relatÓrio 7 - engrenagens cÔnicas e sem-fim (abnt) - final

5/28/2018 RELATRIO 7 - ENGRENAGENS CNICAS E SEM-FIM (ABNT) - FINAL

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

FRANCISCO BOHRER REMUS

LUCAS DE LIMA GONALVES

THIAGO RODRIGUES RAMOS

MECANISMOS

ENGRENAGENS CNICAS E PAR SEM-FIM

Canoas

2010


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FRANCISCO BOHRER REMUS

LUCAS DE LIMA GONALVES

THIAGO RODRIGUES RAMOS

MECANISMOS

ENGRENAGENS CNICAS E PAR SEM-FIM

Trabalho de pesquisa apresentado para

aprovao da disciplina de Mecanismos

junto ao departamento de engenharia

mecnica da Universidade Luterana do

Brasil.

Orientado por:

Dr. Gilnei Carvalho Occia

Canoas

2010


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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL - ULBRA

PR-REITORIA DE GRADUAO

ENGENHARIA MECNICA

DADOS DE IDENTIFICAO

AUTORIA

NOMES: Francisco Bohrer Remus

Lucas de Lima Gonalves

Thiago Rodrigues Ramos

DEPARTAMENTO DA INSTITUIO

ENGENHARIA MECNICA E AUTOMOTIVA

Data: 11/11/2010

DISCIPLINA

MECANISMOS

SUPERVISO

Dr. Gilnei Carvalho Occia

Canoas, novembro de 2010


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RESUMO

Este documento uma pesquisa sobre engrenagens cnicas e par sem-fim,

com uma abordagem direcionada soluo de problemas especficos destes tipos

de engrenamentos.

O trabalho de pesquisa apresenta uma anlise de trs autores, como

referencial terico. O desenvolvimento apresentado de forma simplificada, sendo

subdividido em nove captulos que tratam sobre engrenamentos, engrenagens

cnicas e engrenagens sem-fim. Durante o desenvolvimento so tratados os

seguintes temas: os fundamentos de engrenamentos, fazendo um apanhado geral

sobre conceito, terminologia dos dentes, relaes geomtricas, lei fundamental de

engrenamento, anlise de foras e trens de engrenagens. O foco principal do

trabalho a anlise de dois tipos de engrenamentos: engrenagens cnicas e par

sem-fim. Esta anlise feita sobre o conceito e a cinemtica destes mecanismos,

atravs das relaes geomtricas. Entretanto uma pequena sntese dinmica das

foras atuantes feita, uma vez que, algumas consideraes geomtricasdependem das cargas aplicadas. Por fim, realizado um estudo de caso para cada

tipo de engrenagem, a fim de, exemplificar as teorias expostas.

Os casos estudados so de dois redutores. O primeiro um redutor

monobloco de engrenagens cnicas, acoplado em um motor de 3hp 600rpm, com

uma reduo de 5:1, que resultou em uma fora transmitida de 1301,88N. No

segundo caso, foi analisado um redutor sem-fim, que acoplado um motor de 1hp

1750rpm, com reduo de 50:1, resultou em um torque de sada de 57,52Nm, comeficincia de 32,04%.

Palavras-chave:

engrenamentoengrenagens cnicasengrenagens sem-fim


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ABSTRACT

This document is a research on bevel and worm pair, with a targeted

approach to solving problems specific to these types of gearing.

The research presents an analysis of three authors, as theoretical. The

development is shown in simplified form, being divided into nine chapters that deal

with gearing, bevel gears and worm gears. During development are treated the

following topics: the basics of gearing, doing an overview on the concept, terminology

of the gear teeth, geometric relationships, the fundamental law of gearing, analysis of

forces and gear trains. The main focus of work is the analysis of two types of gearing,

bevel and wormsets. This analysis is based on the concept and kinematics of these

mechanisms, through the geometric relationships. However a short summary of the

dynamic forces at work is done, since some geometrical considerations depend on

the applied loads. Finally, we conducted a case study for each type of gear, so,

exemplify the theories expounded.

The case studies are two gearboxes. The first is a single block of bevel gear,engaged in a 3hp motor to 600rpm, with a reduction of 5:1, which resulted in a force

transmitted to 1301.88 N. In the second case was analyzed a worm gear, which

coupled to a 1hp engine to 1750rpm, with a reduction of 50:1, resulted in an output

torque of 57.52 Nm, with an efficiency of 32.04%.

Keywords:

gearingbevel gearsworm gears


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NDICE DE ILUSTRAES

Figura 1 - Par de engrenagens cnicas de dentes helicoidais. ............................................................ 20Figura 2 - Configurao de engrenagem padro. ................................................................................. 22Figura 3 - Terminologia dos dentes de engrenagens. .......................................................................... 22Figura 4 - Circunferncia primitiva. ....................................................................................................... 23Figura 5 - Alturas de adendo e dedendo. .............................................................................................. 24Figura 6 - Velocidade tangencial Vte fora tangencial Ftde um par de engrenagens. ........................ 27Figura 7 - Came A e seguidor B em contato. ........................................................................................ 31Figura 8 - Desenho de construo de curva evolvente. ....................................................................... 32 Figura 9 - Relao entre o ngulo de presso e a circunferncia primitiva. ......................................... 32Figura 10 - Representao dos ngulos de afastamento e aproximao na interao entre dentes. . 34Figura 11Interferncia na ao de dentes de engrenagens. ............................................................ 35Figura 12 - Razo de contato. ............................................................................................................... 38Figura 13Diagrama de corpo livre para foras atuantes no engrenamento. .................................... 40 Figura 14Trem de engrenagens. ....................................................................................................... 44Figura 15Trem de engrenagens planetrias. .................................................................................... 45Figura 16Par de engrenagens cnicas de dentes retos. .................................................................. 46Figura 17 - Engrenagem cnica de dentes retos. ................................................................................. 47Figura 18 - Engrenagens cnicas espirais ............................................................................................ 48Figura 19 - Corte de dentes de engrenagens cnicas espirais sobre a cremalheira de topo bsica. .. 48Figura 20 - Engrenagens cnicas zerol. ............................................................................................... 49Figura 21 - Engrenagens hiperbolides. ............................................................................................... 50Figura 22 - Comparao de engrenagens entre eixos interceptantes e inversos do tipo cnico. ........ 50Figura 23 - Terminologia de engrenagens cnicas de dentes retos. .................................................... 51Figura 24 - Foras atuantes nos dentes de engrenagens cnicas de dentes retos. ............................ 54 Figura 25 - Operador de engrenagem cnica. ...................................................................................... 56

Figura 26 - Esquema de diferencial de engrenagens cnicas para automveis. ................................. 56Figura 27 - Redutor de engrenagens cnicas. ...................................................................................... 57Figura 28 - Engrenagem Sem-Fim ........................................................................................................ 60Figura 29 - Terminologia das engrenagens sem-fim. ........................................................................... 62Figura 30 - Representao grfica da largura da face de uma coroa sem-fim. ................................... 64Figura 31 - Foras atuantes em um cilindro primitivo de um parafuso sem-fim. .................................. 65 Figura 32 - Velocidade de deslizamento em engrenamento de par sem-fim. ...................................... 69Figura 33 - Valores do coeficiente de atrito para engrenagens sem-fim. ............................................. 69Figura 34 - Diferencial de Torsen. ......................................................................................................... 70Figura 35 - Esquema de limpador de para brisas. ................................................................................ 71Figura 36 - Hodmetro mecnico. ......................................................................................................... 72


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Figura 37 - Redutor de engrenagens sem-fim. ..................................................................................... 72Figura 38 - Redutor de engrenagens cnicas. ...................................................................................... 74


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NDICE DE TABELAS

Tabela 1Propores de dimenses de dentes para engrenagens cnicas de dentes retos. ........... 53Tabela 2Consideraes para resoluo do estudo de caso: redutor monobloco. ............................ 57Tabela 3ngulos de presso recomendados para dentes de engrenagens sem-fim. ..................... 64Tabela 4Eficincia de pares de engrenagens sem-fim para 0,5. ............................................... 68Tabela 5Consideraes para resoluo do estudo de caso: redutor de engrenagens sem-fim. ..... 73


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NDICE DE EQUAES

Equao 3-01Passo diametral ........................................................................................................... 24

Equao 3-02Mdulo ......................................................................................................................... 24

Equao 3-03Passo circular .............................................................................................................. 24

Equao 3-04Altura de adendo ......................................................................................................... 25

Equao 3-05Altura de dedendo ....................................................................................................... 25

Equao 3-06Altura total do dente ..................................................................................................... 25

Equao 4-01Relao de transmisso .............................................................................................. 28

Equao 4-02Velocidade no crculo primitivo .................................................................................... 28Equao 4-03Razo de velocidades ................................................................................................. 28

Equao 4-04Razo de torque transmitido ........................................................................................ 29

Equao 4-05Razo de engrenamento ............................................................................................. 30

Equao 4-06Raio de base ................................................................................................................ 33

Equao 4-07Nmero mnimo de dentes .......................................................................................... 34

Equao 4-08Comprimento de ao ................................................................................................. 37

Equao 4-09Distncia entre centros ................................................................................................ 37

Equao 4-10Passo de base ............................................................................................................. 37

Equao 4-11Razo de contato ......................................................................................................... 38

Equao 4-12Razo de contato simplificada ..................................................................................... 38

