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Instituto de Física TeóricaUniversidade Estadual Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–D.001/08

RELATIVIDADE DE DE SITTER E A MECÂNICA QUÂNTICA

Cristhian Said Osorio Mayor

Orientador

José Geraldo Pereira

Co-orientador

Juan Pablo Beltrán Almeida

Fevereiro de 2008

Livros Grátis

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Agradecimentos

Agradeço ao meu pai e à minha mãe, que sempre estiveram ao meu lado com todo seuamor.

À Samira, por fazer minha vida melhor.

Ao professor José Geraldo, pela sua orientação, assim como a todos os professores doIFT, com os quais aprendi muito.

Ao Juan Pablo, pela sua ajuda no desenvolvimento deste trabalho.

À todos os meus amigos.

À CAPES pelo apoio financeiro.

i

Resumo

Na presença de uma constante cosmológica, interpretada como uma entidade pura-mente geométrica, a ausência de matéria é representada pelo espaço de De Sitter. Comoconseqüência, a relatividade especial de Poincaré não é mais válida e deve ser substituídapela relatividade especial de De Sitter. Na primeira parte do trabalho mostramos que,nesta teoria as transformações de Lorentz preservam, além da velocidade da luz, umaescala de comprimento relacionada à constante cosmológica. Na segunda parte, con-siderando a cinemática de uma partícula sem spin no espaço de De Sitter, estudamos asgeodésicas deste espaço, as novas definições de momento canônico, e exploramos possíveisimplicações para a mecânica quântica.

Palavras Chaves: Espaço de De Sitter; Constante Cosmológica; Relatividade Especial

Áreas do conhecimento: Relatividade e Gravitação; Teoria Geral de Partículas eCampos.

ii

Abstract

In the presence of a cosmological constant, interpreted as a purely geometric entity,absence of matter is represented by the de Sitter spacetime. As a consequence, ordinaryPoincaré special relativity is no longer valid and must be replaced by a de Sitter spe-cial relativity. In the first part of the work we show that, in this theory, the Lorentztransformations leave invariant, in addition to the speed of light, a length-scale relatedto the cosmological constant. In the second part, by considering the kinematics of aspinless particle in a de Sitter spacetime, we study the geodesics of this spacetime, theensuing definitions of canonical momenta, and explore possible implications for quantummechanics.

iii

Sumário

1 Introdução 11.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O Espaço de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Transformações de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Contrações de Grupos e Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter 82.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Princípio da Equivalência Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter . . . . . . . . . . . . . 9

3 Relatividade de De Sitter e Física Quântica 123.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Revisão da Cinemática no Espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Cinemática no Espaço de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Invariante de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 O Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Física Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Campos no Espaço de De Sitter 214.1 Notas Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Campos no Espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Vetores de Killing e o Grupo de Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Equação para o Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5 O Operador de Laplace–Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 O Campo de Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Conclusões 29

Apêndices 31

iv

A Representações Irredutíveis: Poincaré e De Sitter 32A.1 O Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32A.2 O Grupo de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Referências Bibliográficas 35

v

Capítulo 1

Introdução

1.1 Notas Preliminares

Nosso entendimento de física de partículas está intimamente relacionado com as rep-resentações de grupos e relatividade especial. De fato, todas as partículas da naturezasão classificadas de acordo com as representações irredutíveis do grupo de Poincaré P,grupo de movimento da relatividade especial. Esta propriedade sugere que a simetriada relatividade especial deve ser considerada como uma simetria exata da natureza, umfato corroborado por muitas experiências. Em princípio, não há razão para substituir ogrupo de Poincaré como o grupo de movimento do espaço-tempo. No entanto, quandose trata de unificar a física de partículas (teoria quântica de campos) com gravitação,encontram-se problemas conceituais relacionados com a existência de um limite na escalade distância, dado pela escala de Planck. Esta escala mostra o limiar de uma nova física,representada pela gravitação quântica. Agora, se a gravitação é clássica ou quânticanão pode depender do observador. Isto significa que a escala de Planck — ou algumaescala fundamental associada — deve permanecer invariante sob a cinemática relevanteem altas energias, isto é, perto da escala de Planck. Uma vez que na relatividade especialordinária uma escala de comprimento seria contraída pelas transformações de Lorentz, orequerimento de invariância de tal escala parece indicar que a simetria de Lorentz deveser quebrada [1].1 Ou seja, perto da escala de Planck, o grupo de Poincaré deve sersubstituído por um grupo mais geral, o qual governa a cinemática de altas energias.

Por outro lado, na presença de uma constante cosmológica Λ, o espaço-tempo deMinkowski M não é mais uma solução das equações de Einstein no vácuo. Se assumir-mos que Λ tem uma natureza geométrica, e as equações de Einstein definem todos osespaços-tempos aceitáveis, Minkowski perde seu significado físico. De fato, para Λ posi-tivo, ausência de gravitação é representada pelo espaço de De Sitter dS(4, 1) [4], cuja cin-emática é governada, não pelo grupo de Poincaré, mas pelo grupo de De Sitter SO(4, 1).

1Várias deformações da relatividade especial tem sido propostas, como por exemplo aquelas baseadasno grupo de Poincaré κ-deformado [2], ou aquelas baseadas em realizações lineares de grupos mais gerais[3].

1

Neste caso, a relatividade especial de Poincaré não é mais válida e deve ser substituídapela relatividade especial de De Sitter [5].2

Uma propriedade crucial da relatividade de De Sitter é que ela preserva o caráterquociente do espaço-tempo. Minkowski é definido como o quociente entre os grupos dePoincaré (P) e Lorentz (L):

M = P/L.

Da mesma forma, o espaço de De Sitter é também um espaço quociente [7]:

dS(4, 1) = SO(4, 1)/L.

Vemos dessas relações que, assim como na relatividade especial ordinária, na relatividadeespecial de De Sitter o grupo de Lorentz permanece responsável pela isotropia do espaço(grupo de rotações) e equivalência entre referenciais inerciais (boosts). As quatro trans-formações adicionais, dadas pela combinação de translações e transformações conformes[8], definem a homogeneidade do espaço de De Sitter.

1.2 O Espaço de De Sitter

Os espaços com curvatura escalar constante R são maximalmente simétricos: ad-mitem o mais alto número de vetores de Killing. Dada uma signatura para a métrica,este espaço é único [9] para cada valor de R. O espaço de Minkowski M , com R = 0,é o mais simples. Seu grupo de movimento é o grupo de Poincaré P = L T , que é oproduto semi-direto do grupo de Lorentz L = SO(3, 1) e o grupo de translações T . Esteúltimo age transitivamente em M , e sua variedade de grupo pode ser identificada comM .

Entre os espaços curvos, os espaços de De Sitter e anti-De Sitter são as únicas possi-bilidades. Um deles tem curvatura escalar negativa, e o outro positiva. Imersos respec-tivamente nos espaços pseudo-Euclideanos E4,1 e E3,2, eles são superfícies cujos pontos,em coordenadas cartesianas (χA) = (χ0, χ1, χ2, χ3, χ4), satisfazem [4]

ηABχAχB ≡ (χ0)2 − (χ1)2 − (χ2)2 − (χ3)2 − (χ4)2 = − l2 (1.1)

eηABχ

AχB ≡ (χ0)2 − (χ1)2 − (χ2)2 − (χ3)2 + (χ4)2 = l2, (1.2)

onde l é o parâmetro de comprimento de De Sitter. Usando o alfabeto latino (a, b, c · · · =0, 1, 2, 3) para denotar os índices em quatro dimensões, com ηab = diag (1, −1, −1, −1),

2Idéias similares foram exploradas na referência [6].

