resistência dos materiais

Escola Estadual deEducação Profissional - EEEPEnsino Médio Integrado à Educação Profissional

Curso Técnico em Edificações

Resistência dos Materiais

Governador

Vice Governador

Secretário Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Cid Ferreira Gomes

Francisco José Pinheiro

Antônio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Secretária da Educação

Secretário Adjunto

Coordenadora de Desenvolvimento da Escola

Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurício Holanda Maia

Maria da Conceição Ávila de Misquita Vinãs

Thereza Maria de Castro Paes Barreto

Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional

CURSO TÉCNICO INTEGRADO EM EDIFICAÇÕES

DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ..............................................03

1.1 INTRODUÇÃO.........................................................................................................................03

1.2 EXERCÍCIOS............................................................................................................................04

1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS......................06

1.3.1 Continuidade Física.................................................................................................................06

1.3.2 Homogeneidade......................................................................................................................07

1.3.3 Isotropia.................................................................................................................................07

1.3.4 Equilíbrio................................................................................................................................07

1.3.5 Pequenas Deformações............................................................................................................07

1.3.6 Saint-Venant...........................................................................................................................07

1.3.7 Seções Planas..........................................................................................................................07

1.3.8 Conservação das Áreas............................................................................................................07

1.3.9 Lei de Hooke...........................................................................................................................07

1.3.10 Princípio da Superposição de Efeitos.......................................................................................07

2 OBJETIVO.................................................................................................................................08

3 TIPOS DE CARGAS...................................................................................................................08

3.1 CARGA CONCENTRADA........................................................................................................08

3.2 CARGA DISTRIBUIDA.............................................................................................................09

3.3 CARGAS PERMANENTES.......................................................................................................09

3.4 CARGAS ESTÁTICAS..............................................................................................................09

3.5 CARGAS ACIDENTAIS.............................................................................................................09

3.6 CARGAS MÓVEIS....................................................................................................................09

4 ESFORÇOS EXTERNOS...........................................................................................................09

4.1 CARGAS CONCENTRADAS....................................................................................................09

4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS.........................................................................................................09

4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO....................................................................................09

5 ESFORÇOS INTERNOS............................................................................................................09

5.1 MOMENTOS............................................................................................................................09

Resistência dos Materiais 3


5.1.1 Momento Fletor......................................................................................................................09

5.1.2 Momento Torsor.....................................................................................................................10

5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES)...........................................................................10

6 TIPOS DE ESTRUTURA............................................................................................................10

6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS..................................................................................................10

6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS...........................................................................................11

7 TIPOS DE APOIO.......................................................................................................................11

7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11

7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO..............................................................................................11

7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTATICO...............................................................................................12

8 CALCULO DAS REAÇÕES.......................................................................................................12

8.1 CONVENÇÕES ........................................................................................................................12

8.2 EXEMPLOS..............................................................................................................................12

9 DIAGRAMA DO MOMENTOFLETOR ....................................................................................21

10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE..............................................................................27

11 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 1..................................................................................................30

12 EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO 2..................................................................................................34

13 RESISTÊNCIA..........................................................................................................................43

14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXOQUALQUER.................................................................................................................................48

15 EXERCICIOS GERAIS............................................................................................................51

16 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................54

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr.

Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2

Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS



1 INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

1.1 INTRODUÇÃO

Um conceito da grandeza tensão pode ser encarado como uma extensão do conceito da grandezapressão.

Imaginemos o sistema de êmbolos apresentado abaixo:

Utilizando-se os conceitos de física, pode-se dizer que a pressão P no interior do duto é constantee tem valor:

onde F1 e F2 são as forças aplicadas nas extremidades e A1 e A2 são as áreas da seção transversal do dutoonde são aplicadas F1 e F2, respectivamente.

Os macacos hidráulicos são aplicações diretas da equação acima, pois com uma pequena forçaaplicada na extremidade 2 do sistema de êmbolos afim de se produzir uma força de magnitudeconsiderável na extremidade 1, dependendo da razão entre as áreas A1 e A2.

Algumas conclusões já podem ser obtidas analisando a grandeza pressão:

Sua unidade de medida será: unidade de força dividida por unidade de área. No SistemaInternacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m2. Como 1 Pa representa uma pressãorelativamente pequena 1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo (103) ou mega (106).Exemplos: 10 MPa, 45 kPa, etc.

