1. Razones Trigonomtricas
Autor: Ciro H. PariHuahuasoncco
E-mail: ciro_apu@hotmail.com

2. TEMARIO
3. Temario
Qu es la trigonometra?
Qu es ngulo?
Razones Trigonomtricas
Razones Trigonomtricas en el tringulo rectngulo
ngulos en posicin normal
ngulos Cuadrantales
Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
4. INTRODUCCIN
5. Introduccin
Para desarrollar el siguiente tema, se utilizara presentaciones en el orden en el que se presenta en el temario, de acuerdo a un proceso donde se pretende la estructuracin de los conocimientos.
En esta presentacin se aborda una introduccin a la trigonometra a su nivel ms elemental: las razones trigonomtricas de ngulos agudos. Se supone conocida la nocin de ngulo y su medida as como la nocin de ngulos complementarios.
Se inicia tambin un acercamiento a la relacin entre razones trigonomtricas y la relacin fundamental, necesarias para la resolucin de tringulos rectngulos.
6. CONTENIDO
TERICO
7. Qu es la trigonometra?
Rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de tringulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomtricas de ngulos. las dos ramas fundamentales son la trigonometra plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se ocupa de tringulos que forman parte de la superficie de una esfera.
8. Qu es un ngulo?
el Angulo es la porcin de plano delimitada por dos semirrectas del mismo origen
Los ngulos se identifican por 3 letras donde :
La letra central corresponde al vrtice
Las otras 2 letras son puntos cualquiera de las semirrectas que lo forman
9. Clasificacin de los ngulos
Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90
Angulo recto: mide 90 grados
Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180
Angulo llano: mide 180 grados
10. Razones Trigonomtricas
Razn: En forma general se le define como la comparacin entre dos cantidades, por medio de un cociente aplicando esta definicin a un triangulo cualquiera y relacionando sus 3 lados 2 a 2, obtenemos 6 razones veamos:
;;;;;

11. Razones Trigonomtricas
Operador Trigonomtrico: Se llama as al smbolo matemtico que como tal, no tiene significado cuando acta por si solo, pero que se transforma cuando lo acompaa un ngulo. Estos operadores trigonomtricos son 6.
12. Razn Trigonomtrica:
Es aquella que se obtiene como consecuencia de fusionar un operador trigonomtrico y un ngulo obtenindose como resultado un nmero, veamos el siguiente ejemplo:
I). tg45 = 1
II) sen30 = (1/2)
III) cos60 = (1/2)
IV)sec45 = 2

13. Tringulo
rectngulo
hipotenusa



catetos
Triangulo Rectngulo
Caracterstica principal de un tringulorectnguloesqueuno de susngulosmide 900
14. Razones Trigonomtricas en el triangulo rectngulo
Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar los catetos y la hipotenusa de un triangulo rectngulo, a continuacin veamos las definiciones de cada una de dichas razones trigonomtricas con respecto al ngulo agudo A.
15. SenA=Cateto Opuesto/Hipotenusa =a/c
CosA=Cateto adyacente/Hipotenusa =b/c
TanA=Cateto opuesto/Cateto adyacente =a/b
CotA =Cateto adyacente/Cateto Opuesto =b/a
SecA =Hipotenusa/Cateto adyacente =c/b
CscA =Hipotenusa/Cateto Opuesto =c/a
C
c = Hipotenusa
a
Cateto Opuesto
B
A
b
Cateto Adyacente
Razones Trigonomtricas en el triangulo rectngulo
16. Condiciones que hay que tener presente:
y ; son menores que 1.
y ; toman cualquier valor.
y ; son mayores que 1.
>>
2=2+2,()
+=90;()

17. ngulos en posicin normal.-
Un ngulo est en posicin normal si su vrtice esta en el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, y su lado final en cualquier parte del plano, si el lado final coincide con un eje, entonces el ngulo es mltiplo de 90.
18. ngulos en posicin normal.-
: ngulo en posicin normal(-)
: ngulo en posicin normal(+)
OA: coincide con el eje (+) Ox
: ngulo de Q1(primer cuadrante)
: ngulo de Q3(tercer cuadrante)
19. ngulos en posicin normal
Y
Lado final del ngulo en posicin normal
Medida del ngulo en posicin normal
ngulo en el 2do Cuadrante
x
o
Lado inicial del ngulo en posicin normal
Origen de Coordenadas
20. ngulos en posicin normal
Y
ngulo ubicado en el 3er cuadrante
Medida del ngulo en posicin normal
Y
X
Lado inicial
Lado inicial
X
ngulo ubicado en el 4to cuadrante
Lado Final
Lado Final
21. ngulos Cuadrantales.-
Un ngulo en posicin normal es cuadrantal, cuando su lado final coincide con cualquiera de los semiejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Los ngulos cuadrantales no pertenecen a ningn cuadrante y son de la forma:
Para todo n que pertenece a los nmeros naturales.
902