2

e denotando η44 = s, as expressões acima podem ser escritas na forma

ηab χaχb + s (χ4)2 = s l2. (1.3)

Para s = −1, temos o espaço de De Sitter dS(4, 1), cuja métrica é induzida pela métricapseudo-Euclideana ηAB = (+1,−1,−1,−1,−1), e tem o grupo SO(4, 1) como grupo demovimento. O caso s = +1 corresponde ao espaço de anti-De Sitter, denotado aqui pordS(3, 2), cuja métrica vem de ηAB = (+1,−1,−1,−1,+1), o qual tem o grupo SO(3, 2)como grupo de movimento. Ambos são espaços homogêneos [7]:

dS(4, 1) = SO(4, 1)/L e dS(3, 2) = SO(3, 2)/L

e são soluções das equações de Einstein com termo cosmológico, o que implica na seguinterelação entre Λ e o parâmetro de comprimento de De Sitter l:

Λ = − 3s

l2. (1.4)

De agora em diante, iremos considerar apenas o espaço de De Sitter dS(4, 1), para o quala constante cosmológica é positiva: Λ > 0.

1.3 Transformações de De Sitter

Em termos das coordenadas 5-dimensionais, uma transformação de De Sitter é escritacomo

δχA = − EAB χ

B, (1.5)

com EAB os parâmetros da transformação. Os geradores correspondentes são

LAB = ηAC χC ∂

∂χB− ηBC χ

C ∂

∂χA. (1.6)

Considerando a projeção estereográfica desde a superfície de De Sitter sobre o espaçode Minkowski, a transformação acima pode ser escrita numa forma 4-dimensional. Ascoordenadas estereográficas xa são definidas por [10]

χa = Ω(x)xa and χ4 = − lΩ(x)(

1 +σ2

4l2

), (1.7)

onde

Ω(x) =(

1− σ2

4l2

)−1

, (1.8)

3

com σ2 = ηab xaxb o intervalo invariante de Lorentz. As relações inversas são

xa = Ω−1(χ)χa andσ2

4l2=

(χ4/l) + 1(χ4/l)− 1

, (1.9)

com

Ω(χ) =12

(1− χ4

l

). (1.10)

A métrica induzida pela projeção é

dτ2 = gab dxadxb, (1.11)

comgab = Ω2 ηab. (1.12)

Em coordenadas estereográficas, portanto, a métrica de De Sitter assume uma formaconformalmente plana.

Em termos das coordenadas estereográficas, as transformações de De Sitter são dadaspor

δxa = −Eab x

b − E4b[lδa

b −14l

(2 ηbc x

axc − σ2 δab

) ]. (1.13)

Em termos dos geradores, elas podem ser escritas como

δxa =12EcdLcdx

a − E4bL4bxa, (1.14)

ondeLab = ηac x

c Pb − ηbc xc Pa (1.15)

são os geradores de Lorentz, e

L4b = lPb −14lKb (1.16)

são os geradores de “translações de De Sitter”, com

Pa = ∂/∂xa e Ka =(2ηab x

bxc − σ2δca

)∂/∂xc, (1.17)

respectivamente, o gerador de translações e o gerador de transformações especiais con-forme. Os geradores Lab referem-se ao sub-grupo de Lorentz, e os geradores L4a definema transitividade no espaço de De Sitter. Por esta razão, são chamados usualmente de“translações” de De Sitter. Como se pode ver na Eq. (1.16), o espaço de De Sitter étransitivo sob a combinação de translações e transformações especiais conformes. A im-portância relativa de cada uma destas transformações é determinada pelo valor de l, ouseja, pelo valor da constante cosmológica.

4

1.4 Contrações de Grupos e Álgebras

O procedimento de contração de grupos requer que, antes de se tomar o limite, osgeradores sejam escritos numa forma apropriada ao limite em questão. Estas alteraçõessão freqüentemente guiadas por considerações dimensionais, e são diferentes para difer-entes limites [11]. Por esta razão, os limites de uma constante cosmológica muito grandeou muito pequena devem ser considerados separadamente. Em particular, para umaconstante cosmológica pequena, é conveniente escrever os geradores na forma

Lab = ηac xc Pb − ηbc x

c Pa (1.18)

eΠa ≡

La4

l= Pa −

14l2

Ka. (1.19)

Para l→∞, os geradores Πa se reduzem às translações ordinárias, e o grupo de De Sittercontrai-se para o grupo de Poincaré P = L T . Concomitantemente, o espaço de DeSitter dS(4, 1) se reduz ao espaço de Minkowski M = P/L, o qual é transitivo apenassob translações ordinárias.

Como um exemplo simples de um processo de contração de grupos, vamos considerara contração do grupo de Poincaré para o grupo de Galilei, a qual ocorre sempre queconsideramos o limite não relativístico de uma teoria. A álgebra do grupo de Poincaré é

[Jab, Jcd] = ηbcJad + ηadJbc − ηacJbd − ηbdJac (1.20a)

[Jab, Pc] = ηacPb − ηbcPa (1.20b)

[Pa, Pb] = 0. (1.20c)

O parâmetro de contração, neste caso, é a velocidade da luz c, que se encontra dentro dacoordenada x0. Assim, definimos

Ti ≡1cJ0i = t∂i −

xi

c2∂t, (1.21)

que no caso de c→∞ ficaTi → Ti = t∂i. (1.22)

Agora, tomamos o limite indicado e obtemos a seguinte álgebra:

[Jkl, Jmn] = ηknJlm + ηlmJkn − ηkmJln − ηlnJkm (1.23a)

[Tk, Jlm] = ηklTm − ηkmTl (1.23b)

[Jkl, Pm] = ηkmPl − ηlmPk (1.23c)

[Ti, Tj ] = [Ti, Pj ] = [Pk, Pm] = 0. (1.23d)

5

Os geradores Jkl formam a álgebra do grupo de rotações SO(3), o gerador Ti = t∂i gerao “boost” galileanos, e o gerador Pi gera as translações no espaço 3-dimensional. Esta éa álgebra do grupo de Galilei. Das transformações finitas do grupo de Poincaré, pode-seobter as transformações finitas do grupo de Galilei,

x′i = λijx

j (1.24a)

x′i = xi + vit (1.24b)

x′i = xi + ai (1.24c)

onde λij denota um elemento do grupo de rotações. Note-se que durante o processo de

contração, perde-se o gerador P0 que realizava as translações no tempo. Isto se deve aofato que o tempo não é mais uma coordenada, mas apenas um parâmetro externo. Emoutras palavras, o espaço de Minkowski se reduz ao espaço Euclideano 3-dimensional.

O caso de De Sitter é mais interessante pois a álgebra tem dois parâmetros invari-antes: a velocidade da luz c e o parâmetro de comprimento de De Sitter l. Vamos entãoconsiderar a contração que leva o grupo de De Sitter ao grupo de Poincaré. Esta con-tração é obtida com o limite l→∞. Em termos dos geradores (1.18) e (1.19), a álgebrado grupo de De Sitter é dada por

[Jab, Jcd] = ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac + ηadJbc (1.25a)

[Jab,Πc] = ηbcΠa − ηacΠb (1.25b)

[Πa,Πb] =1l2Jab. (1.25c)

Quando tomamos o limite l→∞, os geradores das “translações de De Sitter se reduzemàs translações ordinárias:

Πa = Pa −1l2Ka −→ Pa. (1.26)

Conseqüentemente, a álgebra de De Sitter se reduz àquela do grupo de Poincaré:

[Jab, Jcd] = ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac + ηadJbc (1.27a)

[Jab, Pc] = ηbcPa − ηacPb (1.27b)

[Pa, Pb] = 0. (1.27c)

É importante observar que a contração de anti-De Sitter leva ao mesmo resultado, istoé, ao grupo de Poincaré. Se tomamos agora o limite de c → ∞, a álgebra do grupo dePoincaré se reduz à álgebra do grupo de Newton-Hooke.

6

1.5 Objetivos

Trabalhando no contexto descrito nas seções anteriores, os objetivos deste trabalhosão:

• Estudar as transformações de Lorentz no espaço de De Sitter.

• Discutir as modificações do princípio de equivalência decorrentes da mudança narelatividade especial.