O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não.Pode-se dizer en-tão que a pressão é uma grandeza vetorial.

A direção da força F2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção2, e esta direção é sempre normal a superfície do êmbolo.Porque surgiu pressão no interior do duto?

A resposta é simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem restriçõesao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura 1, se não existir resistên-



cia na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões inter-nas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dosdutos (pressão negativa).

Um raciocínio análogo pode ser aplicado aos sólidos. Supondo que se exerça uma forçaF sobre um sólido qualquer conforme figura abaixo.

Da mesma maneira que nos fluidos, têm-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimentoou, no caso onde existam restrições ao deslocamento (como no exemplo da figura 2), surgem o que nossólidos se denominam tensões.

A grande diferença entre sólidos e fluidos pode ser observada na figura 1.3:

Em ambos os casos na figura surgirão pressões (para o fluido) e tensões (para o sólido) quando seaplica a carga F1 (direção axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga F2 (transversal ao tubo)pode-se verificar que o fluido não oferece a menor resistência ao corte ou cisalhamento, porém no sólidoisso não acontece. Esta diferença motivou os pesquisadores a estudarem os sólidos e os fluidos em duasgrandes áreas do conhecimento:



Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos.

Então, diferentemente dos líquidos, as tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas:

Tensões normais: Estas tensões são resultados de um carregamento que provoca a aproximaçãoou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. E o caso do carregamento F1 da figura1.3.

Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um carregamento que provocaum deslizamento relativo de moléculas que constituem o sólido. É o caso do carregamento F2 dafigura 1.3.

1.2 EXERCÍCIOS



1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e deanálises teóricas.

Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características físicas dosmateriais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de dimensõesadequadas.

As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticosidealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos sãoadmitidos nestas deduções e são eles:

1.3.1 Continuidade Física

A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios eporosidades.



1.3.2 Homogeneidade

O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de resistência em todosos pontos.

1.3.3 Isotropia

O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. “Ex: Asmadeiras apresentam, nas direções das fibras, características mecânicas e resistentes distintas daquelas emdireção perpendicular e, portanto não é considerado um material isótropo”.

1.3.4 Equilíbrio

Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em equilíbrio.

1.3.5 Pequenas Deformações

As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura.

1.3.6 Saint-Venant

Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientementeafastados da região de aplicação das cargas.

1.3.7 Seções planas

A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha média (eixodeformado).

1.3.8 Conservação das áreas

A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas.

1.3.9 Lei de Hooke

A força aplicada é proporcional ao deslocamento.

F = k.d

Onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento.

1.3.10 Princípio da Superposição de efeitos

Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cadaforça considerada agindo isoladamente e independente das outras.

A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dosmateriais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção decoeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Osdiversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados são estudados ao longodo curso de Engenharia Civil.



Adota-se neste texto um coeficiente de segurança único que reduz a capacidade de carga daestrutura.

2 OBJETIVO

Estudar os esforços internos e externos que atuam nas peças de uma construção de modo aresolver os problemas.

Fig. 2

3 TIPOS DE CARGA

3.1 CARGA CONCENTRADA: Se apóiam em pequenas áreas e podem ser consideradas como apoiadasem um ponto.

Fig. 3.1



3.2 CARGA DISTRIBUIDA: Se apóiam em grandes áreas, podendo ser uniformes ou variadas.

Fig. 3.2 Fig. 3.2

3.3 CARGAS PERMANENTES: Atuam durante toda a vida da estrutura, sem mudar de valor.

3.4 CARGAS ESTÁTICAS: Atuam em cargas paradas, não sofrem efeito de impacto.

3.5 CARGAS ACIDENTAIS: Cargas móveis sofrem efeito de impacto, podendo ou não mudar de valor.

3.6 CARGAS MÓVEIS: Carga acidental

4 ESFORÇOS EXTERNOS

4.1 CARGAS CONCENTRADAS

4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS

4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO

5 ESFORÇOS INTERNOS

5.1 MOMENTOS

5.1.1 Momento Fletor ( Ma = F x d)



Fig. 5.1.1

5.1.2 Momento Torsor

Fig. 5.1.2

5.2 CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES)

Fig. 5.2

6 TIPOS DE ESTRUTURAS

6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS

N° de Eq. ≥ N° de incógnitas



∑ Fu = 0

∑ Fv = 0

∑ M = 0

6.2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

N° de Eq. ≥ N° de incógnitas

7 TIPOS DE APOIO

Entendemos como apoio qualquer estrutura que impeça o deslocamento.