Equao 6-01Fora tangencial .......................................................................................................... 41

Equao 6-02Fora tangencial transmitida ........................................................................................ 41

Equao 6-03Torque transmitido ....................................................................................................... 41

Equao 6-04Potncia transmitida em funo da velocidade angular .............................................. 42

Equao 6-05Potncia transmitida em funo da velocidade no crculo primitivo ............................ 42

Equao 6-06Potncia transmitida em funo das revolues ......................................................... 42

Equao 7-01Relao de revolues de par de engrenagens .......................................................... 43Equao 7-02Relao de transmisso de trem de engrenagens ...................................................... 44

Equao 7-03Relao de transmisso de trem de engrenagens simplificada .................................. 44

Equao 7-04Relao de transmisso de trem de engrenagens planetrias ................................... 45

Equao 8-01ngulos primitivos de cone para engrenagens cnicas .............................................. 52

Equao 8-02Nmero de dentes virtuais para engrenagens cnicas ............................................... 52

Equao 8-03Largura da face do dente para engrenagens cnicas ................................................. 53

Equao 8-04Distncia de cone para engrenagens cnicas ............................................................. 53

Equao 8-05Fora tangencial para engrenagens cnicas ............................................................... 55

Equao 8-06Fora radial para engrenagens cnicas ...................................................................... 55Equao 8-07Fora axial para engrenagens cnicas ........................................................................ 55

Equao 9-01Dimetro primitivo da coroa sem-fim ........................................................................... 63


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Equao 9-02Dimetro primitivo do parafuso sem-fim ...................................................................... 63

Equao 9-03Avano para engrenagens sem-fim ............................................................................. 63

Equao 9-04ngulo de avano para engrenagens sem-fim ............................................................ 63

Equao 9-05Largura de face sem-fim .............................................................................................. 64Equao 9-06Componentes da fora resultante sem atrito para engrenagens sem-fim .................. 65

Equao 9-07Componentes da fora resultante oposta sem atrito para engrenagens sem-fim ...... 66

Equao 9-08Componentes da fora resultante com atrito para engrenagens sem-fim .................. 66

Equao 9-09Fora resultante com atrito para engrenagens sem-fim .............................................. 67

Equao 9-10Fora resultante com atrito para parafuso sem-fim ..................................................... 67

Equao 9-11Eficincia para engrenagens sem-fim ......................................................................... 67

Equao 9-12Velocidade de deslizamento para engrenagens sem-fim ........................................... 68


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LISTA DE SMBOLOS

Passo diametral Mdulo Passo circular Dimetro primitivo

Nmero de dentes

Altura de adendo Altura de dedendo Altura total do dente Relao de transmisso Velocidade no circulo primitivo

Raio do circulo primitivo Velocidade angular Razo de velocidades Razo de torque transmitido Razo de engrenamento Raio do crculo de base

Nmero mnimo de dentes ngulo de presso Comprimento de ao Distncia entre centros Passo de base

Razo de contato

Fora resultante


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Fora tangencial Fora radial

Fora axial Fora resultante transmitida Fora tangencial transmitida Fora radial transmitida Fora axial transmitida Torque transmitido Potncia transmitida Revolues ngulo primitivo de cone do pinho (motriz) ngulo primitivo de cone da coroa (movida) Nmero de dentes virtuais

Raio do cone traseiro

Largura da face de dente Distncia de cone Raio primitivo no ponto mdio do dente Passo circular transversal Avano

Passo axial ngulo de avano

Coeficiente de atrito Eficincia Velocidade de deslizamento

Velocidade do parafuso sem-fim na linha primitiva Velocidade do coroa sem-fim na linha primitiva


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SUMRIO

INTRODUO ......................................................................................................................... 151. REFERENCIAL TERICO ............................................................................................... 161.1. Engrenagens em Geral .................................................................................................... 161.2. Engrenagens Cnicas ...................................................................................................... 171.3. Engrenagens Sem-fim ...................................................................................................... 182. DESCRIO DE ENGRENAMENTO .............................................................................. 202.1. Engrenagens .................................................................................................................... 202.2. Tipos de Engrenagens ..................................................................................................... 213. CONFIGURAO DAS ENGRENAGENS ....................................................................... 223.1. Circunferncia Primitiva .................................................................................................... 233.2. Passo Diametral, Passo Circular e Mdulo ...................................................................... 233.3.Adendo e Dedendo ........................................................................................................... 243.4. Crculo de Folga ............................................................................................................... 253.5. Vo entre os Dentes e Folga no Vo ............................................................................... 254. TEORIA DO DENTE DE ENGRENAGEM ....................................................................... 274.1. Lei Fundamental do Engrenamento ................................................................................. 274.2. Relao de Transmisso .................................................................................................. 274.3. Velocidade no Crculo Primitivo ....................................................................................... 284.4. Razo de Torque Transmitido .......................................................................................... 294.5. Fator e Razo de Engrenamento ..................................................................................... 294.6.Ao Conjugada e Perfil Evolvente .................................................................................. 304.7.

ngulo de Presso ........................................................................................................... 32

4.8. Nmero de Dentes e ngulo de Presso ......................................................................... 334.9. Interferncia em Dentes Evolventes ................................................................................ 354.10. Comprimento de Ao .................................................................................................... 364.11. Passo de Base ............................................................................................................... 374.12. Razo de Contato ........................................................................................................... 375. RELAO ENTRE PERFIL E LARGURA DA FACE DO DENTE ................................... 396. POTNCIA TRANSMITIDA .............................................................................................. 407. TREM DE ENGRENAGENS ............................................................................................ 43


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8. ENGRENAGENS CNICAS ............................................................................................ 468.1. Conceito............................................................................................................................ 468.2. Relaes Geomtricas ..................................................................................................... 518.3.

Anlise de Fora ............................................................................................................... 54

8.4.Aplicao .......................................................................................................................... 558.5. Estudo de Caso ................................................................................................................ 578.5.1.Soluo ........................................................................................................................... 588.5.2.Concluso ....................................................................................................................... 599. ENGRENAGENS SEM-FIM ............................................................................................. 609.1. Conceito............................................................................................................................ 609.2. Relaes Geomtricas ..................................................................................................... 619.3.

Anlise de Fora ............................................................................................................... 65

9.4.Aplicao .......................................................................................................................... 709.5. Estudo de Caso ................................................................................................................ 739.5.1.Soluo ........................................................................................................................... 749.5.2.Concluso ....................................................................................................................... 77CONCLUSO .......................................................................................................................... 78OBRAS CONSULTADAS ......................................................................................................... 81


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INTRODUO

Engrenagens so rodas com dentes padronizados que servem para

transmitir movimento rotativo e fora entre eixos, sendo eles paralelos, no-paralelos

ou interceptantes. Muitas vezes, as engrenagens so utilizadas para variar o nmero

de rotaes e o sentido de rotao de um eixo para outro. Estes mecanismos so os

mais eficientes transmissores e mesmo sendo bastante antigos, sofrem constantes

evolues.

A transmisso de movimento rotativo de um eixo para outro ocorre

em quase toda mquina que se possa imaginar. As engrenagens

constituem um dos melhores meios dentre os vrios disponveis para essa

transmisso (SHIGLEY, 1984, p. 445).

O trabalho de pesquisa tem como objetivo explanar o conhecimento sobre a

cinemtica das engrenagens cnicas, em seus diversos tipos, bem como o

conhecimento sobre a cinemtica das engrenagens sem-fim. Tambm tem o objetivo

de introduzir os fundamentos de engrenamentos, como auxilio no entendimento do

assunto exposto.

O mtodo adotado para este trabalho de analisar cinematicamente os

engrenamentos por engrenagens, cnicas e sem-fim, atravs da literatura usada

para consulta. Todo outro mtodo no presente de conhecimento comum ao leitor,

uma vez visto que, conhecimentos bsicos em geometria, lgebra e fsica

newtoniana so triviais.

A pesquisa, assim como o trabalho, foi dividida de forma coerente no texto.

Em busca da plena compreenso, inicia-se o estudo pelo referencial terico, onde

so expostas as interpretaes dos autores consultados, sobre os temas tratados.

Seqencialmente foram descritos os fundamentos sobre engrenagens, divido em:

descrio de engrenamento, configurao das engrenagens, teoria do dente de

engrenagem, determinao do perfil e largura da face do dente. Por fim, o ponto

central onde feita a anlise cinemtica e um estudo de caso das engrenagenscnicas e sem-fim, sendo seguido da concluso.


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1. REFERENCIAL TERICO

As obras consultadas para o presente trabalho foram muitas, porm trs

obras, de diferentes autores, foram as principais fontes de consulta. Dentre as obras

consultadas tambm se buscou conhecimento em materiais diversos, como pginas

de internet e artigos publicados.

Descaram-se os livros, Projeto de Engenharia Mecnica de Joseph E.

Shigley1, Projeto de Mquinas de Robert L. Norton2e Mecanismos de Hamilton H.

Mabie3, pois abordam suficientemente o assunto tratado neste trabalho, servindo

como uma fonte rica de pesquisa.

Shigley trata separadamente os temas sobre engrenamentos, de forma

coesa, seccionam o estudo em fundamentos e espcimes. Como neste documento

sero tratadas as engrenagens cnicas e sem-fim, necessria uma introduo aos

fundamentos dos engrenamentos. Desta forma, o mesmo acontece no referencial

terico analisado a seguir, que est dividido em trs abordagens distintas, uma

sobre engrenagens em geral, outra sobre engrenagens cnicas e por fim,

engrenagens sem-fim.

