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Sumrio1. INTRODUO ....................................................................................................................................................... 4 2. SOLICITAES ....................................................................................................................................................... 5 3. GRFICO TENSO X DEFORMAO ..................................................................................................................... 6 4. DEFORMAO POR TRAO ................................................................................................................................ 6 5.CISALHAMENTO .................................................................................................................................................... 8 5.1 TENSO NORMAL () E TENSO DE CISALHAMENTO ( ) .................................................................................. 9 5.2 MOMENTO FLETOR E FORA CORTANTE ........................................................................................................... 9 5.3 DIAGRAMA DE FORA CORTANTE E MOMENTO FLETOR .................................................................................. 9 6. FLEXO SIMPLES ................................................................................................................................................. 10 6.1 TENSO DE CISALHAMENTO DEVIDO AOS ESFOROS CORTANTES................................................................. 11 6.2 TENSO DE FLEXO DEVIDO AOS MOMENTOS FLETORES .............................................................................. 11 6.3 DIMENSIONAMENTO........................................................................................................................................ 12 7.TORO SIMPLES ................................................................................................................................................ 13 7.1 MOMENTO TOROR OU TORQUE .................................................................................................................... 13 7.2 TENSO DE CISALHAMENTO NA TORO () .................................................................................................. 14 7.3 DISTORO ....................................................................................................................................................... 15 7.4 DIMENSIONAMENTO........................................................................................................................................ 15 8. TENSES COMPOSTAS ....................................................................................................................................... 17 8.1 SUPERPOSIO E SUAS LIMITAES................................................................................................................ 17 9.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................................................... 23

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1. INTRODUO A resistncia dos materiais um assunto bastante antigo. Os cientistas da antiga Grcia j tinham o conhecimento do fundamento da esttica, porm poucos sabiam do problema de deformaes. O desenvolvimento da resistncia dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das leis da esttica. Galileu (1564-1642) foi o primeiro a tentar uma explicao para o comportamento de alguns membros submetidos a carregamentos e suas propriedades e aplicou este estudo, na poca, para os materiais utilizados nas vigas dos cascos de navios para marinha italiana. Podemos definir que a ESTTICA considera os efeitos externos das foras que atuam num corpo e a RESISTNCIA DOS MATERIAIS, por sua vez, fornece uma explicao mais satisfatria, do comportamento dos slidos submetidos esforos externos, considerando o efeito interno. Na construo mecnica, as peas componentes de uma determinada estrutura devem ter dimenses e propores adequadas para suportarem esforos impostos sobre elas. Exemplos:

Figura 1.1 a) O eixo de transmisso de uma mquina deve ter dimenses adequadas para resistir ao torque a ser aplicado; b) A asa de um avio deve suportar s cargas aerodinmicas que aparecem durante o vo.

O comportamento de um membro submetido a foras, no depende somente destas, mas tambm das caractersticas mecnicas dos materiais de fabricao dos membros. Estas informaes provm do laboratrio de materiais onde estes so sujeitos a ao de foras conhecidas e ento observados fenmenos como ruptura, deformao, etc.

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2. SOLICITAES

Um sistema de foras pode ser aplicado num corpo de diferentes maneiras, originando, portanto diversos tipos de solicitaes, tais como trao, compresso, cisalhamento, flexo e toro. Quando cada tipo se apresenta isoladamente, dizse que a solicitao simples. No caso de dois ou mais tipos agirem simultaneamente a solicitao composta.

Trao - solicitao que tende a alongar a pea no sentido da reta de ao da resultante do sistema de foras.

Compresso - solicitao que tende a encurtar a pea no sentido da reta de ao da resultante do sistema de foras.

Flexo - solicitao que tende a modificar o eixo geomtrico de uma pea.

Toro - solicitao que tende a girar as seces de uma pea, uma em relao s outras.

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Cisalhamento - solicitao que tende a deslocar paralelamente em sentido oposto, duas seces contguas de uma pea.

3. GRFICO TENSO X DEFORMAO o grfico que representa um corpo sob a ao de uma fora de trao, tem na sua ordenada indicao da tenso e na abscissa a deformao correspondente.

Onde: Ponto I corresponde ao limite de proporcionalidade ( Lei de Hooke) Ponto II corresponde ao limite de elasticidade Ponto III corresponde ao limite de escoamento ( esc ) Ponto IV regio de limite de resistncia mxima ou tenso de ruptura (

R

) Ponto V rompimento do material

Pela anlise do grfico verifica-se que o comportamento do material dividido em duas fases distintas, ou seja, fase elstica e fase plstica. A separao entre essas fases se faz na transio entre o limite de elasticidade e o incio do fenmeno de escoamento. importante considerar que para os clculos de peas que devem suportar esforos de trao sem provocar a deformao permanente, o material dever trabalhar dentro do seu limite de elasticidade, numa faixa assinalada no grfico como tenso admissvel. 4. DEFORMAO POR TRAO No dimensionamento dos elementos de mquinas admitem-se apenas deformaes elsticas. Os clculos podem ser: de verificao ou de dimensionamento propriamente dito.