7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO

Só impede o deslocamento vertical

Símbolo

Fig. 7.1

7.2 SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO

Impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação.

Fig. 7.2



7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTÁTICO

Fixa totalmente a peça, impedindo o deslocamento horizontal, vertical e a rotação.

Fig. 7.3

8 CÁLCULO DAS REAÇÕES

8.1 CONVENÇÕES

Fig. 8.1

8.2 EXEMPLOSExemplo 1

Fig. 8.2.1



a) ∑ Fv = 0

RA + RB – 2 – 4 – 2 = 0RA + RB = 8t4 + RB = 8RB = 4t

b) ∑ MB = 0

RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 06 RA - 10 – 12 – 2 = 0RA = 24

6

RA = 4t

Exemplo 2

Fig. 8.2.2

a) ∑ FV = 0RA + RB – 2 – 4 – 4 = 0RA + RB = 104,8 + RB = 10RB = 5,20tb) ∑ MB = 0

RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 4 x 1 = 05RA = 8 + 12 + 45RA = 24RA = 4,80t



Exemplo 3

Fig. 8.2.3

Sen 30° = 0,50Cos 30° = 0,87

a) ∑ FV = 0RA + RB – 2 – 4.sen 30° - 2 = 0RA + RB = 6tRA = 6 – 3,67RA = 2,33t

b) ∑ MB = 0RHA + 3,87 = 0RHA = 3,87t

Ou

c) ∑ MA = 0-2 x 7 + RB x 6 – 4.0,5 x 3 – 2 x 1 = 0-14 + 6RB – 6 – 2 = 06RB = 22RB = 3,67 t

d) ∑ MB = 0RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 06RA = 14RA = 2,33t



Exemplo 4

Fig. 8.2.4

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0RA + RB – 4 – 4 - 2 = 0 HA = 4t RA + RB = 10t

c) ∑ MB = 0RA x 5 x 4 x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 05RA + 20 – 6 – 20 – 12 = 0RA = 18 5RA = 3,60t e RB = 6,40 t

Exemplo 5

Fig. 8.2.5



a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0RA + RB – 4 – 6 - 2 = 0 HA + 2 + 3,48 – 4 - 2 = 0RA + RB = 12t HA + 5,48 – 6 = 0RB = 6,12t HA = 0,52t

c) ∑ MB = 0RA x 5 + 0,52 x 3 + 2 x 2 + 2 x 2 – 4 x 5 - 6 x 2 – 3,48 x 2 = 05RA + 1,52 + 4 + 4 - 20 – 6,96 = 0RA = 5,88t

Exemplo 6

Fig. 8.2.6

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0RA + RB – 2 – 4 - 6 = 0 RHA + 2 – 4 = 0RA + RB = 12t RHA = 2tRB = 5,20t

c) ∑ MB = 0RA x 5 + 2 x 2 - 2 x 5 – 4 x 3 - 4 x 4 = 05RA + 4 - 10 – 12 - 16 = 05RA = 34 RA = 34 5

RA = 6,80t



Exemplo7

Fig. 8.2.7

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0 HB + 2 – 4 = 0RA + RB = 8t HB = - 2tRB = 7,50t

c) ∑ MB = 0RA x 4 + 4 x 6 - 4 x 4 – 2 x 2 - 2 x 3 = 04RA + 24 - 16 - 4 - 6 = 04RA = 2 RA = 2 4

RA = 0,50t* Calcular as reações

Exemplo 8

Fig. 8.2.8



a) ∑ FV = 0

RA + RB – 4 – 2 – 4 – 2 - 4 = 0 RA + RB = 16tRB = 8t

b) ∑ MB = 0RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 – 4 x 3 - 2 x 2 – 4 x 1= 06RA - 20 - 8 - 12 – 4 - 4 = 06RA = 48 RA = 48 6RA = 8t