1.1. Engrenagens em Geral

Joseph E. Shigley faz uma abordagem ampla sobre engrenagens em geral

em seu livro, Projeto de Engenharia Mecnica, descrevendo as relaes cinemticas

e as transmisses de carregamento nos quatro principais tipos de engrenagens:

cilndricas de dentes retos, helicoidais, cnicas e par sem-fim. Porm o autor no

cita a respeito das engrenagens pinho-cremalheira, que seria o quinto tipo deengrenamento. Shigley procura ser capaz de transmitir o conhecimento necessrio

para a classificao e aplicao de engrenagens em projetos, descrevendo desde a

1 Joseph E. Shigley (1909-1994), professor emrito na Universidade de Michigan e membro daAmerican Society of Mechanical Engineers (ASME). Autor de Projeto de Engenharia Mecnica(Mechanical Engineering Design), 2005.2 Robert L. Norton, professor no Instituto Politcnico de Worcester (WPI), membro da ASME e daSociety of Automotive Engineers (SAE). Autor de Projeto de Mquinas (Machine Design: An

Integrated Approach), 2000.3Hamilton H. Mabie, professor no Instituto Politcnico e Universidade Estadual de Virginia e membroda ASME. Autor de Mecanismos e Dinmica de Mquinas (Mechanisms and Dynamics of Machinery),1998.


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nomenclatura e propriedades geomtricas at as razes de transmisso de

velocidade e foras.

A abordagem sobre engrenamentos de por Robert L. Norton difundida no

livro Projeto de Mquinas realizada separadamente para cada tipo de

engrenagem. Porm o autor faz um apanhado geral da lei fundamental de

engrenamento e relaes geomtricas no captulo sobre engrenagens cilndricas

retas. Segundo o autor todas as engrenagens podem ser analisadas a partir dos

conceitos das engrenagens cnicas, se suas caractersticas geomtricas prprias

forem consideradas.

Para Hamilton H. Mabie toda engrenagem dispositivo mecnico que

transmite, reduz ou multiplica fora. Para uma mesma potncia, se aumentada for, a

rotao teremos um torque baixo, se diminuda a rotao aumenta-se o torque. O

autor diz que engrenamentos so divididos em: engrenagens cilndricas,

engrenagens cnicas e acoplamento parafuso sem-fim. Todas tm variaes nos

tipos de dentes, como explicam a maioria dos autores que abordam este tema.

Mabie faz referncia sobre uma anlise geomtrica clssica, abordando temas

desde a definio de circunferncia primitiva fator de engrenamento.

1.2. Engrenagens Cnicas

De acordo com Joseph E. Shigley as engrenagens cnicas so elementos

utilizados para transmitir movimento entre eixos interceptantes e esto dividas em

cinco tipos: cnicas de dentes retos, cnicas espiraladas, cnicas zerol, cnicas

hipides e cnicas espirides. O autor faz a anlise deste tipo de engrenagens de

duas formas, cinematicamente e dinamicamente. Na primeira so consideradas asrelaes geomtricas, como nmero de dentes, ngulos de presso e relao de

transmisso, entre outras. J na segunda anlise, o autor, define quais esforos

estas engrenagens esto submetidas, e utiliza a equao da American Gear

Manufacturers Association4(AGMA) como padronizao do mtodo de clculo.

Segundo Robert L. Norton, as engrenagens cnicas retas tem seus dentes

cortados paralelos ao eixo do cone, engrenagens cnicas espirais tem seus dentes

4American Gera Manufacturers Association (AGMA) uma associao que ajuda a definir padresnacionais de fabricao de engrenagens desde 1916. A associao tambm serve o ponto focaldentro dos Estados Unidos para o desenvolvimento de orientar os padres ISO.


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cortados em ngulo de espiral em relao ao eixo do cone. O contato entre as

engrenagens cnicas retas ou espirais tem os mesmos atributos que as usas

contrapartes, as cilndricas.

Para Mabie as engrenagens cnicas so pares usados para conectar

rvores, cujos eixos se interceptam ngulo entre o eixo definido como o ngulo

entre linhas de centro das engrenagens em contato. Embora o ngulo entre eixos

seja usualmente 90, h muitas aplicaes de engrenagem cnicas que requerem

ngulos maiores ou menores que este valor. A superfcie primitiva de uma

engrenagem cnica um cone. Quando duas engrenagens cnicas se engrenam,

seus cones fazem contato ao longo de uma linha comum e h um vrtice tambm

comum onde as linhas de centro das engrenagens se encontram. Os cones rolam

um sobre o outro sem deslizarem e tem movimento esfrico. Cada ponto em uma

engrenagem cnica manter uma distancia constante do vrtice comum. A

abordagem sobre engrenagens cnicas de Mabie bastante completa, onde cita o

sistema Gleason5como padro para este tipo de engrenamento.

1.3. Engrenagens Sem-fim

Engrenagens sem-fim para Shigley, ou par de engrenagens sem-fim, como o

autor se refere, so o quarto tipo bsico de engrenagens, sendo mais utilizados

quando as razes de velocidade dos dois eixos so bastante altas. Seu pinho

assemelha-se a um parafuso sem-fim, e a coroa deste par de engrenagens tem sua

rotao dependente da rotao do parafuso e de forma e direo de corte de seus

dentes. Shigley tambm se refere aos conjuntos destas engrenagens como

envelopes, nico e duplo, e por terem o parafuso e a coro com a mesma mo dehlice, se parecem com um par de engrenagens helicoidais cruzadas. Assim como

na abordagem feita em relao as engrenagens cnicas o autor define os esforos

que estas engrenagens esto submetidas pela equao AGMA

Para Robert L. Norton, o sem-fim similar a uma rosca de parafuso, ele se

acopla com uma engrenagem especial, que anlogo a uma porca sendo avanada

pela rosca do sem-fim. Se o ngulo de avano do sem fim for pequeno o suficiente,

5 Sistema Gleason de engrenagens cnicas, (Engineering Design), o padro para projetosengrenagens cnicas nos Estados Unidos, da Corporation Gleason. O sistema emprega um ngulode presso padro de 20, com curto e longo adendo para razes diferentes de 1:1.


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o engrenamento pode ser de travao automtica, ele no pode ser movido para

trs e ele suporta carga.

O parafuso se fim para Mabie, como em uma engrenagem helicoidal, se um

dente faz uma revoluo completa no cilindro primitivo, a engrenagem resultante

conhecida como parafuso sem fim. A engrenagem que se acopla com o parafuso

sem fim denominada coroa sem fim, entretanto a coroa no uma engrenagem

helicoidal. A coroa e parafuso sem fim so usados para conectar eixos no paralelos

e que no se interceptam, e que esto usualmente em ngulos retos. A reduo

geralmente muito grande. A relao entre uma engrenagem cilndrica de dentes

retos ou helicoidal e sua fresa, durante o corte, semelhante relao entre um

parafuso sem fim e a coroa. Os parafusos sem fim que so verdadeiras

engrenagens helicoidais envolventes, podem ser usadas para acionar engrenagens

cilndricas de dentes retos ou helicoidais, mas obviamente resulta contato pontual, o

que insatisfatrio do ponto de vista til.


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2. DESCRIO DE ENGRENAMENTO

A palavra engrenar vem do verbo francs engrener, cujo significado

endentar, entrosar ou engranzar. Na mecnica o significado de engrenamento a

transmitir movimento de rotao por meio de rodas dentas, ou engrenagens.

As engrenagens tm uma histria longa. A ancestral Carroa

Chinesa Apontando para o Sol, supostamente usada para navegar pelo

deserto de Gobi nos tempos pr-Biblicos, continha engrenagens. Leonardo

Da Vinci mostra muitos arranjos de engrenagens em seus desenhos. As

primeiras engrenagens eram provavelmente feitas cruamente de madeira e

outros materiais fceis de serem trabalhados, os seus dentes sendo

meramente uns pedaos de madeira inseridos em um disco ou roda. No foi

at a revoluo industrial que as mquinas demandaram, e que as tcnicas

de manufatura permitiram, a criao de engrenagens tal como agora as

conhecemos, com dentes especialmente moldados ou cortados em um

disco de metal (NORTON, 2000, p. 597).

2.1. Engrenagens

Engrenagens so mecanismos para transmisso de movimento e fora entre

eixos atravs de elementos padronizados, chamados dentes. Na grande maioria de

suas aplicaes, as engrenagens so utilizadas para variar as rotaes em nmero

e sentido nos eixos em que esto empregadas. A Figura 1 mostra um par de

engrenagens cnicas de dentes helicoidais.

Figura 1 - Par de engrenagens cnicas de dentes helicoidais.


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2.2. Tipos de Engrenagens

Engrenagens cilndricas de dentes retosso compostas de dentes paralelos

ao eixo derotao e aplicam-se na transmisso entre eixos paralelos.

Engrenagens cilndricas de dentes helicoidais so compostas por dentes

inclinados em relao ao eixo de rotao e sua aplicao semelhante das de

dentes retos, porm tm a caracterstica de serem mais silenciosas.

Engrenagens cnicasso aquelas com as superfcies dos seus dentes tm

formato cnico e servem nautilizao de transmisso de movimento e fora entre

eixos interceptantes (concorrentes).