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Verificao: No primeiro caso escolhem-se as dimenses e depois se verifica se a tenso de trabalho no ultrapassa a tenso admissvel.

Dimensionamento: No segundo caso, o processo inverso: as dimenses so calculadas admitindo-se a tenso de trabalho, com critrio e segurana.

Tenso admissvel (

adm)

Na resistncia dos materiais, onde as peas a serem calculadas, devero suportar as cargas com segurana, isto , sem provocar a deformao permanente, ter que ser considerada nos clculos uma tenso menor do que a de escoamento e longe do limite mximo de elasticidade. A esta tenso que oferece pea uma condio segura de trabalho, chamamos de tenso admissvel. A tenso admissvel determinada por

onde: 2 adm = tenso admissvel em Kgf/cm ,Pa 2 Rt = tenso de ruptura a trao em Kgf/cm ,Pa, Fseg = fator de segurana O fator de segurana Fseg determinado levantando-se diversos fatores parciais como o tipo de carga aplicada, homogeneidade do material, material que feito a pea, etc. Na prtica, esses fatores so obtidos atravs de tabelas de acordo com o tipo de carga aplicada e o material da pea.

Tenso de ruptura a trao(

R

)

A tenso de ruptura ou limite de resistncia a maior tenso que um corpo pode suportar. dada por

Onde: Fmax = carga mxima aplicada em Kgf, N S0 = seo original em cm2, mm2

Tenso de escoamento (

esc

)

Ou limite de escoamento, a tenso que aplicada quando o material perde a propriedade elstica. A magnitude do limite de escoamento para um metal uma medida de sua resistncia a deformao plstica. Os limites de escoamento podem variar desde 35 MPa para um alumnio de baixa resistncia, at acima de 1400 MPa para aos de alta resistncia. A tabela 1 ilustra para alguns metais os valores para limite de escoamento.

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Tabela 1 Limites de escoamento e resistncia a trao

Alongamento unitrio( ) a relao entre a deformao sofrida pelo material e o seu comprimento inicial. O alongamento normalmente dado em porcentagem.

Deformao () a relao entre o alongamento e o comprimento inicial do material

Coeficiente de Poisson () Quando uma barra carregada em trao, o alongamento axial acompanhado por uma contrao lateral. A deformao lateral `em qualquer ponto da barra proporcional deformao axial .

Lei de Hooke O comportamento linear mostrado no incio do grfico est nos afirmando que tenso proporcional a deformao. Portanto, existe uma constante de proporcionabilidade entre essas duas grandezas. Sendo,

Onde: E = mdulo de elasticidade = tenso aplicada

5.CISALHAMENTO

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Um corpo submetido ao esforo de cisalhamento quando sofre a ao de um carregamento P que atua na direo transversal ao seu eixo. A ao de cargas transversais num corpo provoca o aparecimento de foras internas, na seo transversal, denominadas esforo cortante. A tenso de cisalhamento (tau) obtida atravs da razo entre a fora cortante F e a rea de seo transversal (rea de corte) AC.

A tenso de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam diversas partes de mquinas e estruturas. 5.1 TENSO NORMAL () E TENSO DE CISALHAMENTO ( ) A tenso normal atua na direo do eixo longitudinal da pea, ou seja, perpendicular a seco transversal, enquanto que a tenso de cisalhamento tangencial seco transversal da pea.

5.2 MOMENTO FLETOR E FORA CORTANTE Quando se carrega uma viga ou um eixo normalmente surgem esforos internos constitudos por tenses normais e cisalhantes. Para determinar os valores destes esforos numa determinada seo da viga faz-se necessrio conhecer os valores da fora e do momento resistentes que esto atuando na seo considerada. Sendo que estes so obtidos aplicando-se as equaes de equilbrio na seo.