Exemplo 9

Fig. 8.2.9

a) ∑ FV = 0RA + RB = 2 + 6 + 2 + 12 RA + RB = 22tRB = 8,83t

b) ∑ MB = 0-2 x 7 + RA x 6 - 6 x 5,50 - 2 x 4 – 12 x 2 = 06RA = 14 + 33 + 8 + 246RA = 79RA = 79 6RA = 13,17t



Exemplo 10

Fig. 8.2.10

a) ∑ FV = 0RA + RB = 24t RB = 11,40t

b) ∑ MB = 0RA x 5 – 2 x 6 – 6 x 4,5 – 2 x 4 – 6 x 2 + 2 x 1 – 2 x 3 = 05RA - 12 – 24 – 8 – 12 + 2 - 6RA = 12,60t

Exemplo 11

Fig. 8.2.11



a) ∑ FV = 0RA + RB = 8t RB = 5,33t

b) ∑ MB = 0RA x 3 + 4 x 3 – 4 x 1 – 4 x 2 – 4 x 1 = 03RA = 8RA = 2,67t

Exemplo 12

Fig. 8.2.12

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FHA = 0RA + RB – 4 – 2 – 2 = 0 HA + 2 = 4RA + RB = 8t HB = 2tRB = 7,50t

c) ∑ MB = 0RA x 3 + 2 x 3 + 2 x 0,5 – 4 x 1,5 - 2 x 1 – 2 x 1 = 03RA + 6 + 1 – 13,50 - 2 - 2 = 0RA = 3,50t



9 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR

Definição: É igual ao somatório de todos os momentos fletores, de um mesmo lado da seção.

Convenções:

Fig. 9.1

RA + RB = 2P // RA = 2P = P Fig. 9.2 2

MFs = P x ly = a . x ( Carga concentrada ) RA = P e RB = P

Fig. 9.3



MFs = q . l x l - q . l x l = 2 2 2 4

MFs = q. l 2 - q. l 2 = 4 8

MFs = 2q.l 2 – q.l 2 8

MFs = q . l 2 e y = a . x2

8

Exemplos

Traçar os diagramas de momento fletor das estruturas.

Fig. 9.4 Fig. 9.5

MF1 = 4 x 1 = 4tm // MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm // MF3 = 4 tm

Fig. 9.7Fig. 9.6

Nas extremidades da peça o momento é zero!



MFA = MFB = 0MF1 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm

MF2 = 6 x 3 – 4 x 2 = 10tm

MF3 = 6 x 2 – 4 x 1 = 8tm

Fig. 9.8 Fig. 9.9

a) ∑ FV = 0RA + RB = 17tRB = 7,50t

∑ MB = 0RA x 6 - 4 x 5 - 2 x 4 - 12 x 2 – 2 x 1 = 06RA - 20 - 8 - 24 - 2 = 0RA = 9tRB = 11t

MFA = MFB = 0MF1 = 4 x 2 – 4 x 1MF1 = 14tm

MF2 = 11 x 1 – 3 x 0,5MF2 = 9,5tm

Fig. 9.10 Fig. 9.11



a) ∑ FV = 0RA + RB = 2 + 6 + 4 + 6 + 2 + 2RB = 11,50t

b) ∑ MB = 0-2 x 5 + RA x 4 - 6 x 3,5 - 4 x 2 - 6 x 1 + 2 x 0,5 + 2 x 1 = 0- 10 + 4RA - 21 - 8 - 6 + 2 + 1 = 04RA = 42RA = 10,50t

c) MF1 = MF3 = 0MFA = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tmMF2 = - 6 – 9 + 21MF2 = 6tm

MFB = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + 10,50 x 4 – 4 x 2MFB = -10 – 21 + 42 – 8MFB = 3tm

