relações métricas nos triângulos -...
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Trigonometria
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A palavra trigonometria é de origem grega,
onde:
Trigonos = Triângulo
Metrein = Mensuração
- Relação entre ângulos e distâncias;
- Origem na resolução de problemas práticos
relacionados principalmente à Navegação e à
Astronomia.
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Triângulos
Triângulo é uma figura geométricaformada por três retas que seencontram duas a duas e não passampelo mesmo ponto, formando trêslados e três ângulos. Esses ângulos,tradicionalmente, são medidos numaunidade de medida, denominada graue, cada um deles tem medida entre 0°e 180°. Neste caso, com base notriângulo ao lado, afirma-se:
A
C
B
α
β
σ
α + β + σ = 180°
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Classificação dos Triângulos
EquiláteroLados com mesmo
comprimento
Isósceles2 lados iguais
EscalenoLados com
comprimentos
diferentes
Quanto aos tamanhos dos lados:
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Classificação dos Triângulos
Acutânguloângulos < 90°
Obtusângulo1 ângulo obtuso
.
Retângulo1 ângulo com 90°
Quanto a medida dos ângulos
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Triângulo Retângulo
𝑩𝑪 é a hipotenusa
𝑨𝑩 e 𝑨𝑪 são os catetos
A
C
B
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
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Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras:
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
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Tangente de um ângulo
A
B
C
A’ B’ C’O
α
Considere a figura em que oângulo α mede aproximadamente26,5°. As medidas dos segmentosassinalados, em centímetros, são:OA’ = 3; OB’ = 5; OC’ = 8; AA’ =1,5; BB’ = 2,5 e CC’ = 4.Substituindo valores, podemosafirmar que as seguintes razõessão iguais:
𝑨𝑨′
𝑶𝑨′=𝑩𝑩′
𝑶𝑩′=𝑪𝑪′
𝑶𝑪′= 𝒌 = 𝟎, 𝟓
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Tangente de um ângulo
A
B
C
A’ B’ C’O
β
Uma outra figura em que o ângulo β
mede 63,5° e: OA’ = 3; OB’ = 4; OC’ =
5; AA’ = 6; BB’ = 8 e CC’ = 10. Pelo
fato de os triângulo serem semelhantes:
𝑨𝑨′
𝑶𝑨′=𝑩𝑩′
𝑶𝑩′=𝑪𝑪′
𝑶𝑪′= 𝒄 = 𝟐
Com base no exposto, conclui-seque a medida da razão dos catetosnão depende da escolha de umtriângulo retângulo com ladosmaiores ou menores, mas sim damedida do ângulo (α ou β)
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Seno, Cosseno e Tangente
De maneira geral, temos:
𝒕𝒈 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
𝒔𝒆𝒏 β =𝒃 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐)
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
𝒄𝒐𝒔 β =𝒄 (𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆)
𝒂 (𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂)
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Ângulos Notáveis
30° 45° 60°
Sen1
2
2
2
3
2
Cos3
2
2
2
1
2
Tg3
31 3
Lembre-se!
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Praticando
Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinteprocedimento ilustrado na figura: Um aparelho (de alturadesprezível) foi colocado no solo e emitiu um raio em direção aoponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e osolo foi de α=60°. A seguir, o aparelho foi deslocado 4m em direção
a torre, e o ângulo obtido foi de β radianos, com tg β=3 3. A alturada torre é:
𝑎) 4 3 𝑏) 5 3
𝑐) 6 3 𝑑) 7 3
𝑒) 8 3
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Praticando
Trabalhando com o triângulo menor:
𝑡𝑔𝛽 =𝑦
𝑥=3 3
1𝑦 = 3𝑥 3
Agora, vamos trabalhar com o triangulo maior:
𝑡𝑔60° =𝑦
4 + 𝑥=3𝑥 3
4 + 𝑥3
1=3𝑥 3
4 + 𝑥→ 3. 4 + 𝑥 = 3𝑥 3
2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2
𝑦 = 3𝑥 3 = 6 3
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Praticando
(UFJF - MG)Um topógrafo foi chamado para obter a altura de
um edifício. Para fazer isso, ele colocou um teodolito
(instrumento ótico para medir ângulos) a 200metros do edifício e
mediu um ângulo de 30°, como indica na figura a seguir:
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Praticando
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo,
pode-se concluir que, o melhor aproxima a altura do edifício, em
metros, é: (Use os valores: sen30°= 0,5; cos30°= 0,866; tg30°=0,577)
a) 112 b) 115 c) 117 d) 120e) 124
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Praticando
A altura do prédio é igual a soma de x e y. Sendo que, y é igual
a 1,5m.