Engrenagens sem-fimso engrenamentos que possuem o elemento motriz

semelhante ao um parafuso e servempara transmitir movimento rotativo entre eixos

no-paralelos e no-interceptantes. Este tipo de engrenagem bastante usado

quando a relao de transmisso de velocidades bastante elevada.

Engrenagens pinho-cremalheira so engrenamento onde a coroa tem

dimetro infinito, tornando-se reta. Seus dentes podem ser retos ou inclinados,

assim seu dimensionamento semelhante as engrenagens cilndricas de dentes

retos ou inclinados. Com esse tipo de engrenamento pode se transformarmovimento rotativo e translacional.


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22

3. CONFIGURAO DAS ENGRENAGENS

As engrenagens so constitudas de elementos bsicos, que podem variar

de geometria e tamanho. Observe a configurao da engrenagem padro exibido na

Figura 2.

Figura 2 - Configurao de engrenagem padro.

Toda a transferncia de movimento e fora realizada diretamente pelo

contato entre os dentes engrenados, tornando-os os principais elementos do

engrenamento. A geometria do dente extremamente importante eficincia da

transmisso. Desta forma, sua fabricao deve ser rigorosa, no podendo haver

variaes nas distncias entre os dentes e principalmente nos perfis.

Sua geometria descrita por Shigley[1] de forma precisa na imagem da

Figura 3, de modo que permite uma total compreenso das dimenses e

nomenclaturas das regies que compem os dentes de uma engrenagem.

Figura 3 - Terminologia dos dentes de engrenagens.


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23

3.1. Circunferncia Primitiva

A circunferncia primitiva, ou de passo (pitch circle), serve de base na

medio das engrenagens. Este permetro teoricamente onde todos os clculos

so gerados e seu dimetro chamado de dimetro primitivo.

As circunferncias primitivas so tangentes entre si quando duas

engrenagens esto engrenadas, conforme mostra a Figura 4.

Figura 4 - Circunferncia primitiva.

3.2. Passo Diametral, Passo Circular e Mdulo

O passo diametral a razo entre o nmero de dentes da engrenagem e odimetro primitivo. Logo, recproco do mdulo.

O passo circular de uma engrenagem a distncia, medida nacircunferncia primitiva, entre pontos correlativos de dentes vizinhos. Outra anlise

pode-se estabelecer que o passo seja a soma da espessura do dente com o vo

frontal.


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24

O mdulo a razo entre o dimetro primitivo da engrenagem e o nmerode dentes.

(3-01) (3-02)

(3-03)

Onde:

- Passo diametral, dentes por mm - Mdulo, mm - Passo Circular, mm por dentes - Dimetro primitivo, mm - Nmero de dentes

3.3. Adendo e Dedendo

A altura de adendo, ou altura da cabea, mostrada na Figura 5 sendo

definida como a distncia radial entre a circunferncia primitiva e a circunferncia de

adendo, ou da cabea. Visualmente esta altura encontra-se na regio que determina

o perfil lateral da face do dente.

A altura de dedendo, ou altura de raiz, mostrada na Figura 5 como sendo a

distncia radial entre a circunferncia primitiva e a circunferncia de dedendo, ou

raiz. Nesta regio encontra-se o perfil lateral do flanco do dente.

Figura 5 -Alturas de adendo e dedendo.


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25

As distncias definidas ao adendo e ao dedendo para dentesintercambiveis so, geralmente, e , respectivamente.

(3-04)

(3-05)

Onde:

- Altura de adendo, mm - Altura de dedendo, mm

Assim, conclui-se que a altura total do dentes igual a somatria dasaltura de adendo e dedendo.

(3-06)

Onde:

- Altura total do dente, mm

3.4. Crculo de Folga

O crculo de folga a circunferncia que tangencia o crculo de adendo da

engrenagem par. A folga o quanto o dedendo, em certa engrenagem, excede ao

adendo da sua engrenagem par. O recuo o quanto a largura do espao entre os

dentes excede espessura dos dentes engrenados, medido sobre os crculos

primitivos.

3.5. Vo entre os Dentes e Folga no Vo

O vo entre os dentes a distncia curvilnea, medida sobre a circunferncia

primitiva, entre dois flancos defrontantes de dentes adjacentes. Para compensar


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26

erros e imprecises no vo e forma dos dentes, e permitir que os dentes de um par

de engrenagens rolem com a menor interferncia possvel existe uma folga,

chamada de folga no vo. Esta folga a diferena entre o vo dos dentes de uma

engrenagem e a espessura do dentes da engrenagem conjugada. Quando existe tal

folga entre engrenagens, uma pode girar em um ngulo bem pequeno enquanto a

sua conjugada mantm-se estacionria. Outra funo desta folga promover a

lubrificao entre os dentes e a dilatao dos dentes quando ocorre aumento de

temperatura.


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27

4. TEORIA DO DENTE DE ENGRENAGEM

4.1. Lei Fundamental do Engrenamento

A lei fundamental do engrenamento determina as velocidades angulares de

um par de engrenagens tm uma relao constante, uma vez, que os dentes

promovem movimento sem escorregamento. Desta forma, um par de engrenagens

engrazadas rolam seus crculos primitivos, em um ponto comum e tangente, uns

sobre os outros, de modo que sua velocidade tangencial Vte foras tangenciais Ft

sejam idnticas, conforme mostra a Figura 6.

Figura 6 - Velocidade tangencial Vte fora tangencial Ftde um par de engrenagens.

Uma condio para que a lei fundamental do engrenamento ser verdadeira

que o perfil do dente das duas engrenagens deve ser conjugado ao outro. Umamaneira de conjugar as engrenagens usando o chamado evolvental para lhes dar

forma.

4.2. Relao de Transmisso

A relao de transmisso, ou razo de velocidade, a velocidade angular da

engrenagem motora dividida pela velocidade angular da engrenagem comandada.

Para engrenagens de dentes retos esta razo varia diretamente com os dimetros

primitivos e com o nmero de dentes.


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28

(4-01)

Onde:

- Relao de transmisso

Os ndices e referem-se s engrenagens, motora e movida.

4.3. Velocidade no Crculo Primitivo

Quando engrenagens engrazadas esto em movimento, seus crculos

primitivos rolam uns sobre os outros, sem escorregamento. Se considerados os raios

primitivos como e e as velocidades angulares e , respectivamente, avelocidade no circulo primitivo ser .

(4-02)

Onde:

- Velocidade no circulo primitivo, mm.s-1 - Raio do circulo primitivo, mm - Velocidade angular, rad.s-1

Desta forma a relao entre os raios primitivos e as velocidades angulares

inversamente proporcional. Assim, a razo de velocidades igual razo do raiode referncia (primitivo) , da engrenagem de entrada, para o raio da engrenagemde sada .

(4-03)

Onde:

- Razo de velocidades


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29

4.4. Razo de Torque Transmitido

A razo de torque transmitido , ou ganho mecnico, recproco a razodas velocidades e se relaciona com a velocidade angular da seguinte forma.

(4-04)

Onde:

- Razo de torque transmitido

Assim, um engrenamento essencialmente um dispositivo de troca de

torque por velocidade e vice-versa. Uma utilizao comum de engrenamento

reduzir velocidade e aumentar o toque para grandes carregamentos, como em caixa

de marchas em automveis. Outra aplicao requer um aumento na velocidade e

uma conseqente reduo no torque. Nos dois casos geralmente desejvel manter

uma razo constante entre as engrenagens enquanto elas giram.

4.5. Fator e Razo de Engrenamento

O fator de engrenamento de um dente individual considera a converso da

presso nos flancos no ponto de tangncia entre os crculos primitivos para a

presso nos flancos no ponto de engrenamento.

A razo de engrenamento compreendida como a razo de velocidadesou de torques, qualquer deles que seja 1.Portanto, a razo de engrenamento diretamente relacionada com a razo s relaes de um par de engrenagens, como

por exemplo, a razo entre os dimetros primitivos, da engrenagem movida e damotriz , ou a razo entre os nmeros de dentes, e , da engrenagem movidae da motriz, respectivamente.


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30

(4-05)

Onde:

- Razo de engrenamento

Para que a lei fundamental do engrenamento seja consistente, os contornos

dos dentes engrenantes devem ser conjugados um ao outro. Infinitas so as

variaes de curvas destes perfis engrenantes, porm poucas so as curvas com

aplicao prtica. Alguns relgios de pulso e parede ainda utilizam a ciclides, j a

grande maioria das engrenagens utiliza a involuta, ou evolvente, de um crculo,

como curva do perfil de seus dentes.

4.6. Ao Conjugada e Perfil Evolvente

, obviamente, irrealista supor que os dentes sejam perfeitamente formados,

suaves e rgidos, pois a aplicao de foras causar deflexes. Os dentes

engrazados tm suas superfcies em contato, rolante, similares cames. Quando

perfis de dentes, ou cames, so projetados para que seu engrenamento tenha uma

razo de velocidade angular constante, defini-se que ento estes elementos tenham

ao conjugada. Em tese qualquer perfil de dente tem um perfil engajante que

resulte em ao conjugada.

A Figura 7 mostra um par de came, que se assemelha a um par de

engrenagens, quando as superfcies em contato tm perfis de evolvente, a ao

conjugada resultante produz uma razo constate de velocidade angular. Paratransmitir movimento a uma razo de velocidade angular constante, o ponto primitivo

deve permanecer fixo, isto , toda linhas de ao, para cada ponto instantneo de

contato, devem passar pelo mesmo ponto P.