E = 0d) MC1 D = -2t

E = - 2 – 2 = -4tMCA D = - 4 + 10,50 = 6,50t

E = 6,5t – 4 = 2,50tMC2 D = 2,50 - 4 = - 1,50t

E = -1,50 - 6 = - 7,50tMCB D = -7,50 + 11,50 = 4t

E = 4 - 2 = 2tMC2 D = 2 - 2 = 0



Traçar os D.M.F das estruturas

Fig. 9.12

a) ∑ FH = 0HA + 2 - 4 – 2 = 0HA = 4t

b) ∑ FV = 0RA + RB = 3,48 + 6 + 4 - 4RA + RB = 17,48t

c) ∑ MB = 0RA x 5 + 4 x 2 - 4 x 1 – 3,48 x 5 - 6 x 3,5 – 4 x 2 - 2 x 1 = 05RA + 8 – 4 – 17,40 – 21 – 8 - 2 = 05RA = 44,50RA = 8,88tRB = 8,60t

d) ∑ MB = 0MFA = MFB = 0MF1 = 4 x 2 – 4 x 1MF1 = 4tm

MF2 = MF3 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2= 16 – 12 – 4 = 0



MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3MF4 = 7,20tm

MF5 = MF6 = - 2 x 1 = -2tm

Fig. 9.13

Fig. 9.14



10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE (D. E. C.)

Força constante de uma secção

Definição: É igual ao somatório de todas as forças perpendiculares à estrutura de um mesmo lado dasecção.

_ Convenções:

Fig. 9.15

_ Diagrama: + -

Fig. 9.16

a) ∑ FV = 0RA + RB = 8t

E = 0 FA D = 4t

E = 4tFC1 D = 4 – 2 = 2t

E = 4 – 2 = 2tFC2 D = 4 – 2 - 4 = -2t



E = -2tFC3 D = – 2 - 2 = -4t

E = -4tFCB D = – 4 + 4 = 0

MFA = MFB = 0MF1 = MF3 = 4 x 1 = 4tm

MF2 = 4 x 3 – 2 x 2 = 8tm

Fig. 9.17

Fig. 9.18

Fig. 9.19



Fig. 9.20

MFA = MFB = 0MF1 = MF3 = 12tmMF2 = 14 tm

E = 0 FCA D = 8t

E = 8 – 4 = 4tFC1 D = 4 – 2 = 2t

E = 2tFC2 D = 4 - 2 = 2t

E = -2tFC3 D = – 2 - 2 = -4t

E = - 4 – 4 = -8tFCB D = – 8 + 8 = 0



11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1

1)

Fig. 10.1

a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 4 + 2 RA x 6 – 2 x 5 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0RA + RB = 8t 6 RA = 10 + 12 + 2RB = 4t RA = 24 = 4t

6

2)

Fig. 10.2

a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 4 + 2 RA x 5 – 2 x 4 – 4 x 3 – 2 x 1 = 0RA + RB = 8t 5 RA = 8 + 12 + 2RB = 3,60t 5RA = 22

RA = 22 = 4,40t 5



3)

Fig. 10.3

a) ∑ FV = 0 b) ∑ MB = 0 RA + RB = 2 + 2 + 2 RA x 6 – 2 x 5 – 2 x 3 + 2 x 1 = 0RA + RB = 6t 6RA – 10 – 6 - 2 = 0RB = 3,66t 6RA = 14

RA = 14 = 2,33t 6

4)

Fig. 10.4

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 4 + 2 HA = 4tRA + RB = 10t

c) ∑ MB = 0RA x 5 + HA x 5 – 2 x 3 – 4 x 5 – 4 x 3 = 05RA + 20 – 6 – 20 - 12 = 05RA = 18RA = 18 = 3,60t // RB = 6,40t 5



5)

Fig. 10.5

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 6 + 2 HA + 2 – 4 – 2 + 3,48 = 0RA + RB = 12t HA – 0,52 = 0

HA = 0,52

c) ∑ MB = 0RA x 5 + 2 x 2 – 4 x 5 – 6 x 2 – 3,48 x 2 + 0,52 x 3 + 2 x 2 = 05RA + 4 – 20 – 12 – 6,96 + 1,56 + 4 = 05RA = 29RA = 29 = 5,88t // RB = 6,12t 5

6)

Fig. 10.6

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 2 + 4 + 6 HA + 2 – 4 = 0RA + RB = 12t HA = 8tRB = 5,20t



c) ∑ MB = 0RA x 5 + 2 x 2 – 2 x 5 – 4 x 3 – 4 x 4 = 05RA + 4 – 10 – 12 – 16 = 05RA = 36RA = 36 = 6,80t 5

7)

