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Halliday & Resnick

Mecânica

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Fundamentos de Física

Volume 1

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Rolagem, Torque e Momento Angular

Capítulo 11

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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1

11-1 Rolagem como uma Combinação de Translação e Rotação




11.01 Saber que uma rotação pode ser considerada uma combinação de translação pura e rotação pura.

11.02 Conhecer a relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular de um objeto que está rolando.

Objetivos do Aprendizado

Figura 11-2




Vamos considerar apenas objetos que rolam sem escorregar

O centro de massa do objeto se move em uma linha reta paralela à superfície

O objeto gira em torno do centro de massa enquanto se move

O movimento de rotação é definido por

Figura 11-3

Eq. (11-1)

Eq. (11-2)





A figura mostra o modo como as velocidades de translação e rotação se combinam em diferentes pontos da roda

Figura 11-4

Respostas: (a) igual (b) menor





11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem





11.03 Calcular a energia cinética de um objeto rolante como a soma da energia cinética de translação do centro de massa com a energia cinética de rotação em torno do centro de massa.

11.04 Conhecer a relação entre o trabalho realizado sobre um objeto rolante e a energia cinética do objeto.

11.05 Usar a lei de conservação da energia mecânica para relacionar a energia inicial de um objeto rolante à energia em um instante posterior.

11.06 Desenhar o diagrama de corpo livre de um objeto rolante que está se movendo em uma superfície horizontal ou em um plano inclinado sob a ação de uma ou mais forças.





11.07 Conhecer a relação entre a aceleração do centro de massa e a aceleração angular de um objeto rolante.

11.08 No caso de um objeto rolante que está subindo ou descendo um plano inclinado, conhecer a relação entre a aceleração do objeto, o momento de inércia do objeto e o ângulo do plano inclinado.

11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem Copyright © LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Reprodução proibida




Figura 11-7

Eq. (11-5)

Eq. (11-6)

Combinando as energias cinéticas de translação e rotação, obtemos:

Se a roda acelera, a velocidade angular aumenta

A força de atrito estático impede que a roda escorregue • Nesse caso,




11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem

No caso em que um objeto rola para baixo sem escorregar em um plano inclinado,

1. A força gravitacional aponta verticalmente para baixo

2. A força normal é perpendicular ao plano inclinado

3. A força de atrito é paralela ao plano inclinado e aponta para cima

Figura 11-8




11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem

A aceleração do objeto é dada por

Note que é o atrito que faz o objeto rolar

Na ausência de atrito, o objeto desceria o plano inclinado sem rolar, apenas escorregando

Eq. (11-10)

Resposta: A altura máxima atingida pelo disco B é menor que h. No caso do disco A, toda a energia cinética é convertida em energia potencial. No caso do disco B, como ele continua a girar quando chega à altura máxima, apenas a energia cinética de translação é transformada em energia potencial e, portanto, a altura atingida é menor.




11-3 O Ioiô




11-3 O Ioiô

11.09 Desenhar um diagrama de corpo livre de um ioiô em movimento.

11.10 Saber que ioiô é um objeto que rola para cima e para baixo em uma rampa com uma inclinação de 90°.

11.11 Conhecer a relação entre a aceleração e o momento de inércia de um ioiô.

11.12 Calcular a tração da corda que sustenta um ioiô em movimento.





11-3 O Ioiô

Quando o ioiô desce, ele perde uma energia potencial mgh, que é transformada em energia cinética de rotação e translação

Para calcular a aceleração linear de um ioiô, basta considerar que o ioiô:

1.Sobe ou desce uma “rampa” com um ângulo de 90°

2.Gira em torno de um eixo

3.É freado pela tração T da corda

Figura 11-9




11-3 O Ioiô

De acordo com a Eq. 11-10, temos:

Eq. (11-13)

Exemplo Calcule a aceleração com as seguintes características:

o M = 150 g, R0 = 3 mm, I

CM = Mr2/2 = 3105 kg · m2

o Temos: aCM

= 9,8 m/s2/[1 + 3105/(0,15 0,0032)] = 0,4 m/s2




11-4 Revisão do Torque





11.13 Saber que o torque é uma grandeza vetorial.

11.14 Saber que o ponto em relação ao qual o torque é calculado deve ser especificado.

11.15 Determinar o torque produzido por uma força sobre uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa a força.

11.16 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um torque.






Anteriormente, o torque foi definido apenas para um corpo em rotação em torno de um eixo fixo

Agora vamos definir o torque de uma partícula em relação a um ponto fixo

A trajetória da partícula não precisa ser uma circunferência; o torque agora é um vetor

A orientação do torque é determinada pela regra da mão direita

Figura 11-10





A equação geral do torque é

e o módulo do torque é

Usando a componente perpendicular da força ou o braço de alavanca de F, também podemos escrever

Eq. (11-14)

Eq. (11-15)

Eq. (11-16)

Eq. (11-17)





Respostas: (a) +z ou -z (b) +y (c) +x





Exemplo Cálculo do torque total

Figura 11-11




11-5 Momento Angular





11.17 Saber que o momento angular é uma grandeza vetorial.

11.18 Saber que deve ser especificado o ponto fixo em relação ao qual o momento angular é calculado.

11.19 Determinar o momento angular de uma partícula calculando o produto vetorial do vetor posição da partícula pelo vetor que representa o momento.

11.20 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação de um momento angular.