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31

Figura 7 - Came A e seguidor B em contato.

Os perfis habitualmente utilizados em dentes de engrenamento so

evolventes de uma circunferncia. Esta curva evolvente, ou involuta, descrita por

pontos de uma reta tangente (geratriz) que se enrola em um circulo, localizado na

circunferncia de base, onde se formam os dentes. A Figura 8 mostra a construo

de uma curva evolvente, onde o circulo base dividido em partes iguais por linhas

radiais AO, e perpendiculares a estas, retas AB de comprimentos iguais ao arco de

sua seo. A geratriz ao se enrolar forma uma curva de raio varivel e perpendicular

ao raio de base, pois sua origem desloca-se sobre a circunferncia.

Os termos evoluta e evolvente so relacionados. Evoluta, do latim

evolutus, a curva que corresponde ao local geomtrico de uma outra

curva; o envelope das perpendiculares da involuta. Involuta, ou evolvente,do latim involutus, , por sua vez, o local geomtrico dos centros de

curvatura de uma curva plana ou inversa; curva cujas tangentes so

normais a uma outra; curva que se faz sobre a superfcie tangente de uma

outra e que intercepta, ortogonalmente, as retas geradas (SHIGLEY, 2005,

p.631).

O perfil evolvente de um dente de engrenagem tm com finalidade diminuir a

zona de interferncia, reduzindo-a uma linha de contato. Entretanto, esta linha decontato entre os dentes s existe hipoteticamente, pois com a aplicao de fora

haver deflexo entre os flancos, gerando uma rea de contato.


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32

Figura 8 - Desenho de construo de curva evolvente.

4.7. ngulo de Presso

O ngulo de presso forma-se entre a linha de presso e a reta

perpendicular ao raio primitivo e tangencial circunferncia primitiva, que

evidenciado na Figura 9. Este ngulo somente existe se houver contato entre curvas

evolventes. A linha de presso determinada pela componente da fora normal, ou

resultante, que atua sobre a face do dente engrenado, e representada por uma

reta tangente circunferncia de base e perpendicular ao raio de base com abertura

igual a . Sendo assim a interseco destas retas indica o ponto de contado doengrenamento.

Figura 9 - Relao entre o ngulo de presso e a circunferncia primitiva.


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Podemos considerar que o raio do crculo de base determinado pela

expresso:

(4-06)

Onde:

- Raio do crculo de base, mm - Raio do crculo primitivo, mm

Nota-se que o tamanho do dimetro primitivo e do ngulo de presso

depende, exclusivamente, dos tamanhos dos crculos base e da distncia entre

centros dos mesmos.

ngulos de presso so normalmente utilizados entre 20 e 25, porm j se

usou 14,5.

4.8. Nmero de Dentes e ngulo de Presso

Existe uma relao entre o nmero de dentes e o ngulo de presso, pois

na circunferncia de base que se formam os dentes e o ngulo de afastamento,

mostrado na Figura 10, diretamente proporcional ao ngulo de presso. Essa

relao implica na quantidade dentes a serem construdos, pois quanto menor for o

ngulo de presso, menor ser o ngulo de afastamento e maior o nmero de

dentes. Sendo assim o nmero de dentes inversamente proporcional ao ngulo de

presso.

Outras implicaes devem-se a esta relao, tais como restries na

transmisso de torque pela diminuio dos dentes, dificuldade de construo e

aumento da largura da engrenagem, a fim de, manter a resistncia mecnica s

tenses de cisalhamento que ocorrem no contato entre os dentes.

O contato inicial, mostrado no ponto a da Figura 10, acontece quando o

flanco da engrenagem motora entra em contato com o flanco da engrenagem

movida, no qual o crculo de adendo da engrenagem acionada cruza a linha depresso. Os ngulos de aproximao de cada engrenagem so dados atravs da

construo de perfis de dentes gerados neste ponto por traados de linhas radiais


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desde a interseco desses perfis com os crculos primitivos at o centro das

engrenagens.

Figura 10 - Representao dos ngulos de afastamento e aproximao na interao entre dentes.

O menor nmero de dentes de um pinho e uma coroa, cilndricos de dentes

retos, com razo de engrenamento 1:1, que pode existir sem interferncia .

(4-07)

Onde:

- Nmero mnimo de dentes - ngulo de presso,


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35

Se os dentes forem considerados completos, ento 1, e caso sejamreduzidos, 8. Para engrenagens padro o ngulo de presso 20, desta formaconclui-se:

Deste modo, 13 dentes em ambas as engrenagens no causariam

interferncia no engrenamento. Observa-se que para um ngulo de presso de

14,5, o nmero mnimo de dentes seria de 23, o que mostra o desuso das

configuraes com este ngulo de presso.

4.9. Interferncia em Dentes Evolventes

A interferncia em dentes de engrenagens, conforme mostrado na Figura

11, ocorre nos pontos de tangncia da linha de ao e dos crculos de base. Isso

ocorre quando o dente da engrenagem grande o suficiente para penetrar na linha

de base do pinho, penetrando sua cabea no flanco do dente do pinho, em umarotao forada.

Figura 11 Interferncia na ao de dentes de engrenagens.


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36

O alcance promovido pelo perfil evolvente faz com que o dente da

engrenamento motor (motriz) tenha um efeito de cavar, ou interferir, no flanco do

dente movido. Este fato uma desvantagem sria das engrenagens evolventais,

sendo mxima quando um pinho de pequeno nmero de dentes se engrena uma

cremalheira. A interferncia reduzida com a diminuio de tamanho da

engrenagem.

Quando dentes de engrenagens, com perfis evolventes, so confeccionados

por ferramentas cremalheiras, seus flancos so recortados automaticamente, sendo

removida a parte que ocasiona a interferncia entre quaisquer engrenagens. Porm,

o dente torna-se fraco e o grau de engrenamento pode vir a ser indesejvel, mesmo

tendo resolvido o problema da interferncia. Indica-se assim, evitar a condio de

interferncia terica, se possvel.

4.10. Comprimento de Ao

A razo entre os raio das engrenagens permanece constante a medida que

os dentes entram e saem do engrenamento. Assim, pode-se expressar

cinematicamente a lei fundamental do engrenamento, conforme Robert L. Nortondescreve:

A normal comum do perfil de dentes, em todo os pontos de

contato durante o engrenamento, deve sempre passar por um ponto fixo na

linha de centro das engrenagens, chamado ponto de referncia (NORTON,

2000, p 601).

O engrenamento definido pelos pontos de contato de entrada e sada, e adistncia entre esses pontos ao longo da linha de ao, dentro do engrenamento,

chamada de comprimento de ao. Esta distncia determinada pelas interseces

dos respectivos crculos de adendo com a linha de ao. A distncia ao longo da

circunferncia de referncia do engrenamento o arco de ao, e este deve ter o

mesmo comprimento no pinho e na engrenagem, a fim de, evitar o escorregamento

entre os cilindros tericos em rotao.

O comprimento de ao pode ser calculado atravs da geometria daengrenagem e do pinho.


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37

(4-08)

Onde:

- Comprimento de ao, mm - Distncia entre centros, mm

A distncia entre centros a soma dos raios primitivos do par de

engrenagens, ou seja.

(4-09)

4.11. Passo de Base

O passo de base a distncia, constante, entre os lados paralelos dosdentes engrenados, ao longo de uma normal comum. A Figura 12 mostra esta

distncia representada pela reta de at , que est relacionada ao passo circular,representado na imagem como a reta entree , pela seguinte equao.

(4-10)

Onde:

- Passo de base, mm por dentes

4.12. Razo de Contato

Um dente ao iniciar seu contato com o dente da outra engrenagem e

mantm este contato at o afastamento, a engrenagem descreve um arco, que

definido como arco de ao. Entretanto, antes que este arco seja completado para

um determinado dente, outro dente inicia seu contato. Em outras palavras, existe em


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38

todo engrenamento um curto espao de tempo em que dois dentes esto acoplados

ou em contato ao mesmo tempo, um preste a concluir e outro iniciando. Esta relao

do nmero de dentes em contato ao mesmo tempo definida como razo de

conduo ou de contato, dado pela relao:

(4-11)

Onde:

- Razo de contato

Simplificadamente, se substitudas as equao 4.08 e 4.10, obtm-se.

(4-12)

A razo de contato deve ser obrigatoriamente maior do que 1, evitando

choques e rudos nos acoplamentos sucessivos dos dentes, pelo fato de um dentedesacoplar o outro j estar em contato. A Figura 12 mostra a razo de contato

geometricamente.

Figura 12 - Razo de contato.


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5. RELAO ENTRE PERFIL E LARGURA DA FACE DO DENTE

O perfil do dente de engrenamento definido atravs da analise da

transmisso do movimento sincronizado de rotao. Esta anlise no esta

relacionada causa do movimento e sim a cinemtica do mesmo, que estuda a

adequao geomtrica dos dentes engranzados para realizar movimento com

interferncia pontual entre si, visto pelo plano do perfil. Este ponto de contato esta

localizado na tangncia comum entre as circunferncias primitivas. Neste caso a

largura da face do dente indefinida e o movimento transmitido ao longo de uma

linha de contato, porm se a rea tender a zero e sua fora ser nula, logo a tenso

tender ao infinito, havendo uma imponderabilidade.