Fig. 10.6

a) ∑ FV = 0 b) ∑ FH = 0 RA + RB = 4 + 2 + 2 HA + 2 – 4 = 0RA + RB = 8t HA = 2t

c) ∑ MB = 0RA x 4 + 4 x 6 – 4 x 4 – 2 x 2 – 2 x 3 = 04RA + 24 – 16 – 4 – 6 = 04RA = 2RA = 2 = 0,50t // RB = 7,50t 4



12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2

* Traçam os D.M.F e D.E.C

1)

Fig. 11.1

a) ∑ FV = 0 RA + RB = 6 + 4 + 2 + 6 + 2RA + RB = 20tRB = 11,67t

b) ∑ MB = 0RA x 6 – 6 x 5,5 – 4 x 3 – 2 x 2 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 06RA - 33 – 12 – 4 – 3 + 2 = 06RA = 50RA = 50 = 8,33t 6

MF1 = MF5 = 0MFA = - 2 x 0,5 = - 1tmMF2 = - 6 x 1,5 + 8,33 x 2 = 7,66tmMF3 = 8,33 x 3 – 6 x 2,5 = 9,99tmMF4 = - 2 x 3 + 1,67 x 2 – 6 x 1,5 = 8,34tmMFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = - 3tm

E = 0 FC1 D = 0

E = 0 – 2 = -2tFCA D = – 2 + 8,33 = 6,33t

E = 6,33 – 4 = 2,33tFC2 D = 2,33t



E = 2,33tFC3 D = 2,33 - 4 = -1,67t

E = - 1,67tFC4 D = – 1,67 - 2 = -3,67t

E = 4 – 2 = 2tFC5 D = 2 - 2 = 0t

Diagrama do momento fletor:



Fig. 11.2

a) ∑ FV = 0 RA + RB = 2 + 6 + 2 + 2 + 6 + 2RA + RB = 20tRB = 10,33t

b) ∑ MB = 0- 2 x 7 + RA x 6 – 6 x 5,5 – 2 x 4 – 2 x 1 - 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0- 14 + 6RA - 33 – 8 – 2 – 3 + 2 = 0RA = 4,67t

MF1 = MF5 = 0MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tmMF2 = - 6 x 1,5 + RA x 2 – 2 x 3 = - 9 + 9,67 x 2 – 6 – 4,34 tmMF3 = 9,67 x 4 – 6 x 3,5 – 2 x 2 – 2 x 5 = 38,68 – 21 – 4 – 2 x 5= 3,68 tmMF4 = - 2 x 6 + 9,67 x 5 – 6 x 4,5 – 2 x 3 – 2 x 0,5 = - 12 + 48,35 – 27 – 6 – 1 = 2,37 tm

E = 0 FC1 D = 0 – 2t

E = - 2 – 2 = -4tFCA D = – 4 + 9,67 = 5,67t

E = 5,67 – 4 = 1,67tFC2 D = 1,67 – 2 = - 0,33t

E = - 0,33tFC3 D = - 0,33t

E = 0,33 – 2 = - 2,33tFC4 D = – 2,33 - 2 = -4,33t



E = - 4,33 – 2 = -6,33tFCB D = - 6,33 + 10,33 = 4t

E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0

Diagrama do momento fletor:



Fig. 11.3

a) ∑ FV = 0 RA + RB + 2 = 2 + 6 + 9 + 2 + 6 + 2RA + RB = 25tRB = 13,07t

b) ∑ MB = 0- 2 x 8 + RA x 7 – 6 x 6,5 + 2 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0- 16 + 7RA – 39 + 10 – 31,5 – 6 – 3 + 2 = 0RA = 11,93t

c) MF1 = MF5 = 0MFB = MFA = - 2 x 0,5 – 2 x 1= - 3tmMF2 = - 2 x 3 + – 6 x 1,5 + 11,93 x 2 = – 6 – 9 + 23,86 = 8,86 tmMF3 = - 2 x 5 – 6 x 3,5 + RA x 4 + 2 x 2 – 6 x 1= 14,72 tmMF4 = - 2 x 6 + 11,93 x 5 – 6 x 4,5 + 2 x 3 – 9 x 1,5 – 2 x 1 = - 12 + 59,65 – 27 + 6 – 13,50 - 2 = 11,15 tmMF4 = - 6 + 26,14 – 4 = 11,14 tm