• Estudar possíveis modificações, introduzidas pela constante cosmológica, na cin-emática de partículas escalares, e também a relação desse problema com o campoescalar.

• Na relatividade de De Sitter, as noções de energia e momentum são modificadas.Pretendemos estudar as implicações para a mecânica quântica, bem como seu re-flexo no princípio de incerteza.

• Obter as equações invariantes sob transformações do grupo de De Sitter para oscampos escalar, espinorial e vetorial, e encontrar a relação entre o operador deCasimir e o operador de Laplace-Beltrami para o caso de campos bosônicos.

7

Capítulo 2

Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter

2.1 Notas Preliminares

Neste capítulo vamos explorar a relação entre referenciais equivalentes no contextode relatividade de De Sitter [5]. Em outras palavras, vamos estudar as propriedades dastransformações de Lorentz agindo no espaço de De Sitter. Recordemos que a maioriadestas propriedades são bem conhecidas. O que vamos fazer é considerá-las no contexto dedeformações e modificações da relatividade especial ordinária, com o propósito de estudaruma possível cinemática de altas energias. A razão principal é que esta cinemática pareceoferecer uma boa estrutura para propiciar o questionamento que motiva a pesquisa demodificações em relatividade especial. Começaremos revisando, na próxima seção, asmudanças que ocorrem no princípio da equivalência forte, para em seguida passarmos aanalizar as bases das transformações de De Sitter, das quais as transformações de Lorentzformam um subgrupo.

2.2 Princípio da Equivalência Forte

Numa de suas versões, o princípio de equivalência diz que, na presença de um campogravitacional, é sempre possível achar um sistema de coordenadas local onde as leis dafísica se reduzem àquelas da relatividade especial. Quando pensamos na relatividadeespecial de Poincaré, esta idéia é facilmente representada notando-se que em cada pontop de um espaço-tempo qualquer há sempre um espaço tangente, dado pelo espaço deMinkowski, o qual aproxima o espaço num pequeno domínio ao redor de p. Por outrolado, na presença de uma constante cosmológica, a relatividade especial ordinária não émais válida e deve ser substituída pela relatividade especial de De Sitter. O grupo desimetria local do espaço muda de Poincaré para De Sitter, e o princípio de equivalênciadeve ser, assim, modificado. Sua versão modificada diz que, na presença de um campogravitacional, sempre é possível achar um sistema de coordenadas local onde as leis dafísica se reduzem àquelas da relatividade especial de De Sitter.

Coordenadas sempre assumem valores de algum subconjunto aberto de um espaço

8

Euclidiano (ou pseudo-Euclidiano), o qual é o espaço Minkowski para as coordenadasestereográficas que estamos usando. A equação (1.13) representa uma transformação deDe Sitter naquele espaço coordenado, isto é, Minkowski. Este é um caminho matem-aticamente conveniente para representar a simetria local do espaço porque, localmente,sempre podemos identificar o espaço com o espaço Minkowski tangente. Sobre cada es-paço tangente, as leis da física devem ser invariantes sob as transformações de De Sitter(1.13). Devemos ressaltar que esta não é a única forma de descrever a situação. Defato, em vez de espaços Minkowski tangentes, podemos considerar espaços de De Sitterosculantes em cada ponto do espaço tempo, cujas isometrias representam as simetriaslocais do espaço. Esta é uma forma diferente de representar a simetria local do espaço-tempo, já que na presença de Λ o espaço-tempo é um espaço de De Sitter na ausênciade matéria. Esta segunda forma de descrever a simetria local do espaço-tempo pode serconsiderada mais conveniente do ponto de vista físico, mas para nossos propósitos, serásuficiente considerar as transformações de De Sitter em coordenadas de Minkowski.

2.3 Transformações de Lorentz no Espaço de De Sitter

Os geradores de Lorentz (1.15) constituem a parte orbital dos geradores, cuja formamais geral é

Jab = Lab + Sab, (2.1)

onde a matriz Sab representa a parte de spin dos geradores. Para o caso específico de umvetor de Lorentz, esta matriz é dada por [12]

(Sab)c

d = ηad δcb − ηbd δ

ca. (2.2)

Os geradores Lab e Sab agem em espaços diferentes, sendo (2.1) na verdade uma somadireta do tipo J = L ⊗ I ⊕ S, com I a matriz identidade. É importante lembrar que,mesmo agindo no espaço de De Sitter, estes geradores ainda apresentam a álgebra deLie usual do grupo de Lorentz [5]. Esta é uma propriedade fundamental pois permite aconstrução, no espaço de De Sitter, de uma relatividade bem definida algebricamente.Esta possibilidade está relacionada com o fato do espaço de De Sitter, assim como noMinkowski, ser homogêneo e isotrópico [13]. Deve ser ressaltado que, em princípio, temossó a simetria de Lorentz para um ponto dado no espaço de De Sitter. No entanto, já queeste espaço é homogêneo (sob a combinação de translações e transformações conformes),esta simetria deve valer para qualquer outro ponto.

Um elemento do grupo de Lorentz é obtido calculando-se a exponencial dos geradores.Para o caso específico da transformação dos xa, o elemento do grupo pode ser escritoem termos dos geradores orbitais Lab, ou em termos dos geradores matriciais Sab. Em

9

termos de Lab, ele é dado por

Λcd =

exp

[12ε

ab Lab

]⊗ δc

d. (2.3)

A correspondente transformação finita tem a forma

x′c = Λcd x

d. (2.4)

Agora, o grupo de Lorentz é definido como aquele que deixa a métrica de Minkowskiinvariante:

ηab = Λac Λb

d ηcd. (2.5)

Já que o fator conforme Ω é invariante de Lorentz, esta transformação também deixainvariante a métrica de De Sitter

gab = Λac Λb

d gcd. (2.6)

No espaço de De Sitter, portanto, as transformações de Lorentz deixam invariantes avelocidade da luz c e o parâmetro de comprimento l. Note-se que, diferentemente dainvariância de c, a qual é essencialmente cinemática, a invariância de l tem um carátergeométrico.

É bem conhecido que, uma rotação de Lorentz no plano xt do espaço Minkowskideixa invariante a forma quadrática

c2t2 − x2, (2.7)

com t, x, y, z denotando as coordenadas cartesianas. Usando as mesmas letras t, x, y, zpara denotar as coordenadas estereográficas do espaço de De Sitter, uma rotação noplano xt deste espaço coincide com aquela da relatividade especial ordinária:

x′ =x− vt√1− v2/c2

; t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

; y′ = y; z′ = z. (2.8)

Esta é uma característica crucial das coordenadas esterogáficas. Por esta razão — etambém pelo fato que nestas coordenadas a métrica de Minkowski é conformalmenteplana — pode ser considerada a versão de De Sitter das coordenadas cartesianas noespaço de Minkowski.

Para completar, apresentamos agora a forma finita das “translações” de De Sitter,transformações que definem a transitividade deste espaço. A versão infinitesimal tem aforma

δxa ≡ −εb Πb xa = −εb

[δab −

14l2

(2xaxb − σ2 δa

b

) ], (2.9)

10

ou equivalentemente

δxa =εb

4l2[2xaxb − (σ2 + 4l2)δa

b

]. (2.10)

Se identificarmosεb = − εb

4l2e σ2 = σ2 + 4l2, (2.11)

ficaδxa = −εb

(2xaxb − σ2δa

b

), (2.12)

a qual pode ser integrada, resultando em

x′a =xa + εaσ2

1 + 2εcxc + ε2σ2≡

xa − εa(1 + σ2/4l2

)1− εcxc/2l2 + (ε2/4l2) (1 + σ2/4l2)

. (2.13)

No limite l → ∞, estas transformações se convertem nas translações ordinárias. Poroutro lado, redefinindo o parâmetro para

εb → − εb4l2

, (2.14)

o limite l→ 0 (com εb finito) leva às transformações especiais conformes.