Em teoria a interferncia infinitesimal, porm na prtica, esta interferncia

tem uma rea de contato. Devido a fatores como os esforos entre os dentes e as

caractersticas plsticas e elsticas dos materiais, ocorrem deflexes em seus perfis.

Este fato gera uma rea de contato para transmisso de fora.

A largura definida variando a rea de contato conforme a necessidade de

transmisso de fora. Portanto, a analise dinmica, pois a carga aplicada a

causa e o movimento o efeito.O perfil do dente tem relao com a largura da face do dente atravs do

mdulo da engrenagem, visto que variaes de perfis, como, altura e afastamento,

influenciam no mdulo. Estas variaes proporcionam alteraes da largura da face,

visando manter a mesma rea de transmisso de fora. Padres foram criados para

os diferentes tipos de engrenagens, no havendo assim, uma equao universal que

defina essa largura.

Toda via uma boa aproximao, mesmo que seja bem generalizada,costuma-se indicar que a largura da face do dente no seja menor do que , e nem

maior que , do dimetro primitivo da menor engrenagem.


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40

6. POTNCIA TRANSMITIDA

Se feita uma anlise das foras atuantes mostradas na Figura 13, correto

afirmar que so trs as principais foras aplicadas quando um par de engrenagens

est engrazado. Essas foras esto descritas como , e e so respectivas asforas ortogonais, tangencial, radial e axial, nesta seqencia. Nota-se que em caso

do engrenamento tratar-se de um par de engrenagens cilndricas de dentes retos as

foras atuantes no flanco do dente, na altura da circunferncia primitiva, so as

foras, tangencial e radial, impostas pelo dente da engrenagem vizinha. E neste

caso, a fora axial imposta pelo eixo sobre a engrenagem. Porm, quando os

dentes no so retos e nem paralelos ao eixo; ou seja, outros pares de engrenagens

que no sejam cilndricas de dentes retos, esta fora axial poder ser exercida no

dente, tambm. No entanto a transferncia de fora se d pela resultante , sendoela responsvel pela presso exercida na rea do flanco do dente, ao cabo que,

encontra-se inclinada no ngulo de presso .

Figura 13 Diagrama de corpo livre para foras atuantes no engrenamento.

No diagrama de corpo livre mostrado na Figura 13 a fora radial estdirecionada ao centro da circunferncia primitiva e a componente da resultante

, essencial na anlise dos esforos ocorridos, radialmente, no eixo da engrenagem,

no tendo propsito algum na transmisso e sim somente tende a separar as

rvores. J a componente tangencial a real fora responsvel pela transmisso


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41

entre engrenagens. Esta componente descrita como o cateto adjacente

resultante , em funo do ngulo de presso .

(6-01)

Onde:

- Fora resultante, N - Fora tangencial, N

Assim, a carga transmitida igual a fora tangencial e da mesma forma,a carga resultante transmitida deduzida pela substituio na Equao (6-01).

(6-02)

Onde:

- Fora resultante transmitida, N - Fora tangencial transmitida, N

Com essas consideraes sobre as cargas transmitidas, calcula-se que o

torque transmitido

aplicado em funo da carga tangencial transmitida

e o

dimetro primitivo . Isso por que o brao de alavanca o raio primitivo , uma vezque, .

(6-03)

Onde:

- Torque transmitido, Nm


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42

A potncia transmitida obtida quando o torque transmitido e a velocidadeangular da engrenagem so multiplicados.

(6-04)

Onde:

- Potncia transmitida, W

Outra anlise bastante usual considerar a potncia transmitida funo da

carga tangencial transmitidamultiplicada velocidade no crculo primitivo , vistoque, . Se utilizada a Equao (6-03) para a definio do torque transmitido eo substituirmos na Equao (6-04), multiplicando-o pela definio da velocidade no

circulo primitivo obtida na Equao (4-02) teremos:

(6-05)

Uma simplificao prtica para projeto considerar , portanto aEquao (6-06) relacionada com o dimetro primitivo e as revolues por minuto

da engrenagem.

(6-06)

Onde:

- Revolues, rpm


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7. TREM DE ENGRENAGENS

Uma compilao de duas ou mais engrenagens acopladas constitui um trem

de engrenagens. De modo que, um par de engrenagens a configurao mais

simples de um trem de engrenagem. O empacotamento de um par de engrenagens

limitado, usualmente, em razes acima de 10:1, pois o par de engrenagens, nestas

situaes, torna-se excessivamente grande, caso mantido o nmero mnimo de

dentes especificado na Equao (4-07).

Trens de engrenagens podem ser simples, compostos ou epicclicos6.

Uma anlise cinemtica referente relao de revolues (velocidade de

rotao) de um pinho 2 movendo uma coroa 3, em um trem de engrenagens

simples, descrita como funo de seus nmeros de dentes, ou, dimetros

primitivos.

(7-01)

Esta equao aplica-se qualquer tipo de par de engrenagens, sejam elascilndricas de dentes retos, helicoidais, cnicas ou par sem-fim.

Quando se trata de trem de engrenagens com maior nmero de elementos,

do que um par, a relao de revolues funo do produto de suas razes de

engrenamento, ou seja, cada relao entre os nmeros de dentes, dos pares

conjugados que compe o conjunto se multiplicam revoluo da engrenagem

motriz, para definir a revoluo da engrenagem conduzida.

O trem de engrenagens ilustrado na Figura 14 composto por cincoengrenagens. A velocidade da engrenagem 6 definida conforme foi explanado no

pargrafo anterior.

(a)

6Epicclicos (Epicclico), movimento em pequenos crculos descritos por um astro em torno de umponto imaginrio que, por sua vez, descreve outro crculo.


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44

Figura 14 Trem de engrenagens.

Nota-se que neste trem de engrenagens descrito na Figura 14 as

engrenagens motrizes so as 2, 3 e 5, enquanto as movidas so as demais, 4 e 6.

Porm a engrenagem 3 tambm considerada movida, ao passo que, ela

intermediria e seu nmero de dentes se cancela na Equao (a), afetando

exclusivamente a direo de rotao da engrenagem 6. Desta forma a relao de

transmisso de trem de engrenagens definida como:

(7-02)

Os dimetros primitivos tambm podem ser utilizados na Equao (6-02).

Outra observao que resulta em um nmero positivo quando a ltimaengrenagem tiver o mesmo sentido de giro que a primeira, e ser negativo, quandoo sentido de giro da ltima for oposto ao da primeira.

A equao universal para esta relao simplificada da seguinte forma:

(7-03)

Onde os ndices e correspondem as engrenagens, primeira e ltima,respectivamente.

Em trens de engrenagens planetrias, ou epicicloidais, os efeitos obtidos so

incomuns, pois tm dois graus de liberdade; isto , para um movimento restringido,um trem planetrio deve dispor de duas entradas. Estes trens sempre so


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compostos por uma engrenagem sol, um brao e uma ou mais engrenagens

planetas, conforme mostra a Figura 15.

Figura 15 Trem de engrenagens planetrias.

Geralmente, um dos elementos deste tipo de trem de engrenagens ligado

estrutura e no se move. A relao de transmisso do movimento de sada do

trem planetrio se d na razo das diferenas de revolues dos elementos do

conjunto e tem como resoluo a equao:

(7-04)

Onde o ndice referente ao brao.Um mtodo prtico utilizar os centros instantneos relativos, pois as

engrenagens quando engrazadas, no ponto de engrenamento, tm as velocidades

idnticas. A interseco das retas perpendiculares aos vetores de velocidade de um

corpo define o centro instantneo de rotao, assim, sua velocidade angular a

velocidade de um ponto, dividida pela distncia entre o ponto e o centro instantneo.


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8. ENGRENAGENS CNICAS

As engrenagens cnicas so engrenagens com dentes formados em

superfcies cnicas e, geralmente, usadas em transmisses entre eixos

interceptantes. A Figura 16 ilustra um par de engrenagens cnicas de dentes retos.

As engrenagens cnicas so usadas para conectar os machados

que so cortados, geralmente perpendiculares, embora no

necessariamente. Os dentes de uma engrenagem cnica esto sob quase a

mesma ao que aqueles das engrenagens retas e helicoidais (FAIRES,

1982, p.533).

Figura 16 Par de engrenagens cnicas de dentes retos.

8.1. Conceito

Engrenagens cnicas so cortadas em cones acoplados com eixos no-

paralelos e interceptantes em seus vrtices de cones. O ngulo entre seus eixos

pode variar, porm normalmente 90. Quando os dentes so cortados paralelos ao

eixo de rotao, so chamadas de engrenagens cnicas de dentes retos. Outraconfigurao, onde os dentes formam arcos circulares, so chamadas de

engrenagens cnicas espiraladas. Existe tambm outra configurao, chamada


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ZEROL, esta patenteada, seus dentes so curvados como as cnicas espirais,

mas com um ngulo espiral zero, semelhante as cnicas de dentes retos. As

hiperbolides, ou hipides, so semelhantes as cnicas espiraladas, mas com eixos

deslocados e no interceptantes.

As engrenagens cnicas podem ser classificadas como:

Engrenagens cnicas de dentes retos

Engrenagens cnicas espirais

Engrenagens cnicas zerol

Engrenagens hiperbolides (ou, abreviadamente, hipides)

Engrenagens espirides

Engrenagens cnicas de dentes retos so utilizadas geralmente para

velocidades no circulo primitivo de at 5m/s, quando o nvel de rudo no

importante. Disponveis em muitos tamanhos comerciais, elas apresentam um custo

de produo menor que o de outras engrenagens cnicas, principalmente quando

fabricadas em pequenas quantidades. A Figura 17 ilustra um par de engrenagenscnicas de dentes retos.

