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Halliday & Resnick

Mecânica

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Fundamentos de Física

Volume 1

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Vetores

Capítulo 3

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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1

3-1 Vetores e Suas Componentes





3.01 Somar vetores geometricamente e aplicar as leis comutativa e associativa.

3.02 Subtrair um vetor de outro vetor.

3.03 Calcular as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas e representá-las em um desenho.

3.04 Dadas as componentes de um vetor, desenhar o vetor e determinar seu módulo e sua orientação.

3.05 Converter ângulos de graus para radianos, e vice-versa.

Objetivos do Aprendizado

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A física lida com grandezas que têm um valor e uma orientação

O vetor é um objeto matemático que tem um valor e uma orientação

Uma grandeza vetorial é uma grandeza física que pode ser representada por um vetor

Exemplos: posição, velocidade, aceleração

As operações com vetores obedecem a regras diferentes das regras da álgebra

Uma grandeza escalar é uma grandeza que pode ser representada por um número

Exemplos: tempo, temperatura, energia, massa

As operações com escalares obedecem às regras da álgebra






O exemplo mais simples é o vetor deslocamento

Se uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B, podemos representar essa mudança de posição por uma reta orientada que liga o ponto A ao ponto B

Figura 3-1

Em (a), as três retas têm o mesmo comprimento e a mesma orientação; são vetores deslocamento iguais.

Em (b), as três trajetórias correspondem ao mesmo vetor deslocamento.






A soma vetorial ou resultante

o é o resultado da adição de vetores

o representa o deslocamento total produzido por dois ou mais vetores deslocamento

o Soma geométrica de vetores:

Figura 3-2

Eq. (3-1)






A soma de vetores é comutativa

o podemos somar vetores em qualquer ordem

Eq. (3-2)

Figura 3-3






A soma vetorial é associativa

o Podemos agrupar os vetores em qualquer ordem para somá-los

Eq. (3-3)

Figura 3-4






O sinal negativo inverte a orientação de um vetor

Podemos usar essa propriedade para definir a subtração de vetores

Eq. (3-4)

Figura 3-5

Figura 3-6






Essas regras se aplicam a todos os vetores, independentemente de representarem deslocamento, velocidade ou outra grandeza vetorial qualquer

Apenas vetores que representam a mesma grandeza podem ser somados

o (distância) + (distância) faz sentido

o (distância) + (velocidade) não faz sentido

Respostas:

(a) 3 m + 4 m = 7 m (b) 4 m 3 m = 1 m






Em vez de usar um método gráfico, podemos somar vetores por componentes

o Componente é a projeção do vetor em um eixo

O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor

Figura 3-8

As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas.

As componentes não mudam quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação.






As componentes em duas dimensões são dadas por

em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x positivo, e a é o comprimento do vetor

O comprimento e o ângulo também podem ser calculados a partir das componentes

As componentes definem univocamente um vetor

Eq. (3-5)

Eq. (3-6)






No caso tridimensional, são necessários três parâmetros para especificar um vetor

o (a,θ,φ) ou (ax,a

y,a

z)

Resposta: os métodos mostrados em (c), (d) e (f)






Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos

Uma circunferência completa tem 360˚ ou 2π rad

Aqui estão as três funções trigonométricas básicas:

Figura 3-11





3-2 Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das Componentes





3.06 Converter um vetor da notação módulo-ângulo para a notação dos vetores unitários, e vice-versa.

3.07 Somar e subtrair vetores expressos na notação módulo-ângulo e na notação dos vetores unitários.

3.08 Saber que a rotação do sistema de coordenadas em torno da origem pode mudar as componentes de um vetor, mas o vetor permanece o mesmo.





