en3711 relatorio1 final

7/24/2019 EN3711 Relatorio1 Final

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Universidade Federal do ABC

Engenharia de Instrumentao Automao e Robtica

EN3711Controle Discreto

Professor Dr. Magno Meza

Relatrio 1: Projeto, Simulao e Implementao de controladores pelo mtodo do lugardas razes no domnio discreto para o controle de posio de um servomecanismo

Alexandre Pdua RA: 11018710Guilherme Guerreiro RA: 11017110Luis Gustavo Ribeiro RA: 11122911

Dezembro - 2015


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Sumrio

1 Introduo ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2 Objetivo ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

3 Metodologia -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

3.1 Compensador por Avano de Fase -------------------------------------------------------- 4

3.2 Compensador PD ------------------------------------------------------------------------------- 4

3.3 Compensador PI -------------------------------------------------------------------------------- 5

3.4 Compensador PID ------------------------------------------------------------------------------ 5

4 Resultados e Discusso ---------------------------------------------------------------------------------- 6

4.1 Compensador por Avano de Fase -------------------------------------------------------- 7

4.2 Compensador PD ----------------------------------------------------------------------------- 13

4.3 Compensador PI ------------------------------------------------------------------------------ 17

4.4 Compensador PID ---------------------------------------------------------------------------- 21

5 Concluso -------------------------------------------------------------------------------------------------- 24

6 Referncias Bibliogrficas ------------------------------------------------------------------------------ 25


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1 Introduo

Nas ltimas dcadas os controladores digitais vm ganhando espao na rea de

controle. Tal fato se d principalmente pelas vantagens que esses tipos de controladoresapresentam, como preciso, facilidade e flexibilidade de implementao, velocidade e

custo. Os controladores digitais so implementados em computadores digitais ou

microprocessadores.

Neste experimento prtico, foi utilizado o mtodo do lugar das razes para o projeto

de controladores digitais implementados para o controle de posio do servomotor SRV02

da Quanser. Foram projetados, simulados e implementados controladores do tipo

Compensador por avano de fase, PD, PI e PID.

O mtodo do lugar das razes uma tcnica grfica que permite visualizar de que

forma os plos do sistema em malha fechada variam quando se altera o valor de um

parmetro especfico (o ganho, em geral). Esse mtodo pode ser realizado de maneira

prtica ou computacionalmente. No experimento foram realizados os clculos do projeto

utilizando o software Matlab para projeto e simulao. Por fim o projeto foi implementado

atravs da modelagem do sistema por diagrama de blocos com o auxlio da ferramenta

Simulink.

2 Objetivo

O objetivo desta experincia desenvolver sistemas de realimentao

(Compensador por avano de fase,PD, PI e PID) com o intuito de controlar a posio do

eixo de rotao da carga de um servomotor SRV02 da Quanser. Os compensadores

devero ser projetados para satisfazer um conjunto de especificaes no domnio do

tempo: ess = 0; tp = 0,2 [s]; Mp = 5,0%; Vm mx = +- 10 V. Os compensadores devero ser

projetados, simulados e implementados no domnio discreto (plano z) pelo mtodo do lugar

das razes.


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3 Metodologia

Para esse experimento foram utilizados os seguintes materiais:

- Computador Digital

- Servomecanismo SRV02 da Quanser.

O modelo matemtico fornecido da Planta :

()=

()

()=

( + 1)

As especificaes da planta so conforme a Tabela 1.

Tabela 1Parmetro da planta

Descrio Smbolo Valor Unidade

Ganho de estado estacionrio de malha aberta K 1,53 Rad/Vs

Constante de tempo de malha aberta 0,0254 s

3.1 Compensador Por Avano de Fase

A forma do compensador por avano de fase :

()= +

+

Para o clculo do compensador por avano de fase foi utilizado o seguinte

procedimento:

- Calcula-se o tempo de amostragem;

- Calcula-se a funo de transferncia discreta da planta;

- Calcula-se o polo em malha fechada desejado no domnio discreto;

- Escolhe-se alpha de forma a cancelar o polo mais prximo de 1 da planta;


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- Escolhe-se beta para que o polo do compensador atenda a condio de fase;

- Por fim determinado o ganho do compensador atravs da condio de mdulo.

3.2 Compensador PD

A forma do compensador PD :

()= +

Para o clculo do compensador PD foi utilizado o seguinte procedimento:



- Escolhe-se alpha de forma a cancelar o polo mais prximo de 1 da planta;


3.3 Compensador PI

A forma do compensador PI :

()= +

1

Para o clculo do compensador PI foi utilizado o seguinte procedimento:



- Escolhe-se o alpha o mais prximo possvel de 1;


3.4 Compensador PID

A forma do compensador PID :


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()= +

+ 1

Para o clculo do compensador PID foi utilizado o seguinte procedimento:



- Escolhe-se alpha1 de forma a cancelar o polo mais prximo de 1 da planta;

- Escolhe-se alpha2 o mais prximo possvel de 1;


Esses procedimentos foram executados em laboratrio atravs de rotinas no Matlab.