E = 0 FC1 D = 0 – 2 = -2t

E = - 2 – 2 = -4tFCA D = – 4 + 11,93 = 7,93t

E = 7,93 – 4 = 3,93tFC2 D = 3,93 + 2 = 5,93t

E = 5,93 – 6 = - 0,07tFC3 D = - 0,07 – 2 = -2,07t

E = - 2,07 – 3 = - 5,07tFC4 D = – 5,07t



E = - 5,07 – 4 = - 9,07tFCB D = - 9,07 + 13,07 = 4t

E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0

Diagrama do Momento Fletor:



* Traçar os D.M.F e D.E.C das estruturas:

Sen30° = 0,50Cos30° = 0,87

2.sen30 = 2 x 0,5 = 1t

Fig. 11.4

a) ∑ FV = 0 RA + RB – 6 – 4 – 9 – 2 – 6 – 2 + 1 = 0RA + RB = 28t

b) ∑ MB = 0RA x 7 – 6 x 6,5 - 4 x 5 – 9 x 3,5 - 2 x 3 + 1 x 2 – 6 x 0,5 + 2 x 1 = 07RA – 39 - 20 – 31,5 – 6 + 2 – 3 + 2 = 0RA = 95,5 // RA = 13,64 t

7 RB = 14,36t

c) MF1 = MF5 = 0MFA = 2tmMF2 = 13,64 x 2 – 6 x 1,5 = 27,28 – 9 = 18,28 tmMF3 = 13,64 x 4 – 6 x 3,5 – 4 x 2 = 19,56 tmMF4 = - 2 x 3 + 14,36 x 2 – 6 x 1,5 = - 6 + 28,72 – 9 = 13,72tmMFB = - 2 x 1 – 2 x 0,5 = -3,02tm

D.M.F

Fig.11.5



E = 0 FC1 D = 0

E = - 2tFCA D = – 2 + 13,64 = 11,64t

E = 11,64 – 4 = 7,64tFC2 D = 7,64 - 4 = 3,64t

E = 3,64 – 6 = - 2,36tFC3 D = - 2,36 – 2 = - 4,36t

E = - 4,36 – 3 = - 7,36tFC4 D = – 7,36 + 1 = - 6,36t

E = - 6,36 – 4 = - 10,36tFCB D = - 10,36 + 14,36 = 4t

E = 4 – 2 = 2t FC5 D = 2 – 2 = 0

D.E.C

Fig. 11.6



a) ∑ FV = 0 RA + RB – 3,48 – 6 – 4 – 4 = 0RA + RB = 17,48t

b) ∑ FH = 0HA + 2 – 2 – 4 = 0HA = 4t

c) ∑ MB = 0RA x 5 + 4 x 1 – 3,48 x 5 – 6 x 3,5 - 4 x 2 - 2 x 1 = 05RA + 4 – 17,4 – 21 – 8 – 2 = 0RA = 44,4 // RA = 8,88t

5 RB = 8,60t

d) MFA = MB5 = 0MF1 = 4 x 2 – 4 x 1 = 8 - 4 = 4tmMF2 = 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 = 16 – 12 – 4 = 0tMF2 = MF3 = 0MF4 = 8,88 x 3 + 4 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 – 3,48 x 3 – 6 x 1,5 = 26,64 + 16 – 12 – 4 – 10,44 – 9 = 7,24 tmMF5 = - 2 x 1 = – 2 tm = MF6



13 RESISTÊNCIA

Fig. 12.1

a) RA + RB = 50 + 1000 + 100RA + RB = 1150 kg

b) ∑ MB = 0- 50 x 5 + RA x 4 – 1000 x 2,5 - 100 x 1 = 0-250 + 4RA – 2500 – 100 = 04RA = 2500 + 100 + 250 RA = 2850 // RA = 712,50 kg

4 RB = 437,50 kg

c) MF1 = MFB = 0MFA = - 50 x 1 – 200 x 0,5 = - 150 kg.mMF2 = 437,50 x 1 – 200 x 0,5 = 337,50 kg.m

