Universidade Federal FluminenseEscola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta RedondaPolo Universitário de Volta Redonda

RELATÓRIO DE EXPERIMENTODENSIMETRIA

Disciplina: Física Experimental III

Professor: André Gusso

Turma: ?

Grupo: ? Rafael Guimarães de Almeida

Data: 29/08/2014

Introdução

Algumas experiências e fatos que podemos observar no dia-dia, servem como provas para o que vamos realizar nesse experimento. Por exemplo, quando colocamos o braço na pia de cozinha para desentupir o ralo, e a pia está cheia, observamos que o nível da água sobe e muitas vezes ela transborda. Da mesma forma, quando entramos em uma piscina e se observemos o nível de água que ela se encontra antes de entrarmos, chegaremos à conclusão que após entrarmos, o nível terá subido. Percebemos também que certos materiais, quando colocados na água, começam a boiar enquanto outros simplesmente afundam e que tamanho e o peso nunca foram suficientes para explicarmos esse fenômeno, pois um navio gigantesco boia e uma colher de metal leve simplesmente afunda.

Essas situações são tão constantes que, geralmente, nem paramos para tentar entende-las. Tanto que durante anos isso passou despercebido, até que um dia, como contam os livros, o filósofo grego Arquimedes (282-212 AC) chegou a brilhante ideia, enquanto tomava banho em uma das “saunas públicas” que existiam na época, que um corpo imerso na água se torna mais leve devido a uma força, vertical e para cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, que alivia o peso do mesmo. Essa força foi então denominada empuxo (E).

Seguindo este princípio, provaremos através do experimento de densimetria (Densimetria é o processo e a técnica de medir a densidade relativa de fluidos e de sólidos), a relação entre empuxo, peso e densidade do líquido e ainda determinaremos a densidade da água.

Objetivos

O experimento laboratorial de densimetria tem como objetivo construir um densímetro; analisar a flutuação de um corpo e determinar a densidade de fluidos.

Fundamentos Teóricos

Ao colocarmos um corpo em um recipiente contendo um fluído podemos identificar as seguintes forças peso e empuxo ambas representadas por suas letras respequitivas na figura (1) que retrata o diagrama de equilibrio das forças (lembrando que as forças horizontais existem, porém elas se anulam)

Figura(1): Diagrama de Equilibrio

A força de empuxo se dá atraves do principio de Arquimedes que diz : Quando um corpo está total ou parcialmente imerso em fluido ocorre o surgimento de uma força vertical para cima que é feita pelo fluido e age sobre o corpo e logo tal força tem módulo igual a força peso sendo assim podemos observar na equação (1) que:

E=P (1)

Sabe-se que a força peso está diretamente relacionada com a massa do corpo ¿¿) e a gravidade (g¿, sendo assim em (2) faremos a seguinte análise:

P=mc . g (2)

Logo como peso e empuxo são análogos variando somente suas massas pois a força de empuxo está relacionada a massa do fluido (mf ) e o peso relacionado a massa do corpo (mc ) temos a equação (3) mostrando que :

E=mf . g (3)

A massa específica está relacionada a variação do volume de um corpo em um dado ponto do fluido sendo retratada na equação (4) abaixo:

ρ=mf

V (4)

Onde:

ρ = densidade do fluído; mf = massa do fluído; V = volume do fluído;

A variação de volume corresponde ao volume deslocado pelo corpo e pode ser expresso pela multiplicação da área (A) pela profundidade (h), em nosso caso como o corpo é cilíndrico, usaremos a área da circunferência dada por (5) e assim obteremos a fórmula (6) :

A=π r2 (5)

Logo, teremos para o volume:

V¿ π r2h (6)

Sendo assim a equação (3) pode ser reformulada do seguinte modo:

Primeiro isolamos a massa na fórmula (4) e encontramos (7):

mf=ρV (7)

Substituindo (7) em (3) temos (8) :

E=ρVg (8)

(Lembrando que V é o volume de fluido deslocado, e não o volume total do corpo)

Logo como temos a equação (6) que nos permite calcular o volume, substituímos (6) em (8) e obtemos (9) :

E=ρπ r2hg (9)

Como visto inicialmente, pelas condições de equilíbrio, empuxo é igual ao peso como mostra (1), e substituindo (9) e (2) em (1), podemos encontrar a massa do copo (mc) em função da profundidade (h) usando (10):

(10)

Através da leitura de algumas medidas, alguns erros devem ser considerados, Estes erros estão relacionados à leitura e a precisão do instrumento de aferição e são demonstrados no manual do fabricante.