Atravs do Matlab ainda foi possvel obter grficos com o comportamento do sinal de sada

para uma referncia de onda quadrada assim como o comportamento da tenso do motor.

Com os grficos foi possvel observar algumas variveis como mximo sobressinal, tempo

de subida, etc.

Para implementao dos compensadores foi utilizado o Simulink a fim de projetar os

diagramas de blocos e posteriormente utiliz-los no software especifico para envio de

dados para o kit de controle.

Figura 1Diagrama de blocos utilizado, construdo em ambiente Simulink.


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4 Resultados e Discusso

Para todos os projetos, foram considerados os seguintes requisitos:

5%

= 0,2

O sinal de entrada foi o mesmo em todas as simulaes e teve os seguintes

parmetros:

Tipo: onda quadrada

Amplitude: /8Frequncia: 0,025 Hz

O perodo de amostragem foi determinado a partir da frequncia de corte do

sistema, pela seguinte equao:

= 10

{||}

Onde

c: frequncia de corte

Np: nmero de polos da planta

Nz: nmero de zeros da planta

m: frequncias naturais da planta

Portanto:

= 124,5

Sabe-se que a frequncia de amostragem deve ser, no mnimo, duas vezes a

frequncia de corte (teorema de Nyquist-Shannon). Sendo assim:


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= 250

=2

= 0,025

Com esse tempo de amostragem e os parmetros da planta descritos na tabela 1

utilizou-se a rotina do Matlab disponibilizada pelo professor para obteno da seguinte

funo de transferncia pulsada:

()=0,013911( + 0,722)

( 1)( 0,3737)

E os seguintes polos de malha fechada em z:

= 0,6353 + 0,2632

= 0,6353 0,2632

Esses resultados foram utilizados como base para o projeto dos compensadores

seguir.

4.1 Compensador Por Avano de Fase

Primeiramente foram obtidos os dados da simulao para = 0,0025 , conforme o

clculo desenvolvido anteriormente. A FT do compensador obtida foi:

(

)= 8,4427

0,3737

0,3881


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Figura 2 - Resposta a onda quadrada (Simulao 1).

Figura 3- Tenso do motor (Simulao 1).

O compensador por avano de fase tem como caracterstica a diminuio do

sobressinal para a resposta ao degrau e melhora a resposta transitria tornando a resposta

mais rpida. Essas caractersticas podem ser observadas nas figuras 2 e 3. Na figura 2

nota-se que o tempo de pico e de assentamento so curtos e atendem a especificao do

projeto, e na figura 3 observa-se que a tenso do motor no satura devido ao ganho

relativo do sistema no ser muito alto. Entretanto apesar disso o sobressinal da resposta


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ao degrau de aproximadamente 52%, portanto para o tempo de amostragem calculado o

projeto no atende as especificaes.

Sendo assim atravs de tentativa e erro foi observado como o sistema se

comportava para valores diferentes de tempos de amostragem. O tempo de amostragem

que resultou na melhor resposta foi:

= 0,013

Alm da alterao do perodo de amostragem, tambm foi observado o

comportamento da resposta para deslocamentos nos plos de malha fechada, e o par de

plos que apresentou melhor desempenho foi:

= 0,692 + 0,01

= 0,692 0,01

E a nova FTP obtida pela rotina do Matlab foi:

()=

0,0043222( + 0,8434)

( 1)( 0,5994)

E a FT do compensador:

()= 11,9185 0,5994

0,4355

As figuras 4, 5 e 6 mostram os novos resultados para a segunda simulao:


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Figura 4- Resposta a onda quadrada (Simulao 2).

Figura 5- Resposta a onda quadrada (Simulao 2 com zoom).


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Como pode-se observar nas figuras 4 e 5, o transitrio apresentou uma grande

melhora com a alterao do tempo de amostragem e o tempo de pico ficou muito prximo

de 0,2s como pedido nas especificaes. Isso ocorre porque o tempo de amostragem

influencia diretamente no transitrio da resposta, portanto a reduo do tempo de

amostragem de 0,025 para 0,013 deixou a resposta mais rpida. J a realocao dos plosdominantes de malha fechada influenciaram no ganho relativo j que os mesmos foram

deslocados para mais longe do eixo imaginrio, diminuindo assim o sobressinal para

aproximadamente 5% e com isso atendendo as especificaes do projeto.