E = 0 FC1 D = - 50t

E = - 50 – 200 = -250 kgFCA D = – 250 + 712,5 = 462,5 kg

E = 462,5 - 600 = - 137,5 kgFC2 D = - 137,50 - 100 = - 237,5 kg

E = - 237,5 – 200 = - 437,5 kgFCB D = - 437,5 + 437,5 = 0



Fig. 12.2

Fig.12.3

FC5 = 0- 50 + 712,5 – 200x = 0x = 662,5 x = 3,31 m 200

MMÁX = MF5 = -50 x 3,31 + 712,5 x 2,31 – 665,5 = 387,25 kg.m



* Centro de Gravidade de uma Figura Plana

Fig. 12.4

* Centro de Gravidade de uma figura plana qualquer

Então:

x = ∑ si . xi y = ∑ si . yi sT sT

Fig. 12.5

Exercícios: Calcular os C.G da figuras dadas:



Fig. 12.6

Fig. 12.7



Fig. 12.8

Fig. 12.9



14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UMEIXO QUALQUER

Definição: é igual ao somatório do momento de inércia em relação ao C.G paralelo ao eixo dado de cadaelemento de área pelo quadrado da distância que separam os dois eixos.

Fig. 13.1

Então: Jx = ∑ (Jx + Si . y2)Jy = ∑ (Jy + Si . x2)

Ex: Calcular os M.I em relação aos eixos: x, y, x1, y1 xcg, ycg da figura:

Fig. 13.2



Jx = b1h13 + s1.y1

2 + b2h23 + s2.y2

2

12

Jx = 40.103 + 2800 . 352 + 30.30 3 + 900.152

12 12

Jx = ( 1143333,33 + 3430000) + (67500 + 202500)Jx = 4573333,33 + 270000Jx = 4843333,33 cm4

Jy = h. b3 + s1.x12 + hb3 + sx.x2

2

12 12

Jy = 70.403 + 2800 . 202 + 30.30 3 + 900.552

12 12

Jy = 70.6400 + 2800 . 400 + 30.2700 + 900.3025 12 12

Jy = ( 373333,33 + 1120000) + (67500 + 2722500)Jy = 1493333,33 + 2790000Jy = 4283333,33 cm4

Fig. 13.3



15 EXERCÍCIOS GERAIS

1) Calcular a altura da secção para suportar as tensões máximas e iguais de tração e compressão comvalor de 4,83 kg/cm2.

Fig. 14

2) Calcular o momento fletor máximo da estação abaixo.

Fig. 15

3) Traçar os D.M.F e D.E.C da estação abaixo.

Fig. 16



4) Calcular os M.I em relação aos eixos: xCG e yCG da figura abaixo:

Fig. 17



ANOTAÇÕES GERAIS

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



BIBLIOGRAFIA

Resistência dos Materiais – Jayme Ferreira da Silva Jr.

Resistência dos Materiais – Timoshenko – volume 1 e 2

Resistência dos Materiais – Alerson Moreira da Rocha

Notas de aula


Hino do Estado do Ceará

Poesia de Thomaz LopesMúsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glória conta!Terra, o teu nome a fama aos céus remontaEm clarão que seduz!Nome que brilha esplêndido luzeiroNos fulvos braços de ouro do cruzeiro!

Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao vê-lasRessoa a voz dos ninhos...Há de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do coração,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte,Acordando a amplidão.Peito que deu alívio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastidão do oceano,Se à proa vão heróis e marinheirosE vão no peito corações guerreiros?

Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!Porque esse chão que embebe a água dos riosHá de florar em meses, nos estiosE bosques, pelas águas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas!Abra-se ao vento o teu pendão natalSobre as revoltas águas dos teus mares!E desfraldado diga aos céus e aos maresA vitória imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hóstias brancas!

Hino Nacional

Ouviram do Ipiranga as margens plácidasDe um povo heróico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com braço forte,Em teu seio, ó liberdade,Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívidoDe amor e de esperança à terra desce,Se em teu formoso céu, risonho e límpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,És belo, és forte, impávido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada,Brasil!

Deitado eternamente em berço esplêndido,Ao som do mar e à luz do céu profundo,Fulguras, ó Brasil, florão da América,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;"Nossos bosques têm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símboloO lábaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flâmula- "Paz no futuro e glória no passado."

Mas, se ergues da justiça a clava forte,Verás que um filho teu não foge à luta,Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada, Brasil!

resistência dos materiais

Engineering