11

Capítulo 3

Relatividade de De Sitter e Física Quântica

3.1 Notas Preliminares

Quando a constante cosmológica Λ é zero, a solução das equações de Einstein semfonte é o espaço de Minkowski, que representa portanto ausência de gravitação. Astransformações de isometrias deste espaço são aquelas do grupo de Poincaré, que é ogrupo que governa a cinemática da relatividade especial. Para um Λ não nulo, Minkowskinão é mais solução da correspondente equação de Einstein Λ–modificada e torna-se,neste sentido, sem significado físico. Neste caso, se interpretamos Λ como uma entidadepuramente geométrica, a ausência de gravitação vai ser representada pelo espaço de DeSitter. Por outro lado, o grupo que governa a cinemática no espaço de De Sitter não émais Poincaré, mas sim o grupo de De Sitter. Isto significa que, na presença de Λ, arelatividade especial de Poincaré não será mais válida e deverá ser substituída por umarelatividade especial de De Sitter [5].1

Um ponto importante desta teoria é que ela preserva o caráter quociente do espaço-tempo, e portanto a noção de homogeneidade. Como na relatividade especial ordinária,na qual o espaço de MinkowskiM é o espaço quociente entre o grupo de Poincaré e o grupode Lorentz, o espaço subjacente da relatividade de De Sitter será o espaço quociente entreo grupo de De Sitter e o grupo de Lorentz. Vemos assim que, como na relatividade especialordinária, na relatividade especial de De Sitter o grupo de Lorentz permanece responsávelpela isotropia do espaço (grupo de rotações) e pela equivalência entre referenciais inerciais(boosts) [14]. As quatro transformações adicionais, dadas pela combinação de translaçõese transformações especiais conformes, definem a homogeneidade do espaço.

Por outro lado, um espaço é dito transitivo — ou homogêneo — sob um conjunto detransformações quando quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma transformaçãodesse conjunto. Por exemplo, o espaço-tempo de Minkowski é transitivo sob translaçõesno espaço-tempo. No entanto, o espaço de De Sitter é transitivo, não sob translações,mas sim sob uma combinação de translações e transformações especiais conformes, com

1Idéias similares foram exploradas na referência [6].

12

a importância relativa de contribuição sendo determinada pelo valor da constante cos-mológica. Uma conseqüência imediata desta propriedade é que as noções ordinárias demomento e energia vão mudar [15]. De fato, o momento conservado vai ser obtido dainvariância do sistema, não sob translações, mas sim sob a combinação de translações etransformações especiais conformes. O momento conservado, portanto, será uma combi-nação do momento ordinário e do momento “conforme” [8].

Dado que a constante cosmológica observada é muito pequena, a diferença entre arelatividade ordinária e a relatividade de De Sitter vai ser pequena também. No entanto,existem situações onde esta diferença pode ser significativa. Por exemplo, de acordocom nossa teoria atual de campos e partículas, as transições de fase associadas à quebraespontânea de simetrias podem ser consideradas uma fonte primária para a constantecosmológica Λ [16]. Deste ponto de vista, uma experiência de altas energias poderiamodificar a estrutura local do espaço por um curto período de tempo, de tal forma que avizinhança imediata da colisão deixaria de ser Minkowski, e passaria a ser um epaço de DeSitter — ou anti-De Sitter [17]. Neste caso, passaria a existir uma conexão entre a escalade energia da experiência e o valor local da constante cosmológica Λ. Quanto mais alta aenergia, maior o valor local de Λ, e conseqüentemente, maior a importância da simetriaconforme. Isto é consistente com a idéia de que em energias altas as massas tornam-se desprezíveis, e a simetria conforme torna-se a simetria relevante. Para uma energiasuficientemente alta, a cinemática local passaria a ser determinada pela relatividadeespecial de De Sitter.

O propósito básico deste capítulo é estudar a cinemática subjacente à relatividadeespecial de De Sitter. Em particular, estudaremos a equações de movimento de partículassem spin, as quais definem as geodésicas do espaço. Em seguida, através de uma análisenormal de variação funcional da ação, obteremos a energia canônica, e exploraremos asconseqüências desta definição para a mecânica quântica [18]. Começaremos por introduziras noções básicas associadas ao espaço e grupo de De Sitter.

3.2 Revisão da Cinemática no Espaço de Minkowski

A ação que descreve uma partícula livre de massa m no espaço de Minkowski é

S = −mc∫ b

ads, (3.1)

onde−ds2 = ηab dx

adxb (3.2)

é o intervalo invariante de Lorentz. O grupo que governa a cinemática no espaço deMinkowski é o grupo de Poincaré P = L T , dado pelo produto semi-direto entre ogrupo de Lorentz L e o grupo de translações T . O primeiro invariante de Casimir do

13

grupo de Poincaré éCP = ηab p

apb = −m2c2, (3.3)

onde pa = mcua é o 4-momento da partícula, com ua = dxa/ds a 4-velocidade. Con-siderando que a ação S e a lagrangiana L são relacionados por

S =1c

∫ b

aL ds, (3.4)

a correspondente lagrangiana pode ser escrita na forma

L = − c (−ηab papb)1/2 = − c

√−CP . (3.5)

A identidade ηab papb = −m2 c2 é um vínculo fraco no sentido que só é usado depois de

realizar a variação da ação. As equações de movimento resultantes são

dpa

ds= 0. (3.6)

As equações de movimento, portanto, coincidem com a conservação do 4-momento dapartícula, a qual provem da invariância do sistema físico sob translações. Suas soluçõesdeterminam as geodésicas do espaço de Minkowski. A invariância do sistema sob trans-formações de Lorentz, por outro lado, leva à conservação de momento angular λab =xapb − xbpa, isto é,

dλab

ds= 0. (3.7)

3.3 Cinemática no Espaço de De Sitter

3.3.1 Invariante de Casimir

Para uma partícula sem spin de massa m, o primeiro invariante de Casimir do grupo deDe Sitter é dado por [10]

CdS = − 12l2

ηAC ηBD λAB λCD, (3.8)

onde

λAB = mc

(χA dχB

dτ− χB dχA

dτ

)(3.9)

é o momento angular 5-dimensional. Em termos das coordenadas estereográficas xa, oinvariante de Casimir (3.8) adquire a forma

CdS = ηab πa πb − 1

2l2ηac ηbd λ

ab λcd, (3.10)

14

onde2

πa ≡ λa4

l= Ω2

(pa − ka

4l2), πa ≡

λa4

l= pa −

ka

4l2(3.11)

representa o momento de De Sitter, com

pa = mcdxa

dτe ka ≡ δa

b pb = (2ηcb x

c xa − σ2 δab) pb, (3.12)

respectivamente, o momento linear e o momento conforme,3 e

λab = Ω2(xa pb − xb pa

), λab = ηac x

c pb − ηbc xc pa (3.13)

representa o momento angular orbital. Nas expressões acima,

δab = 2ηbc x

c xa − σ2 δab (3.14)

é uma espécie de “delta de Kroenecker conforme”. Já que λAB é conservado, temostambém que

dλab

dτ= 0 e

dπa

dτ= 0. (3.15)

Recordemos que λab é a corrente de Noether associada à invariância do sistema sobtransformações geradas por Lab.

3.3.2 Equações de Movimento

Como no caso de Minkowski, a lagrangiana de uma partícula de massa m sem spinno espaço de De Sitter pode ser assumida como sendo −c

√−CdS . No entanto, em 5

dimensões, é necessário adicionar um vínculo que restrinja a partícula para que esta semova no espaço de De Sitter. Nesse caso, a lagrangiana fica

L = −c[(− CdS

)1/2 + β(ηAB χ

AχB + l2)], (3.16)

onde β é um multiplicador de Lagrange. Usando a Eq. (3.8), a ação correspondente éescrita na forma

S = −∫ b

a

[( 12l2

ηAC ηBD λAB λCD

)1/2+ β

(ηAB χ

AχB + l2)]dτ, (3.17)

com dτ o intervalo invariante de De Sitter, definido por (1.11). Realizando a variaçãofuncional, e desprezando o termo de superfície que vem da integração por partes, a

2Análogamente aos geradores, usamos uma parametrização apropriada para uma constante cosmológ-ica pequena.

