e -2 g(x) 4 e g(x) = 5 e) A g(x) é injetora, sobrejetoras ou bijetora?

10. O gráfico abaixo descreve uma função f: A B

Julgue as proposições em verdadeiro ou falso (V) - I. A = ℝ* (F) - II. f é sobrejetora se B = ℝ - [-e, e]

(V) - III. Para infinitos valores de x A, tem-se f x –b

(V) - IV. f –c – f c f –b f b 2b

(F) - V. f é função injetora. (F) - VI. ∄ 𝑥 ∈ ℝ ∕ 𝑓(𝑥) = −𝑑