(Re) Construindo Conceitos das Operações com Números Inteiros Relativos

Mestrandos:

Agnaldo de Oliveira

Daiane Corrêa

Juliana Alves

Agosto/2012

Questões Iniciais

Como justificar para o aluno porquê de “-” com “-” resultar em “+” ?

Será que podemos provar as regras de sinais?

De que forma pode-se trabalhar, do ponto de vista didático, as operações em Z?

De que forma podemos justificar as regras de sinais referentes a operações de adição/subtração e multiplicação/divisão no conjunto dos inteiros?

Os Modelos Básicos de Pommer (2010)

Modelo Aritmético

Adição/Subtração

Modelo Algébrico

Modelo Conjuntista

Modelo Geométrico

Multiplicação/Divisão

Modelo Aritmético

Modelo Conjuntista

Modelo Físico Geométrico

Modelo Funcional

O Ábaco dos Inteiros

1) Represente no ábaco o número 6, depois acrescente três argolas vermelhas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

  2) Represente no ábaco o número 3, depois acrescente

cinco argolas pretas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

Primeiro Momento – Adição

3) Represente no ábaco o número -3, depois acrescente sete argolas vermelhas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

  4) Represente no ábaco o número -6, depois acrescente

quatro argolas pretas. a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

Adição

Adição

5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.

a) (+4) + (+2) = +6 e) (-6) + (-1) = -7 i) (+5) + (-8) = -3

b) (+2) + (+5) = +7 f) (-4) + (-7) = -11 j) (+9) + (-4) = +5

c) (+6) + (+3) = +9 g) (-1) + (-8) = -9 k) (-8) + (+6) = -2

d) (+5) + (+8) = +13 h) (-9) + (-3) = -12 l) (-7) + (+1) = -6

a) (+4) + (+2) = +6 e) (-6) + (-1) = -7 i) (+5) + (-8) = -3

b) (+2) + (+5) = +7 f) (-4) + (-7) = -11 j) (+9) + (-4) = +5

c) (+6) + (+3) = +9 g) (-1) + (-8) = -9 k) (-8) + (+6) = -2

d) (+5) + (+8) = +13 h) (-9) + (-3) = -12 l) (-7) + (+1) = -6

Adição

Resultado das operações...

6) Analisando os itens de a a d o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

A soma de dois números inteiros relativos positivos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” positivo.

Adição

7) Analisando os itens de e a h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

A soma de dois números inteiros relativos negativos equivale à soma de seus valores absolutos e o resultado terá “sinal” negativo.

Adição

8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando representamos valores absolutos sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos das parcelas e o resultado terá o sinal da parcela que possui maior valor absoluto.

Adição

9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução da operação de adição de números inteiros? Qual?

A soma de dois números inteiros relativos de mesmo sinal equivale à soma de seus valores absolutos e “seu sinal” é igual ao dos números das parcelas; e a soma de dois números inteiros relativos de “sinais diferentes” equivale a diferença entre os valores absolutos dos números e o seu sinal é o “sinal da parcela” que possui maior valor absoluto.

Adição

1) Represente no ábaco o número 6, depois retire três argolas vermelhas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

2) Represente no ábaco o número 3, depois retire cinco argolas pretas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

Segundo Momento – Subtração

3) Represente no ábaco o número -3, depois retire sete argolas vermelhas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

4) Represente no ábaco o número -6, depois retire quatro argolas pretas.

a) Que número você obteve?______ b) Escreva essa operação utilizando a linguagem

matemática._____________.

Subtração

5) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.

Subtração

a) (+4) - (+2) = +2 e) (-6) - (-1) = -5 i) (-8) - (+5) = -13

b) (+5) - (+3) = +2 f) (-7) - (-4) = -3 j) (-9) - (+4) = -13

c) (+4) - (+6) = -2 g) (-1) - (-8) = +7 k) (+6) - (-8) = +14

d) (+5) - (+8) = -3 h) (-3) - (-9) = +6 l) (+2) - (-7) = +9

a) (+4) - (+2) = +2 e) (-6) - (-1) = -5 i) (-8) - (+5) = -13

b) (+5) - (+3) = +2 f) (-7) - (-4) = -3 j) (-9) - (+4) = -13

c) (+4) - (+6) = -2 g) (-1) - (-8) = +7 k) (+6) - (-8) = +14

d) (+5) - (+8) = -3 h) (-3) - (-9) = +6 l) (+2) - (-7) = +9

Resultado das operações...

Subtração

6) Analisando os itens de a, b, e e f o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto que o subtraendo.