3Como na identificação pa = T a0, com T ab o tensor de energia-momento, o momento conforme ka édefinido por ka = Ka0, com Kab a corrente conforme [19].

15

invariância da ação leva às equações do movimento

d2χA

dτ2+

( 1l2− 2β

)χA = 0. (3.18)

Usando os vínculos

ηAB χAχB = − l2 e ηABdχA

dτ

dχB

dτ= −1, (3.19)

o valor do multiplicador de Lagrange é

β =1l2, (3.20)

e a equação do movimento ficad2χA

dτ2− χA

l2= 0. (3.21)

Em termos das coordenadas estereográficas, esta equação pode ser escrita na forma

d

dτ

(pa +

14l2

ka

)+xc uc

l2 Ω

(pa +

14l2

ka

)− mc

l2 Ωxa = 0. (3.22)

A equação correspondente para as componentes covariantes do momento é

d

dτ

(pa +

14l2

ka

)− mcΩ

l2ηab x

b = 0. (3.23)

Naturalmente, devido à universalidade da gravitação, esta equação é independente damassa quando escrita em termos da 4-velocidade. De fato, ela é igual a

d

dτ

(ua +

14l2

δac uc

)− Ωl2ηab x

b = 0, (3.24)

com δac dado pela Eq. (3.14). Esta é a equação de movimento para uma partícula sem

spin de massa m no espaço de De Sitter. Suas soluções determinam as geodésicas desteespaço.

Usando a segunda das leis de conservação (3.15), é possível obter equações de evoluçãoseparadas para pa e ka. Por exemplo, a equação de movimento para o momento linearpa é

dpa

dτ− mcΩ

2 l2ηab x

b = 0, (3.25)

ou equivalentemente,dpa

dτ+xc uc

l2 Ωpa − mc

2l2 Ωxa = 0. (3.26)

16

Esta equação nada mais é do que a equação da geodésica

dpa

dτ+ Γa

bc pb uc = 0, (3.27)

com Γabc a conexão de Levi–Civita para a métrica de De Sitter (1.12). Por outro lado,

a equação de movimento para o momento conforme ka toma a forma

dka

dτ+xc uc

l2 Ωka − 2mc

Ωxa = 0. (3.28)

Ao contrário do momento ordinário pa, que é conservado com a derivada covariante, omomento conforme ka não é conservado covariantemente. Ele satisfaz a equação

dka

dτ+ Γa

bc kb uc =

2mcΩ

[1− 1

4l2

(2Ω2

ub uc xb xc − σ2

)]xa. (3.29)

No entanto, juntos estes dois momento levam ao verdadeiro momento total conservado,que é πa.

3.4 O Campo Escalar

Consideremos o invariante de Casimir (3.10), escrito em sua forma de operador

CdS = ηab Πa Πb −1

2l2ηac ηbd Lab Lcd, (3.30)

sendo Πa e Lab os geradores de De Sitter, dados pelas equações. (1.18) e (1.19). Quandoeste operador age sobre um campo escalar de De Sitter φ, isto é, um invariante sob trans-formações de De Sitter, ele é igual a uma constante. De fato, da teoria de representaçõesde grupos, encontra-se que [20]

CdS = −m2 c2 +1l2

[s(s+ 1)− 2] , (3.31)

com m a massa e s o spin do campo (~ = 1). Para um campo escalar, s = 0, e temos4

CdS =(−m2 − 2

l2 c2

)c2 ≡ α2(m) c2. (3.32)

Agora, para um campo escalar, podemos identificar

CdS = , (3.33)4Algumas vezes α(m) é chamada de “massa de De Sitter”. Entretanto, preferimos não usar esta

terminologia porque, estritamente falando, α(m) não representa uma massa [21]. A única massa presenteé a massa fisica m.

17

onde = gab∇a∇b (3.34)

é o d’Alembertiano, com ∇a a derivada covariante com a conexão de Levi–Civita damétrica de De Sitter (1.12). Assim, a equação de campo para φ é

φ+m2c2 φ+R

6φ = 0, (3.35)

onde R = 12/l2 é a curvatura escalar do espaço de De Sitter. Para um campo sem massa,esta equação é invariante conforme. Isto mostra de uma forma simples que a constantecosmológica introduz a simetria conforme em qualquer problema físico. Esta simetria éimposta pelo segundo termo do operador de Casimir (3.31). De fato, ele é responsávelpelo termo de curvatura na equação de Klein–Gordon (3.35), que é essencial para ainvariância conforme desta equação. Observe que, no caso do campo eletromagnético(s = 1), que é naturalmente conforme na falta de fontes, este termo não contribui paraa correspondente equação de campo.

A equação (3.35), com massa zero e sem auto-interação, já foi obtida no estudo deequações invariantes conformes para partículas sem massa [22, 23]. Também apareceem relação ao chamado tensor energia-momento “melhorado” para o campo escalar [24].Aqui, ela foi obtida simplesmente considerando-se que, em vez de um campo escalar deLorentz, o campo é um escalar de De Sitter.

3.5 Física Quântica

De novo, consideremos a ação (3.17). Sua total variação é dada por

δS = mc

∫ b

a

[d2χA

dτ2− χA

l2

]δχA dτ −

∫ b

a

[mc

dχA

dτδχA

], (3.36)

onde já fizemos uso da Eq. (3.20). Se admitirmos somente trajetórias físicas, o primeirotermo é zero. Então, o segundo termo, com o limite superior considerado como variável,dá a diferencial da ação como função das coordenadas:

δS = − mcdχA

dτδχA. (3.37)

Nas coordenadas estereográficas, esta equação fica

δS = − pb δxb. (3.38)

18

Conseqüentemente, podemos escrever

δS

δxb= − pb, (3.39)

ondepb = mcub (3.40)

é o momento canonicamente conjugado à coordenada xb.Agora, definimos o operador quântico

pb = −i ~ ∂b. (3.41)

Como é conhecido, ele satisfaz a relação de comutação

[xa, pb] = − i ~ δab. (3.42)

Análogamente ao momento, definimos então o operador

kb = δbc pc, (3.43)

com δbc dado pela Eq. (3.14). Usando a relação de comutação fundamental (3.42), é fácil

ver[ xa, kb] = − i ~ δa

b. (3.44)

Agora, sob uma inversão espaço-temporal

xa → ya = − xa

σ2, (3.45)

o gerador de translações é transformado no gerador de transformações especiais con-formes, e vice–versa [19]. Usando esta propriedade, obtemos

[ya, kb] = − i ~ δab. (3.46)

Isto significa que o momento conforme kb é o momento canonicamente conjugado à co-ordenada ya.

É importante observar que o momento total da partícula é dado por πa = pa −(1/4l2) ka, com pa representando a parte relacionada às translações, e ka representandoa parte relacionada às transformações especiais conformes. Isto vem do fato de queo espaço de De Sitter é transitivo sob a combinação de translações e transformaçõesespeciais conformes. Por exemplo, a energia total da partícula será dada pela componentetemporal de πa, isto é,

E

c≡ π0 = p0 − 1

4l2k0. (3.47)

19

Em outras palavras,

E = Ep −1

4l2Ek, (3.48)

com Ep = p0 e Ek = k0. Assim, o operador de momento total é

πb = pb −1

4l2kb, (3.49)

que satisfaz a relação de comutação

[ xa, πb] = − i ~(δa

b −1

4l2δa

b

). (3.50)

Esta é a regra de comutação da relatividade especial de De Sitter. Naturalmente, jáque πb não é o momento conjugado à coordenada xa, o lado direito não é um delta deKroenecker.