O erro estatístico é ocasionado por fatores incontroláveis e involuntários, quantificado, sobre tudo, pela quantidade de amostras e dispersão de erro. O erro instrumental, ou sistemático é aquele que ocasiona erro independente da quantidade de amostras tiradas, para instrumento analógico usa-se sua menor medida dividida por 2, para instrumentos digitais calcula-se somente obtendo a menor medida.

Para representar o quanto o valor médio deve variar a fim de obter uma representação fiel do valor real a uma relação entre o erro estatístico e erro instrumental, calculado pela equação (11):

∆ t total=√ (∆ testatistico )2+(∆ t instrumental) ² (11)

Para se encontrar as variáveis não amostradas, ou seja, aquelas que são obtidas através de outras variáveis é necessário propagar o erro das incertezas de cada variável através da seguinte equação:

(σ z )2=( ∂z∂ x )

2

(σ x)2+( ∂ z

∂ y )2

(σ y )2 (12)

Materiais Utilizados

Para o seguinte experimento foram utilizados:

Béquer; Copo cilíndrico com escala; Balança; Paquímetro; Areia; Água. Álcool líquido; Sal; Densímetro.

Procedimento experimental

Parte 01

Inicialmente foi medida a massa e o diâmetro do copo cilíndrico com escala, utilizando-se uma balança e um paquímetro respectivamente. Em seguida foi adicionado areia ao copo a fim de deixa-lo nivelado no béquer contendo água. Após a adição de areia foi anotado a profundidade que o copo afundou e medida a massa do copo cilíndrico contendo areia.

Posteriormente foi adicionado areia até que a profundidade do copo cilíndrico aumentasse em 1,00 cm. A massa do copo cilíndrico foi medida e a profundidade anotada. Tal procedimento foi repetido por cinco vezes, para uma maior exatidão nos cálculos, sempre adicionando areia para que o aumento na profundidade fosse de 1,00 cm.

E para finalizar a primeira parte, utilizando o densímetro, mediu-se a densidade da água.

Parte 02

Inicialmente foi medido o diâmetro do copo com o paquímetro novamente com um paquímetro.

Mediu-se a massa do copo cilíndrico e em seguida adicionou-se areia até que a massa do copo com areia fosse de 150g. Feito isso, o copo com areia foi colocado num recipiente contendo água com sal, em estado homogêneo, e a altura que o copo afundou foi anotada. Repetiu-se o procedimento para um recipiente com álcool hidratado.

Ao final mediu-se a densidade dos fluidos utilizados nesta parte do experimento.

Análise de Dados

Sabendo que o raio é também definido como a metade do diâmetro, como mostra a equação (13) e utilizando a propagação de erros para o mesmo através da equação (12) foi possível calcular o valor numérico para o raio e seu respectivo erro.

r=d2

(13)

A massa e o diâmetro béquer medidos no início do experimento, o raio e seus respectivos erros encontram-se na tabela 1 abaixo:

BéquerMassa (g)

Diâmetro (cm)Raio (cm)

Tabela 1 – Dados do béquer

A relação entre a profundidade de afundamento (h) e a massa do copo de areia (m) encontra-se na tabela 2.

NProfundidade Massa

h (cm) m (g)12345

Tabela 2 – Dados colhidos

Através dos dados da tabela 2 foi possível montar o gráfico 1 (m X h) anexado no final do relatório.