Subtração

7) Analisando os itens de c, d, g e h o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Subtraímos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será oposto ao “sinal” do minuendo, quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo.

Subtração

8) Analisando os itens de i a l o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Somamos os valores absolutos dos números e o “sinal” do resto será o mesmo do minuendo.

Subtração

9) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a uma regra para todas as operações realizadas? Qual?

Quando os “sinais” são iguais, subtraímos os valores absolutos dos números e o sinal do resto será igual ao “sinal” do minuendo, quando este possuir maior valor absoluto e, “sinal” oposto ao do minuendo quando este possuir menor valor absoluto que o subtraendo. E quando os “sinais” são diferentes somamos os valores absolutos e o “sinal” será o mesmo do minuendo.

Subtração

Terceiro Momento – Multiplicação

1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.

a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) = +12 k) (-3).(+4) = -12

b) (+5).(+3) = +15 g) (-7).(-1) = +7 l) (-5).(+2) = -10

c) (+2).(+6) = +12 h) (-4).(-2) = +6 m) (-1).(+9) = -9

d) (+1).(+8) = +9 i) (-3).(-4) = +12 n) (+2).(-7) = -14

e) (+2).(+3) = +5 j) (-2).(-6) = +12 o) (+3).(-2) = -6

Terceiro Momento – Multiplicação

Resultado das operações...

a) (+4).(+2) = +8 f) (-6).(-2) = +12 k) (-3).(+4) = -12

b) (+5).(+3) = +15 g) (-7).(-1) = +7 l) (-5).(+2) = -10

c) (+2).(+6) = +12 h) (-4).(-2) = +8 m) (-1).(+9) = -9

d) (+1).(+8) = +8 i) (-3).(-4) = +12 n) (+2).(-7) = -14

e) (+2).(+3) = +6 j) (-2).(-6) = +12 o) (+3).(-2) = -6

2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os sinais dos fatores são positivos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.

Multiplicação

3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os sinais dos fatores são negativos, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores e o seu “sinal” será sempre positivo.

Multiplicação

4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, o produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e o “sinal” será sempre negativo.

Multiplicação

5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual?

Quando os sinais dos fatores são iguais, o produto é igual ao produto entre os valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre positivo. Quando os “sinais” dos fatores são diferentes, seu produto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, e seu “sinal” será sempre negativo.

Multiplicação

Quarto Momento – Divisão

a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) = +3 k) (-9):(+3) = -3

b) (+10):(+5) = +2 g) (-8):(-4) = +2 l) (-8):(+2) = -4

c) (+6):(+3) = +2 h) (-4):(-2) = +2 m) (-8):(+4) = -2

d) (+12):(+4) = +3 i) (-5):(-1) = +5 n) (+12):(-4) = -3

e) (+14):(+2) = +7 j) (-10):(-5) = +2 0) (+6):(-3) = -2

1) Efetue as operações abaixo com a ajuda do ábaco.

Divisão

a) (+9):(+3) = +3 f) (-12):(-4) = +3 k) (-9):(+3) = -3

b) (+10):(+5) = +2 g) (-8):(-4) = +2 l) (-8):(+2) = -4

c) (+6):(+3) = +2 h) (-4):(-2) = +2 m) (-8):(+4) = -2

d) (+12):(+4) = +3 i) (-5):(-1) = +5 n) (+12):(-4) = -3

e) (+14):(+2) = +7 j) (-10):(-5) = +2 0) (+6):(-3) = -2

Resultado das operações...

2) Analisando os itens de a a e o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os “sinais” são positivos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.

Divisão

Divisão

3) Analisando os itens de f a j o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os “sinais” são negativos dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” positivo.

Divisão

4) Analisando os itens de k a o, o que você observa de comum entre as operações feitas e os resultados obtidos?

Quando os “sinais” são diferentes, dividimos os valores absolutos dos números e o quociente terá “sinal” negativo.

Divisão

5) A partir das respostas anteriores, é possível chegar a um padrão de resolução para todas as operações realizadas? Qual?Quando os “sinais” são iguais dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” positivo. Quando os “sinais” são diferentes dividimos os valores absolutos dos números e o quociente sempre terá “sinal” negativo.

POMMER, W. M. Diversas abordagens das regras de sinais nas operações elementares em Z. FEUSP: 2010. Disponível em: <http://www.nilsonjosemachado.net/sema20100316.pdf>. Acesso em 27 jan. 2012.

RODRIGUES, L. R; OLIVEIRA, T. O. Operando números inteiros com o ábaco. Disponível em: <http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/minicursos/operandonumeros>. Acesso em 27 de jan. de 2012.

Referências