Como é conhecido, as relações de comutação são usadas para construir as relações deincerteza na mecânica quântica. Por exemplo, a relação de comutação (3.42) implica que

∆xa ∆pb ≥12|〈[ xa, pb]〉| =

~2δa

b. (3.51)

Analogamente, a relação de comutação (3.44) implica que

∆xa ∆kb ≥12

∣∣∣⟨[ xa, kb]⟩∣∣∣ =

~2δa

b. (3.52)

A relação de incerteza para o momento total é, portanto,

∆xa ∆πb ≥12|〈[ xa, πb]〉| =

~2

(δa

b −1

4l2δa

b

). (3.53)

Para valores pequenos da constante cosmológica Λ, as correções na mecânica quântica vãoser pequenas. No entanto, para grandes valores de Λ, as correções que vêm do gerador detransformações especiais conformes será importante, dando lugar a uma nova mecânicaquântica.

20

Capítulo 4

Campos no Espaço de De Sitter

4.1 Notas Preliminares

Nos capítulos anteriores, trabalhamos basicamente com a relatividade de De Sitter,bem como com suas conseqüências. Além disso, foi introduzido o campo escalar deDe Sitter, e usando a teoria de representações, encontramos a equação que governa adinâmica deste campo. Neste capíitulo, vamos estudar as equações de campo para outrasrepresentações, quais sejam, campo eletromagnético e campo espinorial.

4.2 Campos no Espaço de Minkowski

As equações de campo para as representações irredutíveis do grupo de Poincaré podemser encontradas fazendo uso dos Invariantes de Casimir. Para o grupo de Poincaré existemdois invariantes,

P 2 ≡ ηabPaPb e W 2 ≡ ηabWaW b, (4.1)

ondeW a ≡ 1

2εabcdPbJcd (4.2)

é o vetor de Pauli-Lubanski. Estes dois operadores classificam todas as partículas danatureza, dependendo do auto-valor que eles tomam. Agindo sobre uma representaçãoirredutível do grupo de Poincaré, eles adquirem os seguintes valores (c=1)

P 2 = −m2 (4.3)

W 2 = −m2s(s+ 1). (4.4)

Usando as equações acima, podemos facilmente encontrar as equações dos campos bosôni-cos (os campos fermiônicos tem equações de primeira ordem). Assim, para o campo despin zero, ou escalar, que chamaremos de φ, temos que,

ηab∂a∂bφ = −m2φ, (4.5)

21

que é a equação de Klein-Gordon. Do segundo Casimir obtemos uma identidade (0 = 0).O caso do campo eletromagnético é mais elaborado, já que sua equação provém dosegundo Casimir. Para isto, devemos achar o vetor de Pauli-Lubanski, mas como ocampo agora tem uma estrutura maior — o spin — devemos achar a representação despin 1 para a álgebra de Lorentz. Pode-se mostrar1 que ela é dada por [12]

(Sab)cd = i(ηadδ

cb − ηbdδ

ca). (4.6)

A representação do momento angular total, portanto, é

(Jab)cd = Labδ

cd + (Sab)c

d. (4.7)

Usando as equações (4.2) (4.3), bem como as equações acima, podemos encontrar osegundo Casimir, cujo resultado é:

∂a∂aAb − ∂b∂aA

a = 0. (4.8)

Esta é a equação que governa a dinâmica do campo eletromagnético (as outras equaçõessão dadas pela identidade de Bianchi).

4.3 Vetores de Killing e o Grupo de Isometria

A equação para o campo escalar de De Sitter foi encontrada no capítulo anterior. Paraencontrarmos a equação do campo eletromagnético devemos encontrar a representaçãode spin 1 para o grupo de De Sitter. Para isso, vamos estudar a relação entre os vetoresde Killing e o grupo de isometria.

O espaço de De Sitter nas coordenadas estereográficas é descrito pela métrica

gab = Ω2ηab, (4.9)

onde

Ω−1 = 1− σ2

4l2com σ2 = ηabx

axb. (4.10)

Para encontrarmos as transformações que deixam invariante esta métrica, usamos aequação de Killing, ou seja, tomamos a derivada de Lie da métrica e igualamos a zero,

(LXg)ab = Xc∂cgab + ∂aXcgcb + ∂bX

cgca = 0, (4.11)

ondeXa são os chamados vetores de Killing. É fácil verificar que os vetores que satisfazem1O procedimento para encontrar esta representação vai ser mostrado quando estudarmos o caso do

grupo de De Sitter.

22

esta equação são:

Lc = ωabLc(ab) = ωab(ηadx

dδcb − ηbdx

dδca) (4.12a)

Πc =1lbaLc

(4a) = ba[δca +

14l2

(σ2δca − 2ηadx

dxc)], (4.12b)

onde (ωab, ba) são constantes arbitrárias, e ωab deve ser anti-simétrica. Devido a estaanti-simetria, só é possível escolher 6 + 4 parâmetros. Portanto, temos 10 vetores deKilling (que é o número máximo permitido para espaços 4-dimensionais), o que confirmaque o espaço de De Sitter é um espaço maximalmente simétrico. Os vetores de Killingsatisfazem a álgebra de SO(4, 1), isto é,

[L(ab), L(cd)

]= ηbcL(ad) + ηadL(bc) − ηbdL(ac) − ηacL(bd) (4.13)[

Π(a),Π(b)

]=

1l2L(ab), (4.14)

com

L(ab) = Lc(ab)∂c = ηadx

d∂b − ηbdxd∂a (4.15a)

Π(a) =1lLc

(4a)∂c = ∂a +1

4l2(σ2δc

a − 2ηadxdxc)∂c. (4.15b)

Isso mostra que este é o grupo de isometrias do espaço de De Sitter.Agora, para encontrar a representação de spin 1 para o grupo de De Sitter, devemos

estudar como se transformam os diferentes campos. O campo escalar é definido comoaquele que não muda sob as transformações do grupo. Para estudar como se transformao campo vetorial, devemos calcular a derivada de Lie na direção dos vetores de Killing,e assim obter as componentes dos geradores de spin. Fazendo isso, obtemos

δ0Ad = (LLA)d = ωabLc(ab)∂cAd + ωab∂dL

c(ab)Ac (4.16)

δ0Ad = (LΠA)d = laΠc(a)∂cAd + la∂dΠc

(a)Ac. (4.17)

Daqui, obtemos que

[S(ab)

] c

d= ∂dL

c(ab) = ηadδ

cb − ηbdδ

ca (4.18a)[

S(4a)

] c

d= ∂dπ

c(a) =

12l2

(ηdbxbδc

a − ηadxc − ηdax

bδcb), (4.18b)

que é a representação que estávamos procurando.

23

4.4 Equação para o Campo Vetorial

Agora que conhecemos como se transforma o campo vetorial sob transformações dogrupo de De Sitter, que é o grupo de isometria do espaço-tempo neste caso, podemosencontrar a equação que deve reger a dinâmica deste campo. Assim, como no espaço deMinkowski, usamos os invariantes do grupo para encontrar esta equação. O grupo de DeSitter tem dois invariantes de Casimir,

C2 = ηACηBDJABJCD (4.19)

C4 = ηAF εABCDEεFGHIJJBCJDEJGHJIJ , (4.20)

onde

Jab = L(ab) + S(ab) (4.21)

J4a = lΠ(a) + lS(4a). (4.22)

A grande diferença com relação a Minkowski é que aqui o primeiro Casimir é suficientepara encontrar a equação satisfeita por um campo vetorial. Isto se deve ao fato quea equação obtida é de segunda ordem, enquanto que o segundo Casimir fornece umaequação de quarta ordem.2 O primeiro Casimir pode ser escrito como:

C2 = ηacηbdJabJcd − 2ηabJ4aJ4b ≡ J2 − 2J24 (4.23)

C2 = L2 + L · S + S · L+ S2 − 2l2Π2 − 2l2Π · S4 − 2l2S4 ·Π− 2l2S24 . (4.24)

Usando as equações (4.15) e (4.18), bem como a equação acima, podemos calcular ex-plicitamente o primeiro Casimir, cujo resultado é:

C2 = −2l2Ω−2ηab∂a∂bδcd − 2Ω−1(xc∂d − ηdλη

cεxλ∂ε)− 2Ω−1δcd +

1l2ηdλx

λxc. (4.25)

No caso do campo escalar, não há componente de spin. Neste caso, o Casimir se reduz a

C2 = L2 − 2l2Π2 = −2l2Ω−2ηab∂a∂b − 2Ω−1xa∂a. (4.26)

Se a representação é irredutível, o Casimir é proporcional à identidade, e adquire oseguinte valor para o caso de SO(1, 4):

C2

−2l2= −m2 +

1l2

[s(s+ 1)− 2]. (4.27)

2No caso do grupo de Poincaré, os dois Casimir são de segunda ordem, e as ordens superiores dosegundo Casimir se cancelam identicamente.