4.2 Compensador PD

Primeiramente foram obtidos os dados da simulao para Ts = 0,025, conforme o


()= 16,0788 0,3737


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O compensador PD um caso particular do compensador por avano de fase onde

o polo do compensador colocado na origem. Essa peculiaridade faz com que devido ao

deslocamento um pouco mais acentuado do lugar das razes o ganho relativo seja um

pouco maior comparado com o compensador por avano. Por isso segundo a figura 8

pode-se observar que houve saturao da tenso do motor, diferentemente do

compensador por avano projetado para o mesmo tempo de amostragem. Alm disso, o


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sobressinal tambm alto (46%) fazendo com que o sistema no atenda as especificaes

do projeto.

Assim como no compensador por avano, optou-se por alterar os valores de tempo

de amostragem e a posio dos polos de malha fechada a fim de obter uma melhor

resposta. Dessa forma atravs de tentativa e erro observou-se que o valor de tempo de

amostragem que apresentou o melhor resultado foi:

= 0,023

Novamente por tentativa e erro obteve-se o seguinte par de plos de malha fechada,

que apresentou uma melhor resposta:

= 0,716 + 0,01

= 0,716 0,01

A nova FTP para tal tempo de amostragem foi:

()=

0,012041( + 0,7408)

( 1)( 0,4043)

Portanto o compensador PD resultante:

()= 11,6 0,4043

As figuras 12, 13 e 14 mostram os resultados da segunda simulao:


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Figura 12Resposta a onda quadrada (Simulao 2).

Figura 13Resposta a onda quadrada (Simulao 2 com zoom).


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Figura 14Tenso do motor (Simulao 2).

Para essa segunda simulao no foi necessria uma grande alterao no tempo de

amostragem. Isso ocorreu porque o compensador PD mais sensvel as alteraes no

ganho, portanto apenas com a realocao dos polos de malha fechada j foi possvel

controlar a saturao da tenso do motor e o sobressinal. Portanto os polos dominantes de

malha fechada foram mais uma vez deslocados para longe do eixo imaginrio diminuindo

assim o ganho relativo, o problema de saturao do motor e o sobressinal.

Portanto segundo a Figura 12, observa-se que nessa configurao obteve-se um

mximo sobressinal de aproximadamente 5%, tempo de subida prximo de 0.2 segundos e

erro estacionrio igual zero atendendo assim as especificaes do projeto. Na Figura 14

tambm possvel perceber que a tenso do motor obedece ao limite de 10 volts.

4.3 Compensador PI



()= 8,6768 0,99995

( 1)


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A Figura 15 mostra a resposta ao degrau e o sinal de referncia obtidos na primeira

simulao.


A Figura 16 mostra o esforo de controle do motor.


O compensador PI tem como caractersticas erro esttico de regime permanente

nulo, diminuio do ganho relativo e lentido na resposta transitria. Essas caractersticas

podem ser observadas nas figuras 15 e 16. Na figura 15 observa-se um tempo de pico e


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de assentamento maior do que os vistos nos outros compensadores at aqui, isso ocorre

porque no compensador PI a adio de um polo em z=1 faz com que a resposta do

sistema fique mais lenta. A figura 16 mostra que a tenso do motor no saturou, isso

devido ao ganho relativo ser baixo. O compensador PI tambm pode deixar o sistema mais

instvel.

Observa-se que o comportamento em regime transitrio no o desejado,

apresentando sobressinal de aproximadamente 52% e tempo de tipo superior a 0,2s. Para

contornar esse problema foi realizada uma segunda simulao, forando agora novos

polos dominantes desejados, por tentativa e erro.

= 0,78 + 0,08

= 0,78 0,08

A funo de transferncia pulsada da planta permanece a mesma e a nova funo

do compensador a seguinte:

()= 4,6335 0,99995

( 1)

As figuras 17 e 18 mostram os novos resultados para a segunda simulao:



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Aps a realocao dos plos de malha fechada mais distantes do eixo imaginrio

observa-se a diminuio do sobressinal na figura 17 e uma conseqente diminuio dos

picos de tenso do motor. Apesar de uma melhora no sobressinal, a resposta do sistemaao degrau continua com tempo de pico e de subida lentos conforme figura 17. Esse

comportamento revela a caracterstica do compensador PI em melhorar o regime

permanente, mas em contra partida o regime transitrio prejudicado.

Como soluo para um melhor regime transitrio poderia ter sido alterado o tempo

de amostragem como nos outros compensadores, isso faria com que o tempo de pico

diminusse mas os picos de tenso do motor poderiam aumentar.