x
y200 m
60º
𝑥
200= 𝑡𝑔 30º
𝑥
200= 0,577
𝑥 = 200 ∗ 0,577
𝑥 = 115,4
𝑥 + 𝑦 = 115,4 + 1,5
𝑥 + 𝑦 = 116,9 𝑚
Desta forma, a altura do prédio é aproximadamente 117 m.
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Trigonometria
𝟐) 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =𝒃
𝒄→ 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝜷 =
𝒄𝒐𝒔𝜷)
𝒔𝒆𝒏(𝜷)=
𝟏
𝒕𝒈(𝜷)
𝒔𝒆𝒏 𝜷 =𝒄
𝒂𝒄 = 𝒔𝒆𝒏 𝜷 . 𝒂
𝐜𝐨𝐬 𝜷 =𝒃
𝒂𝒃 = 𝐜𝐨𝐬 𝜷 . 𝒂
𝟏) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏
𝟑) 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂
𝒃→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝜷)
𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜷 =𝒂
𝒄→ 𝒔𝒆𝒄 𝜷 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝜷)
Identidade Trigonométrica
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Lei do Seno
Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.
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Lei do Cosseno
Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.
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Praticando(Unb – DF) Um observador, situado no ponto A,
distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo
de 30° conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da
figura, determine a altura do edifício em metros e divida
o resultado por 2.
h
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Praticando
Solução:
DC=?
α= 180° - (75°+60°) = 45°
De acordo com a lei do seno:𝑥
𝑠𝑒𝑛60°=
30
𝑠𝑒𝑛45°→ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛45° = 30. 𝑠𝑒𝑛60°
𝑥.2
2= 30.
3
2→ 𝑥 = 30.
3
2.
2
2
𝑥 = 30.6
2= 15 6
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Praticando
30°
𝟏𝟓 𝟔
𝒉
AC
DDe acordo com as informações obtidas,
Calculamos a tangente de 30°:
𝑡𝑔 30° =ℎ
15 63
3=
ℎ
15. 6→ 3ℎ = 15 18
ℎ = 5 32. 2 = 15. 2𝑚
Dividindo o resultado por 2:
Solução = 15m.
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Praticando
Exercício: Um engenheiro deseja construir um túnel quepassará por uma montanha. Como pode ser verificado nafigura abaixo, a distância do ponto onde ele está, até o localonde será a entrada do túnel é de 80m e até a saída do túnelé de 100m. Descubra o comprimento do túnel. Dado, cos55°= 0,573
Montanha
Entrada
80m
100m
55°Engenheiro
Saída
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Praticando
Solução:
De acordo com o dados fornecidos, nota-se que a questão pode ser resolvida aplicando a lei dos cosseno:𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑡ú𝑛𝑒𝑙
𝑥² = 80² + 100² − 2.80.100. cos 55°𝑥² = 7232
𝑥 = 85,05m
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Praticando
(UEM - PR) Considere um paralelogramo cujos os lados medem 3cm e 5cm e um dos ângulos mede π/4 radiano. Se d e D são as medidas das diagonais do paralelogramo, então D² + d², em centímetros quadrados, é igual a:
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Praticando
Solução:
π/4 = 45°
Para calcular o comprimento da diagonal menor,aplicaremos a lei dos cossenos:
𝑑² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
𝑑² = 9 + 25 − 302
2𝑑² = 34 − 15 2
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Praticando
O cos 135° = - cos 45°
Para calcular o comprimento da diagonal maior, usamos os
mesmos procedimentos:
𝐷² = 3² + 5² − 2.3.5. cos 45
𝐷² = 9 + 25 − 30 −2
2
𝐷² = 34 + 15 2
𝐷² + 𝑑² = 34 + 15 2 + 34 − 15 2 = 68
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Referência Bibliográfica
DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora Ática. 2009.