A partir da equação (10) é possível observar que a dependência existente entre a profundidade (h) e a massa (m) é linear. Comparando a equação (10) com a equação da reta ( y=bx+a) tem-se:

h é a variável que corresponde a (x ) na equação da reta mcorresponde a uma função que depende da variável l

( ρf . π . r2 )equivale ao coeficiente angular (b) da reta

Pela equação (6) e pela equação da reta, tem-se uma relação para a densidade do fluido e o coeficiente linear da reta, sendo assim foi possível encontrar a equação (16) para a densidade do fluido:

ρ f . π . r2=b

ρ f=b

πr 2(16)

A equação (8) descreve a propagação de erros e através dela tem-se a equação (17) utilizada para calcular o erro da densidade do fluido.

∆ ρf=( 1π r 2 )2

(∆ b )2+(−2bπ r3 )2

(∆r )2 (17)

O valor encontrado para a densidade e seu respectivo erro encontra-se abaixo:

ρ f=(0,97±0,07 )g /cm³

Utilizando o densimetro a densidade encontrada para o fluido foi:

ρ f=(1,0±0,1 )g /cm ³

Parte 02

O raio do copo cilíndrico foi calculado através da equação (15). A massa e o diâmetro do copo medidos no início do experimento, o raio, a massa do copo com areia e seus respectivos erros encontram-se na tabela 5 abaixo:

Copo cilíndrico

Massa (g)Massa com areia (g)

Diâmetro (cm)Raio (cm)

Tabela 5 – Dados colhidos

A equação (4) mostra que a densidade depende da massa do corpo (m) e do volume do fluido (v). Porém sabe-se que o volume também pode ser expresso como sendo a área vezes a altura, assim, tem-se a equação (19):

ρ= 1Ah

m (19)

Sabe-se que a área neste caso corresponde a área da base (π r2 ) e a massa equivale a massa do copo cilíndrico com areia. Utilizando a equação (19) e os dados da tabela 5 foi possível montar a tabela 6 que corresponde aos dados para calibração do densímetro caseiro.

h (cm)

ρ (g/cm³)Tabela 6 – Calibração do densímetro caseiro

A partir da tabela 6 foi possível construir o gráfico 1 (ρ vs h):

Para realizar o cálculo da densidade dos fluidos utilizando o densímetro caseiro foi utilizada a equação (19) e os dados da tabela 5. A profundidade (h) obtida em cada líquido consta na tabela 7.

Fluido Altura

água salgadaálcool hidratado

Tabela 7 – Dados dos fluidos

O erro de cada densidade foi calculado através da propagação de erros, a partir da equação (20):

∆ ρ=(−2mπhr3 )2

(∆r )2+( −mπ h2 r2 )

2

(∆h )2+( 1πhr2 )

2

(∆m )2 (20)

A densidade de cada fluido e seu respectivo erro, calculados pelo densímetro e pelo densímetro caseiro, encontra-se na tabela 8.

Fluido ρ (densimetro) ρ (caseira)

água salgadaálcool hidratado

Tabela 8 – densidade dos fluidos

Discussão

Parte 01

Parte 02

Como foi visto na tabela (8), os resultados obtidos pelo densímetro caseiro das densidades da água salgada e do álcool hidratado foram satisfatórios de acordo com os valores medidos pelo densímetro. Para a água salgada, a diferença das medidas realizadas pelo densímetro caseiro e pelo densímetro foi de 3,3%, e para o álcool hidratado essa diferença foi de 1,2%.

Conclusão

Este experimento permitiu que se aprendesse a construir um densímetro caseiro. Os resultados obtidos foram bastante satisfatórios, mas foi observado que, por não possuir homogeneidade, a areia tornou-se um material de difícil medição. Sua massa ficava concentrada em partes do copo, fazendo com que ele se inclinasse e tornasse difícil a obtenção de uma altura exata. Portanto, concluiu-se que o densímetro caseiro é válido, mas se substituída a areia por outro material homogêneo, os resultados seriam mais facilmente obtidos e mais precisos também.

Bibliografia:

Nussenzveig, Hersh moysés, 1933- Curso de física básica / H. Moysés Nussenzveig. São Paulo, Edgard Blücher, 1981.

Roteiro de física experimental 3, “ Densimetria”.