referÊncia bibliogrÁfica 30 -...
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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES
CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................ 2
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ........................................................ 8
IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO ..................................... 12
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO..................................................... 15
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO .................................................. 15
DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO .................................... 17
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO .................................................... 19
FUNÇÃO CONSTANTE ............................................................. 25
RESPOSTAS ............................................................................. 27
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 30
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. O fato de apenas alguns exercícios estarem indicados não significa que os demais devam ser ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você fizer mais hábil você pode ficar.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
CONCEITO DE FUNÇÃO
Dados dois conjuntos não vazios A
e B*, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e
somente para todo x A existe um único
(x; y) f.
f é uma função de A em B
( x A, y B | (x; y) f)
É importante notar que:
Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B;
Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B.
Usando o conceito de domínio e
imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que:
f : A B é uma função se todo elemento do domínio
possui somente uma imagem.
Veja, a seguir, alguns exemplos
que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não.
* Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados
Vamos considerar os conjuntos
A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias:
R = {(x; y) A x B | y = x + 1}
S = {(x; y) A x B | y2 = x2}
T = {(x; y) A x B | y = x}
V = {(x; y) A x B | y = (x -1)2 -1}
W = {(x; y) A x B | y = s} Começaremos pela relação R:
Desta forma temos:
R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) }
Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento
y B tal que (x; y) R.
Para o elemento 3 A, não existe
y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento
de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B.
por números reais, ou seja, A e B estão contidos
em .
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÕES
Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado.
S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)}
Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento
y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que
(1, -1) S e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. Agora, a relação T:
T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) }
Para todo elemento x A sem
exceção, existe um só elemento y B tal
que (x; y) T. Então T É UMA FUNÇÃO de A em
B.
Veja a relação V agora:
V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) }
Para todo elemento x A sem
exceção, existe um só elemento y B tal
que (x; y) V. Então S É UMA FUNÇÃO de A em
B.
Vamos encerrar esta série com a relação W.:
W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) }
Para todo elemento x A sem
exceção, existe um só elemento y B tal
que (x; y) W.
Então W É UMA FUNÇÃO de A em B.
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade:
“Para todo elemento x A sem
exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação”, logo são funções de A em B.
Quando analisamos uma relação a
partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B:
1. Deve sair flecha de TODOS os
elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de
cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 2 desta apostila.
Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem.
Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a)
Função? Justifique:
b)
Função? Justifique:
c)
Função? Justifique:
d)
Função? Justifique:
e)
Função? Justifique:
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÕES
f)
Função? Justifique:
Podemos verificar também se uma
relação é ou não função a partir de sua representação gráfica.
Para tal, basta verificarmos se
todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem.
Vamos identificar, nos gráficos a
seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso.
a) A = [-1; 2] e B =
Função? Justifique:
b) A = [-2; 2] e B =
Função?
Justifique:
c) A = [0; 4] e B =
Função? Justifique:
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
______________________
EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124
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1) Assim como foi feito no exemplo da página 4, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a)
b)
c)
d)
e)
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÕES
f)
2) Dentre os gráficos abaixo, identifique aquele que apresenta e aquele que não apresenta função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio apresentado. a)D = [1; 4]
b) D = [-4; 3]
c) D = [-7; 7]
d) D = [-4; 4]
e) D =
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f) D =
g) D =
h) D =
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função f: A B sendo
f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função.
Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos
a função f: A definida por f(x) = 2x, temos:
Para x = 1, 2121f
Para x = 2, 4222f
Para x = 3, 6323f
Para x = 4, 8424f
A imagem desta função é
Im(f) = {2; 4; 6; 8}
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÕES
Ex.: Determinar a imagem da função
f: D definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2
4102810222f3
Para x = -1
10101110111f3
Para x = 0
10100010000f3
Para x = 1
10101110111f3
Para x = 2
16102810222f3
Logo, Im(f) = {4; 10; 16}
Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem.
Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem.
3) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a)
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b)
c)
4) Sendo f: A , uma função definida por f(x) = 3x2 + 1, determine a imagem de f sabendo que
13 ;3 ;3
2 ;5 ;5A
5) Seja f: a função definida por
1x
2xf
2 . Calcule:
a) 1f
b)
2
1f
c) 2f
d) 21f
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÕES
6) Se 1x
1
x
1xf
, qual é o valor de
f(1) + f(2) + f(3)? 7) Determine a imagem de cada função:
a) f: A dada por x
1xxf e
3 ;2 ;1 ;2
1 ;
3
1A
b) f: D dada por 11xxf e
2 ;1 ;0 ;1 ;2D
8) Na função f: definida por f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18?
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
9) Na função f: definida por f(x) = x2 – 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0?
10) Uma função definida por 1x2
1xxf
tem imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x?
11) Dada 1xxf , calcule o valor de
x para o qual se tem f(x) = 2.
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ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 – Exercícios 17 a 22
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IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO
Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contra-imagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem.
Veja nos exemplos a seguir.
Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos.
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÕES
a)
Im = [a; b]
b)
Im = [a; b]
c)
Im = [a; b[ - {0}
d)
Im = [-2; 0[ ]1; 3[
e)
Im = {1; 3}
12) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a)
b)
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c)
d)
e)
f)
g)
h)
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÕES
i)
j)
k)
l)
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Considerando que toda função de
A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio.
Chamamos de domínio o conjunto
D dos elementos x A para os quais
existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções:
Domínio = conjunto de partida É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo.
DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO
Tomemos algumas funções e
determinemos o seu domínio:
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.: 1
f(x) = 2x
Notemos que 2x para todo x , temos, então:
D = Ex.: 2
f(x) = x2
Notemos que x2 para todo x , temos, então:
D = Ex.: 3
x
1xf
Notemos que x
1 se, e somente se, x
é real diferente de zero, temos, então,:
D = * Ex.: 4
xxf
Notemos que x se, e somente se,
x é real e não negativo, então:
D = +
Ex.: 5
3 xxf
Notando que 3 x para todo x ,
temos:
D =
13) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:
a) 2x3xf
b) 2x
1xf
c) 4x
1xxf
2
d) 1xxf
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÕES
e) 1x
1xf
f) 2x
2xxf
g) 3 1x2xf
h) 3 3x2
1xf
i) 3x
2xxf
3
DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO
Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função.
Veja nos exemplos a seguir.
Ex.: 1
D = [a; b]
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.: 2
D = [a; b]
Ex.: 3
D =
Ex.: 4
D = *
14) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a)
b)
c)
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÕES
d)
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 – Exercícios 24, 25 e 26
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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de , dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os
pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f.
Ex.: 1
Fazer o gráfico da função f(x) = definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução:
Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0,
33020fy
Para x = 1
13121fy
Para x = 2
13222fy
Para x = 3
33323fy
Para x = 4
53424fy
Para x = 5
73525fy
O gráfico de f é formado pelos
pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7).
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.: 2 Fazer o gráfico da função
f(x) = 2x – 3 definida no domínio
D(f) = {x | 0 x 5}. Resolução
Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x – 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados “entre eles”, no segmento de
reta AF . Veja, por exemplo: Para x = 0,5
235,025,0fy
Para x = 2,25
5,1325,2225,2fy
Ex.: 3 Fazer o gráfico da função
f(x) = 2x – 3 definida no domínio D(f) = . Resolução
Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x – 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além
do segmento AF , devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: Para x = 6
93626fy
Para x = -1
53121fy
O gráfico é, neste caso, a reta AFque não tem fim de um lado nem de outro.
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÕES
15) Faça o gráfico da função f(x) = 6 – x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5}
b) sendo D = {x | 1 x 5}
c) sendo D =
16) Faça o gráfico da função 2
xxf nos
casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2}
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) sendo D = {x | -2 x 2}
c) sendo D =
17) Faça o gráfico da função 2xxf nos
casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = _______ Para x = -1, y = _______ Para x = 0, y = _______ Para x = 1, y = _______ Para x = 2, y = _______
b) sendo D = {x | -2 x 2}
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÕES
c) sendo D =
18) Faça o gráfico da função xxf
nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4}
b) sendo D = +.
19) Faça o gráfico da função 2
1xxf
com domínio D = . (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x))
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
20) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[
21) Faça o gráfico de f: [-1; 5] ,
definida por 2
x5xf
.
MATEMÁTICA I 25 FUNÇÕES
22) Faça o gráfico de f: [-2; 2] ,
definida por 2
xxf
2
.
FUNÇÃO CONSTANTE
Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k:
f: , com f(x) = k ( x )
Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k.
Observe que o domínio é D(f) =
e a imagem é Im(f) = { k }.
Ex.: 1 Construir o gráfico da função
f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja:
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.: 2 Construir o gráfico da função
f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja:
23) Faça o gráfico da função
f: dado por f(x) = - 1.
24) Faça o gráfico da função
f: dado por
0 xse1-
0 xse,1xf .
MATEMÁTICA I 27 FUNÇÕES
RESPOSTAS
1) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.
b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.
c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem.
d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.
e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem.
f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem.
2) a) Não é função, pois existe
elemento do domínio com mais de uma imagem.
b) Função
c) Função
d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
e) Função
f) Função
g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem.
h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
3) a) Im = {-1; 0; 1}
b) Im = {-1}
c) Im = {-1, 2}
4)
76 ;3613 ;10 ;3
7fIm
5) a) 1 b) 5
8
c) 3
2 d)
2
22
6) 4
3
7) a)
2 ;2
5 ;
3
10fIm
b) 4 ;3 ;2 ;1fIm
8) Resolução:
3x
21x7
183x7
18xf e 3x7xf
9) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1
f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2
10)
3
2 ;
5
4 ;2 ;0 ;
7
2fD
11) x = 3
12) a) Im = {-2, 0, 2}
b) Im =
c) Im = [-2; 2] d) Im = {y | -4 x -2 ou -1 < x
4}
e) Im = {y | x -1}
f) Im = {y | x > 2 ou x = 1}
g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4}
h) Im = [1; 4[
i) Im = [-4; 3[
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
k) Im = [-2; 3] 13) a) D
b)
2x|xD ou 2D
c) Resolução
2x e 2x|xD
2x
4x
04x
4x
1xxf
2
2
2
d) 1x|xD
e) 1x|xD
f) 2x e 2x|xD
g) D
h)
2
3D
i) 3D
14) a) [-3; 4[
b) [-3; 3] - {-1; 1}
c) *
d) * 15) a)
b)
c)
16) a)
b)
MATEMÁTICA I 29 FUNÇÕES
c)
17) a)
b)
c)
18) a)
b)
19)
20)
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
21)
22)
23)
24)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto;
Matemática. São Paulo, Ática, 2004
MACHADO, Antônio dos Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo,
Atual, 1988
IEZZI, Gelson e outros;
Matemática, Volume único. São Paulo,
Atual, 2002
PAIVA, Manoel; Matemática –
Ensino Médio, Volume 1. 2.ed. São
Paulo. Moderna, 2013.