Figura 17 - Engrenagem cnica de dentes retos.


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Engrenagens cnicas espiraisso recomendadas para maiores velocidades

e para onde os nveis de rudos forem importantes. As engrenagens cnicas espirais

so a contraparte cnica das engrenagens helicoidais. A Figura 18 mostra um par de

engrenagens cnicas espirais engrenadas.

Figura 18 - Engrenagens cnicas espirais

A definio do ngulo espiral, por sua vez, mostrada na Figura 19.

Figura 19 - Corte de dentes de engrenagens cnicas espirais sobre a cremalheira de topo bsica.


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Engrenagens cnicas ZEROLso um tipo de engrenagem patenteada com

dentes curvos, mas com ngulo de espiral nulo. Os esforos axiais neste tipo de

engrenagem no so to altos quanto aqueles das engrenagens cnicas espirais.

Conseqentemente, aplicam-se no lugar das engrenagens cnicas de dentes retos.

A engrenagem zerol produzida pela mesma ferramenta utilizada para gerar a

engrenagem cnica de espiral comum.

Para fins de projeto, geralmente, usa-se o mesmo procedimento indicado

para engrenagens cnicas de dentes retos, substituindo, ao final, a engrenagem por

uma zerol. Um par de engrenagens cnicas zerol ilustrado pela Figura 20.

Figura 20 - Engrenagens cnicas zerol.

Engrenagens hiperbolides so normalmente utilizadas no caso de

aplicaes envolvendo de engrenagens cnicas, mas com eixos deslocados,

inversos, como em diferenciais automotivos. Tais engrenagens so conhecidas

como hiperbolides, pois suas superfcies primitivas so hiperbolides de revoluo.

A interao entre os dentes destas engrenagens consiste em uma combinao de

rolamento com deslizamento ao longo de uma linha reta, sendo semelhante ao que

ocorre nas engrenagens sem-fim. A Figura 21 mostra um par de engrenagens

hiperbolides engrazada.


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Figura 21 - Engrenagens hiperbolides.

Engrenagens espirides so semelhantes s hipides, porm com

deslocamentos maiores, o pinho comea a parecer com um parafuso sem-fim em

cone.

A Figura 22 , por sua vez, includa para auxiliar na classificao de

engrenagens cnicas em espiral.

Figura 22 - Comparao de engrenagens entre eixos interceptantes e inversos do tipo cnico.


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8.2. Relaes Geomtricas

Em transmisses de movimento entre eixos que se interceptam, so usadas

engrenagens cnicas. Usualmente estas engrenagens so construdas para um

ngulo entre eixos de 90, mas podem transmitir movimento entre diversos ngulos.

Apesar de seus dentes poderem ser fresados, gerados ou fundidos, somente os

gerados so definidos como precisos. Na Figura 23 mostra a terminologia das

engrenagens cnicas de dentes retos.

Figura 23 - Terminologia de engrenagens cnicas de dentes retos.

Os passos, diametral e circular, dessas engrenagens so calculados

igualmente aos passos das engrenagens cilndricas de dentes retos, sendo medidos

na extremidade maior do dente. Os ngulos primitivos de tais engrenagens so


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relacionados ao nmero de dentes e definidos pelos cones primitivos da parte mais

elevada.

(8-01)

Onde:

- ngulo primitivo de cone do pinho (motriz), - ngulo primitivo de cone da coroa (movida),

A aproximao de Tredgold7determina que os dentes, mostrados na Figura

23, quando projetados no cone traseiro, suas formas so idnticas s de

engrenagens cilndricas de dentes retos com um raio igual a distncia de cone

traseiro . O nmero de dentes desta engrenagem virtual, gerados pela projeo, :

(8-02)

Onde:

- Nmero de dentes virtuais - Raio do cone traseiro, mm

Um sistema de dentes a padronizao das relaes envolvendo adendo,

dedendo, profundidade de trabalho, espessura de dente e ngulo de presso. Esta

padronizao tem como objetivo a permuta das engrenagens de qualquer

quantidade de dentes, mesmo no havendo alterao em ngulo de presso e

passo. As engrenagens cnicas de dentes retos padronizados so geradas com um

ngulo de presso de 20, suas alturas de adendo e dedendo so distintas e seus

dentes tm altura completa, aumentando a razo de contato e evitando o

adelgamento. Isso faz com que seu pinho torne-se mais resistente.

7 Thomas Tredgold (1788-1829), engenheiro ingls, nascido em Brandon (UK), entre suas obrasdestacaram-se, seu tratado sobre a resistncia de ligas de ao e outros metais (Practical Treatise onthe Strength of Cast Iron and other Metals) e seu livro sobre mquina vapor (The Steam Engine).


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A tabela 1 lista as propores padronizadas referentes extremidade maior

de dentes de engrenagens cnicas de dentes retos, com um ngulo de presso igual

a 20.

Tabela 1 Propores de dimenses de dentes para engrenagens cnicas de dentes retos.

Item Frmula

Profundidade de trabalho Folga

Adendo da engrenagem

Razo de engrenamento Razo equivalente de 90

Largura da face

Nmero mnimo de dentesPinho 16 15 14 13

Coroa 16 17 20 30

Fonte: American Gear Manufacturers Association (AGMA).

Shigley determina, de grosso modo, que a largura da face do dente pode ser

prescrita para projeto como:

(8-03)

Onde:

- Largura da face do dente, mm - Distncia de cone, mm

A distncia de cone pode ser analisada na Figura 23, e fornecida por:

(8-04)


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8.3. Anlise de Fora

Considerando que todas as cargas atuantes, na engrenagem e nos mancais,

esto concentradas em um ponto mdio, trigonometricamente sua resultante a

fora . Esta fora resultante esta realmente situada entre algum local entre o pontomdio e a extremidade do dente, porm o erro irrisrio se desconsiderada esta

hiptese.

A carga resultante composta por foras componentes: a fora tangencial

, a fora radial e a foca axial . A Figura 24 mostra a carga resultante e suascomponentes no ponto mdio do dente de uma engrenagem cnica de dentes retos.

Figura 24 - Foras atuantes nos dentes de engrenagens cnicas de dentes retos.

A carga tangencial, ou transmitida, defina em funo do torque transmitido

e o raio primitivo no ponto mdio do dente. J as demais componentes so definidasatravs de suas relaes com a prpria carga tangencial, de maneira que:


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(8-05)

(8-06) (8-07)

Onde:

- Raio primitivo no ponto mdio do dente, mm

- Fora tangencial transmitida, N

- Fora radial transmitida, N - Fora axial transmitida, N

Os ndices , e so referentes s componentes, tangencial, radial e axial,respectivamente.

De acordo com configurao trigonomtrica das foras indicada na Figura

24, as componentes so perpendiculares entre si, podendo assim, seremempregadas na determinao dos esforos nos maais, mediante os mtodos de

esttica.

8.4. Aplicao

Engrenagens cnicas so eficientes transmissores entre eixos interceptantes

e com ngulos variados. Engrenagens redutoras e diferenciais, como as usados em

automveis, so exemplos de aplicaes usuais deste tipo de engrenamento.

As engrenagens redutoras cnicas, operadores de engrenagens cnicas,

ilustrados na Figura 25, so mecanismos de transmisso de fora entre eixos que se

cruzam (concorrentes). Este tipo de dispositivo utilizados em motores, bombas ou

qualquer acionamento por movimento rotativo. Seu engrenamento capaz de

transmitir fora atravs das relaes entre os dimetros do pinho e da coroa, de

forma que se multiplicar o torque de sada haver uma reduo de velocidade, da

mesma forma, se ampliada a velocidade ser reduzido o torque.


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Figura 25 - Operador de engrenagem cnica.

A engrenagem diferencial mostrada na Figura 26 conhecida, sobretudo,

como transmissora aos eixos de rotao dos automveis. A fora do eixo motor

transmitida grande roda cnica esquerda. Esta est unida solidamente ao semi-

eixo esquerdo e roda diferencial. Ao caminhar em linha reta para frente, o suporte

da roda do diferencial e o semi-eixo giram com o mesmo numero de revolues ouvoltas e na mesma direo; as rodas do diferencial no interferem. Quando se trava

o semi-eixo direito, as rodas do diferencial giram sobre seus eixos e o suporte do

diferencial gira em sentido contrrio ao semi-eixo esquerdo.

Figura 26 - Esquema de diferencial de engrenagens cnicas para automveis.


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8.5. Estudo de Caso

O estudo de caso a seguir configura um problema envolvendo o projeto de

um redutor monobloco, conforme mostra a Figura 27. O dispositivo proposto deve

ser movido por um motor eltrico conectado ao redutor, por flange, com um

engrenamento de reduo de 5:1. Um trem simples de engrenagens cnicas, com

um ngulo entre suas rvores de 90, uma soluo razovel para esta aplicao.

O desenvolvimento a seguir ser apenas do trem de engrenagens.

Na Tabela 2 so listadas as consideraes para resoluo do problema.

Tabela 2 Consideraes para resoluo do estudo de caso: redutor monobloco.