Percebe-se que o mximo sobressinal diminuiu drasticamente, estando agora em

torno de 3,7 %, o que satisfaz o requisito de projeto. Como esperado de um controlador PI,

o erro de regime permanente nulo (entrada degrau). Finalmente, o esforo do controlador

no ultrapassa o limite de saturao (10 V), tornando o projeto apto implementao.

4.4 Compensador PID


clculo desenvolvido anteriormente.


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A funo de transferncia do compensador foi determinada como sendo a

combinao entre um compensador PD e outro PI, com o ganho determinado a partir da

condio de mdulo unitrio:

()= 16,0803( 0,3737)

( 0,99995)

( 1)

A Figura 19 representa o desempenho do compensador para a entrada degrau.


A Figura 20 mostra o esforo de controle necessrio.


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Nota-se que o sobressinal muito maior do que o desejado, chegando a 46,5%, no

satisfazendo o requisito de projeto. Alm disso, o esforo de controle extrapola os limites

de saturao, exigindo do motor tenses maiores que 10 V em determinados momentos.

O compensador PID, por se tratar de uma fuso dos compensadores PD e PI, tem a

caracterstica de melhorar a resposta transitria e a resposta de regime permanente aomesmo tempo sem exigir muito da tenso do motor.

Apesar do compensador PID j apresentar um resultado melhor do que os outros

compensadores para o mesmo tempo de amostragem, sero realizados ajustes para

melhorar o sobressinal e tenso do motor.

Foi utilizado, como primeira tentativa, os mesmos novos plos determinados para o

compensador PI. Os resultados obtidos foram satisfatrios, e foram mantidos para a

implementao.

= 0,78 + 0,08

= 0,78 0,08

A nova funo de transferncia do compensador obtida foi a seguinte:

()= 8,7739( 0,3737)

( 0,99995)

( 1)


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As Figuras 21 e 22 representam o desempenho do novo compensador para a

entrada degrau.



Como esperado, aps o deslocamento dos plos de malha fechada observa-se uma

melhoria no sobressinal e nos picos de tenso do motor. Notou-se tambm que para o


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mesmo deslocamento dos plos de malha fechada realizado no PI, o PID apresentou uma

reduo do sobressinal para praticamente 0%. Alm disso o tempo de subida no PID

tambm melhor do que o apresentado no PI.

Com os novos plos, nota-se que a tenso est sempre entre os limites de

saturao, nunca ultrapassando os 10 V. O tempo de subida est prximo de 0,2 s e o

mximo sobressinal no chega nem a 1%, o que, alm de satisfazer os requisitos de

projeto, indica um melhor desempenho do PID, quando comparado ao PI. Como esperado,

esse desempenho no obtido de graa, tendo em vista os maiores picos de esforo do

motor para o compensador PID.

5 Concluso

Neste experimento foi possvel ver na prtica todo o processo de projeto, simulao

de compensadores no domnio discreto. Tal experincia pde esclarecer dvidas que

restaram da parte terica aprendida na primeira parte do curso.

Foi possvel perceber que apesar dos clculos realizados para o projeto dos

compensadores, muitas vezes esses no se comportam como o esperado na simulao,

sendo assim necessria a alterao dos parmetros como tempo de amostragem ou

localidade dos plos de malha fechada.

Nessa atividade prtica tambm foi possvel assimilar as diferenas entre os

compensadores projetados e simulados. O compensador por avano de fase apresentou a

capacidade de melhorar a resposta transitria e sobressinal do sistema. O compensador

PD apresentou as mesmas caractersticas do avano mas com um pouco mais de

sensibilidade quanto ao ganho devido a presena do plo do compensador na origem. O

compensador PI capaz de resolver problemas no regime permanente pelo fato de

cancelar os erros por resposta ao degrau, mas em contra partida o desempenho do

transitrio prejudicado. E por final o compensador PID foi o que apresentou os melhores

resultados pelo fato de se poder alterar a resposta transitria e permanente ao mesmo

tempo.

Apesar do aprendizado foram encontradas muitas dificuldades no decorrer da

execuo dos experimentos. As principais dificuldades foram falta de prtica no laboratrio,

dificuldade com o Matlab/Simulink, disponibilidade do laboratrio e pouco tempo para

aprendizado da teoria necessria para a prtica.


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6 Referncias Bibliogrficas

Apostila de Controle Discreto. Professor Doutor Magno Meza.

K. Ogata. Discrete-Time Control Systems. Prentiece Hall, New Jersey, 1995.

C. L. Phillips and H. T. Nagle. Digital Control System Analysis and Design. Prentice Hall,

New Jersey, thrid edition, 1995.

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