24

4.5 O Operador de Laplace–Beltrami

Existe uma relação estreita entre o invariante de Casimir do grupo e o operador deLaplace-Beltrami. Para ver isto, vamos calcular explicitamente o operador de Laplace-Beltrami para a métrica (4.9). Por definição, temos

∇a∇aAd = gab∇b∇aAd = Ω−2ηab[∂b(∇aAd)− Γαba∇αAd − Γα

bd∇aAα] (4.28)

∇aAd = ∂aAd − ΓλadAλ (4.29)

Γadb = (δa

dδcb + δa

b δcd − ηdbη

ac)∂c ln(Ω). (4.30)

Usando estas equações, depois de alguma manipulação algébrica obtemos:

∇a∇aAd =Ω−2ηab∂a∂bAd +Ω−1

l2(xc∂dAc − ηdλη

cεxλ∂εAc)

+Ω−1

l2Ad −

12l4

ηdλxλxcAc −

3l2Ad.

(4.31)

Comparando esta última equação com (4.25), pode-se ver que

∇a∇aAd = − C2

2l2Ad −

3l2Ad. (4.32)

Se fizermos a mesma conta no caso do campo escalar, obteremos a igualdade dos doisoperadores:

∇a∇aφ = − C2

2l2φ. (4.33)

No caso geral, esta expressão assume a forma

∇a∇a = − C2

2l2+A(s), (4.34)

onde A(s) é uma constante que depende do spin do campo.

4.6 O Campo de Spin 1/2

Para encontrar a dinâmica do campo de spin 1/2 devemos encontrar uma represen-tação da álgebra do grupo de De Sitter. Entretanto, não podemos fazer da mesma formaque no caso do campo vetorial pois não sabemos como age a derivada de Lie sobre es-pinores. Vamos então usar nossa intuição para estender a álgebra das matrizes gamapara o grupo de De Sitter. Sabemos que

γa, γb = 2ηab, (4.35)

25

e que

Sab ≡ i

4[γa, γb] (4.36)

satisfaz a álgebra do grupo de Lorentz. Além disso, podemos definir uma matriz a maisque anti-comuta com o resto das matrizes gama:

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3. (4.37)

Esta matriz tem as seguintes propriedades:

(γ5)2 = 1, (4.38)

(γ5)† = γ5. (4.39)

Já que o quadrado desta matriz é 1, ela não é adequada para álgebra do grupo de DeSitter. Para isto, definimos:

γ5 ≡ γ0γ1γ2γ3. (4.40)

Com esta matriz temos que (i = 1, 2, 3, 5)

γA, γB = 2ηAB (4.41)

(γ0)† = γ0 (4.42)

(γi)† = γ0γiγ0 = −γi. (4.43)

Consequentemente, a matriz

SAB =i

4[γA, γB] (4.44)

será uma representação de SO(4, 1).Usando a representação acima, bem como o primeiro Casimir de De Sitter, a equação

para o campo de spin 1/2 pode ser escrita na forma

− C2

2l2= (L+ S)2 (4.45)

−L2

2l2− S2

2l2− L · S

l2= −m2 +

1l2

[s(s+ 1)− 2]. (4.46)

O primeiro termo do lado esquerdo já conhecemos; ele é dado por

−L2

2l2= . (4.47)

O segundo termo é fácil de ser calculado fazendo uso das propriedades das matrizesgamma. O resultado é

S2 = −5. (4.48)

26

Para calcular o terceiro termo, definimos

∇ ≡ −1lSABLAB = − 1

4lγAγBLAB. (4.49)

Pode-se então mostrar que [25]

∇2 = − 3l∇. (4.50)

Assim, podemos escrever o segundo Casimir em termos de ∇:

∇2 +4l∇+

154l

= −m2. (4.51)

Agora, para a representação irredutível de spin 1/2 o valor de m2 tem que ser maior que1/(4l2). Então, é conveniente escrever a equação anterior em termos de

µ2 = m2 − 14l2

. (4.52)

Com isso, obtemos finalmente

∇2ψ +4l∇ψ +

4l2ψ = −µ2ψ, (4.53)

que pode ser fatorizado na forma(i∇+

2il

+ µ

) (i∇+

2il− µ

)ψ = 0. (4.54)

A equação de Dirac para o campo de spin 1/2 no espaço de De Sitter, da últimaequação, pode ser escrita como (

i∇+2il− µ

)ψ = 0. (4.55)

Para escrever esta equação de uma maneira mais sugestiva, definimos [26]

D = ∇+2l

= − 14lγAγBLAB +

2l. (4.56)

Com isso, a equação de Dirac assume a forma

(iD − µ)ψ = 0. (4.57)

No limite da constante cosmológica indo a zero, que corresponde ao o limite de l → ∞,esta equação reduz-se a

(iγ5γa∂a −m)ψ = 0. (4.58)

Definindo a matriz γa ≡ γ5γa, a qual também satisfaz a álgebra de Dirac, obtemos a

27

forma usual da equação de Dirac:

(iγa∂a −m)ψ = 0. (4.59)

Note-se que para obter esta equação, tivemos que mudar para outra representação. Arazão desta mudança deve-se ao fato que no processo de contração, algumas represen-tações do grupo de De Sitter não vão em representações do grupo de Poincaré. Isto ocorreporque o grupo de De Sitter tem uma estrutura mais rica do que o grupo de Poincaré, eportanto uma maior variedade de representações. No apêndice, examinaremos com maisdetalhes as representações irredutíveis do grupo de Poincaré e o grupo de De Sitter.

Como comentário final, observemos que as equações obtidas para os campo escalare vetorial são invariantes conformes. Isto significa que, quando a massa é nula, temosinvariância de escala. Seria interessante estudar a relação entre esta invariância com ainvariância de “gauge” e a propagação de partículas no cone de Luz. Um outro ponto deinteresse seria estudar uma possível invariância conforme da equação do campo espinorial.

28

Capítulo 5

Conclusões

As transformações de Lorentz agindo no espaço de De Sitter deixam invariante a veloci-dade da luz c e o parâmetro de comprimento l. Como l =

√Λ/3, as transformações de

Lorentz deixam invariante, na verdade, a constante cosmológica Λ. Para preservar umaescala de comprimento, portanto, a simetria de Lorentz não precisa ser quebrada ou mod-ificada. Até certo ponto, esta propriedade pode ser considerada trivial, porque sabemosda relatividade especial ordinária que as transformações de Lorentz deixam invariante aconstante cosmológica nula associada ao espaço Minkowski. No entanto, este resultadopode ter importantes conseqüências para a física de altas energias, e em particular paraa gravitação quântica.