Problema: Determinar os ngulos primitivos de cone, os dimetros primitivos, as

revolues de sada e as foras atuantes no engrenamento, se utilizar 20 de

ngulo de presso em um pinho com 16 dentes e um passo diametral de

0,275mm-1 em uma razo de engrenamento de 5:1 e uma potncia

transmitida de 3hp a 600rpm do motor.

Dados:

Unidades:

Figura 27 - Redutor de engrenagens cnicas.


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8.5.1. Soluo

1. Utilizando a Equao (4-05) calcula-se o nmero de dentes da coroa;

2. Utilizando a Equao (3-01) calculam-se os dimetros primitivos;

3. Utilizando a Equao (7-03) calculam-se as revolues de sada;

4. Utilizando a Equao (8-01) calculam-se os ngulos primitivos de cone;

Observao:

5. Utilizando a Equao (6-04) calculam-se o torque transmitido;


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6. Utilizando a Equao (6-03) calculam-se a carga transmitida;

7. Utilizando a Equao (8-06) calculam-se as cargas radiais;

8. Utilizando a Equao (8-07) calculam-se as cargas axiais;

9. Utilizando a Equao (6-02) calcula-se a carga total transmitida.

8.5.2. Concluso

O estudo realizado conclui que para o projeto de um redutor monobloco com

reduo de 5:1 que transmitir 3hp a 600rpm em um pinho com 58,20mm de

dimetro, 16 dentes e um ngulo de presso de 20, dever ser considerada uma

fora transmitida de 1301,88N.


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9. ENGRENAGENS SEM-FIM

As engrenagens sem-fim, ou par de sem-fim, so engrenamentos entre

eixos no-paralelos, sem interseo, usualmente em ngulos retos entre eles. A

Figura 28 mostra um par sem-fim de envelope simples.

A engrenagem sem-fim se utiliza para transmitir as potncias entre

eixos que se cruzam, quase sempre perpendiculares entre si. Em um

pequeno espao se podem obter satisfatoriamente relaes de velocidades

comparativamente altas, embora talvez perca em rendimento em

comparao com outros tipos de engrenagens. O contato de impacto de

engrenagens cilndricas de dentes retos e de outros tipos no existe nas

engrenagens sem-fim. Em vez disso, os filetes deslizam em contato

permanente com os dentes da coroa, resultando em um funcionamento

silencioso se o desenho, a fabricao e o funcionamento so corretos

(FAIRES, 1982, p. 557).

Figura 28 - Engrenagem Sem-Fim

9.1. Conceito

O sem-fim similar a uma rosca de parafuso, que se acopla com uma

engrenagem chamada engrenagem sem fim (coroa). O sem fim na verdade uma

engrenagem helicoidal com ngulo de hlice muito grande que um nico dente se


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envolve continuamente ao redor de sua circunferncia. O sem-fim e a coroa tm a

mesma mo de hlice, como em engrenagens helicoidais cruzadas, porm seus

ngulos de hlices costumam ser bem diferentes.

O sentido de rotao da coroa nestas engrenagens depende diretamente do

sentido de direo do parafuso sem-fim e posio de corte de seus dentes. Os

conjuntos desse tipo de engrenamento so conhecidos como envelopes, nico e

duplo, e so fundamentalmente construdos para que seus dentes cubram

parcialmente uns aos outros.

Muitas engrenagens sem-fim tm uma propriedade interessante que

nenhuma outra engrenagem tem: o eixo gira a engrenagem facilmente, mas a

engrenagem no consegue girar o eixo. Isso se deve ao fato de que o ngulo do

eixo ser to pequeno que quando a engrenagem tenta gir-lo, o atrito entre a

engrenagem e o eixo no deixa que ele saia do lugar. Essa caracterstica til para

mquinas como transportadores, nos quais a funo de travamento pode agir como

um freio para a esteira quando o motor no estiver funcionando. Outro uso muito

interessante para engrenagens sem-fim est no diferencial Torsen8, que usado em

carros e caminhes de alto desempenho.

9.2. Relaes Geomtricas

Os dentes so de formas involutas e existem componentes grandes de

velocidade de escorregamento no engrenamento. O sem-fim e a coroa no so

intercambiveis. As formas de dentes podem ser simples ou duplas, para aumentar

a rea de contato entre os dentes.

ngulos de presso mais elevados do maior resistncia ao dente custado atrito mais elevado, carga mais elevadas nos mancais e tenses de flexo mais

elevadas no sem fim. Para a aplicao de alta potencia a alta velocidade, uma

engrenagem sem-fim de passo relativamente fino deve ser usada. Altos torques e

baixas velocidades necessitam de passo spero e dimetros maiores da coroas.

8Torsen (nome completo Torsen traction) um tipo de diferencial de deslizamento limitado usado emautomveis. Foi inventado pelo americano Vernon Gleasman e fabricado pela Corporao Gleason.Todos os diferenciais Torsen tm sua origem nos diferenciais Dual-Drive, que foi inventado epatenteado pela Gleasman em 1958.


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O ngulo de hlice do parafuso normalmente muito grande, enquanto o da

coroa pequeno. Portanto, normal especificar o ngulo de avano no sem-fim eo ngulo de hlice na coroa, que so idnticos quando o ngulo entre os eixo igual a 90, assim um complementa o outro, conforme ilustrado na Figura 29.

Nas engrenagens sem fim, o nmero de dentes e o dimetro de referncia

no tm uma relao nica como nas engrenagens comuns, a deciso feita em

relao aos nmeros de entrada ou dentes desejados no sem fim, o nmero de

dentes na coroa definido pela relao de engrenamento requerida.

O nmero de dentes no esta relacionado com o dimetro de referncia

como nas engrenagens comuns. O sem fim pode ter qualquer dimetro desde que

seu passo axial seja o mesmo que o passo circular da coroa.

Resumindo o dimetro do sem fim pode ser selecionado independente do

dimetro da coroa que s variaro a distancia entre centros, mas no afetaro a

razo de engrenamento. O passo axial do sem fim o mesmo que o passocircular transversal da engrenagem e esto relacionados ao avano pelo nmerode dentes escolhidos, se o ngulo entre eixos for 90. Assim, o dimetro primitivo da coroa pode ser medido no plano contendo o eixo do sem-fim, conforme a mostra

a Figura 29.

Figura 29 - Terminologia das engrenagens sem-fim.


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A definio do dimetro primitivo da coroa dada pela seguinte equao,

onde relacionado o nmero de dentes da coroa e o passo circular transversal com

a circunferncia primitiva.

(9-01)

Onde:

- Passo circular transversal, dentes por mm

Como o dimetro do parafuso independe do nmero de dentes, pode ele ter

qualquer tamanho. Contudo, esse dimetro deve o mesmo que o passo da fresa

caracol empregada para cortar os dentes do par sem fim. Shigley [1] recomenda

selecionar este dimetro de modo que esteja no seguinte intervalo.

(9-02)

O ndice referente ao parafuso sem-fim.O avano e o ngulo de avano seguem a seguinte relao:

(9-03)

(9-04)

Onde:

- Avano, mm - Passo axial, mm por dentes - ngulo de avano,

O sistema de dentes em engrenagens sem-fim no to padronizado

quanto em outros tipos de engrenagens, o motivo para isso, talvez seja por no


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haver necessidade. Os ngulos de presso dependem dos ngulos de avano e

devem ser suficientes em tamanho para evitar adelgamento dos dentes do parafuso

sem-fim no lado em que o contato termina. Para manter uma proporo adequada

entre a profundidade do dente e o ngulo de avano, o ideal obter uma proporo

entre a profundidade e o passo circular axial; ou seja, o ngulo de avano

proporcional ao passo circular axial, que idntico ao passo circular transversal.

Uma recomendao feita por Shigley[1], vista na Tabela 3, que considera como boa

prtica, no que diz respeito a ngulo de presso e profundidade do dente.

Tabela 3 ngulo de presso recomendados de dentes para engrenagens sem-fim.

ngulo de avano ngulo de presso Adendo Dedendo

0-15

15-30

30-35

35-40

40-45

14,5

20

25

25

30

0,3683px

0,3683px

0,2865px

0,2546px

0,2228px

0,3683px

0,3683px

0,3314px

0,2947px

0,2578px

Fonte: American Gear Manufacturers Association (AGMA).

Indica-se como largura de face , de um parafuso sem-fim, o comprimentode uma reta tangente ao crculo primitivo do sem-fim, entre os pontos de interseco

com o crculo de adendo, conforme mostrado na Figura 30.

(9-05)

Figura 30 - Representao grfica da largura da face de uma coroa sem-fim.


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9.3. Anlise de Fora

A nica fora aplicada pela coroa sem-fim, desconsiderando o atrito, que

atua no cilindro primitivo de um parafuso sem-fim a fora . Esta fora resultante de trs componentes ortogonais, , e , conforme apresenta aFigura 31. Se analisadas geometricamente estas componentes, subentende-se que,

os ndices , e , so referentes s foras, tangencial, radial e axial,respectivamente.

Figura 31 - Foras atuantes em um cilindro primitivo de um parafuso sem-fim.

Atravs da geometria da Figura 31 so definidas as componentes de

.

(9-06)


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O ngulo de presso geometricamente definido como sendo o ngulode inclinao de no plano formado pela diagonal resultante das componentes, e

, e perpendicular da componente

,

relatÓrio 7 - engrenagens cÔnicas e sem-fim (abnt) - final

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