Isolando a viga esquerda da seo, pode-se observar o surgimento de esforos que atuam na seo de forma a garantir o seu equilbrio:

5.3 DIAGRAMA DE FORA CORTANTE E MOMENTO FLETOR

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Sabendo-se calcular o valor do momento fletor e da fora cortante nas infinitas sees de uma viga torna-se possvel traar diagramas ou grficos que representem estes esforos. O diagrama de momento fletor representa valores positivos quando posicionado abaixo da linha de apoio do grfico e negativos quando acima. Esta conveno procura fazer uma associao entre a forma do diagrama e o formato que a viga adquire aps a deformao que o esforo causa na viga. O diagrama de fora cortante representa valores positivos quando posicionado acima da linha de apoio do grfico e negativos abaixo. Ento, para a viga a seguir seria feita a seguinte anlise:

Eq. 1 - Para x variando entre 0 e L/2, a equao do momento fletor M = Ra.x. Derivando obtm-se Q = Ra. Observa-se que neste intervalo o momento uma reta e a fora cortante constante. Eq. 2 - Para x1 variando entre L/2 e L, M = Ra.x1 - F.(x1-L/2) e Q = Ra-F Para o traado do diagrama de momento fletor substitui-se x por 0 e L/2 (dois pontos definem uma reta) na equao 1 e x1 por L/2 e L na equao 2. Para o traado do diagrama de fora cortante tm-se que na primeira seo Q constante e de valor Ra e na segunda seo Q igual a Ra - F ou -Rb. O resultado destes clculos o seguinte:

6. FLEXO SIMPLES

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Definimos como flexo a solicitao que provoca, ou tende a provocar, curvatura nas peas. O esforo solicitante responsvel por este comportamento chamado de momento fletor, podendo ou no ser acompanhado de esforo cortante e fora normal.

A figura acima indica a representao de uma viga biapoiada submetida flexo. A ao da carga externa (a) sobre a viga, produz o momento fletor (b) curvatura observada em (c). As fibras superiores tendem a se aproximar (compresso) e as fibras inferiores tendem a se afastar (trao). A flexo provavelmente o tipo mais comum de solicitao produzida em componentes de mquinas, os quais atuam como vigas quando, em funcionamento, transmitem ou recebem esforos. 6.1 TENSO DE CISALHAMENTO DEVIDO AOS ESFOROS CORTANTES A fora cortante que atua na seco transversal da pea provoca nesta uma tenso de cisalhamento, que determinada atravs da frmula Zhuravski.

Onde: - Tenso de cisalhamento (Pa) Q - fora cortante atuante na seco (N) b - largura da seco [m] J - momento de inrcia da seco transversal (m4) Me - momento esttico da parte hachurada da seco (acima de y) (m3).

6.2 TENSO DE FLEXO DEVIDO AOS MOMENTOS FLETORES A equao abaixo conhecida como frmula da flexo em regime elstico, e a tenso normal F, provocada quando a barra se flexiona, chamada de tenso de flexo.

Onde I o momento de inrcia da seco transversal em relao linha neutra. O momento de inrcia uma caracterstica geomtrica que fornece uma noo da resistncia da pea. Quanto maior for o momento de inrcia da seco transversal de uma pea, maior ser sua resistncia. A tenso de flexo assume seu valor mximo na superfcie mais distante da linha neutra, ou seja, no maior valor de y. Em vigas com seo simtrica (em relao a linha neutra), as tenses de trao e compresso produzidas durante a flexo tero o mesmo valor. Nas vigas com sees assimtricas, a tenso mxima ocorrer na superfcie mais distante da linha neutra.

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6.3 DIMENSIONAMENTO Para a equao de distribuio de tenses apresentada no item anterior, podemos observar que as dimenses da viga esto associadas ao momento de inrcia (I) e a distncia da linha neutra fibra mais distante (y). A relao entre estas grandezas pode ser expressa pelo mdulo de flexo:

O mdulo de flexo W s depende da geometria da seco transversal da viga. Substituindo esta relao na equao do tem 4.2, temos:

Onde: M mx o momento fletor mximo.

Para que uma viga trabalhe em segurana, necessrio que a tenso admissvel estipulada para o projeto seja igual ou maior que a tenso mxima de flexo:

,ento:

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Em nosso estudo, o problema de dimensionamento estar associado determinao de W. Com esta grandeza, podemos decidir quanto ao perfil a ser utilizado, de acordo com as restries de projeto e com o auxlio de tabelas. Essa relao mostra que a tenso mxima inversamente proporcional ao mdulo resistente W, de modo que uma viga deve ser projetada com maior valor de W possvel, nas condies de cada problema.

7.TORO SIMPLES Uma pea submete-se a esforo de toro, quando atua um torque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade oposta.

7.1 MOMENTO TOROR OU TORQUE O torque atuante na pea representada na figura definido atravs do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distncia entre o ponto de aplicao da carga e o centro da seco transversal (plo). Tem-se portanto:

Onde: MT - Momento de toror ou torque [Nm] F - Carga aplicada [N] S - Distncia entre o ponto de aplicao da carga e o plo [m]

Para as transmisses mecnicas construdas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes, etc., o torque determinado atravs de:

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Onde: MT - Torque [ Nm ] FT - Fora tangencial [ N ] r - raio da pea [ m ]