O termo cosmológico Λ introduz naturalmente o gerador das transformações especi-ais conformes na definição da transitividade do espaço-tempo. Como conseqüência, estatransformação aparece naturalmente na cinemática, e muda as correspondentes correntesde Noether. Para um termo cosmológico pequeno, as modificações conformes vão ser pe-quenas, e a física ordinária permanece válida. Para grandes valores de Λ, as contribuiçõesconforme às grandezas físicas não podem ser desprezadas, e dão lugar à mudanças con-ceituais profundas. Por exemplo, a relatividade especial ordinária, que está baseada nogrupo de Poincaré, não é mais válida e deve ser substituída por uma nova relatividadeespecial baseada no grupo de De Sitter. Isto implica que as noções ordinárias de energiae momento vão mudar [15]. O momento conservado, por exemplo, vai ser obtido dainvariância do sistema físico, não pelas translações ordinárias, mas pela combinação detranslações e transformações especiais conformes. Portanto, nessa nova teoria o momentoserá dado pela combinação do momento ordinário e do momento conforme. A energia,que é a componente temporal do momento, mudará da mesma forma. Devido ao papelfundamental da energia e do momento, estas modificações afetam todas as áreas da física,incluindo a mecânica quântica [18].

Adicionalmente, com o uso dos invariantes do Casimir, foi possível encontrar asequações de campo invariantes sob transformações do grupo de De Sitter. Em par-ticular, as equações para os campos escalar e vetorial têm também invariância conforme

29

quando suas massas são nulas. Os termos extras que são proporcionais à constantecosmológica podem trazer correções para a teoria quântica de campos. Embora, paravalores pequenos da constante cosmológica, estas correções sejam pequenas e os efeitosna cinemática sejam insignificantes, existem situações onde esta diferença podem vir aser muito importantes.

Por exemplo, as transições de fase associadas à quebra espontânea de simetria sãousualmente consideradas como uma fonte primária para um Λ não nulo [16]. Torna-seassim concebível assumir que um fenômeno de alta energia possa modificar a estruturalocal do espaço por um período de tempo curto, de tal forma que a vizinhança do fenômenodeixa de ser um espaço Minkowski, e torna-se um espaço de De Sitter — ou anti-DeSitter [17]. Existiria, então, uma conexão entre a escala de energia da experiência e ovalor local de Λ. Para um fenômeno de altíssima energia, o parâmetro l ficaria perto daescala de Planck, e a cinemática local seria aquela da relatividade de De Sitter. Nestaexperiência o valor local de Λ será da ordem Λ ∼ 1066 cm−2, o qual difere da constantecosmológica observada por 120 ordens de magnitude [27]. Neste caso, o espaço localse aproximaria de um espaço cônico [8], o qual é transitivo somente sob transformaçõesconformes. Nesta situação extrema, a relatividade de De Sitter se reduz à relatividadeconforme, onde as noções de momento e energia conforme serão as únicas a sobreviver.Um mundo quântico muito peculiar vai emergir, cuja física precisa ainda ser desenvolvida.

É importante mencionar que há um argumento consistente por trás destas hipóte-ses. Como a constante cosmológica Λ introduz os geradores conformes na definição datransitividade do espaço-tempo, estas transformações são naturalmente incorporadas nacinemática local, e a correspondente corrente conforme aparece como parte da correntede Noether. Para grandes valores de Λ, a simetria conforme adquire naturalmente umpapel relevante. Isto está de acordo com a idéia de que a simetria conforme é a simetriarelevante em altas energias, onde as massas podem ser desprezadas.

Além disso, este cenário ajusta-se bem com a idéia que as altas energia podem causarpequenas flutuações na textura do espaço-tempo. O ponto importante é que a relativi-dade de De Sitter, junto com a hipótese de uma conexão entre energia e o valor local deΛ, dá um significado preciso a estas flutuações. Devido à presença de um horizonte nadistância l, a estrutura causal do espaço-tempo, definida pelo cone de luz, será tambémmodificado de uma forma bem precisa [8]. A relatividade de De Sitter, dá origem auma fenomenologia de altas energias muito precisa, abrindo as portas para uma eventualconfrontação experimental.

Um exemplo concreto desta possibilidade podem ser as observações recentes do atrasoem raios gamma extragaláticos de energias muito altas em relação aos de energia menores [28].Uma das explicações para tal atraso é que as flutuações do espaço poderiam estar agindocomo lentes microscópicas, diminuindo a velocidade de propagação dos fotons de altasenergias. Inclusive, já se demonstrou que, na presença de uma constante cosmológica, a

30

luz se propaga com velocidade menor do que c [29]. A análise destes problemas faz partede nossos trabalhos futuros [30].

31

Apêndice A

Representações Irredutíveis: Poincaré e De Sitter

A.1 O Grupo de Poincaré

O grupo de isometrias do espaço de Minkowski é o grupo de Poincaré, o qual estácomposto pelas transformações de Lorentz e as translações uniformes no espaço-tempo.A transformação mais geral do grupo é dada por:

xa → x′a = Λabx

b + aa. (A.1)

A álgebra dos geradores do grupo, por outro lado, é

[Jab, Jcd] = ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac + ηadJbc (A.2a)

[Jab, Pc] = ηbcPa − ηacPb (A.2b)

[Pa, Pb] =0. (A.2c)

Devido a que as translações não comutam com as transformações de Lorentz, o grupo dePoincaré é o produto semi-direto L P do grupo de Lorentz e o grupo de translações.Como já discutido, este grupo tem dois operadores de Casimir, denotados por P 2 e W 2,onde

P a = mua (A.3)

é o momento linear, e

W a =12εabcdPbJcd (A.4)

é o vetor de Pauli-Lubanski.As representações irredutíveis são classificadas pelos autovalores [31]. Assim, temos

os seguintes casos:

• P 2 = −m2 < 0 W 2 = −m2s(s+ 1)

Esta representação refere-se à partículas com massa não nula e spin s = 0, 1/2, 1, ....

32

• P 2 = 0 W 2 = 0

Esta representação refere-se à partículas sem massa. Os estados são caracterizados pelahelicidade h = 0,±1/2,±1, ...

• P 2 = 0 W 2 < 0

Este tipo de representação não se encontra na natureza. Corresponde a uma partículasem massa com infinitas polarizações.

• P 2 = −m2 > 0

Esta última é a representação dos tachyons.

A.2 O Grupo de De Sitter

No caso do espaço de De Sitter, o grupo de isometrias é o grupo de De Sitter SO(4, 1).A álgebra deste grupo é dada por:

[JAB, JCD] = ηBCJAD − ηACJBD − ηBDJAC + ηADJBC . (A.5)

Para se ter uma melhor visão da álgebra, vamos decompor os geradores em transformaçõesde Lorentz e “translações” de De Sitter. Para isso, definimos:

Πa =1lJ4a. (A.6)

Em termos deste novo gerador, temos

[Jab, Jcd] = ηbcJad − ηacJbd − ηbdJac + ηadJbc (A.7a)

[Jab,Πc] = ηbcΠa − ηacΠb (A.7b)

[Πa,Πb] =1l2Jab. (A.7c)

Os operadores de Casimir para este grupo são

C2 =− 12l2

ηABηCDJACJBD = Π2 − 12l2

J2 (A.8a)

C4 = ηABWAWB (A.8b)

comWA =

18lεABCDEJBCJDE . (A.9)

Como no caso de Minkowski, as representações irredutíveis podem ser classificadas deacordo com os auto-valores destes dois operadores [20]. A série principal é dada por

33

• bm,s C2 = −m2 + l−2[s(s+ 1)− 2] C4 = −m2s(s+ 1)

a qual representa partículas com massa m2 > 0 para spin inteiro, e com massa m > 1/4l2

para spin semi-inteiro. A série complementar

• bm,s C2 = −m2 + l−2[s(s+ 1)− 2] C4 = −m2s(s+ 1)

que pode ser interpretada representando os tachyons, pois − 2l2< m2 < 1

4l2para s = 0,

ou 0 < m2 < 14l2

para s = 1, 2, .... Por último, temos a série discreta

• πp,q l2C2 = p(p+ 1) + q(q − 1)− 2 l2C4 = p(p+ 1)q(q − 1)

onde p, q só podem tomar os valores p = 1/2, 1, 3/2, ... e q = p, p− 1, p− 2, ...1 (ou 1/2).Alguns autores a consideram como representando partículas sem massa.

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