22. ngulos Cuadrantales.-
23. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
Las razones trigonomtricas del ngulo se definen como se muestra en la tabla: en las definiciones que sigue, se va a establecer el dominio y el recorrido de las razones trigonomtricas aunque deberan ser evidentes.
Sea un ngulo en posicin normal y sea P un punto cualquiera (distinto de O) en el lado terminal de
24. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
25. Razones Trigonomtricas de un ngulo en posicin normal
26. CUADRO DE LAS R. T. DE LOS ANGULOS: O, 90, 180, 270 y 360.
27. Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
La determinacin de las razones trigonomtricas de un ngulo negativo, se puede lograr mediante la regla de Reduccin al primer cuadrante, conviene, sin embargo, disponer de una relacin especial. Trace ngulos iguales a y -, en posicin normal y escoja P(-x;y) y P(-x;-y) como se muestra en la figura, obteniendo dos tringulos congruentes.
28. Razones Trigonomtricas de un ngulo negativo
29. Luego hallamos las RT del TR OMP y el TR OMP.
30. EJERCICIOS
RESUELTOS
31. N1
Ejercicio
Resolucin:
Por el Teorema de Pitgoras, hallamos el cateto que nos falta:
2+2=2

2+32=52

2+9=25

2=259

2=16

=16

=4

32. Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonomtricas y encontramos:
33. N2
Ejercicio
Para el triangulo rectngulo PQR recto en R; halla el seno, coseno y la tangente del ngulo de P y Q.
34. Resolucin:
35. N3
Ejercicio
Puedes usar el tringulo de la derecha para hallar el seno y el coseno de 42. Primero, usa el teorema de Pitgoras para hallar la longitud, h, de la hipotenusa.
2+2=h2

102+92=h2

100+81=h2

181=h

13.45=h

36. Resolucin:
Para el ngulo de 42, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto adyacente tiene una longitud de 10.
37.60 m
d
N4
Ejercicio
53
Desde lo alto de un edificio de 60 m de altura se observa una seal en el suelo con un ngulo de depresin de 53. A que distancia del edificio se halla la seal observada?
40 m
42 m
44 m
45 m
48 m
37
38. Resolucin:
Utilizando tringulos notables, hallamos el valor de k:
Si 3K = 60, entonces k = 20.
Por lo tanto la seal se encuentra a una distancia de 4K; es decir: 4(20) y eso vendra a ser 80 metros.
39. N5
Ejercicio
Hallamos las razones trigonomtricas del ngulo :
Para el ngulo ,16es el C.Oy 12 el C.A
40. Resolucin:
Sen =1620
Csc =2016
Cos =1220
Sec =2012
Tg =1612
Ctg =12 16
41. N6
Ejercicio
Determina el valor numrico de E:
3

2sen
+ 3 sen
- Cos 2
2
6
E =
Sec 180+tg 2
42. Resolucin:
43. EJERCICIOS
PROPUESTOS
44. a
30
b
25
N7
Ejercicio
Halla la medida de los dos catetos del siguiente tringulo
45. N8
Ejercicio
Siendo P(-3;4) un punto del lado final de un ngulo x en posicin normal, calcular:
E = sec x + cscx
Marca con una (x) la respuesta correcta
-5/12
-6/15
2/13
46. 3 pies
escalera

4 pies
N9
Ejercicio
Estamoscargandounaescalera de largo L porun pasillo de 3 pies de anchohacia un area de 4 pies de ancho, Segnel siguientedibujo.
Halla la medida del largo de la escaleracomofuncin del ngulotalcomo se ilustra.
47. N10
Ejercicio
Qu es un ngulo cuadrantal?
Halla las funciones trigonomtricas de los ngulos: 0 , 90 , 180 , 270 Y 360, no olvides que la division por cero no esta determinado.
48. N11
Ejercicio