O momento angular é o equivalente angular do momento linear

Temos:

Note que a partícula não precisa girar em torno do ponto O para ter um momento angular em relação a O

A unidade de momento angular é o kg·m2/s ou J·s

Figura 11-12

Eq. (11-18)





Para determinar a orientação do momento angular, use a regra da mão direita

Para determinar o módulo do momento angular, use a equação do módulo do produto vetorial:

que também pode ser escrito nas formas

Eq. (11-19)

Eq. (11-20)

Eq. (11-21)





O momento angular tem significado apenas em relação a um ponto dado

O momento angular é perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento

Resposta: (a) 1 e 3 empatadas, 2 e 4 empatadas, 5 (b) 2 e 3 (supondo que o sentido anti-horário é positivo)




11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações





11.21 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre uma partícula à variação do momento angular da partícula.

Objetivo do Aprendizado





Podemos escrever a segunda lei de Newton na forma

O torque e o momento angular devem ser definidos em relação ao mesmo ponto (quase sempre a origem)

Note a semelhança com a forma linear:

Eq. (11-23)

Eq. (11-22)





Resposta: (a) F3, F

1, F

2 e F

4 empatados (b) F3 (supondo que o sentido anti-

horário é positivo)




11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido





11.22 Usar a segunda lei de Newton para rotações para relacionar o torque que age sobre um sistema de partículas à variação do momento angular do sistema.

11.23 Conhecer a relação entre o momento angular de um corpo rígido em relação a um eixo fixo, o momento de inércia do corpo e a velocidade angular do corpo em torno do eixo.

11.24 Calcular o momento angular resultante de um sistema de dois corpos rígidos que giram em torno do mesmo eixo.





Para determinar o momento angular resultante de um sistema de partículas, basta somar os momentos angulares das partículas do sistema:

A taxa de variação do momento angular resultante é dada por

O torque resultante é definido por essa variação:


Eq. (11-26)

Eq. (11-28)

Eq. (11-29)





Note que o torque e o momento angular devem ser medidos em relação ao mesmo ponto

Se o centro de massa está acelerando, o ponto de referência deve ser o centro de massa

Podemos calcular o momento angular de um corpo sólido usando um somatório:

O último somatório é o momento de inércia I do corpo

Eq. (11-30)





Assim, temos:

Figura 11-15

Eq. (11-31)





Respostas: (a) Todos empatados, já que o torque é o mesmo nos três casos (b) esfera, disco, anel




11-8 Conservação do Momento Angular





11.25 Se nenhuma força resultante age sobre um sistema ao longo de um eixo, aplicar a esse eixo a lei de conservação do momento angular para relacionar o momento angular inicial do sistema ao momento angular em um instante posterior.

Objetivo do Aprendizado





Como temos uma nova versão da segunda lei de Newton, também temos uma nova lei de conservação:

De acordo com a lei de conservação do momento angular, em um sistema isolado,

(momento angular inicial) = (momento angular final)

Eq. (11-33)

Eq. (11-32)




Como essas são equações vetoriais, equivalem a três equações escalares

Isso significa que podemos separar as componentes e escrever:

Se a distribuição de massa muda sem que haja um torque externo, temos:


Eq. (11-34)





Exemplo Conservação do momento angular

Um aluno girando sentado em um banco: a velocidade de rotação aumenta quando o aluno fecha os braços e aumenta quando o aluno abre os braços

Salto de trampolim: a velocidade de rotação do mergulhador aumenta na posição carpada e diminui na posição esticada

Salto em distância: o momento angular causado pelo torque no início do salto pode ser transferido para o movimento dos braços, evitando assim que o corpo da atleta gire no ar.

Figura 11-18





Respostas: (a) diminui (b) permanece o mesmo (c) aumenta




11-9 Precessão de um Giroscópio





11.26 Saber que a ação da força gravitacional sobre um giroscópio em rotação faz com que o vetor momento angular (e o próprio giroscópio) gire em torno do eixo vertical, um movimento conhecido como precessão.

11.27 Calcular a taxa de precessão de um giroscópio.

11.28 Saber que a taxa de precessão de um giroscópio não depende da massa do giroscópio.





Um giroscópio parado, como o da Fig. 11-22 (a), não se sustenta

Um giroscópio em movimento, como o da Fig. 11-22 (b), gira em torno de um eixo vertical

Esse movimento é chamado de precessão


Figura 11-22





O módulo do momento angular de um giroscópio em movimento é constante e dado por

O torque da força gravitacional produz uma variação incremental em um intervalo de tempo dt:

Como o módulo do momento angular é constante, dado pela Eq. 11-43, o torque pode mudar apenas a orientação de . De acordo com a Eq. 11-44, a única maneira de a orientação de mudar sem que o módulo de mude é o eixo do giroscópio girar em torno do eixo do suporte

Eq. (11-43)

Eq. (11-44)





A taxa de precessão é dada por

A Eq. 11-46 é válida apenas se o giroscópio estiver girando rapidamente

A taxa de precessão não depende da massa (porque I é proporcional a M), mas depende de g

A Eq. 11-46 é válida, mesmo que o eixo do giroscópio não esteja na horizontal (é o caso de um pião, por exemplo)

Eq. (11-46)




11 Resumo




Momento Angular de uma Partícula

Corpos Rolantes

O Torque como um Vetor

Orientação dada pela regra da mão direita

11 Resumo

Eq. (11-2)

Eq. (11-18)

A Segunda Lei de Newton para Rotações

Eq. (11-14)

Eq. (11-23)

Eq. (11-5)

Eq. (11-6)




Momento Angular de um Sistema de Partículas

Momento Angular de um Corpo Rígido

11 Resumo

Conservação do Momento Angular

Eq. (11-32)

Eq. (11-33)

Precessão de um Giroscópio

Eq. (11-46)

Eq. (11-26)

Eq. (11-29)

Eq. (11-31)




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