Funções Elementares

Carlas Ferreira

Definição - Função Exponencial

• Seja a um número positivo deferente de 1. A função

é a função exponencial de base a, sendo auma constante.

O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).

xaxf )(

Definição-Crescimento e Decrescimento

Exponenciais

kxayxfy 0)( A função é um modelo para crescimento

exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial

quando k<0. Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0

e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.

Figura: y = 2x, y = 3

x, y = 10

x.

Regras de Exponenciação

• Se a>0 e b>0, as

afirmações a seguir

são verdadeiras para

quaisquer x e y

reais.

0,

)(.

)()(

.

yaa

b

a

b

a

abba

aaa

aa

a

aaa

y xy

x

x

x

x

xxx

xyxyyx

yx

y

x

yxyx

Definição – Função Logaritmo de

Base a

• A função logarítmica na base a,

é a função inversa da função exponencial

de base a.

O domínio de é (0,+), a imagem de

A imagem de é, o domínio de

xy alog

)1,0( aaax y

xy alog

xy alog

).1,0( aaax y

).1,0( aaax y

O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.

Propriedade dos Logaritmos

Inversas para e

Base a:

Base e:

xa xalog

0,1,0

,log,log

xaa

xaxa x

a

xa

0,log,log

xxexe x

e

xe

...590457182818284,21

1lim

ne

n

Propriedade dos Logaritmos

Para qualquer número real x > 0 e y>0,

Regra do Produto:

Regra do quociente:

Regra da Potencia: xyx

yxy

x

yxxy

a

y

a

aaa

aaa

loglog

logloglog

logloglog

1log01log ae aa

• Cada função exponencial é a potencia da

função exponencial natural.

• Formula para mudança de base,

sendo a,b,c>0 e a,c1.

axx ea ln

a

xx

c

ca

log

loglog

Função Trigonométrica e Suas

Inversas – unidade radiano

y

x

x

y

x

r

r

x

y

r

r

y

cot,tan

sec,cos

seccos,sen

Semi-reta

inicialx x

P(x,y)

y

yr

Semi-reta final

Um ângulo na

posição-padrão

Semi-reta inicial

x

P(x,y)

y

yr

Semi-reta final

Um ângulo - na posição-

padrão

x

- -yr

cot)cot(,tan)tan(

sec)sec(,cos)cos(

seccos)sec(cos,sen)sen(

y

x

x

y

x

r

r

x

y

r

r

y

P(x,-y)

Quando r=1

y

x

x

y

xx

yy

cot,tan

1sec,cos

1seccos,sen

Formulas para conversão

• 1 grau = /180 ~0.02 radianos

• 1 radiano = 180/ ~ 57 graus

Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo

(Grau)

Radians

-180

-

-135

-3/4

-90

-/4

-45

-/6

0

0

30

/6

45

/4

60

/3

90

/3

135

3/4

180

Sen 0 -1 0 1 0

cos -1 0 1 0 -1

tg 0 1 - -1 0 1 - -1 0

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

2

1

2

2

2

2

2

3

2

1

3

2

2

2

2

• Período das funções Trigonométricas

• Período : tg(x + ) = tgx

cotg(x + ) = cotgx

• Período 2: sen(x + 2) = sen x

cos(x + 2) = cos x

sec(x + 2) = sec x

cossec (x + 2) = cossec x

Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c)

tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente

utilizando a medida em radianos.

Identidade

• cos2 + sen2 =1

• Dividindo essa identidade por cos2 e

depois por sen2 temos:

• 1 + tg2= sec2

• 1 + cotg2 = cosec2

Formula para soma dos ângulos e

ângulos duplos

• cos(+)= cos() cos()- sen() sen()

• sen(+)= sen() cos() +cos() sen()

• cos 2 = cos2 - sen2

• sen2 = 2 sen cos

• Lei dos cossenos

• c2= a2 + b2 – 2ab cos

A(b,0)b

B(a cos ,a sen

a

c

a cos x

y

C

• c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2

• c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -)

• cos ( -) = -cos

• sen ( -) = sen

• cos2 + sen2 = 1

Logo

• c2= a2cos2 +b2 + a2 sen2 - 2abcos

• c2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos

• c2= a2 +b2 - 2abcos

Lei dos cossenos

c2= a2 + b2 – 2ab cos

A(b,0)b

B(a cos (-),a sen(-)

ac

a cos( -)

x

y

C

Triangulo Retângulo

( -) *

= 1

Inversos da função Trigonométrica

• Seja ,Dm(f) = [-1,1],

Im(f)=[0, ].

• Determinar x sendo que f(x) = /3.

xxf arccos)(

2

1

3cos

arccos3

x

x

Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x,

(c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e

(f) y = arc cotg x.