Um vetor unitário

o Tem módulo 1

o Tem uma orientação

o Não tem dimensão nem unidade

o É representado com um acento circunflexo (^)

Usamos um sistema de coordenadas

dextrogiro

o Permanece dextrogiro quando

sofre uma rotação


Figura 3-13

Eq. (3-7) Eq. (3-8)




As grandezas ax i e a

y j são componentes vetoriais

As grandezas ax e a

y são componentes escalares

o ou apenas “componentes”


Eq. (3-7)

Eq. (3-8)

Os vetores podem ser somados usando componentes

Eq. (3-10) Eq. (3-11) Eq. (3-12)

Eq. (3-9) →





Para subtrair vetores, subtraímos as componentes

Unit Vectors, Adding Vectors by Components

Eq. (3-13)




Os vetores não dependem do sistema de coordenadas usado para representá-los

Se fazemos girar o sistema de coordenadas, o vetor não muda

Todos os sistemas de coordenadas desse tipo são igualmente válidos

3-2 Vetores unitários, Soma de Vetores a Partir das Componentes

Figura 3-15

Eq. (3-15)

Eq. (3-14)




3-3 Multiplicação de Vetores





3.09 Multiplicar vetores por escalares.

3.10 Saber que o resultado do produto de um escalar por um vetor é um escalar, o produto escalar de dois vetores é um escalar e o produto vetorial de dois vetores é um vetor.

3.11 Calcular o produto escalar de dois vetores.

3.12 Calcular o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar.

3.13 Calcular a projeção de um vetor na direção de outro vetor a partir do produto escalar de dois vetores.

3.14 Calcular o produto vetorial de dois vetores.

3.15 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação do vetor resultante de um produto vetorial.






Multiplicação de um vetor z por um escalar c

O resultado é um vetor

o cujo módulo é o módulo de z vezes |c|

o cuja direção é igual à do vetor z, ou oposta se c for negativo

o cujas componentes são as componentes de z multiplicadas por c

Para dividir um vetor por um escalar, multiplicamos o vetor por 1/c

Exemplo Multiplicação do vetor z por 5

o z = 3 i + 5 j

o 5 z = 15 i + 25 j




Multiplicação de vetores: o produto escalar

o O resultado é um escalar, em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo entre as direções dos dois vetores:

O produto escalar obedece à lei comutativa

( ) e pode ser calculado usando as componentes:


Eq. (3-20)

Eq. (3-22)

Eq. (3-23)





O produto escalar é o produto do módulo de um dos vetores pela projeção do outro vetor na direção do primeiro vetor

Eq. (3-21)

Figura 3-18

Tanto faz usar a projeção do primeiro vetor no segundo vetor ou a projeção do segundo vetor no primeiro vetor





Respostas: (a) 90 graus (b) 0 grau (c) 180 graus





Multiplicação de vetores: o produto vetorial

o O resultado é um vetor cujo módulo c é dado por

em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo

entre os vetores e cuja direção é perpendicular à direção

dos dois vetores.

A direção é determinada pela regra da mão direita.

Eq. (3-24)




(a) O produto ; (b) o produto


Figura 3-19





O produto vetorial não é comutativo

Pode ser calculado usando as componentes:

Assim, expandindo a Eq. (3-26),

Eq. (3-25)

Eq. (3-26)

Eq. (3-27)





Respostas: (a) 0 grau (b) 90 graus




3 Resumo




Escalares e Vetores

Escalares têm um valor

Vetores têm um módulo e uma orientação

Ambos têm unidades!

Soma de Vetores

Obedece às leis comutativa e associativa

Vetores Unitários

Podemos escrever vetores em termos de vetores unitários

Componentes de um Vetor

Dadas por

Relações inversas

Eq. (3-2)

Eq. (3-5)

Eq. (3-7)

3 Resumo

Eq. (3-3)

Eq. (3-6)




Soma por Componentes

Somando por componentes,

Escalar Vezes um Vetor

O produto é um vetor

O módulo é multiplicado pelo escalar

O sentido é igual ou oposto

Produto Vetorial

Produz um vetor perpendicular

A direção é dada pela regra da mão direita

Produto Escalar

Produz um escalar

Eqs. (3-10) a (3-12)

Eq. (3-22)

3 Resumo

Eq. (3-20)

Eq. (3-24)




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