7.2 TENSO DE CISALHAMENTO NA TORO () A tenso de cisalhamento atuante na seco transversal da pea definida atravs da expresso:

conclui-se que, no centro da seco transversal, a tenso nula. A tenso aumenta medida que o ponto estudado afasta-se do centro a aproxima-se da periferia. A tenso mxima na seco ocorrer na distncia mxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando = r. Pela definio de mdulo de resistncia polar, sabe-se que:

substituindo-se II em I, tem-se que:

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Onde: mx - tenso mxima de cisalhamento na toro [Pa] MT - momento toror ou torque [Nm] r - raio da seco transversal [m] Wp - mdulo de resistncia polar da seco transversal [m3]

7.3 DISTORO O torque atuante na pea provoca na seco transversal desta, o deslocamento do ponto A da periferia para uma posio A'. Na longitude do eixo, origina-se uma deformao de cisalhamento denominada distoro , que determinada em radianos, atravs da tenso de cisalhamento atuante e o mdulo de elasticidade transversal do material.

Onde: - distoro [ rad ] - tenso atuante [ Pa ] G - mdulo de elasticidade transversal do material [Pa]

7.4 DIMENSIONAMENTO eixo Quando funcionar parado, suportando cargas. eixo rvore Quando girar, com o elemento de transmisso. Para dimensionar uma rvore; utiliza-se a (tenso admissvel do material) indicada para o caso. Tem-se ento:

Para o eixo macio, tem-se

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Substituindo II em I, tem-se:

Sendo :

Mas,

Porm

ento tem-se:

Onde:

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d - dimetro da rvore [ m ] MT - torque [ N.m ] P - potncia [ W ] - velocidade angular [ rad/s ] - tenso admissvel do material [ Pa ] f - frequncia [ Hz ] n - rotao [ rpm ]

8. TENSES COMPOSTAS

Nos captulos anteriores, foram desenvolvidos mtodos para determinar a distribuio de tenso em membros sujeitos esforos internos: fora axial, fora cortante, momento fletor e momento toror. Muito frequentemente, a seo transversal de um membro est sujeita vrios tipos de esforos internos simultaneamente. A tenso resultante destes esforos obtida pela superposio das tenses devido a cada esforo interno calculadas separadamente.

8.1 SUPERPOSIO E SUAS LIMITAES

O princpio da superposio pode ser usado desde que haja uma relao linear entre tenso e carregamento. Tambm deve ser considerado que a geometria do membro no deve sofrer mudana significativa quando as cargas so aplicadas. Isto deve ser assegurado de maneira que a tenso produzida por uma carga no est relacionada com a tenso produzida por uma outra carga. Neste sentido, considere a viga com o carregamento mostrado abaixo, trabalhando dentro do regime elstico linear.

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Viga submetida uma flexo-compresso onde V a deflexo da viga de um ponto distante x da extremidade: Impondo o equilbrio de momentos com relao ao eixo z, temos:

Assim, percebe-se que o momento interno M dependente da deflexo v:

Como a deflexo v devido ao carregamento W, o momento P.v seria desprezado quando da aplicao do princpio da superposio. Isto poderia ser considerado somente quando a deflexo v for pequena. Portanto, nos casos onde as deformaes so pequenas, o princpio da superposio pode ser aplicado separadamente para cada fora aplicada na estrutura.

Tenso normal devido fora axial P:

Tenso normal devido ao momento fletor M:

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Tenso de cisalhamento devido fora cortante V:

O tensor de tenses para este caso bidimensional:

Exerccio: Calcule o tensor de tenses no ponto C da viga de seo transversal retangular, b = 50 mm e h = 250 mm.

Superposio de Tenses

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Exemplo1: Achar a mxima tenso de cisalhamento no plano ABDE do eixo de 12 mm de dimetro, devido as esforos aplicados.

Tenses devido ao momento de toro T:

Tenses devido ao cortante V:

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Exemplo 2: Uma placa sujeita um carregamento uniforme devido ao vento conforme mostrado abaixo. Determine o estado de tenses nos pontos C e D situados na coluna de sustentao da placa de 100 mm de dimetro.

Tenses normais devido ao momento fletor M:

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Tenses de cisalhamento devido ao momento toror T:

Tenses de cisalhamento devido fora cortante V:

Ponto D

Ponto C:

Ponto D

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9.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS Pereira, J.C (2003) - Apostila didtica para a Disciplina Mecnica dos Slidos. Universidade Federal de Santa Catarina, Santa Catarina, 161p. Senai (2004) - Apostila didtica para a Disciplina Resistncia dos Materiais.Servio Nacional de Apredizagem Industrial. Santa Catarina, 108p. Panesi., A.R.Q - Apostila didtica para a Disciplina Resistncia dos Materiais.Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia, So Paulo,52p. Bento, D.A, - Fundamento de Resistncias dos Materiais. Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catariana, Gerncia Educacional Metal Mecnica, Santa Catarina, 67p.